同角三角函数基本关系式教学设计

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同角三角函数的基本关系优秀教学设计

同角三角函数的基本关系教学设计一、教学目标1.知识与技能目标（1）能根据三角函数的几何、代数定义导出同角三角函数的基本关系式；（2）掌握同角三角函数的两个基本关系式，并能够根据一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值.2.过程与方法目标（1）牢固掌握同角三角函数关系式，并能灵活解题，提高学生分析、解决三角函数的思维能力；（2）探究同角三角函数关系式时，体会数形结合的思想；已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，进一步树立分类思想；解题时，注重化归的思想，将新题目化归到已经掌握的知识点上；（3）通过对知识的探究，掌握自主学习的方法，通过学习中的交流，形成合作学习的习惯.3.情感、态度、价值观目标通过教学，使学生学习运用观察、类比、数形结合、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力.二、教学重点和难点教学重点：公式1cos sin 22=α+α和α=ααtan cos sin 的推导及其应用教学难点：同角三角函数的基本关系式的变式应用三、教学流程（一）提问引入1、提出问题：已知53sin -=α，求αcos 、αtan 的值.2、在解题过程中，让学生自己探索同角的三角函数关系. （二）探究新知1．探究对同角三角函数基本关系（1）根据学生探究出的结果，得出结论.引导学生注意“正弦的平方”的表示方法是“a 2sin ”，而不是：“2sin a ”，进而得到符号表达式：22sin cos 1αα+=；开方计算时，注意“分类”的思想在象限角正负号问题处理时的应用.（2）探究正弦、余弦和正切函数三者的关系：αααtan cos sin =.以上的探究由学生自由完成，可以从图形角度，也可以从定义角度加以探究，让学生体会图形语言与符号语言之间的转换关系，体会两种语言的区别于联系.为了让学生及时熟悉公式，同时为后续学生归纳“同角”作铺垫，要求学生完成以下的课堂练习：（1）=+ 30cos 30sin 22_______________；（2） =+++)4(cos )4(sin 22ππx x ________________；（3）︒︒45cos 45sin ＝_______________ （4） =+ 45cos 30sin 22．（3）学生交流、讨论，最终在教师的引导下得到上述两个公式中应该注意的问题：①注意“同角”指相同的角，例如：145cos 30sin 22≠+ 、12cos 2sin 22=+αα、12cos 2sin 22=+αα；②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如α=ααtan cos sin 中0cos ≠α，且αtan 需有意义等.（三）架构迁移（1）探究上述两个关系式的等价变形式教师点明：由等价变形式αα22cos 1sin -=已知余弦值可以求正弦值；由等价变形式αα22sin 1cos -=已知余弦值可以求正弦值，学生可能得到:αα2cos 1sin -±=的结论，此时，应该向学生说明：αcos 、αsin 的符号受所在象限的限制，不是无条件的，不同于“由12=x 可以推出1±=x ”这种情形，此情况类似于“⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a aa ”而不是“a a ±=||”.等价变形式αααcos tan sin =可以将分式可以化为整式例 1 已知锐角α满足3t an =α,求（1）ααααcos 2sin 5cos 4sin +-；（2）αααcos sin 2sin 2+.让学生探究第一小题的解法，注意αsin 、αcos 、αtan 之间的关系的应用，学生的解题方法可能有很多种，注意每种解法后对数学思想方法的归纳.然后让学生尝试解决第二小题.第二小题较第一小题难度有所增加，可以让学生采取合作学习的办法，分小组讨论，探究其解题方法.再与第一小题比较，寻找其可借鉴之处.体会类比、化归思想，化未知为已知. 例2 化简αα22cos )tan 1(+.本例在时间允许的情况下进行，否则放到下节课解决. 若时间允许，则进行强化练习：练习1：已知54cos -=α，且α为第三象限角，求αsin 、αtan 的值.该题与引例配套.练习2:已知ααcos 5sin =，求ααααcos 2sin cos sin -+的值.该题与例2配套.（四）反思升华：由学生自己反思：“本节课你有些什么收获？”让学生自己总结本节课所学内容，教师从知识层面和思想方法层面帮助学生整理本节课的小节。

同角三角函数的基本关系教学设计

同角三角函数的基本关系教学设计一、引言同角三角函数是初中数学中的重要内容，也是高中数学和大学数学的基础。

本文将介绍同角三角函数的基本关系教学设计。

二、教学目标1. 理解同角三角函数的定义及其意义；2. 掌握正弦、余弦、正切、余切四种同角三角函数的基本关系；3. 能够运用同角三角函数解决实际问题。

三、教学过程1. 同角三角函数的定义及其意义1.1 定义：对于任意一个锐角∠A，其正弦值sinA等于∠A所在直角三角形中对边与斜边之比，余弦值cosA等于邻边与斜边之比，正切值tanA等于对边与邻边之比，余切值cotA等于邻边与对边之比。

1.2 意义：同一锐角所对应的四个函数值互相依赖，其中一个确定时其他三个也随之确定。

因此，在求解某些几何问题时可以通过已知一个函数值来求出其他函数值。

2. 正弦、余弦、正切、余切四种同角三角函数的基本关系2.1 正弦和余弦：sin²A + cos²A = 1证明：根据勾股定理可得sin²A + cos²A = 1 - sin²A，即sin²A + sin²A = 1，故sin²A + cos²A = 1。

