4.1稳定性定义与稳定性条件
余成波自动控制原理pdf
余成波自动控制原理pdf引言概述：余成波自动控制原理pdf是一本关于自动控制原理的电子书籍，作者余成波是自动控制领域的专家，他的这本书详细介绍了自动控制原理的基本概念、理论和应用。
本文将从五个大点来阐述这本书的内容，包括基本概念、控制系统、传递函数、稳定性分析和控制器设计。
正文内容：1. 基本概念1.1 控制系统的定义：控制系统是指通过对被控对象进行监测和调节，使其输出达到预期目标的一种系统。
1.2 自动控制的分类：自动控制可分为开环控制和闭环控制两种，其中闭环控制是指系统通过对输出信号进行反馈调节，实现对被控对象的精确控制。
1.3 控制系统的基本组成：控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制器组成，其中传感器用于监测被控对象的状态，执行器用于对被控对象进行调节，控制器用于根据监测信号和设定值进行控制计算。
2. 控制系统2.1 开环控制系统：开环控制系统是指控制器的输出不受被控对象的状态影响，只根据设定值进行控制。
开环控制系统简单、稳定性好，但对被控对象的变化无法进行实时调节。
2.2 闭环控制系统：闭环控制系统通过对被控对象的输出进行监测，并通过反馈调节控制器的输出，实现对被控对象的精确控制。
闭环控制系统可以根据被控对象的状态变化进行实时调节，但稳定性和抗干扰能力较开环控制系统较差。
2.3 控制系统的性能指标：控制系统的性能指标包括稳定性、精度、快速性和鲁棒性等。
稳定性是指系统在稳定状态下的性能，精度是指系统输出与设定值的偏差，快速性是指系统达到稳定状态所需的时间，鲁棒性是指系统对参数变化和干扰的抵抗能力。
3. 传递函数3.1 传递函数的定义：传递函数是指控制系统输入与输出之间的数学关系，它可以描述系统的动态特性和频率响应。
3.2 传递函数的求解：传递函数可以通过系统的微分方程或拉普拉斯变换进行求解。
微分方程法适用于线性时不变系统，拉普拉斯变换法适用于线性时变系统。
3.3 传递函数的应用：传递函数可以用于分析系统的稳定性、频率响应和时域响应等。
第10讲 稳定性和李雅普诺夫第一方法
✓ 它是一种具有普遍性的稳定性理论, 不仅适用于线性 定常系统,而且也适用于非线性系统、时变系统、分 布参数系统。
✓ 本节先讨论李雅普诺夫稳定性理论的基础--李雅普 诺夫稳定性定义。
李雅普诺夫稳定性的定义(3/4)
本节主要讨论李雅普诺夫意义下的各种稳定性的定义和意义。 ➢ 本节主要问题为: 基本概念: 平衡态、李雅普诺夫稳定性、渐近稳定性、 大范围渐近稳定性、不稳定性 基本方法: 求解平衡态方法 ➢ 要掌握好李雅普诺夫稳定性理论,重要的是深刻掌握和理 解李雅普诺夫稳定性定义的实质和意义。 ➢ 在这里,空间想象力对理解李雅普诺夫稳定性的实质和意 义非常有帮助。
➢ 随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制理论 的诞生,李雅普诺夫第二法又重新引起控制领域人们的 注意,成为近40年来研究系统稳定性的最主要方法,并得 到了进一步研究和发展。
➢ 本章将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普诺夫 第一法和第二法的理论及应用。
概述(10/10)
本章需解决的问题: ✓ 动态系统的状态稳定性理论--李雅普诺夫稳定性
概述(3/10)
分析一个控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最 重要问题。
➢ 对于简单系统，常利用经典控制理论中线性定常系统 的稳定性判据。
➢ 在经典控制理论中,借助于常微分方程稳定性理论,产生 了许多稳定性判据,如劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判 据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别 系统稳定性的方法。
➢ 但这些稳定性判别方法仅限于讨论SISO线性定常系统 输入输出间动态关系,讨论的是
✓ 线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性,
4.1常微分方程的定性与稳定性
8
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四、初等奇点及其分类
1、线性系统
x a1 x a2 y
y
b1
x
b2
y
(5)
假设 f ( x, y)， g( x, y)关于( x, y)有一阶连续偏导
数，对方程组(3)而言，只要( x0 , y0 )不是(3)的奇点，
即，( x0 , y0 )不同时 满足 f ( x, y) 0， g( x, y) 0，则
在( x0 , y0 )附近可将(3)改写为
7
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是稳定焦点；
当 1 2 i ， 0, 0，即 p 0，q 0，p2 4q时， 是不稳定焦点；
当 1 2 i ， 0即 p 0，q 0时，是中心。
11
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q p2 4q
不
稳
稳
中
定
不 稳 定 结
定
心
焦
焦
区
点
点
区
区
稳 定 结
点
点
区
区
O
p
鞍点区
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2、非线性系统
定义 2 设 x* ( x1*,, xn*)T 是方程 组(1)的平 衡点，x x(t) ( x1(t),, xn (t))T 是方程组(1)的任一 解 ， 如果存在 x * 的某邻域 U( x*) ，使得当
x(t0 ) U ( x*)时，必有
lim
t
x
现代控制理论-复习第四章
即可能有多个平衡状态.
