2018届高三数学复习三角函数与反三角函数专题练习
2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编(理)附详解
2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形、选择题B • 305)的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数3 5A 在区间［-，—］上单调递增4 4 3B 在区间［―,］上单调递减45 3C 在区间［予‘专］上单调递增3D 在区间［厅,2 ］上单调递减7.【2018浙江卷5］函数y= 2|x|sin2x 的图象可能是1.【2018全国二卷 6】在厶ABC 中,C cos— 2，BC 1，AC 5，则 AB52.【2018全国二卷 10]若 f(x) cosxsinx 在［a, a ］是减函数，贝U a 的最大值是3.【2018全国三卷 4] 若sin1 … 3，则cos24. 5. 0, C . 【2018全国三卷9］ △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 2 2 2a ，b ，c ,若△ ABC 的面积为-— -，4【2018北京卷7］在平面直角坐标系中，记m 变化时，d 的最大值为d 为点P A. 1(COS 0 sin 0到直线x my 2 0的距离，当B. 2C. 3D.4C . . 296.【2018天津卷6］将函数y sin(2x1. 【2018全国一卷16】已知函数f x 2sinx sin2x ，则f x 的最小值是 _______________ .2.【2018 全国二卷 15】已知 sin a cos 3 1 , cos a sin 3 0，则 sin( a ® __________________ .3. 【2018全国三卷15】函数f x cos 3x n在0, n 的零点个数为6 ---------------------------------------------------4. 【2018北京卷11】设函数f (x ) =cos( x n ( 0),若f(x) f (n)对任意的实数x 都成立，则co的最小值为 _________ . 5.【2018江苏卷7】已知函数y sin(2x _______________________ )(--)的图象关于直线x -对称，则 的值是 ____________________ .2236. 【2018江苏卷13】在厶ABC 中，角A, B,C 所对的边分别为a,b,c , ABC 120 , ABC 的平分线 交AC 于点D ，且BD 1，则4a c 的最小值为 _________ .7. 【2018浙江卷13】在厶ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c •若a= 7，b=2, A=60°，贝U sin B= _________ , c= _________.、填空题B .三.解答题1. [2018 全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，ADC 90°, A 45°, AB 2 , BD 5.12. 【2018 北京卷15】在厶ABC 中，a=7, b=8, cosB=—.(△)求/ A ；(△)求AC边上的高.3. 【2018天津卷15】在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinAacos(B ). 6(I)求角B的大小；(II)设a=2, c=3,求b和sin(2A B)的值.4. 【2018江苏卷16】已知，为锐角‘tan 3 ,迹()舟.(1)求cos2的值；(2)求tan( )的值.5. 【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN (P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD，大棚U内的地块形状为△ CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为.(1)用分别表示矩形ABCD和厶CDP的面积，并确定sin的取值范围；(2)若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚U内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4 ：3 .求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.6. 【2018浙江卷18】已知角a的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P345'(I)求sin (a + n 的值; (U)若角B满足sin (a+B=13，求cos B的值・7.【2018上海卷18】设常数a R，函数f(x) a sin 2x c 22cos x(1)若f(x)为偶函数，求a的值; (2) 若〔匸〕1，求方程f(x) 1 .2在区间［，的解.参考答案、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D、填空题 1. 3.3223. 34.235. 7.3 ；37三•解答题 1.解: (1)在厶ABD中，由正弦定理得一BLsin AABsin ADB由题设知,5sin 452 sinADB，所以sin ADB -5由题设知, ADB 90，所以cos ADB 1225 5(2)由题设及(1) 知, cos BDC sin ADB 辽在△ BCD 中,5 由余弦定理得2 2 2BC BD DC 2 BD DC cos BDC 25 8 25. 所以BC 5.32.解：(1)在厶ABC 中,1 n _________________________________ 2—T cosB= —7 ,二 B €( — , n ，二 sinB= 1 cos B<3 7由正弦定理得—sin A bsin B8 -二=<3，二 sinA= £ . T B €( f ,sin A227•- A €( 0,亍)，(n )在厶ABC 中,■/ sinC=sin (A+B ) =sinAcosB+sinBcosA=—3 21 (-)71 4.3_ 3.3 2714女口图所示，在△ ABC 中sinC=g ,二 h=BC sinC = 7 3 弓BC14••• AC 边上的高为子.3.解：在厶ABC 中，由正弦定理— sin A—，可得 bsinA asinB sin B又由 bsinA acos(B n ),6得 as in B acos(B n ),6即sinB cos(B ，可得tanB 3 .又因为 B (0 ,可得(n)解：在△ ABC 中,由余弦定理及a =2, c=3, B =^,有 b 2 a 2 c 2 2accosB 7，故 b= J7 .由 bsin A acos(B —), 6可得sin A因为 a<c , 故cosA因此 sin 2 A 2sin AcosA2,cos2 A 2cos A所以，si n(2A B)sin 2Acos Bcos2 A sinB ^^3 73 3 3 2144.解：(1)因为tan4, tan 3汇，所以sin4c o s cos因为sin 22cos1，所以 2cos25，因此,cos222cos7 25(2)因为，为锐角，所以(0, n .又因为cos()寻，所以sin()厂曲( )害，因此tan( ) 2.因为tan -，所以tan232ta n 242 , 1 tan 7因此，tan( ) tan[2 ( )]；+；爲；：；(—5 2115•解：(1)连结PO并延长交MN于H,贝U PH丄MN , 所以OH=10.过O作OE丄BC于E,贝U OE// MN，所以/ COE书故OE=4Ocos0, EC=40sin B,则矩形ABCD 的面积为2X40cos((40sin 0 +10=800(4sin 0 cos 0 +cOs B △ CDP的面积为 1 x 2X 40co(40 - 40sin) 0=1600 (cos 0 - sin 0)cos 0过N作GN丄MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10 .令/GOK=0,则sin0=4 2(0, n)・当濮[0, n)时，才能作出满足条件的矩形所以sin(的取值范围是[〔，1).4答：矩形ABCD的面积为800 (4sin 0 cos 0 +cQs平方米，△ CDP的面积为1600 (cos 0 - sin 0)cos0n 的取值范围是[1 , 1).4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 : 3,设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k (k>0).则年总产值为4k X 800(4sin 0 cos 0 +cbs+Bk x 1600( cos 0 - sin 0 cos 0=8000k (sin 0 cos 0 +)s [ 0, n)2设 f ( 0) =sin 0 cos 0 +cos 0€ [ 0, n),2则f'( ) cos2sin2 sin (2sin2 sin 1) (2sin 1)(sin 1).令 f'( )=0，得 B =,6当9€( (0, n 时，f '( )>0，所以f (0)为增函数;6当0€(J ,匸)时，f '( )<0 ,所以f (0)为减函数,6 2因此，当0=时，f ((取到最大值.6答：当吧时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大•［来源:学§科§网］,］时，即2x(U)由角的终边过点 P( 3,得cos35 55由 sin() —得 cos( )121313由( )得coscos()cossin( )s in,5616所以cos或cos6565 .解：(1) f(x ； )asin 2x2 cos 2 x 1 1 =asi n2x cos2x 1 ,6. ( I)由角的终边过点P(4)得 sin 5所以sin( 冗)sin -5f ( x) a sin(当f (x)为偶函数时：f (x)f( x)，则 a a，解得a 0 o2(2) f ( ) a sin 2 cos —,424由题意f (一)a 13 1 ,4、.3sin 2x 2cos 2 xa .3 , f (x) 3sin2x cos2x1 2sin(2x6)1,令 f (x) 1血，则2sin 2x1151319解得：x ,2424，24或x248. 解: (1) f(x)asin 2x c 22cos x 1 1 = asin2x cos2x 1 , f( x) a sin( 2x)cos(2x)1asin2x cos2x 1当f(x)为偶函数时:f(x)f( x)，则a a，解得a 0。
2018年高考理科数学三角函数100题(含答案解析)
2018年高考理科数学三角函数100题（含答案解析）1.己知x 0=﹣是函数f （x ）=sin （2x+φ）的一个极小值点，则f （x ）的一个单调递减区间是（ ）A ．（，）B ．（，）C ．（，π）D ．（，π）2.已知△ABC 是钝角三角形，若AC=1，BC=2，且△ABC 的面积为，则AB=（ ）A ．B ．C ．D ．33.已知1(,2)2P 是函数()sin()(0)f x A x ωϕω=+>图象的一个最高点,,B C 是与P 相邻的两个最低点．若7cos 25BPC ∠=，则()f x 的图象对称中心可以是 （A ）()0,0 （B ）()1,0 （C ） ()2,0 （D ）()3,0 4.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当2π3x =时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）． A ．(2)(2)(0)f f f <-< B ．(0)(2)(2)f f f <<- C ．(2)(0)(2)f f f -<<D ．(2)(0)(2)f f f <<-5.设函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，下面结论中正确的是（ ）．A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象C 向右平移π2个单位后关于原点对称 D ．函数()f x 的区间ππ,122⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数6.已知函数π()sin (0)4f x x ωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭+的最小正周期为π，刚该函数的图象（ ）．A ．关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于直线π8x =对称 C ．关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．关于直线π4x =对称 7.为了得到函数sin cos y x x =+的图像，只需把sin cos y x x =-的图像上所有的点（ ）． A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度 8.已知(0,π)α∈，3cos 5α=-，则tan α=（ ）．A ．34B ．34-C ．43D ．43-9.已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭图象如图所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）．A ．对称轴方程是ππ()6x k k =+∈Z B ．对称中心坐标是ππ,0()3k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z C ．在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．在区间2ππ,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增10.设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △的形状为（ ）．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定11.要得到函数πsin 43y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）．A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位 12.将函数cos y x =的图像上所有的点向右平行移动π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）． A ．1πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．1πcos 212y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D πcos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭13.函数y=cos 2(x ﹣6π)的一条对称轴为（ ） A ．x=﹣6π B ．x=125π C ． x=3π D ．x=﹣3π 14.在锐角△ABC 中，∠A=，∠BAC 的平分线交边BC 于点D ，|AD|=1，则△ABC 面积的取值范围是（ ）A ．[，]B ．[，] C ．[，）D ．[，）15.已知函数，则f （x ）的值域是（ ）A ．[﹣1，1]B ．C ．D ．16.已知，且，则tan α=（ ）A ．B ．C ．D ．17.函数y=xcosx+sinx 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．18.已知函数f （x ）=Acos （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f （1）的值为（ ）A ．B ．C ．D ．19.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且，B=45°，面积S=3，则b 的值为（ ）A ．6B ．26C ．D ．20.已知角α的终边过点P （﹣8m ，﹣6sin30°），且cos α=﹣，则m 的值为（ ）A ．﹣B ．C ．﹣D ．21.已知实数a=cos 224°﹣sin 224°，b=1﹣2sin 225°，c= ︒-︒23tan 123tan 22，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＞a ＞cB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a22.要得到y=sinx•cosx ﹣cos 2x+21的图象，只需将函数y=22sin2x 的图象（ ）A ．左移4πB ．右移4π C ．左移8π D ．右移8π 23.已知θ∈（，π），sin θ=，则sin （θ+）等于（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣24.若函数f （x ）=sin ωx+cos （ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则f （x ）在[0，]上的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．25.已知cos （+α）=，则α∈（，），则sin2α=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．26.已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则函数f（x ）的解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．27.设a=（sin17°+cos17°），b=2cos 213°﹣1，c=，则（ ）A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c28.已知 f（sinx）=x，且，则的值等于（）A．B．C．D．29.已知tanα=，α∈（π，π），则cosα的值是（）A．±B．C．﹣D．30.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x﹣1）=0，且在[﹣5，﹣4]上是增函数，A，B 是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinA）＞f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f（cosA）＞f（cosB）31.cos（﹣585°）的值为（）A．B．C．D．32.已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数33.已知θ是第四象限角，且，则cos θ= ．34.已知x 1，x 2是函数f （x ）=2sin2x+cos2x ﹣m 在[0，]内的两个零点，则sin （x 1+x 2）= ． 35.在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点1(2，则πcos()3θ+=________. 36.复数1cos i z θ=-，2sin i z θ=-，则12z z 实部的最大值__________，虚部的最大值__________． 37.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a =4c =，60A =︒，则b =__________． 38.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若4c =，sin 2sin C A =，sin B ，则a =__________，ABC S =△__________． 39.已知AOB △为等腰直角三角形，1OA =，OC 为斜边的高．C BAOP（1）若P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅=__________．（2）若P 为线段OC 上的动点，则AP OP ⋅的取值范围为__________． 40.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______．41.点P 从(0,1) 出发，沿单位圆逆时针方向运动23π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 . 42.在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________． 43.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角B 均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=，则sin B =__________，cos()αβ-=__________．44.在ABC △中，cos c a B =，①A =__________；②若1sin 3C =，则cos(π)B +=__________．45.已知α∈（，π），sin α=，则tan= ．46.在△ABC 中，，AB=2，且△ABC 的面积为，则边BC 的长为 ．47.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若==，则sinB= ． 48.若sin(α﹣3π)=51，α∈(0，2π)，则cosα= ． 49.已知△ABC 中，AB=3，BC=1，sinC=3cosC ，则△ABC 的面积为 ． 50.已知函数的图象为C ，关于函数f （x ）及其图象的判断如下：①图象C 关于直线x=对称；②图象C 关于点对称；③由y=3sin2x 得图象向左平移个单位长度可以得到图象C ；④函数f （x ）在区间（﹣）内是增函数；⑤函数|f （x ）+1|的最小正周期为π．其中正确的结论序号是 ．（把你认为正确的结论序号都填上） 51.将函数的图象上所有点的横坐标向 平移 个单位，可得函数y=sin2x 的图象． 52.已知sin α=，α∈（0，），则cos （π﹣α）= ，cos2α= ．53.已知函数y=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜2π）． ①若f （0）=1，则φ= ；②若∃x ∈R ，使f （x+2）﹣f （x ）=4成立，则ω的最小值是 ． 54.设f(x)=sin 2x ﹣3cosxcos(x+2π)，则f （x ）在[0，2π]上的单调递增区间为 ． 55.若函数f(x)=sin(ωπx －6π)(ω＞0)的最小正周期为51，则f(31)的值为 ．56.已知△ABC 中，角C 为直角，D 是BC 边上一点，M 是AD 上一点，且|CD|=1，∠DBM=∠DMB=∠CAB ，则|MA|= ． 57.已知函数．（1）求函数f （x ）的最小正周期和对称轴；（2）将函数f （x ）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移个单位，得函数g （x ）的图象．