广东省广州市2019-2020学年高二上学期学业水平测试模拟考试数学试题Word版含解析

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广东省2019 2020高中数学学业水平测试学考仿真卷5

52019-2020学年高中数学学业水平测试学考仿真卷广东省)4页90分钟；分值：100分，本卷共(时间：分．在每小题给出的四个选项中，只分，共60本大题共15小题，每小题4一、选择题()有一项符合题目要求bbaa) ( －，＝＝(2，－4)1．向量，则＝(－1,3)3,7) (－．(3,1) B．A1) (1．(3，－7)，－D．C ba]3,7)．＝(－(－1－2,3B [＋－4)＝aaaa) ( ，则＝4，＝{2．等差数列＝}中，5n823109 D．．8 C．A．7 B daaaad10.]＝4＋＋公差为(8＝－－2)＝1，6＝＝[D 232822xxxxxQyyyPyx) ∈N|}＝－，则．已知集合{＝＋|2＝( ＋2－－1，，∈N}1＝{，3QPPQ1} －BA．．∩＝＝?∩{QPPQ N D．C．∩＝＝{0}∩2222xxxxxxxxxx，＝－21＋2－－1＝－1＋2＝－－1得＝0，∵当1＝0由B [时，＋2＋－QP B.] 1}，故选＝{∴－∩) ( ．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是4xxyy．A．cos ＝－＝ B22xyxy＝．＝－DC．52xyxyxy，＋∞)＝(0在(0D [函数，＋∞)上不具有单调性，＝－在是奇函数，＝cos 52xy D.](0上单调递增，，＋∞)上单调递减，故选＝－在π3xxxx)( ＋sin ＝－，且<<π，则tan 的值是5．若cos 25328832 D.．－ B．－ C.A 15151515π3xx<π由题意，知cos ，＝－，且<[B 25x44sin 2xxx，＝＝，则tan 所以sin ＝－＝1－cos x3cos 5844xx.]＝－sin ＋所以tan ＝－＋1553AAGHDABCEFABCD、、中，、分别为6．如图所示，在正方体-、11111GHEFBBBABC)、、( 所成的角等于与的中点，则异面直线111．B．60° A．45°D．120°C．90°GMHEFGMABMGMHM且△∥，的中点.，连接由题意易知，B [如图，取11为正三角形．HGMEFGHGMGH而在正三的夹角∠∴异面直线与与.所成的角即为HGMGMH B.]中∠角形＝60°，故选22BAxy，，－1)＋＝17．过点(3,1)作圆(的两条切线，切点分别为AB)的方程为( 则直线yyxx0 －＝2－3A．2＋B－3＝0 ．yxyx0＋＝4－3C．4D－0－3＝．1kABPCk2＝，∴，A [如图所示：由题意知：＝－⊥，ABPC2yxAByx0.] －∴直线＋的方程为－1＝－2(3－1)，即2＝) 5,7,7,8,10,11的标准差是( 8．数据1．4 C．2 DA．8 B．－ 8，＋11)÷6＝C [这组数据的平均数x＝(5＋7＋7＋8＋1012222222ss2.] ＝]＝4－8)(11＋－－＝[(58)8)＋(7－8)＋(7－8)8)＋(8－，＋(10622yx662ba，，0，0)＞左顶点到一条渐近线的距离为＝9．已知双曲线－1(的离心率为＞22ba32)( 则该双曲线的标准方程为2222yyxx1 B.1－＝A.－＝841682222yxxy1 D.＝1 C.－＝－812161222yx66xycaabe＝＝±，＝2＝，渐近线方程为－0，即2A[，＝，即22bb222a6|2| ，因为左顶点到一条渐近线的距离为＝33ba，＝解得＝22，222yx A.]，故选即该双曲线的标准方程为－＝148cBABCACba) ∶＝( ，则sin 10．在△中，∶＝1∶2，＝1∶ B．3∶2∶1A．1∶2∶3∶23．1∶D ∶1 3．2∶C．CAABCB＝∶1＝1∶2，sin ，D[在△中，CAB可得＝60°，＝30°，＝90°.31CBbcAa∶2.]∶∶sin ∶1＝1∶∴∶sin ∶3∶＝＝sin 222AFFypxCAC，则直线＝211．已知点的焦点为(－2,3)在抛物线的准线上，记抛物线：)的斜率为(32833 D. B. C.A．－154154CA在抛物线[∵点的准线上，(－2,3)App4. ＝∴－＝－2，∴22Fxy，则焦点．∴抛物线的方程为的坐标为＝8(2,0)330－kA.] 2,3)，根据斜率公式得＝又＝－(－AF422＋Saaaaa) ＝( ，那么数列{的前}12．等差数列{中，}7＋项和＋＝12nn753428．26 D．A．22 B．24 C aaaa中，12＋，＋D[∵等差数列{＝}n543aaaaa 4＝12∴，解得＋，＋3＝＝44354aaa7×2?7?＋417aS28.]＝＝＝7∴＝4722yx≤8，2＋??yx?≤9，＋3zxyxy的最大值为( 13．若，2满足则)＝＋??yx≥0，≥0，6．．8 C．7 D．A9 BC[在直角坐标系内，画出可行域为图中阴影部分，xxy，＝＝8，23＋????A(3,2)联立．解得即??yxy，＝＝，＋329????xzxyyzxy. ＝－＋将＝2＋，作直线变为＝－222zzlAz＝＝由图可知，当直线移动到点(3,2)时，有最大值，此时37＋2×2＝，故maxmax7.]→→BCABCDBD) 等于( 1，则 14．若正方形·的边长为22 A.2 D B．．1 C.22→→→→→→BCBCBDABCDBDBCBD＝|cos〈B[因为正方形×1×的边长为1，所以，·〉＝＝|2||21.]1BabAABCABCabc，则)＝，2的对边分别为，，cos(，＝，若＋＝15．在△3中，角，，3c)＝(17．4 B.15 CA3 D.．1222CabcBabCA－4＝－2＝－cos(9＋)＝－.又由余弦定理得cos ＝＋D[cos ＋31????c－＝2×3×2×17，所以17.] ＝??3二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中横线上)z＋1zz|等于________．满足＝i，则16．设复数|z－12?i1－i－1－?zzzzz1.]＝＝i，∴||i|＝i)i－1，|1 [1＋＝＝i(1－＝)，＝(1＋2i1＋x1－x<22e，??fffx(2)))＝的值为________(． 17．设，则(?2xx≥2－1?log?，??312－1ffff(1)＝2e＝＝(2))＝2.](log(22 [－(1))3________.＝＋log418．计算：log12222.]＋2×1＝2＝02＝log1＋2log2 [原式＝log1＋log222222yxaaxbybxy，则41＝＋0＋2－4 19.若直线2截得的弦长为－＝＋20(＋＞0，0)＞被圆11 ．＋的最小值为________ba22yx，4，半径为2，若直线被截得弦长为2)＝4，圆心为(－4[圆方程为(＋＋1)(1,2)－baba＝0，∴1＋说明圆心在直线上，即－2，－2＝＋2ab1111????ba＋，2＝4＋2)＝＋＋∴＝＋≥2＋(ba??baababab时，等号成立．]＝，即＝当且仅当ba三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)人，用分层抽样的方法从该班30人，其中男同学50某班有学生)分12本小题满分(．20．抽取5人去参加某社区服务活动．(1)求从该班男女同学中各抽取的人数；(2)从抽取的5名同学中任选2名谈对此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率．30[解] (1)抽取的5人中男同学的人数为5×＝3(人)，女同学的人数为5－3＝2(人)．50AAABB.名女同学为，，(2)记3名男同学为2，223,11AAAAABABAAABAB，，人中随机选出从52名同学，所有可能的结果有，，，，，23112221131212ABABBB，共10，，个．223311CC中的结果有6用个，它们表示“选出的两名同学中恰有一名男同学”这一事件，则ABABABABABAB，是，，，，，21122312123163CP＝＝所以选出的两名同学中恰有一名男同学的概率(. )105PABPABPABCD⊥平面是正三角形，且平面的底面是矩形，侧面21．如图，已知四棱锥-ABCDEPAACBDM.是与的中点，，的交点为PCEBD；∥平面(1)求证：BEAED.⊥平面(2)求证：EM, ABCD是矩形，∵四边形(1)连接[证明]ACM∴为的中点．PAE是的中点，∵PACEM是三角形的中位线，∴PCEM.∥∴EBDPCEMEBD平面，，?∵?平面EBDPC.∴∥平面ABPABABCDPABABCD∩平面(2)∵平面⊥平面，，平面＝PABADADAB而⊥平面⊥，，∴PABBE，∵平面?BEAD.∴⊥PAEPAB是又∵△的中点，是等边三角形，且AED.平面⊥BE，∴A＝AD∩AE又AE, ⊥BE∴．。

广东省实验中学2019_2020学年高二数学上学期开学摸底考试试题(含解析)

