(优选)稳定性定义与稳定性条件
原创10：生态系统的稳定性
2、恢复力稳定性
恢复力稳定性是指生态系统在受ห้องสมุดไป่ตู้外界干扰因素的 破坏后恢复到原状的能力。
增强最初发生变化的那 种成分所发生的变化
注意：
生态系统的自我调节能力不是无限的，当外界干扰因 素的强度超过一定限度时，生态系统的自我调节能力 就会迅速丧失，生态系统就到了难以恢复的程度。
二、抵抗力稳定性和恢复力稳定性
1、抵抗力稳定性
抵抗力稳定性是指生态系统抵抗外界干扰并使自身的 结构与功能保持原状的能力。生态系统的抵抗力稳定 性与生态系统自我调节能力的大小有关。
（3）实验流程
制作生态缸框架 缸底部的铺垫
注入水
放入动植物 密封生态缸
标准：100cmX70cmX50cm
花土在下，一边高，一边低；沙土在上， 沙土层厚5~10cm
注意：从缸内低处注入
水中放浮萍、水草、小乌龟 沙土上移植仙人掌（或仙人球） 花土上移植蕨类植物和杂草 花土上放置蚯蚓、蜗牛
用胶带将生态缸密封
生态系统的稳定性
一、生态系统的自我调节能力
1、生态系统的稳定性
（1）概念： 生态系统所具有的保持或恢复自身结构 和功能相对稳定的能力。
（2）原因： 生态系统具有自我调节能力。 （3）表现： 生态系统的结构稳定性和功能稳定性。
2、生态系统的自我调节能力
不同的生态系统都具有在一定范围内消除外来干扰的 能力，即自我调节能力。 一般来说，生态系统的组成成分越多，营养结构越复 杂，其自我调节能力越强；相反，组成成分越少，营 养结构越简单，其自我调节能力越弱。自我调节能力 的基础是负反馈调节。
性能测试题库(优选.)
........................................................................................................................................................................................性能测试题库答案一、低难度类：1、理论类选择类1) 通过疲劳强度测试，最容易发现问题的问题是:BA．并发用户数B．内存泄露C．系统安全性D．功能错误2) 如下那些工具不属于压力测试工具:DA．LoadRunnerB．Logiscope（嵌入式测试工具）C．WAS(WebSphere Application Server(WAS)) (中间件服务器)D．Rational Robot(用于的G UI脚本、用于的V U以及V B脚本)3) 如下哪些测试场景不属于负载压力测试:AA．恢复测试B．疲劳强度测试C．大数据量测试D．并发性能测试4) LINUX 下，解压缩文件的命令为:BA. tar zxvf 文件名B. unzip 文件名C. CAT 文件名D. VI 文件名5) 对abcd 文件赋予所有者和组许可的读和执行权限，命令正确的是:BA. chmod 033 abcdB. chmod 550 abcdC. chmod 770 abcd........................................................................................................................................................................................D. chmod u+rx