2.2 正切和余切：tan A × cot A = 1证明：tan A × cot A = (sin A / cos A) × (cos A / sin A) = 1。

2.3 正弦和余切：sin A × cot A = cos A证明：sin A × cot A = sin A × (cos A / sin A) = cos A。

2.4 余弦和正切：cos A × tan A = sin A证明：cos A × tan A = cos A × (sin A / cos A) = sin A。

3. 运用同角三角函数解决实际问题3.1 求解直角三角形的边长对于一个已知锐角∠A及其对边a或邻边b，可以通过正弦、余弦、正切、余切四种函数求出其他两个未知量。

同角三角函数基本关系式教案

第一章三角函数任意角的三角函数同角三角函数的基本关系教学目标1.掌握三种基本关系式之间的联系;2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法;3.牢固掌握同角三角函数的关系式,并能灵活运用于解题,提高分析、解决三角函数的思维能力;4.灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒等变形的能力. 教学重难点重点：同角三角函数基本关系式：22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==的运用；难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式运用. 教学设计一、自主学习问题1:任意角的三角函数是怎样定义的?问题2:sinα,cosα,tanα之间有什么关系?这个关系对于任意角都成立吗?问题3:设P(x,y)是角α的终边与单位圆的交点,x 和y 之间有什么关系?sinα和cosα之间有什么关系?这个关系对于任意角都成立吗?二、自主探究同角三角函数的基本关系式:1.平方关系:2.商的关系:同角三角函数的基本关系式的变形:三、合作探究、典例精析【例1】已知sinα=13,并且α是第二象限角,求cosα,tanα.【例2】已知sinα=-35,求cosα,tanα的值【例3】已知cosα=-817,求sinα,tanα的值.【例4】已知tanα=2,求下列各式的值:(1)sinα+cosαsinα-cosα;(2)sinαcosαsin 2α-cos 2α;(3)sinαcosα.【例5】求证:cosx 1-sinx =1+sinx cosx. 四、课堂练习、巩固基础1.(1)已知sinα=1213,并且α是第二象限角,求cosα,tanα.(2)已知cosα=-45,求sinα,tanα.2.已知tanα=5,求下列各式的值.(1)5sinα-3cosα7sinα+9cosα;(2)cos 2α4sin 2α+2sinαcosα-3; (3)2sin 2α-3cosαsinα+5cos 2α.五、课堂小结1.通过观察、归纳,发现同角三角函数的基本关系.2.同角三角函数关系的基本关系的应用.3.应用同角三角函数的基本关系式的基本关系的变形解决计算和证明问题.六、达标检测+cos 22022等于( )D.不能确定 2.已知sinα=-34,α是第四象限角,则tanα的值为( )A.3√77B.√74 3√77 √743.已知tanα=4,求(1)sinα-2cosα2sinα+5cosα;(2)1sin 2α+2sinαcosα.4.已知tanα=√3,π<α<3π2,求cosα-sinα的值.5.已知tanα=-34,求sinα,cosα的值.。

同角三角函数的基本关系教学设计

同角三角函数的基本关系教学设计一、教学目标1.理解同角三角函数的概念和性质。

2.掌握同角三角函数的基本关系。

3.能够运用同角三角函数的基本关系解决实际问题。

二、教学重点1.同角三角函数的定义和基本关系。

2.弧度和角度的换算。

三、教学难点1.弧度制和角度制的换算。

2.同角三角函数的基本关系的运用。

四、教学过程1.导入新知识（10分钟）通过提问和讨论，复习学生已掌握的角度制与弧度制的换算方法，以及三角函数的定义和性质。

2.概念解释和理解（10分钟）教师简要解释同角三角函数的概念，并引导学生理解同角三角函数的定义。

让学生思考同角三角函数的定义与普通三角函数的区别。

3.同角三角函数的基本关系的介绍（20分钟）引导学生自主探究同角三角函数的基本关系，包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数之间的关系。

鼓励学生在小组合作中发现规律，并在黑板上总结出同角三角函数之间的基本关系。

4.同角三角函数的基本关系的证明（30分钟）通过几何证明和代数证明的方法，引导学生证明同角三角函数之间的基本关系。

通过几何证明，让学生感受同角三角函数之间的几何含义，加深对基本关系的理解。

通过代数证明，让学生运用三角恒等式和函数关系式，推导出同角三角函数的基本关系。

5.基本关系的运用与实际问题解决（30分钟）提供一些简单的实际问题，让学生运用同角三角函数的基本关系进行计算和解决问题。

通过实际问题的解决，巩固同角三角函数的基本关系的运用能力。

6.总结与归纳（10分钟）对本节课的学习进行总结与归纳，帮助学生理清同角三角函数的基本关系。

五、教学方法和手段1.导入：通过提问与讨论，引导学生复习以前学习的知识，激发学生学习的兴趣。

2.自主探究：通过小组合作的形式，让学生自主发现和总结同角三角函数的基本关系。

3.示范演示：通过具体的实例和计算过程，演示同角三角函数的基本关系的运用方法。

4.互动讨论：鼓励学生提问和回答问题，促进学生思维的活跃和交流合作。

5.2.2《同角三角函数的基本关系》教学设计

5.2.2同角三角函数的基本关系一、教材分析本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第二节《三角函数的概念》。