广东省实验中学2019-2020学年高二数学上学期开学摸底考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.下列六个关系式：①{a,b}{b,a}；②{a,b}={b,a}；③{0}=∅；④0∈{0}；⑤∅∈{0}；⑥∅{0}；其中正确的个数为（）A. 6个B. 5个C. 4个D. 少于4个2.若=（1，2），=（1，0）则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D. 13.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A. ,B. ,C. ,D. ,4.设a，b∈R，下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.5.下列四条直线，其倾斜角最大的是（）A. B. C. D.6.使数列的自然数n的最小值为（）A. 8B. 9C. 10D. 117.将函数y=cos x+sin x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A. B. C. D.8.在直角坐标平面上，点P（x，y）的坐标满足方程x2-2x+y2=0，点Q（a，b）的坐标满足方程a2+b2+6a-8b+24=0则的取值范围是（）A. B.C. D.9.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，∠ACB=90°，BC=CC1=1，，P为BC1上的动点，则CP+PA1的最小值为（）A.B.C. 5D.10.已知函数f（x）=，则方程f（x+-2）=a（a∈R）的实数根个数不可能（）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个11.若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.12.数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心（外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点B（-1，0），C（0，2），AB=AC，则△ABC的欧拉线方程为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.过△ABC所在平面α外一点，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．若PA=PB=PC，则点O是△ABC的______ 心．14.圆心为两直线x+y-2=0和-x+3y+10=0的交点，且与直线x+y-4=0相切的圆的标准方程是______．15.已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根，α是第三象限角，则•tan2（π-α）=______．16.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数，他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测b2020是数列{a n}中的第______项．三、解答题（本大题共6小题）17.设直线l的方程为（a-1）x+y+a+3=0，（a∈R）．（1）若直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线l的方程；（2）若直线l不经过第一象限，求实数a的取值范围．18.在等差数列{a n}中，a10=18，前5项的和S5=-15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和的最小值，并指出何时取最小．19.设向量=（λ+2，λ2-cos2α），=（m，+sinαcosα），其中λ，m，α为实数．（1）若α=，求||的最小值；（2）若=2，求的取值范围．20.一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为xcm的内接圆柱．（1）求圆锥的侧面积．（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．21.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．（1）求证：EF∥面BCC1B1；（2）求证：BE⊥面AB1C1；（3）在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1，证明你的结论．22.对函数Φ（x），定义f k（x）=Φ（x-mk）+nk（其中x∈（mk，m+mk]，k∈Z，m＞0，n＞0，且m、n为常数）为Φ（x）的第k阶阶梯函数，m叫做阶宽，n叫做阶高，已知阶宽为2，阶高为3．（1）当Φ（x）=2x时①求f0（x）和f k（x）的解析式；②求证：Φ（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线；（2）若Φ（x）=x2，则是否存在正整数k，使得不等式f k（x）＜（1-3k）x+4k2+3k-1有解？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了元素与集合关系的判断，以及集合子集的判定，属于基础题．本题利用元素与集合的关系进行判断，以及集合自身是自身的子集、空集是任何集合的子集进行判定即可．【解答】解：根据集合自身是自身的子集，可知①正确；根据集合无序性可知②正确；集合{0}中含有1个元素，不是空集，可知③不正确；根据元素与集合之间可知④正确；根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确；根据空集是任何集合的子集可知⑥正确．故选C．2.【答案】A【解析】解：∵；∴．故选：A．根据向量的坐标即可求出，从而可求出向量与夹角的余弦值．考查根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的坐标运算，以及向量夹角的余弦公式．3.【答案】A【解析】解：对于A．f（x）=2x-1，g（u）=2u-1，定义域相同均为R，对应法则一样，故A中两个函数表示同一函数；对于B．y=x0=1（x≠0）与y=1（x∈R），两个函数的定义域不一致，故B中两个函数不表示同一函数；对于C．y=x2，（x∈R）与y=x=x|x|（x∈R），两个函数的定义域一致，对应法则不一样，故C中两个函数不表示同一函数；对于D．y=x-1与y=，y==|x-1|，两个函数的解析式不一致，故D中两个函数不表示同一函数．故选：A．只要两函数的定义域相同，对应关系相同即可，与自变量用哪一个符号表示没有关系．就是相同的函数，对选项一一加以判断即可得到答案．本题考查的知识点是判断两个函数是否为同一函数，熟练掌握判断两个函数是否为同一函数的方法，正确理解两个函数表示同一函数的概念是解答本题的关键．4.【答案】A【解析】解：A：将不等式转化为a2-2a+3=（a-1）2+2＞0恒成立，A对．B：a2+b2≥0，B错C：将不等式转化为a2（a-b）+b2（b-a）=（a-b）（a2-b2）=（a-b）2（a+b）不一定大于等于0，C错．D：如果想要用基本不等式，需要满足a＞0，D错．故选：A．利用不等式的基本性质即可判断出．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，关键是掌握直线的斜率与倾斜角的关系．根据题意，依次分析选项，求出所给直线的斜率，比较其倾斜角的大小，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、x+2y+3=0，其斜率k1=-，倾斜角θ1为钝角，对于B、2x-y+1=0，其斜率k2=2，倾斜角θ2为锐角，对于C、x+y+1=0，其斜率k3=-1，倾斜角θ3为135°，对于D、x+1=0，倾斜角θ4为90°，而k1＞k3，故θ1＞θ3，故选：A．6.【答案】D【解析】解：令数列前n项积为T n，则T n==，令，即n2+n＞110当n=10时，n2+n=110，当n=11时，n2+n＞110故选：D．令数列前n项积为T n，则T n=，令，可得答案．本题考查的知识点是数列的概念，等差数列求和，难度中档．7.【答案】C【解析】解：将函数y=cos x+sin x=2sin（x+）（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后得到y=2sin（x+m+），所得到的图象关于y轴对称，则m+=kπ+，k∈Z，即m=kπ+，故m的最小值为；故选：C．利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得m的最小值本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题8.【答案】B【解析】解：由x2-2x+y2=0得（x-1）2+y2=1，即P的轨迹是以B（1，0）为圆心半径为1的圆，由a2+b2+6a-8b+24=0得（a+3）2+（b-4）2=1，即Q的轨迹是以A（-3，4）为圆心半径为1的圆，的几何意义为PQ的斜率，由图象知，PQ斜率的最值为两圆的内公切线，A，B的中点C（-1，2），设PQ的斜率为k，则过C的内公切线方程为y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0，圆心B的直线的距离d==1，平方得4k2+8k+4=1+k2，即3k2+8k+3=0，得k===，即斜率的最大值为，最小值为，即的取值范围是[，]，故选：B．利用配方法，求出P，Q的轨迹，结合两点斜率公式得到的几何意义为PQ的斜率，利用数形结合得到斜率的最大值和最小值对应两圆的内公切线，结合直线和圆相切的等价条件求出斜率即可．本题主要考查直线和圆相交的位置关系的应用，利用两点斜率的几何意义，转化为求出两圆内公切线斜率问题是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．9.【答案】C【解析】解：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．BC1=，A1C1=，A1B=，通过计算可得∠A1C1P=90°又∠BC1C=45°∴∠A1C1C=135°由余弦定理可求得A1C===5．故选：C．连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，不难看出CP+PA1的最小值是A1C 的连线，由余弦定理即可求解．本题考查棱柱的结构特征，余弦定理的应用，考查学生的计算能力，是中档题．10.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=，即f（x）=．因为当f（x）=1时，x=1或3或或-4，则当a=1时，x+-2=1或3或或-4，又因为x+-2≥0或x+-2≤-4，所以，当x+-2=-4时只有一个x=-2与之对应．其它情况都有2个x值与之对应，故此时所求的方程有7个根，当1＜a＜2时，y=f（x）与y=a有4个交点，故有8个根；当a=2时，y=f（x）与y=a有3个交点，故有6个根；综上：不可能有5个根，故选：A．以f（x）=1的特殊情形为突破口，解出x=1或3或或-4，将x+-2是为整体，利用换元的思想方法进一步讨论．本题重点考查了分段函数、函数的零点等知识，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：由题意，，解①得：a＜-1或a＞0；由②得：＜0，令，则（1-t）2-2（2+t）（t-1）＜0，得t2+4t-5＞0，解得t＜-5或t＞1，则＜-5或＞1，则0＜＜或＞2．即＜a＜0或0＜a＜1．综上，实数a的取值范围为．故选：A．由题意可得，再由对数式的运算性质变形，然后求解对数不等式得答案．本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，训练了对数不等式的解法，属难题．12.【答案】D【解析】【分析】由于AB=AC，可得：△ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC的垂直平分线上，求出线段BC的垂直平分线，即可得出△ABC的欧拉线的方程．本题考查了欧拉线的方程、等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：由于AB=AC，可得：△ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC的垂直平分线上，设线段BC垂直平分线的斜率为k，则kk BC=-1，∴k×=-1，∴k=，又BC中点坐标为（，1），∴△ABC的欧拉线的方程为：y-1=-，整理得：2x+4y-3=0故选：D．13.【答案】外【解析】证明：点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥α，垂足为O，若PA=PB=PC，故△POA，△POB，△POC都是直角三角形∵PO是公共边，PA=PB=PC∴△POA≌△POB≌△POC∴OA=OB=OC故O是△ABC外心故答案为：外．点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥α，垂足为O，若PA=PB=PC，可证得△POA≌△POB≌△POC，从而证得OA=OB=OC，符合这一性质的点O是△ABC外心．本题考查三角形五心，求解本题的关键是能够根据题设条件得出PA，PB，PC在底面上的射影相等，以及熟练掌握三角形个心的定义，本题是一个判断形题，是对基本概念的考查题．14.【答案】（x-4）2+（y+2）2=2【解析】解：联立，解得，∴圆心坐标为：（4，-2）．∵圆与直线x+y-4=0相切，∴圆心（4，-2）到直线x+y-4=0的距离为，∴圆的半径为．∴圆的标准方程为（x-4）2+（y+2）2=2，故答案为：（x-4）2+（y+2）2=2．直接联立方程组求两条直线交点的坐标，即为圆心坐标，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y-4=0的距离，也就是所求圆的半径，然后直接写出圆的标准方程．本题考查了两条直线交点的求法，考查了直线和圆的位置关系，直线和圆相切，则圆心到切线的距离等于圆的半径，此题是中档题．15.【答案】-【解析】解：解得方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-，x2=2，由于α是第三象限角，∴sinα=-，则cosα=-，∴•tan2（π-α）=•tan2α=•tan2α=-tan2α=-==-．故答案为：-．求解方程的根，再由角所在的象限确定角的正弦值，进而求出它的余弦值，利用诱导公式把所求的式子进行化简，把此角的正弦值和余弦值代入进行求解．本题的考点是诱导公式和平方关系的应用，注意利用角所在的象限和诱导公式的口诀，正确确定三角函数值的符号，对于符号问题是易错的地方，需要认真和细心．16.【答案】5050【解析】解：根据题意，由图可得：a1==1，a2==3，a3==6，……依此类推：a n=，其中当n=4，5，9，10，14，15，19，20，24，25，29，30……时，a n可以被5整除，即数列{a n}中每10项有4项能被5整除，又2020=4×505，b2020是数列{a n}中第5050项；故答案为：5050．根据题意，分析数列an的通项公式，进而分析可得当n=4，5，9，10，14，15，19，20，24，25，29，30……时，a n可以被5整除，即数列{a n}中每10项有4项能被5整除，据此分析可得答案．本题考查归纳推理的应用，关键是分析数列的变化规律，属于基础题．17.【答案】解：（1）a=1时，直线化为y+4=0，不符合条件，应舍去；当a≠1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点（0，-a-3），（，0）．∵直线l在两坐标轴上的截距绝对值相等，∴||=|-a-3|，解得a=-3或a=0，a=2．∴直线l的方程为：-4x+y=0，-x+y+3=0或x+y+5=0．（2）直线l的方程（a-1）x+y+a+3=0化为y=-（a-1）x-a-3．∵直线l不经过第一象限，∴，解得a≥1．∴实数a的取值范围是a≥1．【解析】（1）a=1时，直接验证；当a≠1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点（0，-a-3），（，0）．根据直线l在两坐标轴上的截距绝对值相等即可得出．（2）直线l的方程（a-1）x+y+a+3=0化为y=-（a-1）x-a-3．由于直线l不经过第一象限，可得，解得即可．本题考查了直线的截距式、直线的斜率与截距的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵等差数列{a n}中，a10=18，前5项的和S5=-15，∴解得a1=-9，d=3，∴a n=3n-12．（2）∵a1=-9，d=3，a n=3n-12，∴==-，∴当n=3或4时，前n项的和S n取得最小值S3=S4=-18．【解析】（1）由等差数列{a n}中，a10=18，前5项的和S5=-15，，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由a1=-9，d=3，a n=3n-12，知=-，由此能求出当n=3或4时，前n项的和S n取得最小值S3=S4=-18．本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意配方法的合理运用．19.【答案】解：（1）当a=时，=（m，+），∴||2=m2++=（m2+m）+=（m+）2+，∴||=（2）∵=2，向量=（λ+2，λ2-cos2α），=（m，+sinαcosα），∴λ+2=2m，λ2-cos2α=m+sin2α∴4m2-9m+4=sin2α+cos2α=2sin（2α+），∵-2≤2sin（2α+）≤2，∴-2≤4m2-9m+4≤2，解得≤m≤2而=2-，∴∈[-6，1]【解析】（1）根据向量的模的定义和二次函数的性质即可求出，（2）根据=2，结合三角函数的恒等变换，求出m的取值范围，再求的取值范围即可．本题考查了平面向量的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，还考查了求函数的最值问题，是综合题．20.【答案】解：（1）圆锥的母线长为=2（cm），∴圆锥的侧面积S1=π×2×2=4π（cm2）．…（6分）（2）画出圆锥的轴截面如图所示：设圆柱的底面半径为r cm，由题意，知=，∴r=，∴圆柱的侧面积S2=2πrx=（-x2+6x）=-[（x-3）2-9]，∴当x=3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6πcm2．…（12分）【解析】（1）求出母线长，然后求解侧面积；（2）设圆柱的底面半径为r cm，求出r=，得到圆柱的侧面积S2的表达式，然后求解最大值．本题考查圆柱的轴截面的面积的求法，考查轴截面面积的最大值的求法，解题时要注意空间思维能力的合理运用．21.【答案】证明：（1）因为E，F分别为线段AC1，A1C1的中点，所以EF∥A1A．因为B1B∥A1A，所以EF∥B1B．又因为EF⊄平面BCC1B1，B1B⊂BCC1B1，所以EF∥面BCC1B1．（2）因为BC⊥BC1，AB⊥BC，AB∩C1B=B，所以BC⊥平面ABC1．因为BE⊂平面ABC1，所以BE⊥BC．又因为BC∥B1C1，所以BE⊥B1C1．因为AB=BC1，E为AC1的中点，所以BE⊥AC1．因为AC1∩B1C1=C1，所以BE⊥面AB1C1．（3）取BC1中点为G，连接GE、GF，又因为E为AC1的中点，所以GE∥AB．因为EG⊄平面A1B1BA，AB⊂平面A1B1BA，所以EG∥平面A1B1BA．同理可证：EF∥平面A1B1BA．又因为EF∩EG=E，所以平面EFG∥平面ABB1A1．所以在线段BC1上是存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1．【解析】（1）由题意可得：EF∥A1A，所以可得EF∥B1B，再根据线面平行的判定定理可得线面平行．（2）根据题意可得：BC⊥平面ABC1，进而得到BE⊥BC，即得到BE⊥B1C1，因为AB=BC1，E为AC1的中点，所以BE⊥AC1，由线面垂直的判定定理可得线面垂直．（3）取BC1中点为G，连接GE、GF，由题意可得：GE∥AB，所以EG∥平面A1B1BA．同理可证：EF∥平面A1B1BA．再根据面面平行的判定定理可得面面平行．解决此类问题的关键是熟练掌握有关线线、线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理．22.【答案】解：（1）①f0（x）=Φ（x））=2x，x∈（0，2]；f k（x）=Φ（x-2k）+3k=2x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z．②∵f k（x）=2x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z是增函数，∴Φ（x）的第k阶阶梯函数图象的最高点为P k（2k+2，4+3k），第k+1阶阶梯函数图象的最高点为P k+1（2k+4，7+3k），所以过P k、P k +1这两点的直线的斜率为k=．同理可得过P k+1、P k +2这两点的直线的斜率也为．所以，Φ（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线．（2）若Φ（x）=x2，则f k（x）=（x-2k）2+3k，f k（x）＜（1-3k）x+4k2+3k-1⇔（x-2k）2+3k＜（1-3k）x+4k2+3k-1，整理得出x2-（k+1）x+1＜0．当k=1时，x2-2x+1＜0无解，当k≥2时，x2-（k+1）x+1＜0，得出①又根据x∈（2k，2k+2]，k∈Z②又根据，①②无公共部分，即不存在正整数k满足题意．【解析】（1）利用题目中给出的阶梯函数的定义解决该类问题．关键要理解阶梯函数的定义以及一些字母和符号的含义．为求解函数解析式做准备，证明共线只需说明各点连线的斜率相等；（2）掌握探究性问题的解决方法，要假设存在正整数，寻找相应的关系式进行求解或说明．本题考查新定义型问题的解决方法，属于创新题型．关键要理解阶梯函数的定义，然后写出该函数的解析式，利用单调性写出该函数的最值．掌握探究性问题的研究方法，先假设存在，再寻找字母满足的关系式，进行求解和判断．11。

