第10讲定积分的应用和广义积分

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第10讲定积分的应用和广义积分

∫ ∫ t=π − x
2
0
===== 4 π
π
1 + cos2 x ⋅ (−dx) = 4 2
1 + cos2 x dx
0
2
∴ s1 = s2
Previous Next 16
练习十七/十四
由曲线 y = 3x2 , 直线 x = 2及
x 轴围成的图形记为 D
(1) 求 D绕 y 轴旋转所得的旋转体的体积.
∫ A =
6
(
2
x x0
−1+
ln
x0
−
ln
x)dx
O2
6x
=
⎡1
⎢ ⎣
2
x0
x2
−
(1 −
ln
x0 )x
−
x ln
x
+
⎤6 x⎥
⎦2
=
16 x0
+
4ln
x0
−
6ln6+
2ln2
Previous Next 11
令 f (x) = 16 +4ln x −6ln6+ 2ln2, x ∈ (2,6) x
012
x
{ } dV = 2π (2 − x ) 2 x − x2 − (2 − x)x dx
{ } ∫ V = 2π 1 (2 − x ) 2 x − x2 − (2 − x)x dx 0
∫ ∫ 1
=π
2x − x2d(2x − x2 ) + 2π 1
1 − (1 − x)2 dx
0
0
= π2 − 2 π 23
4
∫ = 2π
0
π

定积分应用及广义积分

第三章一元积分学第四节定积分的应用及广义积分一．定积分的应用积分有着广泛的应用。

在这里我们要掌握（1）直接用公式计算（主要是计算面积、弧长、体积的公式）（2）用元素法计算。

遇到具体问题时，如能直接用公式，我们就用公式去做，如没有现成的公式可用或公式忘了，我们可用元素法去解,尤其是物理或其他方面的应用。

元素法同样适用于重积分的应用问题，还可以用元素法建立微分方程，所以说掌握了元素法就可以做到以不变应万变。

例１．（1）曲线)0( sin 2≥=-x x e y x 与x 轴所围成的图形的面积为____．（２）曲线)0(sin 0π≤≤=⎰x dt t y x的弧长为____．解：（１）所求的面积为 ∑⎰⎰+∞=+-+∞-==)1(0|sin |2|sin 2|k k k x xdx x e dx x e A ππ而⎰+-ππ)1(|sin |2k kxdx x e==⎰--ππsin 2tdt e et k )1(ππ--+e e kππππ--∞=---+=+=∑ee ee A k k 11)1(011-+=ππe e （２）弧长为4)]([102='+=⎰dx x f l π例２．过点)0,4(作曲线)3)(1(x x y --=的切线，（１）求切线方程；（２）求由这切线与该曲线及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．解：（１）)3)(1(2x x x y ---='设切点为),(00y x ，则有4)3)(1(4)3)(1(200000000---=--=---x x x x y x x x解得 250=x ，那么切线的斜率为31-=k 切线方程为 )4(31--=x y ，即043=-+y x（３）旋转体的体积为6)3)(1()]4(31[3252425πππ=-----=⎰⎰dx x x dx x V 。

例3. 求椭圆122=++y xy x 的面积。

10广义积分

在 0 使得对任意 a a , b b ， f ( x)dx I ，则记

lim a f ( x)dx a

b
b

f ( x)dx 。否则称 f ( x)dx 发散。
a
b
注 10.1.2 ：如果函数 f : (a, b)
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10.3 广义积分的收敛性判断广义积分的收敛性是一个很重要的问题。由于广义积分是 Riemann 积分随积分限变化时的极限，所以可以用判断函数收敛的办法来判断广义积分的收敛性。 Cauchy 准则、单调有界收敛定理、夹逼定理是判定收敛的普遍方法，对广义积分而言还有一个判别收敛的重要方法——比较法。广义积分收敛的 Cauchy 准则定理 10.3.1（广义积分收敛的 Cauchy 准则）
A A
lim

2A
sgn( x)dx lim A ，所以
A
x

sgn( x)dx 不收敛。
例 10.1.5：
0
e
dx 收敛当且仅当 0 。
第 2 页 / 共 10 页
解： e
0
A x
1 e A 1 A x , 0 , 0 ，所以 lim e dx 。■ dx 0 A A, 0 , 0
A f ( x)dx I
B
。
于是对任意 A, A (, min{ N , a}) ，
F ( A) F ( A)
A A
A
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
A B

定积分的分部积分法广义积分

a

b
(5.3.3)
分部积分法
例(补充)
计算

0

4
0
xdx . 1 cos 2 x
2
解 1 cos2x 2cos x,

4
0
xdx 1 cos 2x
4
4
xdx 2 cos x
2
0

4

4
0
x d tan x 2
1 1 x tan x 0 2 2 1 4
dx
1

dx x
lim
1
b 1

b
dx x
令 x t，则x t 2，dx 2tdt 且x 1 t 1 ，x b t b
b 2tdt lim 2dt lim 2t b 1 b t
lim
b 1

b

b 1
lim 2( b 1)
1 x
dx
b 0
lim (arctan x)
a
a
lim (arctan x)
b
b
(0 lim arctan a) ( lim arctan b 0)

