人教版数学高二A版选修4-4反证法教案
反证法教案高中数学
反证法教案高中数学
一、教学内容：反证法
二、教学目标：
1. 了解反证法的基本概念和应用；
2. 能够灵活运用反证法解决问题。
三、教学重点和难点：
1. 反证法的基本原理和思想；
2. 如何正确运用反证法进行证明。
四、教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。
五、教学步骤：
1. 引入：通过一个生活中的例子引发学生对反证法的兴趣，引出反证法的概念。
2. 讲解：讲解反证法的基本原理和思想，以及在数学证明中的应用方法。
3. 练习：设计一些简单的例题，让学生通过反证法进行证明。
4. 拓展：提供一些更具挑战性的问题，引导学生灵活运用反证法解决问题。
5. 总结：对本节课内容进行总结，并强调反证法在解决问题中的重要性。
六、课后作业：
1. 完成课堂练习题，并写出解题思路；
2. 查找一些实际问题，尝试用反证法进行证明。
七、教学反思：
在教学中要注重引导学生思考和灵活运用反证法，培养其逻辑思维和解决问题的能力，同时要注重培养学生的合作意识和自主学习能力。
人教课标版高中数学选修1-2：《反证法》教案-新版
2.2.2 反证法一、教学目标1．核心素养培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力2．学习目标（1）理解反证法的概念（2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤（3）会用反证法证明简单的命题3．学习重点对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．4．学习难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据．二、教学设计（一）课前设计【学习过程】1．预习任务任务1预习教材P42—P43，思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？任务2反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？2．预习自测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】由反证法的定义可知应选C．2．如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．两个都是非负数D．至少有一个是正数答案：D3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为（）A．a<0，b<0，c>0B．a≤0，b>0，c>0C．a，b，c不全是正数D．abc<0答案：C4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解答案：D（二）课堂设计1．知识回顾著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾．所以假设不成立,李为苦李．2．问题探究问题探究一反证法的概念●活动一1．什么是反证法？引例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°．∆的三个内角∠A，∠B，∠C都小于60°，证明：假设ABC则有∠A <60°，∠B < 60°，∠C <60°，∠A+∠B+∠C<180°这与三角形内角和等于180°相矛盾．所以假设不成立，所求证的结论成立．先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确．这种证明方法就是——反证法一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法也称归谬法●活动二1．常用词语的反义词从上面的引例可以看出：用反证法证明问题时，都是得到一系列矛盾结果，会出现一些反义词，因此，同学们要注意常见词语的反义词，你知道哪些反义词呢？下面是一些常见反义词：问题探究二反证法的证题的基本步骤●活动一反证法的证明过程从前面的引例中你可以总结出反证法证明问题有哪些步骤？反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立．●活动二归谬矛盾的方法思考一下，归谬矛盾的方法有哪些？归谬矛盾主要有以下方法：（1）与已知条件矛盾．（2）与假设矛盾或自相矛盾．（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾．●活动三反证法证明问题的适用范围同学们知道用反证法证明问题的范围有哪些吗？是不是所有的问题反证法都适用？反证法证明问题的适用范围（1）否定性命题；（2）限定式命题；（3）无穷性命题；（4）逆命题；（5）某些存在性命题；（6）全称肯定性命题；（7）一些不等量命题的证明；（8）基本命题；（9）结论以“至多……”“至或少……”的形式出现的命题等．问题探究三反证法可以解决哪些问题？●活动一用反证法证明否(肯)定式命题例1 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的零点，命题的否定，反证法；数学思想：函数与方程】详解：假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c 为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．点拔：（1）此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．（2）对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．●活动二用反证法证明“唯一性”命题例2 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【知识点：函数的零点，函数的单调性，命题的否定，反证法】详解：由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，则f (m )＝0，假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，且n ≠m ．，使f (n )＝0，若n ＞m ，则f (n )＞f (m )，即0＞0，矛盾；若n ＜m ，则f (n )＜f (m )，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．点拔：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．●活动三 用反证法证明“至多、至少”问题例3 已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2．求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】详解： 假设1＋x y ，1＋y x 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2．∵x ＞0，y ＞0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x ．∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )．即x ＋y ≤2，这与已知x ＋y ＞2矛盾．∴1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．点拔：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个等．例4 设二次函数2()f x x px q =++，求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12． 【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】 详解：假设(1),(2),(3)f f f 都小于12，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确．点拔：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行．议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况．试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？●活动四利用反证法证题时，假设错误而致误例5 已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a ＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【知识点：方程的根，反证法】【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，方程没有两个相异实根时Δ≤0．【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0．相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．点拔：用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．3．课堂总结【知识梳理】(1)反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾．从而说明假设不正确，得出原命题正确．(2)反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便．(3)反证法的基本步骤是：①反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．【难点突破】用反证法证题时,应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏．（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性．（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的．（4）反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．（5）归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．4．随堂检测1．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”的假设内容应是（）A．3a＝3bB．3a＜3bC．3a≤3bD．3a≥3b答案：C【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】“大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“3a ≤3b ”．2．否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为（ ）A ．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角B ．任何一个三角形的外角都没有两个钝角C ．没有一个三角形的外角有两个钝角D ．存在一个三角形，其外角有两个钝角答案：A【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．3．用反证法证明命题：若a 、b 是实数，且|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1时，应作的假设是________．答案：a ≠1或b ≠1．【知识点：命题的否定，反证法】∵“a ＝b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”，故应填a ≠1或b ≠1．4．证明方程2x ＝3有且仅有一个实根．【知识点：命题的否定，反证法】证明：∵2x ＝3，∴x ＝32，∴方程2x ＝3至少有一个实根．设x 1，x 2是方程2x ＝3的两个不同实根，则⎩⎨⎧2x 1＝3， ①2x 2＝3， ② 由①－②得2(x 1－x 2)＝0，∴x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾．故假设不正确，从而方程2x ＝3有且仅有一个实根．三、智能提升★基础型 自主突破1．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设（ ）A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°答案：B三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．2．实数a，b，c不全为0等价于（）A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：D【知识点：命题的否定，反证法】实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D．3．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2．用反证法证明时，可假设p＋q≥2．(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．以下结论正确的是（）A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确答案：D【知识点：命题的否定，反证法】(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．答案是D4．下列命题不适合用反证法证明的是（）A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1答案：C【知识点：命题的否定，反证法】A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D 中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是_____________．答案：三角形中最少有两个内角是直角【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角．能力型 师生共研1．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中（ ）A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2答案：C【知识点：基本不等式，命题的否定，反证法】假设都大于－2，则1116a b c b c a+++++>-，又()112a a a a ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，同理12b b +≤-，12c c +≤-， 故1116a b c b c a+++++≤-，矛盾．即a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中至少有一个不大于－2,所以答案C ． 2．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________． 答案：a 、b 不全为0【知识点：命题的否定，反证法】“a 、b 全为0”即“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0，3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°．上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】4．甲乙丙三位同学中，有一位同学做了一件好事，这时候老师问他们三人，是谁做的？甲说："丙做的．”丙说：“不是我做的．”