广东省2019_2020学年高中数学学业水平测试学考仿真卷1

广东省2019-2020学年高中数学学业水平测试学考仿真卷1(时间：90分钟；分值：100分，本卷共4页)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，m,3}，如果A ∩B ＝A ，那么实数m 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．2 D ．4C [∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .∵A ＝{1,2}，B ＝{1，m,3}，∴m ＝2.] 2．下列函数中，与函数y ＝1x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1xB ．y ＝xC ．y ＝x －2D ．y ＝ln xD [函数y ＝1x的定义域是(0，＋∞)，A 中的定义域是{x |x ≠0}，B 中的定义域是{x |x ≥0}，C 中的定义域是{x |x ≠0}，D 中的定义域是(0，＋∞)，故选D.]3．复数z ＝21－i ＋2＋i 的虚部是( )A ．3B ．2C ．2iD ．3iB [依题意z ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＋2＋i ＝1＋i ＋2＋i ＝3＋2i ，故虚部为2，所以选B.]4．“sin A ＝12”是“A ＝30°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件B [因为sin 30°＝12，所以“sin A ＝12”是“A ＝30°”的必要条件．又150°，390°等角的正弦值也是12，故“sin A ＝12”不是“A ＝30°”的充分条件．故“sin A ＝12”是“A ＝30°”的必要不充分条件．]5．已知直线的点斜式方程是y －2＝－3(x －1)，那么此直线的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6C [因为k ＝tan α＝－3，α∈[0，π)，所以α＝2π3.] 6．若点A (2,22)在抛物线C ：y 2＝2px 上，记抛物线C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A.24 B.423 C ．2 2 D.223C [将A 坐标代入抛物线方程得(22)2＝2p ·2，p ＝2，故焦点坐标F (1,0)，直线AF 的斜率为22－02－1＝22，故选C.]7．已知a ＝(－2,2)，b ＝(x ，－3)，若a ⊥b ，则x 的值为( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3D [a ·b ＝－2x －6＝0，解得x ＝－3.]8．在同一直角坐标系xOy 中，函数y ＝cos x 与y ＝－cos x 的图象之间的关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于直线y ＝x 对称 D ．关于直线y ＝－x 对称A [由于当自变量相同时，它们的函数值相反，故它们的图象关于x 轴对称，故选A.] 9．三个数a ＝0.62，b ＝log 20.6，c ＝20.6之间的大小关系是( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜aC [易知0<a <1，b <0，c >1，故c >a >b .]10．在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 7成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n 等于( )A ．nB ．n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋1B [S 7＝12×7×(a 1＋a 7)＝7a 4＝35，故a 4＝5，又a 23＝a 1a 7，即(5－d )2＝(5－3d )(5＋3d )，即d ＝1，故a n ＝a 4＋(n －4)d ＝n ＋1.]11．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0，则z ＝2x ＋4y ＋1的最小值是( )A ．－14B ．1C ．－5D ．－9A [作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5≥0x －y ≤0y ≤0表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z ＝2x ＋4y ＋1可得y ＝－12x ＋z 4－14，则z4－14表示直线y ＝－12x ＋z 4－14在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，当y ＝－12x ＋z 4－14经过点A 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0x －y ＝0，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－52，此时z ＝－2×52－4×52＋1＝－14，故选A.]12．圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5C [r 2＝(1－0)2＋(2－0)2＝5，故圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.] 13．当x >4时，不等式x ＋4x －4≥m 恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥8 B．m >8 C ．m ≤8 D．m <8 C [x ＋4x －4＝x －4＋4x －4＋4≥2(x －4)×4x －4＋4＝8，故m ≤8.] 14．已知函数f (x )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2A [f (1)＝12＋1＝2，f (－1)＝－f (1)＝－2.]15．某学校举办校园演讲大赛，如图为七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，要求去掉一个最高分和一个最低分点，求出所剩数据的平均数和方差为( )789⎪⎪⎪94 4 6 4 73A ．84,4.84B ．84,1.6C ．85,4D ．85,1.6D [平均数x －＝84＋84＋84＋86＋875＝85，方差为15[(84－85)2＋(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.]二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中横线上)16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，则该双曲线的离心率为________．2 [由于双曲线的一条渐近线为y ＝3x ，故b a ＝ 3.所以双曲线离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2.]17．函数f (x )＝12－cos 2π4－x 的单调递增区间是________．k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) [f (x )＝12－cos 2π4－x ＝12－1＋cos π2－2x2＝－12sin 2x ，即求12sin 2x 的单调递减区间． ∵2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，∴k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )．]18．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为________．25[基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个，其中第一张大于第二张的有10个，所以P ＝1025＝25.]19．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为________．12 [不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，右焦点的坐标为(c,0)，上顶点的坐标为(0，b )，则l ：x c ＋yb＝1，即bx ＋cy －bc ＝0. 由bc b 2＋c 2＝14×2b ，得3c 2＝b 2. 又b 2＝a 2－c 2，所以a ＝2c ，故e ＝12.]三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 20．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且2a sin B cos A －b sin A ＝0， (1)求A ；(2)当sin B ＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6取得最大值时，试判断△ABC 的形状．[解] (1)由正弦定理a sin A ＝bsin B 得a sin B ＝b sin A ≠0，又2a sin B cos A －b sin A ＝0，∴2cos A ＝1，即cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵A ＝π3，∴B ＝2π3－C ，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－C ＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝32cos C ＋12sin C ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin C －12cos C ＝2sin C ， ∵0<C <2π3，∴当C ＝π2时，取得最大值，∴△ABC 是直角三角形．21．(本小题满分12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ，E 是PD 的中点．求证：(1)PB ∥平面EAC ； (2)平面PDC ⊥平面PAD .[证明] (1)连接BD 交AC 于O ，连接EO ，则EO 是△PBD 的中位线，∴EO ∥PB .又PB ⊄平面EAC ，EO ⊂平面EAC ，∴PB ∥平面EAC .(2)∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD . ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ⊥CD . 而PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD . 又CD ⊂平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面PAD .。

