九年级数学培优讲义与测试

第一讲 一次函数和反比例函数

知识点、重点、难点

函数(0)y kx b k =+≠称为一次函数，其函数图像是一条直线。若0b =时，则称函数y kx =为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。

当0k >时，函数y kx b =+是单调递增函数，即函数值y 随x 增大（减小）而增大（减小）；当0k <，y kx b =+是递减函数，即函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）。

函数(0)k

y k x

=≠称为反比例函数，其函数图像是双曲线。

当0k >且0x >时，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）；当0k >且0x <，函数

值y 随x 增大（减小）而减小（增大），也就是说：当0k >时，反比例函数k

y x

=分别在第一

或第三象限内是单调递减函数；当0k <时，函数k

y x

=分别在第二或第四象限内是单调递增

函数。

若111222(0),(0).y k x b k y k x b k =+≠=+≠ 当12k k =时，12b b ≠时，两面直线平行。

当12k k =时，12b b =时，两面直线重合。 当12k k ≠时，两直线相交。 当121k k =-时，两直线互相垂直。

求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。 例题精讲

例1：在直角坐标平面上有点(1,2)A --、(4,2)B 、(1,)C c ，求c 为何值时AC BC +取最小值。 解 显然，当点C 在线段AB 内时，AC BC +最短。 设直线AB 方程为y kx b =+，代入(1,2)A --、(4,2)B

得242,k b k b -+=-⎧⎨+=⎩解得45

6,5k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

所以线段AB 为46

(14),55y x x =--≤≤

代入(1,)C c ，得462

1.555

c =⨯-=-

例2：求证：一次函数2110

22

k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点，并求这个定点。

解 由一次函数得(2)(21)(10),k y k x k +=---整理得

(21)2100x y k x y ----+=。因为等式对一切有意义的k 成立，所以得

2102100,x y x y --=⎧⎨

+-=⎩解得125

19,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

当125x =，195y =时，一次函数解析式变为恒等式，所以函数图像过定点1219,55⎛⎫

⎪⎝⎭

.

例3：已知m 、n 、c 为常数，220m n -≠，并且(1)(1),mf x nf x cx -+-=求()f x 。 解 用1x -代换原方程中的x ，得(1)()(1).mf x nf x c x -+=-○1用1x +代换原方程中的x ，得()()(1).mf x nf x c x +-=+○2 m ⨯○2n -⨯○1得22()().m f x n f x mcx ncx mc nc -=++-因为220m n -≠，所以

()22()c m n x m n f x m n ++-⎡⎤⎣⎦

=

-，所以()c c

f x x m n m n

=

+

-+. 例4:如图，设111()(1),f x mx x m x m m m ⎛

⎫=+-=-+ ⎪⎝

⎭因为当1m ≥时，10,()m f x m -≥为递增函

数，()f x 在[]0,1上的最小值为11(1).1.f m m m m ⎛

⎫=-++ ⎪⎝

⎭

所以

1(0)(1).

()(1)(01).

f m

g m m

f m m ⎧

=≥⎪=⎨⎪=<<⎩ 因此1

()g m m

=在[]1,+∞上为递减函数；()g m m =在()0,1上为递增

函数，故()g m 的最大值为(1) 1.g = 例5：画函数242x y x

-=

-的图像。

解 0x =，0x =，240x -=，2,x =±将整个数轴分为四段讨论（见图）并定义域为

2x ≠±的一切实数。 2,2,

2,2,x x y x x -⎧⎪-⎪

=⎨+⎪⎪--⎩2;20;022x x x x <--<<≤<> 例6：一次函数(1)y kx k k =->图像交x 轴于A 点，将此直线沿直线

y x =翻折交y 轴于B 点，

这两条直线相交于P 点，且四边形OAP B 的面积为3， 求k 的值。

解 设点P 坐标为'(,),t t 又OAP ∆与OBP ∆是翻折而成，所以OAP S ∆面积是四边形OAPB

的一半等于3

2

。设0y =代入,y kx k =-得

1,x =点A 为(1,0).由113

1,

222

OAP S OA PC t ∆=⨯=⨯⨯=得3,t =即点(3,3).p 因点

33,k k =-3

.2

k =

P

在

y kx k

=-上，代入得

A 卷 一、填空题

1.设21(2)k y k x -=+是反比例函数，则k =；其图像经过第 象限时；当0x >时，y 随x 增大而。

2.两个一次函数312,y x =+3

3,2

y x =-的图像与y 轴所围成的三角形面积是。