乙也说：“不是我做的．”如果知道他们三个人中，有两人说了假话，有一人说真话，你能判断出是谁做的吗？【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：每人讲的话中都有一句真话，一句假话．乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．”说明乙丙两人中有一人做了这件事，甲一定没做而甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．”前一句是真的，后一句一定是假的．所以，是乙做的这件好事！5．用反证法证明：无论m 取何值，关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0至少有一个有实数根．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：假设存在实数m ，使得这两个方程都没有实数根，则⎩⎨⎧ Δ1＝25－4m ＜0，Δ2＝1－8(6－m )＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞254，m ＜478，无解．与假设存在实数m 矛盾．故无论m 取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根．6．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0．【知识点：不等式的证明，命题的否定，反证法】证明: 假设a ＜0，由abc ＞0得bc ＜0，由a ＋b ＋c ＞0，得b ＋c ＞－a ＞0，于是ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc ＜0，这与已知矛盾．又若a ＝0，则abc ＝0，与abc ＞0矛盾，故a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0．探究型 多维突破1．若x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，则a ，b ，c 中是否至少有一个大于0？请说明理由．【知识点：推理与证明，实数非负性，命题的否定，反证法】解：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0．而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，因为π－3>0，且无论x ，y ，z 为何实数，(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，所以a ＋b ＋c >0．这与假设a ＋b ＋c ≤0矛盾．因此，a，b，c中至少有一个大于0．2．如下图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【知识点：线面垂直，面面垂直，异面直线，命题的否定，反证法】解：(1)如图，取CD的中点G，连接MG，NG，∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝2．∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF．∴MG⊥GN．∴MN＝MG2＋GN2＝6．(2)证明假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN．由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF．又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF，∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF．∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．（四）自助餐1．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab可以被7整除，则a，b中至少有一个能被7整除”，其假设正确的是（）A．a，b都能被7整除B．a，b都不能被7整除C．a不能被7整除D．a，b中有一个不能被7整除答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】“至少有一个”的否定是“一个也没有”．所以选B．2．有下列叙述：①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】①错，应为a≤b．②对．③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上．④错，应为三角形的内角中有2个或3个钝角．即选B．3．设正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于（）A．1 3B．1 2C．3 4D．2 5答案：A【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设a，b，c中至少有一个数不小于x的反命题成立，即假设a，b，c都小于x，即a＜x，b＜x，c＜x，∴a＋b＋c＜3x．∵a＋b＋c＝1，∴3x＞1．∴x＞13，若取x＝13就会产生矛盾．故选A．4．下列命题错误的是（）A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a、b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数答案：D【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．因此选D．5．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则（）A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B．6．以下各数不能构成等差数列的是（）A．3，4，5B．2，3， 5C．3，6，9D．2，2， 2答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5，即12＝7＋210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列．7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角【知识点：命题的否定，反证法】“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．8．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的奇偶性，推理与证明，命题的否定，反证法】证明设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c．①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．9．如图，已知平面α∩平面β=直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a=A，c∥a．求证：b与c是异面直线．【知识点：线面平行，线线平行，推理与证明，命题的否定，反证法】证明：证明：假设b，c不是异面直线，则①b∥c；②b∩c＝B．①若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，与a∩b＝A矛盾，∴b∥c不成立．②若b∩c＝B，∵c⊂β，∴B∈β．又A∈β，A∈b，∴b⊂β．又b⊂α，∴α∩β＝b．又α∩β＝a，∴a与b重合．这与a∩b＝A矛盾．∴b∩c＝B不成立．∴b与c是异面直线．10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【知识点：判别式，不等式组的解法，命题的否定，反证法】解：设三个方程均无实根，则有⎩⎨⎧ Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12，a <－1，或a >13，－2<a <0，所以－32<a <－1． 所以当a ≥－1，或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根．11．已知函数f (x )＝x 22x －2，如果数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，求证：当n ≥2时，恒有a n <3成立．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】证明：法一(直接证法) 由a n ＋1＝f (a n )得a n ＋1＝a 2n 2a n －2， ∴1a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －122＋12≤12， ∴a n ＋1<0或a n ＋1≥2；(1)若a n ＋1<0，则a n ＋1<0<3，∴结论“当n ≥2时，恒有a n <3”成立；(2)若a n ＋1≥2，则当n ≥2时，有a n ＋1－a n ＝a 2n 2a n －2－a n ＝－a 2n ＋2a n 2(a n －1)＝－a n (a n －2)2(a n －1)≤0， ∴a n ＋1≤a n ，即数列{a n }在n ≥2时单调递减；由a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3， 可知a n ≤a 2<3，在n ≥2时成立．综上，由(1)、(2)知：当n ≥2时，恒有a n <3成立．法二：(用反证法) 假设a n ≥3(n ≥2)，则由已知得a n ＋1＝f (a n )＝a 2n 2a n －2， ∴当n ≥2时，a n ＋1a n＝a n 2a n －2＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n －1≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝34<1，(∵a n －1≥3－1)， 又易证a n >0，∴当n ≥2时，a n ＋1<a n ，∴当n >2时，a n <a n －1<…<a 2；而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，∴当n ≥2时，a n <3；这与假设矛盾，故假设不成立，∴当n≥2时，恒有a n<3成立．三、数学视野边际分析法是这一时期产生的一种经济分析方法，同时形成了经济学的边际效用学派，代表人物有瓦尔拉(L．Walras)、杰文斯(W．S．Jevons)、戈森(H．H．Gossen)、门格尔(C．Menger)、埃奇沃思(F．Y．Edgeworth)、马歇尔(A．Marshall)、费希尔(I．Fisher)、克拉克(J．B．Clark)以及庞巴维克(E．von Bohm-Bawerk)等人．边际效用学派对边际概念作出了解释和定义，当时瓦尔拉斯把边际效用叫做稀缺性，杰文斯把它叫做最后效用，但不管叫法如何，说的都是微积分中的“导数”和“偏导数”．西方经济学中,边际分析方法是最基本的分析方法之一,是一个比较科学的分析方法．西方边际分析方法的起源可追溯到马尔萨斯．他在1814年曾指出微分法对经济分析所可能具有的用途．1824年，汤普逊(W．Thompson)首次将微分法运用于经济分析，研究政府的商品和劳务采购获得最大利益的条件．功利主义创始人边沁(J．Bentham)在其最大快乐和最小痛苦为人生追求目标的信条中，首次采用最大和最小术语，并且提出了边际效应递减的原理．边际分析法是把追加的支出和追加的收入相比较，二者相等时为临界点，也就是投入的资金所得到的利益与输出损失相等时的点．如果组织的目标是取得最大利润，那么当追加的收入和追加的支出相等时，这一目标就能达到．边际分析法的数学原理很简单．对于离散discrete情形，边际值marginal value为因变量变化量与自变量变化量的比值；对于连续continuous情形，边际值marginal value为因变量关于某自变量的导数值．所以边际的含义本身就是因变量关于自变量的变化率，或者说是自变量变化一个单位时因变量的改变量．在经济管理研究中，经常考虑的边际量有边际收入MR、边际成本MC、边际产量MP、边际利润MB等．。
高中数学《反证法》教案(北师大版选修
高中数学《反证法》教案(北师大版选修)一、教学目标1.理解并掌握反证法的基本概念和应用方法；2.能够熟练运用反证法解决数学问题；3.培养学生逻辑思维和推理能力；4.培养学生批判性思维和解决问题的能力。
二、教学重点和难点2.1 教学重点1.反证法的基本概念和原理；2.反证法的应用方法；3.反证法解决数学问题的实例。
2.2 教学难点1.理解和掌握反证法的原理；2.运用反证法解决复杂的数学问题。
三、教学内容和教学步骤3.1 反证法的基本概念反证法是一种利用逻辑推理的方法，通过假设命题的否定，推导出与已知条件或已有结论相矛盾的结论，从而证明原命题的方法。
3.2 反证法的原理反证法的原理是：如果假设命题的否定，能够推导出与已知条件或已有结论相矛盾的结论，则原命题成立。
3.3 反证法的应用方法1.假设命题的否定；2.推导出与已知条件或已有结论相矛盾的结论；3.得出原命题成立的结论。
3.4 反证法解决数学问题的实例示例1：证明根号2是无理数。
解：假设根号2是有理数，即可以表示为p/q（其中p和q互质）。
根据根号2的定义，有（p/q）^2 = 2，即p^2 = 2q^2。
根据整数的奇偶性，可知p为偶数，表示为p = 2m。
代入上述等式，得到(2m)^2 = 2q2，即4m2 = 2q2，简化得到2m2 = q^2。
根据整数的奇偶性，可知q也为偶数，与p、q互质的前提相矛盾。
所以根号2是无理数。
四、教学方法和学时安排4.1 教学方法1.讲解法：通过简洁明了的语言讲解反证法的概念、原理和应用方法；2.实例法：通过实际例子演示反证法的具体应用；3.讨论法：引导学生讨论反证法在数学问题中的应用。
4.2 学时安排本教案预计用时2课时，具体安排如下：第一课时： - 介绍反证法的基本概念和原理（20分钟） - 示例1的讲解和演示（15分钟） - 学生讨论与思考（15分钟）第二课时：- 复习上节课的内容（10分钟）- 示例2的讲解和演示（15分钟）- 学生讨论与思考（20分钟）五、教学评估5.1 自我评估教师可以通过观察学生的学习情况、听取他们的问题和解答，来进行自我评估。
反证法
C
假设所求证的结论不成立，即 ∠A＿＿60°， ∠B＿＿60°，∠C＿＿60° ＜ ＜ ＜
则
∠A＋∠B＋∠C
＜ 180°
这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾 三角形三个内角的和等于180° 不成立 所以假设＿＿＿＿＿＿， 所以，所求证的结论成立． B C A
三 检测提升
2 、已知a,b,c为实数， a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0, 求证：a>0,b>0,c>0.
证
明
因为x>0.y>0,所以1+x≥2y, 把这两个不等式相加， 得2+x+y ≥2(x+y),从而x+y≤2. 这与已知条件x+y>2矛盾. 因此，
且1+y ≥2x.
1 x 1 y都不小于2是不可能的 , y x
即原命题成立
三 检测提升
1 用反证法证明： 在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°. 已知：如图， ∠A，∠B，∠C是△ABC的 内角， A 求证： ∠A，∠B，∠C中至少 有一个角大于或等于60度. B
根据原命题与逆否命题同真同假， 原命题：若p则q 逆否命题：若非q则非p
通过证明一个命题逆否命题的正确，从而肯定原命题的 真实。
例一
已知y 0, 且x y 2. 已知x＞0，y＞0，且x+y＞2. 1 x 1 y 试证： , 中至少有一个小于2. y x
分析：
要证的结论和条件之间的联系不明 显，如果从正面证明，需要对某个分式 小于2或两个分式都小于2等进行分类讨 论，从反面证明只要证明两个分式都不 小于2是不可能的即可.