2019-2020学年广东省普通高中高二1月学业水平二模考试数学试卷及解析

2019-2020学年广东省普通高中高二1月学业水平二模考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题：本大题共15个小题,每小题4分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()2,4a =,()1,1b =-,则2a b -=（）A. ()5,7B. ()5,9C. ()3,7D. ()3,9 【答案】A【解析】因为2(4,8)a =,所以2(4,8)(1,1)a b -=--=（5,7）,故选A.2.复数123i i-+在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】利用复数的除法可得1152313i i i ---=+,从而得到该复数对应的点在复平面中的位置. 【详解】因为()()()()12311523232313i i i i i i i -----==++-,故复数123i i-+在复平面内对应的点的坐标为15,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭,它在第三象限, 故选：C.3.公差不为零的等差数列{}n a 中,12513a a a ++=,且1a 、2a 、5a 成等比数列,则数列{}n a 的公差等于（）．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】设公差为d,则由12513a a a ++=和1a 、2a 、5a 成等比数列知211113513,()(4)a d a d a a d +=+=+,11135(2)13,1,2a a a d ∴+=∴==.4.已知集合{|1}A x x =>,{|1}B x ax =>,若B A ⊆,则实数a的取值范围（） A. (0,1)B. (0,1]C. [0,1]D. [0,1)【答案】C【解析】就0,0,0a a a =><分类讨论后可得实数a 的取值范围.【详解】当0a =时,B =∅,此时B A ⊆,故0a =满足. 当0a >时,1{|}B x x a=>,因为B A ⊆,故11a ≥即01a <≤. 当0a <时,1{|}B x x a=<,此时B A ⊆不成立, 综上,01a ≤≤.故选：C.5.函数()f x =的定义域是（） A. 4(,)3+∞ B. 5(,)3-∞ C. 45(,)33D. 45(,]33 【答案】C【解析】根据解析式有意义可得自变量满足的不等式组,其解集即为所求的定义域.【详解】由题设可得0.5log (34)0340x x ->⎧⎨->⎩,解得4533x <<,故函数的定义域为45,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2（*,2n N n ∈≥,n偶数）中,0a ≥；。

广东省2019-2020学年度高中学业水平考试数学模拟试卷(无答案)

广东省2019——2020学年度高中学业水平考试数学模拟试卷一、选择题1．已知集合{}2468A =，，，，B={|x y =，则A B ⋂=（）A. {}2B. {}2,4C. {}2,4,6D. ∅2．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i3．已知向量))(,6(),3,2(R m m b a ∈-=-=，若=⊥m b a 则,（） A.-4 B. 4 C. -3 D. 34．已知两条直线1:10l ax y ++=与2:10l x ay ++=互相平行，则a = ( ) A. 1± B. -1 C. 1,0 D. -1,05．为了得到函数x y 3sin =的图象，只需将函数⎪⎭⎫⎝⎛-=43sin πx y 的图象上所有的点 A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位 6．已知ln πx =， 51log 2y =， 12e z -=，则（）． A. x y z << B. z x y << C. z y x << D. y z x <<7．已知cos α=﹣，且α是钝角，则tan α等于（） A．B．C．﹣D．﹣8．已知实数满足条件⎪⎩⎪⎨⎧>≤+≥+02222x y x y x ,则x y 的最小值为( )A.B.C.D.9. 执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．710．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x11.已知函数)sin()(ϕω+=x A x f ),0,0(πϕπω<<->>A 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为( )图 1A ．)421sin(2)(π+=x x f B ．)4321sin(2)(π+=x x fC ．)421sin(2)(π-=x x fD ．)4321sin(2)(π-=x x f12. 若命题“∃x 0∈R,x 20＋(a －1)x 0＋1<0”的否定是假命题,则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．(－1,3)C ．(－∞,－1]∪[3,＋∞)D ．(－∞,－1)∪(3,＋∞)13.已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为4，其前n 项和为n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1 的前n 项和为( ).A.2(1)n n +B.12(1)n n +C.2(1)n n +D.21nn +14.f （x ）=e x ﹣x ﹣2在下列那个区间必有零点（）A ．（﹣1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）15.圆22220x y x y +--=上的点到直线20x y ++=的距离最大为（）A B ．．．2+ 二、填空题 16.函数f （x ）=的定义域为．17. 若函数()()log 1(0a f x x m a =++>,且1a ≠)恒过定点()2,n , 则m n +的值为 .18.已知C ∆AB 中，角A .B .C 的对边分别为a .b .c ，且2a =，135∠B =，C 4S ∆AB =，则b = ． 19.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。

广东省广州市荔湾区2019-2020学年高二上学期期末教学质量监测文科数学试题Word版含答案

广东省广州市荔湾区2019-2020学年上学期期末教学质量监测高二文科数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．双曲线221169x y -=的渐近线方程为 A ．43y x =±B ．34y x =±C ．916y x =±D ．169y x =± 2．命题“如果22b a x +≥，那么ab x 2≥”的逆否命题是 A. 如果22b a x +<，那么ab x 2< B. 如果22b a x +≥，那么ab x 2< C. 如果ab x 2<，那么22b a x +< D. 如果ab x 2≥，那么22b a x +≥3．根据给出的程序框图（如右图），计算(1)(2)f f -+= A ．0 B ．1 C ．2 D ．44．某学校共有教师120人，老教师、中年教师、青年教师的比例为3:4:3，其中青年男教师24人. 现用分层抽样的方式从该校教师中选出一个30人的样本，则被选出的青年女教师的人数为 A ．12 B ．6 C ．4 D ．35．为了测试班级教学的实践效果，王老师对A 、B 两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A 、B 两班学生的平均成绩分别为A x ，B x ，A 、B 两班学生成绩的方差分别为2A s ，2B s ，则观察茎叶图可知A ．A x <B x ，2A s <2B s B ．A x >B x ，2A s <2B sC ．A x <B x ，2A s >2B sD ．A x >B x ，2A s >2B s（第5题图）（第3题图）6．设1F 是椭圆22194x y +=的一个焦点，AB 是经过另一个焦点 2F 的弦，则1AF B △的周长是A ．12B ．8C ．6D ．47．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和等于9的概率为 A ．14B ．16C ．19D ．1128．港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100 km/h. 现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出频率分布直方图（如右图）.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90 km/h 的概率分别为A. 85，0.25B. 90，0.35C. 87.5，0.25D. 87.5，0.359．函数y =()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是A ．0(1)(2)(2)(1)f f f f ''<<<-B ．0(1)(2)(1)(2)f f f f ''<<-<C ．0(2)(2)(1)(1)f f f f ''<<-<D ．0(2)(1)(2)(1)f f f f ''<<<- 10．函数321()3f x x x ax =+-在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．[1,)-+∞ B. (,1]-∞- C. (1,)-+∞ D. (,1)-∞-11．设命题:p 函数()22x xf x -=+在R 上单调递增，命题:q 在△ABC 中，A B >是sin sin A B >的充要条件．则下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝(km/h)（第8题图）（第9题图）12．1F 、2F 为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，过1F 作x 轴的垂线与双曲线交于M ，N 两点，27cos 8MF N ∠=，则C 的离心率为 AB ．32CD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知命题:p “22xx x ∃∈≥N ,”，则:p ⌝________________． 14．执行如图所示的程序框图，那么输出S 的值是________． 15．已知{}(,)||2,||2M x y x y =≤≤，点P 的坐标为(,)x y ，当P M ∈时，则x , y 满足22(2)(2)4x y -+-≥的概率为___．16．抛物线24x y =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，O 为坐标原点．△OPF 的外接圆与抛物线的准线相切，则此外接圆的半径为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知抛物线:C 22y px =经过点(1,2)M ．（1）求C 的标准方程和焦点坐标；（2）斜率为1的直线l 经过抛物线C 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB的长．18．（12分）某电视台为宣传本市，随机对本市内岁的人群抽取了人，回答问题“本市内著名旅游景点有哪些” ，统计结果如图表所示.（第14题图）（1）分别求出的值；（2）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数(保留小数点后两位)和平均数；（3）若第1组回答正确的人员中，有2名女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少抽中1名女性的概率.19．（12分）设函数32()41f x x ax x =+++在2x =-时取得极值．（1）求实数a 的值；（2）求函数()f x 在区间[3,0]-上的最值．20．（12分）下图是某公司2001年至2017年新产品研发费用y （单位：万元）的折线图．为了预测该公司2019年的新产品研发费用，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2001年至2017年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,…,17）建立模型①：ˆ218.2y t =-+；根据2011年至2017年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,…,7）建立模型②：ˆ5311.5yt =+．年份研发费用12010080406020201720152013201120092007200520032001O 681217192224293138647786101110120135（1）分别利用这两个模型，求该公司2019年的新产品研发费用的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．21．（12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．直线l 与C 交于A ，B 两点，点1F 是C 的左焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若l 过点1F 且不与x 轴重合，求AOB △面积S 的最大值．22．（12分）已知函数21()1ax f x x -=+，a ∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1a =，证明：当[1,)x ∈+∞时，ln ()2xf x ≤．广东省广州市荔湾区2019-2020学年上学期期末教学质量监测高二文科数学试题参考答案说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题.（每小题5分，共12小题，共60分）二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13．2,2xx x ∀∈<N 14．12 15．1616π- 16． 32三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.（本小题满分10分）解：（1）由已知抛物线经过点(1,2)M ，代入22y px =得222p = 2p = ……………………………2 分所以抛物线C 的标准方程为 24y x = …………………3 分所以抛物线的焦点为(1,0) …………………4 分（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由已知得直线l 的方程为 1y x =- …………………5 分联立方程214y x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2610x x -+= …………………7 分解得13x =+23x =-…………………8 分所以 126x x +=（也可以由韦达定理直接得到126x x +=） ………………………9 分于是 1228AB x x =++= …………………………………………10 分 18.（本小题满分12分）解：(1) 由频率表中第组数据可知,第组的人数为,再结合频率分布直方图可知, ………………1分,………………2分, ………………3分………………4分(2) 设中位数为,由频率分布直方图可知,且有, ………………5分解得………………6分故估计这组数据的中位数为;估计这组数据的平均数为()()()200.01010300.02010400.03010x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()()500.02510600.03010+⨯⨯+⨯⨯ ………………7分2+6+12+12.5+9==41.5 ………………8分(3)由(1)知5a =,则第一组中回答正确的人员中有3名男性,2名女性.男性分别记为,,a b c ,女性分别记为1,2. ………………9分先从5人中随机抽取2人,共有()()()()(),,,,,1,,2,,a b a c a a b c ,()()(),1,,2,,1,b b c()(),2,1,2c 共10个基本事件 . ………………10分记“至少抽中一名女性”为事件A ,共有()()()()()()(),1,,2,,1,,2,,1,,2,1,2a a b b c c 共7个事件. ………………11分则()710P A =. ………………12分19.（本小题满分12分）解：2()324f x x ax '=++， ……………2 分因为 ()f x 在2x =-处取得极值，所以(2)0f '-=解得 4a = ……………4 分当 4a =时，2()384f x x x '=++，令()0f x '=，得2x =- 或23x =-当2x <-时，()0f x '>，()f x 在(,2)-∞-上单调递增，当223x -<<-时，()0f x '<，()f x 在2(2,)3--上单调递减，当23x >-时，()0f x '>，()f x 在2(,)3-+∞上单调递增，所以当4a =时，()f x 在2x =-取得极大值. ……………5 分（2）由（1）可列表得由表可知，在[3,0]-上，当2x =-时函数()f x 取得极大值(2)1f -= 当23x =-时函数()f x 取得极小值25()327f -=- ……………9 分又由于(3)2f -=-，(0)1f = ……………11 分所以函数()f x 在[3,0]-上的最大值是1，最小值是2-. ……………12 分20.（本小题满分12分）（1）利用模型①，该公司2019年的新产品研发费用的预测值为ˆ218.219134.8y=-+⨯=（万元）. ……………3 分利用模型②，该公司2019年的新产品研发费用的预测值为ˆ5311.59156.5y=+⨯=（万元）. ……………6 分（2）利用模型②得到的预测值更可靠. ……………8 分理由如下：（i ）从折线图可以看出，2001年至2017年的数据对应的点没有随机散布在直线ˆ218.2yt =-+上下，这说明利用2001年至2017年的数据建立的线性模型①不能很好地描述新产品研发费用的变化趋势.2011年相对2010年的新产品研发费用有明显增加，2011年至2017年的数据对应的点位于一条直线附近，这说明从2011年开始新产品研发费用的变化规律呈线性增长趋势，利用2011年至2017年的数据建立的线性模型ˆ5311.5yt =+可以较好地描述2011年以后的新产品研发费用的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠. ……………12 分（ii ）从计算结果看，相对于2017年的新产品研发费用135万元，由模型①得到的预测值134.8万元明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠. ……………12 分（以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.）21.（本小题满分12分）解：（1）依题意得c a =设2a λ=，则c =，由222a b c =+ ……………1 分得 b λ=，此时椭圆方程为222214x y λλ+=，将点⎛ ⎝⎭代入得 2213144λλ+=，解得 1λ=，所以2,1,a b c === ……………3 分所以椭圆C 的方程为 2214x y +=. ……………4 分（2）依题意得1(F 解法1：设直线l的方程为x my =2214x my xy ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 整理得22(4)10m y +--= ……………6 分因为1F 在椭圆内部，所以 0∆> 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12y y +=，12214y y m -=+ ……………7 分 12112AOBS OF y y =-△=== ……………9 分t =，则1t ≥，233AOB S t t t==++△， ……………10 分因为当1t >时，3t t+≥，当且仅当t =时“=”号成立，所以1AOB S ≤=△，所以 AOB △的面积S 的最大值是1. ……………12 分解法2：当直线l 垂直于x轴时，将x =21y +=，解得 12y =±，此时，1112AOB S OF =⨯⨯=△ ………5 分当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l的方程为(y k x =+(0)k ≠，联立椭圆方程得22(14y k x xy ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 整理得2222(41)1240k x x k +++-= ………6 分因为1F 在椭圆内部，所以 0∆>设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212241x x k -+=+，212212441k x x k -=+ ……………7 分12AB x =-==224(1)41k k +=+ 点O 到AB的距离d =所以12AOBSAB d =⋅⋅=△ 因为0k ≠ 所以令1m k =，则24AOB S m =+△， ……………9 分t =，则1t ≥，233AOB S t t t==++△， ……………10 分因为当1t >时，3t t+≥，当且仅当t =时“=”号成立，所以1AOB S ≤=△， ……………11 分综上得 AOB △的面积S 的最大值是1. ……………12 分22.（本小题满分12分）解：（1）222222(1)(1)2(2)()(1)(1)a x ax x ax x a f x x x +--⋅---'==++ ……………1 分当0a =时，222()(1)x f x x '=+ 当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以 ()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增. ……………2 分当0a ≠时，令()0f x '=得 220ax x a --= （*）因为 2440a ∆=+> 所以方程（*）有两根，由求根公式得11x a =，21x a+= ……………3 分当0a >时，120x x <<，当1x x <或2x x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，当12x x x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 在1(,)x -∞和2()x +∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增.………4 分当0a <时，210x x <<，当2x x <或1x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，当21x x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在2(,)x -∞和1()x +∞上单调递增，在21(,)x x 上单调递减.………5 分综上所述，当0a =时，()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在1(,)x -∞和2()x +∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增；当0a <时，()f x 在2(,)x -∞和1()x +∞上单调递增，在21(,)x x 上单调递减.……6 分（2）当1a =时，21()1x f x x -=+，由题意知，要证21ln 12x x x -≤+在[1,)+∞上恒成立，即证明2(1)ln 22x x x +≥-，2(1)ln 220x x x +-+≥在[1,)+∞上恒成立. ……7 分设2()(1)ln 22g x x x x =+-+，则1()2ln 2g x x x x x'=++-， ……8 分因为1x ≥，所以2ln 0x x ≥，122x x +≥≥（当且仅当1x =时等号成立），即()0g x '≥， ……10 分所以()g x 在[1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ≥=，所以ln ()2x f x ≤在[1,)+∞上恒成立. ……12 分。

