黄昆固体物理试题及答案
黄昆版固体物理学课后答案解析答案
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 31.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ω31230,,22(),0,224,,022a aa a a a a a a a Ω=⋅⨯==，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++ 同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
黄昆固体物理部分习题解答
《固体物理学》部分习题解答1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 。
解 由倒格子定义2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯v v v v v v 3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯v v v v v v 1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯v v v v v v体心立方格子原胞基矢123(),(),()222a a a a i j k a i j k a i j k =-++=-+=-+v v vv v v v v v v v v倒格子基矢231123022()()22a a a ab i j k i j k a a a v ππ⨯==⋅-+⨯+-⋅⨯v v v v vv v v v v v v 202()()4a i j k i j k v π=⋅-+⨯+-v v v v v v 2()j k a π=+vv 同理31212322()a a b i k a a a a ππ⨯==+⋅⨯v v v vv r r r 32()b i j a π=+v v v 可见由123,,b b b v v v为基矢构成的格子为面心立方格子面心立方格子原胞基矢123()/2()/2()/2a a j k a a k i a a i j =+=+=+v v vv v vv v v倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯v v v v v v 12()b i j k aπ=-++v v v v同理22()b i j k a π=-+v v v v 32()b i j k a π=-+v vv v可见由123,,b b b v v v为基矢构成的格子为体心立方格子1.4 证明倒格子原胞的体积为03(2)v π，其中0v 为正格子原胞体积证 倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯v v v v v v3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯v v v v v v1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯v v v v v v倒格子体积*0123()v b b b =⋅⨯v v v3*23311230(2)()()()v a a a a a a v π=⨯⋅⨯⨯⨯v v v v v v 3*00(2)v v π=1.5 证明：倒格子矢量112233G h b h b h b =++v v v v垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。
黄昆固体物理习题-第三章_晶体的热性质
第三章习题参考解答3.1已知一维单原子链，其中第j 个格波，在第n 个格点引起的位移μnj 为：δj 为任意位相因子。
并已知在较高温度下每个格波的平均能量为kT ，具体计算每个原子的平方平均位移。
)sin(j j j j nj naq t δωαμ++=21)(sin 102=++⎰dt q n t T j j j Tδαω根据=2nj μ22221)(sin j j j j j q n t αδαωα=++解：其中T =2π/ωj 为振动周期，所以：格波的平均动能：∑∙=n njm E 221μN m j j 2241ωα=一维单原子链可以认为是经典的简谐运动，因此有：)(cos 21222j j j j n j q n t m δαωωα++=∑平均动能=平均势能= 格波平均能量=kT 2121其中：M =ρL其中振幅222j j Nm kT ωα=得：kT N m E j j 214122==ωα所以有：22221jj nj Nm kT ωαμ==所以，每个原子的平方平均位移：∑∑∑===222121j j njn Nm kT ωαμμ其中：M =ρL3.2 讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a)，其2N个格波解，当M=m时与一维单原子链结果一一对应。
解：质量为M的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……。
质量为m的原子位于2n，2n+2，2n+4 ……。