例4.1 x1 x1 x2 x1 x2 x23
x1 0
x1
x2
x23
0
因此该系统有三个平衡状态
0 xe1 0
0
xe2
1
0 xe3 1
在n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用 ‖x‖表示，则：
S( )
x1
x
若平衡状态xe是稳定的，即当t无限增大时，状态轨迹不超
过 ，s(且 最) 终收敛于xe，则称平衡状态xe渐近稳定。
3.大范围渐近稳定
x f (x,t)
在整个状态空间中，对所有初始状态x0出发的轨迹都 具有渐近稳定，则系统的平衡状态xe是大范围渐近稳定的 。
注： （1）由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都要收 敛于xe，因此系统只能有一个平衡状态，这也是大 范围渐近稳定的必要条件。
3、二次型标量函数v(x)的定号性判据
（1）v(x)正定的充要条件是：P阵的所有各阶主子行
列式均大于零，即
1 p11 0,
2
p11 p21
p12 0, p22
,
p11 n
pn1
p1n 0
pnn
（2）v(x)负定的充要条件是：P阵的各阶主子式满足
（2）对于线性定常系统，当A为非奇异的，系统只 有一个唯一的平衡状态xe = 0。所以若线性定常系 统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。
（3）对于非线性系统，由于系统通常有多个平衡 点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近稳定 。
4. 不稳定
如果对于某个实数ε> 0和任一实数δ> 0，在球 域S(δ)内总存在一个初始状态x0，使得从这一初始 状态出发的轨迹最终将超出球域S(ε)，则称该平衡 状态是不稳定的。
计算机控制系统特性分析
z 2 + 2 z + 0.9267 = 0
进行w变换后得到：
例4.2 在例4.1中，设T=1s，求使系统稳定的K的变化范 围？并求s平面和w平面的临界频率。 解：采用双线性变换Ⅱ，此时系统的特征方程为
1 + KG ( z ) z =1+ 0.5w = 1 +
1− 0.5 w
−0.2932 w2 + 0.0733w + 3.9267 = 0
则系统是稳定的。
w = ± j1.549
故w平面的临界频率为 s平面的临界频率为
ω w = 1.549
ω= 2 ωT tan −1 w = 1.32 T 2
（3）朱利判据
例4.3 在例4.1中，设T=1s，试用z域直接判别法确定满足系 统稳定的K值范围。 解：系统的特征方程为
W ( z ) = z + (0.368 K − 1.368) z + (0.264 K + 0.368) = 0
n
提供了一 种用解析 法判断离散系统稳定性的途径。 设离 散控制系统的特征方程为
1 + G( z) = 0
其 中 G(z) 一般为 两 个 多项 式之 比 ， 用 W(z) 表 示 特征方程 的分子，即
（3） （4）
s平面垂直直线对应于z 平面的圆周， s 平面的 虚轴对应于z 平面的单位圆
S 平面水平直线对应于z 平面具有相应角度的 直线, ω = ω s / 2 时，正好对应z 平面的横轴
S 平面的等 阻尼线对应于z 平面的螺旋线
2 对于二阶振荡系统 s + 2ξωn s + ω n = 0 ，在S平面上等 阻 尼线为通过原点的射线且 cos β = ξ ，在Z 平面上为螺旋 线。 2
第4章 系统稳定性
4.1 稳定性一般概念 4.1 Concept of the System Stability
对于一个实际的控制系统， 对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑是一个极其 重要的问题， 重要的问题，因为一个不稳定的系统在实际应用中是很难有效地 发挥作用的。从直观上看， 发挥作用的。从直观上看，系统的稳定性就是一个处于稳态的系 在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置， 统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内， 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定， 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会 回到原来的平衡位置。 回到原来的平衡位置。
(4 − 2)
式中X(t)为n维状态向量，f(X,t)是状态向量 和显式时间 的n 为 维状态向量 维状态向量， 是状态向量X和显式时间 式中 是状态向量 和显式时间t的 维向量函数。 不一定是线性定常的。 维向量函数。 f(X,t)不一定是线性定常的。如果对于 ，状态 e总 不一定是线性定常的 如果对于t，状态X 满足： 满足：
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 李雅普诺夫第一法（间接法） 4.3 First Method of the Lyapunov (Indirect Method)
李雅普诺夫第一法通过分析系统微分方程的显式解来分析系 统的稳定性，对线性定常系统， 统的稳定性，对线性定常系统，它可以直接通过系统的特征根情 况来分析。 况来分析。李雅普诺夫第一法的基本思路与经典控制论中的稳定 性判别思路基本一致。 性判别思路基本一致。 设线性定常系统的动态方程为： 设线性定常系统的动态方程为：
常微分方程的稳定性分析
常微分方程的稳定性分析稳定性分析是常微分方程理论中的一个重要内容，它研究的是在一定条件下，常微分方程解的性质及其随时间变化的行为。
