数字信号处理总复习

课程主要内容及基本要求一、离散傅里叶变换及应用（DFT & FFT）1.DFT的定义、性质、计算及应用——第3章2.DFT的快速算法（FFT）——第4章➢傅里叶变换的4种形式，傅里叶变换形式与时域信号的对应关系。

➢DFS的定义性质计算，理解周期卷积过程。

➢DFT的定义、计算、性质，掌握圆周移位、共轭对称性、圆周卷积与线性卷积的关系。

➢理解掌握频谱分析过程，频谱分析参数（DFT点数、频谱分辨力F、记录长度Tp等）的计算，存在的误差及减少措施。

➢理解掌握DIT和DIF的基2-FFT算法原理、运算流图、计算量➢理解IFFT算法原理➢了解CZT算法及分段卷积方法（重叠相加法、重叠保留法）二、数字滤波器设计与实现（IIR Filter & FIR Filter）1.IIR Filter 设计与实现——第6、5章2.线性相位FIR Filter 设计与实现——第7、5章➢掌握IIR滤波器结构、FIR滤波器结构，结构形式的主要特点、与H(z)表达式的关系➢冲激响应不变及双线性变换法原理、变换方法、特点、适用场合➢巴特沃思和切比雪夫Ⅰ型低通滤波器设计方法、频响特点、极点分布特点➢掌握利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程➢了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法➢掌握线性相位FIR滤波器的特点➢理解掌握窗函数设计方法，窗函数主要指标和特点，影响过渡带宽度与阻带衰减的因素➢了解频率采样设计法第3章 离散傅里叶变换——复习1. 基本概念➢ 信号：信息的物理表现形式。

➢ 序列（离散时间信号）：时间离散，幅值连续（无限精度）。

➢ 数字信号：时间离散，幅值量化（有限精度）。

➢ 信号处理：从信号中提取有用信息。

➢ 数字信号处理：用数字方法去处理。

或者说：用数字或符号表示的序列来描述信号，再用计算机或专用处理设备以数值计算的方法来处理这些序列，得到所需序列，提取信息。

2. Z 变换➢ Z 变换的定义：对离散时间信号（序列）的变换。

∑∞-∞=-==n nzn x n x Z z X )()]([)(➢ Z 变换的收敛域：满足绝对可和的z 值的范围。

要使Z 变换存在，则幂级数∑∞-∞=-n nzn x )(要收敛。

收敛的充要条件为∞<=∑∞-∞=-M z n x n n )(绝对可和。

➢ Z 变换的计算： 要求掌握。

3. DTFT 离散时间傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform ）➢ DTFT 的定义： ∑∞-∞=-==n nj j en x n x e X ωω)()]([DTFT )( 是频率ω的连续周期函数➢ DTFT 的计算：要求掌握。

4. DFS 离散傅立叶级数➢ DFS 的定义： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====--=-=-=--=∑∑∑∑nk N N k nk N j N k nk N N n nk Nj N n W K X N e K X N n x W n x e n x K X 10~210~~10~210~~)(1)(1)()()()(ππ ➢ DFS 的计算：要求掌握。

5. DFT 离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform ）)()(k X n x DFT⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤==-≤≤==--=-=∑∑10,)(1)]([IDFT )(10,)()]([DFT )(101N n W k X N k X n x N k W n x n x k X nk N N k nkN N n NjN eW π2-=⎪⎩⎪⎨⎧==)()()()()()(~~k R k X k X n R n x n x N N 均为主值序列。

、)()(k X n x∑-=-==12)()]([DFT )(N n nk Nj en x n x k X π是频率k Nπ2的离散函数 ➢ DFT 的计算：要求熟练掌握。

➢ DFT 的性质：要求熟练掌握。

(1) )()())((k X W n R m n x mkNN N -↔⋅+ (2) 若)(n x 是实序列，0)(=k X op ，)())(()(k R k N X k X N -=* 若)(n x 是纯虚序列，0)(=k X ep ，)())(()(k R k N X k X N --=*在)(n x 是实序列或纯虚序列情况时，计算一半)(k X 值，另一半按对称性质得到。

(3) DFT 形式下的帕塞瓦定理（能量定理）Parseval∑∑-=-===ε102122)(N 1)(N k N n k X n x(4) 周期卷积（圆周卷积，循环卷积）)())(()()]()([IDFT )]([IDFT )(21121n R m n x m x k X k X k Y n y N NN m -===∑-=)(1nx )()()(212k X k X n x NDFT−−→← 频域相乘对应时域圆周卷积和(5) 有限长序列的线性卷积与圆周卷积若)(1n x 是N 1点序列，)(2n x 是N 2点序列，则线性卷积)()()(21n x n x n y l *= ，是121-+N N 点序列。