【20套试卷合集】广东省广州市2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案考试时间：11月16日完卷时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．已知数列1,54,43,32,21+n n，则96.0是该数列的( ) A .第20项 B .第22项 C .第24项 D .第26项2．已知：10<<x ，则函数)1(x x y -=的最大值为（）A .21 B . 41 C .81 D .91 3．若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（）A .若0a b <<，则22a ab b >>B .若0a b <<，则11a b< C .若0a b <<，则b aa b> D .若a b >，则22ac bc > 4. 已知数列{}n a 的通项公式为325n a n =-，当n S 取到最小值时，n =( )A .5B .6C .7D .85．某观察站C 与两灯塔B A ,的距离分别为km 2和km 3，测得灯塔A 在观察站C 北偏西︒30，灯塔B 在观察站C 北偏东︒30，则两灯塔B A ,间的距离为（）A .km 345-B .km 4C .km 7D .km 136．在等比数列{}n a 中，已知11a =，48a =，若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第2项和第6项，则数列{}n b 的前7项和为（）A .49B .70C .98D .1407．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，B a c cos 2=,则ABC ∆的形状为（）A . 等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形8．设R x ∈，对于使22x x M -≥恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值1-叫做22x x -的下确界．若,a b R *∈，且1a b +=，则114a b+的下确界为（） A .415 B .4 C .2 D .49 9．若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（）A .)2,(-∞B .)2,2(-C .]2,2(-D .)2,(--∞10．大衍数列，20项依次是50,40,32,24,18,12,8,4,2,0，……则此数列的第20项为（）A .220B .200C .180D .16211．已知实数y x ,满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数y x z -=的最小值为2-，则实数m 的值为( )A .0B .4C .8D .1012．在数列{}n a 中，()1n a n N n*=∈，从数列{}n a 中选出()3k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列．例如数列12、13、15、18为{}n a 的一个4 项子列．若{}n b 为数列{}n a 的一个()3k k ≥项子列，且{}n b 为等差数列，则{}n b 的公差d 的最小值为（）A .61-B .41-C .31- D . 21-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知变量y x ,满足约束条件20701x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则yx 的最大值为___________14．数列{}n a 是等差数列，n S 是它的前n 项和，已知103=S ，609=S ，则6S =_____ 15．已知数列{}n a 满足112a =， 111n n a a +=-（*n N ∈），则数列{}n a 的前100项的和为_____________16．有一道题目由于纸张破损，有一条件看不清楚，具体如下：在ABC ∆中，已知32=b ，，22cos =C ，求角B ．经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，该题的答案︒=60B 是唯一确定的，试将条件补充完整．三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1=a ，2=c ，43cos =c . （1）求A sin 的值；（2）求ABC ∆的面积.18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是单调递增的等差数列，首项21=a ，且2a ，4a ，44-S 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足n an n a b )2(+=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分12分）已知函数23)(2+-=x ax x f（1）若0)(>x f 的解集为{ 1 x x <或}x b >，求a ，b 的值；（2）当0<a 时，求不等式ax x f ->5)(的解集. 20.（本小题满分12分）选修54-：不等式选讲设函数1)(-+-=x a x x f（1）若1a =-，解不等式4)(≥x f ；（2）如果对任意的R x ∈，3)(≥x f ，求a 的取值范围．21.（本小题满分12分）（1）求建造该幢楼房的总费用)(x f （总费用包括建筑费用和购地费用）；（2）问：要使该楼房每平方米的平均费用y 最低应把楼房建成几层？此时每平方米的平均费用为多少万元？22.（本小题满分12分）已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，212n n n S a a =+，n N *∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：11b =,12(2)n n n b b a n --=≥，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ；（3）在（2）的条件下，若)8(21+≤-n T n λ对任意的n ),2(*N n n ∈≥恒成立，求λ的取值范围.一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）613、14、30 15、50 16、26+=a三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17、解：（1） 43cos =c ， 47sin =∴c …………………………………2分C c A a sin sin =472s in 1=∴A814sin =∴A ………………………5分（2）C ab b a c cos 2222-+= b b 23122-+=∴ 2=∴b ………………………………7分 47472121sin 21=⨯⨯⨯==∴∆C ab S ABC ………………………………10分 18、解：（1）由题意，得：)4(4224-⋅=S a a ，即)46()2()32(2+⋅+=+d d d …………………………………………………2分化简，得：04432=--d d ，解得：322-==d d 或 ………………………4分数列{}n a 是单调递增的等差数列 0>∴d ，2=∴d ………………………5分n n a n 22)1(2=⨯-+=∴ ………………………………………………………6分（2）由（1）得，nn n b 22+= …………………………………………………7分)22()26()24()22(321n n n T ++⋅⋅⋅++++++=∴)2222()2642(321n n +⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++= ……………… ………………8分21)21(22--++=n n n ……………… …………………………10分 2212-++=+n n n2212-++=∴+n n n n T ． ……………… …………………………12分19、解：（1） 023)(2>+-=x ax x f 的解集为{ 1 x x <或}x b >∴方程0232=+-x ax 的两个根为1和b …………………………………………1分由韦达定理，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=+a b ab 2131 ……………………………………………………2分解得：⎩⎨⎧==21b a ……………………………………………………………………4分（2）不等式2325ax x ax -+>-，可化为：03)3(2>--+x a ax即：0)1)(3(>+-x ax ， …………………………………………………………5分0<a ，得0)1)(3(>+-x a x a ， ∴0)1)(3(<+-x ax ……………………6分①当31a <-时，即30a -<<，不等式的解集为：31x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭ …………8分 ②当31a=-时，即3a =-，不等式的解集为：φ ………………………………9分 ③当31a >-时，即3a <-，不等式的解集为：31x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭……………11分综上所述：当30a -<<，不等式的解集为：31x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭当3a =-，不等式的解集为：φ当3a <-，不等式的解集为：31x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭…………………………………12分 20、解：（1）当1a =-时，⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<-=-++=1,211,21,211)(x x x x x x x x f ，……………2分由4)(≥x f 得：411)(≥-++=x x x f ， ………………………………………3分不等式可化为⎩⎨⎧≥--<421x x 或⎩⎨⎧≥-≤≤-4211x 或⎩⎨⎧≥>421x x ，……………………………4分∴不等式的解集为{}22≥-≤x x x 或 ………………………………………………6分（2）根据绝对值不等式的性质得：11)1()(1)(-=-=---≥-+-=a a x a x x a x x f ………………………8分所以对任意的R x ∈，3)(≥x f 等价于31≥-a ，………………………………10分解得：4≥a 或2-≤a ……………………………………………………………11分从而a 的取值范围为：),4[]2,(+∞⋃--∞ ………………………………………12分 21、解：（1）建筑x 层楼房时，建造该幢楼房的总费用为：)(,1008010022)1(81)(*2N x x x x x x x f ∈++=+⨯-+=…………………6分（定义域没写扣1分）（2）每平方米的平均费用为：100810110001000100802++=++=x x x x x y …8分101100810110002=+⨯≥x x ……………………………………………………10分当且仅当xx 1011000=，即10=x 时，等号成立………………………………11分答：要使该楼房每平方米的平均费用最低应把楼房建成10层，此时每平方米的平均费用为101万元 ……………………………………………12分 22、解：（1）1=n 时，121121a a a +=，211=∴a …………………………………1分① n n n a a S 212+= ②121121---+=n n n a a S 121221212---+-=-≥n n n n n a a a a a n ②得，时，①当 ……………………………2分0)21)((11=--+∴--n n n n a a a a )221,0,011≥=-∴>+∴>--n a a a a a n n n n n （ …3分∴数列{}n a 是以21为首项，21为公差的等差数列∴n n a n 2121)1(21=⨯-+= ……………………………………………………………4分（2）n b b n n =--1231223=-=-b b b b两边累加，得：n b b n +++=- 321，解得：2)1(+=n n b n ………………5分 )111(2)1(21+-=+=∴n n n n b n ……………………………………………………6分 12)111(2)1113121211(2+=+-⨯=+-++-+-⨯=∴n nn n n T n ……………8分 (3)由)8(21+≤-n T n λ，得：)8(1+≤-n n n λ，得1019)1(19)1(10)1(181)8(122+-+-=+-+--=+-=+-≥n n n n n n n n n n n λ…………9分619)1(219)1(=-⋅-≥-+-n n n n ，当且仅当4=n 时，等号成立………10分 ∴1611019)1(1≤+-+-n n ，∴1019)1(1+-+-n n 有最大值161……………11分 ∴161≥λ……………………………………………………………………………12分2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案注意事项：1．在答题卷指定位置填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卷上一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2019-2020广东学业水平测试数学学考仿真卷+5+Word版含解析