2

注意有限区间上定积分的计算和对积分结果求极限的运算的正确性.
2

广义积分
b
b
1 1
所以，广义积分

-x
e dx 收敛 .
0
广义积分
例3 求广义积分
解

0

定积分积分法与广义积分

02
广义积分在一定条件下可以转化为定积分，而定积分可以通过极限的思想推广到广义积分。
03
两者都涉及到积分的存在性和可积性，以及积分的计算和性质。
定积分与广义积分的区别
定义域不同
定积分的定义域是有限的闭区间，而广义积分的定义域可能是无限的区间或者无界点集。
积分结果可能不同
在定积分中，如果被积函数在闭区间上连续且在开区间上可积，则其积分值是确定的；而在广义积分中，即使被积函数在某
个区间上连续，其积分值也可能不存在。
意义不同
定积分主要用于计算面积、体积等数值结果，而广义积分则更多地用于研究函数的性质和行为，例如函数的奇偶性、可导性
、收敛性等。
定积分与广义积分的应用场景
定积分的应用场景
在物理学、工程学、经济学等各个领域中，都需要用到定积分来计算各种量值，例如物体的质量、面积、体积等。
换元法
通过换元公式将复杂的积分转化为简单的积分。
分部积分法
通过分部积分公式将两个函数的乘积转化为两个函数的积分之差。
广义积分的计算方法
无穷区间上的广义积分
通过将无穷区间分割成有限个小区间，然后对每个小区间上的函数值进行积分，最后取极限得到广义积分的值。
无界函数的广义积分
对于无界函数的广义积分，需要特别注意积分的上下限，以及在计算过程中对无界点的处理。
广义积分的性质
01
线性性质
广义积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以分别对每个函数进行积分后再求和或求差。
02
区间可加性
对于函数在两个区间上的积分，如果这两个区间有重叠部分，则该函数在这两个区间上的积分之和等于在重叠区间上积分的两倍。
03

定积分和广义积分的区别与联系

反常积分与定积分有何区别和联系要想得出定积分和广义积分的区别与联系，我们需要先明确两者的定义。

从定义的角度出发，对其进行讨论定积分：设函数f(x)在区间[a,b]上有界，在[a,b]任意插入n-1个分点，a=x 0<x 1<x 2<…<x n-1<x n =b把区间[a,b]分成n 个小区间，记△X I =x i -x i-1（i=1，2，…，n ），在每个小区间[x i,x i-1]上任取一点ξi(i=1,2,…,n ），作小区间长度△X I 与f （ξi ）的乘积，并求和。

设λ=max{△x1，△x2,…，△xi}(即λ属于最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数I ，这个常数I 叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分i ni i x f I x f ∆==⎰∑=→ba1)(lim )(ξλ其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

反常积分：无穷积分：设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取b>a,如果极限⎰+∞→bab f dx x lim）（存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的反常积分，记作⎰⎰+∞→+∞=bb adx x f dx x f a)(lim)(瑕积分：设函数f(x)定义在(a,b]上，而在x=a 的任一右邻域内f(x)无界(此时称x=b 为f(x)的瑕点)，若f(x)在任意[a -ε,b](0<ε<b -a)上可积，即：⎰⎰-→=uabu badx x f x f )(lim )(由上可知，定积分是有界函数在有限区间上的积分。

实际运用中遇到的无穷区间上的积分，以及无界函数在有限区间上的积分，两者统称为反常积分，分别称为无穷积分和瑕积分。

第十周周一高等数学の5-定积分在几何物理上的应用广义积分

x
设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb)给出，其中f(x)在区间[a，b]上具有一阶连续导数，则
ds 1 y2dx ，s b 1 y2dx ． a
讨论：
(1)设曲线弧由参数方程
x
y
(t), (t)
( t )给出，其中
(t)、(t)在[，]上具有连续导数，问弧长元素ds和弧长 s 各
2
2
1
1a
ab
b2
2(1(1cocso2st2)td)tdt11
a
ab·b·
11
a ab b．．
22 0 0
2 2 2 24 4
A 4A1 a b．
2. 极坐标的情形
•曲边扇形及曲边扇形的面积元素：
由曲线r()及射线，围成的图形称为曲边扇形．
•曲边扇形的面积元素：
dA 1 [()] 2d ．
a2 (1 cos )2 a2 sin 2 d 2a sin d ．
2
所求弧长为
s
2 2a sin d
0
2
2a[2
cos
2
]02
8a ．
y
2a
O
a
2 a
x
3. 极坐标的情形
设曲线弧由极坐标方程
r = r() ( ) 给出，其中r()在[，]上具有连续导数．由直角坐标与极坐标的关系可得
是什么？
(2)设曲线弧由极坐标方程r = r() ( )给出，其中r() 在[，]上具有连续导数，问弧长元素ds和弧长 s 各是什么？
) Ds MO MP ,
ds MP dx2 dy2 ,
直角坐标系下 y f x,
P
O
dy

广义积分定义

广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面的面积或者曲线长度。

它是微积分中的基本操作之一，也是求解微分方程、计算物理量等问题的重要工具。

广义积分的定义比较抽象，需要通过极限的思想来理解。

在介绍广义积分的定义之前，我们先来回顾一下定积分的概念。

定积分是广义积分的一种特殊情况，它可以用来计算曲线下面的面积。

如果我们将曲线分割成无穷多个小的线段，并在每个小线段上取一个点，那么这些小线段的长度乘以对应的函数值的和，就是定积分的近似值。

当这些小线段的长度趋于零时，这个近似值就会趋于定积分的真实值。

但是，并不是所有的函数都可以直接求定积分。

有些函数在某些点上可能会没有定义或者无界，导致无法直接计算定积分。

为了解决这个问题，人们引入了广义积分的概念。

广义积分可以看作是对函数在某些点上的不连续或者无界部分的补充，使得我们可以对更广泛的函数进行积分计算。

广义积分的定义分为两种情况：无界区间上的广义积分和间断点处的广义积分。

对于无界区间上的广义积分，我们需要将积分区间分割成有限段，并在每一段上计算定积分，然后取这些定积分的极限值。

如果这个极限值存在，那么我们就称之为无界区间上的广义积分存在。

对于间断点处的广义积分，我们需要在间断点附近分割积分区间，并在每个小区间上计算定积分，然后取这些定积分的极限值。

如果这个极限值存在，那么我们就称之为间断点处的广义积分存在。

广义积分存在的充分条件是函数在积分区间上的绝对可积。

函数的绝对可积意味着函数在积分区间上的绝对值是可积的，即它的定积分存在。

如果函数在积分区间上不是绝对可积的，那么它的广义积分就不存在。

广义积分在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，广义积分可以用来计算物体的质量、重心、转动惯量等物理量。

