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高中数学高考总复习椭圆习题及详解

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高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)

高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)

高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。

高考数学专题《椭圆》习题含答案解析

高考数学专题《椭圆》习题含答案解析

专题9.3 椭圆1.（浙江高考真题）椭圆的离心率是（ ） A B C ．D ．【答案】B 【解析】，选B ． 2.（2019·北京高考真题）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则( )A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B 【解析】 椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.3．（上海高考真题）设p 是椭圆2212516x y+=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A.4B.5C.8D.10【答案】D 【解析】因为椭圆的方程为2251162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=，故选D ．4．（2020·四川资阳�高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点(1,)2，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=22194x y +=235933e ==练基础【答案】A 【解析】依题意，可得2131412a ⎧+=⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22143x y +=. 故选：A5.（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c，直线:4l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A，则4y x =由2AB c =，可知OA c ==c =，解得3x =，所以1,33A c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭把点A代入椭圆方程得到2222131c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得4281890e e -+=，即()()2243230e e --=， 因01e <<，所以可得e =故选A 项.6．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆2211615y x+=的上、下焦点，在椭圆上是否存在点P ，使11PF ，121F F ，21PF 成等差数列？若存在求出1PF 和2PF 的值；若不存在，请说明理由．【答案】不存在；理由见解析． 【分析】假设存在点P 满足题设，解方程组1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩得1PF 和2PF 的值，再检验即得解.【详解】解：假设存在点P 满足题设，则由2211615y x +=及题设条件有1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，即121288PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得1244PF PF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩1244PF PF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩由2211615y x +=，得4a =，1c =． 则135a c PF a c -=≤≤+=，235a c PF a c -=≤≤+=．∵45+，43-， ∴不存在满足题设要求的点P ．7．（2021·全国高三专题练习）设F 是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点i P （1i =，2，…），使1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，求a 的取值范围．【答案】11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【分析】分情况讨论等差数列是递增，还是递减，分别列出不等式求解范围. 【详解】解：注意到椭圆的对称性及i FP 最多只能两两相等，可知题中的等差数列可能是递增的，也可能是递减的，但不可能为常数列，即0d ≠．先考虑一般情形，由等差数列的通项公式有()11n FP FP n d =+-，（n *∈N ），因此11n FP FP n d-=+．对于椭圆2222x y a b +（0a b >>），其焦半径的最大值是a c +，最小值是a c -（其中c =．当等差数列递增时，有n FP a c ≤+，1FP a c ≥-． 从而()12n FP FP a c a c c -≤+--=． 再由题设知1c =，且21n ≥，故2211d ≤+，因此1010d <≤． 同理，当等差数列递减时，可解得1010d -≤<， 故所求d 的取值范围为11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．8．（2021·全国高三专题练习）已知定点()2,2A -，点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点M 在椭圆上移动时，求2AM MF +的最大值；【答案】10+ 【分析】由椭圆定义，转化1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，即得解 【详解】如图所示，设1F 是左焦点，则()13,0F -，1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，而1AF ==∴10AM MF +≤当点F 1在线段AM 上时，等号成立，即AM MF +的最大值为109．（2021·云南师大附中高三月考（理））椭圆C : 22221(0)x y a b a b +=>>点A (2，1)在椭圆C 上，O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过原点，且l ⊥OA ，若l 与椭圆C 交于B ， D 两点，求弦BD 的长度.【答案】（1）22182x y C +=：；（2 【分析】（1）利用离心率和点在椭圆上可求出椭圆的标准方程；（2）先利用直线垂直的判定得到直线l 的斜率和方程，联立直线和椭圆的方程，消元得到关于x 的一元二次方程，进而求出交点坐标，再利用两点间的距离公式进行求解. 【详解】（1）由e =得：12c b a =，， 又点(21)A ，在椭圆上， 所以224114a a +=，得a =b =所以椭圆的方程是22182x y C +=：．（2）直线OA 的方程是12y x =， 因为l OA ⊥，且l 过点O ，所以直线l 的方程是2y x =-， 与椭圆联立，得：2178x =，即x =所以B D ⎛ ⎝，，则||BD = 10．（2021·南昌大学附属中学高二月考）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b +=>>两个焦点，且2259a b =.（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.【答案】（1）此椭圆的方程为22195x y +=；（2）12F PF △. 【分析】（1）由已知条件求出椭圆中229,5a b ==即可得到椭圆方程；（2）结合椭圆的定义以及余弦定理的知识求出12PF PF ⋅的值，运用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b +=>>两个焦点，所以2224c a b =-=，① 又因为2259a b =，②所以由①②可得229,5a b ==，所以此椭圆的方程为22195x y +=.（2）设()12,,,0PF m PF n m n ==>， 由椭圆定义可知26m n a +==，③在12F PF △中，由余弦定理得()2222cos23m n mn c π+-=，即2216m n mn +-=，④由③④式可得，203mn =，所以121120sin 2323F PF S mn π==⨯=△. 即12F PF △.1．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得过点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．⎣⎦C ．2⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．⎫⎪⎣⎭【答案】C 【分析】练提升若长轴端点P '，由椭圆性质：过P 的两条切线互相垂直可得45AP O α'=∠≤︒，结合sin baα=求椭圆离心率的范围. 【详解】在椭圆1C 的长轴端点P '处向圆2C 引两条切线P A '，P B '，若椭圆1C 上存在点P ，使过P 的两条切线互相垂直，则只需90AP B '∠≤︒，即45AP O α'=∠≤︒，∴sin sin 452b a α=≤︒=222a c ≤， ∴212e ≥，又01e <<，1e ≤<，即e ⎫∈⎪⎪⎣⎭． 故选：C2．（2020·湖北黄州�黄冈中学高三其他（文））已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，经过原点的直线与C 交于A ，B 两点，总有120AFB ∠≥︒，则椭圆C 离心率的取值范围为______.【答案】10,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】如图，设椭圆右焦点为2F ，由对称性知2AFBF 是平行四边形，22AF F BFF ∠=∠， ∵120FB ∠≥︒，∴260FAF ∠≤︒，设AF m =，2AF n =，由椭圆定义知2m n a +=，则22()4m n mn a +≤=，当且仅当m n =时等号成立， 在2AFF 中，由余弦定理得2222222222222()244444cos 11122222m n FF m n mn c a c a c FAF e mnmn mn a+-+----∠===-≥-=-，又260FAF ∠≤︒，21cos 2FAF ∠≥，∴21122e -≥，解得102e <≤． 故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．3.（2019·浙江高三月考）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过1F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆相交于AB 两点，且113AF F B =，则k =___.【答案】21 【解析】由于点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，由于y x =的倾斜角为π4,画出图像如下图所示，由于O 是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知12QF F ∆为等腰直角三角形，且Q 为短轴的端点，故离心率πcos 42c a ==.不妨设,a b c t ===，则椭圆方程化为222220x y t +-=，设直线AB 的方程为10x my t m k ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，代入椭圆方程并化简得()222220my mty t +--=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12222mty y m +=+①，21222t y y m -⋅=+②.由于113AF F B =，故123y y =-③.解由①②③组成的方程组得1m =，即11,1k k==.故填：（1）2；（2）1.4．（2019·浙江温州中学高三月考）已知点P 在圆22680x y y +-+=上，点Q 在椭圆()22211x y a a+=>上，且PQ 的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，则PQ QF +的最大值等于__________．5+【解析】22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=，圆心(0,3)A .PQ 的最大值为5等价于AQ 的最大值为4设(,)Q x y ，即22(3)16x y +-≤，又()22211xy a a+=>化简得到222(1)670(11)a y y a y --+-≤-≤≤ 当1y =-时，验证等号成立 对称轴为231x a =-满足231,21x a a =≤-≤-故12a <≤22222211314c a e e a a a -===-≤∴≤故离心率最大值为2当2a =时，离心率有最大值，此时椭圆方程为2214x y +=，设左焦点为1F11141455PQ QF PQ QF AQ QF AF +=+-≤++-≤+=+当1,,,A F P Q 共线时取等号.5+5．（2020·浙江高三月考）已知P 是椭圆2222111x y a b +=（110>>a b ）和双曲线2222221x y a b -=（220,0a b >>）的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值为________．【答案】2. 【解析】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，那么12PF PF >， 因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为c ， 根据椭圆与双曲线的定义，有：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 解得112=+PF a a ，212=-PF a a ， 在12F PF ∆中，由余弦定理，可得： 2221212122cos3π=+-F F PF PF PF PF ，即222121212124()()()()=++--+-c a a a a a a a a ， 整理得2221243=+c a a ， 所以22121134+=e e ，又221212113+≥e e ，所以12≥e e .6．（2020·浙江高三其他）已知当动点P 到定点F （焦点）和到定直线0x x =的距离之比为离心率时，该直线便是椭圆的准线.过椭圆2214x y +=上任意一点P ，做椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH (λ≥1).当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是___.【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】由题可知：椭圆2214x y +=的右准线方程为x =设()()00,,,P x y Q x y ，所以点03⎫⎪⎝⎭H y由λ=HQ PH ，所以λ=HQ PH0⎛⎫=- ⎪⎝⎭HQ x y y ，0,0⎫=⎪⎭PH x又λ=HQ PH ，所以00,0λ⎛⎫⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎭x y y x 所以00x y y ==由220014x y +=221=y 则点Q 221+=y 设点Q 的轨迹的离心率e则2222411144λλλ-==-e 由1λ≥，所以213144λ-≥ 所以234e ≥，则e ≥，又1e < 所以⎫∈⎪⎪⎣⎭e 故答案为：⎫⎪⎪⎣⎭7．（2021·全国高三专题练习）设椭圆的中心在坐标原点.长轴在z 轴上，离心率e =知点30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，求椭圆方程，并求椭圆上到点O 的距离的点的坐标.【答案】2214x y +=;12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】设以P 点为圆心的圆与椭圆相切，结合判别式等于零，参数值可确定，符合条件的两个点的坐标也可求得. 【详解】∵e =c a =2234c a =.∵222a c b -=，∴2214a b =，224a b =，∴设椭圆方程为222214x y b b+=①又∵30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则可构造圆22372x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. ②此圆必与椭圆相切，如图所示，由①②整理得221933404y y b ++-=.∵椭圆与圆相切，∴219912404b ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，③ ∴1b =，则2a =.则所求椭圆方程为2214x y +=. ④把1b =代入方程③可得12y =-，把12y =-代入④得x =∴椭圆上到点P的点的坐标为12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.8．（2021·全国高三专题练习）椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 为其上动点，当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.【答案】⎛ ⎝⎭【分析】当12F PF ∠为直角时，作以原点为圆心，2OF 为半径的圆，若该圆与已知椭圆相交，则圆内的椭圆弧所对应的x 的取值范围即为所求点P 横坐标的取值范围. 【详解】22194x y +=的焦点为1(F、2F ， 如图所示：A 、B 、C 、D 四点， 此时12F AF ∠、12F BF ∠、12F CF ∠、12F DF ∠都为直角， 所以当角的顶点P 在圆内部的椭圆弧上时，12F PF ∠为钝角，由22221945x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得x x ==. 因为椭圆和圆都关于坐标轴对称，所以点P横坐标的取值范围是⎛ ⎝⎭.9．（2021·全国）（1）已知1F ，2F 是椭圆22110064x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，求12PF PF ⋅的最大值；（2）已知()1,1A ，1F 是椭圆225945x y +=的左焦点，点P 是椭圆上的动点，求1PA PF +的最大值和最小值．【答案】（1）100；（2）1||||PA PF +的最大值为66 【分析】（1）利用椭圆定义和基本不等式求12||||PF PF ⋅的最值；（2）求1||||PA PF +的最值时，利用椭圆的定义将其转化为求2||||PF PA -的最值，显然当P ，A ，2F 三点共线时取得最值． 【详解】（1）∵10a =，1220||||PF PF =+≥，当且仅当12||||PF PF =时取等号， ∴12||||100PF PF ⋅≤，当且仅当12||||PF PF =时取等号， ∴12||||PF PF ⋅的最大值为100．（2）设2F 为椭圆的右焦点，225945x y +=可化为22195x y+=， 由已知，得12||||26PF PF a +==，∴12||6||PF PF =-， ∴()12||||6||||PA PF PF PA +=--．①当2||||PA PF >时，有220||||||PA PF AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最大，此时点P 是射线2AF 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最大值是6②当2||||PA PF <时，有220||||||PF PA AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最小，此时点P 是射线2F A 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最小值是6 综上，可知1||||PA PF +的最大值为6610．（2021·贵州高三月考（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线l经过椭圆C 的右焦点F 与上顶点，原点O 到直线l. （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率不为0的直线n 过点F ，与椭圆C 交于M ，N 两点，若椭圆C 上一点P 满足263MN OP =，求直线n 的斜率. 【答案】（1）2212x y +=；（2）±1.【分析】（1）由已知条件可得c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再结合222a b c =+，可求出,a b ，从而可求得椭圆方程，（2）设直线n 的方程为1x my =+，设点()()1122,,,M x y N x y ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x ，利用根与系数的关系，结合263MN OP =表示出点P 的坐标，再将其坐标代入椭圆方程中可求得直线n 的斜率 【详解】（1）由题意可得椭圆C 的右焦点(c,0)F 与上顶点(0,)b ， 所以直线l 为1x yc b+=，即0bx cy bc +-=，因为椭圆C ，原点O 到直线0bx cy bc +-=所以c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c =+，解得1b c==，a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线n 的斜率不为0，所以可设直线n 的方程为1x my =+.设点()()1122,,,M x y N x y ，联立方程22220,1,x y x my ⎧+-=⎨=+⎩得()222210my my ++-=，则12122221,22m y y y y m m +=-=-++. 因为263MN OP=，所以))2121P x x y y ⎫--⎪⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入椭圆方程得1212223x x y y +=-， 即()()121221123my my y y +++=-，解得21m =， 故直线n 的斜率为±1.1．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）练真题A．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出 PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可． 【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤当32b b c ->-，即22b c <时， 42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立． 故选：C ．2.（2018·全国高考真题（理））已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D 【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP斜率为6得，222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D. 3.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 4.（2019·全国高考真题（文））设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M 的坐标为(．5．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>. （1）证明：3ab ；（2）若点9,10M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥. ①求直线l 的方程； ②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（20y -=；②2213x y +=.【分析】（1）由ba=可证得结论成立； （2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程. 【详解】（1）c e a ===b a ∴=，因此，3a b ；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当9,10⎛ ⎝⎭在椭圆C的内部时，22293310b ⎛⎛⎫+⋅< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，可得b > 设点()11,P x y 、()22,Q x y，则121292102x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以，1212y y x x +=+ 由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=， 所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝ 所以，直线l方程为910y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝⎭，即y = 所以，直线l0y --=；②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->， 由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥，而()11,OP x y =，()22,OQ x y =，))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++ ()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==，因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.6. （2020·天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-． 【解析】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF=，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++， 所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=， 又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.。