若a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a+c=6，且g （B ）=0，求b 的取值范围． 58.已知函数．（1）求f （x ）的最小正周期；（2）当时，f （x ）的最小值为2，求a 的值．59.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知acosAcosB ﹣bsin 2A ﹣ccosA=2bcosB ． （1）求B ；（2）若，求a ．60.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知()sin sin sin a b A c C b B -=-．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若ABC ∆的周长为6，求ABC ∆的面积的最大值． 61.在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．角π6A =，(12c b +=． （1）求角C 的值．（2）若1CA CB ⋅=a 、b 、c 的值． 62.已知向量(sin ,2)a x =-，(1,cos )b x =互相垂直，其中π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求sin x ，cos x 的值．（2）若5cos()x θθ-=，π02θ<<，求cos θ的值． 63.函数π()cos(π)02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出ϕ及图中0x 的值．（Ⅱ）设1()()3g x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．64.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan 21tan A cB b+=． Ⅰ求角A 的大小．Ⅱ若函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，在x B =处取到最大值a ，求ABC △的面积．65.在ABC△1cos2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值． （Ⅱ）若2BC =，π4A =，求ABC △的面积． 66.在锐角ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B，C 2sin 0b A -=． （Ⅰ）求角B 的大小．（Ⅱ）若5a c +=，且ac >，b =AB AC ⋅的值． 67.己知函数2()cos sin 1f x x x =--+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值． （Ⅱ）若5()16f α=，求cos2α的值． 68.如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，π4CAD ∠=，72AC =，cos ADB ∠=CB AD（Ⅰ）求sin C ∠的值．（Ⅱ）若5BD =，求ABD △的面积． 69.已知函数2()sin(π2)f x x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期． （Ⅱ）求函数()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．（Ⅲ）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间．70.如图，在△ABC 中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB 和BC 的长．（结果用θ表示）； （2）当AB+BC=6时，试判断△ABC 的形状．71.在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设π3A =，sin 3sinBC =．（Ⅰ）若a ，求b 的值． （Ⅱ）求tan C 的值． 72.已知函数2π()2sin cos 22f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求π8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间． 73.已知函数2()cos 2cos 222x x xf x =-．（I ）求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．（II ）求函数()f x 的单调递减区间及对称轴方程． 74.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a =sin C A ． （1）求边c 的值．（2）若cos C ABC △的面积． 75.已知函数π()sin 2cos 26f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（1）求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．（2）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间． （3）求()f x 在区间7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．76.已知在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，60A =︒，32b c =，ABC S =△． （Ⅰ）求b 的值． （Ⅱ）求sin B 的值． 77.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始作边两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B ． （Ⅰ）求tan()αβ+的值． （Ⅱ）求2+αβ的值．78.已知函数π()sin sin3f x x x⎛⎫=--⎪⎝⎭．（Ⅰ）求π6f⎛⎫ ⎪⎝⎭．（Ⅱ）求()f x的单调增区间．79.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c(3sinB+cosB)=a+b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a=5，△ABC的面积为53，求sinB的值．80.B试题分析：发菜属于蓝藻，虽然没有叶绿体但含有藻蓝素和叶绿素，能进行光合作用；A 错误。
2018版高考数学全国理科专题复习：专题4 三角函数、解
一、选择题1．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5等于( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－433.已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2一个周期内的图象上的五个点，如图，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π64．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形5．(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．5二、填空题6．已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________ cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm 2.7．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 8．若cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则β＝________. 9.如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217 s ．在A 地测得该仪器至最高点H 时的仰角为30°，则该仪器的垂直弹射高度CH ＝________ m ．(声音在空气中的传播速度为340 m/s)三、解答题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A －sin C (cos B ＋33sin B )＝0.(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值．答案精析1．C cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.]2．C ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.]3．A 因为A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12， 所以T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，所以ω＝2. 因为A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，所以0＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ， 所以－π3＋φ＝2k π，k ∈Z ，解得φ＝π3＋2k π，k ∈Z .又因为0<φ<π2，所以φ＝π3.故选A.]4．B 由正弦定理，得2sin A cos B ＝sin C . 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 整理得sin A cos B ＝cos A sin B ， ∴tan A ＝tan B .又∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B . ∵sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，∴sin A sin B ⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2C 2＝sin 2C 2＋12， ∴sin A sin B ⎝⎛⎭⎫1＋2sin 2C 2＝12⎝⎛⎭⎫1＋2sin 2C 2， ∴sin A sin B ＝12.∵A ＝B ，∴sin A ＝sin B ＝22. ∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B ＝π4.∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π2，∴△ABC 是等腰直角三角形．]5．B 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT ， 即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调， 所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.]6．1 2 1解析 设扇形的圆心角为α，半径为r cm ，则2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r －2，∴S 扇形＝12|α|·r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2＋1，∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2.7.782 解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又∵y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x － 2(1－sin 2x )＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.8.π3解析 ∵cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝437.又∵cos(α＋β)＝－1114，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin(α＋β)＝5314，∴cos β＝cos(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝12.又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴β∈(0，π)，∴β＝π3.9．140 3解析 由题意，设AC ＝x m ，则BC ＝x －217×340＝(x －40) m ．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ，即(x －40)2＝10 000＋x 2－100x ，解得x ＝420. 在△ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°，∠ACH ＝90°，所以CH ＝AC ·tan ∠CAH ＝1403(m)． 故该仪器的垂直弹射高度CH 为140 3 m. 10．解 (1)由题意得，∵A ＋B ＋C ＝π， ∴sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )， ∴sin B cos C ＋sin C cos B －sin C cos B －33sin B sin C ＝0， 即sin B (cos C －33sin C )＝0， ∵0<B <π，∴sin B ≠0，∴tan C ＝3， 又0<C <π，故C ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12ab ×32＝3，∴ab ＝4，又c ＝2，由余弦定理得a 2＋b 2－2ab ×(12)＝4，∴a 2＋b 2＝8.则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，a 2＋b 2＝8， 解得a ＝2，b ＝2.。
2018届高考数学(文)二轮专题复习习题：第1部分 专题三 三角函数及解三角形 1-3-1 Word版含答案
限时规范训练八 三角函数图象与性质 限时45分钟，实际用时________ 分值81分，实际得分________一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2016·高考山东卷)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π解析：通解：选B.由题意得f (x )＝3sin x cos x －3sin 2x ＋3cos 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B. 优解：由题意得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6×2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.2．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：选C.令f (x )＝sin 2x1－cos x，∵f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，∴排除选项A ，D.由1－cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z )， 故函数f (x )的定义域关于原点对称． 又∵f (－x )＝－2x 1－－x ＝－sin 2x1－cos x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，∴排除选项B.故选C.3．(2016·高考北京卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3解析：选A.因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.又P ′⎝⎛⎭⎪⎫π4－s ，12在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以12＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝2k π＋π6或2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝2k π＋5π6，k ∈Z ，得s ＝－k π＋π6或s ＝－k π－π6，k ∈Z .又s ＞0，故s 的最小值为π6.故选A.4．(2017·高考天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A.∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎪⎫118π－58π＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×58π＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z .又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A.5．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4(x ∈R )的图象为C ，则下列表述正确的是( ) A ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0是C 的一个对称中心B ．直线x ＝π2是C 的一条对称轴C ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是C 的一个对称中心 D ．直线x ＝π8是C 的一条对称轴解析：选D.令2x ＋π4＝k π，k ∈Z 得x ＝－π8＋k π2，k ∈Z ，所以函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋k π2，0，k ∈Z ，排除A 、C.令2x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，所以函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的对称轴为x ＝π8＋k π2，k∈Z ，排除B ，故选D.6．函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值为( )A ．2(2＋1)B ．3 2C ．6 2D ．－ 2解析：选A.由函数图象可得，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，∴f (x )是周期为8的周期函数． 而2 019＝8×252＋3，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2＋2＋2＝2(2＋1)．二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．解析：y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间为：2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2，即2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6k ∈Z 与x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的交集，所以单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π68．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.若y ＝f (x －φ)⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2是偶函数，则φ＝________.解析：利用偶函数定义求解．y ＝f (x －φ)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －φ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π6是偶函数，所以－2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得φ＝－π6－k π2，k ∈Z .又0＜φ＜π2，所以k ＝－1，φ＝π3.答案：π39．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω＞0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，ω＞0的图象向左平移π4个单位后得到图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx ＋ω－π4，ω＞0，向右平移π4个单位后得到图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx －ω＋π4，ω＞0.因为平移后的对称轴重合，所以ωx ＋ω－π4＝ωx －ω＋π4＋k π，k ∈Z ，化简得ω＝2k ，k ∈Z ，又ω＞0，所以ω的最小值为2.答案：2三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34.所以，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 11．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0. 12．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的单调递增区间．解：(1)由题图知，最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT ＝2.因为点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0在函数图象上，所以A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝0， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝0.又0＜φ＜π2，所以5π6＜5π6＋φ＜4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，得A ＝2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝2sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin 2x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .。
