二次函数第一节课
二次函数_课件_第1课时
x1、x2 是抛物线与x轴交点的横坐标
初中数学
例1：将二次函数 y x2 2x 3 的图象向左
向下
3个单位后得到的函数表达式 为
表达式 a
顶点
平移前
平移后
y ( x 1)2 4 y ( x 1)2 1
a=-1
a=-1
（1,4）
（-1,1）
点(-1,y1),(2,y2),试比较y1和y2的大小:y1 > y2.
数形结合
初中数学
课堂小结
1. 梳理一下二次函数图象和性质有哪些？ 2. 体会数形结合思想在解决二次函数问题中的重要性.
初中数学
• 完成课后作业中的题目
作业
初中数学
谢谢
配方 法
b 4ac b2 ( 2a , 4a )
顶点式 y a( x h)2 k
(h, k)
函数最值
初中数学
4.二次函数的增减性 由开口方向和对称轴决定 当a>0时，左减右增 当a<0时，左增右减
初中数学
一般式
顶点式
交点式 （存在的情况下）
y ax2 bx c
y a(x h)2 k
2个单位， .
初中数学
练习：二次函数 y x2 2x 3 关于
y=3
函数表达式为
.
对称前
表达式 y ( x 1)2 4
a 顶点
a=-1 （1,4）
对称后
y = (x-1)2+2
a=1 （1,2）
的
数形结合
初中数学
（1）先将表达式化为顶点式 y a( x h)2 k 2 确定图象变换后的a和顶点坐标（h,k） 3 按顶点式写出变换后的函数表达式
二次函数第一课时教学课件优质课件
教学中多采用实例
通过具体的实例，让学生更好地 理解二次函数的概念和应用。
组织小组讨论
让学生分组讨论二次函数的性质和 特点，培养学生的合作精神和沟通 能力。
教学手段
使用多媒体教学
通过PPT、视频、动画等 多种形式，让学生更加直 观地了解二次函数的相关 知识。
使用黑板讲解
在黑板上详细讲解二次函 数的公式、性质和图形， 让学生更好地理解重点和 难点。
综合练习
结合实际生活问题，比如抛物线形状的桥梁设计 等，让学生进行函数建模和分析。
小结与作业布置
小结回顾
回顾本节课学习的重点内容，比如二次函数的表达式、图像和性质等。
作业布置
布置一些具有代表性的习题，让学生进行自我检测和巩固。
05 教学评价与反思
学生表现评价
课堂参与度
01
学生是否积极参与课堂讨论，对二次函数概念的理解是否深入
教学环节衔接情况
教师对教学环节的衔接是否流畅，课堂节奏是否把握得当。
改进措施与展望
调整教学策略
针对学生掌握程度，调整教学策略，加强 二次函数概念的讲解。
拓展学习资源
提供更多学习资源，如网络课程、习题等 ，让学生有更多练习机会。
增加实例应用
引入更多二次函数在生活中的应用实例， 增强学生对二次函数的理解。
加强师生互动
增加师生互动环节，了解学生学习中的困 惑，及时调整教学策略。
THANKS
感谢观看
使用网络资源
引导学生通过网络查找二 次函数的相关资料，拓展 学生的知识面和视野。
04 教学过程设计
导入新课
复习导入
通过回顾一次函数的性质和概念，引出二次函数的定义。
二次函数教案 (第一课时)
二次函数教案 (第一课时)二次函数的教学设计一、教学内容二次函数（新人教版九年级下册第26.1.1节）二、教学目标1.知识技能通过对多个实际问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义；通过观察和分析，学生归纳出二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数。
2.教学思考学生能对具体情境中的数学息做出合理的解释，能用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系。
3.解决问题体验数学与日常生活密切相关，让学生认识到许多问题可以用数学方法解决，体验实际问题“数学化”的过程。
4.情感态度通过观察、归纳、猜想、验证等教学活动，给学生创造成功机会，使他们爱学、乐学、学会，同时培养学生勇于探索，积极合作精神以及公平竞争的意识。
三、教学重点与难点1.教学重点认识二次函数，经历探索函数关系、归纳二次函数概念的过程。
2.教学困难根据函数解析式的结构特征，归纳出二次函数的概念。
第四，教学过程的安排教学活动流程活动1：温故知新，揭示课题活动内容和目的由回顾所学过的函数入手，引入函数大家庭中还会认识哪函数呢？然后从打篮球的例子引入二次函数。
学生能独立运用函数知识解决变量之间的关系。
2.活动：合作探究，获取新知识，制作探究环节，与学生互动，自主探索新知识，从而通过观察和归纳。
得到二次函数的解析式，获取新知。
本组题目是新知识的直接应用，目的是让学生能够区分。
活动3：小试身手，循序渐进认二次函数，循序渐进这一环节主要帮助学生处理解决问题，加深对二次函数的理解。
总结内容、应用、数学思维方法、获取知识的途径等。
活动四：回顾课堂，总结巩固方面，既总结知识，又提炼方法，让研究研究知识和运用知识都有很大的提升，方法就是学生讲收获。
活动5：课堂检测，测评反馈以测试的形式检测本节课的内容，检查学生的掌握程度，同时加深学生对知识的理解。
第五，教学过程的设计问题与情景【活动１】１.知识回顾：以问答式引起学生对知识的回忆。
２.揭示课题：以篮球为例。
人教版数学九年级上册《二次函数》第一课时教案
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
例2、函数
（1）当m为何值时，y是x的二次函数？
（2）当m为何值时，y是x的一次函数？
【反思节点2】怎么判定一个函数是否为二次函数？