椭圆高中练习题及讲解

椭圆高中练习题及讲解

椭圆高中练习题及讲解椭圆是圆锥曲线的一种，其定义为平面上所有到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。

这个常数称为椭圆的长轴长度，而长轴长度的一半称为椭圆的长半轴。

椭圆的另一个重要参数是短半轴，它的长度是长半轴的一半乘以椭圆的离心率的倒数。

### 练习题1. 椭圆的基本性质给定一个椭圆，其长半轴为6，短半轴为4，求椭圆的离心率。

2. 椭圆的方程已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，求椭圆的方程，其中长半轴a=5，短半轴b=3。

3. 椭圆的切线若点P(2,3)在椭圆x²/16 + y²/9 = 1上，求过点P的椭圆切线的方程。

4. 椭圆与直线的位置关系直线y=2x+4与椭圆x²/25 + y²/16 = 1相交于两点，求这两点的坐标。

5. 椭圆的面积求椭圆x²/100 + y²/64 = 1的面积。

### 讲解1. 椭圆的基本性质离心率e定义为焦点到椭圆上任意一点的距离与长半轴的比值。

由于椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴长度，设长轴长度为2a，那么离心率e = √(1 - (b²/a²))。

对于本题，a=6，b=4，所以e = √(1 - (4²/6²)) = √(1 - 4/9) = √(5/9)。

2. 椭圆的方程当椭圆的中心在原点，焦点在x轴上时，椭圆的方程为x²/a² + y²/b² = 1。

代入a=5，b=3，得到椭圆的方程为x²/25 + y²/9 = 1。

3. 椭圆的切线对于椭圆上的点P(2,3)，切线斜率可以通过椭圆的梯度求得。

首先求椭圆在点P处的梯度，然后切线的斜率是梯度的负倒数。

具体计算过程涉及到求导和使用点斜式方程。

4. 椭圆与直线的位置关系将直线方程代入椭圆方程，得到一个关于x的二次方程，解此方程可得x的值，再代回直线方程求得y的值，从而得到交点的坐标。

高考椭圆题型总结有答案

高考椭圆题型总结有答案

高考椭圆题型总结有答案椭圆题型总结一、椭圆的定义和方程问题一)定义:命题甲：动点P到两点A,B的距离之和PA+PB=2a(a>0，常数)。

命题乙：P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的充要条件。

已知F1、F2是两个定点，且F1F2=4，若动点P满足PF1+PF2=4，则动点P的轨迹是椭圆。

已知1、2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一个动点，如果延长1到P，使得PQ=PF2，那么动点的轨迹是圆。

x^2+y^2=1上一点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，椭圆则ON的值是4.O是椭圆的中心，(1,0)是椭圆的左焦点，P在椭圆上运动，定点A（1，1）。

选做：已知F1是椭圆，求|PA|+|PF1|的最小值。

二)标准方程求参数范围试讨论k的取值范围，使方程(5-k)x^2+ky^2-3=0表示圆、椭圆、双曲线。

m>n>0”是“方程mx+ny=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件。

若方程xsinα+ycosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，α所在的象限是第二象限。

方程x=1-3y所表示的曲线是椭圆的右半部分。

已知方程x+ky=2表示焦点在X轴上的椭圆，则实数k的范围是k>1.1.根据下列条件求椭圆的标准方程：1) 两个焦点的坐标分别为(0,5)和(0,-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；2) 长轴是短轴的2倍，且过点(2,-6)；3) 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6,1)、P2(-3,-2)。

二、简单几何性质椭圆的离心率为e=√(1-b^2/a^2)，其中a、b分别为长轴和短轴的一半。

椭圆的周长为C=4aE(e)，其中E(e)为第二类完全椭圆积分。

椭圆的面积为S=πab。

点M(x,y)满足x2/25+(y+3)2/16=1，求点M的轨迹方程。

2.已知动点P(x,y)过定点A(-3,0)，并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其相内切，求动点P的轨迹方程。

专题22 椭圆(解答题压轴题)(教师版)-2024年高考数学压轴专题复习

专题22 椭圆(解答题压轴题)(教师版)-2024年高考数学压轴专题复习

专题22 椭圆（解答题压轴题）目录①椭圆的弦长（焦点弦）问题 (1)②椭圆的中点弦问题 (10)③椭圆中的面积问题 (15)④椭圆中的参数和范围问题 (22)⑤椭圆中的最值问题 (28)⑥椭圆中定点、定值、定直线问题 (35)⑦椭圆中向量问题 (42)⑧椭圆综合问题 (48)所以()2216432224m m ∆=-⨯⨯-=解得33m -<<．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -=2．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆C上一点．(1)求C的方程；(2)设M，N是C上两点，若线段MN3．（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知椭圆椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段则2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得(x 所以()()(1212124x x x x y y +-++又因为P 是DE 中点，所以1x +3．（2023秋·安徽亳州·高三校考阶段练习）令21230t k=->，故24k=当且仅当12tt=，即23,t k=故AOBV面积的最大值为3.）由题意得，四边形ABCD为菱形，则菱形ABCD的面积1S AC=⋅令235t n -=，得2716970n n -+=，解得7n =或977n =，从而2t =±或11621t =±.故直线l 的方程为23x y =±-，或116x =±④椭圆中的参数和范围问题1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点）显然直线l 的斜率存在，设直线:1l y kx =+，1,1)y ，2(B x ,2)y ，则2(D x λ,2)y λ，四边形OAED 为平行四边形，AE =，12(E x x λ+,12)y y λ+，A ，B ，E 均在椭圆C 上，2114y +=，2222194x y +=，221212()()194x x y y λλ+++=，0，2129180x y y λ++=，依题意，设直线l 的方程为(1)(y k x =-易得12x x <．联立方程组()221,1,4y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得则2122814k x x k +=+，()21224114k x x k -=+，）得()20A ，，设直线l 的方程为x =2214x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2242m y mty ++()()()222Δ244416mt m t m =-+-=2mt 24t -）C 短轴顶点时，PAB V 的面积取最大值222a b c =+，解得2,a b =的标准方程为2214x y += .）1122(,),(,)P x y Q x y ，若直线PQ 的斜率为零，由对称性知1111022y y x x -==++，222y k x -=-设直线PQ 的方程为x ty n =+由()2224y k x x y ⎧=+⎨+=⎩，得(2k +()()(22121k x k x ⎡⎤++-+⎣⎦解得()22211k x k -=+或x =-）)()0011,,,x y A x y ，()22,B x y ，则可设直线PA 的方程为1x my =-，其中221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得(234m +）为椭圆C 的左顶点，又由（1）可知：(2,0)M -，设直线联立方程可得：222(44x ty mt x y =+⎧⇒+⎨+=⎩()()22224(4)40mt t m =-+->，即设直线:l y kx m =+交该椭圆220x +将y kx m =+代入221205x y +=得()2221484200k x kmx m +++-=设()11,D x y ，()22,E x y ，则21221621k x x k +=+，12x x ∴()1212542x x x x =+-，又()2,0A -，()2,0B ，∴直线AD 的方程为()1122y y x x =++，直线BE 的方程为1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C的标准方程；2．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知椭圆长轴长为6．(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上下顶点分别为,A B，右顶点为C，过点于x轴对称，直线AP交BC于M，直线AQ交BC于点【答案】(1)221 94x y+=(2)证明见解析【详解】（1）根据题意可知26a=，可得3a=；联立直线与椭圆方程221942x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去设(),P P P x y ，易知P x 和0是方程的两根，由韦达定理可得又2P P y kx =+，所以2218894P k y k -=+，即1．（2023秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知椭圆3。

2024全国高考真题数学汇编：椭圆(1)精选全文完整版

2024全国高考真题数学汇编：椭圆(1)精选全文完整版

2024全国高考真题数学汇编椭圆一、单选题1．（2024全国高考真题）已知曲线C ：2216x y （0y ），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y（0y ）B ．221168x y （0y ）C ．221164y x （0y ）D ．221168y x （0y ）二、解答题2．（2024天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b椭圆的离心率12e ．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △(1)求椭圆方程．(2)过点30,2的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．3．（2024北京高考真题）已知椭圆E ： 222210x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 0,t t 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和 0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．4．（2024全国高考真题）已知(0,3)A 和33,2P 为椭圆2222:1(0)x yC a b a b上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．5．（2024全国高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的右焦点为F ，点31,2M 在C 上，且MF x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点 4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y 轴．参考答案1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x ，因为M 为PP 的中点，所以02y y ，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y 上，所以22416(0)x y y ，即221(0)164x y y ，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y .故选：A2．(1)221129x y (2)存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx， 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ，再根据0TP TQ 可求t 的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e，故2a c，b ，其中c 为半焦距，所以2,0,0,,0,2A c B C，故122ABC S c △故ca ，3b ，故椭圆方程为：221129x y .（2）若过点30,2的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx ，设 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx可得223412270k x kx ，故 222Δ144108343245760k k k 且1212221227,,3434k x x x x k k而 1122,,,TP x y t TQ x y t，故121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t22121233122kx x k t x x t22222731231342342k k k t t kk2222222327271812332234k k k t t t k k22223321245327234t t k t k，因为0TP TQ 恒成立，故 223212450332702t t t，解得332t .若过点30,2的动直线的斜率不存在，则 0,3,0,3P Q 或 0,3,0,3P Q ，此时需33t ，两者结合可得332t.综上，存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.3．(1)221,422x y e(2)2t 【分析】（1）由题意得b c a ，由此即可得解；（2）设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k ，而 121112:y y AD y x x y x x ，令0x ，即可得解.【详解】（1）由题意b c，从而2a ，所以椭圆方程为22142x y，离心率为e；（2）直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t，化简并整理得222124240k x ktx t ，由题意 222222Δ1682128420k t k t k t ，即,k t 应满足22420k t ，所以2121222424,1221kt t x x x x k k ，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设 22,D x y ，所以 121112:y y AD y x x y x x，在直线AD 方程中令0x ，得 2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt ，所以2t ，此时k 应满足222424200k t k k，即k应满足2k或2k ，综上所述，2t满足题意，此时2k或2k .4．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y 或20x y .【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设 00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx ，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】（1）由题意得2239941b a b，解得22912b a ，所以12e .（2）法一：3312032APk，则直线AP 的方程为132y x ，即260x y ，AP 1）知22:1129x y C ，设点B 到直线AP 的距离为d，则d则将直线AP 沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ，6C 或18C ，当6C 时，联立221129260x y x y，解得03x y 或332x y ，即 0,3B 或33,2，当 0,3B 时，此时32l k，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当33,2B时，此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，当18C 时，联立2211292180x y x y得22271170y y ，227421172070 ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP 的距离d设 00,B x y，则220012551129x y，解得00332x y 或0003x y ，即 0,3B 或33,2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d设,3sin B ，其中 0,2联立22cos sin 1，解得cos 21sin 2或cos 0sin 1，即 0,3B 或33,2，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 0,3B ，16392PAB S ，符合题意，此时32l k ，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx ，联立椭圆方程有2231129y kx x y，则2243240k x kx ，其中AP k k ，即12k ，解得0x 或22443kx k，0k ，12k ，令22443k x k ，则2212943k y k ，则22224129,4343k k B k k同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d，解得32k =，此时33,2B，则得到此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x，令 1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y，消y 可得 22224324123636270k x k k x k k ，2222Δ24124433636270k kk k k ，且AP k k ，即12k ，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k，A 到直线PB距离192PAB d S，12k或32，均满足题意，1:2l y x 或332y x ，即3260x y 或20x y .法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(2l y k x，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x ，则30,32Q k，联立223323436y kx k x y，则有2223348336362702k x k k x k k ，2223348336362702k xk k x k k，其中22223Δ8343436362702k k k k k，且12k ，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k，则211312183922234P B k S AQ x x k k，解的12k 或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x或332y x ，即3260x y 或20x y .5．(1)22143x y (2)证明见解析【分析】（1）设 ,0F c ，根据M 的坐标及MF x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y ，结合韦达定理化简前者可得10Q y y ，故可证AQ y 轴.【详解】（1）设 ,0F c ，由题设有1c 且232b a ，故2132a a ，故2a，故b ，故椭圆方程为22143x y .（2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y，由223412(4)x y y k x 可得 2222343264120k x k x k ，故 422Δ102443464120k k k ，故1122k ，又22121222326412,3434k k x x x x k k ，而5,02N，故直线225:522y BN y x x ，故22223325252Qy y y x x，所以 1222112225332525Q y x y y y y y x x12224253425k x x k x x222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x2222212824160243234025k k k k k x ，故1Q y y ，即AQ y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意 的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x 、12x x （或12y y 、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。