本节课是学生学习了任意角和弧度值,任意角的三角函数后,安排的一节继续深入学习的内容,是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具,是整个三角函数的基础,在教材中起着承上启下的作用。

同时,它体现的数学思想与方法在整个高中数学学习中都有着重要的作用。

二、教学目标1.理解并掌握同角三角函数基本关系式及推导，发展数学抽象和逻辑推理的素养。

2.会利用同角三角函数的基本关系式进行简单的求值，化简等有关问题,发展数学运算素养。

三、教学重难点重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。

难点：同角三角函数基本关系的灵活应用。

四、教学过程（一）课程导入引导语：同学们，三角学源于天文学，在研究天文学问题的过程中它得到了发展，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等，摸清楚这些三角函数之间的关系是三角学的基本问题之一。

问题1：因为sinα,cosα,tanα的值都是由α确定的，所以sinα,cosα,tanα之间是否存在某种关系呢？追问：回到定义中，我们是如何定义三角函数的？问题2：如何建立sin α,cos α,tanα之间的关系式呢？（二）问题探究过P 点作x 轴的垂线，交x 轴于M，则△OMP 是直角三角形，①对于平方关系，若角α是象限角，Rt△OMP 是一直存在，sin 2+cos 2=1是成立的.若角α是轴线角，不妨设α的终边与y 轴非负半轴重合，此时有P(0，1)，sin 2+cos 2=1成立。

事实上，α的终边无论与哪条坐标轴重合，sin 2+cos 2=1都成立.综上:对于任意角α，平方关系sin 22②0，所以角α的终边不能落在y 立.cos （三）同角三角函数的基本关系式1、平方关系（1）公式：sin 2α+cos 2α=1，α∈R1.注意：sin 2α是sin 2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin 2α写成sin 2.前者是α的正弦的平方，后者是2的正弦.3、公式赏析①同角讨论：你是如何理解“同角”的？点拨：一是“相同角”，二是（在使函数有意义的前提下）“任意角，所以“同角”指的是“相同的任意角”.②基本讨论：为何将以上关系叫做“基本”关系？点拨：公式简洁、美观，适用范围广.③结构讨论：以上两个公式有何结构特征？点拨：平方关系中有平方+平方=1，左边有变量，右边是常数，动中有静，变化中有不变；商数关系中左边是切，右边是弦，左边是整式，右边是分式，而且是齐次分式。

(完整版)同角三角函数的基本关系教案

同角三角函数的基本关系东宁县绥阳中学教学目的:知识目标：1。

能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

能力目标: 牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；教学重点：同角三角函数的基本关系式教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用教学过程: 一、复习引入：1．任意角的三角函数定义：设角α是一个任意角,α终边上任意一点(,)P x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么：sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=， 2．当角α分别在不同的象限时，sin α、cos α、tg α的符号分别是怎样的？ 3．背景:如果53sin =A ,A 为第一象限的角，如何求角A 的其它三角函数值； 4．问题：由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？二、讲解新课:（一)同角三角函数的基本关系式：（板书课题：同角的三角函数的基本关系）1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（1)商数关系:αααcon sin tan =（2）平方关系:1sin 22=+ααcon说明：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin 4cos 41αα+=等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如tan cot 1(,)2k k Z πααα⋅=≠∈； ③对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用（正用、反用、变形用)，如：cos α= 22sin 1cos αα=-， sin cos tan ααα=等。

2．例题分析：一、求值问题例1．(1)已知12sin 13α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot ααα． (2）已知4cos 5α=-,求sin ,tan αα．解:（1)∵22sin cos 1αα+=， ∴2222125cos 1sin 1()()1313αα=-=-=又∵α是第二象限角， ∴cos 0α<，即有5cos 13α=-，从而 sin 12tan cos 5ααα==-， 15cot tan 12αα==-（2）∵22sin cos 1αα+=， ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=，又∵4cos 05α=-<, ∴α在第二或三象限角. 当α在第二象限时，即有sin 0α>，从而3sin 5α=，sin 3tan cos 4ααα==-;当α在第四象限时，即有sin 0α<,从而3sin 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==．总结：1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。