五、整合提高建构体系内化反思
【生活问题数学化】：一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为 ，菜园的面积为 ，
二、学案引导自主学习目标反思
问题2n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
问题3某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
3.等式的右边最高次数为__________，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
4.没有特殊要求的话，x的取值范围是________.
二次函数的特殊形式：
当b＝0时，y＝_________
当c＝0时，y＝_________
当b＝0，c＝0时，y＝__________
【反思节点1】二次函数必须满足的条件是什么？
（1）求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。
（2）当x=12m时，计算菜园的面积。
（3）当菜园的面积是 时，求x。
【反思节点3】如何求函数值及自变量的值？
【小结】知识网络
六、达标检测反馈矫正总结反思
1.下列函数中是二次函数的是（）
A. B. C. D.
2.若函数 是关于x的二次函数，则（）
思考：函数有什么共同特点？板书二次函数
一般地，形如
人教版数学九年级上册22 二次函数(第一课时)课件
4
【典例】下列各式中，y 是 x 的二次函数的是( )
A．y＝x12
B．y＝2x＋1
C．y＝x2＋x－2
D．y2＝x2＋3x
分析：y＝x12中，x12为分式，不是二次函数，故 A 不符题意；y＝2x＋1 中，x 的
次数为 1，是一次函数，故 B 不符题意；y＝x2＋x－2 符合二次函数的定义，是二次
函数解析式是 y＝3x＋2 或 y＝33＋215
5x＋5＋23
5或 y＝33－215
5x＋5－23
5 .
(2) 若 函 数 y ＝ (m2 － m － 2)xm2 － 5m － 4 ＋ (m ＋ 1)x ＋ m 为 二 次 函 数 ， 则
m2－5m－4＝2， m2－m－2≠0.
解得 m＝6.故当 m＝6 时，函数 y＝(m2－m－2)xm2－5m－4＋(m
• (1)求直线AB的解析式； • (2)若设点P的横坐标为x，矩形PKDH的面积为S，求S关于x的函数解析
式．
17
解：(1)如图所示，∵OE＝CD＝80 m，OC＝ED＝100 m，AE＝60 m，BC＝70 m， ∴OA＝20 m，OB＝30 m，即 A(0,20)、B(30,0)．设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
►如果我们不曾相遇，你的梦里就不会有我的出现，我们都在不断地 和陌生人擦肩;如果人生不曾相遇，我的生命里就不会有你的片段，我 们都在细数着自己的日子。 ►当离别的脚步声越来越清晰，我们注定分散两地，继续彼此未完的 人生，如果我说放不下，短短一个月的光景，你是否愿意相信，我的 真诚，我的执着，只源于内心深处那一份沉沉的不舍。
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
二次函数第一课时PPT省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
经化简后都具有y=ax²+bx+c 旳形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2&x)
y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)，
二次函数旳概念
温故知新
复习： 1、什么是函数？
在某个变化过程中，有两个变量x 和y ， 假如对于x 旳每一个可取旳值，都有唯一一 种y 值与它相应，那么y 称为x 旳 函数。 2、什么叫做一次函数？
形如y=kx+b (k、b为常数，k≠0)
3、函数有哪些表达措施？
解析法 列表法 图象法
合作学习，探索新知 :
请用合适旳函数解析式表达下列问题情 境中旳两个变量 y 与 x 之间旳关系：
(1)圆旳面积 y ( cm2)与圆旳半径 x ( cm ) y =πx2
(2)某商店1月份旳利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润旳月平 均增长率为x，3月份旳利润为y
y = 2(1+x)2
合作学习，探索新知 :
当a, b, c满足什么条件时
(1)它是二次函数? （1）a 0
(2)它是一次函数？ (2)a 0,b 0
(3)它是正百分比函数？(3)a 0,b 0, c 0
例题精讲
例１ m取哪些值时，函数 y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是以x为自变量旳二次
函数？
2: m取何值时，函数y=(m+1)xm2 2m 1
(3)拟建中旳一种温室旳平面图如图,假如
二次函数第一课时教学课件
进阶题
设计涉及二次函数图像、 最值和实际应用的练习题 ，提升学生解题能力。
解析与答案
对每道练习题进行详细解 析，并提供标准答案，帮 助学生理解解题思路和方 法。
学生互动与讨论
学生互评
让学生互相评价彼此的练习题解答， 促进相互学习和借鉴。
分享心得
教师点评
教师对学生的互动与讨论进行点评， 给予指导和建议，促进学生全面发展 。
