自旋和全同粒子2

2 1 2
可分辨出哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子
（3）微观粒子的不可区分性 服从 微观粒子运动 量子力学 用 几率波描写
在波函数重叠区域粒子不可区分
（4）全同性原理
对于全同粒子多体系，任何两个粒子交换一下，其量子态是不变的， 因为一切测量结果都不会因此而改变。这样，全同粒子多体系的波 函数，对于粒子交换就会具有确定的对称性。 （5）全同性是可观测量 全同性不应只认为是个抽象的概念，事实上全同性是一个可观测量。 例如CO分子和C2分子的转动光谱实验。

1
i ( q1 )
i (q2 ) j (q2 )
2 j ( q1 )
（二）N 个全同粒子体系波函数
上述对两个全同粒子的讨论可以推广到N个全同粒子体系， 设粒子间无相互作用，单粒子H0 不显含时间，则体系：
ˆ ˆ ˆ ˆ H H 0 ( q1 ) H 0 ( q2 ) H 0 ( q N )


i ( q N ) i ( q N )

i (q1 )

0
k ( q1 )
k ( q2 )
k ( qN )
上述讨论表明，Fermi子体系中，不能有两个或两个以上的Fermi子 处于同一个单粒子态，这一结论称为Pauli不相容原理。
玻色子系统 1）对称波函数。 2) 粒子可以处于同一个单粒子态。
k
!
nk 是单粒子态k 上的粒子数
N!

k 1
nk N
例: N = 3 Bose 子体系,，设只能处于三个可能的单粒子态分别记为 1 、2 、 3 ，求：该体系对称化的波函数。 I：n1=n2=n3=1
（q1 , q2 , q3 ) S 1 3! [1 q1 ) 2 ( q2 )3 ( q3 ) 1 q2 ) 2 ( q3 )3 ( q1 ) （ （ 1 q3 ) 2 ( q1 )3 ( q2 ) 1 q3 ) 2 ( q2 )3 ( q1 ) （ （ 1 q2 ) 2 ( q1 )3 ( q3 ) 1 q1 ) 2 ( q3 )3 ( q2 )] （ （
如： 光子 （s =1）； 介子 （s = 0）。 （2）Fermi 子
凡自旋为 半奇数倍（s =1/2，3/2，……) 的粒子，其多粒子波函数 对于交换两个粒子总是反对称的，这种粒子遵从Fermi-Dirac 统计， 故称为Fermi 子。 如：电子、质子、中子（ s =1/2）等粒子。
N

i Байду номын сангаас1
ˆ H 0 ( qi )
（1）Bose 子体系
处于不同单粒子态的粒子对换
N 个 粒子在 i，j … k 态 中的一种排列
（q1 , q2 q N ) C p[ i q1 ) j ( q2 ) k ( q N )] （ S
p
对各种可能排列求和
n
归一化系数： C
k 1
II: n1=2，n2=1，n3=0
（q1 , q2 , q3 ) S 2! !0! 1 3! [1 q1 )1 (q2 )2 (q3 ) 1 q1 )1 (q3 )2 (q2 ) 1 q3 )1 (q2 )2 (q1 )] （ （ （
III: n1=3，n2=0，n3=0
数学描述：
考虑两个全同粒子组成的系统，可以用波函数 ( q1 , q 2 ) 描 述其状态，q 1 和 q 2 代表两个粒子的全部坐标（例如，包 括空间坐标和自旋坐标）。 粒子交换
ˆ ( q 1 , q 2 ) P1 2 ( q 1 , q 2 ) ( q 2 , q 1 )
(r , sz )
qi表示第i个粒子的坐标
那么全同粒子的不可区别性告诉我们：这样交换以后的状 态与原来的状态是不可区别的，所以，波函数最多差一个 常数因子， ˆ P , ( 是常数 )
ij
而 所以
ˆ ˆ Pij Pij ,
1,
2
解得，
也就是说，
1

j ( q1 )