高三数学椭圆常考题型

高三数学椭圆常考题型

高三数学椭圆常考题型一、椭圆的基本性质椭圆是一种常见的二次曲线，具有以下基本性质：1. 椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0)。

2. 椭圆的焦点距离为：c = sqrt(a^2 - b^2)。

3. 椭圆的离心率e = c/a，离心率的取值范围是[0,1]。

4. 椭圆的准线方程为：x = ±a^2/c。

二、常考题型及解析1. 椭圆的定义与标准方程【例1】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为1/2，且椭圆C上一点到两焦点的距离之和为4。

(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若AB是过椭圆C中心的弦，M是AB的中点，且|AB| = 4√5，求线段AB 的长。

【解析】(1) 根据题意，设椭圆C的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0)。

由离心率的定义，我们有e = c/a = 1/2。

再根据椭圆的定义，到两焦点的距离之和为4，所以2a = 4，即a = 2。

由离心率的定义和已知条件，我们可以得到b = sqrt(a^2 - c^2) = sqrt(4 - 1) = sqrt3。

所以椭圆C的标准方程为：x^2/4 + y^2/3 = 1。

(2) 设AB的方程为y = kx + t。

代入椭圆方程得到二次方程(3 + 4k^2)x^2 +8ktx + 4t^2 - 12 = 0。

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有x1 + x2 = -8kt/(3 + 4k^2)，x1x2 = (4t^2 - 12)/(3 + 4k^2)。

由弦长公式得|AB| = sqrt((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2) = sqrt((1 + k^2)(x1 - x2)^2) = sqrt((1 + k^2)[(x1 + x2)^2 - 4x1x2])。

将已知条件代入得到k 和t 的关系，进一步求出线段AB的长为8sqrt(3-k^2)。

高三数学椭圆试题答案及解析

高三数学椭圆试题答案及解析

高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。

（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.已知A、B是椭圆上的两点，且，其中F为椭圆的右焦点.（1）当时，求直线AB的方程;（2）设点，求证:当实数变化时，恒为定值.【答案】（1）；（2）见解析。

【解析】（1）利用A、F、B共线及其所在位置，找出λ满足的关系式，求出范围；（2）假设这样的M点存在，利用为定值寻求相应点的坐标.试题解析：（1）由已知条件知，直线过椭圆右焦点.又直线不与轴重合时，可设，代入椭圆方程，并整理得.设，由根与系数的关系得，.又由得，所以，.于是，解之得.故直线AB的方程为.（7分）（2）为定值.（经检验，当与轴重合时也成立）（13分）【考点】【考点】直线与椭圆的位置关系，平面向量3.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A．－＝1B．＋＝1C．－＝1D．＋＝1【答案】D【解析】M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1．4.已知椭圆C：（）的左焦点为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）由已知得：，，所以，再由可得，从而得椭圆的标准方程. ）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.面积，而，所以只要求出的值即可得面积.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.再结合韦达定理即可得的值.试题解析：（1）由已知得：，，所以又由，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2）椭圆方程化为.设T点的坐标为，则直线TF的斜率.当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.将代入椭圆方程得：.其判别式.设，则.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.所以，解得.此时四边形OPTQ的面积.【考点】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.5.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）.（1）求点P的坐标；（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线交于A，B两点，若的面积为2，求C的标准方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先设切点，由圆的切线的性质，根据半径的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为，建立目标函数．故要求面积最小值，只需确定的最大值，由结合目标函数，易求；（2）设椭圆标准方程为，点在椭圆上，代入点得①，利用弦长公式表示，利用点到直线距离公式求高，进而表示的面积，与①联立，可确定，进而确定椭圆的标准方程．（1）设切点坐标为．则切线斜率为．切线方程为．即．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积．由知当且仅当时，有最大值．即有最小值．因此点的坐标为．（2）设的标准方程为．点．由点在上知．并由得．又是方程的根，因此，由，，得．由点到直线的距离为及得．解得或．因此，（舍）或，．从而所求的方程为．【考点】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式．6.已知抛物线的准线与椭圆相切，且该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2,则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的准线为又抛物线的准线与椭圆相切，所以，且切点为下顶点因为该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2，所以，即得由得所以故选【考点】抛物线和椭圆的简单几何性质；椭圆的离心率.7.已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由题意知在双曲线中得，在椭圆中，所以离心率为.选．【考点】椭圆、双曲线的几何性质.8.已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，且椭圆C上一点与两个焦点F1，F2构成的三角形的周长为2+2．(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F2作直线l 与椭圆C交于A，B两点，设，若，求的取值范围．【答案】(1) ； (2)【解析】(1)由题设知椭圆的标准方程为(2)因为当直线的斜率不存在时，，不适合题意，所以直线的斜率存在，设为，直线的方程为，它与椭圆的两交点坐标，则由得通过方程组，借助韦达定理，得到，结合得到与的关系式，并且可由得到的取值范围；另一方面，因为由前述的取值范围可使问题得到解决.试题解析：解：(1)由题意知：，且， 2分解得， 3分椭圆的方程为 . 4分(2)由题意得直线的斜率存在，右焦点，可设直线的方程为：由得由题意设，则 6分由得 7分9分令，在上单调递增，可得故，解得 2分= 13分即的取值范围是 14分【考点】1、椭圆的标准方程；2、平面向量的数乘运算与数量积；3、直线与椭圆的位置关系. 9.如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则的离心率是（）．A．B．C．D．【答案】【解析】由题意知，的离心率是，故选【考点】椭圆、双曲线的几何性质.10.已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,且．(1)求椭圆的标准方程；（2）若动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点,问：是否存在一个定点,使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】（1）根据椭圆的右焦点，右顶点，且，求出椭圆的几何量，即可求椭圆的标准方程；（2）直线：，代入椭圆方程，结合，求出的坐标(参数表示)，求出向量的坐标，利用，进行整理，如果为定值，那么不随的变化而变化，建立关于的方程，即可得出结论．此题属于中等题型，关键表示出P点坐标，转化为过定点恒成立的形式.试题解析：（1）由，，椭圆C的标准方程为. 4分得：， 6分.,,即P. 9分M.又Q，，，+=恒成立，故，即.存在点M（1,0）适合题意. 12分【考点】直线与圆锥的综合问题11.如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．【答案】（1）；（2）满足条件的点Q存在，且有两个.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质，考查学生的转化思想和数形结合思想，考查分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，先由长轴长得到a的值，设出椭圆的标准方程，利用已知条件数形结合得到C点坐标，将C点坐标代入到椭圆中，得到b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，先设出Q点坐标，利用已知等式计算，可知点Q在直线上，点在直线上，而在椭圆内部，数形结合得存在点Q而且存在2个；法二：用和椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，看方程的判别式，判别式大于0时，方程有2个根，则直线与椭圆有2个交点；第三问，设出点P的坐标，由切线的性质得四点共圆，此圆的圆心为，直径为OP，得到此圆的方程，M、N既在此圆上，又在圆O上，2个方程联立，解出直线MN的方程，得出截距的值，再转化出P点坐标代入到椭圆中即可；法二：设出点P、M、N的坐标，利用直线的垂直关系，利用斜率列出等式，转化成直线PM和直线PN的方程，从而得到直线MN的方程.试题解析：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，设椭圆E的方程为 2分由椭圆的对称性知|OC|＝|OB|又∵，|BC|＝2|AC|∴AC⊥BC，|OC|＝|AC|∴△AOC为等腰直角三角形，∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1)， 4分将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得∴所求的椭圆E的方程为 5分（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即点Q在直线上， 7分∴点Q即直线与椭圆E的交点，∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，∴满足条件的点Q存在，且有两个． 9分解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即，① -7分又∵点Q在椭圆E上，∴，②由①式得代入②式并整理得：， -③∵方程③的根判别式，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个． 9分（3）解法一：设点，由M、N是的切点知，,∴O、M、P、N四点在同一圆上， 10分且圆的直径为OP,则圆心为，其方程为， 11分即 -④即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，∴M、N坐标也满足方程 -⑤⑤-④得直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值. 14分解法二：设点则 10分直线PM的方程为化简得④同理可得直线PN的方程为 -⑤ 11分把P点的坐标代入④、⑤得∴直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值． -14分【考点】1.椭圆的标准方程；2.四点共圆；3.圆的标准方程.12.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(-2,0)，且长轴长与短轴长的比为，（1）求椭圆C的方程；（2）设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，设点P是椭圆上的任意一点，若当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的中心在原点可以设出椭圆的标准方程，已知焦点坐标，故可求的c值，所以利用长轴长与短轴长之比和a,b,c的关系可以建立关于a,b的两个方程式联立消元即可求的a,b的值，得到椭圆的标准方差.（2）根据题意设点P的坐标，表示,利用点P在椭圆上，得到关于m和P点横坐标的表达式，利用二次函数最值问题，可以得到取得最小值时，m和P点横坐标之间的关系，再利用P横坐标的范围得到m的取值范围即可.试题解析：（1）设椭圆的方程为. 1分由题意有：， 3分解得. 5分故椭圆的方程为. 6分（2）设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故. 7分因为，所以10分因为当最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，即当时，取得最小值．而，故有，解得． 12分又点在椭圆的长轴上，即． 13分故实数的取值范围是． 14分【考点】椭圆标准方程椭圆几何性质最值13.已知是椭圆上两点，点的坐标为.（1）当关于点对称时，求证：；（2）当直线经过点时，求证：不可能为等边三角形.【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.【解析】（1）利用“点代法”求点的坐标关系，在求解过程中证明结论.因为关于点对称，所以，代入椭圆方程得，两式相减得，所以（2）本题实质为“弦中点”问题，设中点为，由“点差法”得又假设为等边三角形时，有所以这与弦中点在椭圆内部矛盾，所以假设不成立.试题解析：（1）证明：因为在椭圆上，所以 1分因为关于点对称，所以， 2分将代入②得③，由①和③消解得， 4分所以. 5分（2）当直线斜率不存在时，，可得，不是等边三角形. 6分当直线斜率存在时，显然斜率不为0.设直线：，中点为，联立消去得， 7分由，得到① 8分又,所以，所以 10分假设为等边三角形，则有，又因为，所以，即， 11分化简，解得或 12分这与①式矛盾，所以假设不成立.因此对于任意不能使得,故不能为等边三角形. 14分【考点】弦中点问题，点代法求点的坐标14.已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得所以【考点】圆的切线长，椭圆定义15.如图，正方形CDEF内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ的顶点G,H在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边EF上．且CD=2PQ=．(1)求椭圆的方程；(2)已知点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m:≠0)，l交椭圆于A,B两个不同点，求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由图形分析，利用CD和PQ的边长得出点E和点G的坐标，由于这2点都在椭圆上，联立方程得出和，从而得到椭圆的标准方程；第二问，通过对题意的分析，只需证明直线MA，MB的斜率之和为0即可，设出A，B点坐标，列出2条直线的斜率的表达式，直线与椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，列出两根之和与两根之积，而通过转化可以将得到的两根之和与两根之积代入，只要最后化简结果为0即可.试题解析：(1)∵，∴点，又∵，∴点，则，解得，∴椭圆方程.（4分）(2)设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2＝0即可，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，直线l方程为，代入椭圆方程消去y，得x2＋2mx＋2m2－4＝0可得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.（9分）而，（12分）∴k1＋k2＝0，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.（13分）【考点】1.椭圆的标准方程；2.韦达定理.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＝1的右顶点，点D(1，0)，点P、B在椭圆上，＝.(1) 求直线BD的方程；(2) 求直线BD被过P、A、B三点的圆C截得的弦长；(3) 是否存在分别以PB、PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x＋y－1＝0.（2）4（3）x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝2【解析】1) 设P(x0，y)．因为＝，且D(1，0)，A(3，0)，点B、P在椭圆上，所以B(－x，y 0)，所以x＝1，将其代入椭圆，得y＝2，所以P(1，2)，B(－1，2)．所以直线BD的方程为x＋y－1＝0.(2) 线段BP的垂直平分线方程为x＝0，线段AP的垂直平分线方程为y＝x－1.解方程组得圆心C的坐标为(0，－1)．所以圆C的半径r＝CP＝.因为圆心C(0，－1)到直线BD的距离为d＝＝，所以直线BD被圆C截得的弦长为2 ＝4.(3) 这样的圆M与圆N存在．由题意得，点M一定在y轴上，点N一定在线段PC的垂直平分线y＝x－1上．当圆M与圆N是两个相外切的等圆时，一定有P、M、N在一条直线上，且PM＝PN.M(0，b)，则N(2，4－b)．因为点N(2，4－b)在直线y＝x－1上，所以4－b＝2－1，b＝3.所以这两个圆的半径为PM＝，方程分别为x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝217.P为圆A：上的动点，点.线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.（1）求曲线Γ的方程；（2）当点P在第一象限，且时，求点M的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的定义和标准方程、圆的方程、直线的方程、直线与曲线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. 第一问，根据圆的方程得到圆心A的坐标和半径的长，利用垂直平分线得到，而，所以，根据椭圆的定义，判断点M的轨迹为椭圆，得到椭圆的标准方程；根据已知条件先得出P点坐标，从而得到直线AP的方程，利用直线与椭圆相交解出M点坐标，过程中应注意方程根的取舍.试题解析：（1）圆的圆心为，半径等于．由已知，于是，故曲线Γ是以为焦点，以为长轴长的椭圆，，曲线Γ的方程为． 5分（2）由，，得． 8分于是直线方程为．由解得，，．由于点在线段上，所以点坐标为． 12分【考点】1.椭圆的定义及标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.18.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点,且=3,则C的方程为()(A) +y2=1 (B) +=1(C) +=1 (D) +=1【答案】C【解析】依题意设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由条件可得A（1,）,B（1,-）,因|AB|= -（-）==3,即2b2=3a,所以解得所以椭圆C的方程为+=1.故选C.19.设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为的点P的个数为.【答案】4【解析】【思路点拨】先求出弦长|AB|,进而求出点P到直线AB的距离,再求出与l平行且与椭圆相切的直线方程,最后数形结合求解.由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故|AB|=,要使△PAB的面积为,即··h=,所以h=.联立y=-2x+m与椭圆方程x2+=1得8x2-4mx+m2-4=0,令Δ=0得m=±2,即平移直线l到y=-2x±2时与椭圆相切,它们与直线l的距离d=都大于,所以一共有4个点符合要求.20.已知椭圆C：＝1，过点M(2，0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．在x 轴上若存在定点P，使PM平分∠APB，则P的坐标为________．【答案】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得(4m2＋9)y2＋16my－20＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA ＋kPB＝0.设P(a，0)，则有＋＝0，将x1＝my1＋2，x2＝my2＋2代入上式，整理得＝0，所以2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝0.将y1＋y2＝，y1y2＝代入上式，整理得(－2a＋9)·m＝0.由于上式对任意实数m都成立，所以a＝.综上，x轴上存在定点P，使PM平分∠APB.21.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.（1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）抛物线上存在一点，使得与关于直线对称．【解析】（1）求椭圆的方程，可利用待定系数法求出的值即可，首先确定抛物线的焦点与准线方程为，利用椭圆焦点与抛物线的焦点重合，得，且截抛物线的准线所得弦长为，得交点为，建立方程，求出的值，即可求得椭圆的方程；（2）根据倾斜角为的直线过点，可得直线的方程，由（1）知椭圆的另一个焦点为，利用与关于直线对称，利用对称，可求得的坐标，由此可得结论．试题解析：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，∴① 2分又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，∴得上交点为，∴② 4分由①代入②得，解得或（舍去），从而∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为 6分（2）∵倾斜角为的直线过点，∴直线的方程为，即， 7分由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得， 9分解得，即， 2分又满足，故点在抛物线上。

