线代强化 第五章 题目

1、求矩阵A=

213

426

639

⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

的特征值与特征向量。

2、设A =T

αβ，其中,αβ为n 维非0向量， 1212(,,...,),(,,...,)T T n n a a a b b b αβ==且0T

αβ≠ (1)求A 的特征值。

(2)求作可及矩阵P ，使得

1P AP -为对角矩阵。

3、已知a≠0，求矩阵A=

1

1

1

a a

a a

a a

⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

的特征值与特征向量。

4、已知A 是3阶矩阵，如果非齐次线性方程组A x=b 有通解5b +1k 1η+22k η，求A

的特征值和特征向量。 答案：特征值1231,05

λλλ===对应的特征向量分别为1122,kb k k ηη+，（120,,k k k ≠不全为0）。

5、设A 是3阶矩阵，123,,ααα是3维线性无关的列向量，且1123212332,36,0A A A ααααααααα=-+=+-=

（1）求矩阵A 的特征值和特征向量

答案：特征值1232,0λλλ===

对应的特征向量

分别为11232(2),k k αααα+-，（12,0k k ≠）。

（2）求行列式A E +

答案：9。

1、（2003,4）设矩阵B=

001

010

100

⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

已知矩阵A相似于B，则秩（A-2E）

与秩（A-E）之和等于

（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

2、已知矩阵A=

13

143

125

a-

⎡⎤

⎢⎥

--

⎢⎥

-

⎢⎥

⎣⎦

的特征值有重根，判断矩阵A能否相似对角

化，并说明理由。

1、（1999,1）设矩阵A=15310a c b c a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦，其行列式A =-1，又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ，*A 的属于0λ的一个特征向量为α=[1,1,1]T --,求0,,,a b c λ的值。

答案：02,3,1a c b λ===-=。

2、（2000,4）设矩阵A=1114335x y -⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦

，已知A 有三个线性无关的特征向量，2λ=是A 的二重特征值，试求可逆矩阵P ,使得1P AP -为对角形矩阵。

答案:111102013P -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

。

1、（1995,4）设三阶矩阵A 满足(1,2,3)i i A i i αα==，其中列向量[][][]1231,2,2,2,2,1,2,1,2T T T ααα==-=--,试求矩阵A. 答案：70210523226A -⎡⎤

⎢⎥

=-⎢⎥--⎢⎥⎣⎦

。

λ=-的特征2、已知A是3阶实对称矩阵，特征值是1,1，-2，其中属于2

α=，求3A。

向量是(1,0,1)T

1、设A=

324

262

423

--

⎡⎤

⎢⎥

--

⎢⎥

--

⎢⎥

⎣⎦

,求正交矩阵P使1

P AP

-=Λ

2、已知A 是三阶实对称矩阵，特征值是3,6,0-，3λ=的特征向量是 1[1,,1]T a α=，6λ=-的特征向量是2[,1,1]T a a α=+，求矩阵A

3、设A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且20AB B +=,其中B=100111⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦

（1）求矩阵A 的特征值特征向量

（2）求3A