鼓励学生分享学习二次函数的体会和 心得，激发学习热情。
06 总结与回顾
本课时的重点回顾
01
02
03
04
二次函数的定义和表达 式
二次函数的开口方向和 顶点坐标
二次函数的对称性和单 调性
二次函数与一元二次方 程的关系
学生需掌握的知识点
能够理解二次函数的定义和表达式， 并能够进行简单的二次函数计算。
二次函数的系数
要点一
总结词
二次函数的系数决定了函数的开口方向、开口大小、对称 轴和顶点位置。
要点二
详细描述
系数$a$决定了二次函数的开口方向和开口大小，当 $a>0$时，函数图像开口向上，当$a<0$时，函数图像开 口向下。同时，系数$a$也决定了抛物线的开口大小，绝 对值越大，开口越小。系数$b$和$a$共同决定了二次函数 的对称轴位置，对称轴的方程为$x=-frac{b}{2a}$。而系 数$b$和$c$则共同决定了抛物线的顶点位置，顶点的坐标 为$left(-frac{b}{2a}, c-frac{b^2}{4a}right)$。
能够理解二次函数与一元二次方程的 关系，并能够利用二次函数解决一些 实际问题。
能够理解二次函数的开口方向、顶点 坐标、对称性和单调性，并能够根据 这些性质判断二次函数的图像。
[初三数学]《二次函数》第1课时教学设计
![[初三数学]《二次函数》第1课时教学设计](https://img.taocdn.com/s3/m/b7c689b3be23482fb5da4c02.png)
让学生充分发表意见，提出各自看法。
教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax²+bx+c (a,b,c是常数, a≠0)的形式.
板书：我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion)
称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，
请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项。
注意：切不可忽视a≠0.
学生思考问题，列出关系式。
学生小组合作交流。
学生发表自己的见解，总结归纳二次函数的定义。
让学生体会引入二次函数概念的显示背景，感受其实际意义，激发学生的学习兴趣。
通过归纳、分析，使学生明白二次函数的特征，理解其解析的特点。
（1） （2） （3）
3、若函数 为二次函数，则m的值为。
（二）实际问题中的二次函数：
1、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH的面积为y(cm2),求：
(1)y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围。
二次函数（第1课时）教学设计
教师行为
学生学习活动
设计意图
活动1：创设情境，导入新课：
问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？
问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
3、如果函数y=（k+2）xk²-2是y关于x的二次函数，则k值为多少？
人教版初三数学上册二次函数.1二次函数第一节
想一想
即 d 1n2 3n
②
22
上式表示了多边形的对角线数d与边数n 之间的关系，对于n的每一个值，d都有 一个对应值，即d是n的函数．
想一想
问题2 ：某工厂一种产品现在的年产量是20件， 计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的 产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随 计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样 表示？
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
C y=x2
D y=2+ x2 1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C )
A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0
C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
例4：已知二次函数y=ax2，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值
想一想
问题1: 多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
由图中可以想出，如果多边形有n条边，那么它有_n___ 个
顶点． 从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可
以作（n－3） 条对角线．
因为像线段MN与NM那样，连接相同两顶点的对角线是 同一条对角线，所以多边形的对角线总数
M
N
d 1nn3
解 ： 把 x=1,y=4和 x=2,y=-5分 别 代 入
函 数 yx2pxq,得 ：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
｛1 p q 4 4 2 p q 5
解 得 ， p12,q15.