abcd6）在软件性能测试中，下列指标中哪个不是软件性能的指标DA）响应时间C）资源利用率D）并发进程数B）吞吐量7）下列关于软件性能测试的说法中，正确的是BA）性能测试的目的不是为了发现软件缺陷B）压力测试与负载测试的目的都是为了探测软件在满足预定性能需求的情况下所能负担的最大压力C）性能测试通常要对测试结果进行分析才能获得测试结论D）在性能下降曲线上，最大建议用户数通常处于性能轻微下降区与性能急剧下降区的交界处8）下列关于软件可靠性测试的说法中，错误的是AA）发现软件缺陷是软件可靠性测试的主要目的B）软件可靠性测试通常用于有可靠性要求的软件C）在一次软件可靠性测试中，执行的测试用例必须完全符合所定义的软件运行剖面D）可靠性测试通常要对测试结果进行分析才能获得测试结论问答类1) 什么是性能测试，其应用领域分别是什么？性能测试是通过自动化的测试工具模拟多种正常、峰值以及异常负载条件来对系统的各项性能指标进行测试，应用领域有四个：能力验证、能力规划、性能调优、缺陷发现。
药剂学第八章关于药物制剂的设计
2. 注射给药
设计注射剂型时，根据药物性质与临床 要求可选用溶液剂、混悬剂、乳剂等， 并要求无菌、无热原，刺激性小等。
需长期给药时，可采用缓释注射剂。
对于在溶液中不稳定的药物，可考虑制 成冻干制剂和无菌粉末，用时溶解。
3. 皮肤或粘膜部位给药
皮肤给药的制剂应与皮肤有良好的亲和性、 铺展性或粘着性，在治疗期间内不因皮肤 的伸缩、外界因素的影响以及衣物摩擦而 脱落，同时无明显皮肤刺激性、不影响人 体汗腺、皮脂腺的正常分泌及毛孔正常功 能。
未在国内上市销售的由中药、天然药物制成的注射剂。
药物的吸收程度和速度是决定药理作用 包括急、慢毒性，有时还要进行致畸、致突变等试验。
一个药物从合成到最后上市，大致经历：①药理活性的筛选； PKa和溶解度的测定:
强弱快慢的主要因素之一。 不同剂型在体内的过程不同，吸收程度与速度也不同。
光敏性药物可放置在强光下以测定光敏性； 根据新制剂的适应症进行相应的药理学评价，以证明该制剂有效。 药物的被动吸收速率与药物的扩散系数有关，分子量大的药物，其扩散阻力大，扩散速率慢。 （一）综述资料
可控性主要体现在制剂质量的可预知性与重现 性。按已建立的工艺技术制备的合格制剂，应 完全符合质量标准的要求。重现性指的是质量 的稳定性，即不同批次生产的制剂应达到质量 标准的要求，不应有大的变异。
质量可控要求在制剂设计时应选择较成熟的剂 型、给药途径与制备工艺，以确保制剂质量符 合标准的规定。
4.稳定性（stability）
（3）根据所确定的剂型的特点，选择合适于 剂型的辅料或添加剂，通过各种测定方法考察 制剂的各项指标，采用实验设计优化法对处方 和制备工艺进行优选。
第二节 制剂设计的基础
一、给药途径和剂型的确定
优选第四章新药的稳定性研究
性状、含量、粒度、有关物质、外观均匀度
第二节 稳定性研究的结果评价
择提供依据。
一、影响因素试验
类别： • 高温、高湿、光照； • 冻融试验、配伍试验、低温、低湿试验； • PH值、氧、等。
从不同的角度、不同的层面考适宜的容器中（称量瓶或培养皿），摊成≤5MM 的薄层，疏松原料药摊成≤10MM的薄层； 制剂 ：先采用除去内包装的最小制剂单位，分散为单层； 若试验结果不明确应加试2个批号的产品；
• 需要冷冻保存的药品可不进行加速试验。
三、长期试验
• 长期试验是在接近上市药品规定实际贮存条件下进行，目 的是考察药品在运输、保存、使用过程中的稳定性，更能 直接地反映药品稳定性特征，是确定有效期和贮存条件的 最终依据。
三、长期试验