牛顿运动方程体系有N个原胞，有2N个独立的方程方程的解：A,B有非零解可以得到：两种不同的格波的色散关系为：对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波，总的格波数目为2N。
当M=m时,色散关系简化为：长波极限情况下与一维单原子晶格格波的色散关系一致3.3质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间的力常数交错等于c和10c，令两种原子的质量相等，并且最近邻间距是a/2，试求在k=0和k=π/a处的ω(k)。
并粗略。
画出色散关系。
黄昆固体物理习题解答-完整版
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《固体物理》习题解答
成群C4:C4=（C1 C2 C3 C4） ，群中任意两元素乘积仍是群中元素。
⎛ ε1 0 ⎜ 1.11 证明六角晶体的介电常数张量为 ⎜ 0 ε 2 ⎜0 0 ⎝
0⎞ ⎟ 0⎟ ε3 ⎟ ⎠
T
证明 若 A 是一旋转对称操作，则晶体的介电常数 ε 满足 ε = A
ε A ，对六角晶系，绕 x 轴
（即 a 轴）旋转 180 度和绕 z 轴（即 c 轴）旋转 120 度都是对称操作，坐标变换矩阵分别为
⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ Ax = ⎜ 0 − 1 0 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
⎛ −1/ 2 ⎜ Az = ⎜ − 3 / 2 ⎜ ⎜ 0 ⎝
3 / 2 0⎞ ⎟ −1/ 2 0⎟ ⎟ 0 1⎟ ⎠
得
⎛ ε 11 0 ⎜ ⎜ 0 ε 22 ⎜0 ε 32 ⎝
所
以
ε 23
2
⎛ ε 11 0 ⎜ ε 23 = ε 32 = ε 11 = 0 可得到六角晶系的介电常数为 ε = ⎜ 0 ε 22 ⎜ 0 0 ⎝ ⎛ ε1 0 ⎜ 可得到 ε = ⎜ 0 ε 2 ⎜0 0 ⎝
0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 选择相应的坐标变换 ε 33 ⎟ ⎠
《固体物理》习题解答
第一章
1.1
习 题
如果将等体积球分别排列下列结构，设x表示刚球所占体积与总体积之比，证明 结构 简单立方(书P2, 图1-2) 体心立方(书P3, 图1-3) 面心立方(书P3, 图1-7) 六方密排(书P4, 图1-6) 金刚石(书P5, 图1-8) x
π / 6 ≈ 0.52
a2 × a3 a1 ⋅ a2 × a3
2π 2π 2π i , b2 = j , b3 = k a b c 2π 2π 2π 倒格子矢量 G = hb1 + kb2 + lb3 = h i +k j +l k a b c b1 =
固体物理学_答案(黄昆 原著 韩汝琦改编)
《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案(1)
《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
黄昆固体物理习题-第一章 晶体结构
第一章习题参考解答解答：设立方晶格的边长为a，一个晶胞中的原子数为n，原子球半径为R，晶胞体积为V，则致密度(或叫填充率)K为：V Rn K3 34π•= ch1.1 题略3343===0.52(2)6R K R ππ(1) 简单立方，晶胞内含有一个原子n=1，原子球半径为R ，立方晶格的顶点原子球相切，立方边长a=2R ，体积为(2R)3，所以VR n K 334π•=（2）体心立方晶胞内有2个原子，n=2，原子球半径为R ，晶胞边长为a ，立方晶格的体对角线原子球相切，体对角线长为4个原子半径，所以ππ83)34(342,3433=⨯=R R K R =0.68ππ83)34(342,3433=⨯==R R K R a（3）面心立方晶胞内有4个原子，晶胞的面对角线原子球相切，面对角线长度为4个原子半径，立方体边长为a ，ππ62)24(34433=⨯=R RK =0.74,24R a =（4）六角密排原胞内中含2个原子，正四面体四个顶点处的原子球相切，边长为a ，六角柱高h =0.74ππ62322]321)2[(34223=•⨯⨯⨯=a R R K hs 斜边2R=a[(2R)2-[(2Rsin60)х2/3]2=(h/2)2底边竖直边ππ16383433=⨯=a R K =0.34(5)金刚石在单位晶格中含有8个原子，碳原子最近邻长度2R 为体对角线1/4长，体对角线为,38a R =证明1：设六角层内最近邻原子间距为a ，相邻两层间的最近邻为d ，则633.13/8,])2()3[(,])2()3[(21222122≈=+==+=a c c a a a d c a d 由此解出此时有构，时构成理想的密堆积结当ch1.2 题略a d证明2：设六角层内最近邻原子间距为a，相邻两层间的最近邻为d，则a dch1.3 题略解：对于体心立方，原胞基矢为：对于体心立方原胞体积为：1.3)(21k j a a +=)(22i k a a +=)(23j i a a +=对于面心立方，原胞基矢为：根据倒格子基矢定义，并将体心原胞基矢代入计算之，可得：将计算所得到的倒格子基矢与面心立方原胞基矢相同，可知体心立方的倒格子是面心立方。