高考椭圆试题及答案

高考椭圆试题及答案

高考椭圆试题及答案一、选择题1. 已知椭圆的方程为\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴，若椭圆的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，则下列说法正确的是（）A. \(a > b\)B. \(a < b\)C. \(a = b\)D. \(a = 2b\)答案：A2. 椭圆\(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)的长轴长度为（）A. 3B. 5C. 6D. 9答案：C二、填空题3. 若椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)的焦点坐标为\((\sqrt{5}, 0)\)和\((-\sqrt{5}, 0)\)，则a的值为（）。

答案：34. 椭圆\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\)的短轴长度为（）。

答案：6三、解答题5. 已知椭圆\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\)，求椭圆上一点P(x, y)到焦点F(1, 0)的距离的最小值。

答案：最小值为\(\sqrt{3} - 1\)。

6. 椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)的长轴和短轴分别为2a和2b，且a > b > 0，若椭圆上存在一点P(x, y)，使得\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，且\(\frac{x^2}{a^2} = \frac{y^2}{b^2}\)，求椭圆的离心率。

答案：离心率为\(\frac{1}{2}\)。

四、计算题7. 已知椭圆\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\)，求椭圆的离心率和焦距。

答案：离心率\(e = \frac{3}{5}\)，焦距\(2c = 6\)。

考点38 高中数学-椭圆-考点总结和习题

考点38 高中数学-椭圆-考点总结和习题

考点38椭圆【命题趋势】椭圆是高考考查的重点，难点，可能在小题中出现，也经常出现在高考中的压轴题位置，是高考高分的分水岭.我们复习时必须掌握以下几点：（1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.（3）了解椭圆的简单应用.（4）理解数形结合的思想.【重要考向】一、椭圆定义的应用二、求椭圆的标准方程三、椭圆的几何性质及应用四、直线与椭圆的位置关系椭圆定义的应用平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =.定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.【巧学妙记】1.（2020·深圳实验学校高二月考）在ABC 中，点()2,0A -、点()2,0B ，且||AB 是||AC 和||BC 的等差中项，则点C 的轨迹方程是（）A ．2211612x y +=B ．2211612x y +=(4)x ≠±C ．2216460x y +=D ．2216460x y +=(8)x ≠±【答案】B 【分析】由A 、B 的坐标求出||AB ，代入2||||||AB AC BC =+，可知点C 的轨迹是以(2,0)A -，(2,0)B 为焦点，半长轴长是8的椭圆，由此求出其轨迹方程．【详解】解： 点(2,0)A -、点(2,0)B ，||4AB ∴=，||AB 是||AC 和||BC 的等差中项，则2||||||8AB AC BC =+=，∴点C 的轨迹是以(2,0)A -，(2,0)B 为焦点，半长轴长是4的椭圆（去掉长轴上的顶点）．则4a =，2c =，22212b a c ∴=-=．∴点A 的轨迹方程是：221(4)1612x y x +=≠±故选：B ．2.（2021·安徽宿州市·高二期末（理））在ABC 中，已知()3,0B -，()3,0C 且ABC 的周长为16，则顶点A 的轨迹方程是（）A ．()22102516x y x +=≠B ．()22101625x y x +=≠C ．()22102516x y y +=≠D ．()22101625x y y +=≠【答案】C 【分析】由周长得到106AB AC +=>，利用椭圆定义写出点A 的轨迹方程.【详解】由条件可知16AB AC BC ++=，6BC =，106AB AC ∴+=>，∴点A 是以,B C 为焦点的椭圆，除去左右顶点，并且210,26a c ==，2225,9a c ∴==，225916b =-=∴顶点A 的轨迹方程是()22102516x y y +=≠.故选：C3.（2021·浙江高二期末）已知12,F F 分别为椭圆2221(010)100x y b b +=<<的左、右焦点，P是椭圆上一点．（1）12PF PF +的值为________；（2）若1260F PF ∠=︒，且12F PF △的面积为6433，求b 的值为________．【答案】208【分析】（1）根据椭圆的定义，直接求即可得解；（2）根据焦点三角形的性质，利用面积公式结合余弦定理，即可得解.【详解】（1）由2221(010)100x y b b+=<<知2100,10a a ==，12220PF PF a +==，（2）设12,PF m PF n ==，21222122cos F F m n F F mn P =+-⋅∠，可得2224()343c m n mn a mn =+-=-，所以243b mn =，所以12122133643sin 2433F PF F PF S mn mm b =⋅∠===，所以8b =，故答案为：（1）20；（2）8.求椭圆的标准方程焦点在x 轴上，22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上，22221(0)y x a b a b+=>>.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0a c b a b a c -=>>>>.【巧学妙记】4.（2021·四川凉山彝族自治州·高三二模）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C ，其长轴长为4，焦距为2，则C 的方程为（）A ．2211612x y +=B ．2211612x y +=或2211612y x +=C ．22143x y +=D ．22143x y +=或22143y x +=【答案】D 【分析】由椭圆中a ，b ，c 的关系求出短半轴长b 的值，再按焦点位置分别写出所求方程.【详解】因椭圆C 中心在原点，其长轴长为4，焦距为2，则2a =，1c =，b ==当椭圆的焦点在x 轴上时，椭圆方程为：22143x y+=，当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆方程为：22143y x+=．故选：D5.（2021·全国高二单元测试）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是（）A ．221167x y +=B ．221167y x +=C ．2212516x y +=D ．221259y x +=【答案】B 【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，由已知可得3c =，由椭圆定义求得a ，由b 2＝a 2－c 2，求得b ，即可得出结果.【详解】解：∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>．∵28,a ==∴a ＝4，又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7，故所求的椭圆的标准方程为221167y x +=．故选：B ．6.（2021·全国高二单元测试）写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B (－2，1)两点；（2）a ＝4，c（3）过点P (－3，2)，且与椭圆22194x y +=有相同的焦点．【答案】（1）221155x y +=；（2）22116x y +=或22116y x +=；（3）2211510x y +=．【分析】（1）利用待定系数法求得椭圆方程；（2）求得b ，根据焦点所在坐标轴写出椭圆方程；（3）首先求得2c ，然后利用P 点坐标求得22,a b ，由此求得椭圆方程.【详解】（1）设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，由)2A-和()B -两点在椭圆上可得2222(2)1(11m n m n ⎧⋅+⋅-=⎪⎨⎪⋅-+⋅=⎩，即341121m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得11515m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故所求椭圆的标准方程为221155x y +=．（2）因为a ＝4，c =所以b 2＝a 2－c 2＝1，1b =所以当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程是22116x y +=；当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程是22116y x +=．（3）因为所求的椭圆与椭圆22194x y +=的焦点相同，所以其焦点在x 轴上，且c 2＝5．设所求椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>．因为所求椭圆过点P (－3，2)，所以有22941a b +=①又a 2－b 2＝c 2＝5，②由①②解得a 2＝15，b 2＝10．故所求椭圆的标准方程为2211510x y +=．椭圆的几何性质及应用i)图形焦点在x 轴上焦点在y 轴上ii)标准方程几何性质范围顶点焦点对称性离心率椭圆22221x y a b +=(0)a b >>x a ≤y b≤(,0)a ±，(0,)b ±(,0)c ±对称轴：x 轴，y 轴，对称中心：原点01e <<，c e a=22221y x a b+=(0)a b>>y a ≤x b≤(0,)a ±，(,0)b ±(0,)c±【巧学妙记】7.（2020·全国高二课时练习）已知椭圆方程为22916144x y +=，则它的长轴长为________，短轴长为________，焦距为________，离心率为______．【答案】8674【分析】将椭圆方程化为标准方程，求出a 、b 、c 的值，即可得出结果.【详解】把椭圆方程化成标准方程为221169x y +=，所以4a =，3b =，c ==所以椭圆的长轴长为8，短轴长为6，焦距为74c e a ==.故答案为：8；6；74.8.（2021·福建龙岩市·高二期末）已知椭圆22212x y a +=的一个焦点为()F ，则这个椭圆的方程是（）A ．22132x y +=B ．22142x y +=C ．22152x y +=D ．22162x y +=【答案】C 【分析】利用椭圆的简单几何性质求解．【详解】解： 椭圆22212x ya +=的一个焦点为(F ，22b ∴=，c =222325a b c ∴=+=+=，∴椭圆方程为22152x y +=．故选：C ．9.（2021·山西高三三模）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若1ABF 为等边三角形，则C 的离心率为（）A ．3B ．2C ．3D ．12【答案】A 【分析】判断出12AB F F ⊥，利用22ce a=求得离心率.【详解】由于1ABF 为等边三角形，根据椭圆的对称性可知12AB F F ⊥，在12Rt AF F △中，126AF F π∠=，2112::1:2AF AF F F =所以2332123c e a ===+.故选：A直线与椭圆的位关系设直线:0l Ax By C ++=，椭圆22221x y a b+=，把二者方程联立得到方程组，消去()y x 得到一个关于()x y 的方程220(0)ax bx c ay by c ++=++=.0∆>⇔方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；0∆=⇔方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；0∆<⇔方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.10.（2021·四川省内江市第六中学高二月考）已知直线:30l x y +-=，椭圆2214x y +=，则直线与椭圆的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交【答案】C 【分析】将直线方程和椭圆方程联立，解方程组，由解的个数即可判断直线与椭圆的位置关系【详解】解：由223014x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(3)14x x +-=，化简得2524320x x -+=，因为2244532640∆=-⨯⨯=-<，所以方程无解，所以直线与椭圆的位置关系是相离，故选：C11.（2020·河南高二月考（理））直线y kx k =-与椭圆22194x y +=的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A 【分析】求得直线y kx k =-恒过的定点，判断定点与椭圆的位置关系，由此可得直线y kx k =-与椭圆的位置关系.【详解】直线y kx k =-可化为(1)y k x =-，所以直线恒过点(1,0)，又2210194+<，即(1,0)在椭圆的内部，∴直线y kx k =-与椭圆22194x y+=的位置关系为相交.故选：A.12.（2021·莆田第十五中学高二期末）直线0x y m --=与椭圆2219x y +=有且仅有一个公共点，求m 的值.【答案】m =【分析】将直线方程代入椭圆方程，消去x 得到2210290y my m -++=，令0∆=，计算即可求得结果.【详解】解：将直线方程0x y m --=代入椭圆方程2219x y +=，消去x 得到：2210290y my m -++=，令0∆=，即()22441090m m -⨯-=解得m =一、单选题1．已知椭圆C ：22195x y +=的左焦点为F ，点M 在椭圆C 上，点N 在圆E ：()2221x y -+=上，则MF MN +的最小值为（）A ．4B ．5C ．7D ．82．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，113AF BF =，且1260F AF ∠=︒，则椭圆C 的离心率是（）A ．716B ．74C ．916D ．343．过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>右焦点F 的直线l ：30x y --=交C 于A 、B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．22163x y +=B ．22175x y +=C ．22184x y +=D ．22196x y +=4．已知12,F F 是椭圆22143x y +=的左，右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，则12AF F △的内切圆的半径的最大值是（）A ．1B ．12C ．13D ．335．已知椭圆22:1(0)9x y C m m+=>的长轴长与短轴长之差为2，则C 的焦距为（）A 7B ．5C ．27D ．25276．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的上､下顶点分别为12,B B ，右顶点为A ，右焦点为F ，12B F B A ⊥，则椭圆的离心率为（）A ．12B ．22C ．512-D ．512+7．已知A ，B ，C 是椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b +=>>上不同的三点，且原点O 是△ABC 的重心，若点C 的坐标为3,22b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率为33-，则椭圆Γ的离心率为（）A ．13B ．223C ．3D ．738．已知1F ，2F 是椭圆2222:154x y G +=的两个焦点，过1F 作直线l 交G 于A ，B 两点，若325AB =，则2F AB 的面积为（）A ．245B ．485C ．965D ．16415二、多选题9．已知椭圆C ：22148x y +=内一点M (1,2)，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（）A．椭圆的焦点坐标为(2,0)､(-2,0)B ．椭圆C 的长轴长为C ．直线l 的方程为30x y +-=D ．433AB =10．嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以km/s v 的速度进入距离月球表面km n 的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为s t ，已知远月点到月球表面的最近距离为km m ，则（）A ．圆形轨道的周长为()2km vt πB ．月球半径为km 2vt n π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．近月点与远月点的距离为kmt m n νπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．椭圆轨道的离心率为m nm n-+三、填空题11．写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆标准方程为______．12．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，直线2a x =与C 交于A ，B 两点，若120AFB ∠=︒，则椭圆C 的离心率为_______.四、双空题13．椭圆2221x y +=的长轴长为______，焦点坐标是________．五、解答题14．求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．15．已知地球运行的轨道是长半轴长81.5010km a =⨯，离心率0.0192e =的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．16．已知椭圆的长轴在x 轴上，长轴长为4，离心率为32，（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.（2）直线220x y --=与椭圆交于,A B 两点，求,A B 两点的距离.17．地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点，每单位时间地球公转扫过椭圆内区域的面积相同．我国古代劳动人民根据长期的生产经验总结创立了二十四节气，将一年（地球围绕太阳公转一周）划分为24个节气，规则是：任意2个相邻节气地球与太阳的连线成15︒．地球在小寒前约三四天到达近日点，在小暑前约三四天到达远日点．（1）从冬至到小寒与从夏至到小暑，哪一段时间更长?并说明理由．（2）以立春为始，排在偶数位的12个节气又称为中气，农历规定没有中气的那个月为闰月．经统计，1931年至2050年间，闰月最多的3个月份是：闰4月7次，闰5月9次，闰6月8次；闰月最少的3个月份是：闰11月1次，闰12月0次，闰1月0次．为什么会出现这种现象?请说明理由一、单选题1．（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．62．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．2,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．20,2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦3．（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、多选题4．（2020·海南高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线三、双空题5．（2021·浙江高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >，若过1F 的直线和圆22212x c y c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.