《同角三角函数的基本关系》教案与导学案

《同角三角函数的基本关系》教案与导学案同角三角函数的基本关系是指在一个锐角三角形中，其三个内角的三角函数之间的关系。

教案教学目标：1.了解同角三角函数的概念和基本关系。

2.熟练运用同角三角函数的基本关系，解决相关问题。

教学重点：同角三角函数的基本关系。

教学难点：熟练运用同角三角函数的基本关系，解决相关问题。

教学方法：讲授、演示、练习。

教学过程：Step 1 引入新知引导学生回顾正弦定理、余弦定理的内容，由此引入同角三角函数的概念，解释同角三角函数的意义。

Step 2 基本关系的演示通过投影仪或黑板等教具，演示同角三角函数的基本关系。

1) 演示正弦定理的推导，得到sinA=opposite/hypotenuse。

2) 演示余弦定理的推导，得到cosA=adjacent/hypotenuse。

3) 演示正切比例的推导，得到tanA=opposite/adjacent。

Step 3 列示基本关系向学生展示同角三角函数的基本关系，并要求学生背诵这些关系。

Step 4 发现规律通过解决一些具体问题，引导学生发现同角三角函数之间的一些规律和特点。

Step 5 综合运用结合实际问题，进行综合运用，让学生熟练应用同角三角函数的基本关系解决相关问题。

Step 6 归纳总结复习同角三角函数的基本关系，并帮助学生归纳总结相关知识点。

Step 7 学以致用通过一些挑战性问题，提高学生运用同角三角函数的基本关系解决问题的能力。

导学案学习目标：1.了解同角三角函数的概念和基本关系。

2.熟练运用同角三角函数的基本关系，解决相关问题。

学习重点：同角三角函数的基本关系。

学习难点：熟练运用同角三角函数的基本关系，解决相关问题。

学习方法：自主学习、思维导图。

学习过程：Step 1 学习概念自主学习同角三角函数的概念，并在思维导图中整理相关知识点。

Step 2 学习基本关系自主学习同角三角函数的基本关系，并在思维导图中整理相关公式和关系。

同角三角函数的基本关系教案

同角三角函数的基本关系教案教案：同角三角函数的基本关系教学目标：1.理解同角三角函数的概念和性质。

2.掌握同角三角函数之间的基本关系式。

3.能够灵活运用同角三角函数的基本关系进行计算和证明。

教学重点：教学难点：教学准备：教材、白板、彩色笔。

教学过程：Step 1：引入概念（10分钟）1.引导学生回顾正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和性质。

2.提问：是否存在一个三角函数，它的值恰好是一个角的正弦值的倒数？反余弦的倒数？正切的相反数？引出同角三角函数的概念。

Step 2：同角三角函数的定义和性质（20分钟）1.讲解同角三角函数的定义：正割函数、余割函数、余切函数。

2.指导学生进行练习，求特定角的正割值、余割值和余切值。

3.总结同角三角函数的定义和性质，并进行板书记录。

Step 3：同角三角函数的基本关系（30分钟）1.引导学生根据同角三角函数的定义，设获得正弦函数、余弦函数和正切函数的倒数的关系式，并进行推导。

2.引导学生利用同角三角函数的定义，进一步推导同角三角函数之间的基本关系式，并进行证明。

3.提醒学生注意数学符号的运用，确保表述的准确性。

4.分步解释和板书同角三角函数的基本关系。

Step 4：经典例题演练（30分钟）1.带领学生进行同角三角函数的基本关系的例题演练，注重每一步计算过程的意义和结果的解释。

2.引导学生归纳总结同角三角函数的基本关系式，并进行笔记整理。

Step 5：综合案例分析（20分钟）1.给出一个综合案例，要求学生结合所学的同角三角函数的基本关系进行证明和计算。

2.引导学生合理安排解题思路，按照步骤进行推导和计算。

3.引导学生进行思考和讨论，根据解题过程中出现的问题和困难进行解释和总结。

4.学生互相讨论和交流解题思路和方法。

Step 6：课堂小结（10分钟）1.整理同角三角函数的基本关系的要点。

2.概述同角三角函数的应用领域和意义。

拓展延伸：1.探究其他同角三角函数之间的关系，如正割函数和余割函数的关系等。

数学《同角三角函数的基本关系》教案

数学《同角三角函数的基本关系》教案教案：同角三角函数的基本关系一、教学目标：1.理解同角三角函数的概念及意义。

2.掌握正弦、余弦和正切函数之间的基本关系。

3.能够在给定角度范围内计算同角三角函数的值。

二、教学重点与难点：1.理解同角三角函数的概念及意义。

2.掌握正弦、余弦和正切函数之间的基本关系。

三、教学准备：1.教材、课件、黑板、粉笔。

2.学生课前复习笔记。

四、教学过程：1.引入（10分钟）教师可通过提问的方式引导学生复习和回忆上节课所学的三角函数概念及性质，例如：“什么是三角函数？它们有什么特点？”2.概念讲解（10分钟）教师介绍同角三角函数的概念和意义，同角三角函数是以角度的大小和方向为自变量，以比值为因变量的一类函数。

其中，正弦函数、余弦函数和正切函数是最常用和基础的三角函数。

通过图示的方式向学生展示正弦函数、余弦函数和正切函数的形象及它们之间的关系。

3.基本关系的推导（15分钟）3.1正弦函数与余弦函数的基本关系：教师指导学生通过绘制各象限内角度相同的锐角三角形，并利用其定义推导出正弦函数和余弦函数的基本关系：sin^2θ + cos^2θ = 13.2正切函数与正弦函数、余弦函数的基本关系：教师指导学生通过绘制直角三角形，利用其定义推导出正切函数、正弦函数和余弦函数的基本关系：tanθ = sinθ / cosθ。

4.同角三角函数的计算及性质（25分钟）4.1计算角度对应的三角函数值：教师引导学生通过练习，掌握计算给定角度对应的正弦、余弦和正切函数值的方法和技巧。

4.2使用同角三角函数的性质：教师讲解同角三角函数的周期性和奇偶性，并指导学生根据这些性质简化计算，例如，sin(180° + θ) = -sinθ，cos(π + θ) = -cosθ，等等。

5.练习与巩固（20分钟）教师提供一系列基础练习题，让学生在课堂上进行计算和解答，以巩固所学的同角三角函数的基本关系和计算方法。

同角三角函数的基本关系教学设计

同角三角函数的基本关系教学设计教学设计：同角三角函数的基本关系一、教学目标：1.学生能够理解同角三角函数的概念及其在数学中的意义；2.学生能够掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的基本关系；3.学生能够熟练运用同角三角函数的基本关系解题。