学考仿真卷(五)(时间：90分钟；分值：100分，本卷共4页)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．向量a ＝(－1,3)，b ＝(2，－4)，则a －b ＝( )A ．(3,1)B ．(－3,7)C ．(3，－7)D ．(1，－1)B [a －b ＝(－1－2,3＋4)＝(－3,7)．]2．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 3＝5，则a 8＝( )A ．7B ．8C ．9D ．10D [公差为d ＝a 3－a 2＝1，a 8＝a 2＋(8－2)d ＝4＋6＝10.]3．已知集合P ＝{y |y ＝x 2＋2x －1，x ∈N }，Q ＝{y |y ＝－x 2＋2x －1，x ∈N }，则( )A ．P ∩Q ＝∅B ．P ∩Q ＝{－1}C ．P ∩Q ＝{0}D ．P ∩Q ＝NB [由x 2＋2x －1＝－x 2＋2x －1得x ＝0，∵当x ＝0时，x 2＋2x －1＝－x 2＋2x －1＝－1，∴P ∩Q ＝{－1}，故选B.]4．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝－xB ．y ＝cos xC ．y ＝x 25D ．y ＝－x 2D [函数y ＝－x 是奇函数，y ＝cos x 在(0，＋∞)上不具有单调性，y ＝x 25在(0，＋∞)上单调递增，y ＝－x 2在(0，＋∞)上单调递减，故选D.]5．若cos x ＝－35，且π2<x <π，则tan x ＋sin x 的值是( )A ．－3215B ．－815 C.815 D.3215B [由题意，知cos x ＝－35，且π2<x <π，所以sin x ＝1－cos 2x ＝45，则tan x ＝sin x cos x ＝－43，所以tan x ＋sin x ＝－43＋45＝－815.]6．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°B [如图，取A1B 1的中点M ，连接GM ，HM .由题意易知EF ∥GM ，且△GMH 为正三角形．∴异面直线EF 与GH 所成的角即为GM 与GH 的夹角∠HGM .而在正三角形GMH 中∠HGM ＝60°，故选B.]7．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0A [如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2，∴直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.]8．数据5,7,7,8,10,11的标准差是( )A ．8B ．4C ．2D ．1C [这组数据的平均数x －＝(5＋7＋7＋8＋10＋11)÷6＝8，s 2＝16[(5－8)2＋(7－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2＋(11－8)2]＝4，s ＝2.]9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为62，左顶点到一条渐近线的距离为263，则该双曲线的标准方程为( )A.x 28－y 24＝1B.x 216－y 28＝1C.x 216－y 212＝1 D.x 212－y 28＝1A [e ＝62，即c ＝62a ，a ＝2b ，渐近线方程为x 22b 2－y 2b 2＝0，即2y ＝±x ，因为左顶点到一条渐近线的距离为|a |3＝263，解得a ＝22，b ＝2，即该双曲线的标准方程为x 28－y 24＝1，故选A.]10．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．2∶3∶1D ．1∶3∶2D [在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，可得A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°.∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2.]11．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记抛物线C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－34 B. 34 C.815 D.3215A [∵点A (－2,3)在抛物线C 的准线上，∴－p 2＝－2，∴p ＝4.∴抛物线的方程为y 2＝8x ，则焦点F 的坐标为(2,0)．又A (－2,3)，根据斜率公式得k AF ＝0－32＋2＝－34.]12．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么数列{a n }的前7项和S 7＝( )A ．22B ．24C ．26D ．28D [∵等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，∴a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，解得a 4＝4，∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝7a 4＝28.] 13．若x ，y 满足⎩⎨⎧ 2x ＋y ≤8，x ＋3y ≤9，x ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6C [在直角坐标系内，画出可行域为图中阴影部分，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝8，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即A (3,2)．将z ＝x ＋2y 变为y ＝－x 2＋z 2，作直线y ＝－x 2.由图可知，当直线l 移动到点A (3,2)时，z 有最大值，此时z max ＝3＋2×2＝7，故z max ＝7.]14．若正方形ABCD 的边长为1，则BD →·BC→等于( ) A.22 B ．1 C. 2 D ．2B [因为正方形ABCD 的边长为1，所以BD →·BC →＝|BD →||BC →|cos 〈BD →，BC →〉＝2×1×22＝1.]15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，cos(A＋B )＝13，则c ＝( )A ．4 B.15 C ．3 D.17D [cos C ＝－cos(A ＋B )＝－13.又由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝17，所以c ＝17.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中横线上)16．设复数z 满足1＋z 1－z＝i ，则|z |等于________． 1 [1＋z ＝i(1－z )，z (1＋i)＝i －1，z ＝i －11＋i＝－(1－i )22＝i ，∴|z |＝|i|＝1.] 17．设f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <2log 3(x 2－1)，x ≥2，则f (f (2))的值为________． 2 [f (f (2))＝f (log 3(22－1))＝f (1)＝2e 1－1＝2.]18．计算：log 21＋log 24＝________.2 [原式＝log 21＋log 222＝log 21＋2log 22＝0＋2×1＝2.]19.若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为________．4 [圆方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a －2b ＋2＝0，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b 时，等号成立．]三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)20．(本小题满分12分)某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动．(1)求从该班男女同学中各抽取的人数；(2)从抽取的5名同学中任选2名谈对此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率．[解](1)抽取的5人中男同学的人数为5×3050＝3(人)，女同学的人数为5－3＝2(人)．(2)记3名男同学为A1，A2，A3,2名女同学为B1，B2.从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10个．用C表示“选出的两名同学中恰有一名男同学”这一事件，则C中的结果有6个，它们是A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，所以选出的两名同学中恰有一名男同学的概率P(C)＝610＝3 5.21．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面P AB是正三角形，且平面P AB⊥平面ABCD，E是P A的中点，AC与BD的交点为M.(1)求证：PC∥平面EBD；(2)求证：BE⊥平面AED.[证明](1)连接EM, ∵四边形ABCD是矩形，∴M为AC的中点．∵E是P A的中点，∴EM是三角形P AC的中位线，∴EM∥PC.∵EM⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，∴PC∥平面EBD.(2)∵平面P AB⊥平面ABCD，平面P AB∩平面ABCD＝AB，而AD⊥AB，∴AD⊥平面P AB，∵BE⊂平面P AB，∴AD⊥BE.又∵△P AB是等边三角形，且E是P A的中点，∴BE⊥AE, 又AE∩AD＝A，∴BE⊥平面AED.。

2020广州市高二数学水平测试

2020学年广州市高二年级学生学业水平测试数学本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．本次考试不允许使用计算器.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高，一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1.函数的定义域为A (],1-∞-C ．[)1,+∞D ．(],1-∞2.集合 C. 7 D. 83.1n n a n +=+，则3a 的值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 54.经过点（3,0）且与直线250x y +-=平行的直线方程为A. 230x y --=B. 230x y +-=C. 260x y --=D. 260x y +-= 5. 函数sin 2y x =的一个单调区间是A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 6.做一个体积为32m 3，高为2m 的无盖长方体的纸盒，则用纸面积最小为A. 64m 2B. 48m 2C. 32m 2D. 16m 27. 已知变量x y ,满足约束条件201010x y x y y ⎧--≥⎪+-≤⎨⎪+≥⎩,,.则目标函数2z y x =-的最小值为（）A ．5-B ．4-C ．3-D ．2-8.如图1所示，程序框图（算法流程图）输出的结果是A ．2B ．4C ．8D ．16 9.关于x 的不等式2220x ax a +-> 的解集中的一个元素为1，则实数a 的取值范围是A. ()(),12,-∞-+∞UB.（-1,2）C. ()1,1,2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭U D. （-1,12）10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是（0,0,0），（1,1,0），（1,0,1），（0,0,a ） (a <0)，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz 平面为投影面，得到正视图的面积为2，则该四面体的体积是 A.13 B. 12 C. 1 D. 32二、填空题：本大题共4小题，每小题11.在△ABC 中，∠ABC=450，12.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录用茎叶图表示（图2），则该赛季发挥更稳定的运动员是或“乙”） 13.已知向量(1,2),AB AC ==u u u r u u u r 14.已知[x]表示不超过实数x ()21log f x x x=-的零点，则g(0x )的值等于 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15.（本小题满分12分）某中学高一年级新生有1000名，从这些新生中随机抽取100名学生作为样本测量其身高（单位：cm ），得到频率分布表如下：（1）试估计高一年级新生中身高在[)175,180上的学生人数；（2）从样本中身高在区间[)170,180上的女生中任选2名，求恰好有一名身高在区间[)175,180上的概率.图1图216. （本小题满分12分）已知函数()sin cos ,6f x x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. （1）求(0)f 的值；（2）若α是第四象限角，且133f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan α的值.17. （本小题满分14分）如图3，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E,F 分别是A 1D 1,A 1A 的中点。