最新-福建省2018高考数学总复习专题训练：三角函数 精
三角函数专题1．已知在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 若cos sin cos .cos A bC A B a==且 （1）求角A 、B 、C 的大小（2）设函数2()sin(2)cos(2),f x x A x c=++-求函数()f x 的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。
2.（本题满分12分）已知向量2(2cos (1,sin 2)x x ==a b ，函数()f x =⋅a b . （I ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（II ）在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且()3f C =，1c =，ab =a b >，求,a b 的值.3.已知向量2(cos ,1),(3sin ,cos )222x x x m n =-=，设函数()f x m n =∙＋1 （1）若[0,]2x π∈， 11()10f x =,求cos x 的值；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足2cos 2b A c ≤，求()f x 的取值范围．4．（12分）已知函数f （x ）＝sin ωx ωx ＋sin ωx ）＋12（ω∈R ，x ∈R ）最小正周期为π，且图象关于直线x ＝76π对称． （1）求f （x ）的最大值及对应的x 的集合；（2）若直线y ＝a 与函数y ＝1－f （x ），x ∈［0，2π］的图象有且只有一个公共点，求实数a 的范围． 5. (本小题满分12分)已知向量21444x x xm ,),n (cos ,cos )==．记f (x )m n = (I)若32f ()α=，求23cos()πα-的值； (Ⅱ)在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a —c)cos B=b cosC ， 若12f (A )+=，试判断∆ABC 的形状． 6.（本小题满分12分）已知函数)(,21cos 2sin 23)(2R x x x x f ∈--=（1）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈125,12ππx 时，求函数)(x f 的最小值和最大值；（2）设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且0)(,3==C f c ，若向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线，求b a ,的值．12.解析：（1）2()2cos 2f x a b x x =⋅=cos 2122sin(2)16x x x π=++=++………………3分 ∴f(x)的最小正周期22T ππ==………………4分令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈∴f(x)的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈ (6)分 （2）由（1）及f(C)=3得2sin(2)13,sin(2)166C C ππ++=∴+=C 是三角形的内角，132(,),266662C C πππππ∴+∈∴+=，即6C π=.222cosb ac C ab +-∴==，而c=1，227ab a b =∴+=……………10分结合ab =23a =或4，这时24b =或3，又a>b ，224,3a b ∴==，即2,a b ==……………12分3．21cos 161()cos cos 112222111cos sin()2262x x x xf x x x x x π+=-+=-+=-+=-+、解：（）…3分∵11()10f x =,∴3sin()65x π-=；又∵[0,]2x π∈，∴[,]663x πππ-∈-，即4co s ()65x π-= 3cos cos[()]cos()cos sin()sin 6666661010xx x x ππππππ∴=-+=---=- …6分22bcosA 2c 2sin cos 2sin 2sin cos 2sin()2sin cos 2[sin cos cos sin ]2sin cos cos (0,]6B A c A B A A B AB A A B A B A A B A B B π≤≤⇒≤+⇒≤+-⇒≥⇒≥⇒∈（）由－得：…10分 ∴1sin()(,0]62B π-∈-，即11()sin()()(0,]622f B B f Bπ=-+⇒∈…12分 4、解：1cos 21222x x ωω-++ =12cos 2122x x ωω-+…………………………2分=sin(2)16x πω-+ T=21|2|πωω⇒=±………………3分 若ω=1 ， ()sin(2)16f x x π=-+此时76x π=不是对称轴………4分 若ω=-1 ，()sin(2)11sin(2)66f x x x ππ=--+=-+此时76x π=是对称轴…5分 )(x f ∴最大值为2.此时2x+6π=2k π-2π⇒x=k π-3π,k ∈Z……………………6分 (2) 1()sin(2),062y f x x x ππ=-=+≤≤,的图象与直线y=a 的图象有且只有一个公点11(0),()1,()2622f f f ππ===-…………9分 {}11,122a ⎡⎫∴∈-⋃⎪⎢⎣⎭……………………12分5.解：211()cos cos cos 4442222x x x x x f x =+=++1sin 262x π⎛⎫=++⎪⎝⎭ …… 2分 （I ） 由已知32f ()α=得13sin 2622απ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，于是24,3k k παπ=+∈Z ， ∴ 22241333cos()cos k πππαπ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭……6分 （Ⅱ 根据正弦定理知：()2cos cos (2sin sin )cos sin cos a c B b C A C B B C -=⇒-=12sin cos sin()sin cos 23A B B C A B B π⇒=+=⇒=⇒=∵()f A =∴11sin 2622263A A πππ⎛⎫++=⇒+= ⎪⎝⎭或23π3A π⇒=或 π 而203A π<<，所以3A π=，因此∆ABC 为等边三角形.……………12分6.解:（1）1)62sin()(--=πx x f …………3分12512ππ≤≤-x32623πππ≤-≤-∴x ∴⇒≤-≤-1)62sin(23πx 01)62sin(231≤--≤--πx 则)(x f 的最小值是231--,最大值是0． ……………………6分 （2）01)22sin()(=--=πC c f ,则1)62sin(=-πC , 0,022C C ππ<<∴<<,611626πππ<-<-∴C , 26C π∴-=2π,3C π=, ……………………………………8分 向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线， ∴1sin 2sin AB =， …10分 由正弦定理得，21=b a ① 由余弦定理得，3cos2222πab b a c -+=，即322=-+ab b a ②由①②解得2,1==b a ． ……………………………………………12分 21.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=θθsin 21cos 2121y x （θ为参数）以曲线所在的直角坐标系的原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为)6,21(πM . （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）求过点M 且被曲线C 截得线段长最小时的直线直角坐标方程. 21.选修4-5：不等式选讲设函数()|1|||,f x x x a a R =-+-∈. （1） 当4a =时，求不等式()5f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥对x R ∈恒成立，求a 的取值范围. 21.解:（I ）曲线C 的直角坐标方程为41)21(22=+-y x 。
【高三数学试题精选】2018高考数学三角函数与解三角形二轮专题复习题(含答案)
2018高考数学三角函数与解三角形二轮专题复习题(含答
案)
5 c 专题升级训练三角函数的图象与性质
(时间60分钟满分100分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)
1已知函数f(x)=sin(x∈R),下面结论错误的是( )
A函数f(x)的最小正周期为2π
B函数f(x)在区间上是增函数
c函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D函数f(x)是奇函数
2(B
c-或-1D-
4要得到函数=sin 2x的图象,只需将函数=sin的图象( )
A向右平移个单位长度
B向左平移个单位长度
c向右平移个单位长度
D向左平移个单位长度
5函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别为( )
A2,0B2,
c2,-D2,
6已知函数f(x)=cs x+x,x∈,sin x0=,x0∈,那么下面命题中真命题的序号是( )
①f(x)的最大值为f(x0)
②f(x)的最小值为f(x0)
③f(x)在上是增函数
④f(x)在上是增函数
A①③B①④。
2018届高三数学(理)一轮总复习练习-第三章三角函数、解三角形3-3Word版含答案
课时规范训练[A 级 基础演练]1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.16 B.13 C.12D ．23解析：选A.cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.选A. 2.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A.12 B ．32 C. 3D ． 2解析：选C.原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°sin 70°＝2（cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°）－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3．已知sin α＋cos α＝22，则1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析：选C.由sin α＋cos α＝22，得1＋2sin αcos α＝12， ∴sin 2α＝－12.因此1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin 2α＝－12.4．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为( ) A ．4 3 B ．833 C ．4D ．8解析：选 D.∵f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋cos x sin x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ＋cos x sin x ＝2×1cos x ·sin x ＝4sin 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sin π6＝8. 5．(2017·河北唐山一模)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( ) A ．－43 B ．43 C ．－43或0D ．43或0解析：选D.∵⎩⎨⎧2sin 2α＝1＋cos 2α，sin 22α＋cos 22α＝1， ∴⎩⎨⎧sin 2α＝0，cos 2α＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＝45，cos 2α＝35，∴tan 2α＝0或tan 2α＝43.6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝25，则sin 2α等于( )A ．－825 B ．825 C ．－1725D ．1725解析：选C.sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2 sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252－1＝－1725.7．化简1sin 10°－3cos 10°＝ ．解析：1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°·cos 10°＝－2sin （10°－30°）12sin 20°＝2sin 20°12sin 20°＝4.答案：48．已知sin α＋cos α＝12，则cos 4α＝ ．解析：∵sin α＋cos α＝12，∴(sin α＋cos α)2＝14，即sin 2α＝－34，∴cos 4α＝1－2 sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－18.答案：－189．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝335，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝ ．解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝335，∴cos αcos π6－sin αsin π6－sin α＝335， ∴32cos α－32sin α＝335，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝35. 答案：35[B 级 能力突破]1．(2017·河南省实验中学质检)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝17，那么sin α＋cos α的值为( )A ．－15 B ．75 C ．－75D ．34解析：选A.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝17>0，α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，则α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－152，所以sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－15，故选A. 2．已知sin 2(α＋γ)＝n sin 2β，则tan （α＋β＋γ）tan （α－β＋γ）的值为( )A.n －1n ＋1 B ．n n ＋1C.n n －1D ．n ＋1n －1解析：选 D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝n sin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n [sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n ＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n －1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以tan （α＋β＋γ）tan （α－β＋γ）＝n ＋1n －1，故选D.3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为 ．解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，∴tan x ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－tan π41＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·tan π4＝2－11＋2＝13；或由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2得tan x ＋tan π41－tan x ·tan π4＝2，得tan x ＝13.∴tan x tan 2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x ＝1－tan 2x 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1322＝49.答案：494．方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >2)的两根为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝ ．解析：依题意，得tan α＋tan β＝－3a <－6，tan αtan β＝3a ＋1>7，所以⎩⎨⎧tan α<0tan β<0，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以α＋β∈(－π，0)，又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3a1－（3a ＋1）＝1，且在(－π，0)上角与正切值一对一，所以α＋β＝－3π4.答案：－3π45．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.解：(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝A sin 3π4＝22A ＝322，所以A ＝3.(2)f (θ)－f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π3＝ 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π3＋cos θsin π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin θcos π3＋cos θsin π3 ＝6sin θcos π3＝3sin θ＝3， 所以sin θ＝33.又因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6.6．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x (x ∈R )，π4是函数f (x )的一个零点． (1)求a 的值，并求函数f (x )的单调递增区间；(2)若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝105，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋3π4＝355，求sin (α＋β)的值．解：(1)∵π4是函数f (x )的一个零点， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin π4＋a cos π4＝0， ∴a ＝－1，∴f (x )＝sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x －22cos x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.由2k π－π2≤x －π4<2k π＋π2(k ∈Z )得 2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z )．(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝105，∴2sin α＝105，∴sin α＝55.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝255.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋3π4＝355，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝355， ∴cos β＝31010.∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin β＝1－cos 2β＝1010，∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22.。
2018届高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练：第一部分 专题三 三角函数及解三角形 1-3-2 Word版含答案