固体物理学-黄昆 答案
PART ONE 填空问题Q01_01_001 原胞中有p 个原子。
那么在晶体中有3支声学波和33p −支光学波？Q01_01_002 按结构划分，晶体可分为7大晶系, 共14布喇菲格子?Q01_01_004 面心立方原胞的体积为314a Ω=；其第一布里渊区的体积为334(2)*a πΩ= Q01_01_005 体心立方原胞的体积为32a Ω=；第一布里渊区的体积为332(2)*a πΩ= Q01_01_006 对于立方晶系，有简单立方、体心立方和面心立方三种布喇菲格子。
Q01_01_007 金刚石晶体是复式格子，由两个面心立方结构的子晶格沿空间对角线位移 1／4 的长度套构而成，晶胞中有8个碳原子。
Q01_01_008 原胞是最小的晶格重复单元。
对于布喇菲格子，原胞只包含1个原子；Q01_01_009 晶面有规则、对称配置的固体，具有长程有序特点的固体称为晶体；在凝结过程中不经过结晶（即有序化）的阶段，原子的排列为长程无序的固体称为非晶体。
由晶粒组成的固体，称为多晶。
Q01_01_010 由完全相同的一种原子构成的格子，格子中只有一个原子，称为布喇菲格子。
满足ij j i b a πδ2=⋅G G ⎩⎨⎧≠===)(0)(2j i j i π 关系的1b G ,2b G ,3b G 为基矢，由322211b h b h b h G h K K K K ++=构成的格子，称作倒格子。
由若干个布喇菲格子相套而成的格子，叫做复式格子。
其原胞中有两个以上的原子。
Q01_03_001 由N 个原胞构成的晶体，原胞中有l 个原子，晶体共有3lN 个独立振动的正则频率。
Q01_03_002 声子的角频率为ω，声子的能量和动量表示为ω=和q K =。
Q01_03_003 光学波声子又可以分为纵光学波声子和横光学波声子，它们分别被称为极化声子和电磁声子Q01_03_004 一维复式原子链振动中，在布里渊区中心和边界，声学波的频率为 ⎪⎩⎪⎨⎧→±==0,02,)2(211q a q M πβω；光学波的频率⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=→=a q m q 2)2(0)2(21212πβµβωQ01_04_001 金属的线度为L ，一维运动的自由电子波函数ikx e Lx 1)(=ψ；能量m k E 222==；波矢的取值Ln k π2= Q01_04_002 电子在三维周期性晶格中波函数方程的解具有()()ik r kr e u r k ψ⋅=K K K K K K 形式？式中()k u r K K 在晶格平移下保持不变。
(黄昆版)固体物理试题4答案
0 度 TK 答：
时有何差别？简要说明原因。 时，绝缘体的热容量遵从 T
3
0 温度 TK 定律，即
CT V :
0 而金属的热容量在温度 TK
时，
3
；
。 （3分） 造成差别的原因在于金属中有大量的近自由电 子，它们对热容量的贡献为
CTbT V
3
CT V :
图1.1
2.（5分）温度一定，一个光学波的声子数目多 呢, 还是声学波的声子数目多?而对同一个振动 模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低 时的声子数目多? 答： 频率为 的格波的(平均) 声子数为
n
hoB / kT h AB / kT
1 e
h / kT B
1
因为光学波的频率 O 比声学波的频率 A 高,
（3分）
2．（7分）NaCl型离子晶体排斥势的幂指数为：
n 1,
72 00 R 4 e2 （M为马德龙常数，K为体弹模量）
证明：
Q 晶体平衡时的体积弹性模量为
V
2 dU dV 2
V0
e2 B A VNr 4 0 r n ）, 其中， e 2 n 1 dU r0 0 418 00 R 4 平衡条件 dr ，结合诸式可得 44 41872 RR 0000 n 11 22 ee
A UrN 3 2 ,U=N（ r
3．（7分）在经典近似下，晶格的自由能可以表示为：
（3分）
（4分）
FUkT 0
证明： 晶格的自由能为
B
ln kT
q
h
B
经典极限相当于（温度较高） 所以
《固体物理学》基础知识训练题及其参考标准答案
《固体物理学》基础知识训练题及其参考标准答案《固体物理》基础知识训练题及其参考答案说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。
第一章作业1：1.固体物理的研究对象有那些？答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。
2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。
非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。
3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。
有那些单质晶体分别属于以上三类。
答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。
常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。
