相交线计算题

相交线计算题 Revised by BETTY on December 25,2020
1．如图所示，在长方形的台球桌桌面上，选择适当的方法击打白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入中洞，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4，且∠2＋∠3＝90°，∠4＋∠5＝90°．如果黑球与洞口连线和台球桌面边缘的夹角为∠5＝40°，那么∠1应等于多少度才能保证黑球进入中洞？
2．取一张正方形纸片ABCD，如图
（1）折叠∠A，设顶点A落在点A′的位置，折痕为EF；如图（2）折叠∠B，使EB沿EA′的方向落下，折痕为EG．试判断∠FEG的度数是否是定值，并说明理由．
3．如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOF＝3∠FOB，∠AOC＝90°，求∠EOC的度数．
4．如图所示，O为直线AB上一点，
1
3
AOC BOC
∠=∠，OC是∠AOD的平分线．
（1）求∠COD的度数；
（2）判断OD与AB的位置关系，并说明理由．
5．如图所示，将长方形纸片折叠，使点A落在点A′处，BC为折痕，BD是∠A′BE的平分线，试求∠CBD的度数．
6．如图所示，点O在直线AB上，OE平分∠COD，且∠AOC︰∠COD︰∠DOB＝1︰3︰2，求∠AOE的度数．
7．如图所示，直线AB、CD分别交EF于点G、H，若∠2＝∠3，∠1＝50°，求∠4的度数．
8．如图所示，直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝80°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE︰∠EOD＝2︰3，则∠EOD＝________．
9．如图所示，直线a，b，c两两相交，∠1＝2∠3，∠2＝65°，求∠4的度数．
10．如图所示，已知l
1，l
2
，l
3
相交于点O，∠1＝∠2，∠3︰∠1＝8︰1，求∠
4的度数．
11．如图所示，三条直线相交于一点，求∠1＋∠2＋∠3的度数．
12．如图，直线AB与CD相交于点E，∠1＝∠2，EF平分∠AED，且∠1＝50°，求∠AEC的度数．
13．如图所示，直线AB截直线CD和EF，构成8个角，指出图中的同位角、内错角、同旁内角．
14．如图所示，AO⊥BO于O，CO⊥DO于O，∠BOD＝30°，求∠AOC的度数．15．如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足分别为E，
F ，沿CE ，DF 铺设管道；方案二：连接CD 交AB 于点P ，沿PC 、PD 铺设管道．问：这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料，为什么？
16．如图所示，直线AB ，CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC ．
17．如图所示，小明家在A 处，他要去在同一条路上的B ，C ，D ，E 四家商店中的某一家商店买东西，则他至少要走多少米才可以买到东西？
参考答案
1．40度
【解析】因为∠1＝∠2，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＋∠3＝90°．又因为∠3＝∠4，所以∠1＋∠4＝90°，因为∠4＋∠5＝90°．∠5＝40°，所以∠1＝∠5＝40°，所以∠1应等于40°才能保证黑球进入中洞．
2．为定值
【解析】由折叠可知，∠FEA′＝∠FEA ，∠GEB ＝∠GEA′，所以
12FEA A EA ''∠=∠，12
GEA A EB ''∠=∠．因为∠A′EB＋∠A′EA＝180°，所以1111()180902222
GEA FEA A EB A EA A EB A EA ''''''∠+∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，即∠FEG 的度数为定值．
3．设∠BOF ＝x°，则∠AOF ＝3x°．
因为x ＋3x ＝180（邻补角互补），所以x ＝45，即∠BOF ＝45°，
