分式不等式放缩裂项证明

分式不等式放缩裂项证明 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

放缩法的常见技巧（1）舍掉（或加进）一些项（2）在分式中放大或缩小分子或分母。（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。（4）应用函数的单调性进行放缩（5）根据题目条件进行放缩。（6）构造等比数列进行放缩。（7）构造裂项条件进行放缩。（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。

使用放缩法的注意事项

（1）放缩的方向要一致。（2）放与缩要适度。

（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。

先介绍工具

柯西不等式（可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积）

均值不等式

调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数

绝对值三角不等式

定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|?

推论1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3|?

此性质可推广为|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|．

推论2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|?

定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成

立．

常用放缩思想

这几个务必牢记

不常见不常用的不等式

这几个一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了

下面就是常用思路了，主要就是裂项部分

二项平方和

f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0

1.分式不等式中的典范，典范中的典范，放缩、裂项、去等，步步精彩

解析：

步步经典，用笔化化就能明白思想，换元或许更直观，即令

t=1/（x+2）第一步意义--开不了方的，开方，并且可取

等号第二步意义--开不了方的，开方，裂项，并且可取等

号个人认为这俩个放缩，很犀利，没见过，看似难实则简

单，看似简单实则难

2.构造+三角形★★★★

平面内三点A、B、C，连接三点，令AB=c，

AC=b，BC=a，求

解

析：

构

造，

主要就是构造，b/c就是很明显的

提示。三角形中两边之和大于第三

边，两边之差小于第三边。

构造

★★★★

为了方便观察，没有采用换元，直接写更清楚，

这题应该是一直在向目标上凑得题目了

3.反证法典例

★★

解析：

4.柯西不等式典例

★★★

有些方法就是那么气人，神奇的气人

或者用三角函数也可以不过要用到三角恒等式：

令x+2y+3z=t则(t-3z)^2／√5≤√(5-z^2)

即14z^2-6tz+t^2-25≤0△=-20t^2+1400≤0

所以tmax=√70

5.