稳定性分析不仅在数学中具有深远意义，而且在物理、工程等应用领域也具有重要的价值。
1. 引言常微分方程是研究函数和它的导数之间关系的数学方程。
它在各个学科中都有广泛的应用，如物理学中的运动学、生物学中的生态系统模型、经济学中的经济增长模型等。
稳定性分析是对常微分方程解的行为进行评估和预测的方法，具有重要的理论和应用意义。
2. 稳定性的定义在稳定性分析中，我们关注的是方程解在微小扰动下的行为。
一个常微分方程解是稳定的，如果它对于任意微小的初始扰动都能保持接近原解。
换句话说，一个稳定的解在扰动下不会发生剧烈的变化。
相反，如果方程解对于微小扰动非常敏感，那么这个解就是不稳定的。
3. 稳定性的分类根据方程解的性质，我们可以将稳定性进一步分为以下几种：3.1 渐近稳定性如果一个方程解在长时间的演化过程中会趋向于某个特定的值，我们就称这个解是渐近稳定的。
换句话说，当时间趋向于无穷大时，解会趋于一个固定的稳定点或者稳定状态。
3.2 李亚普诺夫稳定性李亚普诺夫稳定性是一种更加严格的稳定性概念。
一个解是李亚普诺夫稳定的，当且仅当对于任意微小的初始扰动，解都能保持在一条逐渐靠近稳定状态的曲线上。
3.3 指数稳定性指数稳定性是对解的衰减速度的描述。
一个解是指数稳定的，如果其衰减速度超过了任何指数函数。
4. 稳定性分析的方法稳定性分析的方法有很多，其中一些常用的方法包括线性稳定性分析、李亚普诺夫函数的构造以及隐函数定理的应用等。
4.1 线性稳定性分析线性稳定性分析是一种简单而常用的方法。
它基于线性化的概念，即将非线性方程在稳定点附近进行线性逼近。
通过线性化方程，我们可以得到关于稳定性的有用信息。
4.2 李亚普诺夫函数的构造李亚普诺夫函数是一种在稳定性分析中常用的工具。
通过构造适当的李亚普诺夫函数，我们可以判断解的稳定性，并对解的演化过程进行描述。
自动控制原理控制系统的稳定性分析
Course 自动控制原理东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control Chap 4 控制系统的稳定性分析稳定性分析的意义稳定性是控制系统能够正常工作的首要条件。
稳定压倒一切。
只有稳定的情况下，性能分析和改进才有意义。
负反馈只是使系统稳定的一种手段，并不一定能够保证闭环系统的稳定。
例子：秋千东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control Chap 4 控制系统的稳定性分析4.1 稳定性stability的概念和定义d f b c a b c 平衡点单/多平衡点系统干扰，偏差稳定的物理意义东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 稳定范围/区域a 4.1 稳定性的概念和定义若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，随着时间的推移，偏差会逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统是稳定stable的；否则，称该系统是不稳定unstable的。
可通过研究描述系统的微分或差分方程的解得到系统稳定性。
东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况与输入量和初始偏差无关。
稳定性是系统本身的“固有特性”，一个控制系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数值。
线性系统稳定性分析只需考虑齐次系统情况即可。
东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义李亚普诺夫Lyapunov 1892稳定性x t F x t t xc t F xc t t 0 x0 x t0 Lyapunov stability 0 0 if x0 xc then x t xc n Lyapunov asymptotic stability x xc xi xic 2 i 1 If in addition lim x t xc 0 t东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义x2 x2 xc xc x1 x1东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义x2 xc x1东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义x x x t x 0e t x t 0 x 0 e t x 0 0 xx x t x 0et x1 x2 x2 x1 1 x1 0 x东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control Chap 4 控制系统的稳定性分析4.2 线性定常系统稳定的充分必要条件4.2.1 状态空间模型若讨论稳定性是基于状态空间模型的，则只关心是齐次状态方程的响应是否收敛到xe0－渐进稳定性连续线性定常系统渐近稳定的充分必要条件是：它的系数矩阵A的特征值全都具有负实部。
高中物理稳定性教案
高中物理稳定性教案教学目标：1. 了解物体的稳定性概念和相关因素。
2. 掌握计算物体的稳定性的方法。
3. 能够在实际情境中应用稳定性概念。
教学重点：1. 稳定性的定义与影响因素。
2. 如何计算物体的稳定性。
3. 稳定性的应用实例。
教学难点：1. 稳定性概念的理解和应用。
2. 计算稳定性时的复杂情况处理。