限时规范训练九 三角恒等变换与解三角形限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则sin αcos α＝( )A ．－34B ．－310C ．－43D.43解析：选B.解法一：由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得2(sin α＋cos α)＝sin α－cos α，即tan α＝－3.又sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－310，故选B. 解法二：由题意得1＋2sin αcos α1－2sin αcos α＝14，即4＋8sin αcos α＝1－2sin αcos α ∴10sin αcos α＝－3 即sin αcos α＝－310，故选B.2．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( ) A ．－34B ．－14C.34 D.14解析：选B.∵a ⊥b ，∴a·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3 ＝23sin α＋6cos α－ 3 ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14. 3．在△ABC 中，若3cos 2A －B2＋5sin2A ＋B2＝4，则tan A ·tan B ＝( )A ．4B.14C ．－4D ．－14解析：选B.由条件得3×cos A －B ＋12＋5×cos C ＋12＝4，即3cos(A －B )＋5cos C ＝0，所以3cos(A －B )－5cos(A ＋B )＝0，所以3cos A cos B ＋3sin A sin B －5cos A cos B ＋5sin A sinB ＝0，即cos A cos B ＝4sin A sin B ，所以tan A ·tan B ＝sin A sin B cos A cos B ＝14.4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13D ．－79解析：选D.cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝2×19－1＝－79.5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B.由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.6．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b ，若a ＝1，3c －2b ＝1，则角B 为( )A.π4B.π6C.π3D.π12解析：选B.因为a cos C ＋32c ＝b ，所以sin A cos C ＋32·sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以32sin C ＝cos A sin C ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝32，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，知1＝b 2＋c 2－3bc ，联立⎩⎨⎧1＝b 2＋c 2－3bc ，3c －2b ＝1，解得c ＝3，b ＝1，由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝1×121＝12，∵b ＜c ，∴B ＜C ，则B ＝π6，故选B. 二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为334，a ＝3，B ＝π3，则b ＝________.解析：由题意可得S ＝12ac sin B ，解得c ＝1，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－3＝7，故b ＝7.答案：78．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝________.解析：∵tan(3π－x )＝tan(π－x )＝－tan x ＝2，故tan x ＝－2. 所以2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝－3.答案：－39．已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin α＋cos α的值为________．解析：由π2＜β＜α＜3π4知π＜α＋β＜3π2，⎩⎪⎨⎪⎧－3π4＜－β＜－π2π2＜α＜3π4⇒⎩⎪⎨⎪⎧－π4＜α－β＜π4α－β＞0⇒0＜α－β＜π4.根据已知得sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，所以sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝－5665，所以(sinα＋cos α)2＝1＋sin 2α＝1－5665＝965.因为π2＜α＜3π4，所以sin α＋cos α＞0，所以sin α＋cos α＝36565.答案：36565三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)得f (x )＝－12sin 4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25， 即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3 ＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310. 11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c . 由a －c ＝66b ，得a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64.(2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.12．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1, CD ＝3，cos B ＝33.(1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长． 解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos B ＝33， 所以cos D ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝－13.因为D ∈(0，π)， 所以sin D ＝1－cos 2D ＝223. 因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin D ＝12×1×3×223＝ 2.(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ＝12， 所以AC ＝2 3.因为BC ＝23，AC sin B ＝ABsin∠ACB， 所以23sin B ＝AB sin π－2B ＝AB sin 2B ＝AB 2sin B cos B ＝AB 233sin B ，所以AB ＝4.。
【高三数学试题精选】2018高考数学(文 )第三章 三角函数、解三角形一轮复习题有解析
2018高考数学(文 )第三章三角函数、解三角形一轮复习
题有解析
5 c 05限时规范特训
A级基础达标
1．[2018 诸城月考]集合{α|π＋π4≤α≤π＋π2，∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析当＝2n时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当＝2n＋1时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．答案c
2．[2018 福州质检]下列三角函数值的符号判断错误的是( )
A．sin165° 0 B．cs280° 0
c．tan170° 0 D．tan310° 0
解析165°是第二象限角，因此sin165° 0正确；280°是第四象限角，因此cs280° 0正确；170°是第二象限角，因此tan170° 0，故c错误；310°是第四象限角，因此tan310° 0正确．答案c
3．给出下列命题
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；
④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；
⑤若csθ 0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
c．3 D．4
解析由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；。
人教版2018最新高考数学二轮复习：三角函数专题Word版
高考数学二轮复习：三角函数的专题(附参考答案)本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。
下面尝试进行探讨一下：一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如：例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。
分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。
解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=-故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+= 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。
A ．m 2=nB ．m 2=12+nC ．n m 22=D ．22mn = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系：sin θcos θ=2121)cos (sin 22-=-+m θθ 而：n ctg tg ==+θθθθcos sin 1 故：1212122+=⇒=-nm n m ，选B 。
【高三数学试题精选】2018高考理科数学三角函数、解三角形总复习题(有答案)
2018高考理科数学三角函数、解三角形总复习题（有答案）
5 c
[A组基础演练能力提升]
一、选择题
1．点A(sin 2 013°，cs 2 013°)在直角坐标平面上位于( ) A．第一象限 B．第二象限 c．第三象限 D．第四象限
解析由2 013°＝360°×5＋(180°＋33°)可知，2 013°角的终边在第三象限，所以sin 2 013° 0，cs 2 013° 0，即点A位于第三象限．
答案c
2．已知扇形的半径为12 c，弧长为18 c，则扇形圆心角的弧度数是( )
A23 B32 c23π D32π
解析由题意知l＝|α|r，∴|α|＝lr＝1812＝32
答案B
3．已知角2α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点－12，32，2α∈[0,2π)，则tan α＝( )
A．－3 B3
c33 D．±33
解析由角2α的终边在第二象限，知tan α0，依题设知tan 2α＝－3，所以2α＝120°，得α＝60°，tan α＝3
答案B
4．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cs α≤0，sin α0，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,3] B．(－2,3)
c．[－2,3) D．[－2,3]
解析由cs α≤0，sin α 0可知，角α的终边落在第二象限内或轴的正半轴上，所以有3a－9≤0，a＋2 0，。
2018届高三数学(理)一轮总复习练习-第三章三角函数、解三角形3-4Word版含答案
课时规范训练[A 级 基础演练]1．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析：选C.∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选B.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．3．(2016·高考山东卷)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.32πD ．2π解析：选B.法一：由题意得f (x )＝3sin x cos x －3sin 2x ＋3cos 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 .故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.法二：由题意得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.4．(2016·高考全国甲卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )解析：选B.法一：将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )得，∴x ＝π6＋k2π.(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．法二：∵y ＝2sin 2x 的对称轴为x ＝π4＋k 2π，向左平移π12个单位后为x ＝π4－π12＋k 2π＝π6＋k2π，故选B. 5．(2017·长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋ф)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为 ．解析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2向左平移π6个单位后得到函数为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，因为此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．因为|φ|<π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x －π3＝－π3时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3有最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32. 答案：－326．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝ ． 解析：由已知条件可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，又由0≤x <2π得－π3≤x －π3<5π3，当x －π3＝π2时y 取得最大值，此时x ＝5π6.答案：5π67．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 ．解析：分析三角函数图象，根据最小值求k ，再求最大值．根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.答案：88．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为 ． 解析：利用正弦函数的对称性求周期． ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.答案：π9．(2016·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－38π，k π＋π8k ∈Z .10．已知函数y ＝f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＋a (x ∈R )，其中a 为常数． (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期；(2)如果y ＝f (x )的最小值为0，求a 的值，并求此时f (x )的最大值及图象的对称轴方程．解：(1)y ＝f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，所以函数的最小正周期T ＝π.(2)f (x )的最小值为0，所以－2＋a ＋1＝0，故a ＝1， 所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2的最大值等于4.当2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π6(k ∈Z )时函数有最大值或最小值， 故函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．[B 级 能力突破]1．同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上是增函数”的一个函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3解析：选C.对于A ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的最小正周期为4π，故排除A ；对于B ，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的最小正周期为4π，故排除B ；对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3时，2x ＋π3∈(0，π)，此时y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3单调递减，故排除D.选C.2．函数f (x )＝|sin x |＋2|cos x |的值域为( ) A ．[1， 5 ] B ．[1，2] C ．[2， 5 ]D ．[5，3]解析：选A.∵f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＋2|cos(x ＋π)|＝|－sin x |＋2|－cos x |＝|sin x |＋2|cos x |，∴f (x )为偶函数，f (x )为周期函数，其中的一个周期为π，故只需考虑f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域即可．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ＋2cos x ＝5sin(x ＋α)，其中cos α＝15，sin α＝25，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝5，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x ＋β)，其中cos β＝15， sin β＝－25，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝5，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，∴f (x )的值域为[1， 5 ]．3．(2017·江西南昌一模)如图，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )分别是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与两条直线l 1：y ＝m (A ≥m ≥0)，l 2：y ＝－m 的两个交点，记S (m )＝|x N －x M |，则S (m )的图象大致是( )解析：选C.如图所示，作曲线y ＝f (x )的对称轴x ＝x 1，x ＝x 2，点M 与点D 关于直线x ＝x 1对称，点N 与点C 关于直线x ＝x 2对称，所以x M ＋x D ＝2x 1，x C＋x N ＝2x 2，所以x D ＝2x 1－x M ，x C ＝2x 2－x N ，又点M 与点C 、点D 与点N 都关于点B 对称，所以x M ＋x C ＝2x B ，x D ＋x N ＝2x B ，所以x M ＋2x 2－x N ＝2x B ，2x 1－x M ＋x N ＝2x B ， 得x M －x N ＝2(x B －x 2)＝－T2， x N －x M ＝2(x B －x 1)＝T2，所以|x M －x N |＝T2(常数)，其中，T 为f (x )的周期，选C.4．设函数f (x )＝|cos x |＋|sin x |，下列四个结论正确的是 ． ①f (x )是奇函数；②f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称；③当x ∈[0，2π]时，f (x )∈[1，2]；④当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )单调递增．解析：对于①，f (－x )＝|cos(－x )|＋|sin(－x )|＝|cos x |＋|sin x |，∴f (－x )＝f (x )是偶函数，①不正确；对于②，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，因此函数f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，②正确；对于③④，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，因此函数f (x )是以π2为周期的函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝|sin x |＋|cos x |＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的值域是[1，2]，故当x ∈[0，2π]时，f (x )∈[1，2]，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2>1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上不是增函数，故③正确，④不正确．综上所述，其中正确的结论是②③.答案：②③5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω>0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间． 解：(1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －4×1－cos 2ωx 2＋2＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝3sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3(ω>0)， 根据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f (x )的最小正周期为2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋m ）＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π3的图象， 根据g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，可得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，因为m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6. 此时，g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z .结合x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12，可得g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12.。
(完整版)上海市2018届高三数学复习三角函数与反三角函数专题练习