L 点圆周卷积)()(1n x n y =)(2n x ，L 点圆周卷积是线性卷积以L 为周期的周期延拓序列的主值区间。

当)1(21-+≥N N L 时，L 点圆周卷积代表线性卷积。

当)1(21-+<N N L 时，有混叠。

混叠点数L N N --+)1(21；混叠点位置在主值区间的前L N N --+)1(21点，从]1)1[~021---+L N N 。

6. 用DFT 计算连续时间信号可能出现的几个问题 i. 混叠失真原因：当抽样频率s f 不够高时，出现混叠。

减少措施：提高抽样率，即h s f f 2≥。

ii. 频谱泄漏——截断效应原因：加窗截断长信号，故在不该产生频谱分量的地方产生频谱分量。

减小措施：采用合适的窗函数。

iii. 栅栏效应原因：)(k X 是)(ωj e X 的抽样，会使一些谱线看不到。

减小措施：增加频域抽样点数（对原序列补零）。

➢ 频谱分辨力0Fp11T NT N f F s ===——抽样间隔、分辨力FT 1p =——记录长度↑N ，↑p T ，↓F ，分辨力越好。

注意：增加N 是增加记录时间内抽样点数（时域上的有效数据）。

对原序列补零是增加频域抽样点数，要区分开来。

补零的作用：不是增加频谱分辨力，而是减小栅栏效应或者使m N 2=，便于FFT 计算。

第4章 快速傅里叶变换（FFT ） 复习1. 基本概念➢ FFT 的定义：FFT 是离散傅里叶变换（DFT ）的一种快速算法。

➢ 提高运算速度的途径： 利用 nkN W 的特性，可简化运算。

nkN W 有如下特性：周期性 共轭对称性 可约性利用以上性质，可将N 点的DFT 化成短序列进行运算，即采用小的N 值，由于DFT 的运算量与N 2成正比，减小N 可降低运算量，提高运算速度。

➢ FFT 分类:（1）按时间抽选算法（DIT ）按输入序列)(n x 的次序是奇数还是偶数将长序列分解为越来越短的序列。

（2）按频率抽选算法（DIF ）按输出序列)(k X 的次序是奇数还是偶数将长序列分解为越来越短的序列。

➢ 基的概念：最小运算单元的点数。

（基－2算法：最小运算单元为2点。

） ➢ 倒位序：将输入序列)(n x 的序号n 写成二进制数，将该二进制数的位序翻转即为倒位序号n。

倒位序的目的是实现原位运算。

➢ 原位运算：蝶形结两个输入节点只参与本蝶形运算单元的运算，输出也是两个节点，并且计算完后两个输入节点就不再起作用。

由于这一特点，我们在计算机编程时可以将蝶形单元的输出仍放在输入数组中。

利用这一特点编程可节省存储空间，只用N 个复数存储单元。

2. 按时间抽选（DIT ）的基－2 FFT 算法（Radix-2 DIT FFT ）➢ 算法原理：序列长度N ＝2L ，即N 为2的整数次幂。

按输入序列)(n x 的次序是奇数还是偶数将长序列分解为越来越短的序列。

➢ Radix-2 DIT FFT 蝶形运算流图表示3. 按频率时间抽选（DIF ）的基－2 FFT 算法（Radix-2 DIF FFT ） ➢ 算法原理：序列长度N ＝2L ，即N 为2的整数次幂。

按输出序列)(k X 的次序是奇数还是偶数将长序列分解为越来越短的序列。

（输入序列)(n x 按n 顺序分成前后两半，如此分解为越来越短的序列）➢ Radix-2 DIT FFT 蝶形运算流图表示第5章 数字滤波器的基本结构 复习1. 基本概念➢ 结构：指运算结构而非电路结构。

不同结构，影响复杂性（成本）及速度。

有限字长时，不同结构影响误差、稳定性。

➢ 结构的基本运算单元：加法器、比例放大器（常数乘法器）和延时器。

2. 滤波器的基本结构 ➢ IIR 滤波器的基本结构直接II 型（典范型）11111111z 1z140s a a az 1)z 1(b )z (H 10b 1010a z 10101)z 1(10z )10()(10)z 1(4z 1z 1404)s (H )z (H 4s 4)s (H 11--------+-=-+=π+π=π+π-=π+π--+π+π=π--π++π=π++-π==π+π=--则令举例：➢ FIR 滤波器的基本结构线性相位FIR 滤波器的结构4321n4n n1N 0n z 21z 22z 43z 2221)z (H z )n (h z)n (h )z (H }21,22,43,22,21{)n (h -----=--=π-π-+π-π-===π-π-π-π-=∑∑举例：x(n) z -1 z -1 h(0)h(1)h(2)z -1z -1 y(n)bx(n)baz -1y(n)第六章 IIR 数字滤波器的设计方法 复习1. 特殊系统：要掌握系统零极点的分布特点 ➢ 最小相位延时系统 ➢ 全通系统2. 模拟滤波器到数字滤波器的数字化方法：要求掌握原理及特点 ➢ 冲激响应不变法151T)(c s c 1T )(cc c a N1k 1T s kN1k k k a z e15ze1T )z (H 201f 1T 4z e 1T )z (H )(s )s (H z e1A T )z (H s s A )s (H c c k -⎪⎭⎫ ⎝⎛π--Ω--Ω-=-=-π=-Ω===π=Ω-Ω=→Ω--Ω=-=→-=∑∑一阶时举例：➢ 双线性变换法1111z 1z 140s a a s s z 1z 1cs a z )10()(10)z 1(4z1z 1404)s (H )z (H 4s 4)s (H 40f 2c 20Hz T1f T2c )s (H )z (H 1111----+-=+-=π--π++π=π++-π==π+π==⨯=∴====----则举例：3. 常用模拟低通滤波器的特性 ➢ 巴特沃思低通Nca j H 2211)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ+=Ω要求会手算一、二阶巴特沃思低通滤波器➢切比雪夫I型滤波器（定性了解）4.低通转高通、带通、带阻的方法（了解）模拟域频带变换法、数字域频带变换法第七章 FIR 数字滤波器设计 复习1. 基本概念➢ 这里只讨论线性相位FIR 数字滤波器设计。