四、解答题6．（2021·全国高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，且离心率为63．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =．7．（2021·北京高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．8．（2020·山东高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．9．（2020·全国高考真题（文））已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．10．（2020·全国高考真题（文））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．参考答案跟踪训练1．B 【分析】根据椭圆的定义把求MF MN +的最小值转化为求ME MN -的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边即可求得.【详解】易知圆心E 为椭圆的右焦点，且3,2a b c ===，由椭圆的定义知：26MF ME a +==，所以6MF ME =-，所以()66MF MN ME MN ME MN+=-+=--，要求MF MN +的最小值，只需求ME MN -的最大值，显然,,M N E 三点共线时ME MN -取最大值，且最大值为1，所以MF MN +的最小值为615-=.故选：B.2．B 【分析】根据椭圆的对称性可知，21AF BF =，设2AF m =，由113AF BF =以及椭圆定义可得132a AF =，22a AF =，在12AF F △中再根据余弦定理即可得到22744a c =，从而可求出椭圆C 的离心率．【详解】由椭圆的对称性，得21AF BF =.设2AF m =，则13AF m =.由椭圆的定义，知122AF AF a +=，即32m m a +=，解得2a m =，故132aAF =，22a AF =.在12AF F △中，由余弦定理，得122212121222cos F F AF AF A F A F A F F =+∠-，即2222931742442224a a a a a c =+-⨯⨯=，则222716c e a ==，故74e =.故选：B.3．A 【分析】由题意，可得右焦点F 的坐标，联立直线l 与椭圆的方程，利用韦达定理，求出AB 的中点P 的坐标，由直线OP 的斜率可得a ，b 的关系，再由椭圆中a ，b ，c 的关系求出a ，b的值，进而可得椭圆的方程．【详解】解：直线:0l x y --=中，令0y =，可得x =F 0)，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则A ，B 的中点1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，联立222201x y x y ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222222()30a b y y b a b +++-=，所以2122223b y y a b +=-+，212122223x x y y a b +=+++，所以21221212OP y y b k x x a +==-=-+，所以222a b =，又222a b c =+，23c =，所以26a =，23b =，所以椭圆的方程为22163x y +=，故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是联立直线和椭圆的方程，然后利用韦达定理求出12y y +，12x x +，进而根据12OP k =-由两点间的斜率公式得a ，b 的关系.4．D利用椭圆的定义即可求解.【详解】设12AF F △的内切圆的半径为r ，由22143x y +=，则2a =，b =1c ==所以1224AF AF a +==，1222F F c ==，由12121211112222A F F r AF r AF r F F y ++=，即()121211222A r F F AF AF y ++=⨯，即3A r y =，若12AF F △的内切圆的半径最大，即A y 最大，又A y ≤≤所以max 33r =.故选：D 5．D 【分析】分椭圆的焦点在x 轴上和在y 轴上分别得出,a b ，根据条件先求出m ，再求焦距.【详解】当C 焦点在x 轴上，此时3,a b ==62-=，解得4m =此时焦距为2c ==当C 的焦点在y 轴上，此时3a b ==，则62=，解得16m =此时C 的焦距为=.故选：D .6．C 【分析】求出椭圆的焦点坐标，顶点坐标，利用垂直关系列出方程，转化求解即可.解：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上､下顶点分别为12(0,),(0,)B b B b -，右顶点为A (a ，0)，右焦点为F (c ，0)，12BF B A ⊥，可得b bc a-⋅=﹣1，22a cac -=1，解得e =12-.故选：C.7．B 【分析】根据椭圆的第三定义22OC AB b k k a⋅=-，可求得,a b 的关系，进而求得离心率；【详解】设AB 的中点D ，因为原点O 是△ABC 的重心，所以,,C O D 三点共线，所以OD OC k k =，由于22223133OC AB b b b k k a a a ⎛⎫⋅=-⇒-=-⇒= ⎪ ⎪⎝⎭，所以223e =，故选：B.8．C 【分析】判断出AB x ⊥轴，直接由三角形面积公式计算即可.【详解】由2222:154x y G +=知2222543c =-=，所以1(3,0)F -，把3x =-代入椭圆方程可得42425y =，故165y =±，又325AB =，所以AB x ⊥轴，则2113296||22255F AB AB d c ==⨯⨯=△S ，故选：C 9．BCD 【分析】根据椭圆方程可直接判断A 、B 的正误，设直线l 为(2)1x k y =-+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，且124y y +=，联立椭圆方程应用韦达定理即可求k 值，写出直线方程，进而应用弦长公式可求AB ，即可判断C 、D 的正误.【详解】A ：由椭圆方程知：其焦点坐标为(0,2)±，错误；B ：28a =，即椭圆C 的长轴长为2a =，正确；C ：由题意，可设直线l 为(2)1x k y =-+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y +=，联立椭圆方程并整理得：222(21)4(12)8860k y k k y k k ++-+--=，M 为椭圆内一点则0∆>，∴1224(21)421k k y y k -+==+，可得1k =-，即直线l 为30x y +-=，正确；D ：由C 知：124y y +=，12103y y =，则433AB ==，正确.故选：BCD.10．BC 【分析】根据题意结合椭圆定义和性质分别求出各量即可判断.【详解】由题，以km/s v 的速度进入距离月球表面km n 的环月圆形轨道，环绕周期为s t ，则可得环绕的圆形轨道周长为vt km ，半径为2vtπkm ，故A 错误；则月球半径为km 2vt n π⎛⎫-⎪⎝⎭，故B 正确；则近月点与远月点的距离为km t m n νπ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故C 正确；设椭圆方程为22221x y a b +=，则,m R a c n R a c +=++=-（R 为月球的半径），22,2a m n R c m n ∴=++=-，故离心率为+2m nm n R-+，故D 错误.故选：BC.【点睛】本题考查椭圆的应用，解题的关键是正确理解椭圆的定义.11．22143x y +=（答案不唯一）【分析】不妨设椭圆的焦点在x 轴上，标准方程为()222210x ya b a b+=>>，进而根据题意得24a c =，再令1c =即可得到一个满足条件的椭圆方程.【详解】不妨设椭圆的焦点在x 轴上，椭圆的标准方程为()222210x ya b a b+=>>因为长轴长等于离心率8倍，故28ca a=，即24a c =不妨令1c =，则224,3a b ==，所以满足条件的一个椭圆方程为22143x y +=.故答案为：22143x y +=（答案不唯一）【点睛】本题解题的关键在于再求解之前，需要考虑椭圆焦点所在轴，进而设出椭圆的标准方程，根据题意求解.12．45【分析】先不妨设A的坐标,22a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再求出F 到直线2ax =的距离为2a c -，利用等腰三角形的性质，列出31202tan 22a c ==-，解出即可.【详解】根据题意，把2a x =代入22221x y a b +=中，得2y =±，不妨设A3,22a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，且(),0F c ，则F 到直线2ax =的距离为2a c -，由120AFB ∠=︒，得31202tan22a c ==-，则2b a c =-，平方计算得45c a =.故答案为：45.【点睛】思路点睛：1.不妨设A 的坐标3,22a ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，再求出F 到直线2ax =的距离为2a c -，2.AFB △为等腰三角形，且120AFB ∠=︒，列出1202tan 22a c ==-，解出45c a =.13．220,2⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】将椭圆化为标准方程可得22112x y +=，从而可求出,,a b c 的值，进而可求出椭圆的长轴长及焦点坐标.【详解】由题意，椭圆方程可化为22112x y +=，则2211,2a b ==，所以22211122c a b =-=-=，即221,,22a b c ===，故椭圆的长轴长为22a =，焦点坐标为220,,0,22⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故答案为：2；20,2⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭.14．长轴长和短轴长分别是8和6，离心率74，焦点坐标分别是(，0)，，0)，顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)．【分析】化方程为标准方程，得,a b ，再求得c 后可得结论．【详解】把已知方程化成标准方程为221169x y +=，所以a ＝4，b ＝3，c，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6；离心率e ＝74c a =；两个焦点坐标分别是(，0)，，0)；四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)．15．1.5288×108km ，1.4712×108km【分析】根据地球到太阳的最大距离是a +c ，最小距离是a ﹣c ，即可求得结论．【详解】∵椭圆的长半轴长约为a =1.5×108km ，离心率e ＝0.0192，∴半焦距约为c ae ==2.88×106km ，∴地球到太阳的最大距离是1.5×108+2.88×106＝1.5288×108km ，最小距离是1.5×108﹣2.88×106＝1.4712×108km ．16．（1）2214x y +=，短轴长为2，焦距为（2.【分析】（1）由长轴得a ，再由离心率求得c ，从而可得b 后可得椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立方程组求得交点坐标后可得距离．【详解】（1）由已知：2a =，32c a =，故c =1b =，则椭圆的方程为：2214x y +=，所以椭圆的短轴长为2，焦距为.（2）联立2222014x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1101x y =⎧⎨=-⎩，2220x y =⎧⎨=⎩，所以(0,1)A -，(2,0)B ，故||AB =17．（1）从夏至到小暑的时间长，理由见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）小寒（最接近近日点），夏至，小暑（最接近远日点）四个节气时地球所在的位置，每单位时间地球公转扫过椭圆内区域的面积相同，则在远日点转过相同的角度面积较大，得出答案.（2）由（1）知，远日点附近两个相邻节气之间的时间间隔长于近日点附近两个相邻节气之间的时间间隔，从而得出近日点和远日点附近农历一个月内含中气的概率的大小,得出答案.【详解】（1）如图所示，太阳处于地球公转椭圆轨道的一个焦点F ，A ，B ，C ，D 分别为冬至，小寒（最接近近日点），夏至，小暑（最接近远日点）四个节气时地球所在的位置，则FB FA FC FD <<<，因此椭圆轨道内椭圆扇形FCD 的面积大于椭圆扇形FAB 的面积，根据“每单位时间地球公转扫过椭圆内区域的面积相同”可知从夏至到小暑的时间长于从冬至到小寒的时间．（2）农历从朔日到下一个朔日前一日为一个月，大约是月亮围绕太阳地球转一周的时间（约29天半）．由（1）知，远日点附近两个相邻节气之间的时间间隔长于近日点附近两个相邻节气之间的时间间隔，所以远日点附近农历一个月内不含中气的概率较高，出现闰月较多；而近日点附近农历一个月内不含中气的概率较低，出现闰月较少．真题再现1．C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤=⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.2．C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即202e <≤；当32b b c ->-，即22b c <时，42222maxb PB a bc =++，即422224b a b b c++≤，化简得，()2220cb-≤，显然该不等式不成立．故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．3．B 【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得32n =，从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．4．ACD 【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.5．25555【分析】不妨假设2c =，根据图形可知，122sin 3PF F ∠=，再根据同角三角函数基本关系即可求出12tan k PF F =∠=；再根据椭圆的定义求出a ，即可求得离心率．【详解】如图所示：不妨假设2c =，设切点为B ，12112sin sin 3AB PF F BF A F A∠=∠==，12tan PF F ∠==所以255k =,由21212,24PF k F F c F F ===，所以2855PF =，21255PF =，于是122PF a PF +==，即a =，所以5c e a ===．故答案为：5；5．6．（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN =充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭22413k=+1k =±，即可得解.【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =且63c e a ==，所以a =又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212,324x x x x +=⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=，所以2121222633,1313kb b x x x x k k-+=-⋅=++，所以MN==213k=+=化简得()22310k-=，所以1k=±，所以1kb=⎧⎪⎨=⎪⎩或1kb=-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以直线:MN y x=或y x=-，所以直线MN过点F，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是||MN=．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.7．（1）22154x y+=；（2）[3,1)(1,3]--⋃．【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b，从而可求椭圆的标准方程.（2）设()()1122,,,B x yC x y，求出直线,AB AC的方程后可得,M N的横坐标，从而可得PM PN+，联立直线BC的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PM PN+，从而可求k的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过()0,2A-，故2b=，因为四个顶点围成的四边形的面积为1222a b⨯⨯=，即a=，故椭圆的标准方程为：22154x y+=.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠，故直线112:2y AB y x x +=-，令3y =-，则112M x x y =-+，同理222N xx y =-+.直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()224530250k x kx +-+=，故()22900100450k k ∆=-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k+==++，故120x x >，所以0M N x x >又1212=22M N x xPM PN x x y y +=++++()()2212121222212121222503024545=5253011114545k kkx x x x x x k k kk k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++故515k ≤即3k ≤，综上，31k -≤<-或13k <≤.8．（1）22163x y +=；（2）详见解析.【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【详解】（1）由题意可得：222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k4260xkmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k-=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=，根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为2,1A （）不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=，得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP 的斜边，故12223DQ AP ==，若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用AM AN ⊥得·0AM AN =，转化为坐标运算，需要设直线MN 的方程，点()()1122,,,M x y N x y ，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程联立消去y 可12x x +，12x x 代入·0AM AN =即可，当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题.9．（1）221612525x y +=；（2）52.【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m+=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积.【详解】（1） 222:1(05)25x y C m m +=<<∴5a =，b m =，根据离心率4c e a ====，解得54m =或54m =-(舍)，∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又 90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，。