在经济学中，广义积分可以用来计算总收入、总支出等经济指标。

在概率论中，广义积分可以用来计算随机变量的期望值、方差等统计量。

广义积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述曲线下面的面积或者曲线长度。

定积分求解知识点总结

定积分求解知识点总结一、定积分的引入1. 定积分的概念：在数学中，定积分是微积分的一个重要概念，它是函数在一个区间上的“累积总和”。

定积分通常表示为∫abf(x)dx，其中a、b为区间端点，f(x)为被积函数，dx表示自变量的微小变化量。

2. 定积分的引入：定积分最初是由数学家魏尔斯特拉斯引入的，它在物理学、经济学、工程学等领域都有广泛的应用。

3. 定积分的几何意义：定积分也可以理解为曲线与坐标轴之间的“面积”，这是由牛顿和莱布尼兹最初提出的。

它可以用来描述曲线下方的面积、弧长、旋转体的体积等几何量。

4. 定积分的物理学意义：在物理学中，定积分通常表示为对时间、空间或其他物理量的积分，可以用来求解速度、加速度、质量、能量等物理量。

二、定积分的计算方法1. 定积分的求解：定积分的求解通常需要用到数学中的积分技巧，如不定积分、换元积分、分部积分、积分表等。

2. 定积分的区间划分：对于一些复杂函数，可以通过区间划分来简化定积分的计算，将积分区间等分为若干小区间，然后对各小区间进行求和，再求出极限值即可得到定积分的值。

3. 定积分的数值计算：对于一些无法用解析方法求解的定积分，可以通过数值积分方法，如梯形法、辛普森法、龙贝格积分法等来近似计算定积分的值。

4. 定积分的工程应用：在工程学中，定积分经常用来计算曲线下的面积、求解旋转体的体积、计算弹簧的弹性势能等。

三、定积分的性质1. 定积分的线性性质：对于任意函数f(x)和g(x)，定积分具有线性性质，即∫ab[f(x) +g(x)]dx = ∫abf(x)dx + ∫abg(x)dx。