高中数学选修～课件第三章§反证法
推理不严谨，结论不成立
推理过程中存在漏洞
在使用反证法时，需要确保推理过程的严谨性。如果推理过程中存在漏洞，就可 能导致结论不成立。
未能正确运用逻辑规则
在反证法中，需要正确运用逻辑规则进行推理。如果未能正确运用逻辑规则，就 可能导致推理结果出现错误。
05 练习题与拓展思考
针对性练习题
证明
若$a,b,c in mathbb{R}$，且$a=b+c$，则$a,b,c$中至少有一个数不小于$frac{a}{3}$ 。
错误地否定原命题
在反证法中，需要假设原命题的否定 形式成立，然后进行推理。如果错误 地否定了原命题，就会导致推理方向 偏离正确轨道。
未能找到矛盾点或突破口
对已知条件理解不足
在使用反证法时，需要充分利用已知条件进行推理。如果对 已知条件理解不足，就可能无法找到矛盾点或突破口。
缺乏解题经验
对于一些较为复杂的题目，需要具备一定的解题经验才能找 到矛盾点或突破口。如果缺乏解题经验，就可能无法有效地 运用反证法。
假设$x,y$都不大于$1$，即$x leq 1, y leq 1$，则$x+y leq 2$，与已知条件 $x+y>2$矛盾，故假设不成立，原命题成立。
答案及解析
• 假设在这$99$个数中，任意三个数的和都不是$3$的倍数。 考虑这$99$个数除以$3$的余数，只能为$0,1,2$。由于 $99$个数中任意三个数的和都不是$3$的倍数，故余数为 $0,1,2$的数应各出现$33$次。但在这$99$个连续自然数中 ，必有一个数能被$3$整除，即余数为$0$的数至少有$34$ 个，与假设矛盾，故原命题成立。
高中数学选修～课件 第三章§反证法
汇报人：XX 20XX-01-30
人教版数学高二A版选修4-5学案反证法
课堂导学三点剖析一,熟悉反证法证明不等式的步骤【例1】 设f(x)、g(x)是定义在［0,1］上的函数，求证:存在x 0、y 0∈［0,1］，使|x 0y 0-f(x 0)-g(y 0)|≥41. 证明:用反证法.假设对［0,1］内的任意实数x,y 均有|xy-f(x)-g(y)|<41，考虑对x,y 在［0,1］内取特殊值: (1)取x=0,y=0时，有|0×0-f(0)-g(0)|<41,∴|f(0)+g(0)|<41; (2)取x=1,y=0时，有|1×0-f(1)-g(0)|<41,∴|f(1)+g(0)|<41; (3)取x=0,y=1时，有|0×1-f(0)-g(1)|<41,∴|f(0)+g(1)|<41; (4)取x=1,y=1时，有|1×1-f(1)-g(1)|<41,∴|1-f(1)-g(1)|<41. ∵1=1-f(1)-g(1)+f(0)+g(1)+f(1)+g(0)-f(0)-g(0),∴1≤|1-f(1)-g(1)|+|f(0)+g(1)|+|f(1)+g(0)|+|f(0)+g(0)|<41+41+41+41=1. ∴1<1，矛盾，说明假设不能成立.故要证结论成立.各个击破类题演练1求证:如果a>b>0，那么n n b a >(n ∈N 且n>1).证明:假设n a 不大于n b 有两种情况:n n b a <或者n n b a =.由推论2和定理1，当n n b a <时，有a<b;当n n b a =时，有a=b ，这些都与已知a>b>0矛盾，所以n n b a >. 变式提升1求证:如果a>b>0,那么21a <21b . 证明:假设21a ≥21b, 则21a -21b =2222b a a b -≥0. ∵a>b>0,∴a 2b 2>0.∴b 2-a 2=(b+a)(b-a)≥0.∵a>b>0,∴b+a>0.∴b-a≥0,即b≥a.这与已知a>b 矛盾. ∴假设不成立，原结论21a <21b 成立. 二、什么时候用反证法证明不等式【例2】 设0<a 、b 、c<1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 三个数不可能同时大于41. 思路分析:此命题为否定式，直接证明比较困难，可以考虑反证法.假设命题不成立，则三个数都大于41，然后从这个结论出发，推出与题设矛盾的结果来. 证明:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 三个数都大于41, 即(1-a)b>41,(1-b)c>41,(1-c)a>41. 以上三式相乘得(1-a)b5(1-b)c5(1-c)a>641, 亦即(1-a)a5(1-b)b5(1-c)c>641.① 又∵0<a<1,∴0<(1-a)a≤［2)1(a a +-］2=41. 同理,0<(1-b)b≤41,0<(1-c)c≤41. 以上三式相乘得(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤641,与①矛盾. ∴假设不成立，故命题获证.类题演练2已知x>0,y>0,且x+y>2,求证:xy +1与y x +1中至少有一个小于2. 证明:假设x y +1、y x +1都不小于2，则xy +1≥2,y x +1≥2. ∵x>0,y>0,∴1+y≥2x,1+x≥2y,2+x+y≥2(x+y).∴x+y≤2，这与已知x+y>2矛盾.故假设不成立，原题得证.变式提升2设a,b,c 均为正数且a+b+c=1,求证:a 2+b 2+c 2≥31. 证明:∵ab≤222b a +,bc≤222c b +,ca≤222a c +, 三式相加得ab+bc+ca≤a 2+b 2+c 2.假设a 2+b 2+c 2<31,由1=a+b+c, ∴1=(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ca)≤a 2+b 2+c 2+2(a 2+b 2+c 2)=3(a 2+b 2+c 2)<3×31=1,即1<1,显然不成立.三、体会反证法证明不等式的优越性【例3】 若△ABC 三边a,b,c 的倒数成等差数列,则∠B<2π. 证明:假设∠B≥2π,则b 边最大,有b>a,b>c. ∴a 1>b 1,c 1>b1. 两式相加得a 1+c 1>b2, 这与题设a 1+c 1=b2相矛盾. 因此,假设是错误的,∴∠B<2π. 温馨提示证明过程就那么简单,推出矛盾也这般容易!用反证法证明不等式思路清清爽爽,有化难为易的功效.类题演练3若|a|<1,|b|<1,求证:|ab b a ++1|<1. 证明:假设|abb a ++1|≥1,则|a+b|≥|1+ab|. ∴a 2+b 2+2ab≥1+2ab+a 2b 2.∴a 2+b 2-a 2b 2-1≥0.∴a 2-1-b 2(a 2-1)≥0.∴(a 2-1)(1-b 2)≥0.∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≤⎪⎩⎪⎨⎧≤≥⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-1,11,1.01,01010122222222b a b a b a b a 或即或 即a 2≥1,b 2≤1或a 2≤1,b 2≥1,与已知矛盾.∴|abb a ++1|<1. 变式提升3 已知f(x)=x 2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:用反证法.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于21,则 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)+f(3)-2f(2)|=|(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)|=2,相互矛盾.∴|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于21.。
人教版高中选修(B版)2-22.2.2反证法课程设计
人教版高中选修(B版)2-22.2.2反证法课程设计一、课程背景反证法是高中数学中的重要证明方法之一，它既常见于初中数学，也在高中数学中经常使用。
而本次课程设计是为了让学生更加深入地理解反证法，并能够熟练地运用反证法解决复杂问题。
二、课程目标通过本课程的学习，学生将达到以下目标：1.掌握反证法的基本思想和证明过程；2.熟悉反证法的常用应用场景；3.能够用反证法解决实际问题。
三、教学方法本次课程设计采用以下教学方法：1.讲授法：通过讲解反证法的概念、基本思想和证明过程等内容，让学生了解反证法的定义和运用；2.练习法：通过大量的练习题，让学生熟悉反证法的常用应用场景和证明方法；3.探究法：通过引导学生自主发现反证法的应用，探究反证法的灵活运用。
四、教学内容和进度安排第一课时主要内容：反证法的定义和基本思想。
•反证法的概念和基本思想；•通过例题介绍反证法的思路。
教学目标：学生了解反证法的基本概念和基本思想，具备初步的反证法推理能力。
教学时长： 1学时。
第二课时主要内容：反证法的证明过程。
•反证法的证明过程；•通过例题演示反证法的证明方法。
教学目标：学生熟悉反证法的证明过程，掌握反证法证明的基本技巧。
教学时长： 1学时。
第三课时主要内容：反证法在数学证明中的应用。
•反证法在一元二次方程中的应用；•反证法在三角形中的应用。
教学目标：学生掌握反证法在数学证明中的应用，熟悉反证法的运用场景。
教学时长： 1学时。
第四课时主要内容：反证法在实际问题中的运用。
•反证法在实际问题中的应用；•通过例题演示反证法在实际问题中的应用。
教学目标：学生掌握反证法在实际问题中的应用，能够用反证法解决实际问题。
教学时长： 1学时。
五、教学评估本次课程设计采取以下方式进行教学评估：•平时作业：通过布置一定数量的反证法练习题，检测学生对反证法的掌握程度；•课堂练习：通过课堂讲解和练习，检测学生的学习效果；•期末考试：通过综合的期末考试，检测学生对反证法的综合运用能力。
人教课标版高中数学选修4-5：《反证法与放缩法》教案-新版
2.3 课时7 反证法与放缩法一、教学目标（一）核心素养通过对反证法与放缩法的学习，体会数学证明的基本思想及逻辑思路.（二）学习目标1.通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.2.感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式.探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧. （三）学习重点体会反证法和放缩法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题.（四）学习难点会用反证法证明简单的命题，体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第26页至第29页，思考：什么是反证法？什么是放缩法？（2）想一想：使用两种方法证明时的步骤和注意事项有哪些？2.预习自测（1）使用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60︒”时，第一步应假设成立的结论是（）A.三角形中的内角都不小于60︒B.三角形中的内角都小于60︒C.三角形中的内角都不大于60︒D.三角形中的内角都大于60︒【知识点】反证法【解题过程】“三角形中至少有一个内角不小于60︒”时，第一步应假设成立的结论是三角形中的内角都小于60︒【思路点拨】“至少有一个”的否定是“一个都没有”【答案】B（2)在求证“数列()A.分析法B.综合法C.反证法D.直接法【知识点】反证法【解题过程】若是等比数列，则25即3=10，显然不成立，则原命题成立.【思路点拨】命题中有“不”等字样的证明常用反证法 【答案】C（3）用反证法证明命题“如果a b >>”时，假设的内容是( )= <=< =<【知识点】反证法≤，即=<.【思路点拨】“大于”的否定是“小于或等于” 【答案】D（4）使用放缩法证明不等式时，要注意不等号的方向，即放大还是缩小，如对于分子分母均取正值的分式，如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值 . 【知识点】放缩法【解题过程】分子不变，分母缩小（分母仍为正数），分式的值变大 【思路点拨】不等式的性质 【答案】放大 (二)课堂设计 1.知识回顾（1）证明不等式有比较法、综合法、分析法.（2）综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式.（3）分析法是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中. 2.问题探究 探究一 反证法 ●活动① 反证法的定义前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法.也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立.例如，对于性质（3）“如果a b >，那么a c b c +>+”，我们可以这样来证明：由a b >得0a b ->，于是()()0a c b c a b +-+=->，所以a c b c +>+.但对于性质（6）“如果0a b >>,2)n N n >∈≥”，我们很难从条件和已有事实直接推证出结论.这时可以采用如下方法：>=<.=那么a b =；<，那么由性质5有a b <.这些都与0a b >>矛盾.于是，>.像这样的方法，即先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明. 【设计意图】初步了解反证法. ●活动② 反证法的使用步骤对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明.使用反证法证明问题时，主要有以下几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定（反设）；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果（归谬）；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立（结论）. 反证法经常用于证明否定性命题(结论中出现“不存在”“不可能”等字眼)、唯一性命题、结论中出现“至多”“至少”的命题、结论中出现“都是”“都不是”的命题、证明方法上直接证明较困难或在证明方向上从结论的反面着手较容易的命题. 用反证法证明不等式必须把握以下几点：①必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能的情况，反证法都是不完整的；②反证法必须从否定的结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理论证.否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知的事实相违背等.推导出的矛盾必须是明显的；④在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件. 反证法中的数学语言.反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少有一个”“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面我们列举一些常见的涉及反证法的文字语言及与其相对应的否定假设.【设计意图】掌握反证法的步骤及注意事项. ●活动③ 反证法的应用例1 设233=+b a ，求证.2≤+b a 【知识点】反证法【解题过程】证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而.2)1(68126,61282233323+-=+->+-+->b b b b a b b b a 因为22)1(62≥+-b ，所以233>+b a ，这与题设条件233=+b a 矛盾，所以，原不等式2≤+b a 成立【思路点拨】用反证法结合不等式性质 【答案】见解析同类训练 已知0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >，求证：,,0a b c >. 【知识点】反证法【解题过程】证明：假设0a <，∵0abc >，∴0bc <.又由0a b c ++>, 则b c a +>- > 0，∴()0ab bc ca a b c bc ++=++<与题设矛盾.又假设若0a =，则与0abc >矛盾，∴0a >.同理可证：0b >，0c >. 【思路点拨】直接证明较困难，用反证法 【答案】见解析例2 设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于21. 【知识点】反证法【解题过程】证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于21，则.2)3()2(2)1(<++f f f 另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f 上两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确.【思路点拨】直接证明较困难，“少有一个”的问题的证明常用反证法 【答案】见解析同类训练 设0,,1a b c <<，求证：(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -不可能同时大于41. 