高中数学高考总复习椭圆习题及详解

高中数学高考总复习椭圆习题及详解

高中数学高考总复习椭圆习题及详解一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，3π4∪⎝⎛⎭⎫7π4，2π B.⎣⎡⎭⎫π2，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 D.⎝⎛⎭⎫3π4，3π2[解析] 化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1，∴－1cos α>1sin α>0，故选C.2,(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0 [解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b ＝c 2－a 2＝4，∴渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 22＋y 24＝1 D ．x 2＋y 23＝1 [解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.3．分别过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1、F 2作两条互相垂直的直线l 1、l 2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 [解析] 依题意，结合图形可知以F 1F 2为直径的圆在椭圆的内部，∴c <b ，从而c 2<b 2＝a 2－c 2，a 2>2c 2，即e 2＝c 2a 2<12，又∵e >0，∴0<e <22，故选B.4．椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.6433B.9133C.1633D.643[解析] 由余弦定理：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝20，代入化简得|PF 1|·|PF 2|＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝6433.5．(2010·济南市模拟)若椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( ) A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x[解析] ∵由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.6．(2010·南昌市模考)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于( ) A.513 B.1213 C.35 D.45[解析] 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a 、b 、c ，则由条件知，b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9，又b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝36，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝9a －c ＝4，∴⎩⎨⎧a ＝132c ＝52，∴e ＝c a ＝513.(理)(2010·北京崇文区)已知点F ，A 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点、右顶点，B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则椭圆的离心率等于( ) A.3＋12B.5－12C.3－12D.5＋12[解析] ∵FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，FB →·AB →＝0，∴－ac ＋b 2＝0，∵b 2＝a 2－c 2， ∴a 2－ac －c 2＝0，∴e 2＋e －1＝0， ∵e >0，∴e ＝5－12. 7．(2010·浙江金华)若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1、F 2分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e 1，双曲线离心率为e 2，若PF 1→·PF 2→＝0，则1e 12＋1e 22＝( )A ．2 B. 2 C. 3 D ．3[解析] 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为a ′，焦距为2c ，则由条件知||PF 1|－|PF 2||＝2a ′，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，将两式两边平方相加得： |PF 1|2＋|PF 2|2＝2(a 2＋a ′2)，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴a 2＋a ′2＝2c 2，∴1e 12＋1e 22＝1⎝⎛⎭⎫c a 2＋1⎝⎛⎭⎫c a ′2＝a 2＋a ′2c 2＝2.8．(2010·重庆南开中学)已知椭圆x 24＋y 22＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且倾角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，以下结论中：①△ABF 1的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB |＝83；正确结论的个数为( )A ．3 B ．2 C ．1 D ．0[解析] ∵a ＝2，∴△ABF 1的周长为|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8，故①正确； ∵F 2(2，0)，∴l ：y ＝x －2，原点到l 的距离d ＝|－0－2|2＝1，故②正确；将y ＝x －2代入x 24＋y 22＝1中得3x 2－42x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝423，∴|AB |＝1＋12⎪⎪⎪⎪⎪⎪423－0＝83，故③正确．9．(文)(2010·北京西城区)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．(理)F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[解析] ∵PQ 平分∠F 1PA ，且PQ ⊥AF 1，∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|PA |，∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|PA |＋|PF 2|)＝a ，∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．10．)(2010·辽宁沈阳)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，49 B.⎝⎛⎭⎫23，1 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎝⎛⎭⎫0，12[解析]点B 的横坐标是c ，故B 的坐标⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，已知k ∈⎝⎛⎭⎫13，12，∴B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .斜率k ＝b 2ac ＋a ＝b 2ac ＋a2＝a 2－c 2ac ＋a2＝1－e 2e ＋1.由13<k <12，解得12<e <23. (理)(2010·宁波余姚)如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM的值为( )A ．e －1B ．1－eC ．e 2－1D ．1－e 2[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，由点差法，x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，作差得?x 1－x 2??x 1＋x 2?a 2＝?y 2－y 1??y 2＋y 1?b 2，∴k AB ·k OM ＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1.故选C.二、填空题11．(文)过椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a＝22，所以e 2＝c 2a2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22.(理)(2010·揭阳市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2无公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．[解析] 易知以半焦距c 为半径的圆在椭圆内部，故b >c ，∴b 2>c 2，即a 2>2c 2，∴ca <22. 12．(2010·南充市)已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B ＝________.[解析] 易知A ，C 为椭圆的焦点，故|BA |＋|BC |＝2×5＝10，又AC ＝8，由正弦定理知，sin A ＋sin C sin B ＝|BA |＋|BC ||AC |＝54.13．(文)若右顶点为A 的椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在点P (x ，y )，使得OP →·PA →＝0，则椭圆离心率的范围是________． [解析] 在椭圆x 2a2＋y 2a2＝1上存在点P ，使OP →·PA →＝0，即以OA 为直径的圆与椭圆有异于A 的公共点．以OA 为直径的圆的方程为x 2－ax ＋y 2＝0与椭圆方程b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2联立消去y 得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0， 将a 2－b 2＝c 2代入化为(x －a )(c 2x －ab 2)＝0，∵x ≠a ，∴x ＝ab 2c 2，由题设ab 2c 2<a ，∴a 2－c 2c 2<1.即e >22，∵0<e <1，∴22<e <1. (理)已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的点，M 是椭圆上的动点，则|MA |＋|MB |的最大值是________．[解析] 如图，直线BF 与椭圆交于M 1、M 2.任取椭圆上一点M ，则|MB |＋|BF |＋|MA |≥|MF |＋|MA |＝2a ＝|M 1A |＋|M 1F |＝|M 1A |＋|M 1B |＋|BF |∴|MB |＋|MA |≥|M 1B |＋|M 1A |＝2a －|BF |. 同理可证|MB |＋|MA |≤|M 2B |＋|M 2A |＝2a ＋|BF |，10－210≤|MB |＋|MA |≤10＋210.14．)已知实数k 使函数y ＝cos kx 的周期不小于2，则方程x 23＋y 2k＝1表示椭圆的概率为________．[解析] 由条件2π|k |≥2，∴－π≤k ≤π，当0<k ≤π且k ≠3时，方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆，∴概率P ＝12.(理)(2010·深圳市调研)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的面积为πab ，M 包含于平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2|y |≤3内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，则椭圆M 的方程为________．[解析] 平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2|y |≤3是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得πab83＝π4，即ab ＝2 3.因为0<a ≤2,0<b ≤3，所以a ＝2，b ＝3.所以，椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.三、解答题15．(文)(2010·山东济南市模拟)已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4. (1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆C 的焦点坐标；(2)若点P 是椭圆C 上的任意一点，过焦点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线PM ，PN 的斜率分别为k PM 、k PN ，当k PM ·k PN ＝－14时，求椭圆的方程．[解析] (1)∵圆x 2＋y 2＝b 2与直线y ＝x ＋2相切，∴b ＝21＋1，得b ＝ 2.又2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝2， c 2＝a 2－b 2＝2，∴两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称，不妨设：M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )，由于M ，N ，P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有x 02a 2＋y 02b 2＝1，x 2a 2＋y 2b2＝1.两式相减得：y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a2.由题意可知直线PM 、PN 的斜率存在，则k PM ＝y －y 0x －x 0，k PN ＝y ＋y 0x ＋x 0，k PM ·k PN ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a 2，则－b 2a 2＝－14，由a ＝2得b ＝1，故所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. (理)(2010·北京东城区)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2a b ＝23c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4.因为MP →＝(x －m ，y )，所以|MP →|2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12×⎝⎛⎭⎫1－x 216.＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2.因为当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]， 故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m ≤4.故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]． 16．(2010·辽宁文，20)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．[解析] (1)设焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)∵k l ＝tan60°＝3∴l 的方程为y ＝3(x －c )即：3x －y －3c ＝0∵F 1到直线l 的距离为23∴|－3c －3c |?3?2＋?－1?2＝3c ＝23∴c ＝2∴椭圆C 的焦距为4(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由题可知y 1＜0，y 2＞0直线l 的方程为y ＝3(x －2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3?x －2?x 2a 2＋y 2b 2＝1消去x 得，(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 2(a 2－4)＝0由韦达定理可得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－43b23a 2＋b2①y 1·y 2＝－3b 2?a 2－4?3a 2＋b 2②∵AF 2→＝2F 2B →，∴－y 1＝2y 2，代入①②得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－43b23a 2＋b 2 ③－2y 22＝－3b 2?a 2－4?3a 2＋b 2④③2④得12＝48b 4?3a 2＋b 2?2·3a 2＋b 23b 2?a 2－4?＝16b 2?3a 2＋b 2??a 2－4?⑤ ,又a 2＝b 2＋4⑥由⑤⑥解得a 2＝9 b 2＝5∴椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.17．(文)(2010·安徽文)椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程． [解析] (1)由题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)∵e ＝12，即c a ＝12，∴a ＝2c 又b 2＝a 2－c 2＝3c 2∴椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1.又∵椭圆过点A (2,3)∴44c 2＋93c 2＝1，解得c 2＝4，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2)法一：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0，直线AF 2的方程为x ＝2.设P (x ，y )为角平分线上任意一点，则点P 到两直线的距离相等． 即|3x －4y ＋6|5＝|x －2|∴3x －4y ＋6＝5(x －2)或3x －4y ＋6＝5(2－x )即x ＋2y －8＝0或2x －y －1＝0. 由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F 1AF 2的平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法二：设AM 平分∠F 1AF 2，则直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称．由题意知直线AM 的斜率存在且不为0，设为k .则直线AM 方程y －3＝k (x －2)．由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0设点F 2(2,0)关于直线AM 的对称点F 2′(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0x 0－2＝－1k y 02－3＝k ?x 0＋22－2?解之得F 2′(－6k ＋2k 2＋21＋k 2，61＋k 2)．∵直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称，∴点F 2′在直线AF 1上．即3×－6k ＋2k 2＋21＋k 2－4×61＋k 2＋6＝0.解得k ＝－12或k ＝2.由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，∴k ＝－12(舍去)．故∠F 1AF 2的角平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法三：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)，∴AF 1→|AF 2→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3)＝－45(1,2)，∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0.[点评] 因为l 为∠F 1AF 2的平分线，∴AF 1→与AF 2→的单位向量的和与l 共线．从而可由AF 1→、AF 2→的单位向量求得直线l 的一个方向向量，进而求出其斜率．(理)(2010·湖北黄冈)已知点A (1,1)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，如果|AB |最大时，求证A 、B 两点关于原点O 不对称；(3)设点C 、D 是椭圆上两点，直线AC 、AD 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．[解析] (1)由椭圆定义知：2a ＝4，∴a ＝2，∴x 24＋y 2b 2＝1把(1,1)代入得14＋1b 2＝1∴b 2＝43，则椭圆方程为x 24＋y 243＝1∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，∴c ＝263故两焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫263，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，0.(2)用反证法：假设A 、B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为(－1，－1)，此时|AB |＝22，取椭圆上一点M (－2,0)，则|AM |＝10∴|AM |>|AB |.从而此时|AB |不是最大，这与|AB |最大矛盾，所以命题成立． (3)设AC 方程为：y ＝k (x －1)＋1联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ?x －1?＋1x 24＋3y 24＝1消去y 得(1＋3k 2)x 2－6k (k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0∵点A (1,1)在椭圆上 ∴x C ＝3k 2－6k －13k 2＋1∵直线AC 、AD 倾斜角互补∴AD 的方程为y ＝－k (x －1)＋1，同理x D ＝3k 2＋6k －13k 2＋1又y C ＝k (x C －1)＋1，y D ＝－k (x D －1)＋1，y C －y D ＝k (x C ＋x D )－2k ，所以k CD ＝y C －y D x C －x D ＝13即直线CD 的斜率为定值13.。