面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。
常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。
六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。
常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。
4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。
答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格；金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格；Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (1)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
固体物理(黄昆)
PART ONE 填空问题Q01_01_001 原胞中有p 个原子。
那么在晶体中有3支声学波和33p −支光学波？Q01_01_002 按结构划分，晶体可分为7大晶系, 共14布喇菲格子?Q01_01_004 面心立方原胞的体积为314a Ω=；其第一布里渊区的体积为334(2)*a πΩ= Q01_01_005 体心立方原胞的体积为32a Ω=；第一布里渊区的体积为332(2)*a πΩ= Q01_01_006 对于立方晶系，有简单立方、体心立方和面心立方三种布喇菲格子。
Q01_01_007 金刚石晶体是复式格子，由两个面心立方结构的子晶格沿空间对角线位移 1／4 的长度套构而成，晶胞中有8个碳原子。
Q01_01_008 原胞是最小的晶格重复单元。
对于布喇菲格子，原胞只包含1个原子；Q01_01_009 晶面有规则、对称配置的固体，具有长程有序特点的固体称为晶体；在凝结过程中不经过结晶（即有序化）的阶段，原子的排列为长程无序的固体称为非晶体。
由晶粒组成的固体，称为多晶。
Q01_01_010 由完全相同的一种原子构成的格子，格子中只有一个原子，称为布喇菲格子。
满足ij j i b a πδ2=⋅G G ⎩⎨⎧≠===)(0)(2j i j i π 关系的1b G ,2b G ,3b G 为基矢，由322211b h b h b h G h K K K K ++=构成的格子，称作倒格子。
由若干个布喇菲格子相套而成的格子，叫做复式格子。
其原胞中有两个以上的原子。
Q01_03_001 由N 个原胞构成的晶体，原胞中有l 个原子，晶体共有3lN 个独立振动的正则频率。
Q01_03_002 声子的角频率为ω，声子的能量和动量表示为ω=和q K =。
Q01_03_003 光学波声子又可以分为纵光学波声子和横光学波声子，它们分别被称为极化声子和电磁声子Q01_03_004 一维复式原子链振动中，在布里渊区中心和边界，声学波的频率为 ⎪⎩⎪⎨⎧→±==0,02,)2(211q a q M πβω；光学波的频率⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=→=a q m q 2)2(0)2(21212πβµβωQ01_04_001 金属的线度为L ，一维运动的自由电子波函数ikx e Lx 1)(=ψ；能量m k E 222==；波矢的取值Ln k π2= Q01_04_002 电子在三维周期性晶格中波函数方程的解具有()()ik r kr e u r k ψ⋅=K K K K K K 形式？式中()k u r K K 在晶格平移下保持不变。
黄昆固体物理习题-第六章 金属电子论
6.1 解：在绝对零度时，等能面近似为球面
第六章习题参考解答
6.2在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果为：设一个摩尔的金属钾有个电子，一摩尔的电子对热容的贡献求钾的费米温度T F 和德拜温度ΘD 。
解：（本题将书上的题目稍微修改了一下）
费米温度
与实验结果比较
德拜定律
与实验结果比较
德拜温度
6.3若将银看成具有球形费米面的单价金属计算以下各量：
1)费密能量和费密温度
2)费密球半径
3)费密速度
4)费密球面的横截面积
5)在室温以及低温时电子的平均自由程
银质量密度
原子量
电阻率
解（1）费密能量和费密温度费密能量
费密温度
（2）费密球半径
（3）费密速度
(4)费密球面的横截面积
是与轴之间的夹角
(5)在室温以及低温时电子的平均自由程
电导率
弛豫时间
平均自由程
0K到室温之间的费密半径变化很小
平均自由程
代入数据得到：
6.4设N个电子组成简并电子气，体积为V，证明T=0K时
1)每个电子的平均能量
2)自由电子气的压强满足
解：
自由电子的能态密度
T=0 K，费米分布函数
电子平均能量
将电子气看作是理想气体，压强电子总数
6.5，6.6，6.7题略。
黄昆《固体物理学》习题解析
s
ε 11 ε 12 ε 21 ε 22 ε 31 ε 32
假设六角晶系的介电常数为
ε 11 ε 12 ε = ε 21 ε 22 ε 31 ε 32
则由 ε = A x εAx .