• 条件：25℃±2℃、RH60% ±10%（也可在常温条件下）； • 取样时间：0、3、6、9、12、18第一年每3个月末一次，
第二年6个月末一次，以后每年末一次； • 对温度敏感药物在6℃±2℃； • 对 采 用 半 通 透 性 的 容 器 包 装 的 药 物 制 剂 25℃±2℃ 、
RH40% ±10%。
四、上市后的稳定性研究
在药品获准生产上市后，应采用实际生产规模的药 品继续进行长期试验。根据继续进行的稳定性研 究的结果，对包装、贮存条件和有效期进行进一 步的确认。
一般地，考察项目可分为物理、化学、生物学和微 生物学等几个方面。具体品种的考察项目设置应 参考《中国药典》现行版有关规定。
五、稳定性重点考察项目
剂型 原料药
片剂 胶囊剂
注射剂 栓剂 软膏剂
物体的稳定和不稳定
物体的稳定和不稳定稳定和不稳定是一对词语，在物理学中被广泛应用到描述物体的状态。
稳定指的是物体处于平衡状态下保持原状不变的性质，而不稳定则指的是物体容易发生倾覆或逆转的状态。
在我们日常生活中，物体的稳定性是一个非常重要的概念，不论是建筑物、桥梁、车辆，还是我们所使用的家具、厨具等，都需要具备一定的稳定性，才能确保我们的安全和舒适。
物体的稳定性取决于多种因素，其中最重要的是重心的位置。
重心是物体所受重力作用的一个点，通过重心的位置可以判断物体在平衡时所受到的力和力矩的大小。
当物体的重心位于物体的支撑基点上时，物体就处于稳定状态。
例如，一个放置在桌子上的杯子，由于重心位于杯子底部，所以只要桌子平稳，杯子就能保持不倾斜。
而如果重心偏离支撑基点，就会使物体变得不稳定，容易发生倾覆。
除了重心的位置，物体的形状和支撑面积也是影响稳定性的因素。
一个形状不规则的物体，由于其重心位置难以确定，往往比较容易发生倾覆。
而一个形状规则、底部支撑面积大的物体，就更容易保持稳定。
就像一个倒置的圆锥体，由于其底部支撑面积很小，所以很容易发生倾斜。
而如果将其正过来，使底部变为顶部，立刻就变得稳定了。
此外，物体的质量也会对稳定性产生影响。
质量越大的物体，其重心位置越低，稳定性就越好。
因为当物体重心位置越低时，其所受到的力矩越小，就越不容易倾覆。
例如，建筑物和大型工程机械都会在基础部位增加质量，以提高稳定性。
而对于轻薄的物体，要保持其稳定性就需要采取其他措施，比如增加支撑面积或者采用固定装置。
然而，即使物体外表稳定，也不代表它实际上就是绝对稳定的。
在实际应用中，物体还会受到其他因素的干扰，如风的作用、地震的影响等。
这些外部力的作用会改变物体所受的力和力矩，从而影响物体的稳定性。
例如，在大风天气中，高楼大厦会受到侧风的冲击，如果设计不当或者风力过大，就有可能导致楼房的倾倒。
因此，在建筑物的设计和工程的实施过程中，需要考虑到这些因素，采取相应的预防措施。
高中物理稳定性教案
高中物理稳定性教案教学目标：1. 了解物体的稳定性概念和相关因素。
2. 掌握计算物体的稳定性的方法。
3. 能够在实际情境中应用稳定性概念。
教学重点：1. 稳定性的定义与影响因素。
2. 如何计算物体的稳定性。
3. 稳定性的应用实例。
教学难点：1. 稳定性概念的理解和应用。
2. 计算稳定性时的复杂情况处理。
教学方法：1. 教师讲解结合示例分析。
2. 学生合作讨论和问题解答。
3. 实验和实践操作。
教学过程：一、引入（5分钟）教师引入本节课的内容，提出问题：什么是稳定性？什么因素会影响物体的稳定性？请同学们思考并回答。
二、概念讲解（10分钟）1. 稳定性的定义：当物体受到外力时，如果能够保持原来的静定状态或者回到静定状态，那么我们称该物体是稳定的。