2019-2020学年广东省广东实验中学高二上学期开学摸底考试数学试题(解析版)

2019-2020学年广东省广东实验中学高二上学期开学摸底考试数学试题一、单选题 1．下列六个关系式:⑴(){}{}(){}(){}(){}(){}{,}{,}2,,304005060a b b a a b b a ⊆==∅∈∅∈∅⊆其中正确的个数为（） A ．6个 B ．5个C ．4个D ．少于4个【答案】C【解析】根据集合自身是自身的子集，可知①正确；根据集合无序性可知②正确；根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③⑤不正确；根据元素与集合之间的关系可知④正确；根据空集是任何集合的子集可知⑥正确，即正确的关系式个数为4个，故选C.点睛：本题主要考查了：（1）点睛：集合的三要素是：确定性、互异性和无序性，；（2）元素和集合之间是属于关系，子集和集合之间是包含关系；（3）不含任何元素的集合称为空集，空集是任何集合的子集．2．若(1,2),(1,0)a b ==r r，则a v 与b v 夹角的余弦值为（）AB ．12C ．13D ．1【答案】A【解析】根据向量的夹角公式，准确运算，即可求解，得到答案. 【详解】由向量(1,2),(1,0)a b ==r r，则a r 与b r夹角的余弦值为cos ,a b a b a b ⋅===r rr r r r ,故选A. 【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的夹角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．下列四组函数中，表示同一函数的是（） A ．()21,f x x =-()21g u u =-B ．0,y x =1y =C ．2,y x =y =D ．1,y x =-y =【答案】A【解析】对选项逐一分析函数的定义域、值域和对应法则，由此确定为同一函数的选项. 【详解】对于A ．()21,f x x =-()21g u u =-，定义域相同均为R ，对应法则一样故A 中两个函数表示同一函数；对于B ．01(0)y x x ==≠与1()y x =∈R ，两个函数的定义域不一致，故B 中两个函数不表示同一函数；对于C ．2,y x =()x ∈R 与||()y x x x ==∈R ，两个函数的定义域一致，对应法则不一样，故C 中两个函数不表示同一函数；对于D ．1y x =-与,y =|1|y x ==-，两个函数的解析式不一致，故D中两个函数不表示同一函数．故选：A 【点睛】本小题主要考查两个函数是否是同一函数的判断，属于基础题. 4．设a ，b ∈R ，下列不等式中一定成立的是（） A ．a 2+3>2a B ．a 2+b 2>0 C ．a 3+b 3≥a 2b+ab 2 D ．a+1a≥2 【答案】A【解析】分析：由题意排除错误选项即可确定正确选项. 详解：当0a b ==时，220a b +=，选项B 错误；当1a =-，2b =-时，339a b +=-，226a b ab +=-，不满足3322a b a b ab +≥+，选项C 错误；当1a =-时，12a a+=-，选项D 错误；而()()2232120a a a +-=-+>，故232a a +>恒成立.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查不等式的性质，排除法求解选择题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．下列四条直线，其倾斜角最大的是（）A ．230x y ++=B ．210x y -+=C ．10x y ++=D ．10x +=【答案】A【解析】对ABC 选项中的直线求得其对应的斜率，由此比较出倾斜角的大小，对于D 选项，判断出其倾斜角为90o ，由此判断出倾斜角最大的选项. 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A 、230x y ++=，其斜率112k =-，倾斜角1θ为钝角，对于B 、210x y -+=，其斜率22k =，倾斜角2θ为锐角，对于C 、10x y ++=，其斜率31k =-，倾斜角3θ为135︒，对于D 、10x +=，倾斜角4θ为90︒，而13k k >，故13θθ>，故选：A ．【点睛】本小题主要考查直线倾斜角大小的比较，属于基础题. 6．使数列1231111111110,10,10,10nL 的前n 项积大于510的自然数n 的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】D【解析】利用指数运算的性质、等差数列前n 项和公式化简数列前n 项积的表达式，然后运用指数函数的单调性，解不等式即可求出自然数n 的最小值. 【详解】数列1231111111110,10,10,10nL 的前n 项积为：1()123111111111123111111111112101010101010nn n n +++++⋅⋅⋅==⋅L K ，由题意可知：1()1111521010n n +>(1)(1)11510(1)11010211n nn n n n n ++⇒>⇒>⇒+>⇒>或11n <-（舍去），所以自然数n 的最小值为11.故选：D 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式，考查了指数运算的性质以及指数函数的单调性，考查了解一元二次不等式，考查了数学运算能力.7．将函数sin ()y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（） A ．12π B ．6π C ．3π D ．56π 【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得，sin 2sin()3y x x x p=+=+，令,32x k k Z πππ+=+∈，可得函数的图象对称轴方程为,6x k k Z ππ=+∈，取0k =是y 轴右侧且距离y 轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移()0m m >个长度单位后得到的图象关于y 轴对称，m 的最小值为6π，故选B ．【考点】两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，求m 的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数2sin()3y x π=+,可取出函数的对称轴，确定距离y 最近的点，即可得到结论．8．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y bx a--的取值范围是（）A ．[]22-,B ．⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．⎣⎦【答案】B【解析】由点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，可得P 在圆()2211x y -+=上，由(),Q a b 坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，可得Q 在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y bk x a-=-求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.【详解】Q 点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，P ∴在圆()2211x y -+=上，(),Q a b Q 在坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，Q ∴在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y bk x a-=-作出两圆的图象如图，设两圆内公切线为AB 与CD ，由图可知AB PQ CD k k k ≤≤，设两圆内公切线方程为y kx m =+，则2211343411k mkk m k m k m k ⎧+=⎪+⎪⇒+=-+-⎨-+-⎪=⎪+⎩， Q 圆心在内公切线两侧，()34k m k m ∴+=--+-，可得2m k =+，2222111k m k kk++==++，化为23830k k ++=，47k -±=即474733AB CD k k ---+==， 474733PQ y b k x a ----+∴≤=≤-，y bx a --的取值范围4747,⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦，故选B.【点睛】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.9．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，∠ACB=90°，11BC CC ==，2,AC =3P 为1BC 上的动点，则1CP PA +的最小值为( )A ．5B ．132+C ．5D ．15+【答案】C【解析】易得11A C ⊥平面11BCC B ，故∠11A C B 90=o .将二面角11A BC C --沿1BC 展开成平面图形，此时1A C 的长度即1CP PA +的最小值，利用余弦定理求出这个最小值. 【详解】由题设知△1CC B 为等腰直角三角形，又11A C ⊥平面11BCC B ，故∠11A C B =90°，将二面角11A BC C --沿1BC 展开成平面图形，得四边形11AC CB 如图示，由此，1CP PA +要取得最小值，当且仅当1C P A 、、三点共线，由题设知∠1135CC A =o,由余弦定理得(221321232cos135A C =+-⨯o 25= 15A C ⇒=.【点睛】本小题主要考查空间线面垂直关系的证明，考查空间两条线段长度和的最小值的求法，属于中档题.10．已知函数52log (1)(1)()(2)2(1)x x f x x x ⎧-<=⎨--+≥⎩，则关于x 的方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根个数不可能为（） A ．5个 B ．6个C ．7个D ．8个【答案】A【解析】以f （x ）＝1的特殊情形为突破口，解出x ＝1或3或45或﹣4，将x +1x﹣2看作整体，利用换元的思想方法进一步讨论．【详解】∵函数()()()52log 1,1f 22,1x x x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，即f （x ）＝()()()552log 1,0log 1,0122,1x x x x x x ⎧-≤⎪⎪--<<⎨⎪-++≥⎪⎩，因为当f （x ）＝1时，x ＝1或3或45或﹣4，则当a ＝1时，x +1x ﹣2＝1或3或45或﹣4，又因为 x +1x ﹣2≥0或x +1x ﹣2≤﹣4，所以，当x +1x﹣2＝﹣4时只有一个x ＝﹣2与之对应．其它情况都有2个x 值与之对应，故此时所求的方程有7个根，当1＜a ＜2时，y ＝f （x ）与y ＝a 有4个交点，故有8个根；当a ＝2时，y ＝f （x ）与y ＝a 有3个交点，故有6个根；综上：不可能有5个根，故选A ．【点睛】本题考查分段函数、函数的零点等知识，属于中档题．11．若函数()()()22222214112214f x a a a x log xlog log a a a =+++++的定义域为R ，则实数a 的取值范围为（）A ．()3201131⎛⎫⋃-- ⎪⎝⎭，， B ．（0，1）C ．32131⎛⎫-- ⎪⎝⎭， D ．（﹣1，0）【答案】A【解析】首先由题意可得()()()2222221041122log 4log log 014a a a a a a a a ⎧+>⎪⎨++⎛⎫-<⎪ ⎪+⎝⎭⎩，再由对数式的运算性质变形，然后求解对数不等式得答案. 【详解】由题意可得()()()2222221041122log 4log log 014a a a a a a a a ⎧+>⎪⎨++⎛⎫-<⎪ ⎪+⎝⎭⎩，第一个式子解得1a <-或0a >；第二个式子化简为2222111log 22log log 101a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-< ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令21log a t a+=，则()()()212210t t t --+-<，解得5t <-或1t >，则21log 5a a +<-或21log 1a a+>，则11032a a +<<或12a a +>.即32031a -<<或01a <<. 综上，实数a 的取值范围为()320,1,131⎛⎫⋃-- ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题主要考查以函数定义域为背景的恒成立问题，二次型函数的恒成立问题一般借助判别式进行处理，本题同时兼顾考查了对数的运算性质，综合性较强，侧重考查数学运算的核心素养.12．数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心,重心,垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线,已知△ABC 的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC 的欧拉线方程为（） A ．2x-4y-3=0 B ．2x+4y+3=0 C ．4x-2y-3=0 D ．2x+4y-3=0【答案】D【解析】由题意计算出线段BC 的垂直平分线【详解】()()1,0,0,2B C Q -,则中点坐标为112⎛⎫- ⎪⎝⎭，()20201BC K -==--,则BC 的垂直平分线方程为11122y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭1222y x -=--,3202x y +-=,即2430x y +-=,AB AC =Q ，ABC n 的外心，重心，垂心，都在线段BC 的垂直平分线上 ABC ∴n 的欧拉线方程为2430x y +-=故选D 【点睛】本题为求三角形的欧拉线，结合题意计算出等腰三角形底边上的垂直平分线，较为简单二、填空题13．过△ABC 所在平面a 外一点P ，作OP ⊥a ，垂足为O ，连接PA ，PB ，PC ，若PA=PB=PC,则点O 为△ABC 的心．【答案】外【解析】证明：点P 为△ABC 所在平面外一点，PO ⊥α，垂足为O ，若PA=PB=PC ，,故△POA ，△POB ，△POC 都是直角三角形,∵PO 是公共边，PA=PB=PC,∴△POA ≌△POB ≌△POC,∴OA=OB=OC 故O 是△ABC 的外心，故答案为外心．【详解】14．圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是____________. 【答案】22(4)(2)2x y -++=【解析】联立方程组20{3100x y x y +-=-++=解之得4{2x y ==- ∵圆与直线40x y +-=相切∴圆的半径r ==故答案为()()22422x y -++=点睛：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径．属于基础题． 15．已知sin α是方程25760x x --=的根，α是第三象限角，则33sin cos 22cos sin 22αππαππαα⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2tan πα-=____________.【答案】916-【解析】由方程25760x x --=的根，求得3sin 5α=-，由三角函数的基本关系式，求得3tan 4α=，再利用三角函数的诱导公式化简、运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，可得方程25760x x --=的根为35-或2，又α是第三象限角，所以3sin 5α=-，所以24cos 1sin 5αα=--=-，所以3sin 35tan 4cos 45ααα-===-，利用三角函数的诱导公式化简得，原式()22cos sin 9tan tan sin cos 16αααααα-=⋅=-=-. 【点睛】本题主要考查了利用三角函数的诱导公式化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数，他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测2020b 是数列{}n a 中的第________项．【答案】5050【解析】根据图像归纳出{}n a 的通项公式，由此判断出数列{}n a 中每10项有4项能被5整除，进而判断出2020b 是数列{}n a 中第5050项．【详解】根据题意，由图可得：1121,2a ⨯==2233,2a ⨯==33462a ⨯==，……依此类推(1)2n n n a ⨯+=，其中当n=4，5，9，10，14，15，19，20，24，25，29，30……时，n a 可以被5整除，即数列{}n a 中每10项有4项能被5整除，又20204505=⨯，2020b 是数列{}n a 中第5050项．故答案为：5050．【点睛】本小题主要考查合情推理，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.三、解答题17．设直线l 的方程为（a ﹣1）x +y +a +3=0，（a ∈R ）．（1）若直线l 在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线l 的方程；（2）若直线l 不经过第一象限，求实数a 的取值范围．【答案】（1）﹣4x +y =0，﹣x +y +3=0或x +y +5=0．（2）a ≥﹣1．【解析】（1）由直线截距的概念，列方程331a a a+--=-求解即可；（2）先讨论直线的斜率是否存在，然后分情况讨论截距是否为0，再列不等式组运算即可得解. 【详解】解：（1）由直线l 在两坐标轴上截距的绝对值相等，可得10a -≠，令0x =，得3y a =--，令0y =，得x 31a a+=-，由已知有331a a a+--=-，解得3a =-或0a =或2a =，故直线l 的方程为﹣4x +y =0或﹣x +y +3=0或x +y +5=0；（2）由直线l 不经过第一象限，则①当10a -=，即1a =时，直线l 的方程为4y =-，显然满足题意；②当10a -≠，即1a ≠时，则30130a a a +⎧<⎪-⎨⎪--<⎩或(1)030a a --<⎧⎨--=⎩，解得1a >，综合①②可得：实数a 的取值范围为1a ≥．【点睛】本题考查了直线截距的概念，重点考查了直线的性质，属基础题. 18．在等差数列{n a }中，10a =18，前5项的和515=-S(1)求数列{n a }的通项公式； (2)求数列{n a }的前项和的最小值,并指出何时最小. 【答案】(1)n a =3n －12；(2)-18. 【解析】【详解】解: (1)得，n a =3n －12(2)221()137147(321)22228n n n a a S n n n +⎛⎫==-=-- ⎪⎝⎭∴3n =或4∴前n 项的和取得最小值为-1819．设向量2(2,3cos 2)a λλα=+-r ，(,sin cos )2m b m r αα=+，其中λ，m ，α为实数．（1）若12πα=，求||b r的最小值；（2）若2a b =rr，求mλ的取值范围．【答案】（1）min 5||10b =r；（2）[]6,1m λ∈-．【解析】试题分析：（1）首先根据条件求得b r，从而求得2||b r的表达式，然后根据二次函数的性质求得||b r的最小值；（2）首先利用向量相等的条件求得,m λ的关系式，然后利用两角和的正弦公式求得m 的范围，从而求得mλ的取值范围．试题解析：（1）当12πα=时，，2251||4416m b m =++r ，min 5||10b =r ．（2）由题知：22m λ+=，23cos 2sin 2m λαα-=+，2494sin 23cos 22sin(2)3m m πααα-+=+=+，解得124m ≤≤，而22mmλ=-，所以[]6,1m λ∈-．【考点】1、平面向量的模；2、两角和的正弦公式．20．一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，在其内部有一个高为x cm 的内接圆柱. （1）求圆锥的侧面积；（2）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.【答案】（1）()2410cm π（2）3x =时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为26cm π 【解析】（1）先计算母线长为210(cm)，再计算侧面积得到答案. （2）设圆柱的底面半径为r cm ，计算得到222(3)93S x π⎡⎤=---⎣⎦，根据二次函数知识得到最值. 【详解】（1）圆锥的母线长为2262210(cm)+=， ∴圆锥的侧面积()212210410cm S ππ=⨯⨯=.（2）该几何体的轴截面如图所示.设圆柱的底面半径为r cm ，由题意，知626r x -=，63xr -∴=. ∴圆柱的侧面积()2222226(3)933S rx x x x πππ⎡⎤==-+=---⎣⎦， ∴当3x =时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为26cm π. 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，圆柱体积的最大值，意在考查学生的计算能力.21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,AB BC ⊥1,BC BC ⊥1AB BC =，E ，F 分别为线段1,AC 11A C 的中点．（1）求证：//EF 面11BCC B ；（2）求证：BE ⊥面11AB C ；（3）在线段1BC 上是否存在一点G ，使平面//EFG 平面11ABB A ，证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）利用三角形中位线证得1//EF AA ，由此证得1//EF BB ，从而证得//EF 平面11BCC B .（2）首先通过证明BC ⊥平面1ABC ，证得BE BC ⊥，由此证得11BE B C ⊥，根据等腰三角形的性质证得1BE AC ⊥，由此证得BE ⊥平面11AB C .（3）取1BC 的中点G ，连接,GE GF ，通过证明//EG 平面11A B BA ，和//EF 平面11A B BA ，证得平面//EFG 平面11ABB A ，由此证得G 点存在，且G 是1BC 的中点.【详解】（1）因为E ，F 分别为线段1,AC 11A C 的中点，所以1//EF A A ，因为11//B B A A ，所以1//EF B B ．又因为EF ⊄平面11BCC B ，111B B BCC B ⊂，所以//EF 面11BCC B ．（2）因为1,BC BC ⊥,AB BC ⊥1AB C B B =I ，所以BC ⊥平面1ABC ．因为BE ⊂平面1ABC ，所以BE BC ⊥．又因为11//BC B C ，所以11BE B C ⊥．因为1AB BC =，E 为1AC 的中点，所以1BE AC ⊥，因为1111AC B C C ⋂=，所以BE ⊥面11AB C ．（3）取1BC 中点为G ，连接GE 、GF ，又因为E 为1AC 的中点，所以//GE AB ．因为EG ⊄平面11A B BA ，AB Ì平面11A B BA ，所以//EG 平面11A B BA ．同理可证：//EF 平面11A B BA ．又因为EF EG E =I ，所以平面//EFG 平面11ABB A ．所以在线段1BC 上是存在一点G ，使平面//EFG 平面11ABB A ．【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查面面平行的探究性问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 22．对函数Φ（x ），定义f k （x ）＝Φ（x －mk ）＋nk （其中x ∈（mk ，m ＋mk ]，k ∈Z ，m ＞0，n ＞0，且m 、n 为常数）为Φ（x ）的第k 阶阶梯函数，m 叫做阶宽，n 叫做阶高，已知阶宽为2，阶高为3．（1）当Φ（x ）＝2x 时 ①求f 0（x ）和f k （x ）的解析式； ②求证：Φ（x ）的各阶阶梯函数图象的最高点共线；（2）若Φ（x ）＝x 2，则是否存在正整数k ，使得不等式f k （x ）＜（1－3k ）x ＋4k 2＋3k －1有解？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①② 见详解.（2）①②无公共部分，即不存在正整数k 满足题意．【解析】【详解】解：（I ）①…………2分…………4分②时是增函数，的第k阶阶梯函数图象的最高点为第k+1阶阶梯函数图象的最高点为∴过P k，P k+1这两点的直线斜率为同是可得过两点的直线斜率也为的各阶阶梯函数图象的最高点共线．…………8分（II）当即得…………9分当k=1时，无解；…………10分当时，由，得…①…………11分又由…②…………13分∴①②无公共部分，即不存在正整数k满足题意．…………14分。