'
得
ε 13 ε 11 ε 31 = − ε 21 ε 33 − ε 31
v v v a2 × a3 2π a v v v a v v v 倒格子基矢 b1 = 2π v v v = ⋅ (i − j + k ) × (i + j − k ) a1 ⋅ a2 × a3 v0 2 2 v v v 2π a 2 v v v 2π v v ( j +k) = ⋅ (i − j + k ) × (i + j − k ) = a v0 4 v v v a3 × a1 2π v v 同理 b2 = 2π r r r = (i + k ) a1 ⋅ a2 × a3 a v v v v 2π v v b3 = (i + j ) a
v 2π v v 2π v v 2π v b1 = i , b2 = j , b3 = k a b c
-3-
整
v v v a ×a b1 = 2π v 2v 3v a1 ⋅ a2 × a3
v v v a ×a b3 = 2π v 1v 2v a1 ⋅ a2 × a3
理
h k l ( ) 2 + ( )2 + ( )2 ；说明面 a b c
可见由 b1 , b2 , b3 为基矢构成的格子为面心立方格子
-2-
Jo
体心立方格子原胞基矢 a1 =
ne
v v v a2 × a3 解：由倒格子定义 b1 = 2π v v v a1 ⋅ a2 × a3 v
东南大学固体物理习题解答-完整版
黄昆《固体物理》习题解答目录第一章习题 (1)第二章习题 (6)第三章习题 (10)第五章习题 (31)第六章习题 (36)第七章习题 (42)ρ ⨯ • ⨯ ⨯ • ⨯ ⨯ • ⨯ • ⨯ b 2 b 3 第一章 习 题1.1 如果将等体积球分别排列下列结构，设x 表示刚球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方(书P2, 图1-2) π / 6 ≈ 0.52体心立方(书P3, 图1-3) 3π / 8 ≈ 0.68 面心立方(书P3, 图1-7) 2π / 6 ≈ 0.74 六方密排(书P4, 图1-6) 2π / 6 ≈ 0.74 金刚石(书P5, 图1-8)3π /16 ≈ 0.34解 设n 为一个晶胞中的刚性原子数，r 表示刚性原子球半径，V 表示晶胞体积，则致4π nr 3密度为: = （设立方晶格的边长为a ） r 取原子球相切是的半径于是3V结构 r n V ρ 简单立方 a/2 1 a 3 π / 6 ≈ 0.52体心立方 a/2 1 a 3 3π / 8 ≈ 0.68 面心立方 3a / 4 2 a 3 2π / 6 ≈ 0.74 六方密排 2a / 44 a 32π / 6 ≈ 0.74 金刚石a/222a 33π /16 ≈ 0.34c 3 1/ 21.2 证明理想的六角密堆积结构（hcp ）的轴比 = ≈ 1.6332 8c c 3 1/ 2解 由1.1题，六角密排中h = a = 2 r - ，故 = ≈ 1.633 2 2 81.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方¸ 解 由倒格子定义b 1 = 2π ¸ ¸ a 2 a 3 ¸ ¸ ¸a 1 a 2 a 3 ¸ = 2π ¸ ¸ a 3 a 1 ¸ ¸ ¸ a 1 a 2 a 3 ¸ = 2π ¸ ¸ a 1 a 2¸ ¸ ¸ a 1a 2 a 3 ¸ a ¸ ¸ ¸ ¸ a ¸ ¸ ¸ ¸ a ¸ ¸ ¸体心立方格子原胞基矢a 1 = 2 (-i + j + k ), a 2 = 2 (i - j + k ), a 3 = 2(i - j + k )¸ ¸ ⨯ ¸ π ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 倒格子基矢b = 2π a 2 a 3 =2 ⋅ a (i - j + k ) ⨯ a (i + j - k )1¸ ¸ ¸ a 1a 2 a 3 v 0 2 2 2 3 2 3•⨯⨯⨯•⨯•⨯⨯•⨯⨯⋅⨯⨯⨯b3=2π⋅a2¸ ¸ ¸-+⨯¸ ¸ ¸+- =2π ¸+¸v4(i j k ) (i j k ) ( j k )a¸ ¸ ⨯¸π¸ ¸¸ π¸ ¸同理b = 2π a3 a1=2(i +k ) b =2(i +j )2. . . 