2019-2020年高考数学总复习 专题10.1 椭圆试题(含解析)

2019-2020年高考数学总复习 专题10.1 椭圆试题(含解析)

2019-2020年高考数学总复习专题10.1 椭圆试题（含解析）【三年高考】1．【xx江苏】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为8．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．【答案】（1）；（2）．试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c．因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，解得，于是，因此椭圆E的标准方程是．因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，从而直线的方程：，①直线的方程：．②由①②，解得，所以．因为点在椭圆上，由对称性，得，即或．又在椭圆E上，故．由220022001143x yx y⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得；220022001143x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解．因此点P的坐标为．【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等．2. 【xx江苏，理17】如图在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，顶点的坐标是，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接.（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；（2）若，求椭圆离心率的值.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般要找到关系的两个等量关系，本题中椭圆过点，可把点的坐标代入标准方程，得到一个关于的方程，另外，这样两个等量关系找到了；（2）要求离心率，就是要列出关于的一个等式，题设条件是，即，，要求，必须求得的坐标，由已知写出方程，与椭圆方程联立可解得点坐标，则，由此可得，代入可得关于的等式，再由可得的方程，可求得.试题解析：（1）由题意，，，2BF a ===（2）直线方程为，与椭圆方程联立方程组，解得点坐标为，则点坐标为，133222232223F C b b a c k a c a c c c a c +==+++，又，由得，即，∴，化简得． 3．【xx 江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为(a ＞0，b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若，则椭圆C 的离心率为__________．【答案】【解析】设椭圆C 的半焦距为c ，由题意可设直线BF 的方程为，即bx ＋cy －bc ＝0.于是可知，22222a a c b d c c c c-=-==. ∵，∴，即.∴a2(a2－c2)＝6c4.∴6e4＋e2－1＝0.∴e2＝.∴.4．【xx 浙江，2】椭圆的离心率是A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：，选B．【考点】椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．5.【xx课标3，理10】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2 为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e＝；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).6．【xx课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【解析】试题解析：（1）由于，两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过，两点.又由知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得. 故C 的方程为.【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简.7．【xx 高考新课标1文数改编】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为 ． 【答案】【解析】试题分析：如图,由题意得在椭圆中,11OF c,OB b,OD 2b b 42===⨯= 在中,|OF ||OB||BF ||OD |⨯=⨯,且,代入解得,所以椭圆得离心率得．考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a ,c 的齐次方程,方程两边同时除以a 的最高次幂,转化为关于e 的方程,解方程求e .8．【xx 高考新课标Ⅲ文数改编】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为 ．【答案】【解析】试题分析：由题意设直线的方程为，分别令与得点，，由，得1||||2||||OE OB FM BC =，即，整理，得，所以椭圆离心率为．考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）建立的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．9．【xx 高考北京文数】（本小题14分）已知椭圆C ：过点A （2,0），B （0,1）两点.（I ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两顶点坐标可知a,b 的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（Ⅱ）四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线的值求乘积为定值即可. 试题解析：（I ）由题意得，，．所以椭圆的方程为．又，所以离心率．（II ）设（，），则．又，，所以，直线的方程为．令，得，从而．直线的方程为．令，得，从而．所以四边形的面积00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+．从而四边形的面积为定值．考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力.【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.10．【xx 高考山东文数】(本小题满分14分)已知椭圆C :（a >b >0）的长轴长为4，焦距为2.（I）求椭圆C的方程；(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值.(ii)求直线AB的斜率的最小值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB 的斜率的最小值为 .【解析】试题分析：(Ⅰ)分别计算即得.(Ⅱ)(i)设，利用对称点可得得到直线PM的斜率，直线QM的斜率，即可证得.(ii)设，分别将直线PA的方程，直线QB的方程与椭圆方程联立，应用一元二次方程根与系数的关系得到、及用表示的式子，进一步应用基本不等式即得. 试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，由题意知，所以，所以椭圆C 的方程为.(Ⅱ)(i)设，由，可得所以 直线PM 的斜率 ，直线QM 的斜率.此时，所以为定值.(ii)设，直线PA 的方程为，直线QB 的方程为.联立 22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ， 整理得()222214240k x mkx m +++-=.由可得 ，所以()()211202221k m y kx m m k x -=+=++，同理()()()()222222002262,181181m k m x y m k x k x ---==+++. 所以()()()()()()()222221222200022223221812118121m m k m x x k x k x k k x-----=-=++++， ()()()()()()()()2222212222000622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++ ， 所以2212161116.44AB y y k k k x x k k -+⎛⎫===+ ⎪-⎝⎭由，可知，所以 ，等号当且仅当时取得.此时，即，符号题意.所以直线AB 的斜率的最小值为 .考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分析问题解决问题的能力等.11．【xx 高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.12．【xx 高考安徽，理20】设椭圆E 的方程为，点O 为坐标原点，点A 的坐标为，点B 的坐标为，点M 在线段AB 上，满足，直线OM 的斜率为. （I ）求E 的离心率e ；（II ）设点C 的坐标为，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为，求E 的方程.【解析】（I）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，进而得,2a c b ==，故.（II ）由题设条件和（I ）的计算结果可得，直线的方程为，点的坐标为，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为.又点在直线上，且,从而有11744171x b b b +-++=⎨+⎪=⎪⎪⎪⎩解得，所以，故椭圆的方程为. 13.【xx 高考重庆，理21】如题（21）图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且（1）若1222PF PF ==，求椭圆的标准方程 （2）若求椭圆的离心率【解析】 (1)由椭圆的定义，((122|PF ||PF |224a a =+=+-=，故=2.设椭圆的半焦距为c ，由已知，因此122|FF |c ==即从而，故所求椭圆的标准方程为.(2)解法一：如图(21)图，设点P 在椭圆上，且，则22222000022y +=1,x x y c a b +=，求得200=y .b xc±=±由,得,从而()(22222221|PF |=22.b a b a c ⎛⎫⎫+=-+=+ ⎪⎪⎭⎝⎭由椭圆的定义，1212|PF ||PF |2,|QF ||QF |2a a +=+=,从而由122|PF |=|PQ |=|PF |+|QF|，有，又由，知，因此，于是((24.a a=解得e ==. 解法二：如图(21)图由椭圆的定义，1212|PF ||PF |2,|QF ||QF |2a a +=+=,从而由122|PF |=|PQ |=|PF |+|QF |，有，又由，知，因此,,从而21|PF |=2-|PF |21)a a a a =-=由,知22222122|PF ||P F ||PF |(2)4c c +===，因此ce a =14.【xx 高考湖北，理21】一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB 滑动，且，．当栓子在滑槽AB 内作往复运动时，带．动．绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）设点，，依题意，，且，所以，且，即且 由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲线的方程为 （Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.当直线的斜率存在时，设直线， 由 消去，可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即. ① 又由 可得；同理可得.由原点到直线的距离为和，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，. 当时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当时，2224128()8(11414OPQk S k k ∆+==-+--.因，则，，所以，当且仅当时取等号.所以当时，的最小值为8.15.【xx 高考陕西，理20】（本小题满分12分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点， 的直线的距离为． （I ）求椭圆的离心率；（II ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【解析】（I ）过点，的直线方程为，则原点到直线的距离，由，得，解得离心率. (II)解法一：由（I ）知，椭圆的方程为. (1)依题意，圆心是线段的中点，且.易知，不与轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=，设则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k ++-+=-=-++由，得解得.从而.于是12|AB ||x x =-==由，得，解得.故椭圆的方程为.解法二：由（I ）知，椭圆的方程为. (2)依题意，点，关于圆心对称，且.设则，，两式相减并结合得()1212-4()80x x y y -+-=.易知，不与轴垂直，则，所以的斜率因此直线方程为，代入(2)得所以，.于是12|AB ||x x =-==由，得，解得.故椭圆的方程为.【xx年高考命题预测】纵观xx各地高考试题，对椭圆的考查，重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，高考中以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，一般是难题，分值一般为5-12分. 展望xx年高考，对椭圆的考查，仍重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，仍以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，难度仍为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，难度仍难题，分值保持在5-12分.在备战xx年高考中，要熟记椭圆的定义，会利用定义解决椭圆上一点与椭圆的焦点构成的三角形问题，会根据题中的条件用待定系数法、定义法等方法求椭圆的标准方程，会根据条件研究椭圆的几何性质，会用舍而不求思想处理直线与椭圆的位置关系，重点掌握与椭圆有关的最值问题、定点与定值问题、范围问题的处理方法，注意题中向量条件的转化与向量方法应用.【xx年高考考点定位】高考对椭圆的考查有三种主要形式：一是直接考查椭圆的定义与标准方程；二是考查椭圆的几何性质；三是考查直线与椭圆的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、直线方程与两直线的位置关系、圆、平面向量、函数最值、方程、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点.【考点1】椭圆的定义与标准方程【备考知识梳理】1.椭圆的定义：把平面内与两定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：().注意：（1）当时，轨迹是线段.(2)当时，轨迹不存在.2.椭圆的标准方程：（1）焦点在轴上的椭圆的标准方程为；焦点在y轴上的椭圆的标准方程为.给定椭圆，要根据的大小判定焦点在那个坐标轴上，焦点在分母大的那个坐标轴上.(2)椭圆中关系为：.【规律方法技巧】1.利用椭圆的定义可以将椭圆上一点到两焦点的距离进行转化，对椭圆上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用椭圆的定义与正余弦定理去处理. 2.求椭圆的标准方程方法(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之和为常数（常数大于两点之间的距离），符合椭圆的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为长轴长的椭圆，从而求出椭圆方程中的参数，写出椭圆的标准方程.(2)待定系数法，用待定系数法求椭圆标准方程，一般分三步完成，①定性-确定它是椭圆；②定位判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量的关系式，解出参数即可求出椭圆的标准方程.3.若若椭圆的焦点位置不定，应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，也可设椭圆方程为221(0,0)Ax By A B +=>>，可避免分类讨论和繁琐的计算.【考点针对训练】1. 已知椭圆 的焦距为2,过M （1,1）斜率为-直线交曲线C 于且M 是线段AB 的中点，则椭圆的标准方程为_____________. 【答案】【解析】由题知，2c=2，c=1，即，① 设A ，，则=2，=2，③，④， ③-④得=1212121222()()()()x x x x y y y y a b-+-++==0， ∴===-⑤，由①⑤解得，，故椭圆C 的标准方程为，.2.在直角坐标系中，O 为坐标原点，设直线经过点，且与轴交于点F （2，0）. （Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）如果一个椭圆经过点P ，且以点F 为它的一个焦点，求椭圆的标准方程. 【解析】（Ⅰ）由于直线经过点和F （2，0）， 则根据两点式得，所求直线的方程为 即从而直线的方程是（Ⅱ）设所求椭圆的标准方程为，由于一个焦点为F （2，0）， 则①， 又点在椭圆上， 则② 由①②解得所以所求椭圆的标准方程为 【考点2】椭圆的几何性质 【备考知识梳理】 1.椭圆的几何性质2.点与椭圆关系（1）点在椭圆内；（2）点在椭圆上；（3）点在椭圆外.【规律方法技巧】1.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图像进行分析，即使不画图形，思考时也要联想到图像.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2.椭圆取值范围实质实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围.离心率与的关系为：=.4.椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为[].4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.【考点针对训练】1.椭圆上横坐标为2的点到右焦点的距离为________【答案】【解析】横坐标为2的点到右焦点的距离为235(2)242.42a e a e c -=-=-⨯=2.椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为___________． 【答案】【解析】设关于直线的对称点的坐标为，则(1022nm cm c n ⎧⋅=-⎪⎪+-+=，所以，，将其代入椭圆方程可得22223441c ca b+=，化简可得，解得．【考点3】直线与椭圆的位置关系 【备考知识梳理】直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，若判别式Δ＞0，则直线与椭圆交；若△=0，则直线与椭圆相切；若△＜0，则直线与椭圆相离. 【规律方法技巧】1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础．2．直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.3．对中点弦问题常用点差法和参数法. 【考点针对训练】1.已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为． （Ⅰ）若为等边三角形,求椭圆的方程;（Ⅱ）若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程． 【解析】（Ⅰ）设椭圆的方程为．根据题意知, 解得,故椭圆的方程为2214133x y +=． （Ⅱ）容易求得椭圆的方程为．当直线的斜率不存在时,其方程为,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线的方程为．由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=．设,则 对任意都成立，2212121111222242(1)(1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++，，，，， ，因为,所以,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++ , 解得,即．故直线的方程为或．2.在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过原点． （Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论．【解析】（Ⅰ）由题意可得，所以，即，即，即动点的轨迹的方程为； （Ⅱ）设直线的方程为,，则．由消整理得， 则，即． ． 直线212221':()y y A B y y x x x x --=-+，212221()y y y x x y x x -∴=-++，2222122121()4()4x x y x x x x x -∴=-++，2221212211221, y 44444x x x x x x x x x y x x x ---∴=-+∴=+，即所以，直线恒过定点．【两年模拟详解析】1. 【镇江市xx 届高三年级第一次模拟】已知椭圆的左、右焦点分别为，是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则 ． 【答案】【解析】mn n m n c b OF PO PF PF -=--=-=-=⋅2)(22212212. 【xx年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为．【答案】【解析】设椭圆的左、右焦点分别为，将代入椭圆方程可得，故可设，由,可得，即有，即，可得，代入椭圆方程可得，，由，即有，解得，故.3. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）xx届高三年级第三次调研考试】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点（点在轴上方）.（1）若，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）【解析】解:(1) 因为，，所以，所以的坐标为（1,0），设，，直线的方程为，代入椭圆方程，得，则，．若，则，解得，故直线的方程为．（2）由（1）知，，，所以，所以，故存在常数，使得．4.【xx学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知椭圆：（）的左焦点为，左准线方程为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于，两点.①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，.求证：为定值；②若（为原点），求面积的取值范围.【答案】（1）（2）①②【解析】解：（1）由题设知，，，，，：.（2）①由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为，则.设，，直线代入椭圆得，整理得，，，.由，知，，（定值）.②当直线，分别与坐标轴重合时，易知的面积， 当直线，的斜率均存在且不为零时，设：，：， 设，，将代入椭圆得到， ，，同理，， 的面积 . 令 ， ， 令，则 . 综上所述，.5. 【南京市、盐城市xx 届高三年级第一次模拟】(本小题满分14分) 在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于两点，为弦的中点，，记直线的斜率分别为，当时，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】解：（1）因，所以椭圆的焦点在轴上，又圆经过椭圆的焦点，所以椭圆的半焦距， ……………3分 所以，即，所以椭圆的方程为. ……………6分 （2）方法一：设，，，联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去，得222(12)4240k x kmx m +++-=， 所以，又，所以，所以，， ……………10分则1222221111122442(22)211m m k k k k k m m k m m⋅=⋅===-----+--. …………14分 方法二：设，，， 则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差，得()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-+=，又，，∴()()01201202x x x y y y -+-=，∴， 又，在直线上，∴，∴，① 又在直线上，∴，②由①②可得，. ……………10分 以下同方法一.6.【镇江市xx 届高三年级第一次模拟】已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线交椭圆于两点，线段的中点为，为坐标原点，且， 求面积的最大值． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1 【解析】解：（1）由已知得，， 解得，， ……2分椭圆的方程是. ……4分 （2）设l 与x 轴的交点为，直线，与椭圆交点为，， 联立，，得222(4)240m y mny n +++-=，1,2y =∴ ，， ∴12122()24224x x m y y n nm +++==+，即， ……6分由，得， ……10分 则S △POQ 121211||||||22OD y y n y y =-=-，令22222121212224()[()4]1216(16)m T n y y n y y y y m +=-=+-=⋅⋅+， ……12分设，则2222411144(16)241444824m t m t t t t+==+++++…， ……14分当且仅当，即，S △POQ ， ……15分所以△面积的最大值为1. ……16分7.【xx 年第二次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为，焦点到相应准线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上两不同点,线段的中点为.当三角形面积等于时，求的取值范围. 【解析】解：（1）设椭圆的焦距为.则22,1c a c a c b a c =-=⇒==== ， 因此椭圆方程为.………………………4分 （2）①若直线垂直轴，则由22221||2||1(1)122,024P P P P P M M x x y x x x y ⨯=⇒⋅-=⇒=⇒== ，即………………………6分②若直线不垂直轴，设直线1122:(0),(,),(,),PQ y kx m m P x y Q x y =+≠ 由 得222(14)8440k x kmx m +++-=所以2121222844,,01414km m x x x x k k --+==∆>++ ，………………………8分因此12211||||||22214OPQO PQ m Sd PQ x x k-=⨯⨯=-=⨯+1≤=，当且仅当22||42m k m =+=时取等号. …………12分此时221224221,2142M M Mx x km k k m x y kx m k m m m+---+====+==+ ，因此||OM ===，.综合①②得的取值范围为.………………………16分 8.【xx 年第三次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为，上、下顶点分别为．为直线上一个动点(与轴交点除外)，直线交椭圆于另一个点 （1）求椭圆方程；（2）若直线的斜率分别为求证：为定值； （3）求的取值范围．【解析】（1）由题意得，因此椭圆方程为．……………………2分 （2）设，则，因此2111112212111113(1)133y y y y k k x x x x x --+--=⋅=⋅=⋅， 因为，所以为定值．………………………8分 （3）由（2）得1121212121111(,3)(,2)()3(2)()11x xPB PM x x x y x x x y x y y ⋅=-⋅-+=--++=++++ 221111*********(1)4(1)113(2)(1)3(2)(1)3(2)4(1)11111x y y y y y y y y y y y --+=+++=+++=-+++++++，因为121188(6)101(1)y y y '-+=--<++，且，所以……………16分 9.【xx 年第一次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，设椭圆的左、右焦点分别为,右顶点为，上顶点为，离心率为.椭圆上一点满足：在轴上方，且轴. （1）若∥，求的值；（2）连结并延长交椭圆于另一点.若，求的取值范围.【解析】（1）设椭圆的焦距为. 因为轴，则可设.因为在椭圆上，所以，解得，即.……………2分 因为∥，所以，即.……………4分 所以.……………6分 （2）设，.由（1）知，又,故，， 由得，，且.解得，所以，……………9分 因为点在椭圆上，所以，变形得，因为，所以()22211413343e λλλλλλ--===-++++，……………13分因为，所以， 解不等式得，所以的取值范围为.……………16分10. 【江苏省扬州中学xx 学年第二学期质量检测】已知是椭圆：与双曲线的一个公共焦点，A ，B 分别是，在第二、四象限的公共点．若，则的离心率是 ．【答案】【解析】设双曲线的实轴长为，为椭圆：与双曲线的另一个公共焦点，则由对称性知,因此由22222()()2()8AF AF AF AF AF AF c '''-++=+=得22244832a a e +=⨯⇒=⇒==．11．【江苏省苏中三市xx 届高三第二次调研测试】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为．为椭圆上异于顶点的一点，点满足．（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；（2）设过点的一条直线交椭圆于两点，且，直线的斜率之积，求实数的值．【答案】（1）（2） 【解析】（1）因为，而， 所以．代入椭圆方程，得，① 又椭圆的离心率为，所以，② 由①②，得， 故椭圆的方程为．（2）设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ， 因为，所以．因为，所以()()121232322,2,x x y y m x x y y ----=--， 即于是32132112,12,m x x x m m m y y y m m -⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，代入椭圆方程，得2221212212121m m x x y y m m m m a b --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 即()()222221222121222222222214141m m x y x y x x y y m a b m ab m a b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③。