教学方法：1. 教师讲解结合示例分析。
2. 学生合作讨论和问题解答。
3. 实验和实践操作。
教学过程：一、引入（5分钟）教师引入本节课的内容，提出问题：什么是稳定性？什么因素会影响物体的稳定性？请同学们思考并回答。
二、概念讲解（10分钟）1. 稳定性的定义：当物体受到外力时，如果能够保持原来的静定状态或者回到静定状态，那么我们称该物体是稳定的。
2. 影响稳定性的因素：物体的重心位置、支撑点的位置、物体的形状和质量等。
三、计算稳定性（15分钟）1. 计算物体的稳定性常用的方法是计算物体的倾覆矩。
2. 倾覆矩的计算公式：M = mghsinθ，其中m为物体的质量，g为重力加速度，h为物体重心到支撑点的距离，θ为倾斜角度。
3. 通过几个实例讲解如何计算物体的稳定性。
四、实践操作（20分钟）1. 学生分组进行实验，测量不同物体的稳定性。
2. 学生利用所学知识计算物体的倾覆矩。
3. 学生讨论并总结实验结果，验证理论计算结果。
五、应用实例（10分钟）1. 教师提供稳定性应用实例，让学生分析和解决问题。
2. 学生通过小组讨论和展示呈现自己的思考和解决方案。
六、总结与拓展（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调稳定性的重要性。
2. 提出拓展思考题，让学生继续深入思考和学习。
教学资源：1. 实验器材：各种形状和质量的物体、支撑板等。
2. 实验记录表。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解物体的稳定性概念和计算方法，能够运用所学知识解决实际问题。
应重视实践操作和应用实例的训练，引导学生主动参与和思考，提高学生的学习兴趣和实践能力。
稳定性与李雅普诺夫
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
4.1常微分方程的定性与稳定性
13
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定理 4 对于非线性系统(7)，假设det A 0，A
的特征值为1和 2，且当( x, y) ( x0 , y0 )时，
X 2 ( x, y) Y 2 ( x, y) O{[( x x0 )2 ( y y0 )2 ]1 }
其中 0是常数，那么
1) 当 1 2 0时， P0是(7)的稳定结点；
y
g( x,
y)
(3)
方程组(3)的相空间是 x-y 平面，称为相平面。
假设 f ( x, y)， g( x, y)关于( x, y)有一阶连续偏导
数，对方程组(3)而言，只要( x0 , y0 )不是(3)的奇点，
即，( x0 , y0 )不同时 满足 f ( x, y) 0， g( x, y) 0，则
R
n
,
F
(t
,
x)
R
n
.
xn
fn (t, x)
设(a,b) R, D Rn,当F (t, x)在(a,b) D连续,
且关于 x 有连续的一阶偏导数时,对任意
(t0 , x0 ) (a,b) D,方程组(0)存在唯一的解(积分曲
线) x (t;t0 , x0 )满足 x(t0 ) x0.
x f ( x, y)
y
g( x,
y)
(6)
设系统(6)有孤立奇点P0 ( x0 , y0 )，且在P0 附近可写为
x
y
a1( x b1( x
x0) x0)
a2( b2(
y y
y0 y0
) )
X(x, y) Y(x, y)
(7)
其中a1 f x( x0 , y0 )，a2 f y( x0 , y0 )，b1 gx ( x0 , y0 )， b2 gy ( x0 , y0 )。
现代控制理论 第四章 李雅普诺夫稳定性理论
p11 p11 0, p21
p12 p22
0, ,
p 0
30
2.如果P是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则
V ( x) x Px
T
是正半定的。
3.如果矩阵P的奇数阶主子行列式为负值， T 偶数阶主子行列式为正值，则 V ( x) x Px 是负定的。 即:
p11 p12 p1n p11 p12 n (1) p11 0, (1) 0, , (1) p21 p22
16
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据
Ax x(0) x0 t 0 x
1）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：
Re(i ) 0
Re( i ) 0
i 1,2, n i 1,2, n
17
19
上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1
令
f2 fn
T
x x1 x2 xn
T
x x f ( xe )
x x xe
f A T x
x xe
则线性化系统方程为： x
Ax
20
结论： 1) 若 Re(i ) 0 i 1,2,, n ，则非线性系 统在xe 处是渐近稳定的，与 g ( x) 无关。 2) 若 Re(i ) 0 , Re( j ) 0 , i j 1,, n 则非线性系统不稳定。 3) 若Re(i ) 0，稳定性与g ( x) 有关，
9
4.2 李雅普诺夫稳定性的定义
1.李雅普诺夫意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一 个实数 ( , t0 ) 0 满足
现代控制理论4稳定性
4 稳定性分析4．1李氏稳定性分析 （1） 平衡状态设系统 [],x f x t = x —n 维状态向量。
f —n 维函数向量。