二、教学重点：1.同角三角函数的概念及基本关系；2.正弦函数、余弦函数和正切函数的图像特征。

三、教学难点：1.正弦函数、余弦函数和正切函数的图像特征；2.同角三角函数的应用解题。

四、教学准备：1.教师准备：教学课件、教学素材PPT；2.学生准备：教材、笔记、计算器。

五、教学过程：Step 1：导入新课1.教师打开课件，介绍本节课的主题：同角三角函数的基本关系；2.教师和学生一起回顾三角函数的概念，回顾正弦函数、余弦函数和正切函数的定义。

Step 2：正弦函数与余弦函数的关系1.教师让学生观察并比较正弦函数与余弦函数的图像，引导学生发现它们之间的关系；2.教师引导学生思考，正弦函数与余弦函数的图像是否关于y轴对称？这两个函数的最大值和最小值又有怎样的关系？3. 教师讲解正弦函数与余弦函数的关系：sin(x) = cos(x - 90°)；4.教师通过具体的数值计算和计算器演示，验证正弦函数与余弦函数的关系。

Step 3：正切函数与余弦函数的关系1.教师让学生观察并比较正切函数与余弦函数的图像，引导学生发现它们之间的关系；2.教师引导学生思考，正切函数与余弦函数的图像之间是否有什么特殊的关系？它们的零点位置有什么规律？3. 教师讲解正切函数与余弦函数的关系：tan(x) = sin(x) /cos(x)；4.教师通过具体的数值计算和计算器演示，验证正切函数与余弦函数的关系。

Step 4：同角三角函数的应用解题1.教师提供一些应用题，如角度的边长比例问题、太阳高度角问题等，并引导学生运用同角三角函数的基本关系解答；2.教师讲解解题思路和步骤，帮助学生理解问题的意义和解题的方法；3.教师与学生互动，共同解答一个或多个应用题；4.学生独立或小组合作解答剩下的应用题，教师巡视指导。

同角三角函数的基本关系（教案）

1.2.2 同角三角函数的基本关系（教案）吴川一中陈亮任教班级：高一47、48班一、教学目标：1. 知识与能力理解同角三角函数的基本关系式，会用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与证明.2. 过程与方法通过在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形得出三角函数基本关系式. 3. 情感、态度与价值观培养学生用数形结合思想方法解决问题的能力.二、教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及其应用(求值、化简、恒等式证明).三、教学难点：关系式在解题中的灵活运用和对学生思维灵活性的培养.四、教学方法与手段：本节主要涉及到两个公式，均由三角函数定义和勾股定理推出．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并灵活运用.要给学生提供展示自己思路的平台，营造自主探究解决问题的环境，把鼓励带进课堂，把方法带进课堂，充分发挥学生的主体作用．五、教学过程：【探究引入】思考1：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P ，那么，正弦线MP 和余弦线OM 的长度有什么内在联系？由此你能得到什么结论？分析：221MP OM +=22sin cos 1αα+=.思考2：上述关系反映了角α方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？分析：当角α的终边在坐标轴上时，上述关系也成立.思考3：设角α的终边与单位圆交于点 P （x ，y ），根据三角函数定义，有tan (0)yx xα=≠，由此可得sin α、cos α、tan α之间满足什么关系？分析：sin tan cos ααα=. 思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是什么？分析：()2a k k Z ππ≠+∈.【讲授新课】 1.同角三角函数基本关系：（1）平方关系：22sin cos 1αα+=；（2）商数关系：sin tan cos ααα=，()2a k k Z ππ≠+∈. Ⅰ、【新知理解训练】判断以下等式是否恒成立：①()22sin cos 1;αβαβ+=≠ ②22sin cos 122αα+=； ③sin 2tan 2.cos 2ααα=Ⅱ、说明：① 注意这里“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立.② 2sin α是()2sin α的简写，读作“sin α的平方”，不能写成“2sin α或sin 2α”.③ 对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、逆用、变形用），如：22sin 1cos αα=-， cos α= ()212sin cos sin cos αααα±⋅=± sin cos tan ααα=， s i n c o s t a n ααα=⋅. 2、典型例题题型一、化简例1. 化简下列各式:(1) 2422sin cos sin cos ββββ++; (2 ) 222cos 112sin αα--.分析：（1）一提取公因式2cos β，便“柳暗花明”；（2）逆用平方关系：式子中的“1”用22"sin cos "αα+一代，结果不打自招.解：（1）原式=()222222sin cos cos sin sin cos 1.ββββββ++=+=（2）原式=()22222222222cos sin cos cos sin 1.sin cos 2sin cos sin αααααααααα-+-==+-- 【点评】灵活运用平方关系、商数关系及其变式是解决化简问题的灵丹妙药.变式训练：化简下列各式: (1) ()221tan cos αα+⋅ (2) 1sin cos 2sin cos 1sin cos αααααα+--⋅+-.答案：（1）1；（2）sin cos αα-. 题型二、已知一个三角函数值，求另外两个三角函数值（简称“知一求二”）例2．（1）已知12sin 13α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan αα．（2）已知4cos 5α=-，求sin ,tan αα．分析：由已知条件和sin α的值可依平方关系求得cos α的值，再由商数关系可求得tan α的值，但不知α所在象限时要对α所在象限进行分类讨论.解：（1）∵22sin cos 1αα+=， ∴2222125cos 1sin 1()()1313αα=-=-=，又∵α是第二象限角，∴cos 0α<，即有5cos 13α=-，从而 sin 12tan cos 5ααα==-．（2）∵22sin cos 1αα+=， ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=，又∵4cos 05α=-<， ∴α在第二或三象限.① 当α在第二象限时，即有sin 0α>，从而3sin 5α=，sin 3tan cos 4ααα==-；② 当α在第四象限时，即有sin 0α<，从而3sin 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==．【点评】三角函数的结果都要用分情况叙述的形式表达出来，而不用cos a α=±或sin b α=±或tan c α=±的书写形式，因为三角函数值的符号受限制，不是无条件的，这不同于“由21x =可以推出1x =±”的情形.变式训练：《中》191P-变.（07全国Ⅰ）已知α是第四象限角，5tan12α=-，则s i nα等于( D )A.15B.15- C.513D.513-六、板书设计1.同角三角函数基本关系：（1）平方关系.（2）商数关系.2、题型一、化简例1.变式训练：3、题型二、知一求二例2．变式训练：七、小结1. 同角三角函数基本关系及其变式.2. 化简.3. 求值：①知一求二；②弦化切.八、作业课本第20页练习题第2题，22页B组第2、3题.九、教学后记本节真正体现“高、大、优”的课堂教学特色，但内容多、时间紧，要合理安排、讲练结合.。