三角函数与反三角函数一、填空题1. 函数 f ( ) cos(2)的最小正周期是.x x 62. 函数 y 2sin x cos x 的最大值为.3. 函数 f ( x) sin x 3 cos x 的对称中心的坐标为4. . 函数 y2 sin(2 x)3 的单一递加区间是.45. 函数 f ( x) sin xcos x的奇偶性为sin x cos x6. 已知函数 f (x) A cos(wx ) 的部分图像以下图，若 f ()2，则 f (0).237. 函数 f (x)sin(2 x4 )在区间 [0, ] 的最小值为.28. 方程 sin 2 x 3sin xcosx 4cos 2 x 0 的解集为.9. 函数 ycosx(x [, 3)) 的反函数是 . 210. 已知 w 0 ，函数 f ( x wx) 在 ( , ) 单一递加，则 w 的取值范围是 .) sin( 2411. 设 f ( x)cos(sin x) 与 g ( x) sin(cos x) ，以下结论：（ 1） f ( x) 与 g (x) 都是偶函数；（ 2） f ( x) 与 g (x) 都是周期函数；（ 3） f ( x) 与 g (x) 的定义域都是 [ 1,1] ；（4） f ( x) 的值域是 [cos1,1] ， g (x) 的值域是 [ sin1,sin1] ；此中不正确的选项是 .12. 1的图像与 函数 y2sin x( 2x4) 的图像全部 交点的横坐标之和等函数 yx 1于.二、选择题13. 以下函数中，最小正周期为 且图像对于原点对称的函数是（）A. ycos(2 x) B. y sin(2 x)C. ysin 2x cos 2xD. ysin x cos x2214. 要获得函数 y sin(4x ) 的图像，只要要将函数y sin 4x 的图像（ ）3A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位1212C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位3315. 设函数 y sin x 的定义域 [ a, b] ，值域为 [ 1,1] ，则以下结论中错误的选项是（）2A. b a 的最小值为2B. b a 的最大值为433C. a 不行能等于 2k, k ZD. b 不行能等于 2k,k Z6616. 假如若干个函数的图像经过平移后可以重合，则称这些函数“互为生成”函数，给出下列函数： （ 1 ） f ( x) sin x cos x ；（ 2 ） f (x)2(sin x cos x) ；（ 3 ） f (x)sin x ；（ 4 ）f ( x)2 sin x2 ，此中“互为生成”函数的是（）A. （ 1）（ 2）B. （2）（ 3）C.（ 1）（ 4）D. （ 3）（ 4）三、解答题17. 已知函数 f ( x)sin( x)sin x 3 cos 2 x2（1） 求 f ( x) 的最小正周期和最大值； （2）议论 f (x) 在 [2, ] 上的单一性6 318. 已知函数 f (x )3sin( wx)( w 0,2 ) 的图像对于直线 x 对称，且图像上相23邻两个最高点的距离为（1） 求 w 和 的值；（2） 若 f ( )3 ( 62 ) ，求 cos( 2) 的值24 3319. （ 1）求值： sin[ 1 arcsin( 3)] ；2 5（ 2）求值： sin(arcsin 1 arccos 1)2 3（ 3）判断函数 y 2arcsin x arccos( x) 的奇偶性，并说明原因20. 某同学用“五点法”画函数f ( x) A sin( wx )(w 0,| |) 在某一个周期内的图像时，2列入了部分数据，以下表：（1） 请将上表数据增补完好，并直接写出函数 f (x) 的分析式；（2） 将 y f ( x) 图像上全部点向左平行挪动( 0) 个单位长度，获得y g (x) 的图像，若 y g( x) 图像的一个对称中心为 (5 ，求 的最小值 .,0)1221. 已知对于x 的方程2sin x cos x m 在[0,2) 内有两个不一样的解,（1）务实数m的取值范围；（2）求cos() （用 m 表示）参照答案1.2. 53. (k ,0)34. [ k , k ]45.非奇非偶26.327.28. { x | x k或k arctan( 4)}49. y 2 arccosx( 1 x 0)10. (0, 1]411. （ 1）（ 2）（ 4） 12. 4 13. A. 14. B. 15. D.16. C.3 17. 答案：（1） T,max 12（ 2）当 x [, 5 ] ， f ( x) 为增函数；当 x [5 , 2] 时， f (x) 为减函数6 1212 3 18. 答案：（1） w 2,6（ 2） 3 15819. 答案：（1）1010（ 2）1 2 66（ 3）非奇非偶20. 答案：（1）填表略，( ) 5sin(2 x)f x6（ 2）621. 答案：（1） m 的取值范围是 (5,1) U (1, 5)2（ 2）2m15。
2018届高考数学复习-三角函数：(三)三角函数的图像与性质(解析版)
题型1：三角函数的周期与定义域 【典型例题】[例1]求下列函数的周期(1))321-sin(π+=x y ,(2))32-tan(π+=x y , (3))32(cos π+=x y ,(4)y ＝|tan 2x |.[例2](1)(2013浙江文)函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A.π,1 B.π,2 C.2π,1 D.2π,2【答案】A (2)(2015·怀化市监测)函数f (x )＝1－2sin 2x 的最小正周期是( ) A.12B.2C.2π D .π 【答案】D [∵f (x )＝cos 2x ,∴f (x )的最小正周期为2π|ω|＝π.](3)(2016浙江理)设函数2()sin sin f x x b x c =++,则f (x )的最小正周期 A.与b 有关,且与c 有关 B.与b 有关,但与c 无关 C.与b 无关,且与c 无关 D.与b 无关,但与c 有关 【答案】B[例3](1)函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为 ；【答案】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >09－x 2≥0, 得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3. ∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为 {x |－3≤x <－π2或0<x <π2}.(2)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为 ；【答案】(2)要使函数有意义,必须使sin x －cos x ≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]内y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象,在[0,2π]内,满 足sin x ＝cos x 的x 为π4,5π4,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以定义域为{x |2k π ＋π4≤x ≤2k π＋5π4,k ∈Z }.(3)(2015·绵阳市一诊)在(0,2π)内,使|sin x |≥cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π4，7π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，5π4 C.⎣⎡⎦⎤0，5π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤7π4，2π 【答案】A [当x ∈(0,π]时,不等式为sin x ≥cos x ,解得x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π；当x ∈(π,2π)时,不等式为－sin x ≥cos x 即sin x ＋cosx ≤0,解得x ∈⎝⎛⎦⎤π，7π4,综上得x ∈⎣⎡⎦⎤π4，7π4.] (4)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为为 .【答案】 A[令π4－x ≠k π＋π2,k ∈Z ,∴x ≠k π－π4,k ∈Z .]【变式训练】1.函数)31sin(+=x y π的最小正周期是 ；2.[2014·陕西]函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B.π C .2π D .4π答案：B [解析]T ＝2π2＝π.3.[2017全国II 文]函数)32sin()(π+=x x f 的最小正周期为A.4πB.2πC. πD.2π解析：ππωπ===222T 选C4.[2014·山东]函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________. 答案：π [解析]因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12,所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π . 5.(2016山东理)函数f (x )=(3sin x +cos x )(3cos x –sin x )的最小正周期是A.2πB.πC.23πD.2π 【答案】B6.函数y ＝cos x －12的定义域为( )A.⎣⎡⎦⎤－π3，π3B.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π3,k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3,k ∈Z D.R 答案 C解析 由题意得cos x ≥12,即2k π－π3≤x ≤2k π＋π3,k ∈Z ,故函数定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3,k ∈Z . 7.函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为 .[自主解答] 要使函数有意义,必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x >12，cos x ≤12，解得⎩⎨⎧π6＋2k π<x <5π6＋2k π，π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，(k ∈Z ),即π3＋2k π≤x ＜5π6＋2k π(k ∈Z ).故所求函数的定义域为⎣⎡⎭⎫π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z ). 8.[2014·课标Ⅰ]在函数①y ＝cos|2x |,②y ＝|cos x |,③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6,④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中,最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B.①③④C.②④D.①③答案：A [解析]函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ,其最小正周期为π,①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变,位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方,即可得到y ＝|cos x |的图像,所以其最小天正周期也为π,②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π,③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2,④不正确. 9.[2017天津理]设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A题型2：三角函数的最值与值域【典型例题】[例1]求下列函数的值域(1))2sin(3x y =,)321sin(2π+-=x y ；(2)函数)4(cos 3-2π+=x y 的最大值为 ,此时x 的值为 ；(3)函数)4(cos 3-2π+=x y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-44ππ,的值域；(4)函数5sin 4sin 2+-=x x y 的值域,(5)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值. 解析:令t ＝sin x ,∵|x |≤π4,∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54, ∴当t ＝12时,y max ＝54,t ＝－22时,y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最大值为54,最小值为1－22.[例2](1)[2014·全国]函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________.答案： 32 [解析]因为y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin x 2＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32,所以当sin x ＝12时函数y ＝cos 2x ＋2sin x 取得最大值,最大值为32.(2)(2016全国II 文)函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为( )A.4B.5C.6D.7 【答案】B(3)[2017全国III 文]函数f (x )= sin(x +3π)+cos(x −6π)的最大值为 A ．65B ．1C ．D ．【答案】A【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,函数的最大值为65.本题选择A 选项.(4)(2013江西文)设f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________．[2，＋∞) [∵f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6∈[－2,2]．又∵|f (x )|≤a 恒成立，∴a ≥|f (x )|max ，∴a ≥2.][例3]求下列函数的单调区间(1))32sin(π-=x y ； (2))32-sin(3π+=x y(3))x cos(y 423π--=. (4)y ＝tan )23(x -π.[解答]把函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2,k ∈Z ,得k π－π6<2x <k π＋5π6,k ∈Z ,即k π2－π12<x <k π2＋5π12,k ∈Z . 故函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调减区间为 ⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ). [例4]►(1)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值. 解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2, ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3,周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时,函数单调递增,∴函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z ). 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时,函数单调递减, ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z ).当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时,y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2(k ∈Z )时,y min ＝－2.►(2)[2014·福建]已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x ).(I)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(II)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间. 解：方法一：(I)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2. (II)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1, 所以T ＝2π2＝π,故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2,k ∈Z ,得k π－3π8≤x ≤k π＋π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8,k ∈Z . 方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(I)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1 ＝2sin π4＋1＝2.(II)因为T ＝2π2＝π,所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2,k ∈Z ,得k π－3π8≤x ≤k π＋π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8,k ∈Z . [例5]►(1)(2013辽宁文)设向量()()3sin ,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x = 求的最大值【答案】►(2)(2013北京文)已知函数21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（）.(I)求()f x 的最小正周期及最大值; (II)若(,)2∈παπ,且22f =α(),求α的值.【答案】解:(I)因为21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（）=1cos 2sin 2cos 42x x x+=1(sin 4cos 4)2x x +=2sin(4)24x π+,所以()f x 的最小正周期为2π,最大值为22. (II)因为22f α=（）,所以sin(4)14πα+=. 因为(,)2παπ∈,所以9174(,)444πππα+∈,所以5442ππα+=,故916πα=.►(3)(2015北京理)已知函数2()2sin cos 2sin 222x x x f x =-.(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值.【答案】(1)2π,(2)212--【解析】试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形,把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式,再利用周期公式2T πω=求出周期,第二步由于0,x π-≤≤则可求出3444x πππ-≤+≤,借助正弦函数图象 找出在这个范围内当42x ππ+=-,即34x π=-时,()f x 取得最小值为：212--.试题解析：(Ⅰ) 211cos ()2sin cos 2sin 2sin 222222x x x x f x x -=-=⋅-⋅=222sin cos 222x x =+-2sin()42x π=+- (1)()f x 的最小正周期为221T ππ==； (2)30,444x x ππππ-≤≤∴-≤+≤ ,当3,424x x πππ+=-=-时,()f x 取得最小值为：212-- 考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质. ►(4)(2015天津理)已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值.【答案】(I)π; (II) max 3()4f x =,min 1()2f x =-.考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质.★[例6](1)(2017·洛阳模拟)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2] [解析] A[由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2，所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.](2)(2011·山东)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增,在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减,则ω等于 ( ) A.23 B.32 C.2 D.3 答案 B解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点,∴当0≤ωx ≤π2,即0≤x ≤π2ω时,y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2,即π2ω≤x ≤3π2ω时,y ＝sin ωx 是减函数. 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增, 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知,π2ω＝π3,∴ω＝32. (3)(2013课标Ⅰ文)设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos =θ______.【答案】255-; (4)(2016上海文)若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5,则常数a =______.【答案】3±(5)(2016上海文)设a ÎR ,[0,2π]b Î.若对任意实数x 都有πsin(3)=sin()3x ax b -+,则满足条件的有序实数对(a ,b )的对数为( )A.1B.2C.3D.4 【答案】B【变式训练】1.(2013天津文)函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是 ( )A.1-B.22-C.22D.0 【答案】B2.函数y ＝sin x ＋1sin x(0<x <π)的最小值为________.答案 2解析 令sin x ＝t ∈(0,1],则函数y ＝1＋1t ,t ∈(0,1].又y ＝1＋1t在t ∈(0,1]上是减函数,所以当t ＝1时,y 取得最小值2.3.