【知识点】反证法【解题过程】证明：(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -同时大于41，即假设 111(1),(1),(1)444a b b c c a ->->->,则三式相乘：1(1)(1)(1)64a b b c c a --->，即 1[(1)][(1)][(1)]64a a b b c c -⋅-⋅->，又∵0,,1a b c <<，∴412)1()1(02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤-<a a a a 同理：41)1(≤-b b ，41)1(≤-c c ，以上三式相乘： 1[(1)][(1)][(1)]64a ab bc c -⋅-⋅-≤ 上两式矛盾，∴原式成立，即(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -不可能同时大于41.【思路点拨】直接证明较困难，“不可能”的问题的证明常用反证法.注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行.思考：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况.试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？ 【答案】见解析【设计意图】通过例题的练习，熟悉并掌握反证法证明不等式. 探究二 放缩法 ●活动① 放缩法的定义所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法.这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛. 【设计意图】了解放缩法的含义. ●活动② 理解放缩法 放缩法的主要理论依据.①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量； ③同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较；④基本不等式与绝对值不等式的基本性质；⑤三角函数的有界性等. 使用放缩法的主要方法.放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往从要证明的结论考虑.常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等.对不等式而言，放缩的本质是“不等式的加强”，常见的放缩有下面四种类型： ①直接放缩；②裂项放缩；③利用数列或函数的单调性放缩；④利用基本不等式放缩. 常见的放缩方式有以下几类： （1）21111(1)1k k k k k >=-++；*21111(2,)(1)1k k k k k k k <=-≥∈--N（2=>=-；2)k =<=≥（3）2()(0,0)4a b a b ab a b ++≥≤>>（4）121222113211-=⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⨯k k ；（5）1112n n k n<<+ （6）糖水不等式：(0,0)b b ma b m a a m+<>>>+【设计意图】掌握常见的放缩方式. ●活动③ 放缩法的应用 例3 若n 是自然数，求证.213121112222<++++n【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想 【解题过程】证明：.,,4,3,2,111)1(112n k kk k k k=--=-< ∴nn n ⋅-++⋅+⋅+<++++)1(13212111113121112222 =)111()3121()2111(11n n --++-+-+ =.212<-n【思路点拨】常见放缩*21111(2,)(1)1k k N k k k k k<=-≥∈--注意：实际上，我们在证明213121112222<++++n 的过程中，已经得到一个更强的结论nn 1213121112222-<++++ ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想. 【答案】见解析同类训练 若n 是自然数，求证222211117.1234n ++++< 【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明 因为2211111()(2)1211n n n n n <=-≥--+， 左边1111111+[(1)+()++()]232411n n <----+11111171+(1+)1(1)221224n n =--<++=+；当1n =时，714<显然成立【思路点拨】将通项放缩成列项求和模型，注意保留第一项从第二项开始放缩 【答案】见解析例4 求证：.332113211211111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想 【解题过程】 证明：由,212221132111-=⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⨯k k （k 是大于2的自然数），得n ⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++ 32113211211111.3213211211121212121111132<-=--+=++++++<--n n n 【思路点拨】将通项放缩成等比数列模型在求和 【答案】见解析同类训练 若,,a b c ∈R ，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a .【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++ ∵,,a b c ∈R ∴1=+++++++++++++++>c b a d db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd d d c c b a b b a a m ，∴12m <<，即原式成立.【思路点拨】将分母放缩成相同才能化简 【答案】见解析【设计意图】通过对例题的学习，进一步理解放缩法. 3.课堂总结 知识梳理（1）利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. （2）常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式，（Ⅰ）如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值放大； （Ⅱ）如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小. 重难点归纳（1）体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题. （2）体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”. （三）课后作业基础型自主突破1.实数,,a b c不全为0的等价命题为()A.,,a b c均不为0 B.,,a b c中至多有一个为0C.,,a b c中至少有一个为0 D.,,a b c中至少有一个不为0【知识点】命题的等价性【解题过程】实数,,a b c不全为0就是,,a b c中至少有一个不为0【思路点拨】“不全”就是“至少一个”【答案】D2.用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a++=≠有有理根，那么,,a b c中至少有一个偶数，下列假设中正确的是()A.假设,,a b c都是偶数 B.假设,,a b c都不是偶数C.假设,,a b c至多有一个偶数 D.假设,,a b c至多有两个偶数【知识点】反证法【解题过程】假设,,a b c都不是偶数【思路点拨】“至少有一个是”的否定是“一个也不是”【答案】B3.设,,x y z都是正实数，1a xy=+，1b yz=+，1c zx=+，则,,a b c三个数()A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2 【知识点】反证法【解题过程】因为111()()()22+2=6a b c x y zx y z++=+++++≥+，当且仅当1x y z===时等号成立，所以,,a b c三者中至少有一个不小于2. 【思路点拨】基本不等式模型【答案】C4.若不等式220x ax a -+≥对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的一元二次不等式2230at t +->的解集为( )A.(3,1)-B.(,3)(1,)-∞-⋃+∞C.∅D.(0,1) 【知识点】恒成立问题；解不等式【解题过程】不等式220x ax a -+≥对一切实数R x ∈恒成立，则2440a a ∆=-=，即1a =或0a =（舍去），所以不等式2230at t +->转化2230t t +->，解得3t <-或1t >. 【思路点拨】一元二次不等式在R x ∈上恒成立只用考虑开口和Δ. 【答案】B5.某同学准备用反证法证明如下一个问题，函数()f x 在[0,1]上有意义，且(0)(1)f f =，如果对于不同的12,[0,1]x x ∈，都有1212|()()|||f x f x x x -<-，求证：121|()()|2f x f x -<，那么它的假设应该是 . 【知识点】反证法【解题过程】假设121|()()|2f x f x -≥【思路点拨】小于的否定是大于或等于 【答案】假设121|()()|2f x f x -≥6．lg 9lg11⋅与1的大小关系是________. 【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想 【解题过程】因为22lg 9lg11lg 99lg 9lg11()()122+⋅<=<，所以lg 9lg111⋅< 【思路点拨】同底对数相加才可用性质化简，和积结构转化用基本不等式 【答案】lg 9lg111⋅< 能力型 师生共研7.设,,a b c 均为正数，,,P a b c Q b c a R c a b =+-=+-=+-，则“0PQR >”是“,,P Q R 同时大于零”的________条件.【知识点】充分必要条件；反证法【解题过程】必要性是显然成立的；当0PQR >时，若,,P Q R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设0,0,0P Q R ><<，则20Q R c +=<，这与0c >矛盾，即充分性也成立. 【思路点拨】直接做较困难，用反证法 【答案】充要9.若0,0a b >>满足1ab a b ≥++ ，那么( )A.a b +有最小值2+B.a b +有最大值2+C.ab 1+D.ab 有最小值2+ 【知识点】放缩法；基本不等式 【数学思想】化归与转化思想【解题过程】2()14a b a b ab +++≤≤，所以2()4()40a b a b +-+-≥，解得2a b +≤-2a b +≥+1ab a b a b =++⎧⎨=⎩，即1a b ==+等号.【思路点拨】用基本不等式实现和积结构转换 【答案】A 探究型 多维突破9.设,,,x y z t 满足1100x y z t ≤≤≤≤≤，则x zy t+的最小值为________. 【知识点】放缩法；不等式的基本性质；基本不等式【解题过程】因为11x y y z ≥≥，且100z zt ≥，所以111005x z z y t z +≥+≥=，当且仅当1,10,100x y z t ====时，等号成立. 【思路点拨】通过放缩消元求最值【答案】1510.设0,0a b >>，且11a b a b+=+.证明： (1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立.【知识点】反证法【解题过程】证明：由11a ba b a b ab++=+=，0,0a b >>，得1ab =.(1)由基本不等式及1ab =，有2a b +≥=，即2a b +≥.(2)假设22a a +<与22b b +<不可能同时成立，则由22a a +<及0a >得01a <<；同理，01a <<，从而1ab <，这与1ab =矛盾.故22a a +<与22b b +<不可能同时成立. 【思路点拨】基本不等式化简 【答案】见解析 自助餐 11.设1010101111112212221M =++++++-，则( ) A.1M = B.1M < C.1M > D.M 与1大小关系不定 【知识点】放缩法【解题过程】111010101011101010101011111111221221222122222M -=++++<++++==++- 【思路点拨】放缩成相同分母化简可证 【答案】B12.1A n=+++与*)n N ∈的大小关系为 . 【知识点】放缩法【解题过程】*n ∈N ，当1n =时，1A ==； 当2n ≥时，1121321A n n n =+++>+++++++-11n =++-=综上可知，A ≥.2)k >=-≥【答案】A ≥.13.用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是( )A.方程20x ax b ++=没有实根.B.方程20x ax b ++=至多有一个实根.C.方程20x ax b ++=至多有两个实根D.方程20x ax b ++=恰好有两个实根. 【知识点】反证法【解题过程】假设方程20x ax b ++=没有实根【思路点拨】本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0，1，2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根. 【答案】A14.已知,0x y >，且2x y +>.求证：11,x yy x++中至少有一个小于2. 【知识点】反证法 【解题过程】证明：假设112,2x yy x++≥≥，则12,12x y y x +≥+≥ 两式相加，得22()x y x y ++≥+，即2x y +≤，与题设矛盾. 所以11,x yy x++中至少有一个小于2. 【思路点拨】“至少有一个”问题的证明用反证法 【答案】见解析15.若数列{}n x 的通项公式为1n nx n =+，求证：13521n x x x x -<【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想=， 13521132113211242352121n n n x x x x n n n ---=⨯⨯⨯<⨯⨯⨯=++. 所以13521n x x x x -<【思路点拨】213211133212112342121321()24222442223452213521n n n n n n n n n n n n -----⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯++【答案】见解析16.数列{}n a 的通项公式4(1)n a n n =+. 求证：对一切正整数n ，有1231111211117n a a a a ++++<----. 【知识点】放缩法；分析法 【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明：所证明的不等式为211112723474417n n +++<+-. 首先证明21211()(2)44171n n n n n <-≥+-+. 只要证221244177n n n n<+-+，只要证2277882n n n n +<+-，只要证220n n +->， 只要证(2)(1)0n n +->，当2n ≥时，此式显然成立，所以21211()(2)44171n n n n n <-≥+-+. ∴当2n ≥时，2111112111111212()72347441772334177(1)7n n n n n +++<+-+-++-=-<+-++. 【思路点拨】放缩成列项求和模型 【答案】见解析。
高中数学 2.3不等式的证明方法之三：反证法教案 新人教A版选修45
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。
议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？
反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步 作出与所证不等式相反的假定；
例4、已知a+b+c> 0，ab+bc+ca> 0，abc> 0，求证：a,b,c> 0
证+b+c> 0,则b+c=a> 0
∴ab+bc+ca=a(b+c) +bc< 0与题设矛盾 又：若a= 0，则与abc> 0矛盾，∴必有a> 0
同理可证：b> 0,c> 0
例3、设0 <a,b,c< 1，求证：(1a)b, (1b)c, (1c)a,不可能同时大于
证：设(1a)b> , (1b)c> , (1c)a> ,
则三式相乘：ab< (1a)b•(1b)c•(1c)a< ①
高中数学第二讲讲明不等式的基本方法三反证法与放缩法学案新人教A选修4_5010744