3a1⋅a2⨯a3a a¸ ¸ ¸可见由b1, b2 , b3 为基矢构成的格子为面心立方格子面心立方格子原胞基矢¸ ¸ ¸a1=a( j +k ) / 2¸ ¸ ¸a2=a(k +i ) / 2¸ ¸ ¸a3=a(i +j ) / 2¸ ¸ ⨯¸¸ π¸ ¸ ¸倒格子基矢b= 2π a2 a3 b =2(-i +j +k )1¸ 2π¸ ¸ ¸ 1a1a2a3¸ ¸ ¸a¸ 2π¸ ¸ ¸同理b2 = (i -j +k )ab3= (i -j +k )a¸ ¸ ¸可见由b1, b2 , b3 为基矢构成的格子为体心立方格子(2π)31.4证明倒格子原胞的体积为v，其中v0 为正格子原胞体积¸证倒格子基矢b1¸b2= 2π= 2π¸ ¸a2a3¸ ¸ ¸a1a2a3¸ ¸a3a1¸ ¸ ¸a1a2a3¸= 2π¸ ¸a1a2¸ ¸ ¸a1a2a3¸ ¸ ¸倒格子体积v*=b ⋅(b ⨯b )v*=(2π)330 1 2 3¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸(a2a3) (a3a1) (a1a2) v*=(2π)3v¸ ¸ ¸ ¸1.5证明：倒格子矢量G =h1b1 +h2b2 +h3b3 垂直于密勒指数为(h1h2h3 ) 的晶面系。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (1)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
(黄昆版)固体物理试题2答案
EEJe k s
（1）
g 0JR s ikR RS 0
邻 近 最
s
简立方中一个原子最临近的有六个原子R n ： a（1,00）,a（-1,0,0）,a（0,1,0）,a（0,-1,0）,a（0,0,1）,a（0,0,-1）
e
RS
ikR g
S
∴
=2（cosk x a+cosk y a+cosk z a）
22m
41 sin m 2 2N
1/2
五、证明题（每小题题10分，共 30
1、金属Na的晶体结构为体心立方点阵，则 衍射的几何结构因子满足如下关系
分）
其X射线
F（h,k,l）= 证： 每个单胞有两个同种原子，位矢为
2f Na 0
h+k+l= 数 偶 当 h+k+l= 数 奇 当
2f Na 0
h+k+l= 数 偶 当 h+k+l= 数 奇 当
Ne 2 1 W 1 4 00 rn
证：
e2 A B r n ）,A= 4 0 内聚能为U=N（ r dU B 1 n 1 r0 r0 0 An 由平衡条件 dr
k Euu k
kk
=
k E k
1 k En k =h
简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子 的自由度数之和, 即等于3N.（或3Nn,N为原胞数,n为原胞中不同原子数）。 3、四角晶系中为什么没有底心四角和面心四角点阵？ 解答: 底心四角实际即 简单四角（如图）， 面心四角实际即 体心四角（如图）。
黄昆固体物理习题解答
因此只要先求出倒格点 Ghkl ，求出其大小即可。
由正格子基矢 a = ai ， b = bj ， c = ck ，可以马上求出：
a∗ = 2π i ， b ∗ = 2π j ， c∗ = 2π k
a
b
c
因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为
Ghkl =
(ha∗ )2 + (kb∗ )2 + (lc∗ )2 = 2π
(h)2 + (k )2 + ( l )2 abc
则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为
a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。
答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为 8，最近邻原子间距等于 3 a ，次近邻原 2
=V0
∂2U ( ∂r2
)r0
=
N 2
[−
m(m +1)α r m+2
0
+
n(n +1)β r n+2
0
=
N 2
{−
1 r02
m2α [( r0m
−
n2β r0n
)
+
(
mα r0m
−
nβ r0n
)]}
=
N 2
[−
1 r02
m2α ( r0m
−
n2β r0n
)]
=
N 2
[−
1 r m+2
0
(m2α
−
n2β nβ
AB = a (i − j − k ) 2
c
B
b
C
O
a
OB ⋅ AB =| OB || AB | cosθ = a2 (−1) 4
黄昆固体物理试题及答案