所以∠AOE ＝∠BOF ＝45°（对顶角相等），所以∠EOC ＝∠AOC －∠AOE ＝90°－45°＝45°．
【解析】这是一道综合题，应综合运用“邻补角互补”、“对顶角相等”等知识转换已知条件，从而进行求解．
4．45° OD ⊥AB
【解析】（1）OC 平分∠AOD ，设∠COD ＝x°，则∠AOC ＝x°，∠BOD ＝2x°，∠AOC ＋∠COD ＋∠BOD ＝180°，即x°＋x°＋2x°＝180°，解得x ＝45，所以∠COD ＝45°．
（2）由（1）知，∠BOD ＝2x°＝90°，所以OD ⊥AB ．
5．90°
【解析】因为点A 折叠后落到点A′处，所以∠ABC ＝∠A′BC．又因为BD 是∠A′BE 的平分线，所以∠A′BD＝∠EBD ，所以
11()1809022
CBD CBA DBA ABA EBA ''''∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，即∠CBD 的度数是90°．
6．75度
【解析】因为∠AOC ︰∠COD ︰∠DOB ＝1︰3︰2，
所以设∠AOC ＝x°，则∠COD ＝3x°，∠DOB ＝2x°．又因为AB 为直线，所以∠AOC ＋∠COD ＋∠DOB ＝180°，
即x＋3x＋2x＝180，x＝30．所以∠AOC＝30°，∠COD＝3x°＝90°．
因为OE平分∠COD，所以
1
45
2
COE COD
∠=∠=︒，所以∠AOE＝∠AOC＋∠COE
＝30°＋45°＝75°．
7．130度
【解析】因为∠2＝∠3，∠2＝∠1（对顶角相等），所以∠3＝∠1＝50°．所以∠4＝180°－∠3＝180°－50°＝130°（邻补角性质）．
8．48°
【解析】因为∠BOE︰∠EOD＝2︰3．故可设∠BOE＝2k°，∠EOD＝3k°．根据对顶角相等可得出∠BOD＝∠AOC＝80°，所以2k°＋3k°＝80°，可得k＝16°，所以∠EOD＝3k°＝3×16°＝48°．
9．度
【解析】因为∠1＝∠2（对顶角相等），且∠2＝65°，所以∠1＝65°．因为∠1＝2∠3，所以∠3＝°．因为∠4＝∠3（对顶角相等），所以∠4＝°．10．36度
【解析】因为∠1＝∠2，∠3︰∠1＝8︰1，所以
8
3180144
10
∠=︒⨯=︒．因为∠4
与∠3互为邻补角，所以∠4＝36°．
11．180度
【解析】如图所示，由“对顶角相等”，可得∠2＝∠4．由平角的定义，知∠1＋∠4＋∠3＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝180°．
12．80度
【解析】因为∠1＝∠2，∠1＝50°，所以∠2＝50°．
又因为EF平分∠AED，
所以∠AED＝2∠2＝100°．
又因为∠AED＋∠AEC＝180°（邻补角的性质），
所以∠AEC＝80°．
13．解：同位角：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8；内错角：∠1与∠7，∠4与∠6；同旁内角：∠1与∠6，∠4与∠7．
【解析】两条直线是CD、EF，截线是AB，根据同位角，内错角，同旁内角的概念即可得出答案．
14．解：因为AO⊥BO，CO⊥DO（已知），所以∠AOB＝∠COD＝90°（垂直的定义）．
因为∠BOD＝30°，所以∠BOC＝∠COD－∠BOD＝60°，∠AOD＝∠AOB－∠BOD＝60°．
所以∠AOC＝∠AOD＋∠BOD＋∠BOC＝150°．
【解析】本题是垂线定义的直接应用．由垂直的定义可知∠AOB、∠COD均为90°，又由∠BOD＝30°可求得∠BOC、∠AOD，从而可求出∠AOC．
15．沿CE、DF铺设管道更节省材料．
【解析】按方案一铺设管道更节省材料．理由如下：因为CE⊥AB，DF⊥AB，而AB与CD不垂直，所以根据“垂线段最短”，可知DF＜DP，CE＜CP，
所以CE＋DF＜CP＋DP，所以沿CE、DF铺设管道更节省材料．
16．65°25°
【解析】因为OF⊥AB，所以∠BOF＝90°．又∠DOF＝65°，所以∠BOD＝90°－65°＝25°．
因为∠AOC＝∠BOD，所以∠AOC＝25°．因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°，所以∠BOE＝90°－∠BOD＝90°－25°＝65°．
17．15米
【解析】由题图可知，小明到C商店买东西最近，所以至少要走15米才可以买到东西．。