复变函数习题集

第一章 复数与复变函数

一、 判断题

（8）平面点集2=z 是单联通区域。

（9）如果z 不是实数，则z a z a rg rg -=。

二、 选择题

1．当)3

1sin()31cos()65sin()65cos(ππππi i z ++=时，7425623572009z z z z +++--的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）0 （D ）1

2．一个复数乘以i -，则( )

（A ）复数的模不变，辐角减少π/2。

（B ）复数的模不变，辐角增加π/2。

（C ）复数的模增加，辐角减少π/2。

（D ）复数的模减少，辐角增加π/2。

3.设复数z 满足3)2(π

=+z arc ，6

5)2(π=-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-

3 （C ）i 2321+- （D ）i 2123+- 4．复数)2

(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]2

3sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2

sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i

5．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=6,621且有1221=-z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ）

（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线

６．．一个向量顺时针旋转3

π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）

（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

7．设z 为复数，则方程组⎩

⎨⎧-=++=-i iz z i i z z 34)1(22121的解是（ ） （A ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=i z i z 51756565321 （B ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=i z i z 51756565321 （C ）⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-=+-=i z i z 51756565321

（D ）⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-=--=i z i z 51756565321

8．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）

（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周

（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周

9．下列方程所表示的平面点集中，为有界区域的是（ ）

（A ）21

1>+-z z （B ）433>--+z z （C ）0Im ,2Re 1=<>-+++c c a a z a z a z z

10．设C z ∈且1≤z ，a 为复数，则函数||)(a z z f n +=的最大值为（ ）

（A ）||1a + （B ）1 （C ）2 （D ）|1|a +

三、填空题

1．设i

i i z 2)52)(43(-+=，则=z Im 2．设i i z --=

12，则=z arg

4．设43)arg(,5π=

-=i z z ，则=z

６．不等式1222<++-z z 所表示的区域是 连通区域 ７．方程1)1(212=----z

i i z 所表示曲线的直角坐标方程为 ８．不等式10,|11|

<<>+-a a z z 所表示的区域是圆的 部。 四、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．

五、设21,z z 是两个复数且满足2121,z z z z +都是负实数，证明21,z z 必为实数。

六、设复数,1||=z ，试证2

1]11Re[=-z . 七、试证非零复数21,z z 满足2121z z z z +=+的充要条件是他们有相同的辅角.

八、设iy x z +=，试证y x z y

x +≤≤+2.

九．指出下列各题中点z 的存在范围，是否区域，若是，指出是有界区域还是无界区域，单联通还是多连通的。

（1）12Im -z （3）1||0<

z arg 1

（5）|1|4|1|+<-z z （6）6|2||2|<++-z z

（7）1Re |1|+=-z z （8）3)Re(=iz 答案

一、√，√，⨯，⨯，⨯，⨯，√，⨯，√

二、(1) C (2)A (3)A (4)D (5)C (6)A (7)B (8)C (9)A (10)A

三、1．13- 2。π43- 3。)21

4()2

14cos(2--ππi e 4。i 21+- 5。4 6。单 7。122=+y x 8。 外 四、]25,25[+-（或25225+≤+≤-z ）． 九、(1)直线2

1=y 的左边，无界单联通区域。 （2）以1为心，以2为心的圆的外部，无界多连通区域 （3）以原点为心的去心单位圆，有界多连通区域。 （4）角形域，无界单联通区

域. （5）圆222)158()1517(=++y x 的外部，无界多连通区域 （6）椭圆15

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2=+y x 的内部，有界单联通区域。 （7）圆抛物线x y 42=，不是区域. （8）直线3-=x 不是区域.