分式函数的图像与性质

分式函数的图像与性质

1、分式函数的概念

形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x

+=+，212x y x +=-，413

x y x +=+等。 2、分式复合函数

形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如22112x x

y +=-，

sin 23sin 3x y x +=-，y =等。 ※ 学习探究

探究任务一：函数(0)b y ax ab x

=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b y a b c d R cx d +=

∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211

x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。 【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211

x y x -=-的图像可以经由函数1y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：

由此可以画出函数211

x y x -=-的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞；

值域：(,2)(2,)-∞+∞；

对称中心：(1,2)。 【反思】(,,,)ax b y a b c d R cx d

+=

∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax b y a b c d R cx d

+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。 分式函数(,,,)ax b y a b c d R cx d +=

∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}d x x c

≠- ； （2）值域：{|}a y y c

≠； （3）单调性：单调区间为(,),(,+)d d c c

-∞--∞； （4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a c c

-； （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；

（6）图象：如图所示

问题2：(0)b y ax ab x

=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =

的函数图像，绘制函数1y x x =+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。

解：函数的定义域为：{|0}x x ≠；

根据单调性定义，可以求出1y x x

=+的单调区间 增区间：(,1][1,)-∞-+∞

减区间：[1,0),(0,1]-

函数的值域为：(,2][2,)-∞-+∞

函数的奇偶性：奇函数

函数图像的渐近线为：,y x =0x =

函数的图像如下：

【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？

【小结】分式函数(,0)b y ax a b x

=+>的图像与性质： （1）定义域：{|0}x x ≠；

（2）值域：{|y y y ≥≤-或；

（3）奇偶性：奇函数；

（4）单调性：在区间(,[,+)b a

-∞∞上是增函数，

在区间上为减函数； （5）渐近线：以y 轴和直线y ax =为渐近线；

（6）图象：如右图所示

例3、根据y x =与1y x =

的函数图像，绘制函数1y x x =-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出1y x x

=-的图像 解：函数的定义域为：{|0}x x ≠；

根据单调性定义，可以判断出1y x x

=-的单调性，单调增区间为：(,0),(0,)-∞+∞

函数的值域为：R

函数的奇偶性：奇函数

函数图像的渐近线为：,y x =0x =

函数的图像如下：

【反思】结合刚才的两个例子， 1y x x =--与1y x x

=-的图像又是怎样的呢？思考12+

y x x =与23y x x =-的图像是怎样的呢？(,,0)b y ax a b R ab x

=+∈≠的图像呢？ 函数1y x x

=--的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。 【注】11()y x x x x

=--=-+，由于()y f x =与()y f x =-的图像关于x 轴对称，所以还可以根据1y x x =+

的图像，对称的画出1y x x =--的图像。同样的道理1y x x =-的图像与1y x x

=-的图像关于x 轴对称，所以图像如下：

【小结】(,,0)b y ax a b R ab x

=+∈≠的图像如下： （i ）(0,0)b y ax a b x

=+>> (ii) (0,0)b y ax a b x

=+>< (iii) (0,0)b y ax a b x

=+<>

(iv) (0,0)b y ax a b x

=+<<[来源:学+科+网Z+X+X+K] (,,0)b y ax a b R ab x

=+∈≠的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。 探究任务二：函数22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f

++=∈++的图像与性质 问题3：函数2211

x x y x ++=+的图像是怎样的？单调区间如何？ 【分析】22212(1)3(1)222(1)3111

x x x x y x x x x +++-++===++-+++ 所以2211x x y x ++=+的图像与22y x x

=+的图像形状完全相同，只是位置不同。 图像的对称中心为：(1,3)--

单调增区间为：(,2][0,)-∞-+∞

单调减区间为：[2,1),(1,0]---

值域：(,7][1,)-∞-+∞

图像如下：