广东实验中学2019-2020学年第一学期高二年级开学摸底考试数学

广东实验中学2019-2020学年第一学期高二年级开学摸底考试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟第一部分选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1、下列六个关系式：①{}{}a b b a ,,⊆②{}{}a b b a ,,=③Φ=0④{}00∈⑤{}0∈Φ⑥{}0⊆Φ其中正确的个数为（）A.6个B.5个C.4个D.少于4个2、若)0,1(),2,1(==→→b a ，则→→b a 与夹角的余弦值为（） A.31 B.22 C.55 D.1 3、下列四组函数中，表示同一函数的是（）A.1,0==y x yB.12)(,12)(-=-=u u g x x fC.22,x x y x y ==D.12,12+-=-=x x y x y 4、设R b a ∈,，下列不等式中一定成立的是（）A.a a 232>+B.022>+b aC.2233ab b a b a +≥+D.21≥+a a 5、下列四条直线，其倾斜角最大的是（）A.032=++y xB.012=+-y xC.01=++y xD.01=+x6、使数列1111311211110,10,10,10n 前n 项和大于510的自然数n 的最小值为（）A.8B.9C.10D.117、将函数)(sin cos 3R x x x y ∈+=的图像向左平移m （m>0）个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（） A.12π B.6π C.3π- D.65π 8、在直角坐标平面上，点),(y x P 的坐标满足方程0222=+-y x x ，点),(b a Q 的坐标满足方程0248622=+-++b a b a ，则ax b y --的取值范围是（） A. []2,2- B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+374-,37-4- C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--31,3 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+376,37-6 9、如图，在三棱柱111C B A ABC -中，1111C B A AA 底面⊥，23,1,901====∠AC CC BC ABC ，P 为1BC 上的动点，则1PA CP +的最小值为（） A.52 B.231+ C.5 D.521+10、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+--<-=1,2)2(1,)1(log )(25x x x x x f ，则方程)()21(R a a x x f ∈=-+的实数根个数不可能是（） A.5个 B.6个 C.7个 D.8个11、如函数2222224)1(log 12log 2)1(4log 1)(a a a a x a a x x f +++++=的定义域为R ，则实数a 的取值范围为（）A. ()⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,31321,0B.()1,0C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,3132 D.()0,1- 12、数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心（外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知ABC ∆的顶点AC AB C B =-),2,0(),0,1(，则ABC ∆的欧拉线方程为（）A.0342=--y xB.0342=++y xC.0324=--y xD.0342=-+y x第二部分非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。