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调减区间为________． [解析] ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)[由已知函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调增区间即可．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.故所求函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．] 4.函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是________． [解析] ⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)5.函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增,且在这个区间上的最大值是3,那么ω＝________. 答案 43解析 因为f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增,且在这个区间上的最大值是3,所以2sin π4ω＝3,且0<π4ω<π2,因此ω＝43.6．(2017·长沙模拟(一))函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3B.⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3和⎣⎡⎦⎤π3，2πC.⎣⎡⎦⎤－5π3，π3D.⎣⎡⎦⎤π3，2π [解析] C [令z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，由2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，而x ∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π3，π3，故选C.] 7.(2016浙江文)已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>,则A =______. 【答案】2.8.[2017全国II 理]函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 【答案】1【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，函数取得最大值1.9.[2017全国II 文]函数()cos sin =2+f x x x 的最大值为 5解析：10.已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4,求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的最大值与最小值. 解析:由题意得：f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 又x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2,∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6, ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1. 故当x ＝π3时,f (x )取最大值1；当x ＝－π12时,f (x )取最小值－32.11.(2013陕西文)已知向量1(cos ,),(3sin ,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . 5)sin(5)sin(12cos 2sin )(22≤+=++=+=ϕϕx x x x x f(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x . 最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π. (Ⅱ)上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈. ]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.12．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域． [解] (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.3分由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z.7分 (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，9分 f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，1＋32.故f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，1＋32.12分13.(2015北京文)已知函数()2sin 23sin 2xf x x =-.(Ⅰ)求()f x 的最小正周期；(Ⅱ)求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值.【答案】(1)2π；(2)3-.考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值. 14.(2015安徽文)已知函数2()(sin cos )cos2f x x x x =++ (1)求()f x 最小正周期； (2)求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.【答案】(1)π ；(2)最大值为12+,最小值为0 15.(2016·北京高考)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (I)求ω的值；(II)求f (x )的单调递增区间．[解] (I)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.4分依题意，得πω＝π，解得ω＝1.6分(2)由(I)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z).8分 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z).12分 16.[2017北京文]（本小题13分） 已知函数()3cos(2)2sin cos 3f x x -x x π=-.（I ）f (x )的最小正周期； （II ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x ≥-． 【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）详见解析.【题型】解答题【难度】一般17.(2016天津理)已知函数f (x )=4tanx ·si n(2x π-)cos(3x π-)-3. (Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期；(Ⅱ)讨论f (x )在区间[,44ππ-]上的单调性.()II 解：令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ 由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭,易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ . 所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间 412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.题型3：三角函数的奇偶性与对称性【典型例题】[例1](1)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称,那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 解析 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0,∴2π3＋φ＝k π＋π2,k ∈Z ,∴φ＝k π－π6,k ∈Z , 取k ＝0,得|φ|的最小值为π6.故选A. (2)函数y ＝2sin(3x ＋φ) (|φ|<π2)的一条对称轴为x ＝π12,则φ＝________. 答案 π4解析 由题意得3×π12＋φ＝k π＋π2,k ∈Z , ∴φ＝k π＋π4,k ∈Z ,又|φ|<π2,∴φ＝π4. (3)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R ),函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称,则φ的值为________.解析f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3, y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ图象关于x ＝0对称, 即f (x ＋φ)为偶函数.∴π3＋φ＝π2＋k π,k ∈Z ,φ＝k π＋π6,k ∈Z , 又∵|φ|≤π2,∴φ＝π6. [例2](1)已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同.若x ∈[0,π2],则f (x )的取值范围是________.答案 [－32,3] 解析 由对称轴完全相同知两函数周期相同,∴ω＝2,∴f (x )＝3sin(2x －π6). 由x ∈[0,π2],得－π6≤2x －π6≤56π, ∴－32≤f (x )≤3. (2)(2015·四川统考)点P ⎝⎛⎭⎫－π6，2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋m (ω＞0,|φ|＜π2)的图象的一个对称中心,且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为π2,则( ) A.f (x )的最小正周期是π B.m 的值为1C.f (x )的初相φ为π3D.f (x )在⎣⎡⎦⎤43π，2π上单调递增 答案：D [∵点P 是函数y ＝f (x )的一个对称中心,∴m ＝2,－π6ω＋φ＝k π(k ∈Z ), 又T ＝4×π2＝2π,则ω＝1, 由|φ|＜π2得φ＝π6, 作图可知选项D 正确.](3)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5,ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω,函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π8，0,则f (x )的最小正周期是________. 答案：由题设,有f ⎝⎛⎭⎫π4ω＝±a 2＋b 2,即22(a ＋b )＝±a 2＋b 2,由此得到a ＝b . 又f ′⎝⎛⎭⎫π8＝0,∴aω⎝⎛⎭⎫cos ωπ8－sin ωπ8＝0, 从而tan ωπ8＝1,ωπ8＝k π＋π4,k ∈Z , 即ω＝8k ＋2,k ∈Z ,而0<ω<5,∴ω＝2, 于是f (x )＝a (sin 2x ＋cos 2x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4, 故f (x )的最小正周期是π.(4)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( ) A ．－3 B ．－33 C.2 D.22(2)B [由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴，可得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫10π3， 即sin 0＋a cos 0＝sin 10π3＋a cos 10π3，解得a ＝－33.] (5)(2015天津文)已知函数()()sin cos 0,f x x x x ωωω=+>∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 .【答案】π2 【解析】试题分析：由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤ ,且()222πsin cos 2sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭, 所以2πππ.422ωω+=⇒= 考点：三角函数的性质.(6)(2016天津文)已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx x x f ,R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点,则ω的取值范围是( )A.]81,0(B.)1,85[]41,0(C.]85,0(D.]85,41[]81,0( 【答案】D[例3]►(1)(2013山东文)设函数23()3sin sin cos (0)2f x x x x ωωωω=-->,且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π, (Ⅰ)求ω的值(Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值 【答案】►(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π. (I)求当f (x )为偶函数时φ的值；(II)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间． [解] ∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2， ∴f (x )＝sin(2x ＋φ).2分(I)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )，∴sin(－2x ＋φ)＝sin(2x ＋φ)，将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0.∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.5分 (II)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32.6分 又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π， ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.9分 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z.12分【变式训练】1. y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( ) A.(－π,0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，0 答案 B解析 ∵y ＝sin x 的对称中心为(k π,0) (k ∈Z ),∴令x －π4＝k π (k ∈Z ),x ＝k π＋π4(k ∈Z ), 由k ＝－1,x ＝－3π4得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫－3π4，0. 2．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2C ．4D ．8B [由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z)，又ω∈N *，∴ωmin ＝2，故选B.] 3. 函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x 是 ( )A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.有最大值又有最小值的偶函数答案 D解析 f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x ＝2cos 2x －1＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋142－98.显然有最大值又有最小值,而且在R 上有f (－x )＝f (x ),所以正确答案为D.4.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ,则函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3sin x 1 cos x 的图象的一条对称轴方程是 ( ) A.x ＝5π6 B.x ＝2π3 C.x ＝π3 D.x ＝π6解析：f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3sin x 1 cos x ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 所以当x ＝5π6时,f (x )＝23cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋π6＝－2 3. 5.[2014·江苏]已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π),它们的图像有一个横坐标为π3的交点,则φ的值是________. 答案：π6 [解析]将x ＝π3分别代入两个函数,得到sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12,解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z ),化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z ).又φ∈[0,π),故φ＝π6. 6．(2017·重庆二次适应性测试)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )的一个单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－π6，π3B.⎝⎛⎭⎫－π3，π6 C.⎝⎛⎭⎫π6，2π3 D.⎝⎛⎭⎫π3，5π6 A [依题意得f (x )＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6单调递增．因此结合各选项知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的一个单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π6，π3，故选A.] 7．(2015·四川高考)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos xB [A 项，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意； B 项，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意； C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意； D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．] 8.[2014·天津]已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0),x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中,若相邻交点距离的最小值为π3,则f (x )的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3C.πD.2π 答案： C [解析]∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝1,∴sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝12,∴ωx 1＋π6＝π6＋2k 1π(k 1∈Z )或 ωx 2＋π6＝5π6＋2k 2π(k 2∈Z ),则ω(x 2－x 1)＝2π3＋2(k 2－k 1)π.又∵相邻交点距离的最小值为π3,∴ω＝2,∴T ＝π. 9.设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0),y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间.解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2,k ∈Z , ∴φ＝k π＋π4,k ∈Z , 又－π<φ<0,则－54<k <－14,k ∈Z . ∴k ＝－1,则φ＝－3π4. (2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4, 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π,k ∈Z , 可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π,k ∈Z , 因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π,k ∈Z .10.(2016全国I 理)已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点,π4x =为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在π5π()1836，单调,则ω的最大值为 A.11 B.9 C.7 D.5【答案】B11.[2017天津理]设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=- （D ）13ω=，24ϕ7π= 【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．考点：1.三角函数的性质；2.三角函数的最值.。
2018届人教版高三二轮复习理科数学(三角函数及解三角形)提升训练及解析
sin
≤1，于是 1≤2sin
ππ
π
2x+ = ，即 x= 时， f(x) 在
≤2，所以 0≤f(x) ≤1. 所以当且仅当
π
上取最大值，最大值为 f
=1.