2. 定积分的区间可加性：如果a < c < b，那么∫abf(x)dx = ∫acf(x)dx + ∫cbf(x)dx。

3. 定积分的保号性：如果在[a, b]区间上f(x)≥0，则∫abf(x)dx≥0；如果f(x)在[a, b]区间上非负，则∫abf(x)dx = 0。

广义积分与应用

广义积分与应用广义积分是微积分中的重要概念，它是对函数在一定区间上的累积求和。

广义积分在数学和工程领域中有着广泛的应用，本文将介绍广义积分的基本概念和一些常见的应用。

一、广义积分的基本概念1.1 定积分的基本概念定积分是广义积分的一种特殊情况，用来求解函数在一个有限区间上的积分值。

定积分符号表示为∫，函数f(x)在[a,b]上的定积分表示为∫[a,b]f(x)dx。

1.2 不定积分的基本概念不定积分是对函数的原函数的求解，符号表示为∫f(x)dx。

不定积分存在一个常数项，因为对同一个函数而言，它的导函数是不唯一的。

1.3 广义积分的引入广义积分是对不可积函数或无界函数的积分概念进行推广，用于解决一些求和问题。

广义积分符号表示为∫，函数f(x)在区间[a, b]上的广义积分表示为∫[a, b]f(x)dx。

二、广义积分的计算方法2.1 瑕积分瑕积分是广义积分的一种形式，它处理无界函数或在某些点上发散的函数。

瑕积分的计算需要将无穷区间[a, b]划分成有限个有界子区间，并通过求解有界子区间上的定积分来求解广义积分。

2.2 收敛与发散广义积分可能会收敛或发散。

当广义积分的值存在有限的极限时，称其为收敛；当广义积分不存在有限极限时，称其为发散。

2.3 收敛级数收敛级数是广义积分的另一种形式，它是无穷序列求和的极限。

收敛级数可以表示为∑an = s，其中s为收敛和。

三、广义积分的应用领域3.1 几何学应用广义积分在几何学中有着广泛的应用，可以用于计算曲线长度、曲线与坐标轴所围成的面积、曲面面积和曲面体积等。

3.2 物理学应用在物理学中，广义积分可以用于求解质点或杆的质心、质量、转动惯量等重要物理量。

此外，广义积分还可以用于计算流体力学中的流量、质量、功率等。

3.3 统计学应用广义积分在统计学中也有一些应用，例如求解概率密度函数和累计分布函数等，这对于研究随机变量的概率分布及其性质非常重要。

3.4 工程学应用在工程学中，广义积分被广泛应用于求解电路中的电流、电压、功率等，并且还可以用于计算传热学中的热量、传热速率等。

定积分及其应用

六、参考概率书籍，说明分布函数怎么计算参考概率书籍，（p231，13），）
分布函数取值充满整个实数轴的随机变量，就不可能用分轴的随机变量，布列来表述它取值的概率规律，布列来表述它取值的概率规律，一般可统一用分布函数来表述。一般可统一用分布函数来表述。分布函数是定义在实数轴上而取值为大于等于0且小于等于且小于等于1 取值为大于等于且小于等于的实数，对于实轴上任何一点x，的实数，对于实轴上任何一点，随机变量X的分布函数的分布函数F（）随机变量的分布函数（x）点的值为随机变量X小于在x点的值为随机变量小于点的值为随机变量小于x 这个事件发生的概率。这个事件发生的概率。分布函数是单调非降的右连续函数，数是单调非降的右连续函数，在负无穷大时为0，在负无穷大时为，在正无穷大时为1。时为。
三、不定积分与定积分有什么联系和区别
不定积分原函数的集合；集合；用换元法计算时在的计算回；回；原函数的
在区间[a,b]上连续 ⑴若f(x)在区间在区间上连续则∫ (a,x)f(t)dt=G(x)是f(x)在是在区间上的一个原函数，区间上的一个原函数，即 G’(X)=f(x) ，即φ’(x)= ∫ (a,x)f(t)dt= f(x)【第一基本【定是连续函数，若f(x)是连续函数，F(x) 是连续函数的一个原函数，是f(x)的一个原函数，则∫ 的一个原函数 (a,b)f(x)dx=F(b) F(a) 【第基本定
需求函数：在某一特定时期内， ①需求函数：在某一特定时期内，市场上某种商品的各种可能的购买量与决需求量Q是价格是价格p的函定这些购买量的因素的关系 Q(p)= ∫(0,p)Q(t)dt+Q0 需求量是价格的函价格为0时需求量最大时需求量最大。数，价格为时需求量最大。 ②总成本函数：产品成本是以货币形式实现的企业生产销售产品全部费用支总成本函数：固定成本+变动成本变动成本=总成本出，固定成本变动成本总成本 C(x)= ∫(0,x)C′(t)dt+C0 C0=C 价格× ③总收入函数：总收入=价格×销售量总收入函数：总收入价格 R(x)= ∫(0,x)R′(t)dt （∫(0,x)L′(t)dt产量产量利润=收入 ④利润函数:利润收入－成本 L(x)= ∫(0,x)L′(t)dt－C0 利润函数利润收入－－时的毛利，为x时的毛利，毛利减去固定成本为纯利）时的毛利毛利减去固定成本为纯利）

定积分的广义积分

定积分的广义积分定积分是微积分中的重要概念，它能够求出函数在一定区间内的面积或曲线长度等量值。

然而，不是所有函数都能够进行定积分，因为在某些情况下，函数可能在区间内出现无限大、无界、发散等情况。

这时，就需要引入广义积分的概念。

一、广义积分的定义广义积分是指函数在无限区间上的积分，它的定义分为以下两种情况：1. 第一类广义积分如果函数 f(x) 在区间a ≤ x ≤ ∞ 上 Riemann 可积，那么第一类广义积分可以定义为：$$ \int_a^\infty f(x) dx = \lim_{b \rightarrow \infty} \int_a^b f(x)dx $$其中，a 为下限，∞ 为上限，b 为上限的一个变量。

这个定义表示，当上限趋近于无穷大时，积分的值趋于一个有限值，那么这个积分就是收敛的。

如果这个极限不存在或为无穷大时，那么这个积分就是发散的。

2. 第二类广义积分如果函数在区间a ≤ x ≤ b 的一个子区间上发生无限大或无穷小的情况，那么就需要使用第二类广义积分的定义。

对于函数 f(x) 在区间a ≤ x ≤ b 上不连续，但在每个分割区间内仍然 Riemann 可积的情况，第二类广义积分可以定义为：$$ \int_a^b f(x)dx = \lim_{\epsilon_1 \rightarrow 0^+, \epsilon_2\rightarrow 0^+} \int_{a+\epsilon_1}^{c-\epsilon_2} f(x)dx $$其中，a 为下限，b 为上限，c 为 a 与 b 之间的某一点。