解: 由题意可得
m2 m 2 m1 0
解得，m 2 当m 2时，函数为二次函数。
注意:二次函数的二次项系数不能为零
二次函数(第一课时)概念
7
是二次函数，求 m 的值。
2.试在平面直角坐标系画出二次函数 y=x2 和 y=-x2 图象 【设计意图】作业中分为必做题与选做题，实施分层教学，体现新课标 人人学有价值的数学，不同的人得到不同的发展。另外补充第 4 题，旨 在激发学生继续学习二次函数图象的兴趣。
22. 二次函数
1、 二次函数的定义： 形如 y=ax2+bx+c (a≠0，a, b, c 为常数) 的函数叫做二次函数。
-5-
（2014-2015 学年度第一学期）
备课教师 李扬茂 年级 九年级 班级 905
科目 数学 教材版本：人教版
教学 反思
-6-
（2014-2015 学年度第一学期）
教 学
对二次函数的好奇和兴趣。 看下面三个例子中两个变量之间存在怎样的关系。 （电脑演示） 例 1、 (1)圆的半径是 r(cm)时， 面积 s (cm²)与半径之间的关系是什么?
过 程
解：s=π r² （r>0） 例 2、 用周长为 20m 的篱笆围成矩形场地， 场地面积 y(m² )与矩形一 边长 x(m)之间的关系是什么？ 解： y=x(20/2-x)=x(10-x)=-x²+10x (0<x<10)
判断： 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数， 指出 a、 b、 c．
(1)y=3(x-1)² +1 (3)s=3-2t² (5) s=10π r²
(2)
y x2
1 x
(4)y=(x+3)² - x² (6) y=2² +2x (8)y=x4＋2x2＋1（可指出 y 是关于 x2 的二
对二次函数概念的理解。 由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。 讲授法、讨论法。 主要教学过程 个人修改
二次函数的图像与性质(第一课时)优质课件
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上, 当x=0 时,函数y的值最小,最小值是0.
【内容】独立完成探究点一的针对练习、 探究点二。（5min）
【要求】1.独立思考，认真分析总结； 2.标记好自己的疑难问题，以便讨论 探究； 3.自主独立做题，2min时间到后学 科组长组织组员针对疑难问题及 小组任务进行讨论交流。
2.2 二次函数的图像与性质（一）
我们把物体抛射时所经过的路线叫做抛物线.
1.经历探索二次函数y=x2 的图像的作法
和性质的过程，获得利用图像研究函数性质 的经验；
2.能够利用描点法作出二次函数y=x2的图 像，并能根据图像认识和理解二次函数y=x2 的性质；
3.能够作出二次函数 y=-x2的图像，并能 够y=x2比较出与 的图像的异同，初步建立二 次函数表达式与图像之间的联系.
【内容】快速、独立完成训练案“自测反馈”（8min） 【要求】1.独立思考，认真分析总结
2.标记好自己的疑难问题，以便课后讨论探究
探究内容 展示小组
14组小2源自2组组 合3
6组
作
4
5组
能力提升1
1组
能力提升2
3组
【要求】1.独立完成训练案的填空题；2.标记好自己的疑难
问题，以便讨论 ；3.针对疑难，自由探讨，互帮互助.
2、剩余时间思考探究案中其他问题，并把你认为正确的答 案写在学案上。
1.列表时注意自变量X的取值是否有意义.