若存在状态向量ex ，对所有的t ，使得 []0ef x t ≡成立，则称ex 为系统的平衡状态。
例如 系统1132122x x x x x x =-⎧⎨=+-⎩解：有3个平衡点 100e x⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，201e x⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，301e x⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2） 稳定性分析1） 李亚普诺夫意义下的稳定 对于任选0ε>，都对应存在0(,)0t δε>的实数，当00(,)e x x t δε-≤时其解满足 00(,,)x t t εΦ≤ 0t t ≤<∞则称平衡状态ex 为李亚普诺夫意义下的稳定，如果δ与t 无关，则称ex 是一致稳定2） 渐近稳定由非0初始状态引起的自由运动是衰减的，当t →∞时， 0(,,)0et x t x Φ-=则ex 平衡点是渐近稳定的。
3） 大范围稳定如果ex 稳定，而且对于所有的0x ，00(,,)0et x t x Φ-→，则称平衡状态是大范围渐近稳定的。
4） 不稳定由初始状态引起的运动无论0ex x δ-≤，δ多么小，至少有一个状态超出任意指定的空间范围，则称平衡点ex 是不稳定的。
4．2李氏第一方法（1） 线性定常系统的稳定判据：x Ax Bu =+ y Cx =系统稳定的充要条件是0SI A -=的特征根全位于S 左半面，输出稳定的充要条件是B A SI C S W 1)()(--=的极点全位于S 左半面，当存在零、极点对消情况时两者是不一致的。
101-=A ，11B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， []10C = 0)1()1(=+∙-=-S S A SI 11S =-，21S =状态不全稳定，属于状态不稳系统， 而输出为[]1)1)(1(111100101)()(1+=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-=-S S S S S S B A SI C S W 是输出稳定系统。
epa文件-ep25a稳定性
序：稳定性在IVD研究中是直接反应试剂随时间的延长是否可以保持一致性的特性。
其不与精密性，斜率或其他常见特性相同，产品的稳定性由客户来验证是极其困难的。
比如，产品在实验室设计和数据分析结果都很精确，之后投入生产，在生产中要确保其稳定性。
IVD试剂在本篇中表示产品使用完后对患者样本的临床检测，举例来说就是IVD试剂盒的各个组分和与它们相关的测量，对照，样本稀释液和通用试剂。
本文中所使用的标准是：European standard EN 13640:2002-IVD试剂的稳定性检测，参考EN13640。
其余两篇重要的参考来源于（ICH）Q1A（R2）2和ICH QIE3，虽然这些着重于讲药品类的发展和药品中的一些物质，但也有一部分是和IVD试剂相关的。
关键词：加速稳定性，校准区间，失效期，可用时间，货架期，稳定性监控，稳定性设计，模拟运输。
IVD试剂稳定性评估：确认指标1. 范围：这篇文章概括了IVD试剂可使用的时间和放置时间稳定性，它涵盖了其背景信息和产品在什么时候需要设计检测其稳定性，研究时的逻辑关系，推荐使用的数据分析和稳定性声明文件。
其他题目包括了产品稳定性运输环境声明，稳定性监控（确认），和加速稳定性的检测。
使用这篇文章的一般属于低阶段IVD试剂生产厂家和调试中介，临床研究所或许可以用它来解释商业产品的稳定性，和建立实验室检测稳定性属性的方法。
这篇文章中没有明确表示使用的任何仪器，应用软件，和患者样本，所有未加工的物质，试剂盒组分或消费品都不是很清晰。
所以在这个文件所描述的原理或许只可以在生产中作为借鉴。
2. 标准警戒线：因为对于样本是怎样感染是无法预知的，所有患者样本和实验室样本都作为感染参照标准警戒线进行操作。
标准警戒线作为指导方针是由“通用警戒线和身体分泌物隔离”组合而成的。
标准警戒线覆盖了所有感染缘的传播，所以比通用警戒线更广泛，通用警戒线只适用与血液病原体的传播。
标准和通用警戒线指导方针可在US center for disease control and prevention 中查到。
4.系统的稳定性分析
Chapter4动态系统的稳定性分析稳定性描述当系统遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，在扰动消失后系统自身能否恢复到原来平衡状态的一种性能。
例如在倒立摆装置中，当摆杆受扰动而偏离垂直位置后，系统仍能使摆杆回到垂直位置，并能始终保持在垂直位置附近，这是系统稳定的基本含义。
一个不稳定系统是不能正常工作的，如何判别系统的稳定性以及如何改善系统的稳定性是系统分析与设计的首要问题。
系统的稳定性 是系统本身所固有的特性，与外部控制)(t u 无关。
所以讨论稳定性时一般只考虑0)(=t u 的自由系统。
4.1 平衡点与Lyapunov 稳定性考虑n 阶自由系统： )),(()(t t x f t x= 状态向量：T n t x t x t x ))(...)(()(1=，向量：T n t t x f t t x f t t x f ))),((...)),((()),((1=对)),(()(t t x f t x= ，若存在某一状态点e x ，使得对所有的t ，)(t x 都不随时间变化，定义e x 为系统的平衡状态（平衡点） 0),(≡=t x f xe （4-1） 一个系统不一定存在平衡点，但有时又可以有多个平衡点。