山东大学试题专用纸物理系-----年级----班 课程名称: 固体物理 共1页 学号: 姓名:一. 填空(20分, 每题2分)1.对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =a i +2a j +2a k 正交的倒格子晶面族的面指数为( ), 其面间距为( ).2.典型离子晶体的体积为V , 最近邻两离子的距离为R , 晶体的格波数目为( ), 长光学波的( )波会引起离子晶体宏观上的极化.3. 金刚石晶体的结合类型是典型的( )晶体, 它有( )支格波.4. 当电子遭受到某一晶面族的强烈反射时, 电子平行于晶面族的平均速度( )零, 电子波矢的末端处在( )边界上.5. 两种不同金属接触后, 费米能级高的带( )电. 对导电有贡献的是 ( )的电子. 二. (25分)1. 证明立方晶系的晶列[hkl ]与晶面族(hkl )正交.2. 设晶格常数为a , 求立方晶系密勒指数为(hkl )的晶面族的面间距. 三. (25分)设质量为m 的同种原子组成的一维双原子分子链, 分子内部的力系数为β1, 分子间相邻原子的力系数为β2, 分子的两原子的间距为d , 晶格常数为a , 1. 列出原子运动方程. 2. 求出格波的振动谱ω(q ). 四. (30分)对于晶格常数为a 的SC 晶体1. 以紧束缚近似求非简并s 态电子的能带.2. 画出第一布里渊区[110]方向的能带曲线, 求出带宽.3.当电子的波矢k =a πi +a πj 时,求导致电子产生布拉格反射的晶面族的面指数. (试题随答卷上交)答案：一. 填空(20分, 每题2分)1.对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =a i +2a j +2a k 正交的倒格子晶面族的面指数为( 122 ), 其面间距为( a 32π).2.典型离子晶体的体积为V , 最近邻两离子的距离为R , 晶体的格波数目为( 33R V ), 长光学波的( 纵 )波会引起离子晶体宏观上的极化.3. 金刚石晶体的结合类型是典型的(共价结合)晶体, 它有( 6 )支格波.4. 当电子遭受到某一晶面族的强烈反射时, 电子平行于晶面族的平均速度(不为 )零, 电子波矢的末端处在(布里渊区)边界上.5. 两种不同金属接触后, 费米能级高的带(正)电.对导电有贡献的是 (费米面附近)的电子.二. (25分)1.设d 为晶面族()hkl 的面间距为, n 为单位法矢量, 根据晶面族的定义,晶面族()hkl 将c b a 、、分别截为l k h 、、等份， 即 a =⋅n a cos (a ,n )==a cos (a ,n )=hd , b =⋅n b cos (b ,n )= a cos (b ,n ) =kd , c =⋅n c cos (c ,n )= a cos (c ,n ) =ld .于是有n =a dh i +a d kj +a d l k =a d(h i +k j +l k ). (1)其中, i 、j 、k 分别为平行于c b a 、、三个坐标轴的单位矢量. 而晶列[]hkl 的方向矢量为=R ha i +ka j +la k=a (h i +k j +l k ).(2)由(1)、（2）两式得n =2a dR ,即n 与R 平行. 因此晶列[]hkl 与晶面()hkl 正交.2. 立方晶系密勒指数为(hkl )的晶面族的面间距22222222l k h aa l a k a h d hkl hkl ++=++==kj i K πππππ三. (25分) 1.原子运动方程) (2t qna i n Ae u ω-= ) (12t qna i n Be u ω-+= 1. 1.格波的振动谱ω(q )＝()2/12/1222121222212sin 16422⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-±+qa m m m m ββββββ四. (30分) 1. 紧束缚近似非简并s 态电子的能带()a k a k a k J C E E z y x s s at s s cos cos cos 2)(++--=k2.[110]方向的能带曲线带宽为8J s 。
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山东大学试题专用纸
物理系-----年级----班 课程名称: 固体物理 共1页 学号: 姓名:
一. 填空(20分, 每题2分)
1.对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =a i +2a j +2a k 正交的倒格子晶面族的面指数为( ), 其面间距为( ).