这个定义表示，当积分范围趋近于a 或b 时，积分的值趋于一个有限值，那么这个积分就是收敛的。

如果这个极限不存在或为无穷大时，那么这个积分就是发散的。

二、广义积分的应用广义积分在微积分中有着广泛的应用，例如在物理学和工程学中，它可以被用来计算无限长的线、面、体等的质量、电荷、热量等物理量。

广义积分、定积分应用

第四节广义积分在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间或被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分，因此，我们需要对定积分作两种推广，从而形成了广义积分的概念. 一. 无穷区间上的广义积分1.引例1.求下述广义曲边梯形的面积.（1）由曲线xy e -=，及x 轴、y 轴所围成的图形的面积（作图）解：0limlim 11bx bb b A e dx e --→+∞→+∞⎡⎤==-=⎣⎦⎰ （2）由曲线xy e =，及x 轴、y 轴所围成的图形的面积（作图）解：0limlim 11x a a a a A e dx e →-∞→-∞⎡⎤==-=⎣⎦⎰. 2．定义1.设函数()x f 在区间[)+∞,a 上连续，取a b >.如果极限 ()dx x f bab ⎰+∞→lim存在，则称此极限为函数()x f 在区间[)+∞,a 上的广义积分，记作()dx x f a⎰+∞.即：()dx x f a⎰+∞()dx x f bab ⎰+∞→=lim————（1）这时，也称广义积分()dx x f a⎰+∞收敛；如果上述极限不存在，函数()x f 在区间[)+∞,a 上的广义积分就没有意义，习惯上称为广义积分()dx x f a⎰+∞发散.定义2.设函数()x f 在区间(]b ,∞-上连续，取b a <.如果极限()dx x f baa ⎰-∞→lim存在，则称此极限为函数()x f 在区间[)+∞,a 上的广义积分，记作()dx x f b⎰∞-.即：()dx x f b⎰∞-()dx x f baa ⎰-∞→=lim————（2）这时，也称广义积分()dx x f b⎰∞-收敛；如果上述极限不存在，函数()x f 在区间(]b ,∞-上的广义积分就没有意义，习惯上称为广义积分()dx x f b⎰∞-发散.定义3.设函数()x f 在区间()-+∞∞，上连续，如果广义积()dx x f ⎰∞-0和()dx x f ⎰+∞都收敛，则称上述两广义积分之和为函数()x f 在区间()+∞∞-,上的广义积分，记作：()()()dx x f dx x f dx x f ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=0.------（3）这时，也称广义积分()dx x f ⎰+∞∞-收敛；否则，就称()dx x f ⎰+∞∞-发散.上述定义的三种广义积分统称无穷限的广义积分. 例1．求22111lim lim arctan lim arctan .1144|b b b b b dx dx x b x x ππ+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤===-=⎢⎥++⎣⎦⎰⎰ 注意：表面上是代入上、下限作差，其实，这里的上限值是函数的极限。

定积分的概念课件

区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指定积分在区间上的值等于该区间内各小区间的定积分之和。
详细描述
定积分的区间可加性表明，对于任意两个不相交的区间$[a, b]$和$[c, d]$，有
$int_{a}^{b}f(x)dx+int_{c}^{d}f(x)dx=int_ {a}^{d}f(x)dx$。这意味着可以将一个大区间分割成若干个小区间，然后求各小区间的定积分，再将它们相加，得到整个大区间的
体积计算
规则体积
对于规则的立体图形，如长方体、圆柱体、圆锥体等，可以直接利用定积分的值来计算其体积。例如，对于圆柱体，其体积可以通过定积分$int_{a}^{b} 2pi r(h) dr$来计算。
曲顶体积
对于曲顶的立体图形，如球、球缺等，也可以利用定积分来计算其体积。通过将曲顶立体分割成若干小锥体，然后求和这些小锥体的体积，最后利用极限思想得到整个曲顶立体的体积。
定积分的性质
02
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指定积分具有与加法和数乘运算类似的性质。
详细描述
定积分的线性性质允许我们将一个被积函数与常数相加或相乘，其结果等于将相应的常数加到或乘到该函数的定积分上。即，对于两个函数的定积分，有$int (k_1f+k_2g) dx = k_1int f dx + k_2int g dx$，其中$k_1$和$k_2$是常数。
应用
无穷区间上的积分在解决一些实际问题时非常有用，例如求某些物理量（如质量、面积等）的无穷累加和。
一致收敛性
定义
01
一致收敛性是函数序列的一种收敛性质，它描述了函数序列在
某个区间上的一致收敛性。

定积分的计算及应用

定积分的计算及应用一、定积分的概念设函数f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点，把区间[a，b]分成n个小区间，当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数在区间[a，b]上的定积分，记作∫baf（x）dx，即∫baf（x）dx=I=limλ→0∑ni=1f（ξi）·Δxi.二、定积分的意义（一）几何意义设y=f（x）≥0且在[a，b]上连续，若f（x）为曲线，则∫baf（x）dx表示[a，b]上曲边梯形的面积.（二）物理意义设y=f（x）≥0且在[a，b]上连续，若f（x）为速度，则∫baf（x）dx表示[a，b]上变速运动的路程.三、定积分概念的应用及推广1.可以把积分区间[a，b]推广到无限区间上，如[a，+∞）等，或者，函数推广到无界函数，也就是广义积分.2.可以把积分区间[a，b]推广到一个平面区域，被积函数为二元函数，那么积分就是二重积分;同样当被积函数成为三元函数、积分区域变成空间区域时就是三重积分.（一）积分的计算方法定义法：定积分的定义法计算是运用极限的思想，简单地说就是分割求和取极限.任意分割任意取值所计算出的i值如果全部相同的话，则定积分存在.第一步：分割.将区间[a，b]分成n个小区间，一般情况下采取等分的形式.h=b-an，那么分割点的坐标为（a，0），（a+h，0），（a+2h，0），…，（a+（n-1）h，0），（b，0），ξk在[xk-1，xk]任意選取，但是我们在做题过程中会选取特殊的ξk，即左端点，右端点或者中点.经过分割将曲边梯形分成n个小曲边梯形.我们近似的看作是n个小长方形.第二步：求和.计算n个小长方形的面积之和，也就是∑nk=1f（ξk）h.第三步：取极限I=limh→0∑nk=1f（ξk）h=hlimh→0∑nk=1f（ξk），h→0即n→∞，也就是说分的越细，那么小曲边梯形就越接近小长方形，当n趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长方形，那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积，也就是定积分的积分值.（二）牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式很好地把定积分与不定积分联系在一起.利用此公式，可以根据不定积分的计算计算出定积分.这个公式要求函数在区间内必须连续.求连续函数的定积分只需求出的一个原函数，再按照公式计算即可.定理若函数f（x）在区间[a，b]连续，且F（x）是f（x）的原函数，则∫baf（x）dx=F（b）-F（a）.例1 用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分∫10xdx.解原式=12x210=12.总结：我们知道，不定积分与定积分是互不相关的，独立的.但是在连续的条件下，微积分基本定理把这两个互不相关的概念联系起来，这是数学分析的卓越成果，有着重大的意义.同样的一道题目，用牛顿-莱布尼茨公式明显比定义法简单.四、定积分的换元积分法应用牛顿-莱布尼茨公式求定积分，首先求被积函数的原函数，其次再按公式计算.一般情况下，把这两步截然分开是比较麻烦的，换元积分法解决了这一问题.例2 求定积分∫21lnxdx.解∫21lnxdx=xlnx“21-∫21xdlnx=2ln2-0-x|21=2ln2-1.：因为u（x），v（x）在[a，b]有连续导函数，并且u（x）易求微分，v（x）容易被计算出来时用分部积分法比较简单.五、定积分在数学中的应用（一）概率问题例3 在区间[-1，1]上任取两数a，b，求方程有两个正根的概率.解由题意，样本空间Ω={（a，b）|-1≤a≤1，-1≤b≤1}表示边长为2的正方形区域，面积SΩ=4.要使方程两根均正，需Δ=4a2-4b≥0，x1+x2=2a0，x1x2=b0，即a2≥b，a0，b0.记方程有两正根为事件A，它对应的区域是由抛物线b=a2，直线a=1和a=0围成的，于是SA=∫10a2da=13.所以P（A）=SASΩ=112.：用定积分求概率问题更多是把问题分为样本空间区域求其覆盖面积，并且找到所求事件的空间区域求其面积，从而求出题目所要求的概率问题，运用了最基本的方法来运用到较复杂问题上.。