平衡点大多数在状态空间的原点0=e x 。
若平衡点不在原点，而是状态空间的孤立点，则可以通过坐标变换将平衡点移到原点。
经典控制理论：用传递函数描述线性定常系统，主要用特征函数0)(=s D 的极点分布、Routh （劳斯）判据、Hurwitz （胡尔维茨）判据、Nyquist （奈奎斯特）判据等来判别系统的稳定性。
现代控制理论：用状态空间描述MIMO 线性时变系统或非线性时变系统。
1) 根据系数矩阵A 的特征值即0)()()()()det(==-s f s f s f s f A sI O C O C O C CO 系统极点的分布来判别系统的稳定性。
0)(=s f CO 求出的是“既能控又能观”的极点，它也可以由传递函数求出；0)(=s f O C 求出的是“能控不能观”、0)(=s f O C 求出的是“不能控能观”、0)(=s f O C 求出的是“既不能控又不能观”部分的极点，他们由于“零极点相消”不能反映在传递函数中，因而也不能由传递函数求出；对线性定常系统，根据平衡点定义0)()(==t Ax t x，当0det ≠A ，则只有0=e x 一个平衡点。
系统运动的稳定性分析
的符号特V征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需
求解系统状态方程的解，故称直接法。
直接法解决了一些其它稳定性判据难以解决的非 线性系统的稳定性问题，但遗憾的是对一般非线性 系统仍未找到构造李雅普诺夫函数V(x)的通用方法。 尽管如此目前它仍然是研究系统(包括时变、非线性) 稳定性的有力工具。
几何意义：
3.大范围渐进稳定性
定义：当初始状态扩展到整个状态空间，且平衡状 态xe均具有渐进稳定性，称这种平衡状态xe是大范围 渐进稳定的。此时，δ→∞，S(δ)→∞。当t→∞时， 由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于xe。
对于严格的线性系统，如果它是渐进稳定的，必 定是大范围渐进稳定的。这是因为线性系统的稳定
系统在原点处的平衡状态是渐 进稳定的。
3.当 x ，有V (x,t)
1，2，3
系统在原点处的平衡状态是大范围渐 进稳定的。
[例4.3.1] 已知非线性系统的状态方程为:
[定理4.1] 线性定常系统
x Ax Bu
y
Cx
(4.10)
（1）平衡状态xe是渐进稳定的充分必要条件是矩
阵A的所有特征值均具有负实部；
（2）平衡状态xe是不稳定的充分必要条件是矩阵
A的有些特征值均具有正实部；
（3）当系统用传递函数描述时，系统BIBO稳定的
充分必要条件为G(s）的极点具有负实部。
[例4.2.1] 设系统的状态空间表达式为： P161例4-1
x
1
0
0 1 1x 1u
y 1 0x
试分析系统平衡状态xe=0的稳定性与系统的BIBO （输出）稳定性。 解：系统的特征方程为
控制工程基础第四章控制系统的稳定性分析
此阵列称为劳斯阵列（劳斯表）。其中，各未知元素 b1,b2,b3,b4,，
c1 , c2 , c3 , c4 , ，
e1,e2 ,
f
,
1
g 1
根据下列公式计算：
b1
a1
a2 a0 a1
a3
,b2
a1
a4 a0 a1
a5
,b3
a1
a6 a0 a1
a7
,
c1
b1
a3 a1b2 b1
,
c2
b1
X
0
(s)
s
A1 p
A2 s p
Aj s p
An s p
1
2
j
n
式中，A1，A2，…，Aj，…，An为待定系数。对其进行拉氏反变换，
得单位脉冲响应函数为
x A e A e A e A e (t)
pt 1
pt 2
pjt
pt n
0
1
2
j
n
A e n
j 1
pt j
j
根据稳定性的定义，若系统稳定，应有
a a a a 0
0
0
0
ao (s
p )(s 1
p )(s 2
p) n
0
式中，p1，p2，…，pn为系统的特征根。
由根与系数的关系可知，若使全部特征根p1，p2，…，pn均具有 负实部，系统必须满足以下条件： （1）特征方程的各项系数a0，a1，a2，…，an都不等于零。 （2）特征方程的各项系数a0，a1，a2，…，an的符号都相同。 在控制工程中，一般取a0为正值，则系统稳定的必要条件为：特征方 程的各项系数a0，a1，a2，…，an均必须为正值。若a0为负值，可在特 征方程的两边同乘以-1使其变为正值。
定理4.1证明原点稳定的方法
定理4.1证明原点稳定的方法
要证明原点的稳定性，我们可以使用Lyapunov稳定性定理。
根据定理4.1，如果存在一个连续可微的函数V: R^n -> R满足以下条件：
1. V(0) = 0。
2. V(x) > 0, 对所有的x ≠ 0成立。
3. 对于所有的x，V的导数V'满足V'(x) < 0。
那么原点x=0是系统的稳定点。
下面我们来证明这个定理。
首先，我们选择一个候选的Lyapunov函数V(x)。
通常我们会选择V(x) = x^T P x，其中P是一个对称正定矩阵。
这样的选择通常能够简化证明过程。
接下来，我们计算V(x)的导数V'(x)。
根据我们选择的V(x)，V'(x) = x^T P x的导数。
然后我们计算V'(x)在原点附近的取值。
如果V'(x)在原点附近是负定的，即V'(0) < 0成立，那么根据
Lyapunov稳定性定理，原点x=0是稳定的。
要注意的是，Lyapunov函数的选择和对V'(x)的分析可能会因
系统的具体形式而有所不同。
在具体的应用中，我们需要根据系统
的特点来选择合适的Lyapunov函数，并对V'(x)进行分析。
总的来说，证明原点稳定性的方法是选择合适的Lyapunov函数，并分析其导数在原点附近的取值。
通过这样的分析，我们可以得出
原点的稳定性结论。