2. 影响稳定性的因素：物体的重心位置、支撑点的位置、物体的形状和质量等。
三、计算稳定性（15分钟）1. 计算物体的稳定性常用的方法是计算物体的倾覆矩。
2. 倾覆矩的计算公式：M = mghsinθ，其中m为物体的质量，g为重力加速度，h为物体重心到支撑点的距离，θ为倾斜角度。
3. 通过几个实例讲解如何计算物体的稳定性。
四、实践操作（20分钟）1. 学生分组进行实验，测量不同物体的稳定性。
2. 学生利用所学知识计算物体的倾覆矩。
3. 学生讨论并总结实验结果，验证理论计算结果。
五、应用实例（10分钟）1. 教师提供稳定性应用实例，让学生分析和解决问题。
2. 学生通过小组讨论和展示呈现自己的思考和解决方案。
六、总结与拓展（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调稳定性的重要性。
2. 提出拓展思考题，让学生继续深入思考和学习。
教学资源：1. 实验器材：各种形状和质量的物体、支撑板等。
2. 实验记录表。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解物体的稳定性概念和计算方法，能够运用所学知识解决实际问题。
应重视实践操作和应用实例的训练，引导学生主动参与和思考，提高学生的学习兴趣和实践能力。
药品稳定性和有效期研究(ppt)
第三节 药品稳定性试验与 药品的有效期
一、药品稳定性研究的结果
1、储存条件的确定 2、包装材料/容器的确定 3、有效期的确定
二、稳定性试验与药品的有效期
第三节 药品稳定性试验与 药品的有效期
三、药品性质变化对有效期的影响 1、外观性状 2、理化性质 3、化学性质 4、微生物性质
四、药品有效期应注意的问题
第四节 药品稳定性研究的 试验方法及统计推断
3、台阶型变温加速试验
庞贻慧等于20世纪80年代初提出了台阶型变温加速试验。该法 能以较少的时间与工作量完成预测，既不需要程序升温装置，又不 必借助电子计算机作数据处理。
其他两种方法是直接法和反推法，由Shao和Chow提出。
第四节 药品稳定性研究的 试验方法及统计推断
一、稳定性试验常用方法 （一）恒温法 1、经典恒温法
本方法的理论依据是阿伦纽斯（Arrhenius）的指数定律
2、多元线性模型恒温法
乐健、刘文英、杨静化等于1996年研究了一种新的恒温法——多元线性模型法。 该模型原理如下：药物降解反应恒温动力学基本公式：
药学研究的主要内容之一。药品的稳定性是确保临床 疗效和安全性的重要指标。
第一节 药品稳定性试验的 目的和意义节 药品稳定性研究的 主要内容
稳定性研究通过一系列的试验，从不同层 面、不同角度系统、全面考察药品的稳定性。
一、影响因素试验 二、加速试验 三、长期留样试验
第二节 药品稳定性研究的 主要内容
三种试验的比较
影响因素
时间 10天
条件 最为剧烈
目的
初步确定包装容器和材 料，估测加速与长期留 样应采用的温度和湿度。
加速试验 6个月
较为剧烈
初步评估正常条件下放 置更长时间的稳定性。
(优选)研究有限差分格式稳定性的方法
以左偏格式为例：
un1 j
u
n j
a(u
n j
u
n j 1
)
un1 j
u
n j
a(u
n j
u
n j 1
)
令unj vneikjh 代入差分方程
vn1eikjh vneikjh a(vneikjh vneik ( j1)h )
整理得：
vn1 (1 a(1 eikh ))vn
增长因子为：
得其增长因子为G( , k)
1
.