同角三角函数的基本关系教学设计

同角三角函数的基本关系教学设计一、教学内容解析（1）内容：本节课选自普通高中教科书《数学必修第一册（人教A 版）》第五章5.2.2同角三角函数的基本关系，主要内容是同角三角函数的基本关系.（2）内容解析：从三角函数的定义可知，三角函数的基本性质就是圆的几何性质的直接反映．因此，与圆的几何性质建立联系，为发现三角函数的性质提供思路，发现三角函数的基本关系后，利用关系解决三角函数中求值，恒等变形等问题．本单元内容是建立周期性变化的数学模型，以函数的观点探究三角函数的图象和性质，解决一些简单的实际问题．本节在建立三角函数的概念后发现同角三角函数的内在联系，为三角函数求值，从而得到三角函数的图象打下基础．本节课的教学重点是同角三角函数基本关系的发现，认识同角三角函数的基本关系和应用这个关系．二、目标与目标解析目标：理解同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1αα+=，sin tan cos ααα=，体会三角函数的内在联系性，通过运用基本关系式进行三角恒等变换，发展数学运算素养．目标解析：完成上述目标的标志是学生能利用定义以及单位圆上点的横、纵坐标之间的关系，发现并得到“同角三角函数的基本关系”，并能用于三角恒等变换．三、教学问题诊断分析学生已有基本初等函数的学习经验，但是三角函数的内在联系性比较特殊，学生在基本初等函数的学习中没有这种经验，而且学生从联系的观点看问题的经验不足，对“如何发现函数的性质”认识不充分等而导致发现和提出性质的能力不足，为此，需从思想方法上加强引导探究同角三角函数的基本关系．四、教学策略分析本节课同角三角函数关系的结论很简单，但是关系的生成重要，所以需引导学生有序地探究出结论，从而体验数学中定义生成后探索对象一般规律的过程，培养学生探索新知的意识；得到同角三角函数关系后，为了使学生逐渐熟悉结论，掌握结论的应用，采取引导学生利用代数运算尝试各种结论的变化形式，激发学生的创新意识.五、教学过程设计环节一：复习旧知识，铺垫新探索教师问题1：在昨天的课堂上我们学习了三角函数的概念和一组诱导公式，它们分别是什么？学生1：角的终边和单位圆的交点(,)P x y ，正弦定义为纵坐标y ，余弦定义为横坐标x ，正切定义为y x．诱导公式一：sin(2)sin ,cos(2)cos ,tan(2)tan k k k απααπααπα+=+=+=．环节二：探究新公式，理解新公式教师问题1：终边相同的角的同一三角函数值有相等关系，那么，终边相同角的不同三角函数值之间是否也有某种关系？为什么？学生1：终边相同的角的三个三角函数值是由同一个点得到的，所以它们必然有关系．【设计意图】三个三角函数值之间如果没有关系，则没有研究的必要，通过问题引导学生明确探索的方向，坚定探索的信心．教师问题2：终边相同的角有无穷多个，那么，如何研究多个角的三角函数值的关系？学生2：因为终边相同的角的三个三角函数值相等，所以只要用一个角代替所有终边相同的角．【设计意图】利用诱导公式一，简化探究内容．教师问题3：如何探索？已知什么？能得到什么？学生3：已知三角函数的定义，容易得到sin tan cos y x ααα==．【设计意图】引导学生利用联系的观点进行探索，利用运算发现基础关系．教师问题4：还有什么关系？三角函数是用点P 的坐标定义的，那么坐标的含义是什么？启发我们如何探究？学生4：坐标的含义启发我们利用几何意义进行探究．【设计意图】引导学生利用联系的观点，把代数问题转化为几何问题．教师问题5：||MP 和||OM 有什么关系？学生5：根据勾股定理，得到222||||||1MP OM OP +==，所以22sin cos 1αα+=．【设计意图】引导学生通过几何直观联系到直角三角形，从而联系到勾股定理，得到线段长的数量关系，从而探究出三角函数的平方关系．教师问题6：x 就是||MP ，y 就是||OM 吗？学生6：不是，绝对值才对．教师问题7：22||||1MP OM +=任何时候都成立吗？学生7：不是，要有直角三角形，也就是点P 不在坐标轴上．点P 在坐标轴上时，结论依然成立．教师问题8：sin tan cos ααα=任何时候都成立吗？学生8：不是，须要tan α有意义，cos 0α≠，也就是角的终边不在y 轴上，即,2k k Z παπ≠+∈．【设计意图】引导进行反思，思考推理的严谨性．环节三：总结新知识，应用新知识教师总结：我们得到了同角三角函数的基本关系：①平方关系：22sin cos 1αα+=；②sin tan cos ααα=（,2k k Z παπ≠+∈）．式子的结构特征：同一个角的正余弦的平方和为1，正余弦的商为该角的正切值．【设计意图】帮助学生理解记忆公式．教师问题１：公式有什么用途？