41稳定性定义与稳定性条件
t
, 当A具有重特征值时,x(t)含有 te 项，稳定性结论同上。
t
t t2 e ,
诸
结论 ： MIMO 线性定常连续系统稳定的
充分必要条件是，系统矩阵A的全部特征 值具有负实部，或者说都位于复平面左 半部。
4.1.5 线性定常离散系统的稳 定性
1. SISO线性定常离散系统稳定性条件
(4.15)
( k )P x ( k ) ,式(4.15)变换为: 做非奇异线性变换 x
1 x ( k 1 ) P AP x ( k )
(4.16)
i 1 , 2 , , n （1）A有n个互异的特征值 i ， 总可以找到一个非奇异阵P，使矩阵 P1AP 化为 对角型，即
Y(z)
pi
i 1 , 2 , , n ， 。
i 1
n
z A i z pi
相应的脉冲响应序列为:
y(k)
i 1
n
k A ( p ) i i
k 0
(4.12) i 1 , 2 , , n 如果所有的极点在单位圆内,即 p i 1 ， ， y (k) 0，所以，系统是渐近稳定的。 则 lim k
Ax 首先讨论线性系统 x 的平衡状态。由 于平衡状态为 Ax e 0 ，因此，当A为非奇异矩 阵时，系统只有一个平衡状态 xe 0 ；当A 为奇异矩阵时，系统有无穷多个平衡状态。
对于非线性系统，可能有一个平衡状态， 也可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以 由平衡方程解得。下面举例说明。
例4.1 求下列非线性系统的平衡状态
1 x x 1 3 x x x x 1 2 2 2
解 由平衡状态定义，平衡状态 xe [x1e x 2 e ] T 应 满足: x 0
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Ai z
z pi
Ai1 z z pi1
k ii
k i1 i1
由于特征方程是实系数， 所以，Ai , Ai1 必定是共轭的。
设 Ai , Ai1 Ai e ji
k 0
代入上式得:
yi,i1 (k)
Ai
pi ek j(ki i ) Ai
p ek j(ki i ) i
统到达某状态，并且维持在此状态而不再发生变化的， 这样的状态称为系统的平衡状态。
根据平衡状态的定义可知,连续系统 x f (x)的平衡状 态 xe 是满足平衡方程 x 0 即 f (xe) 0的系统状态。离散 系统 x(k 1) f (x(k)) 的平衡状态，是对所有的k，都满足 平衡方程 xe f (xe, k) 的系统状态。
(4.5)
设特征方程(4.5)有k个实根 i ，r对共轭复 根 i jdi ，则系统的脉冲响应为:
k
r
y(t) Ci e it e it ( Ai cos di t Bi sin di t)
i 1
i 1
(4.6)
从上式可以看出：
1）若
i
， i 均为负实部，则有
(k )
1 k
1 0
齐次方程(4.20)的解为:
k1
1
1
x1(k) 1k x1(0) k1k1x2 (0)
x2 (k) 1k x2 (0)
(4.21)
显然，当 k 时，x1(k) ，x2 (k) 都趋于零的充分 必要条件是 1 1 。
所以
x(t) e At x(0) [R1e1t Rnent ]x(0)
(4.10)
从上式可见，当A的所有特征值位于复平面左
半平面，即 Re(i ) 0 ，i 1, , n ，则对任意
x(0)，有 lim x(t) 0 ，系统渐进稳定。只要有一 t
个特征值的实部大于零，对于
lim
k
y(k)
lim (
k
A2
k
A1 )
系统是不稳定的。
结论：线性定常离散系统稳定的充分必要条
件是，闭环脉冲传递函数的所有极点都位于平 面的单位圆内。
2. MIMO线性定常离散系统稳定性条件
设线性定常离散系统的状态方程为:
x(k 1) Ax(k)
(4.15)
做非奇异线性变换 x(k) Px(k) ,式(4.15)变换为:
x(k 1) P 1 APx(k)
(4.16)
（1）A有n个互异的特征值 i ，i 1,2, , n
总可以找到一个非奇异阵P，使矩阵 P1AP 化为
对角型，即
1 0 0 0
0
2
0
0
A P 1 AP
0
0 n1
x x12 x22 xn2
2. 矩阵的范数
定义：mxn矩阵A的范数定义为:
(4.1)
a11 a12
A
am1 am2
a1n amn mn
(4.2)
A
nm
ai2j j 1 i1
(4.3)
4.1.2 平衡状态
系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系
所以，临界稳定在工程上是不稳定的。
结论：线性定常连续系统稳定的充分必要条
件是，系统的全部特征根或闭环极点都具有负 实部，或者说都位于复平面左半部。
2. MIMO线性定常连续系统稳定的条件
描述MIMO线性定常连续系统的状态方程为：
x Ax Bu
（4.7）
设A有相异特征值 1, , n ，则存在非奇异线性变
2.渐近稳定
定义：若平衡状态 xe 是李雅普诺夫意义下稳定
的，并且当 t 时，x(t) xe
,即 lim t
x(t)
xe
0
，
则称平衡状态是渐进稳定的。
3. 大范围（渐近）稳定
定义：如果对任意大的 ，系统总是稳定的，
则称系统是大范围（渐进）稳定的。如果系统 总是渐进稳定的，则称系统是大范围渐进稳定 的。
例4.1 求下列非线性系统的平衡状态
x2
x1 x1 x1 x2
x23
解 由平衡状态定义，平衡状态 xe [x1e x2e ]T 应
满足:
x1e 0
x1e
x2e
x
3 2e
0
得非线性系统有三个平衡状态：
xe1 0 0T , xe2 0 1T , xe3 0 1T .
