第4讲 基本初等函数及函数应用(章节练习)

高三数学讲义 第4讲 基本初等函数及函数应用 【知识方法】→查漏补缺、觉知慧识

1.二次函数与幂函数：二次函数解析式；二次函数的图象和性质；幂函数；幂函数的图象和性质。

2.指数与指数函数：ｎ次根式；根式的性质；有理指数幂的运算性质；指数函数的图象和性质。

3.对数与对数函数：对数；对数的运算性质；对数换底公式；对数函数的图象和性质。

4.简单的指数、对数不等式问题：指数不等式的解法；对数不等式的解法。

5.反函数：反函数定义；反函数的性质。

6.函数与方程：函数的零点；函数零点的性质；二次函数的零点。

7.二分法的基本步骤：确定闭区间；计算中点值；精确度验证；确定近似值。 8.二次函数在闭区间上的最值问题：轴定区间定；轴动区间定；轴定区间动。

9.简单的恒成立问题：],[,0)(],[,0)(max b a x x f b a x x f ∈<⇔∈<； ],[,0)(],[,0)(min b a x x f b a x x f ∈>⇔∈> 10.函数的模型：三种增涨型函数模型的比较（幂函数，指数函数，对数函数）；一般应用问题的求解方法（审题、建模、求解、作答）；常函数模型（分段函数模型；分式函数模型；线性函数模型；指数、对数函数模型）。 【题型策略】→构建模型、启智创源

1.已知2

()3f x x ax a =++-，若[]2,2x ∈-时()f x ≥0恒成立，则a 的范围是

变式：1. 设函数22

()21f x tx t x t =++-(0)x R t ∈>，．

（Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．

2.若不等式0log 2

≤-x x a 在]2

1,0[∈x 内恒成立，则a 的取值范围是（ ）

.A 116

1<≤a .B 116

1

<

10≤

D 16

10<

3.已知)1,0()(2

≠>-=a a a x x f x

，当)1,1(-∈x 时，均有2

1

)(

1,0(+∞

.B ]4,1()14

1[ ， .C ]2,1()12

1[ ， .D ),4[]4

1,0(+∞

2.化简求值：

()1

)0,0(3224>>⋅-b a ab b a ；

（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+；（3）2

(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+； 变式：1.已知35a b

c ==，且11

2a b

+=，求c 的值． 2.设,518,9log 18==b a ，求45log 36. 52log 3

log

5

2+的值为（ ）.A 2 .B 3.C 39 .D 33 3. 设0x >，且1x x

a b <<（0a >，0b >），则a 与b 的关系是 .A 1b a << .B 1a b << .C 1b a << .D 1a b <<

变式：1. 若函数m y x +=+-1

2

的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是 .A 2-≤m .B 2-≥m .C 1-≤m .D 1-≥m

2. 若函数|1|

()2

x f x m --=-的图象与x 轴有交点，则实数m 的范围是 。 3. 设1,0≠>a a ，如果函数122-⋅+=x

x a a y 在[]1,1-上的最大值为14，求a 的值

4. 设1a >，且2

log (1)a m a =+，log (1)a n a =-，log (2)a p a =，则m n p ，，的大小关系为 .A n m p >> .B m p n >> .C m n p >> .D p m n >>

变式：1. 若2

1a b a >>>，则log b b a

，log b a ，log a b 从小到大依次为 。

2. 若函数()()log 1a f x x =+（0a >，1a ≠）的定义域和值域都是[]0,1，则a =( )

.

A 1

3

.B 2 .C 22 .D 2

3. 若定义在区间()1,0-内的函数2()log (1)a f x x =+满足()0f x >，则a 的取值范围是( ) .A )2

1

,0( .B 10,2⎛⎤ ⎥⎝

⎦ .C 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭

.D ),0(+∞

4. 设()log 1a a f x x ⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭

（01a <<）.()1证明：()f x 是(),a +∞上的减函数；()2解不等式()1f x > 5. 设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为1

2

，则a =( )

.A 2 .B 2 .C 22 .D 4

6. 若011log 22<++a a a ，则a 的取值范围是( ) .A ),21(+∞.B ),1(+∞ .C )1,2

1

( .D )21,0( 7. 设10<

x a a a x f ，则使0)(

.A )0,(-∞

.B ),0(+∞ .C )3log ,(a -∞ .D ),3(log +∞a

5. 已知函数()43x

f x a a =-+的反函数的图象经过点()1,2-，则=a 。

变式：1.函数11

(,)1ax y x x R ax a

-=

≠-∈+的图象关于y x =对称，求a 的值． 2. 设函数x

x x f +-=121)(，又函数)(x g 与1

(1)y f x -=+的图象关于y x =对称，求)2(g ．

3. 已知1x 是方程3lg =+x x 的根，2x 是方程310=+x

x 的根，则=+21x x 。 6.若函数b ax x f +=)(有一个零点x=2，则ax bx x g -=2

)(的零点是（ ）.A 2,0.B 21,

0.C 21,0-.D 2

1,2 变式：1.若函数)1,0()(≠>--=a a a x a x f x

有两个零点，则实数a 的取值范围是 。

2.函数b ax x x f 2)(2

+-=的零点，一个在区间)1,0(上，另一个在区间)2,1(上，则b a 32+的取值范围是（ ） .A )9,2( .B )4,2( .C )9,4( .D )17,4(

3.若函数)(x f y =满足)()2(x f x f =+，且]1,1(-∈x 时，2

1)(x x f -=,函数⎩⎨⎧=≠=0

,10

|,|lg )(x x x x g ，

则函数)()()(x g x f x h -=在区间]10,5[-内零点的个数为（ ）

.A 12 .B 14 .C 13 .D 8

4.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且函数)(x f 在)1,0(上单调递减，并满足)()2(x f x f =-，若方程1)(-=x f 在)1,0[上有实根，则方程1)(=x f 在区间]7,1[-上所有实根之和是（ ）

.A 12 .B 6 .C 2 .D 2-

7.求二次函数245)12(2)(2

2+-+--=a a x a x x f 在区间]1,0[上的最小值)(a g 的解析式。

变式：1.若函数)(x f 存在0x 使00)(x x f =，则称0x 是)(x f 的不动点。已知函数)1()1()(2-+++=b x b ax x f ，)0(≠a 。（1）当2,1-==b a 时求函数)(x f 的不动点；（2）若对于任意实数b ，)(x f 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围。

2.已知14)(2

-++-=m x x x f ，)0(4)(>+=x x

x x g 。（1）若m x g =)(有零点，求实数m 的取值范

围；（2）若0)()(=-x f x g 有两个相异实根，求m 的取值范围。

3.已知二次函数c bx ax x f ++=2

)(满足条件0)1(=-f ，对任意R x ∈都有0)(≥-x x f ，且当

)2,0(∈x 时，有2

)2

1()(+≤x x f 。

（1）求证：1)1(=f ；（2）求)(x f 的解析式；（3）当]1,1[-∈x 时，mx x f x g -=)()(是单调函数，求m 的取值范围；（4）求)(x g 在]1,1[-上的最小值)(m h 。