人教版数学高二A版选修4-4反证法教案

2.2.2 反证法

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.

教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.

教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.

教学过程：

一、复习准备：

1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）

2. 提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？

则O在AB的中垂线l上，O又在B C的中垂线m上，

即O是l与m的交点。

但∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)

∴过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.

二、讲授新课：

1. 教学反证法概念及步骤：

①练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么b

a>

②提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.

证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→从假设出发，经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立

应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.

方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.

注：结合准备题分析以上知识.

2. 教学例题：

①出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.

分析：如何否定结论？→如何从假设出发进行推理？→得到怎样的矛盾？

与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结O P，

则由垂径定理：O P⊥AB，O P⊥CD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P

平分.

② 出示例2：. （ 同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为/m n ）

/m n （m ,n 为互质正整数），

从而：2(/)3m n =，223m n =，可见m 是3的倍数.

设m =3p （p 是正整数），则 22239n m p ==，可见n 也是3的倍数.

这样，m , n 就不是互质的正整数（矛盾）. /m n .

③ 练习：如果1a +为无理数，求证a 是无理数.

提示：假设a 为有理数，则a 可表示为/p q （,p q 为整数），即/a p q =.

由1()/a p q q +=+，则1a +也是有理数，这与已知矛盾. ∴ a 是无理数.

3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）

三、巩固练习： 1. 练习：教材P 54 1、2题 2. 作业：教材P 54 A 组3题.