学生1：已知同一个角的正弦值可以求出余弦值，类似地，已知余弦值可以求出正弦值；进而已知角的正弦或余弦值，可以求正切值．学生２：同一个角的三个三角函数值已知一个可以求出另外两个．【设计意图】以方程的观点理解公式．例１：已知3sin 5α=-，求cos α，tan α的值. 分析：应用公式求解，问题在开方时符号的确定，所以需要对角的终边位置讨论. 解：由sin 0α<且sin 1α≠-得，α是第三象限或第四象限角，由22sin cos 1αα+=得222316cos 1sin 1525αα⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，若α是第三象限角，则4cos 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==；若α是第四象限角，则4cos 5α=，sin 3tan cos 4ααα==-．【设计意图】具体的例子让学生体验三角函数基本关系的应用，解答过程中也锻炼了学生运算的能力和分类讨论能力．这样的例题可以直接地呈现本节课的主要内容，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养．变式１：已知α是第三象限角，tan k α=，求sin α，cos α的值.分析：很难应用公式直接求解，把两个公式合在一起，建立方程解决问题，两个方程两个未知数，消元求解．解：由α是第三象限角得，0k >且sin 0α<，cos 0α<，由sin tan cos ααα=得sin cos k αα=，代入22sin cos 1αα+=，得222cos cos 1k αα+=，所以221cos 1k α=+，所以2cos 1k α=+，2sin 1k α=+ 【设计意图】在例题１的基础上，把数值运算提升为字母运算，把公式的直接运算提升为方程思想解题，逐步提升运算求解能力．教师问题２：由变式１，把k 用tan α代回，得到一个恒等式：221cos tan 1αα=+，你能证明吗？学生３：右边222222221111cos 1sin sin cos tan 11cos cos cos αααααααα======+++右边，所以等式成立．学生４：左边22222222222cos cos 1cos cos sin cos sin cos tan 1cos cos ααααααααααα=====+++右边，所以等式成立．【设计意图】由方程得到恒等式，对恒等式寻求证明方法，帮助学生深入理解公式的结构和含义；引出恒等式证明问题，寻求恒等式证明的一般方法——“化同”；在“化同”的一般方法下，引导学生体会“齐次化正切”的特殊方法．环节四：探索新恒等式教师问题：由同角三角函数的基本关系经过一些代数运算，可以得到一些新的恒等式，你能用运算的方法探索出一些恒等式，并给出证明吗？学生：展示各自的结果．【设计意图】开放性的问题激发学生的创新能力和创新意识．在利用基本关系探究恒等式的过程中，让学生不断强化对基本关系的理解，并体验共同学习合作探究的过程．环节五：学生小结归纳，教师点评总结.教师问题：归纳小结一下这节课的主要内容：１．认识了同角三角函数的两个基本关系，得到了利用基本关系求三角函数值的方法，得到了简单的三角恒等式的探索和证明方法；2．体验了从定义出发探索三角函数基本关系的思维过程；【设计意图】归纳梳理本节课主要内容，巩固学到的知识．五、课堂教学目标检测1．教科书第185页第6题，第12题，第13题【设计意图】考查同角三角函数的基本关系．2．教科书第186页第15题【设计意图】考查同角三角函数的基本关系，代数运算能力．3．教科书第186页第18题【设计意图】考查同角三角函数的基本关系，代数运算能力，从特殊到一般的方法．4．写出一些三角恒等式（不同于课上已有的），并给出证明【设计意图】考查同角三角函数的基本关系，代数运算能力．。

同角三角函数的基本关系教学设计

同角三角函数的基本关系教学设计同角三角函数的基本关系教学设计引言在数学中，三角函数是非常重要的概念之一，广泛应用于各个领域，如物理、工程以及计算机图形学等。

同角三角函数是三角函数中的一类特殊函数，它们具有一些基本关系，如正切函数与余切函数、正弦函数与余弦函数等。

掌握同角三角函数的基本关系对于学生理解三角函数的性质以及解决实际问题具有重要意义。

本文将针对同角三角函数的基本关系进行教学设计，以帮助学生更好地掌握这一概念。

1. 教学目标同角三角函数的基本关系教学旨在帮助学生达到以下目标：1) 理解同角三角函数的定义及其关系；2) 掌握同角三角函数的性质和特点；3) 能够应用同角三角函数的基本关系解决实际问题；4) 培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力。