广义积分理论与应用实践

广义积分理论与应用实践在数学领域中，广义积分理论是一个重要的概念，它在许多实际问题中都有着广泛的应用。

本文将介绍广义积分的基本概念，并探讨其在实践中的应用。

基础概念在传统的定积分理论中，我们通常是求取一个函数在一个有限区间上的积分值。

而在广义积分中，我们考虑的是对于一类更广泛的函数，比如在某个点发散或不连续的函数，我们也可以定义积分值。

广义积分的定义更加灵活，可以处理更多类型的函数。

对于一个函数f(x)，我们定义广义积分为：$$ \\int_{a}^{b} f(x)dx = \\lim_{t\\to a^+}\\int_{t}^{b} f(x)dx $$这个定义的含义是，在a点附近的一个小区间t到b上的函数f(x)的积分，然后让t无限逼近a，得到极限值作为广义积分的值。

应用实践广义积分理论在实践中有着广泛的应用。

其中一个重要的应用领域是在物理学中的力学问题中，比如质点运动的轨迹。

通过对速度与加速度的关系进行积分处理，可以得到质点在某一时刻的速度与位置，进而预测其未来的运动轨迹。

另外，在电磁学中，广义积分理论也有着重要作用。

例如，对于一段电流通过的导线上的磁场强度分布，通过积分可以求得该导线周围的磁场总强度，从而帮助我们设计电磁设备，如变压器、发电机等。

此外，在金融工程中，广义积分理论也被广泛应用。

比如在期权定价中，对于随机过程的积分运算可以帮助我们确定未来期权价格的期望，从而进行风险管理和投资决策。

总的来说，广义积分理论作为数学中的重要概念，不仅有着理论上的完备性，更具有广泛的应用前景，可以帮助我们更好地理解和解决现实生活中的问题。

在实际工程应用中，广义积分的计算往往需要借助数值计算方法，结合数值积分技术，以获得更准确的结果。

综上所述，广义积分理论虽然在概念上较为抽象，但在实际中的应用却十分广泛，对于解决各种实际问题有着重要的作用。

希望本文的介绍能够让读者更好地了解广义积分理论及其应用实践。

第10章第1节无穷限反常积分

2019年10月26日星期六
3
§10.1 无穷限反常积分
引例：
问题：求曲线y

1 x2
,
x轴及直线x
1，y
右边所围成的“开口
y

1 x2
曲边梯形”的面积。
01
解：由于这个图形不是封闭的曲边梯形,而在x轴的正方向是开口的，
bx
即这是积分区间为[1，+∞）的积分。
2019年10月26日星期六
例2 : 计算广义积分 te ptdt ( p是常数,且p 0). 0
加
解: te pt dt lim b te pt dt
0
b 0

lim
b

t p
e pt
b 0

1 p
b
e

pt
dt

0

t p
e
2019年10月26日星期六
5
§10.1 无穷限反常积分
一、无穷积分的概念.
定义: 设函数 f (x)在区间[a, +)上连续, 任取b > a,
如果极限 lim b f（x）dx 存在, b a
则称此极限为函数 f (x)在无穷区间[a, +)上
的广义积分, 记作 f (x)dx, 即 a
o 12345
x
26
§10.1 无穷限反常积分
四. 无穷积分收敛的判别法
在 A fdx( A a)存在条件下,有以下基本判别方法. a
这些方法类似于级数收敛性判别法(注意对比).
1.比较判别法: 设定义在[a, )上的两个函数f 和，
都在任何有限区间a，A上可积，