换 x Px ，使 A 为对角矩阵，即:
A P 1 AP diag(1 n )
非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为:
x(t) e At x(0) diag(e 1t e nt )x(0)
由于 x P1x ，x(0) P 1x(0) ，所以，原状态方程的 零输入解为:
4. 不稳定
定义：如果对于某一实数 0 ，不论 取多 小，由 s( ) 内出发的轨迹，至少有一条轨迹越 出 s(，) 则称平衡状态为不稳定.
上述定义对于离散系统也是适用的，只是 将连续时间t理解为离散时间k。
注意:稳定性讨论的是系统没有输入（包括
参考输入和扰动）作用或者输入作用消失以后 的自由运动状态。所以，通常通过分析系统的 零输入响应，或者脉冲响应来分析系统的稳定 性。
要条件是 i 1 ，i 1,2, , n 。
（2）特征值是特征方程的重根
不失一般性，设为两重根。经非奇异线性变换 可以化为下面的约当型：
x1 x2
(k (k
1) 1)
1
0
1 x1(k)
2
x
2
(k
)
(4.20)
状态方程(4.20)的状态转移矩阵为:
0
0 0 0 n
于是
x (k 1) A x (k )
(4.17)
根据状态转移矩阵的定义，方程(4.17)的解为
x(k) (k)x(0) A k x(0)
(4.18)
变换回原来的变量，有
x(k) PA k P 1 x(0)
(4.19)
由式(4.19)看出：当 k 时，x(k) 0 的充分必
Y (z) A2 p1z A1 z (z p1 ) 2 z p1
对应的脉冲响应序列为:
y(k) A2 k( p1 ) k A1 ( p1 ) k
(4.14)
显然，若重极点在单位圆内，即 p1 1 ，系统
是渐近稳定的；重极点在单位圆外, 即 p1 1 ， 系统是不稳定的；重极点在单位圆上,即 ， p1 1 由式（4.14）可得:
4.1.3 李雅普诺夫稳定性定义
1.稳定
定义:如果对于任意给定的每个实数 0 ,都 对应存在着另一实数 (,t0) 0 ,使得从满足不等 式 x0 xe (,t0 ) 的任意初态 x0 出发的系统响 应,在所有的时间内都满足 x xe 则称系统 的平衡状态 xe 是稳定的.若 与 t0 的选取无 关,则称平衡状态 xe 是一致稳定的.
k 0
(4.12)
如果所有的极点在单位圆内,即 pi 1 ，i 1,2,，,n 则 lim y(k) 0 ，所以，系统是渐近稳定的。
k
如果其中有一个极点在单位圆上，设 p1 1 ，
而其余极点均在单位圆内，则
lim
k
y(k)
A1
，所
以，系统是李雅普诺夫意义下稳定的，又称临
第4章 控制系统稳定性分析
4.1 稳定性定义与稳定性条件
当系统受到扰动后，其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内， 系统的响应可能出现下列情况： 1)系统的自由响应是有界的； 2)系统的自由响应是无界的； 3)系统的自由响应不但是有界的，而且最终回到原先的平衡状态。
李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐进 稳定的。
首先讨论线性系统 x Ax 的平衡状态。由 于平衡状态为 Axe 0 ，因此，当A为非奇异矩 阵时，系统只有一个平衡状态 xe 0 ；当A 为奇异矩阵时，系统有无穷多个平衡状态。
对于非线性系统，可能有一个平衡状态， 也可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以 由平衡方程解得。下面举例说明。
2 Ai pi k cos(k i i )
(4.13)
由此可见，该对复数极点若在单位圆内 （ pi 1 ），系统是渐近稳定的；若在单位圆 外（ pi 1 ），系统是不稳定的；在单位圆上 （ pi 1 ），系统是临界稳定的。
（3） (z) 含有重极点
不失一般性，设含有两重极点 p1 ，则Y(z)可 展开为:
lim
t
y(t)
0
，因此，
当所有特征根的实部都为负时，系统是稳定的；
2 ） 若 i ， i 中 有 一 个 或 者 几 个 为 正 ， 则 有 lim y(t) ，因此，当特征根中有一个或者几
t
个为正实部时，系统是不稳定的；
3）若 i 中有一个或者几个为零,而其它i ， i
结论：线性定常离散系统稳定的充分必
x(0)
0，lLeabharlann m t x(t)
，
系统不稳定。当有特征值的实部等于零，而其
它特征值的实部小于零，则随着时间的增加，
x(t)趋于常值或者为正弦波，系统是李雅普诺