（1）反比例函数： y
2
x
(x≠0)
（2）圆的面积公式：S r 2 (r≥0)
（3）二次函数： y=-x2 (x取全体实数)
二次函数（第一课时）说课稿
二次函数（第一课时）说课稿《二次函数》说课一、教材分析：1.教材的地位和作用二次函数是初中阶段研究的最重要的函数，在历年来的中考题中占有较大比例。
同时，二次函数和一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系，进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。
而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象及性质做铺垫。
所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。
2.教学目标知识目标：1、分析确定二次函数关系式2、确定二次函数关系式中各项的系数能力目标：1、通过讲练结合，培养学生解决实际问题的能力。
2、通过设置问题情境，提高学生分析和解决问题的能力。
情感目标：分组学习方式，培养学生与他人沟通交流、团结合作的能力。
3.重点难点重点：1、分析确定二次函数关系式2、确定二次函数关系式中各项的系数难点：通过实例分析、确定二次函数关系的表达式二、教法与学法分析：1.教法分析（1）采用引导探索的方法，激发学生的学习兴趣。
（2）教师精讲、学生多练，体现了以学生为主体、教师为主导的教学原则。
（3）引导学生发现问题，自主学习，从而体验到独立获取知识的喜悦感。
（4）通过“导入”“探索”“归纳”“运用”“总结”突破重点和难点。
2.学法分析（1）主动学习法：举出例子，提出问题，让学生在独立学习和团结合作中获得感性认识的同时，教师层层深入，启发学生积极思维，主动探索知识，培养学生思维想象的综合能力。
反馈补救法：在练习中，注意观察学生对学习的反馈情况，以实现“培优扶差，满足不同。
”3.教学手段采用多媒体辅助教学，实物投影、小测纸等手段，及时反馈相关信息。
三、教学过程：（一）回顾复习一次函数、正比例函数的一般形式是什么？探索新知请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y 与x之间的关系：(1)圆的面积y()与圆的半径x(cm)(1)____________________(2)____________________(3)____________________(4)____________________【设计意图：此题由简单的图形公式列关系式逐步过渡到具体应用列关系式，让学生经历由简单到复杂的过程，从而降低学生学习的难度。
二次函数__第一课二次函数的概念
二次函数第一课教学目标：1．使学生理解二次函数的概念．2．使学生掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围．3．为分散后面教学的难点，可在本节解决较简单的用待定系数法确定二次函数解析式的问题．重点：对二次函数概念的理解．难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围．一、知识回顾：1、什么叫函数？它有几种表示方法？2、我们学过那些函数？它们的图像分别是什么？二、试一试：1、正方体的棱长为x(cm),那么它的表面积y(cm2)与x的关系式是_______2、化工厂在一月份生产某种产品200吨，三月份生产y吨，则y与月平均增长率x自变量的关系是_________3、有一个矩形，它的长与宽的和为30cm，设长为L，矩形面积为S，则S与L的函数关系是________三、概念引入在y=6x2、y=200x2+400x+200、s=-L2+30L 这三个式子中，虽然含有一项的、二项的、三项的，但它们都是用自变量的二次多项式来表示的,且自变量的最高次都是二次.二次函数的概念：形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数注意：（1）必须a≠0，否则就不是二次函数，而b、c两数可以是0（2）在y=ax2+bx+c(a≠0)中，x的取值范围是全体实数但当自变量表示实际意义时,自变量的取值范围就不一定是全体实数四、知识运用练习1:下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=3x-1 (2)y=3x2(3)y=33+2x2 (4)y=2x2-2x+1(5)y=x-2+x (6)y=x2-x(1+x)例1:m取何值时，y= (m2-1)x m(m-1)是二次函数？练习2. m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？)1()(22+++-=mmxxmmy3.已知函数是二次函数，求m 的值例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）写出正方体的体积V （cm 3）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．例3：已知二次函数y=ax 2+bx 。
二次函数的图象与性质(第一课时) 课件(共34张PPT)北师大版初中数学九年级下册
此外，二次函数在建筑学上也有重要应用，如抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型吊桥、抛物线型弯道等.要确定这些抛物线的形状，需要对地质、地形、气象、水力、材料等因素进行综合分析.
这节课 你学到了什么？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
１．某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是：
（m为定值）
2．导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流强度I之间的关系是：
（R为定值）
Q=RI2
3．g表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的距离s与下落时间t之间的关系是：
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线 y=x2.
开口向上
(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，（0，0）
是，对称轴是 y 轴．
（-2，4）和（2，4）；
（-3，9）和（3，9）等等．
（-1，1）和（1，1）；
(3)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．
探究1 请作出二次函数 y=x2 的图象．
x
…
…
y
…
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
(2)在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 y=x2 的图象.