答案： 1
10. 函数 f(x)=2sin( ω x+φ) ω
的部分图象如图所示，则
f(0) 的值是 ____________.
4
2018 届人教版高三二轮复习理科数学 ( 三角函数及解三角形） 提升训练及解析
= sinθ
=2sin θcos θ- sin 2θ
=sin2 θ+ cos2 θ- = sin
-，
π
π
π
π
令 2θ+ =2k π+ ， k∈Z， 即θ=k π+ ，k∈Z，因为 0< θ< ，
π 所以当θ= 时， S(θ)取得最大值为 .
16. 设函数 f(x)=sin2x+a(1+cosx) - 2x在x= 处取得极值． 17. (1) 若f(x) 的导函数为 f ′(x) ，求 f ′(x) 的最值． (2) 当x∈[0 ， π ] 时，求 f(x) 的最值． 【解题导引】 (1)求出 f′(x) ，结合二次函数知识和 sinx 本身范围可求解 . (2)根据导数求出单调区间，注意三角不 等式的求解 . 【解析】 (1)f ′(x)=2cos2x-asinx-2 ，因为 f(x) 在 x= 处取得极值，所以 f′ =1- a-2=0 ，所以 a=-2 ，所以 f′(x)=2(1-2sin 2x)+2sinx-2
8. 已知函数 f(x)=2sin(
ω x- φ)-1(
ω>0，
上海市2018届高三数学复习三角函数与反三角函数专题练习.docx
三角函数与反三角函数一、填空题1.函数f ()cos(2)的最小正周期是. x x62.函数 y2sin x cos x 的最大值为.3.函数 f ( x)sin x 3 cos x 的对称中心的坐标为4.. 函数y 2 sin(2 x) 3 的单调递增区间是.45.函数 f ( x)sin xcos x 的奇偶性为sin x cos x6.已知函数 f (x) A cos( wx) 的部分图像如图所示，若 f ()2，则 f (0).237.函数 f (x)sin(2 x) 在区间 [0,] 的最小值为.428.方程 sin2x3sin xcosx4cos2 x0 的解集为.9.函数 y cosx(x [3)) 的反函数是. ,210. 已知 w0 ，函数 f (x) sin( wx) 在 (, ) 单调递增，则 w 的取值范围是.4211. 设f ( x)cos(sin x) 与 g ( x)sin(cos x) ，以下结论：（1）f ( x)与g (x)都是偶函数；（2）f ( x)与g (x)都是周期函数；（3）f ( x)与g (x)的定义域都是 [ 1,1] ；（4）f ( x)的值域是 [cos1,1] ，g (x)的值域是[sin1,sin1] ；其中不正确的是.12.1的图像与函数y 2 sin x ( 2x4)的图像所有交点的横坐标之和等函数 yx1于.二、选择题13.下列函数中，最小正周期为且图像关于原点对称的函数是（）A.y cos(2 x)B. y sin(2 x)C. y sin 2x cos 2xD.y sin x cos x2214.要得到函数 y sin(4x) 的图像，只需要将函数y sin 4x 的图像（）3A.向左平移个单位B. 向右平移个单位1212C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位33 15. 设函数y sin x 的定义域 [ a, b] ，值域为 [ 1, 1] ，则以下结论中错误的是（）2A. b a 的最小值为2B. b a 的最大值为4 33C. a 不可能等于2k, k ZD. b 不可能等于 2k,k Z6616.如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则称这些函数“互为生成”函数，给出下列函数：（ 1 ） f ( x) sin x cosx ；（2） f (x)2(sin x cos x) ；（3） f (x)sin x ；（4）f ( x) 2 sin x 2 ，其中“互为生成”函数的是（）A. （ 1）（ 2）B. （2）（ 3）C.（ 1）（ 4）D. （ 3）（ 4）三、解答题17. 已知函数 f ( x)sin(x)sin x 3 cos2 x2（1）求 f ( x) 的最小正周期和最大值；（2）讨论 f (x) 在[2, ] 上的单调性6318. 已知函数 f (x )3sin( wx)( w0,2) 的图像关于直线x对称，且图像上相23邻两个最高点的距离为（1）求 w 和的值；（2）若 f ( ) 3 (62) ，求 cos(2) 的值243319. （ 1）求值： sin[ 1 arcsin( 3)] ；2 5（ 2）求值： sin(arcsin 1 arccos 1)2 3（ 3）判断函数 y 2arcsin x arccos( x) 的奇偶性，并说明理由20. 某同学用“五点法”画函数f ( x) A sin( wx )(w 0,| | ) 在某一个周期内的图像时， 2列入了部分数据，如下表：（1） 请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f (x) 的解析式；（2）将 y f ( x) 图像上所有点向左平行移动 ( 0) 个单位长度，得到y g (x) 的图像，若 y g( x) 图像的一个对称中心为 (5 ，求 的最小值 .,0)1221. 已知关于x 的方程2sin x cos x m 在[0,2) 内有两个不同的解,（1）求实数m的取值范围；（2）求cos() （用 m 表示）参考答案1.2. 53.(k,0)34.[ k , k]45.非奇非偶26.327.28. { x | x k或k arctan( 4)}49.y 2 arccosx( 1 x 0)10.(0, 1 ] 411.（ 1）（ 2）（ 4）12.413. A.14.B.15.D.16.C.17.答案：（1） T,max3 12（ 2）当 x [5] ， f ( x) 为增函数；当526,x [, ] 时， f (x) 为减函数1212318.答案：（1）w2,6（ 2）315819.答案：（1）1010（2）1 2 66（3）非奇非偶20.答案：（1）填表略，( ) 5sin(2x )f x6（ 2）621.答案：（1）m的取值范围是(5,1)(1, 5)（2） 2m215。
2018届高三数学三角函数单元复习试卷(含答案) 精品
苏州五中2017~2018学年第一学期高三数学练习卷三三角函数班级 姓名 成绩一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. cos(300)-︒= ．2. 若角α的终边在直线2y x =上，则sin α= ．3. 把时钟拨快1小时，则时针走过的弧度数是 ．4. sin 40sin 80sin 50sin10︒︒-︒︒= ．5.cos195︒= ．6. 若αcossin22αα=-，则2α是第 象限角． 7. 已知tan ,tan αβ是方程23570x x +-=的两个根，则tan()αβ+= ． 8. 函数2sin cos cos y ααα=-的最小正周期为_____________________． 9. 函数sin(2)4y x π=-的单调递减区间为 ．10. 要得到cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos 2y x =的图象向 平移 个单位而得到．11. 函数x x y 2cos sin 2-=的值域是 ；12. 已知函数sin()(,0,02)y A x x ωϕωϕ=+∈>≤<πR 的部分图象如下图，则该函数的解析式为 ．（第12题）13. 在ABC ∆中，已知3cos()45A π+=,则cos 2A =____ ___．14. 已知223sin 2sin 2sin 0αβα+-=，则22cos cos αβ+的取值范围为_____ __．二、解答题：本大题共4小题，共30分． 15. （本小题6分）化简求值：sin 7sin 8cos15cos 7sin 8sin15︒+︒︒︒-︒︒．16. （本小题6分）已知sin sin cos()(,)βααβαβ=+都是锐角，求证：sin 2tan 3cos 2αβα=-．17. （本小题10分）已知函数2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++的定义域为,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为[]2,5，求,a b 的值．18. （本小题10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆相交于B A ,两点，已知B A ,的横坐标分别为52102（1）求)tan(βα+的值（2）求βα2+的值．苏州五中2017~2018学年第一学期高三数学练习卷三三角函数答案班级 姓名 成绩一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.cos(300)-︒=12． 2. 若角α的终边在直线2y x =上，则sin α=． 3. 把时钟拨快1小时，则时针走过的弧度数是 6π- ．4.sin 40sin 80sin 50sin10︒︒-︒︒=12． 5.cos195︒=． 6. 若αcossin22αα=-，则2α是第 四 象限角． 7. 已知tan ,tan αβ是方程23570x x +-=的两个根，则tan()αβ+= 12- ． 8. 函数2sin cos cos y ααα=-的最小正周期为____π_____． 9. 函数sin(2)4y x π=-的单调递减区间为 3,()88k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦． 10. 要得到cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos 2y x =的图象向 右 平移6π个单位而得到． 11. 函数x x y 2cos sin 2-=的值域是 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 12. 已知函数si n()(,0,02)y A x x ωϕωϕ=+∈>≤<πR 的部分图象如下图，则该函数的解析式为 sin()44y x ππ=+ ．（第12题） 13. 在ABC ∆中，已知3cos()45A π+=,则cos 2A =___2425___． 14. 已知223sin2sin 2sin 0αβα+-=，则22cos cos αβ+的取值范围为____14,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦_ __． 二、解答题：本大题共4小题，共30分．15. （本小题6分）化简求值：sin 7sin 8cos15cos 7sin 8sin15︒+︒︒︒-︒︒．解:原式＝sin(158)sin8cos15sin15cos8tan152cos(158)sin8sin15cos15cos8︒-︒+︒︒︒︒==︒=-︒-︒-︒︒︒︒16. （本小题6分）已知sin sin cos()(,)βααβαβ=+都是锐角，求证：sin 2tan 3cos 2αβα=-．证明：2sin sin cos()sin cos cos sin sin βααβααβαβ=+=- 即2sin (1sin )sin cos cos βαααβ+=22sin sin cos 2sin cos sin 2cos 1sin 22sin 3cos 2βαβαβαβααα===++- 命题得证17. （本小题10分）已知函数2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++的定义域为,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为[]2,5，求,a b 的值．解： ()2sin(2)6f x a x a b π=-+++．又,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以7132666x πππ≤+≤ 则11sin(2)62x π-≤+≤．当0a >时，[](),4f x a b a b ∈++，有21451a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ 当0a <时，[]()4,f x a b a b ∈++，有51426a b a a b b +==-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩综上：11a b =⎧⎨=⎩或16a b =-⎧⎨=⎩18. （本小题10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆相交于B A ,两点，已知B A ,522（1）求)tan(βα+的值（2）求βα2+的值． 解：（1）点A 的坐标为，点B 的坐标为 所以tan 7α=，1tan 2β=172tan()31172αβ++==--⨯（2）[]32tan(2)tan ()111(3)2αβαββ-++=++==---⨯又tan 1,0tan 1αβ><<，所以,0424πππαβ<<<<所以24αβππ+<<，所以324παβ+=．。
【高三数学试题精选】2018届高考数学第二轮三角函数的图象与性质同步复习题(带答案)
2018届高考数学第二轮三角函数的图象与性质同步复习题
（带答案）
5 c 2018年高考数学二轮复习同步练习
专题3 三角函数与平面向量
第1讲三角函数的图象与性质
一、选择题
1．(2018 北京海淀)函数f(x)＝sin2x＋π3的图像的对称轴方程可以是( )
A．x＝π12 B．x＝512π
c．x＝π3 D．x＝π6
[答案] A
[解析] 令2x＋π3＝π＋π2，∈Z，可得x＝2π＋π12，∈Z，取＝0可得函数f(x)的一条对称轴方程为x＝π12，故选A 2．(2018 东济南)函数f(x)＝tanx＋1tanx，x∈{x|－π2 x 0或0 x π2}的图像为( )
[答案] A
[解析] 据已知易知函数为奇函数，故其图像关于原点对称，排除B，c选项．又当0 x π2时，f(x) 0，排除D，故选A 3．(2018 长沙二模)若将函数＝sinωx＋π4(ω 0)的图像向右平移π4个单位长度后，与函数＝sinωx＋π3的图像重合，则ω的最小值为( )
A．1 B．2
c112 D233
[答案] D
[解析] ＝sinωx＋π4
＝sinωx－π4＋π4＝sinωx＋π3，
∴π4－π4ω＋2π＝π3，∴ω＝8－13(∈Z)，
又∵ω 0，∴ωin＝233。
【高三数学试题精选】2018年高考数学文二轮复习三角函数训练题(有答案)
2018年高考数学文二轮复习三角函数训练题（有答案）
5 c 衡水万卷作业卷十数
三角函数作业专练
姓名__________班级__________考号__________
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1（4,3），则cs =( )
A B c － D －
6将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的最小值为
7若将函数的图象向右平移(0 )个单位长度，得到的图象关于原点对称，则=( )
A． B． c． D．
8cs85°＋sin25°cs30°cs25° ＝( )
A．－32 B22 c12 D．1
9在中，若，求周长的取值范围
A． B． c． D．
10设，则的大小关系是
A． B．
c． D．