k ( q1 )
k ( q2 )
k (q N )
两点讨论 I 行列式展开后，每一项都是单粒子波函数乘积形式， 因而 A 是 本征方程 H = E 的解. II 交换任意两个粒子，等价于行列式中相应两列对调， 由行列式性质可知，行列式要变号，故是反对称化波函 数。此行列式称为 Slater 行列式。
或者
1,
( 对任何 i j )
ˆ Pij 或者 .
ˆ P ij .
( 对任何 i j )
对称波函数
1
二粒子互换后波函数不变，即
(q1 , q2 , qi q j qN , t ) (q1 , q2 , q j qi qN , t )
W. E. Pauli
1925 不相容原理 1945 N
P. A. M. Dirac 1928 相对论量子力学 1933 N
如果 N 个单粒子态 i j …… k 中有两个相同，则行列 式中有两行相同，即
i (q1 )
（q1 , q2 qN ) A 1 N!
i (q2 ) i (q2 )
描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对 称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对称） 态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。
（三）Fermi 子和 Bose 子
实验表明：对于每一种微观粒子，它们的多粒子体系波函数的交换对 称性是完全确定的，而且该对称性与该粒子的自旋有确定的联系。 （1）Bose 子 凡自旋为 整数倍（s = 0，1，2，……) 的粒子，其多粒子波函数 对于交换 两个粒子总是对称的，这种粒子遵从Bose-Einstein统计， 故称为 Bose 子。
ˆ Pij .( 对 任 何 i j )
反对称波函数
1
二粒子互换后波函数变号， 即
(q1 , q2 , qi q j qN , t ) (q1 , q2 , q j qi qN , t )
ˆ ˆ 可以证明： [ P ij , H ] 0
i ( qn )
( n 1,2.)
称为单粒子波函数。
( q 1 , q 2 ) i ( q 1 ) j ( q 2 ) ( q 2 , q 1 ) i ( q 2 ) j ( q 1 )
E i
j
（1）Bose 子体系
i j
Sii q1 , q2 ) i (q1 )i (q2 ) （
（q1 , q2 , q3 ) S 3!0!0! [1 q1 )1 ( q2 )1 ( q3 )] （ 3!
（2）Fermi 子体系
i ( q1 )
（q1 , q2 q N ) A 1 N!
i ( q2 ) j ( q2 )


i (q N ) j (q N )
( q1 , q 2 ) 和 ( q 2 , q1 ) 有 什 么 区 别 ？
没有！ 这样就对波函数形式给予很强的限制。 更一般的情况
（二）波函数的对称性质
ˆ 对全同粒子体系的波函数引入交换算符 P ij ，它的作用是 把波函数中的第i个粒子和第j个粒子的坐标交换位置：
ˆ P ij ( , q i , , q j , ; t ) ( , q j , , q i , ; t ), ( i j )
可以形成玻色-爱因斯坦凝聚现象。（超导中 的库珀电子对无电阻现象，超流中的无摩 擦传输现象。2001年诺贝尔奖-原子的玻 色-爱因斯坦凝聚现象。） 费米子系统 1）反对称波函数。 2) 粒子不能处于同一个单粒子态。 3) 泡利不相容原理。 费米气体，中子星，白矮星等奇异系统。
n
1
主壳 层
量子数
l
m
第二十三章 自旋和全同粒子
§5 全同粒子的特性
（一）全同粒子和全同性原理
（1）全同粒子
质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。 （2）经典粒子的可区分性 经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是可以区分的。 因为二粒子在运动中，有各自确定的轨道，在任意时刻都有 确定的位置和速度。 1
位置 轨道 速度
32
16
2005-06
基础物理学(下)
17
2005-06
基础物理学(下)
18
0 0 1 0 -1 0 1 0 -1 2 1 0 -1 -2
ms
½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ -½ -½ -½ -½ -½ -½ -½ -½ -½
2(2l+1)
2 2
6
状态数
2n
2 8
2
0 0
1
2
支壳层
0
3 1 2 4
2005-06
2
6 18 10
0/1/2/3
基础物理学(下)
2/6/10/14
i j
Sij q1 , q2 ) （
1 2
[ i ( q1 ) j ( q2 ) j ( q1 ) i ( q2 )]
（2）Fermi 子体系
i j
Aij q1 , q2 ) （
1 2
[i (q1 ) j (q2 ) j (q1 )i (q2 )]
§6 全同粒子体系波函数 Pauli原理
（一）两个全同粒子体系（忽略它们之间的相互作 用）的波函数
ˆ H
2
2
1
2

2
2
2 V ( q1 ) V ( q2 )
2
ˆ ˆ H 0 ( q1 ) H 0 ( q2 )
ˆ H 0对 全 同 粒 子 是 一 样 的 ， 设其不显含时间，则 ˆ H q ) ( q ) ( q ) （ 1 0 i 1 i i 1 ˆ H 0 q2 ) i ( q 2 ) i i ( q 2 ) （