沪科版九年级数学综合培优讲义(含答案)

九年级数学综合培优讲义

1．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（）

A．B．C．D．

【解答】解：依题意得（a+b）2=b（b+a+b），

而a=1，

∴b2﹣b﹣1=0，

∴b=，而b不能为负，

∴b=．

故选B．

2．如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC 的度数为（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

【解答】解：连接OB，OC，

∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，

∴∠BOC=90°，

∴∠BEC=∠BOC=45°．

故选B．

3．已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连接DE，DE=．

（1）求证：AM•MB=EM•MC；

（2）求EM的长．

【解答】证明：（1）∵AB、CE是⊙O内的两条相交弦，

∴AM•MB=EM•MC；

（2）∵M是OB中点，圆半径R=4，

∴OM=MB=2，

∴AM=6，

∵CD是直径，

∴∠CED=90°，

∴CE2=CD2﹣DE2，

∴CE==7，

设EM=x，6×2=x•（7﹣x），

解得x=3或x=4，

∵EM＞MC，

∴EM=4．

4．农民购买农机设备政府会给予一定额度的补贴，其中购买Ⅰ、Ⅱ型农机设备的金额与政府补贴的金额存在表所示的函数对应关系：

（1）分别求出y 1和y 2的函数解析式； （2）张大伯打算共用10万元购买Ⅰ、Ⅱ两型农机设备．请你帮助张大伯设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．

【解答】解：（1）由题意可得，

0.4=1×k ，得k=0.4，

即y 1与x 的函数关系式为y 1=0.4x ，

，解得，，

即y 2

与x 的函数关系式为y 2=；

（2）设购买Ⅱ型农机设备投资t 万元，购买Ⅰ型农机设备投资（10﹣t ）万元，共获补贴Q 万元，

Q=y 1+y 2=0.4（10﹣t ）﹣=，

∴当t=3时，Q 取得最大值，此时Q=

，10﹣t=10﹣3=7， 答：投资7万元购买Ⅰ型农机设备，投资3万元购买Ⅱ型农机设备，共获最大补贴万元．

5、如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处603米的点D(点D 与楼底C 在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i ＝1∶3的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度．(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°

≈43

，计算结果用根号表示，不取近似值)

解：如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M.在Rt △BDN 中，BD ＝30，BN ∶ND ＝1∶3，∴BN ＝15，DN ＝153，∵∠C ＝∠CMB ＝∠CNB ＝90°，∴四边形CMBN 是矩形，∴CM ＝BN ＝15，

BM ＝CN ＝603－153＝453，在Rt △ABM 中，tan ∠ABM ＝AM BM ＝43

，∴AM ＝603，∴AC ＝AM ＋CM ＝15＋60 3

6．AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、B 都不重合），点C 是BE 延长线上的一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合．

（1）求证：△AHD ∽△CBD ；

（2）连HO ，若CD=AB=2，求HD +HO 的值．

【解答】（1）证明：AB 是⊙O 的直径

∴∠AEB=90°，则∠ABC +∠BAE=90°，

又∵CD ⊥AB ，

∴∠BAE +∠AHD=90°，

∴∠AHD=∠ABC ，

又∵∠ADH=∠CDB=90°，

∴△AHD ∽△CBD ．

（2）解：设OD=x，则BD=1﹣x，AD=1+x，

∵Rt△AHD∽Rt△CBD，

则HD：BD=AD：CD，

即HD：（1﹣x）=（1+x）：2，

即HD=，

在Rt△HOD中，由勾股定理得：

OH==，

所以HD+HO=+=1；

②当点E移动到使D与O重合的位置时，这时HD与HO重合，由Rt△AHO∽Rt △CBO，利用对应边的比例式为方程，可以算出HD=HO=，即HD+HO=1；

③当D在OA段时BD=1+x，AD=1﹣x，证明同①∵Rt△AHD∽Rt△CBD，

则HD：BD=AD：CD，

即HD：（1﹣x）=（1+x）：2，

即HD=，

在Rt△HOD中，由勾股定理得：

OH==，

所以HD+HO=+=1．

7、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD与BC相交于点M，且BM=MC，过点D作BC的平行线，分别与AB、AC的延长线相交于点E、F．（1）求证：EF与⊙O相切；

（2）若BC=2，MD=，求CE的长．

【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD与BC相交于点M，且BM=MC，∴AD⊥BC，

∵EF∥BC，

∴AD⊥EF，

∴EF与⊙O相切；

（2）解：连接OB，

在△OBM中，BM2+OM2=OB，即（）+（OB﹣）=OB2，OB=2

∴OM=MD=，

∵BC∥EF，

∴△ABC∽△AEF

∴=，

∴EF===，

∵tan∠CAM===，

∴∠CAM=30°，

作CN⊥EF，

∵AD⊥EF，

∴CN∥AD，

∴∠FCN=∠CAM=30°，

∵BC∥EF，

∴四边形MDNC是矩形，

∴CN=MD=，

∴NF=CN•tan30°=×=，

∴EN=EF﹣NF=﹣=，

∴EC==．