1 4a sin2 kh
注:判断稳定性关键是求增长因子或增长矩阵的特征值。
3.3 例子
Fourier方法在具体应用时，可以采取离散的形式， 直接从差分方程入手。不必要扩充、Fourier积分的 烦琐步骤。具体是：
取：u
n j
v en ikjh,直接代入差分方程，分析增长因子。
(实际上是采用了Fourier积分的离散形式)
（优选）研究有限差分格式稳 定性的方法
由于unj 及g
只是在网格点上有意义，为了应用
j
Fourier
方法进行讨论，必须扩充这些函数的定义域，使它们
在整个（ ， ）上有定义。令：
U ( x, tn ) unj ( x) g j
(
j
1 )h
x
(
j
1 )h
2
2
( j 1)h x ( j 1)h
定理3.2 : 如果差分格式的增长矩阵G( , k)是正规
矩阵，则Von Neumann条件是稳定性的必要且 充分条件。 推论1：当是实对称矩阵，酉 矩阵，Hermite 矩阵时， Von Neumann 条件是差分格式稳定的 充分必要条件。
化学物质的稳定性分析
化学物质的稳定性分析化学物质的稳定性是指在一定条件下，物质是否易于分解或变质的程度。
稳定性的分析对于化学行业、药物研发和生产等领域至关重要。
本文将从不同角度探讨化学物质的稳定性分析方法，包括温度稳定性、光稳定性和化学反应稳定性等。
一、温度稳定性温度稳定性是指物质在不同温度下是否能保持其结构和性质不发生明显变化。
对于热敏感的化学物质，了解其温度稳定性非常重要。
常用的温度稳定性分析方法包括热重分析（TGA）和差示扫描量热法（DSC）等。
热重分析是通过测量物质在升温过程中的质量变化来确定其稳定性。
该方法广泛应用于聚合物材料、催化剂和药物等领域。
差示扫描量热法则可以通过测量样品与标准参比物在温度变化下产生的热流差异来判断物质的稳定性。
这些方法可以提供重要的信息，帮助我们确定物质的贮存条件和使用温度范围。
二、光稳定性光稳定性是指化学物质在光照条件下是否能够保持其结构和性质不发生明显的变化。
光照条件对于许多物质来说是不可避免的，在药物制剂和化妆品等领域尤为重要。
光稳定性分析常用的方法包括紫外可见光谱（UV-Vis）和红外光谱（IR）。
紫外可见光谱可以通过测量物质在不同波长光照下的吸光度变化来判断其光稳定性。
该方法广泛应用于药物、染料和小分子化合物的研究中。
红外光谱则可以通过观察物质中特定官能团的吸收峰变化来评估其光稳定性。
这些方法可以帮助我们评估物质在光照条件下的稳定性，并采取相应的保护措施。
三、化学反应稳定性化学反应稳定性是指物质在不同环境中是否易于发生分解、氧化、还原或其他化学反应。
分析化学反应稳定性可以帮助我们确定物质的保存条件和适用性。
常用的化学反应稳定性分析方法包括氧气感应时间（OIT）测定和过氧化值（POV）测定。
氧气感应时间测定是通过测量物质在氧气环境中开始发生反应的时间来评估其氧化稳定性。
过氧化值则是一种评估食用油和脂肪氧化程度的常用方法。
这些方法可以帮助我们了解物质在氧化或其他化学反应条件下的稳定性。
放大器稳定性判定详解演示文稿
式中 S11S22 S S 21 12
圆心
Cin
Cin R
Cin I
(S11 S22) S11 2 2
第27页，共45页。
放大器的稳定性判定
Imin
S2圆
ImL
不稳定
Rein
S11
in 1
稳定 ReL
L 1
in复平面
L复平面
输入端稳定性判别圆
下面讨论如何用稳定性判别圆判断稳定区域
与两端阻抗都有关，即：GT=PL/Pa。 实际功率增益：负载吸收功率与二端口网络输入端吸收功率之
比，与源阻抗无关，与负载阻抗有关，即：G=PL/Pin 。 资用功率增益：二端口网络输入资用功率与输出资用功率之比，
源端和负载端均共轭匹配，与源阻抗有关，与负载阻抗无关。 它是放大器增益的最大潜力，即：GA=Pavs/Pavs。
2
第19页，共45页。
资用功率增益
放大器资用功率增益是指放大器的资用功率与信号源资用功 率的比值。
因由为资用ZL功 率Zou增时t ，益放定大义器可的得资用功率=负载吸收的功率。
G G A
T L out
GA的物理G意A 义S1是21：2(o1ut
L
2 L
2 )(1 s 1 S11s
2)
2
L out
第26页，共45页。
放大器的稳定性判定
以上讨论的是ΓL复平面上的|Γin|=1圆，用同样方法
