2011年自主招生华约数学试题解析

2011年华约试题解析一、选择题

(1) 设复数z满足|z|<1且

15

||

2

z

z

+=则|z| = ( )

4321 A B C D

5432

解：由

15

||

2

z

z

+=得2

5

||1||

2

z z

+=，已经转化为一个实数的方程。解得|z| =2（舍

去），

1

2 。

(2) 在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面

DM与AN所成角的余弦为( )

1111

A B C D

36812

[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。

解法一：如图，设底面边长为2

，则由侧面与底面所成二面角的正切为

A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，0

，

，则

1111

(,,),(,,)

222222

M N

-

，

3113

(,,(,,

222222

D M AN

=-=-

。设所

成的角为θ，则1

cos 6D M A N D M A N

θ== 。

解法二：如图，设底面边长为2

，则由侧面与底面所成二面角的正切为

DM 与AN 在一起。即M 移到N ，D 移到CD 的中点Q 。于是QN = DM = AN 。

而PA = PB = AB = 2，所以

QN = AN =

AQ = ΔAQN 的顶角

1cos 6

A N Q ∠=

。

解法三：也可以平移AN 与DM 在一起。即A 移到M ，N 移到PN 的中点Q 。以下

略。

(3)过点(-1, 1)的直线l 与曲线相切，且(-1, 1)不是切点，则直线l 的斜率为 ( )

A 2

B 1

C 1

D 2 - -

此题有误，原题丢了，待重新找找。

(4)若22

2cos cos 3

A B A B π+=

+，则的最小值和最大值分别为 (

) 3131A 1B ,C 1D ,122222222

-

-+ + [分析]首先尽可能化简结论中的表达式2

2

cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。 解：2

2

1cos 21cos 21cos cos 1(cos 2cos 2)2

2

2

A

B

A B A B +++=

+

=+

+

11cos()cos()1cos()2

A B A B A B =++-=-

-，可见答案是B

[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O 1 O 2边O 1 O 2上一点C ，O O 1、O O 2延长线上分别一点A 、B ，使得O 1A = O 1C ，O 2B = O 2C 。

解法一：连接12O O ，C 在12O O 上，则1221

O O O O O O πα∠+∠=-，111212

O A C O C A O O O ∠=∠=

∠，222112

O BC O C B O O O ∠=∠=∠，故

1212211()2

2

O C A O C B O O O O O O πα

-∠+∠=

∠+∠=

， 12()2

O C A O C B πα

βπ+=-∠+∠=

，sin cos

2

α

β=。

解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在

本题中假设两个小圆的半径相等，则12212

O O O O O O πα

-∠=∠=，

121212

4

O C A O C B O O O πα

-∠=∠=

∠=

，

12()2

O C A O C B πα

βπ+=-∠+∠=

，sin cos 2

α

β=。

(6) 已知异面直线a ，b 成60°角。A 为空间一点则过A 与a ，b 都成45°角的平面 ( ) A 有且只有一个 B 有且只有两个 C 有且只有三个 D 有且只有四个 [分析]已知平面过A ，再知道它的方向，就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a ，b 为相交直线也没关系。于是原题简化为：已知两条相交直线a ，b 成60°角，求空间中过交点与a ，b 都成45°角的直线。答案是4个。

(7) 已知向量131(0,1

),(,),(,),(1,1)

222

2

a b c x a y b z c ==--=-++=

则2

2

2

x y z ++ 的最小值为( )

43

A 1

B

C

D 23

2

解：由(1,1)xa yb zc ++=

得