三角形三边关系性质的应用

三角形三边关系性质的应用
“三角形任意两边的和总大于第三边”这个性质是三角形最基本的性质之一，它的应用十分广泛，下面举例说明．
例1 等腰三角形的两边为4，8，则它的周长为_______.
分析：从表面上看本题有两种可能，以4、4、8为边的等腰三角形和以8、8、4为边的等腰三角形，但前者不符合三角形的三边关系，所以周长为20．
例2 不等边三角形中，如果有一条边长等于另外两条边长的平均值，那么最大边上的高与最小边上的高的比k的取值范围是 [ ]
(98年江苏省初中数学竞赛题)
解：如图1，设BC=a，AC=b(a＞b)，高AD、BE分别为h a，
说明：利用三角形的三边关系衡量能否组成三角形或已知三角形的三边确定某边的敢值范围时，要注意性质中“大于”二字，而不是相等，“任意”两边而不是其中两边．
例3四边形ABCD中，O为对角线交点，
解：如图2，在△ABC中，由三边关系得
AB+BC＞AC，①
同理可得：
BC+CD＞BD，②
CD+DA＞AC，③
DA+AB＞BD．④
由①②③④得2(AB+BC+CD+DA)＞2(BD+AC)．
∴AB+BC+CD+DA＞BD+AC
在△AOB中 OA+OB＞AB，①
同理得OB+OC＞BC，②
O C+OD＞CD ③
OD+OA＞AD ④
由①②③④得2(OA+OB+OC+OD)＞AB+BC+CD+DA．
例4若a、b、c为△ABC的三边，求证关于x的方程b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0没有实数根．
证明：∵△=(b2+c2-a2)2-4b2c2=(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)
在△ABC中，∵b+c＞a，∴b+c-a＞0．
同理 b-c+a＞0，b-c-a＜0．
∴△＜0．
∴关于x的方程b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0没有实数根．
说明：三角形的三边关系常常用来解决一些几何或代数证明题．
例5如图3，D为△ABC的边AC上一点，分别在AB、BC上求作点E、F，使△DEF的周长最小．(96年江苏省扬州中学提前招生试题)
作法：分别以BC、AB所在的直线为对称轴，作出D点的对称点 D′、D″，连结 D′D″交AB于E、BC于F，∴△DEF为所求作的三角形．
证明：由轴对称图形的性质可知ED=ED″，FD=FD′，∴D′D″代表了△DEF的周长．
若E′点在AB上除E点外的一点，在△D″E′ D′中由三边关系的性质
可知，D″E′+E′ D′＞D′ D″
同理若F′点在BC上除F点外的一点，也能说明 D′ D″最小．
说明：利用三角形的三边关系解作图题是同学们解题时常忽略的方法．原几何教科书第二册91页中的例3就是个很好的说明．。