2.典型离子晶体的体积为V , 最近邻两离子的距离为R , 晶体的格波数目为( ), 长光学波的( )波会引起离子晶体宏观上的极化.
3. 金刚石晶体的结合类型是典型的( )晶体, 它有( )支格波.
4. 当电子遭受到某一晶面族的强烈反射时, 电子平行于晶面族的平均速度( )零, 电子波矢的末端处在( )边界上.
5. 两种不同金属接触后, 费米能级高的带( )电. 对导电有贡献的是 ( )的电子. 二. (25分)
1. 证明立方晶系的晶列[hkl ]与晶面族(hkl )正交.
2. 设晶格常数为a , 求立方晶系密勒指数为(hkl )的晶面族的面间距. 三. (25分)
设质量为m 的同种原子组成的一维双原子分子链, 分子内部的力系数为β1, 分子间相邻原子的力系数为β2, 分子的两原子的间距为d , 晶格常数为a , 1. 列出原子运动方程. 2. 求出格波的振动谱ω(q ). 四. (30分)
对于晶格常数为a 的SC 晶体
1. 以紧束缚近似求非简并s 态电子的能带.
2. 画出第一布里渊区[110]方向的能带曲线, 求出带宽.
3.当电子的波矢k =a πi +a π
j 时,求导致电子产生布拉格反射的晶面族的面指数. (试题随答卷上交)
答案：
一. 填空(20分, 每题2分)
1.对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =a i +2a j +2a k 正交的倒格子晶面族
的面指数为( 122 ), 其面间距为( a 32π
).
2.典型离子晶体的体积为V , 最近邻两离子的距离为R , 晶体的格波数
目为( 3
3R V ), 长光学波的( 纵 )波会引起离子晶体宏观上的极化.
3. 金刚石晶体的结合类型是典型的(共价结合)晶体, 它有( 6 )支格波.
4. 当电子遭受到某一晶面族的强烈反射时, 电子平行于晶面族的平均速度(不为 )零, 电子波矢的末端处在(布里渊区)边界上.
5. 两种不同金属接触后, 费米能级高的带(正)电.对导电有贡献的是 (费米面附近)的电子.
二. (25分)
1.设d 为晶面族()hkl 的面间距为, n 为单位法矢量, 根据晶面族的定义,
晶面族()hkl 将c b a 、、分别截为l k h 、、
等份， 即 a =⋅n a cos (a ,n )==a cos (a ,n )=hd , b =⋅n b cos (b ,n )= a cos (b ,n ) =kd , c =⋅n c cos (c ,n )= a cos (c ,n ) =ld .
于是有
n =a d
h i +a d k
j +a d l k =a d
(h i +k j +l k ). (1)
其中, i 、j 、k 分别为平行于c b a 、、三个坐标轴的单位矢量. 而晶列
[]hkl 的方向矢量为
=R ha i +ka j +la k
=a (h i +k j +l k ).
(2)
由(1)、（2）两式得
n =2a d
R ,
即n 与R 平行. 因此晶列[]hkl 与晶面()hkl 正交.
2. 立方晶系密勒指数为(hkl )的晶面族的面间距
22222222l k h a
a l a k a h d hkl hkl ++=
++==k
j i K πππππ
三. (25分) 1.
原子运动方程
) (2t qna i n Ae u ω-= ) (12t qna i n Be u ω-+= 1. 1.
格波的
振动
谱ω(q )＝
()2
/12
/122
212
1222212sin 16422⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-±+qa m m m m ββββββ
四. (30分) 1. 紧
束缚
近
似
非
简并
s 态电子的能带
()a k a k a k J C E E z y x s s at s s cos cos cos 2)(++--=k
2.
[110]方向的能带曲线
带宽为8J s 。
2. 2. 将k =a πi +a π
j 带入0
)2(=+⋅n n K k K ，得到
j
i K j,K i,K a a a a n n n π
πππ22 2 2321--=-=-=,由此可知，导致电子产生布拉格反射的晶面族的面指数分别为（100），（010）和（110）。