y=x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
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(1)你能描述图象的形状吗？
二次函数第一课时教案
二次函数第一课时教案教案标题: 二次函数第一课时教案教学目标:1. 理解二次函数的定义及其一般形式；2. 能够识别二次函数的图像特征，包括顶点、开口方向和对称轴；3. 能够通过顶点坐标和开口方向确定二次函数的图像；4. 能够根据给定的二次函数方程，求解其顶点、开口方向和对称轴。
教学重点:1. 二次函数的定义及其一般形式；2. 二次函数图像的特征和确定方法。
教学准备:1. 教师准备：教学投影仪、黑板、白板笔；2. 学生准备：课本、作业本、笔。
教学过程:步骤一: 导入新知识1. 教师通过引入实际问题（例如：抛物线的形状、跳水运动员的轨迹等），激发学生对二次函数的兴趣。
2. 教师提问学生，让学生思考并回答：你们对二次函数有什么了解？步骤二: 介绍二次函数的定义及一般形式1. 教师给出二次函数的定义：二次函数是指具有形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。
2. 教师解释二次函数的一般形式，指出 a、b、c 的含义。
步骤三: 讨论二次函数图像的特征1. 教师引导学生观察并讨论二次函数图像的特征，包括顶点、开口方向和对称轴。
2. 教师解释顶点的概念，并指出顶点的坐标对应二次函数的最值。
3. 教师解释开口方向的概念，并指出 a 的正负决定了二次函数的开口方向。
4. 教师解释对称轴的概念，并指出对称轴与顶点的横坐标相等。
步骤四: 确定二次函数图像的方法1. 教师通过示例演示如何通过顶点坐标和开口方向确定二次函数的图像。
2. 教师提供练习题，让学生自行确定二次函数的图像。
步骤五: 求解二次函数的顶点、开口方向和对称轴1. 教师介绍如何根据给定的二次函数方程，求解其顶点、开口方向和对称轴。
2. 教师通过示例演示求解过程，并解释关键步骤。
3. 教师提供练习题，让学生独立求解二次函数的顶点、开口方向和对称轴。
步骤六: 总结与拓展1. 教师与学生一起总结本节课所学内容，并强调重点。
二次函数第一课时教案
二次函数第一课时教案二次函数第一课时教案【教学目标】1. 掌握二次函数的定义和特点；2. 能够识别二次函数的图像，了解二次函数的单调性和最值；3. 能够根据二次函数的图像确定二次函数的解析式；4. 培养学生观察能力和问题解决能力。
【教学重点】1. 二次函数的定义和特点；2. 二次函数的图像特征；3. 二次函数的解析式。
【教学难点】1. 二次函数的图像特征的判断；2. 根据二次函数的图像确定其解析式。
【教学过程】一、引入新知识（15分钟）1. 提问：你还记得什么是一次函数吗？一次函数的特点是什么？2. 解释：一次函数是指函数中最高次项是一次幂的函数，一次函数的图像是直线。
3. 师生互动：请举例说明一次函数。
二、学习新知识（30分钟）1. 定义二次函数：函数中最高次项是二次幂的函数称为二次函数。
记作y=ax²+bx+c，其中a≠0。
2. 二次函数图像的特征：（1）抛物线开口向上或向下；（2）对称轴：过抛物线顶点的直线称为对称轴；（3）最值：如果抛物线开口向上，那么最小值为顶点的纵坐标；如果抛物线开口向下，那么最大值为顶点的纵坐标；（4）单调性：抛物线在对称轴两侧的单调性相反。
三、巩固练习（25分钟）小组活动：请同学们分组完成以下问题。
1. 判断二次函数y=2x²+3x+1的图像特征。
2. 画出二次函数y=-x²+4的图像并标注顶点和最值。
3. 判断二次函数y=-3x²+6x+9的图像特征。
四、总结归纳（10分钟）1. 请同学们总结二次函数的定义和特点。
2. 请同学们总结二次函数图像的判断方法。
【教学反思】通过引入一次函数的概念，激发了学生的学习兴趣和初步认识二次函数的需求。
然后通过定义二次函数和讲解图像特征，使学生对二次函数有了初步的认识。
最后通过小组活动让学生掌握了判断二次函数图像特征的方法，并且能够根据已知的图像确定二次函数的解析式。
整个教学过程中有启发式提问和小组合作学习，注重学生的实际操作和思考，培养了学生的观察能力和问题解决能力。
第1课二次函数(学生版)九年级数学上册讲义(浙教版)
第1课 二次函数学习目标1.理解二次函数的概念,掌握二次函数的标准形式2.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.3.会用待定系数法求二次函数的表达式.知识点01 二次函数函数的概念1.形如c bx ax y ++=2（其中c b a ,,是 ，0≠a ）的函数叫做 ，称a 为 ，b 为 ，c 为 .注意：二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的自变量的取值范围是 ．2.二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．知识点02 根据实际问题列二次函数表达式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，理解题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．知识点03 待定系数法求二次函数的表达式用待定系数法求二次函数的表达式步骤:(1)设二次函数的表达式;(2) 根据已知条件，得到关于待定系数的方程组。
(3)解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式。