由
out
S22
S21S12s 1 S11s
S22 s 1 S11s
1
可得到在Γs复平面上的稳定性判别圆：
(sR CiRn )2 (sI CiIn )2 rin2
圆半径
离散系统的稳定性
（优选）离散系统的稳定性
极点位置与动态响应的关系(定性分析）
（1） 极点位置位于实轴
G(z)
ci
z z pi
R(z) 1 脉冲响应 c (k) Z 1 [G (z)R (z)] c ip ik
① pi>1 ② pi=1 ③ 0<pi<1 ④ -1<pi<0 ⑤ pi=-1 ⑥ pi<-1
§ 闭环零点使超调量增加。 § 闭环零点越靠近＋1，超调量越大。 § 闭环极点角度越大，受零点影响越大。
注意2： 非主导极点与动态响应的关系
1 b0z2 b1z b2
1 z2 a1z a2
如何确定主导极点和非主导极点？
距离原点最远的极点——主导极点； 模≤(主导极点的模)5——非主导极点可忽略； 非主导极点位于实轴——超调减小
用MATLAB画bode图
G(z) 0.393 , T0.5s (z0.606)
画bode图程序S6
nz1=[0,0.369]; dz1=[1,-0.606]; ts=0.5; w=[0:0.01:6*pi]; dbode(nz1,dz1,ts,w);
z=tf('z',-1); 7 离散系统根轨迹法和频域法 极点位于原点 衰减最快 Z——闭环不稳定的极点数；
plot(w,mz1); 闭环零点越靠近＋1，超调量越大。 z=tf('z',-1); 闭环零点越靠近＋1，超调量越大。 rlocus(g),grid 闭环极点角度越大，受零点影响越大。 P——开环不稳定的极点数： 如何确定主导极点和非主导极点？
Z1.2 0.523 0.636i
串联
0 .8 Z 0 .2
非主导极点为复数极点
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e At Pe At P 1 Pdiag(e1t ent )P 1
(4.8) (4.9)
将上式展开, e At 的每个元素都是 e1t , , ent 的线 性组合，所以可写成矩阵多项式:
n
e At Ri e it R1e 1t Rn e nt i 1
所以
x(t) e At x(0) [R1e1t Rnent ]x(0)
首先讨论线性系统 x Ax 的平衡状态。由 于平衡状态为 Axe 0 ，因此，当A为非奇异矩 阵时，系统只有一个平衡状态 xe 0 ；当A 为奇异矩阵时，系统有无穷多个平衡状态。
对于非线性系统，可能有一个平衡状态， 也可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以 由平衡方程解得。下面举例说明。
例4.1 求下列非线性系统的平衡状态
当所有特征根的实部都为负时，系统是稳定的；
2 ） 若 i ， i 中 有 一 个 或 者 几 个 为 正 ， 则 有 lim y(t) ，因此，当特征根中有一个或者几
t
个为正实部时，系统是不稳定的；
3）若 i 中有一个或者几个为零,而其它i ， i
均为负，则有
lim
t
y(t )
为常数。若
(4.5)
设特征方程(4.5)有k个实根 i ，r对共轭复 根 i jdi ，则系统的脉冲响应为:
k
r
y(t) Ci e it e it ( Ai cos di t Bi sin di t)
i 1
i 1
(4.6)
从上式可以看出：
1）若
i
， i 均为负实部，则有
lim
t
y(t)
0
，因此，
（优选）稳定性定义与稳定性 条件
A
nm
ai2j j 1 i1
(4.3)
4.1.2 平衡状态
系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系
统到达某状态，并且维持在此状态而不再发生变化的， 这样的状态称为系统的平衡状态。
根据平衡状态的定义可知,连续系统 x f (x)的平衡状 态 xe 是满足平衡方程 x 0 即 f (xe) 0的系统状态。离散 系统 x(k 1) f (x(k)) 的平衡状态，是对所有的k，都满足 平衡方程 xe f (xe, k) 的系统状态。
4. 不稳定
定义：如果对于某一实数 0 ，不论 取多 小，由 s( ) 内出发的轨迹，至少有一条轨迹越 出 s(，) 则称平衡状态为不稳定.