11在中，角所对的边分别为 , , ,已知，则
或
12 的内角的对边分别是 ,若 , , ,
则 ( )
A．1 B．2 c． D．2或1。
2018年高考数学分类汇编三角函数及答案详解
2018年高考数学分类汇编三角函数1、（2018年高考全国卷1理科）16．（5分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f （x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1，可得此时x=，π或；∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=﹣，f（0）=0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．2、（2018年高考全国卷1理科）17．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．3、（2018年高考全国卷1文科）8．（5分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（）A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4【解答】解：函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，=2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x，=4cos2x+sin2x，=3cos2x+1，=，=，故函数的最小正周期为π，函数的最大值为，故选：B．4、（2018年高考全国卷1文科）11．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（）A．B．C．D．1【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，∴cos2α=2cos2α﹣1=，解得cos2α=，∴|cosα|=，∴|sinα|==，|tanα|=||=|a﹣b|===．故选：B．5、（2018年高考全国卷1文科）16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积为．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．bsinC+csinB=4asinBsinC，利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，由于sinBsinC≠0，所以sinA=，则A=由于b2+c2﹣a2=8，则：，①当A=时，，解得：bc=，所以：．②当A=时，，解得：bc=﹣（不合题意），舍去．故：．故答案为：．6、（2018年高考全国卷2理科）6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．7、（2018年高考全国卷2理科）10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．8、（2018年高考全国卷2理科）15．（5分）已知sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．【解答】解：sinα+cosβ=l，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，cosα+sinβ=0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，∴2sin（α+β）=﹣1．∴sin（α+β）=．故答案为：．9、（2018年高考全国卷2文科）7．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．10、（2018年高考全国卷2文科）10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=﹣sin（x﹣），由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣，]，由f（x）在[0，a]是减函数，得a≤．则a的最大值是．故选：C11、（2018年高考全国卷2文科）15．（5分）已知tan（α﹣）=，则tanα=．【解答】解：∵tan（α﹣）=，∴tan（α）=，则tanα=tan（α+）=====，故答案为：．12、（2018年高考全国卷3理科）4．（5分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．13、（2018年高考全国卷3理科）9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，==，∴S△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．14、（2018年高考全国卷3理科）15．（5分）函数f（x）=cos（3x+）在[0，π]的零点个数为3．【解答】解：∵f（x）=cos（3x+）=0，∴3x+=+kπ，k∈Z，∴x=+kπ，k∈Z，当k=0时，x=，当k=1时，x=π，当k=2时，x=π，当k=3时，x=π，∵x∈[0，π]，∴x=，或x=π，或x=π，故零点的个数为3，故答案为：315、（2018年高考全国卷3文科）4．（5分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．16、（2018年高考全国卷3文科）6．（5分）函数f（x）=的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【解答】解：函数f（x）===sin2x的最小正周期为=π，故选：C．17、（2018年高考全国卷3文科）11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，∴S==，△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．18、（2018年高考北京卷理科）15．（13分）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．19、（2018年高考北京卷理科）7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意d==，tanα=﹣，∴当sin（θ+α）=﹣1时，d max=1+≤3．∴d的最大值为3．故选：C．20、（2018年高考北京卷理科）11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．【解答】解：函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，可得：，k∈Z，解得ω=，k∈Z，ω＞0则ω的最小值为：．故答案为：．21、（2018年高考北京卷文科）7．（5分）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP 为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A．B．C．D．【解答】解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．22、（2018年高考北京卷文科）14．（5分）若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B=；的取值范围是（2，+∞）．【解答】解：△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），可得：（a2+c2﹣b2）=acsinB，，可得：tanB=，所以B=，∠C为钝角，A∈（0，），cotA∈（，+∞）．===cosB+cotAsinB=cotA∈（2，+∞）．故答案为：；（2，+∞）．23、（2018年高考北京卷文科）16．（13分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，f（x）的最小正周期为T==π；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，即有2m﹣≥，解得m≥，则m的最小值为．24、（2018年高考天津卷理科）6．（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间满足：﹣+2kπ≤2x≤，k∈Z，减区间满足：≤2x≤，k∈Z，∴增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，∴将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：A．25、（2018年高考天津卷理科）15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．26、（2018年高考天津卷文科）6．（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[]上单调递增B．在区间[﹣，0]上单调递减C．在区间[]上单调递增D．在区间[，π]上单调递减【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin2x．当x∈[]时，2x∈[，]，函数单调递增；当x∈[，]时，2x∈[，π]，函数单调递减；当x∈[﹣，0]时，2x∈[﹣，0]，函数单调递增；当x∈[，π]时，2x∈[π，2π]，函数先减后增．故选：A．27、（2018年高考天津卷文科）16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．24、（2018年高考浙江卷）18．（14分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．。
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三角函数与反三角函数
一、 填空题
1. 函数()cos(2)6
f x x π=-的最小正周期是 . 2. 函数2sin cos y x x =-的最大值为 .
3.
函数()sin f x x x =的对称中心的坐标为
4. .
函数)34
y x π--的单调递增区间是 . 5. 函数sin cos ()sin cos x x f x x x
-=+的奇偶性为 6. 已知函数()cos()f x A wx ϕ=+的部分图像如图所示， 若2()23f π=-，则(0)f = . 7.函数()sin(2)4f x x π=-在区间[0,]2
π的最小值为 . 8.方程22sin 3sin cos 4cos 0x x x x +-=的解集为 .
9.函数3cos ([,))2
y x x ππ=∈的反函数是 . 10.已知0w >，函数()sin()4f x wx π=+在(,)2
ππ单调递增，则w 的取值范围是 . 11.设()cos(sin )f x x =与()sin(cos )g x x =，以下结论：
（1）()f x 与()g x 都是偶函数；
（2）()f x 与()g x 都是周期函数；
（3）()f x 与()g x 的定义域都是[1,1]-；
（4）()f x 的值域是[cos1,1]，()g x 的值域是[sin1,sin1]-；
其中不正确的是 .
12.函数11
y x =
-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 .
二、 选择题 13.下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是（ ）
.A cos(2)2y x π=+ .B sin(2)2
y x π=+ .C sin 2cos 2y x x =+ .D sin cos y x x =+ 14.要得到函数sin(4)3
y x π=-的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像（ ）
.A 向左平移
12π个单位 .B 向右平移12π个单位 .C 向左平移3π个单位 .D 向右平移3
π个单位 15.设函数sin y x =的定义域[,]a b ，值域为1[1,]2
-，则以下结论中错误的是（ ） .A b a -的最小值为23π .B b a -的最大值为43
π .C a 不可能等于2,6k k Z ππ-∈ .D b 不可能等于2,6
k k Z ππ-∈ 16.如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则称这些函数“互为生成”函数，给出下
列函数：（1）()sin cos f x x x =+；（2）()cos )f x x x =+；（3）()sin f x x =；（4）
()f x x = ）
.A （1）
（2） .B （2）（3） .C （1）（4） .D （3）（4） 三、 解答题
17.已知函数2()sin()sin 2
f x x x x π=- （1） 求()f x 的最小正周期和最大值；
（2） 讨论()f x 在2[,]63
ππ上的单调性
18.已知函数())(0,)22f x wx w ππϕϕ+>-
≤<的图像关于直线3
x π=对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π
（1） 求w 和ϕ的值；
（2） 若2()()263f ϕππα=<<，求2cos()3πα+的值
19.（1）求值：13sin[arcsin()]25
-； （2）求值：11sin(arcsin arccos )23
+ （3）判断函数2arcsin arccos()y x x =--的奇偶性，并说明理由
20.某同学用“五点法”画函数()sin()(0,||)2
f x A wx w πϕϕ=+><在某一个周期内的图像时，列入了部分数据，如下表：
（1） 请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式；
（2） 将()y f x =图像上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图
像，若()y g x =图像的一个对称中心为5(,0)12
π，求θ的最小值
.
21.已知关于x 的方程2sin cos x x m +=在[0,2)π内有两个不同的解,αβ
（1） 求实数m 的取值范围；
（2） 求cos()αβ-（用m 表示）
参考答案
1.π
3. (,0)3k π
π- 4. [,]4k k π
ππ+
5.非奇非偶
6.2
3
7. 8.{|arctan(4)}4x x k k π
ππ=++-或
9.2arccos (10)y x x π=--≤≤ 10.1
(0,]4
11.（1）（2）（4）
12.4
13..A
14..B
15..D
16..C
17.答案：（1）,max 1T π==
（2）当5
[,]612x π
π∈，()f x 为增函数；当5
2
[,]123x ππ∈时，()f x 为减函数
18.答案：（1）2,6w π
ϕ==-
（2
19.答案：（1）
（2 （3）非奇非偶
20.答案：（1）填表略，()5sin(2)6f x x π
=-
（2）6π
21.答案：（1）m 的取值范围是((1,5)
（2）2
215m -。