知识精讲目标导航能力拓展考点01 二次函数函数的概念【典例1】若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1【即学即练1】如果函数y＝（m﹣2）是二次函数，则m的值为．考点02 根据实际问题列二次函数表达式【典例2】如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为；自变量x的取值范围为．【即学即练2】某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数解析式为（）A．y＝5000（1+2x）B．y＝5000（1+x）2C．y＝5000+2x D．y＝5000x2考点03 待定系数法求二次函数的表达式【典例3】已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＝1时y＝3；当x＝﹣1时，y＝1，求这个二次函数的解析式．【即学即练2】二次函数y＝ax2+bx﹣3中的x，y满足如表x…﹣1012…y…0﹣3m﹣3…（1）求这个二次函数的解析式；（2）求m的值．分层提分题组A 基础过关练1．下列函数中，属于二次函数的是（）A．y＝2x﹣3 B．y＝（x+1）2﹣x2 C．y＝2x（x+1）D．y ＝﹣2．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（）A．y＝x（40﹣x）B．y＝x（18﹣x）C．y＝x（40﹣2x）D．y＝2x（40﹣2x）3．已知函数y＝ax2+bx，当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣1时，y＝2，则a，b的值分别是（）A ．，﹣B ．，C．1，2 D．﹣1，24．如果二次函数y＝ax2+bx，当x＝1时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝4，则a，b的值是（）A．a＝3，b＝﹣1 B．a＝3，b＝1 C．a＝﹣3，b＝1 D．a＝﹣3，b＝﹣15．已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝，一次项系数b＝，常数项c＝．6．如果函数y＝（m﹣1）x2+x（m是常数）是二次函数，那么m的取值范围是．7．矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是．8．当系数a，b，c满足什么条件时，函数y＝ax2+bx+c是二次函数？是一次函数？是正比例函数？9．已知二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＝2时，y＝3，求这个二次函数的解析式．题组B 能力提升练10．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c C．h＝D．y＝x2+11．已知二次函数y＝ax2+bx+1，若当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝4，则a、b的值分别为（）A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣212．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝100（1﹣x）B．y＝100﹣x2C．y＝100（1+x）2D．y＝100（1﹣x）213．n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n（n≥2）之间的函数关系是．14．一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1．（1）求k值．（2）求当x＝0.5时y的值？15．y与x2成正比例，并且当x＝﹣1时，y＝﹣3．求：（1）y与x的函数关系式；（2）当x＝4时，y的值；（3）当时，x的值．题组C 培优拔尖练16．下列具有二次函数关系的是（）A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间tC．正方形的面积y与边长x D．三角形的高一定时，面积y与底边长x17．若函数y＝mx+4是二次函数，则m的值为（）A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1 D．118．若y与x2成正比例，且当x＝2时，y＝4，则当x＝﹣3时，y的值为（）A．4 B．9 C．12 D．﹣519．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（）A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣520．如图，在靠墙（墙长为20m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为50m，设鸡场垂直于墙的一边长x（m），求鸡场的面积y（m2）与x（m）的函数关系式，并求自变量的取值范围．21．在y＝ax2+bx+c中，当x＝2时y的值是﹣15，x＝1时y的值是﹣9，x＝﹣1时y的值是﹣3，求a，b、c的值．22．已知二次函数y＝ax2+（km+c），当x＝3时，y＝15；当x＝﹣2时，y＝5，试求y与x之间的函数关系式．23．已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，当x＝1时，y＝6，当x＝3时，y＝8，求y关于x 的解析式．。
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即：y=-2x2+40x (0<x<20)
x m
y
m2
x m
（40-2x ）m
一展身手（书第7页练习）
写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
1、正方体的表面积S（cm2）与棱长a（cm）之间的函数 表达式；
2、已知圆柱的高14cm，写出圆柱的体积V （cm3）与底面半径r（cm）之间的函数表达式。
k -3k+2
2
k 2 - 3k+ 2
+kx+1是二次函
发展能力，拓展延伸
某商场将进价为40元的某种服装，按50 元售出时，每天可以售出300套．据市场调 查发现，这种服装每提高1元售价，销量就 减少5套，如果商场将售价定为x，请你联 系前面的知识写出每天销售利润y与售价x 的函数表达式，说明这是什么函数？
5.1 二 次 函 数
创设情境，感受生活
一粒石子投入水中，激起的波纹不断 向外扩展，所形成的圆面积S与半径r有何 关系？
S r
2
用16m长的篱笆围成长方形的 生物园饲养小兔，怎样围可使小兔 的活动范围最大 .