三反证法与放缩法学习目标 1.理解反证法的理论依据，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式.2.理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式．知识点一反证法思考什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？答案(1)反证法就是在否定结论的前提下推出矛盾，从而说明结论是正确的．(2)矛盾可以是与已知条件矛盾，也可以是与已知的定义、定理矛盾．梳理反证法(1)反证法的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．知识点二放缩法思考放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？答案①不等式的传递性；②等量加(减)不等量为不等量．梳理放缩法(1)放缩法证明的定义证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．(2)放缩法的理论依据①不等式的传递性．②等量加(减)不等量为不等量．③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．类型一 反证法证明不等式 命题角度1 证明“否定性”结论例1 设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b，证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立． 证明 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1可知，a ＋b ≥2ab ＝2， 即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．(2)假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立，则由a 2＋a ＜2及a ＞0，得0＜a ＜1；同理，0＜b ＜1，从而ab ＜1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．反思与感悟 当待证不等式的结论为否定性命题时，常用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾． 跟踪训练1 设0＜a ＜2,0＜b ＜2,0＜c ＜2，求证：(2－a )·c ，(2－b )·a ，(2－c )·b 不可能都大于1. 证明 假设(2－a )·c ，(2－b )·a ，(2－c )·b 都大于1， 即(2－a )·c ＞1，(2－b )·a ＞1，(2－c )·b ＞1， 则(2－a )·c ·(2－b )·a ·(2－c )·b ＞1， ∴(2－a )(2－b )(2－c )·abc ＞1. ①∵0＜a ＜2,0＜b ＜2,0＜c ＜2， ∴(2－a )·a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a ＋a 22＝1，同理(2－b )·b ≤1，(2－c )·c ≤1， ∴(2－a )·a ·(2－b )·b ·(2－c )·c ≤1， ∴(2－a )(2－b )(2－c )·abc ≤1，这与①式矛盾． ∴(2－a )·c ，(2－b )·a ，(2－c )·b 不可能都大于1. 命题角度2 证明“至少”“至多”型问题 例2 已知f (x )＝x 2＋px ＋q ， 求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明 (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2，而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝2，矛盾， ∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.反思与感悟 (1)当欲证明的结论中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法证明．(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾． 跟踪训练2 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于零．证明 假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z－1)2＋π－3，∵π－3＞0，且(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，∴a ＋b ＋c ＞0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，因此假设不成立． ∴a ，b ，c 中至少有一个大于0. 类型二 放缩法证明不等式例3 已知实数x ，y ，z 不全为零，求证：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2＞32(x ＋y ＋z )．证明x 2＋xy ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋y 2≥x ＋y 2.同理可得y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2.由于x ，y ，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )． 反思与感悟 (1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，谨慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换成较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．跟踪训练3 求证：32－1n ＋1＜1＋122＋…＋1n 2＜2－1n (n ∈N ＋且n ≥2)．证明 ∵k (k ＋1)＞k 2＞k (k －1)(k ∈N ＋且k ≥2)， ∴1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)，即1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k (k ∈N ＋且k ≥2)． 分别令k ＝2,3，…，n ，得12－13＜122＜1－12，13－14＜132＜12－13，…， 1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n ，将这些不等式相加，得12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＜12＋13＋…＋1n ＜1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ， 即12－1n ＋1＜122＋132＋…1n 2＜1－1n， ∴1＋12－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋1－1n，即32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n(n ∈N ＋且n ≥2)成立.1．用放缩法证明不等式时，下列各式正确的是( ) A.1a ＋x ＞1aB.b a ＜b ＋ma ＋mC ．x 2＋x ＋3＞x 2＋3 D ．|a ＋1|≥|a |－1 答案 D解析 对于A ，x 的正、负不定；对于B ，m 的正、负不定；对于C ，x 的正、负不定；对于D ，由绝对值三角不等式知，D 正确．2．用反证法证明命题“a ，b ，c 全为0”时，其假设为( ) A ．a ，b ，c 全不为0 B ．a ，b ，c 至少有一个为0 C ．a ，b ，c 至少有一个不为0 D ．a ，b ，c 至多有一个不为0 答案 C3．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________． 答案 a ≥0，b ≥0，a ≠b 解析 由a 及b 知a ≥0，b ≥0， 又a a ＋b b ＞a b ＋b a ， 即(a －b )2(a ＋b )＞0. ∴a ≠b ，∴a ≥0，b ≥0，a ≠b .4．已知0＜a ＜3,0＜b ＜3,0＜c ＜3.求证：a (3－b )，b (3－c )，c (3－a )不可能都大于92.证明 假设a (3－b )＞92，b (3－c )＞92，c (3－a )＞92.因为a ，b ，c 均为小于3的正数， 所以a (3－b )＞92，b (3－c )＞92， c (3－a )＞92， 从而有a (3－b )＋b (3－c )＋c (3－a )＞92 2.①但是a (3－b )＋b (3－c )＋c (3－a )≤a ＋(3－b )2＋b ＋(3－c )2＋c ＋(3－a )2 ＝9＋(a ＋b ＋c )－(a ＋b ＋c )2＝92.② 当且仅当a ＝b ＝c ＝32时，②中取等号．显然②与①相矛盾，假设不成立，故命题得证．1．常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设2.放缩法证明不等式常用的技巧 (1)增项或减项．(2)在分式中增大或减小分子或分母．(3)应用重要不等式放缩，如a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤a ＋b2，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，a ＋b ＋c 3≥3abc (a ，b ，c ＞0)．(4)利用函数的单调性等．一、选择题 1．P ＝a a ＋1＋b b ＋1＋cc ＋1(a ，b ，c 均为正数)与3的大小关系为( )A ．P ≥3B ．P ＝3C ．P ＜3D ．P ＞3答案 C 解析 P ＝a a ＋1＋b b ＋1＋c c ＋1＜a a ＋b b ＋cc＝3. 2．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2答案 C解析 假设a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6， 又a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＋⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z ≥6，与a ＋b ＋c ＜6矛盾． 所以a ，b ，c 至少有一个不小于2.A 、B 、D 可用特殊值法排除．故选C.3．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a 2＋b 2＝c 2，则a n ＋b n 与c n(n ≥3，n ∈N ＋)的大小关系为( ) A ．a n＋b n＞c nB ．a n ＋b n ＜c nC ．a n ＋b n ≥c nD ．a n ＋b n ＝c n答案 B解析 ∵a 2＋b 2＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴0＜a c ＜1,0＜b c＜1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x 均为减函数．∴当n ≥3时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴a n＋b n＜c n.4．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，则A 与B 的大小关系为( )A ．A ≥B B ．A ＝BC ．A ＞BD ．A ＜B 答案 D解析 ∵x ＞0，y ＞0，∴A ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＜x 1＋x ＋y1＋y＝B .5．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 对于①，假设(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，这时a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0，故①正确；对于②，假设a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 都不成立，这时a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立，故②正确； 对于③，显然不正确．6．设a ，b ，c 是正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“P ·Q ·R ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 必要性显然成立．充分性：若P ·Q ·R ＞0， 则P ，Q ，R 同时大于零或其中有两个负的， 假设其中有两个负的成立，不妨设P ＜0，Q ＜0，R ＞0，因为P ＜0，Q ＜0， 即a ＋b ＜c ，b ＋c ＜a .所以a ＋b ＋b ＋c ＜c ＋a .所以b ＜0，与b ＞0矛盾，故假设不成立，故充分性成立． 二、填空题7．若A ＝1210＋1210＋1＋…＋1211－1，则A 与1的大小关系为________．答案 A ＜1解析 A ＝1210＋1210＋1＋…＋1211－1＜1210＋1210＋…＋1210＝210210＝1.共210个8．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①则∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形的内角和为180°矛盾，故结论错误． ②所以一个三角形不可能有两个直角．③假设△ABC 有两个直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序是________． 答案 ③①②解析 由反证法的证明题步骤可知，正确顺序应该是③①②.9．已知a ∈R ＋，则12a ，12a ＋1，1a ＋a ＋1从大到小的顺序为________．答案12a＞1a ＋a ＋1＞12a ＋1解析 因为a ＋a ＋1＞a ＋a ＝2a ，a ＋a ＋1＜a ＋1＋a ＋1＝2a ＋1，所以2a ＜a ＋a ＋1＜2a ＋1， 所以12a ＞1a ＋a ＋1＞12a ＋1.10．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，满足|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12，那么它的反设应该是________．答案 存在x 1，x 2∈[0,1]且x 1≠x 2满足|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，使|f (x 1)－f (x 2)|≥12成立 三、解答题11．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数，证明 假设a ，b ，c ，d 都是非负数． 由a ＋b ＝c ＋d ＝1知，a ，b ，c ，d ∈[0,1]． 从而ac ≤ac ≤a ＋c2，bd ≤bd ≤b ＋d2，∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d2＝1，即ac ＋bd ≤1，与已知ac ＋bd ＞1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．12．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1.证明 由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2，…，n )，得12n ≤1n ＋k ＜1n ，当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n ，当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n ，…，当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1n，∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n ＝1. ∴原不等式成立．13．设a ，b ∈R,0≤x ≤1,0≤y ≤1，求证：对于任意实数a ，b 必存在满足条件的x ，y ，使|xy －ax －by |≥13成立．证明 假设对一切0≤x ≤1,0≤y ≤1，结论不成立， 则有|xy －ax －by |＜13.令x ＝0，y ＝1，得|b |＜13；令x ＝1，y ＝0，得|a |＜13；令x ＝y ＝1，得|1－a －b |＜13.又|1－a －b |≥1－|a |－|b |＞1－13－13＝13，这与上式矛盾．故假设不成立，原命题结论正确． 四、探究与拓展14．完成反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…·(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则________均为奇数． ①因为7个奇数之和为奇数，故有(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)为________． ②而(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝________. ③②与③矛盾，故p 为偶数．答案 ①a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 ②奇数 ③0解析 由假设p 为奇数可知，(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数相矛盾． 15．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列．所以a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)由(1)知，1a n ＝23n －1，因为当n ≥1时，3n－1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＜32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