定积分积分法与广义积分

微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用非常广泛，它不仅用于计算定积分的值，还可以解决各种实际问题，如物理、工程、经济等领域的问题。
详细描述
微积分基本定理的应用非常广泛，它不仅用于计算定积分的值，还可以解决各种实际问题，如计算物体的质量、面积、体积等。在工程领域，微积分基本定理可以用于解决流体动力学、弹性力学、电路分析等问题。在经济领域，微积分基本定理可以用于研究边际分析和最优化问题。
05 习题与解答
习题
计算下列定积分 $int_{0}^{1} x^{2} dx$ $int_{-1}^{2} e^{x} dx$
习题
$int_{1}^{infty} frac{1}{x} dx$
判断下列广义积分是否收敛，并求其值
$int_{0}^{pi} sin x dx$
01
03 02
习题
广义积分在一定条件下可以转化为定积分，即定积分是广义积分的一种特殊形式。
两者都涉及到积分区间、被积函数和积分规则等概念。
定积分与广义积分的区别
定义范围不同
定积分通常是在有限区间上定义的，而广义积分则可以在有限或无限区间上定义。
积分结果不同
在定积分的定义域内，积分结果是有界的，而在广义积分中，积分结果可能无界。
不等式性质
对于任意非负函数f(x)，如果∫(a,b) f(x) dx ≥ 0，则称f(x)在[a,b]上非负。
定积分的几何意义
面积
定积分可以理解为函数图像与x轴之间所夹的面积，即y=f(x)与x轴所夹的面积。
体积
对于三维空间中的函数，定积分可以理解为函数图像与xoy平面之间所夹的体积。
02 微积分基本定理

定积分广义积分PPT课件

0
lim
x
x t 2et2dt
0
xex2
x2e x2
x2
1
l
x
im e
x
2
xex2
2x
l
x
im 1
2
x
2
2
例4.设方程 y et2dt x2 costdt,确定y为x的
0
0
函数, 求d y
解 : (这是求变上限隐函数的微分)
两端微分 e y2 dy cos x2 2xdx,于是
dy 2xe y2 cos x2dx
sin xdx
2
2
(sin
x)
3 2
2
2
(sin
3
x)2
4
3
3
0
3
2
第23页/共63页
例4 求 16
dx
0 x9 x
解： 16
dx
16 x 9 x
dx
0 x9 x 0
9
例5.
16
1 9
2（x 3
3
9）2
2 3
3
x2
14
求 1 xex|x|dx 1
0
解 : 原式 0 xe x2 dx 1 xex2 dx
(2)求定积分问题转化为求原函数不定积分的问题.
(3 )当
a
b
时
， b a
f
(x
)dx
F (b) F (a )仍成立 .
(2)定积分的换元积分
b
x ( t )
f ( x )dx
f [( t )]( t )dt
a
( t )0( 0 )
第9页/共63页

第十章广义积分§1无穷限的广义积分

第十章广义积分 §1 无穷限的广义积分定积分()baf x dx ⎰有两个明显的缺陷：其一，积分区间[],a b 是有限区间；其二，若[,]f R a b ∈，则0M ∃>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。

这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中都要去掉这两个限制，把定积分的概念拓广为：（i ）无限区间上的积分；（ii ）无界函数的积分。

一、无穷限广义积分的概念定义1 设()f x 在[,)a +∞上有定义，且对于任意的A ()A a >在区间[],a A 上可积。

当极限lim()AaA f x dx →+∞⎰存在时，称这极限值I 为()f x 在[,)a +∞上的广义积分。

记作()lim()AaaA f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰。

如果上述的极限不存在，就称()af x dx +∞⎰发散。

类似可定义()af x dx -∞⎰。

当()af x dx -∞⎰和()af x dx +∞⎰都收敛时，就称()f x dx +∞-∞⎰收敛，并且有()()()aaf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰。

这是显然有：()()''limAA A A f x dx f x dx +∞-∞→+∞→+∞=⎰⎰。

如果上述的极限不存在，就称()f x dx +∞-∞⎰发散。

定理1 如果()f x 在[),a +∞连续，()F x 是()f x 的原函数，则 ()()()af x dx F F a +∞=+∞-⎰。

例：讨论1p dxx+∞⎰的收敛情形。

无穷限积分的性质性质1 若函数)(x f 在[),a +∞上可积，k 为常数，则)(x kf 在[),a +∞上也可积，且()()aakf x dx k f x dx ++∞=⎰⎰。