设长方形的长为x米，则宽 为（8-x）米，如果将面积 记为y平方米，那么变量y与 x之间的函数关系式为：
不是 ) 不是 ) 不是 )
(2)y=3x2 （
(4)y=2x2-2x+1(
)
是
) )
是 不是
(6)y=x2-x(1+x) (
例题导学
例1 一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长 方形菜园(墙有足够长)，和墙垂直的一边长为xm，菜园 的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自 变量的取值范围。 解：由题意得： y=x(40-2x)
通常，二次函数的自变量x可以取任意实数。但是， 如果它的取值要受到实际意义的限制。 在上述实际问题中，
S r
2
y x 2 8x
y 240x 2 120x 976
自变量的取值范围分别是多少？
感悟概念，知识运用
下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (
(3)y=3x3+2x2 ( (5)y=x-2+x (
课堂小结，感悟收获
谈谈你的收获。 二次函数是描述现实世界变量之间关 系的重要数学模型.
走进数学家
一切问题都可以转化为数学问题， 一切数学问题都可以转化为代数问题， 而一切代数问题又可以转化为函数问题， 因此，一旦解决了函数问题， 一切问题都将迎刃而解！
[伟大的数学家、物理学家、哲学家、生理学家， 解析几何的创始人 ] ------(法)笛卡儿
y x 2 8x
情境三：一面长与宽之比为2:1的矩形镜子， 四周镶有边框。已知镜面的价格是每平方米 120元，边框的价格是每米30元，加工费为 45元.设镜面宽为x米，求总费用y与镜面宽x 之间的函数关系式. 2 240 x （1）镜面的费用为_________；
30(2x x 2x x) （2）边框的费用为_________ ；
45 （3）其他费用为_________ ；
2 y 240 x 180x 45 . （4）总费用y为________________
自学质疑，问题导学
请找一找我们的共同点
S r
2
2
y x 8x
y 240x2 180x 45
观察上面函数关系式，并思考： 这些函数有哪些共同特征？
20
20
x
14
x
迁移应用，分组活动
例2、y=（m+3）x
m2-7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
挑战自我
k+1 如果函数y= x +kx+1是二次函数, 1 则k的值一定是______
如果函数y= x +kx+1是二次函数, 0，3 则k的值一定是______ 如果函数y=(k-3) x 0 数,则k的值一定是______
课前热身 1、正方形的边长是x，周长为y，求y与x之 间的函数表达式 y=4x ．这是 一次 函数。 2、已知长方形的长为x，宽为y。若面积为 20 y 20,求y与x的函数表达式 x ．这是 反比例 ___________ 函数。
打开记忆 函数的定义： 在某个变化过程中，有两个变量x和y，对 于x在某一范围内每取一个确定的值，另一个 变量y都有一个唯一确定的值与它对应，那么 我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是x的 函数．
你还记得吗
一般形式
图象
函
一次函数 y=kx+b (k、 b是常数，k≠0)
一条直线 双曲线
反比例函数
数
k y = k ≠ 0 x
新的函数
?
运动场上飞舞的跳绳
奥运赛场腾空的篮球
很多同学都喜欢打篮球，但你们知道：投 篮时，篮球运动的路线是什么曲线？
节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经 过的路线？它会与某种函数有联系吗？
一展身手
3、如图，把一张长30cm、宽20cm的矩形纸片的一角剪 去一个正方形，写出矩形纸片的剩余面积S（cm2）与所 剪正方形边长x（cm）之间的函数表达式。
x x 30
4、如图学校准备将一块长为20m、宽14m的矩形绿地扩 建，如果长、宽都增加xm，写出扩建面积s（m2）与x（ m）之间的函数表达式及自变量的取值范围。
自主归纳，形成概念
定义：一般地，形如y=ax² +bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的 整式
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式右边的自变量最高次数为 2 ，可 以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
定义：一般地，形如y=ax² +bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。