人教版高中选修(B版)2-22.2.2反证法教学设计
人教版高中选修(B版)2-22.2.2反证法教学设计教学目标•能够理解反证法的基本思想和特点•能够在解决问题时灵活运用反证法进行推理•能够掌握常见的反证法证明方法教学重点•反证法的基本思想和特点•反证法在数学中的应用•常见的反证法证明方法教学难点•反证法的具体运用•反证法证明的层层递进教学内容1.反证法的基本思想和特点–反证法的定义和基本特点介绍–通过反证法引出课堂问题并进行讨论，引导学生理解反证法的基本思想2.反证法在数学中的应用–反证法在等式证明中的应用–反证法在不等式证明中的应用3.常见的反证法证明方法–柿子法证明–最大化误差证明–原命题与反命题结合证明教学过程1.热身–回顾上节课所学知识：直接证明法、归纳证明法–引出课题：反证法2.讲解–介绍反证法的定义和基本特点，通过例子引导学生理解反证法的基本思想–介绍反证法在等式证明中的应用，通过例子引导学生掌握等式证明中的常用反证法方法–介绍反证法在不等式证明中的应用，通过例子引导学生掌握不等式证明中的常用反证法方法3.演示–指导学生进一步理解反证法的应用，通过实例演示反证法证明过程，强化学生认识和运用常见的反证法证明方法的能力4.练习–出示一些数学证明题目，让学生采用反证法的方法进行证明–学生们自主设计，采用反证法的方法证明一些有趣的数学问题，以培养学生的创造性思维能力5.总结–梳理反证法的基本思想和常见证明方法，强化学生对反证法的理解和应用6.作业–布置一些数学证明作业，让学生练习反证法的应用教学评价1.教师评价–通过学生作品的收集，对学生的反证法理解和运用能力进行评价–在教学过程中定期对学生进行课堂练习，了解学生的掌握情况2.学生评价–对学生自己的课堂表现进行自我评价，提高学生的学习自觉性–对学生的作业进行成绩评价，激励学生去认真对待学习教学反思1.教师反思–在反证法知识的讲解中，要注意把握好知识点的引入和引出，让学生更好地吸收和理解知识–在作业时，要设计适合学生能力水平的问题，让学生在巩固基础的同时，逐步提高自己的水平，激发学生的学习兴趣和学习动力2.学生反思–学生要认真听讲，对反证法的基本思想和技巧有清晰的认识，掌握复杂证明的方法–在练习和课后作业中，加强反证法的练习，培养自己的思维能力，提高自己的数学水平。
人教A版高中数学选修高二新课程反证法教案新
2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点，则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上，即O 是l 与m 的交点。
但 ∵A 、B 、C 共线，∴l ∥m (矛盾)∴ 过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆.二、讲授新课： 1. 教学反证法概念及步骤：① 练习：仿照以上方法，证明：如果a >b >0，那么b a >② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.注：结合准备题分析以上知识.2. 教学例题：① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？与教材不同的证法：反设AB 、CD 被P 平分，∵P 不是圆心，连结O P ，则由垂径定理：O P ⊥AB ，O P ⊥CD ，则过P 有两条直线与OP 垂直（矛盾），∴不被P 平分. ② 出示例2是无理数. （ 同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为/m n ）/m n =（m ,n 为互质正整数），从而：2(/)3m n =，223m n =，可见m 是3的倍数.设m =3p （p 是正整数），则 22239n m p ==，可见n 也是3的倍数.这样，m , n 就不是互质的正整数（矛盾）./m n =.③ 练习：如果1a +为无理数，求证a 是无理数.提示：假设a 为有理数，则a 可表示为/p q （,p q 为整数），即/a p q =.由1()/a p q q +=+，则1a +也是有理数，这与已知矛盾. ∴ a 是无理数.3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）三、巩固练习： 1. 练习：教材P 54 1、2题 2. 作业：教材P 54 A 组3题.。
人教课标版高中数学选修2-2《反证法》教学设计
2.2.2 反证法一、教学目标1．核心素养通过学习反证法，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力．2．学习目标了解反证法的思考过程、特点．3．学习重点了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．4．学习难点根据问题特点，结合反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1预习教材P89-91，思考什么是反证法？反证法的逻辑依据是什么？2．预习自测1. 应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列可作为条件的是（）①结论的假设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论A.①②B.②③C.①②③D.①②④解：C2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是（）A.三个内角中至少有一个钝角B.三个内角中至少有两个钝角C.三个内角都不是钝角D.三个内角中都不是钝角或至少有两个钝角解：B（二）课堂设计1．知识回顾（1）综合法的逻辑是由因索果．（2）分析法的逻辑是执果索因．2．问题探究问题探究 反证法●活动一 结合实例，体会反证思想实例体会：桌面上有3枚正面向上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面向上.你能解释这种现象吗？问题：什么是反证法？反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法． ●活动二 运用反证思想，证明问题例1：已知：a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0.求证：a >0，b >0，c >0.【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】详解：假设a ，b ，c 不都是正数，由abc >0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a <0，b <0，c >0，则由a ＋b ＋c >0，可得c >－(a ＋b ). 又a ＋b <0，∴c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )ab ＋c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )＋ab即ab ＋bc ＋ca <－a 2－ab －b 2∵a 2>0，ab >0，b 2>0，∴－a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)<0，即ab ＋bc ＋ca <0， 这与已知ab ＋bc ＋ca >0矛盾，所以假设不成立．因此a >0，b >0，c >0成立．点拨：反证法的初始理论依据是基于“原命题与其逆否命题等价”的逻辑原理，通过“结论不成立推出条件不成立”产生“条件成立所以结论成立”的结果，是一种间接证明的方法.例2：求证：2、3、5不可能成等差数列.【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】详解：假设2、3、5成等差数列，则23=2+5.所以22)52()32(+=，化简得1025=，22)102(5=，即4025=，这是不可能的.所以假设不成立，从而原命题成立.点拨：反证法的难点在于如何由结论不成立去推导矛盾.这个矛盾常常是以下的三种情形：①与条件发生矛盾；②与已知的定义、公理、定理、事实等发生矛盾；③自相矛盾.3．课堂总结【知识梳理】反证法是一种间接的证明方法，用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止；(3)断言假设不成立；(4)肯定原命题的结论成立.【重难点突破】反证法主要适用于以下两种情形①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰; ②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.常见否定用语是——不是 有——没有 等——不等 成立——不成立都是——不都是，即至少有一个不是 都有——不都有，即至少有一个没有 都不是——部分或全部是，即至少有一个是 唯一——至少有两个 至少有一个有（是）——全部没有（不是） 至少有一个不——全部都4．随堂检测1．用反证法证明命题“设a 、b 为实数，则方程x 3+ax +b =0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A ．方程x 3+ax +b =0没有实根B ．方程x 3+ax +b =0至多有一个实根C ．方程x 3+ax +b =0至多有两个实根D ．方程x 3+ax +b =0恰好有两个实根【知识点：反证法；数学思想：转换与化归】解：A ．2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）A. 假设三内角都不大于60度；B. 假设三内角都大于60度；C. 假设三内角至多有一个大于60度；D. 假设三内角至多有两个大于60度【知识点：反证法；数学思想：转换与化归】解：B ．3. 否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A ．有一个解B ．有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解【知识点：反证法；数学思想：转换与化归】解：C ．4. 下列命题不适合用反证法证明的是（ ）A ．同一平面内，分别与两相交直线垂直的两条直线必相交B ．两个不相等的角不是对顶角C ．平行四边形的对角线互相平分D ．已知R y x ∈,，且2>+y x ，求证y x ,中至少有一个大于1【知识点：反证法；数学思想：转换与化归】解：C ．5．否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”时的正确反设为( )A ．a 、b 、c 都是奇数B ．a 、b 、c 或都是奇数或至少有两个偶数C ．a 、b 、c 都是偶数D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数 【知识点：反证法；数学思想：转换与化归】解：B ．（三）课后作业基础型 自主突破1. 判断 (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．()(6)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．()【知识点：直接证明与间接证明】解：错；错；错；错；对；对.2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法与分析法结合使用D．间接证法【知识点：直接证明与间接证明】解：B3．要证明3＋5<4可选择的方法有以下几种，其中最合理的为() A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法【知识点：直接证明与间接证明】解：B4．否定：“自然数a，b，c中恰有两个偶数”时正确的反设为（）A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是偶数或至少有两个奇数【知识点：反证法】解：D5．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有()A．0个B．1个C．2个D．3个【知识点：反证法】解：B6．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除【知识点：反证法】解：B能力型师生共研7．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为()A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都不是偶数C．a，b，c中至多一个是偶数D．至多有两个偶数【知识点：反证法】解：B8.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＋S n＝2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：数列{a n}中不存在三项按原来顺序成等差数列．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又a n＋S n＝2，所以a n＋1＋S n＋1＝2，两式相减得a n＋1＝12a n，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1. (2)证明 反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.(*) 又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N *.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．9. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：由已知得⎩⎨⎧ a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2， 故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明 由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)．∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∴(p ＋r 2)2＝pr ，即(p －r )2＝0.∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴假设不成立，即数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．10. 直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A 、C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：(1)因为四边形OABC 为菱形，则AC 与OB 相互垂直平分．由于O (0,0)，B (0,1)，所以设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，则t ＝±3，故|AC |＝2 3.(2)证明 假设四边形OABC 为菱形，因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.