即常数因子可从积分号里提出（注意与不定积分的不同）。

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作变换θ
=
1 2
(ρ
+
1
ρ
),
ρ′(θ ) =
1
dθ
=
2ρ 2 ρ2 −1
dρ
[ρ(θ )]2 + [ρ′(θ )]2 = dθ = ρ 2 −1 dρ
2ρ 2
ρ 2 (ρ 2 +1)2 (ρ 2 −1)2
∫ s =
3 1
⎜⎜⎝⎛
ρ
2
+
1
2ρ
⎟⎟⎠⎞
dρ
=
2
+
1 2
ln
3
Previous Next 7
∴a = −4 为 A(a)的最小点.
因此 a = −4, b = 6, c = 0.
Previous Next 15
练习十七/九试证曲线 y = sin x (0 ≤ x ≤ 2π )
的弧长等于椭圆 x2 + 2 y2 = 2的周长.
π
证：y = sin x, y′ = cos x,
∫ s1
0
R2 − x2 dx
= 2 ρ g R3 + 1 ρ g hπ R2
3
2
由P2
=
2 P1 , 得
2 3
ρ
gR3
=
1 2
ρ
ghπ
R2,
有h
=
4R
3π
故薄板应铅直下降 4R .
3π
Previous Next 22
广义积分问题
练习十八/一(1)
计算
+∞
∫
x
3e
−
x2
dx
0
解
+∞
∫
x3e− x2 dx
=
∫+∞ min(e
x
,
e−1,
e
−
x
)
dx
−∞
∫ ∫ ∫ = −1ex dx + 1e−1 dx + e +∞ −x dx
−∞
−1
1
=
ex
|−1
−∞
+e−1x |1−1
−e − x
|1+∞
= e−1 + 2e−1 + e−1
= 4e−1
Previous Next 24
练习十八/二 (2)
∫e 1 e
2
∫ + 2
π 4
1 ⋅ 3 a2 cos 2θdθ
= a2(3+
3−π )
02 2
4 12
Previous Next 4
例求极坐标系曲线ρ = a sin3 θ (a > 0)的全长.
3
∫ 解 : s = 3π [ρ(θ )]2 + [ρ′(θ )]2 dθ 0
∫ = a 3π sin2 θ dθ
2
解
:
⎪⎧
⎪⎩⎨ρ
2
ρ
=
= 3
2
a cosθ
a2 cos
交点处θ
2θ
=
±
π
6
o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
∫ ∫ A1 = 2[
π 6
1
(a cosθ
)2
dθ
+
02
π 4 π 6
1 2
⋅
3 2
a
2
cos
2θdθ
]=
a
2
(π
12
+
3
− 4
3)
∫ ∫ A2
= 2[
π 6 0
1 ⋅ 3 a2 cos 2θdθ
22
−
π 6 0
1 (a cosθ )2 dθ ]
解 : y(0) = c = 0, y(1) = a + b = 2, b = 2 − a,
∫ A(a) =
−
b a
(ax
2
+ bx)
dx
=
b3
= (2 − a)3
0
6a2
6a2
A′(a)
=
−
(2
−
a)2 (a 6a3
+
4) ，
令A′(a)
=
0, 得唯一驻点a
=
−4.
当a < −4时, A′(a) < 0; 当 − 4 < a < 0时, A′(a) > 0.
则 f ′(x) = −16x−2 + 4x−1
当 x = 4 时，f ′(x) = 0 (唯一驻点)
f ′′(x) = 32x−3 −4x−2, f ′′(4) > 0
从而当 x = 4 时，f (x) 取极小值，也就是最小值. 故切点为 ( 4, ln4 ) 时面积最小，所求切线为
y − ln 4 = 1 ( x − 4). 4
从水中取出需作多少功?
解 : 对球在水面上的部分作功
W1
=
ρ ⋅ 2π
3
⋅ 13
g ⋅1 =
2π
3
ρ
g
对球在水面下的部分作功
o
y
x1
x + dx
1
x
∀[x, x + dx] ⊂ [0,1] dW2 = π ( 1− x2 )2 dx ⋅ ρg ⋅ (1− x)
∫ W 2
=π
ρ
g
1
(1 −
0
x2 )(1−
(2) D 绕直线 x = 3 旋转所得的旋转体的体积:
dV2 = 2π (3 − x) ⋅ 3x2dx
2
2
V2 = ∫ dV2 = ∫ 2π (3 − x) ⋅ 3x2dx = 24π
0
0
y
12
2
0 x x+dx 3 x
(3) 以 D为底且与 x 轴垂直的截面均为等边
三角形的平行截面面积为
A( x) = 1 ⋅ 3x2 ⋅ 3x2 sin π = 9 3x4
dP1 = 2 R2 − x2 dx ⋅ xρ g
x + dx
R
x2 + y2 = R2
x
∫ P1
=
2ρ
g
R
x
0
R2 − x2 dx = 2 ρ gR3
3
Previous Next 21
设薄板应铅直下降h.
dP2 = 2 R2 − x2 dx ⋅ (x + h)ρ g
∫ P2
=
2ρ
g
R
(x + h)
例设平面图形 A 由 x 2 + y 2 ≤ 2 x 与 y ≥ x 所确定 , 求图形 A 绕直线 x = 2 旋转一周所得旋转体的体积.
解 A 的图形如图所示 . A 的边界线方程为
x = 1− 1− y2 , x = y
y y=x
1 y+dy
y
0
2
x
A 在 y 轴上的投影区间为[ 0 , 1]
1 +∞
∫
x 2e − x2 d ( x 2
)
t = x2
0
20
1 2
+∞
∫
0
te
−t
dt
∫ =
−
1 2
+∞
∫ td(e−t
0
)
=
−
1⎛ ⎜
2⎝
te − t
+∞ 0
−
+∞
e−tdt
0
⎞ ⎟ ⎠
=
1 2
+∞
∫ e−tdt
0
= − 1 e−t +∞ = 1 20 2
Previous Next 23
练习十八/一 (3)
4
∫ = 2π
0
π
(a
2
cos
2θ
sin
2
θ
)(a
cos 2θ cosθ )′dθ
4
解答 : (D)
Previous Next 13
练习十七/一 (2)
双纽线 ρ 2 = a2 cos 2θ 的全长为L = ( ).
⎧x = a cos 2θ cosθ
⎨ ⎩
y
=
a
cos 2θ sinθ
0
≤
θ
≤
π
4
,
为全长的四分之一.
∫π
L=4 4 0
⎜⎛ ⎝
dx
dθ
⎟⎞2 ⎠
+
⎜⎛ ⎝
dy
dθ
⎟⎞2 ⎠
dθ
π
∫ = 4 4 [(a cos 2θ cosθ )′]2 + [(a cos 2θ sinθ )′]2 dθ 0
解答：( A)
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练习十七/七
已知抛物线y = ax2 + bx + c过点(0,0), (1,2),且a < 0, 求a,b, c使抛物线与x轴围成图形的面积最小.
第十讲定积分的应用和广义积分
定积分的应用
1.定积分的几何应用
平面图形的面积平面曲线的弧长
立体的体积
Previous Next 1
例从原点向曲线y = 1− ln x作切线, 计算
由切线,曲线和x轴所围成的图形面积.
解 : 先求切线方程.
y
y = 1− ln x
e o
x
设切点坐标为 (x, y),
∫ V = 2 π 1 − y 2 − (1 − y )2 d y
0
⎛1
1