2. 教学内容同角三角函数的基本关系教学内容包括以下几个方面：1) 同角三角函数的定义：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等；2) 同角三角函数的关系：正弦函数与余弦函数、正切函数与余切函数的关系；3) 同角三角函数的性质：周期性、对称性、奇偶性等；4) 同角三角函数的图像及其特点。

3. 教学方法为了帮助学生更好地理解和掌握同角三角函数的基本关系，我们将采用以下教学方法：1) 概念讲解与示例分析：通过讲解同角三角函数的定义及其关系，并结合具体的示例，帮助学生建立起对同角三角函数的基本认识；2) 图像展示与观察：展示同角三角函数的图像，帮助学生观察图像的特点，并与函数的性质进行联系；3) 练习与应用：提供大量的练习题和实际问题，让学生应用所学的同角三角函数的基本关系解决问题，培养学生的数学思维和解决问题的能力；4) 总结与回顾：总结同角三角函数的基本关系，并回顾相关的重要概念和性质，帮助学生对所学知识进行深度理解和灵活运用。

4. 教学步骤基于以上教学方法和内容，我们可以设计以下教学步骤来进行同角三角函数的基本关系教学：步骤1：介绍同角三角函数的定义及其关系。

《同角三角函数的基本关系》教学设计

《同角三角函数的基本关系》教学设计一、教学目标1.知识目标：了解同角三角函数的定义，掌握同角三角函数的基本关系。

2.技能目标：能够根据同角三角函数的定义计算出未知角的正弦、余弦和正切值，能够应用同角三角函数的基本关系解决问题。

3.情感目标：培养学生对数学知识的兴趣，提高学生的数学运算能力和问题解决能力。

二、教学重难点1.教学重点：同角三角函数的概念及其基本关系。

2.教学难点：利用同角三角函数的基本关系计算未知角的值。

三、教学准备1.教具准备：黑板、彩色粉笔、多媒体课件。

2.学具准备：尺子、直角三角板、相关教材。

3.材料准备：课堂练习题。

四、教学过程教学环节一：导入（10分钟）1.教师在黑板上写出同角三角函数的定义，并给出一个已知角度，要求学生根据定义计算出该角度的正弦、余弦和正切值。

2.学生根据题目计算，教师逐个询问学生的计算结果，并将学生的回答记录在黑板上。

3.教师根据学生的回答进行讲解和总结，引出同角三角函数的基本关系。

教学环节二：讲解（20分钟）1.教师利用多媒体课件给出同角三角函数的基本关系的图示，并对每个关系进行解释。

2.教师在黑板上讲解同角三角函数的基本关系的推导过程，并引导学生理解每个关系的几何意义。

3.学生在听讲的同时，可用尺子和直角三角板进行实验验证。

教学环节三：拓展（15分钟）1.教师给出一些例题，要求学生利用同角三角函数的基本关系计算未知角的值，并解决相关问题。

2.学生在黑板上解题，教师逐个引导学生进行讨论和解答。

3.教师根据学生的解答情况进行讲解和总结，巩固同角三角函数的基本关系及其应用。

教学环节四：练习（15分钟）1.教师发放课堂练习题，要求学生独立完成并逐题检查。

2.学生完成练习后，教师逐个核对答案，并解答学生可能存在的疑问。

3.教师根据学生的练习情况进行讲解和总结，培养学生的自主学习能力和问题解决能力。

教学环节五：归纳总结（10分钟）1.教师让学生自由发言，总结同角三角函数的基本关系及其应用。

(完整版)同角三角函数的基本关系教学设计

同角三角函数的基本关系1．教学目标知识与技能目标：通过观察猜想出两个公式，运用数形结合的思想让学生掌握公式的推导过程，理解同角三角函数的基本关系式，掌握基本关系式在两个方面的应用：1）已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值；2）证明简单的三角恒等式。

过程与方法：培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式；通过公式的推导过程培养学生用旧知识解决新问题的思想；通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。

情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

2.教学重点和难点重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。

难点：同角三角函数函数基本关系在解题中的灵活选取及使用公式时由函数值正、负号的选取而导致的角的范围的讨论。

三、学情分析学生刚开始接触三角函数的内容，学习了任意角的三角函数，对这一方面的内容既感到新鲜又感到陌生，很有好奇心，跃跃欲试，学习热情高涨。

四、教法分析与学法分析1．教法分析：采取诱思探究性教学方法，在教学中提出问题，创设情景引导学生主动观察、思考、类比、讨论、总结、证明，让学生做学习的主人，在主动探究中汲取知识，提高能力。

2．学法分析：从学生原有的知识和能力出发,在教师的带领下，通过合作交流,共同探索,逐步解决问题.数学学习必须注重概念、原理、公式、法则的形成过程，突出数学本质。

五、教学过程设计(一)创设情境引入课题()()()________3tan _;__________3cos 3sin ________;3cos 3sin 3________4tan _;__________4cos 4sin ________;4cos 4sin 2________6tan _;__________6cos 6sin _________;6cos 6sin 1.1222222===+===+===+πππππππππππππππ（（（，，猜想它们之间的联系观察它们的关系完成填空设计意图：从具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换2.思考：问题1：从以上的过程中，你能发现什么一般规律？问题2：你能否用代数式表示这两个规律？设计意图：引导学生用特殊到一般的思维来处理问题，通过观察思考，感知同角三角函数的基本关系。