[6分] 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 2＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2. 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.[8分] 因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，直线OB 的斜率为－14k ，因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ＝－14≠－1，所以AC 与OB 不垂直．[10分] 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．探究型 多维突破11. 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点；(2)试用反证法证明1a>c . 【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】证明：(1)∵f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a ≠c )，∴1a 是f (x )＝0的一个根．即1a 是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0与f (1a )＝0矛盾，∴1a ≥c ， 又∵1a ≠c ，∴1a >c .12．已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)，数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )．令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n . 又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·(23)n －1，故1－a 2n ＝34·(23)n －1⇒a 2n ＝1－34·(23)n －1. 又a 1＝12>0.a n a n ＋1<0，故a n ＝(－1)n －1 1－34·(23)n －1.b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝[1－34·(23)n ]－[1－34·(23)n －1]＝14·(23)n －1. (2)证明 用反证法证明．假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只能有2b s＝b r ＋b t 成立．∴2·14(23)s －1＝14(23)r －1＋14(23)t －1，两边同乘以3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s . 由于r <s <t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾． 故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．自助餐1．实数a 、b 、c 不全为零等价于( )A ．a 、b 、c 均不为零B ．a 、b 、c 中至多有一个为零C ．a 、b 、c 至少有一个为零D ．a 、b 、c 至少有一个不为零【知识点：反证法】解：D2．设a 、b 、c 均大于0，则三个数：b a 1+，c b 1+，ac 1+的值( ) A ．都大于2 B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2【知识点：反证法】解：D.3．(1)已知233=+q p ，求证2≤+q p .用反证法证明时，可假设2≥+q p .(2)已知R b a ∈,，1||||<+b a ，求证方程02=++b ax x 的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根1x 满足1||1≥x .以下结论正确的是( )A ．（1）与（2）的假设都错误B ．（1）与（2）的假设都正确C ．（1）的假设正确，（2）的假设错误D ．（1）的假设错误，（2）的假设正确【知识点：反证法】解：D （1）的假设应为2>+q p .4．设a 、b 、c 是正数，c b a P -+=，a c b Q -+=，b a c R -+=，则“0>PQR ”是“P 、Q 、R 同时大于零”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点：反证法】解：C ．5．命题“△ABC 中，若∠A >∠B ，则a >b ”的结论的否定应该是( )A ．a <bB ．a ≤bC ．a ＝bD ．a ≥b【知识点：反证法】解：B “a >b ”的否定应为“a ＝b 或a <b ”，即a ≤b .故应选B.6．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( )A ．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线【知识点：反证法】解：C假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.7．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．【知识点：反证法】解：没有一个是三角形或四边形或五边形.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为____________．【知识点：反证法】8．解：③①②9．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设______________．设全体质数为p1、p2、…、p n，令p＝p1p2…p n＋1.显然，p不含因数p1、p2、…、p n.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、p n之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．【知识点：反证法】解：质数只有有限多个除p1、p2、…、p n之外10．已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于14. 【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】证法1：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数.(1－a)＋b2≥(1－a)b＞14＝12，同理(1－b )＋c 2＞12，(1－c )＋a 2＞12.三式相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2＞32，即32＞32，矛盾所以(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 不能都大于14.证法2：假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14， 三式相乘得：(1－a )b (1－b )c (1－c )a >143①因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤1－a ＋a 22＝14.同理，0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14.所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤143.②因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．11．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .(1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：(1)证明：∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b .由已知f (x )的单调性得f (a )≥f (－b )．又a ＋b ≥0⇒b ≥－a ⇒f (b )≥f (－a )．两式相加即得：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．(2)逆命题： f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )⇒a ＋b ≥0.下面用反证法证之．假设a ＋b <0，那么：a ＋b <0⇒a <－b ⇒f (a )<f (－b )a ＋b <0⇒b <－a ⇒f (b )<f (－a ) ⇒f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知矛盾，故只有a ＋b ≥0.逆命题得证．12．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根． 【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】证明：假设方程f (x )＝0有负数根，设为x 0(x 0≠－1)．则有x 0<0，且f (x 0)＝0.∴ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0⇔ax 0＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，∴0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1. 解上述不等式，得12<x 0<2.这与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．数学视野直接论证与间接论证，正论证是用已知为真的判断来确定某一判断的真实性或虚假性的思维过程.根据论证的目的,论证可分为证明与反驳,证明是用已知为真的判断来确定某一判断的真实性的思维过程,反驳是用已知为真的判断来确定某一判断的虚假性的思维过程.根据论证方式,论证可分为演绎论证、归纳论证和类比论证.根据论证的方法,论证可分为直接论证和间接论证;直接论证又可以分为直接证明和直接反驳,间接论证也可以分为间接证明和间接反驳.。
高中数学人教A版选修4-5 2-3 反证法与放缩法 导学案
2.3 反证法与放缩法学习目标： 1. 理解并掌握反证法与放缩法;2. 会利用反证法与放缩法证明不等式知识情景：1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．20. 综合法和分析法．30. 反证法、换元法、放缩法2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系：☻新知建构：1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立.12 ( ) n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已论成立的充分条件知例1已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 .例2、若a 3＋b 3＝2，求证：a ＋b ≤2.2. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+- ③应用“糖水不等式”：“若0a b <<，0m >，则a a m bb m+<+” ④利用基本不等式，如：2lg 3lg 5()lg 4⋅<=<=；⑤利用函数的单调性⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈； ⑦绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +； ⑧利用常用结论：如：2=>=()*,1k N k ∈>，2=<=()*,1k N k ∈>⑨应用贝努利不等式：2(1)(1)11.12n n n n x nx x x nx -+=++++>+⨯例3 当 n > 2 时，求证：(1)log (1)log n n n n +-<例4求证：.332113211211111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n达标训练：1.设x.y 为正数，且1=+y x ，用反证法证明9)11)(1122≥--yx （2.已知0<x<1,a>0,a ≠1,试比较)1(log )1(log x x a a +-与的大小，并说明理由3.已知m>0,求证342≥+mm4、若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a。
2014届高三数学总复习 不等式证明的基本方法教案选修4-4 新人教A版
2014届高三数学总复习 不等式证明的基本方法教案 新人教A版选修4-41. 设a 、b∈R ＋，试比较a ＋b 2与a ＋b 的大小．解：∵ (a ＋b)2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝（a －b ）22≥0，∴ a ＋b ≥a ＋b2. 2. 若a 、b 、c∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求a ＋b ＋c 的最大值．解：(1·a ＋1·b ＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c)＝3，即a ＋b ＋c 的最大值为 3.3. 设a 、b 、m∈R ＋，且b a <b ＋m a ＋m，求证：a ＞b.证明：由b a <b ＋m a ＋m ，得b a －b ＋m a ＋m ＝（b －a ）m a （a ＋m ）＜0.因为a 、b 、m∈R ＋，所以b －a ＜0，即b＜a.4. 若a 、b∈R ＋，且a≠b，M ＝ab ＋ba，N ＝a ＋b ，求M 与N 的大小关系． 解：∵ a≠b，∴ a b ＋b>2a ，ba＋a>2b ，∴ a b ＋b ＋b a ＋a>2b ＋2a ，即a b ＋ba >b ＋a ，即M>N.5. 用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >12(n>1，n ∈N *)的过程中，用n ＝k ＋1时左边的代数式减去n ＝k 时左边的代数式的结果是A ，求代数式A.解：当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1（k ＋1）＋（k ＋1），故左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1，即A ＝1（2k ＋1）（2k ＋2）.1. 不等式证明的常用方法(1) 比较法：比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用方法，基本不等式就是用比较法证得的．比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负．比较法证明不等式的步骤：作差(商)、变形、判断符号．其中的变形主要方法是分解因式、配方，判断过程必须详细叙述．(2) 综合法：综合法就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直到推出要证明的结论，即为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，常常用到基本不等式．(3) 分析法：分析法就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，直至推出显然成立的不等式，即为“执果索因”．2. 不等式证明的其他方法和技巧(1) 反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定结论是正确的证明方法．(2) 放缩法欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得A≥C1≥C2≥…≥C n ≥B，利用传递性达到证明的目的．(3) 数学归纳法[备课札记]题型1 用比较法证明不等式例1求证：a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.证明：∵ (a 2＋b 2)－(ab ＋a ＋b －1)＝a 2＋b 2－ab －a －b ＋1 ＝12(2a 2＋2b 2－2ab －2a －2b ＋2) ＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2－2b ＋1)] ＝12[(a －b)2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0. ∴ a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1. 备选变式（教师专享）已知a>0，b>0，求证：a b ＋ba ≥a ＋ b.