上述定义对于离散系统也是适用的，只是 将连续时间t理解为离散时间k。
注意:稳定性讨论的是系统没有输入（包括
参考输入和扰动）作用或者输入作用消失以后 的自由运动状态。所以，通常通过分析系统的 零输入响应，或者脉冲响应来分析系统的稳定 性。
1. SISO线性定常离散系统稳定性条件
x(t)趋于常值或者为正弦波，系统是李雅普诺
夫意义下稳定的，或者称为临界稳定的。
当A具有重特征值时,x(t)含有 tet , t 2et , 诸 项，稳定性结论同上。
结论：MIMO线性定常连续系统稳定的
充分必要条件是，系统矩阵A的全部特征 值具有负实部，或者说都位于复平面左 半部。
4.1.5 线性定常离散系统的稳 定性
结论：线性定常连续系统稳定的充分必要条
件是，系统的全部特征根或闭环极点都具有负 实部，或者说都位于复平面左半部。
2. MIMO线性定常连续系统稳定的条件
描述MIMO线性定常连续系统的状态方程为：
x Ax Bu
（4.7）
设A有相异特征值 1,, n ，则存在非奇异线性变
换 x Px ，使 A 为对角矩阵，即:
4.1.4 线性定常连续系统的稳定性条件
1. SISO线性定常连续系统稳定的条件
设描述SISO线性定常连续系统的微分方程为:
an y(n) an1y(n1) a1y a0 y bmu(m) b1u b0u
(4.4) 则系统的特征方程为:
D(s) an s n an1s n1 a1s a0 0
x
2
x1 x1 x1 x2
x23
解 由平衡状态定义，平衡状态 xe [x1e x2e ]T 应
满足:
x1e 0
x1e
x2e
x
3 2e
0
得非线性系统有三个平衡状态：
xe1 0 0T , xe2 0 1T , xe3 0 1T .
4.1.3 李雅普诺夫稳定性定义
1.稳定
定义:如果对于任意给定的每个实数 0 ,都 对应存在着另一实数 (,t0) 0 ,使得从满足不等 式 x0 xe (,t0 ) 的任意初态 x0 出发的系统响 应,在所有的时间内都满足 x xe 则称系统 的平衡状态 xe 是稳定的.若 与 t0 的选取无 关,则称平衡状态 xe 是一致稳定的.
A P 1 AP diag(1 n )
非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为:
x(t) e At x(0) diag(e 1t e nt )x(0)
由于 x P1x ，x(0) P 1x(0) ，所以，原状态方程的 零输入解为:
x(t) Pe At P 1 x(0) e At x(0)
i 中有一个
或者几个为零，而其它 i 、 i 均为负，则y(t)
的稳态分量则为正弦函数。因此，当特征根中
有一个或者几个为零，而其它极点均为负实部
时，系统是一种临界情况，称为临界稳定的。
临界稳定在李氏稳定性意义下是稳定的，但在
工程上是不允许系统工作在临界稳定状态的，所以，临界稳定在工Fra bibliotek上是不稳定的。
(4.10)
从上式可见，当A的所有特征值位于复平面左
半平面，即 Re(i ) 0 ，i 1,, n ，则对任意
x(0)，有 lim x(t) 0 ，系统渐进稳定。只要有一 t
个特征值的实部大于零，对于
x(0)
0
，lim t
x(t)
，
系统不稳定。当有特征值的实部等于零，而其
它特征值的实部小于零，则随着时间的增加，
2.渐近稳定
定义：若平衡状态 xe 是李雅普诺夫意义下稳定
的，并且当 t 时，x(t) xe
,即 lim t
x(t)
xe
0
，
则称平衡状态是渐进稳定的。
3. 大范围（渐近）稳定
定义：如果对任意大的 ，系统总是稳定的，
则称系统是大范围（渐进）稳定的。如果系统 总是渐进稳定的，则称系统是大范围渐进稳定 的。