证明：(证法1)∵ ⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －(a ＋b)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －aa＝（a －b ）（a －b ）ab＝（a ＋b ）（a －b ）2ab≥0，∴ 原不等式成立．(证法2)由于ab ＋b aa ＋b ＝a a ＋b b ab （a ＋b ）＝（a ＋b ）（a －ab ＋b ）ab （a ＋b ）＝a ＋bab－1≥2abab－1＝1.又a>0，b>0，ab>0，∴ab ＋ba≥a ＋ b. 题型2 用分析法、综合法证明不等式 例2 已知x 、y 、z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.证明：(证法1：综合法)因为x 、y 、z 都是正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z .同理可得yzx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y .将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. (证法2：分析法)因为x 、y 、z 均为正数，要证x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .只要证x 2＋y 2＋z 2xyz≥yz ＋zx ＋xy xyz，只要证x 2＋y 2＋z 2≥yz ＋zx ＋xy ，只要证(x －y)2＋(y －z)2＋(z －x)2≥0，而(x －y)2＋(y －z)2＋(z －x)2≥0显然成立，所以原不等式成立．变式训练已知a>0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a＋1a＋2，只需证a 2＋1a 2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，即证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋2， 即证a 2＋1a 2≥2，此式显然成立．∴ 原不等式成立．题型3 均值不等式与柯西不等式的应用 例3 求证：a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3. 证明：∵ (12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)≥(a＋b ＋c)2， ∴ a 2＋b 2＋c 23≥（a ＋b ＋c ）29，即a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3. 变式训练若实数x 、y 、z 满足x ＋2y ＋3z ＝a(a 为常数)，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．解：∵ (12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x＋2y ＋3z)2＝a 2，即14(x 2＋y 2＋z 2)≥a 2， ∴ x 2＋y 2＋z 2≥a 214，即x 2＋y 2＋z 2的最小值为a 214.备选变式（教师专享）用数学归纳法证明：当n 是不小于5的自然数时，总有2n >n 2成立．证明：(1) 当n ＝5时，25>52，结论成立．(2) 假设当n ＝k(k∈N ，k ≥5)时，结论成立，即有2k >k 2，那么当n ＝k ＋1时，左边＝2k ＋1＝2·2k >2·k 2＝(k ＋1)2＋(k 2－2k －1)＝(k ＋1)2＋(k －1－2)(k －1＋2)>(k ＋1)2＝右边.∴ 也就是说，当n ＝k ＋1时，结论成立．∴ 由(1)、(2)可知，不等式 2n >n 2对n∈N ，n ≥5时恒成立．例4 求函数y ＝1－x ＋4＋2x 的最大值．解：∵y 2＝(1－x ＋2·2＋x)2≤[12＋(2)2](1－x ＋2＋x)＝3×3，∴ y ≤3，当且仅当11－x＝22＋x 时取“＝”号，即当x ＝0时，y max ＝3. 备选变式（教师专享）(2011·湖南改编)设x 、y∈R ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值．解：由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2≥(1＋2)2＝9.∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为9.1. (2013·陕西)已知a 、b 、m 、n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，求(am ＋bn)(bm ＋an)的最小值．解：利用柯西不等式求解，(am ＋bn)(an ＋bm)≥(am·an＋bn·bm )2＝mn·(a＋b)2＝2·1＝2，且仅当am an ＝bnbmm ＝n 时取最小值2.2. (2013·湖北)设x 、y 、z∈R ，且满足x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求x ＋y ＋z 的值．解：由柯西不等式可知(x ＋2y ＋3z)2＝14≤(x 2＋y 2＋z 2)·(12＋22＋32)，因为x 2＋y 2＋z 2＝1，所以当且仅当x 1＝y 2＝z 3时取等号．此时y ＝2x ，z ＝3x 代入x ＋2y ＋3z ＝14得x ＝1414，即y ＝21414，z ＝31414， 所以x ＋y ＋z ＝3147.3. (2013·江苏)已知a≥b>0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.证明：∵ 2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ＝(2a 3－2ab 2)＋(a 2b －b 3)＝2a(a 2－b 2)＋b(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b)＝(a ＋b)(a －b)(2a ＋b)， 又a≥b>0，∴ a ＋b>0，a －b≥0，2a ＋b≥0， ∴ (a ＋b)(a －b)(2a ＋b)≥0，∴ 2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0，∴ 2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.4. (2013·新课标Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明： (1) ab ＋bc ＋ca≤13；(2) a 2b ＋b 2c ＋c2a≥1.证明：(1) 由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca.由题设得(a ＋b ＋c)2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca≤13.(2) 因为a 2b ＋b≥2a，b 2c ＋c≥2b，c2a ＋a≥2c，故a 2b ＋b 2c ＋c2a＋(a ＋b ＋c)≥2(a＋b ＋c)，即a 2b ＋b 2c ＋c2a ≥a ＋b ＋c. 所以a 2b ＋b 2c ＋c2a≥1.1. 已知正数a 、b 、c 满足abc ＝1，求证：(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)≥27. 证明：(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)≥3·3a ·3·3b ·3·3c ＝27·3abc ＝27(当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立)． 2. 已知函数f(x)＝m －|x －2|，m ∈R ，且f(x ＋2)≥0的解集为[－1，1]． (1) 求m 的值；(2) 若a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c≥9.解：(1) ∵ f(x＋2)＝m －|x|≥0， ∴ |x|≤m ，∴ m ≥0，－m≤x≤m，∴ f(x ＋2)≥0的解集是[－1，1]，故m ＝1.(2) 由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，a 、b 、c∈R ，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥(a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c)2＝9.3. 已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1(1) 若2x 2＋3y 2＋6z 2＝1，求x ，y ，z 的值．(2) 若2x 2＋3y 2＋tz 2≥1恒成立，求正数t 的取值范围．解：(1) ∵ (2x 2＋3y 2＋6z 2)(12＋13＋16)≥(x＋y ＋z)2＝1，当且仅当2x 12＝3y 13＝6z 16时取“＝”．∴ 2x＝3y ＝6z ，又∵ x＋y ＋z ＝1，∴ x ＝12，y ＝13，z ＝16.(2) ∵ (2x 2＋3y 2＋tz 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1t ≥(x ＋y ＋z)2＝1，∴ (2x 2＋3y 2＋tz 2)min ＝156＋1t .∵ 2x 2＋3y 2＋tz 2≥1恒成立， ∴ 156＋1t≥1.∴ t ≥6. 4. (1) 求函数y ＝x －1＋5－x 的最大值；(2) 若函数y ＝a x ＋1＋6－4x 最大值为25，求正数a 的值．解：(1) ∵ (x －1＋5－x)2≤(1＋1)(x －1＋5－x)＝8, ∴ x －1＋5－x ≤2 2. 当且仅当1·x －1＝1·5－x 即x ＝3时，y max ＝2 2.(2) (a x ＋1＋6－4x)2＝⎝⎛⎭⎪⎫a x ＋1＋232－x 2≤(a 2＋4)(x ＋1＋32－x)＝52(a 2＋4)，由已知52(a 2＋4)＝20得a ＝±2，又∵ a>0，∴ a ＝2.1. 算术—几何平均不等式若a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，n>1且n∈N *，则a 1＋a 2＋…＋a n n 叫做这n 个正数的算术平均数，na 1a 2…a n 叫做这n 个正数的几何平均数．基本不等式：a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n (n∈N *，a i ∈R ＋，1≤i ≤n)．2. 绝对值三角形不等式若a 、b 是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 推论1：|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |. 推论2：如果a 、b 、c 是实数，那么|a －c|≤|a－b|＋|b －c|，当且仅当(a －b)(b －c)≥0时，等号成立．3. 柯西不等式若a 、b 、c 、d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac＋bd)2. 4. 三角不等式设x 1、y 1、x 2、y 2∈R ，则x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.请使用课时训练（B ）第2课时（见活页）.[备课札记]。
高中数学4《反证法》教案(北师大版选修
高中数学4《反证法》教案(北师大版选修北师大版数学选修1-第三章推理与证明4反证法一、教学目标：1.学问与技能：(1)了解间接证明的一种基本方法反证法；(2)了解反证法的思索过程与特点,会用反证法证明数学问题.2.过程与方法:通过同学动手及简洁实例,让同学充分体会反证法的数学思想,并学会简洁应用.3.情感态度与价值观通过反证法的学习,让同学形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。
提高同学推导、推理力量及思索问题和解决问题的力量，并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法。
二.教学重点：了解反证法的思索过程与特点.三.教学难点：正确理解、运用反证法.四.教学方法：多媒体帮助教学；小组合作探究，多元活动.教学过程：一、课前复习与思索：(1)请同学复习旧知，为本节课夯实基础：直接证明：是从命题的条件或结论动身，依据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。
常用的直接证明方法：综合法与分析法。
综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。
(2)让同学思索间接证明是什么它有哪些方法（学校所学）间接证明：不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。
反证法就是一种常用的间接证明方法。
二、探究新知：同学们对反证法的学习已经有了一些熟悉，而反证法引出冲突没有固定的模式，需要仔细观看、分析，洞察冲突。
三、老师点拨：反证法的方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而确定原命题真实.四、同学练习及检测,老师评价1、2、【课堂回顾】同学们，本节课前有关小球染色的问题应当可以找到答案了，那就是用反证法来证明.你能证明白吗请同学们课后乐观思索与实践.五、课后思索:A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎.则C必定是在撒谎，为什么分析:假设C没有撒谎,则C话为真那么A话为假且B话为假;由A话为假,知B话为真.这与B话为假冲突.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.六、布置作业：课本67页习题3-4：(3)、(4)附：反证法一、概念：四、反证法适用：二、步骤：五、应用举例：三、归谬冲突：六、小结：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.2.2 反证法
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）
2. 提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？
则O在AB的中垂线l上，O又在B C的中垂线m上，
即O是l与m的交点。
但∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)
∴过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.
二、讲授新课：
1. 教学反证法概念及步骤：
①练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么b
a>
②提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.
证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→从假设出发，经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
注：结合准备题分析以上知识.
2. 教学例题：
①出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
分析：如何否定结论？→如何从假设出发进行推理？→得到怎样的矛盾？
与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结O P，
则由垂径定理：O P⊥AB，O P⊥CD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P
平分.
② 出示例2：. （ 同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为/m n ）
/m n （m ,n 为互质正整数），
从而：2(/)3m n =，223m n =，可见m 是3的倍数.
设m =3p （p 是正整数），则 22239n m p ==，可见n 也是3的倍数.
这样，m , n 就不是互质的正整数（矛盾）. /m n .
③ 练习：如果1a +为无理数，求证a 是无理数.
提示：假设a 为有理数，则a 可表示为/p q （,p q 为整数），即/a p q =.
由1()/a p q q +=+，则1a +也是有理数，这与已知矛盾. ∴ a 是无理数.
3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）
三、巩固练习： 1. 练习：教材P 54 1、2题 2. 作业：教材P 54 A 组3题.。