高中数学 椭圆专题(经典例题 考题 练习)附答案

高中数学 椭圆专题(经典例题 考题 练习)附答案

高中数学椭圆专题一．相关知识点1．椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。

这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集。

2．椭圆的标准方程和几何性质3．椭圆中常用的4个结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处。

(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2。

(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a。

(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c。

一、细品教材1．(选修1－1P34例1改编)若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1 B.x2100＋y29＝1 C.y225＋x216＝1 D.x225＋y216＝1或y225＋x216＝12．(选修1－1P42A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.22 B.2－12C．2－ 2 D.2－1走进教材答案1．A; 2．D 二、双基查验1．设P是椭圆x24＋y29＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．8 C．6 D．182．方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，则m的范围是()A．(－3,5) B．(－5,3) C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)3．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或214．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________。

高中数学高考总复习---椭圆及其性质巩固练习题(含答案解析)

高中数学高考总复习---椭圆及其性质巩固练习题(含答案解析)

，
解得 （Ⅱ）因为
． ，所以直线 的斜率为
．
所以直线 的斜率为定值．
9
【参考答案与解析】
1.【答案】B
【解析】
的周长为 20，顶点 B(0,-4),C(0,4)
点 A 到两个顶点的距离之和等于定值， 点 A 的轨迹是椭圆
2
椭圆的方程是
故选 B.
2.B3.C4.A5.A 6.【答案】
【解析】由题意知点 P 的坐标为（﹣c， ）或（﹣c，﹣ ），
∵∠F1PF2=60°， ∴= ，
P 到左、右准线距离的比是_______.
17．若椭圆
的焦点在 轴上，过点（1， ）作圆
的切线，切点分别为 A,B，
直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________.
18． 已 知
是椭圆的两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，若
是正三角形，则这个椭圆的离心率是＿＿＿.
B. 5 倍
C. 4 倍
D. 3 倍
6.（2015 福州校级模拟）过椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，
F2 为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为 ．
7.椭圆 8.椭圆ຫໍສະໝຸດ 的长轴的端点坐标是＿＿＿＿＿. 的一个焦点是（0，2），则 ＝＿＿＿.
1
9.过点
由韦达定理，得 x1+x2=
，x1x2=
，
∵kBM﹣1=
=
= =0， ∴kBM=1=kDE，即 BM∥DE；
8
综上所述，直线 BM 与直线 DE 平行． 20．解析：
（Ⅰ）由题意知，
．
y D

2024年高考数学题源追溯专题12 椭圆(解析版)

2024年高考数学题源追溯专题12 椭圆(解析版)

专题12 椭圆目录一览2023真题展现考向一 椭圆的性质考向二 直线与椭圆相交问题真题考查解读近年真题对比考向一 椭圆的性质考向二 直线与椭圆相交问题命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一 椭圆的性质1．（2023•新高考Ⅰ•第5题）设椭圆C 1：x 2a 2+y 2＝1（a ＞1），C 2：x 24+y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2．若e 2=3e 1，则a ＝（ ）A ．233B ．2C ．3D ．6【答案】A解：由椭圆C 2：x 24+y 2＝1可得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2=4−1=3，∴椭圆C 2的离心率为e 2=32，∵e 2=3e 1，∴e 1=12，∴c 1a 1=12，∴a 21=4c 21=4（a 21−b 21）＝4（a 21−1），∴a =233或a =−233（舍去）．考向二 直线与椭圆相交问题2．（2023•新高考Ⅱ•第5题）已知椭圆C ：x 23+y 2=1的左焦点和右焦点分别为F 1和F 2，直线y ＝x +m 与C 交于点A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的两倍，则m ＝（ ）A ．23B ．23C ．−23D ．−23【答案】C解：记直线y ＝x +m 与x 轴交于M （﹣m ，0），椭圆C ：x 23+y 2=1的左，右焦点分别为F 1（−2，0），F 2（2，0），由△F 1AB 面积是△F 2AB 的2倍，可得|F 1M |＝2|F 2M |，∴|−2−x M |＝2|2−x M |，解得x M =23或x M ＝32，∴﹣m =23或﹣m ＝32，∴m =−23或m ＝﹣32，y 2=1x +m可得，4x 2+6mx +3m 2﹣3＝0，∵直线y ＝x +m 与C 相交，所以Δ＞0，解得m 2＜4，∴m ＝﹣32不符合题意，故m =−23．【命题意图】考查椭圆的定义、标准方程、几何性质、直线与椭圆．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【考查要点】椭圆的定义、方程、性质、直线与椭圆是高考常考内容，以小题形式出现，常规题，难度中等．【得分要点】一、椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(2)常数(2a )必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．①若1212||||||MF MF F F +=，M 的轨迹为线段21F F ；②若1212||||||MF MF F F +<，M 的轨迹无图形二、椭圆的方程及简单几何性质x 2y 2y 2x 2椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．以椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)椭圆的定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a .(2)余弦定理：4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.(3)面积公式：S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值，为bc .重要结论：S △PF 1F 2=2tan2b θ推导过程：由余弦定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ得2224||+||-2||||(1cos 121c PF PF PF PF θ=+（））2212442||||(1cos )c a PF PF θ=-+2122||||1cos b PF PF θ=+由三角形的面积公式可得S △PF 1F 2=121|PF ||PF |sin 2θ=222222sincos12sin 22sin tan 21cos 1cos 2cos 2b b b b θθθθθθθθ⋅⋅===++注：S △PF 1F 2=2tan2b θ=||p y c =r c a )(+（r 是三角形内切圆的半径）(4)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．(5)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中,F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意的一点，当点P 在短轴端点时，12F PF ∠最大.四、点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2>1.五、直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系，判断方法：联立Error!消y 得一元二次方程．当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．六、直线与椭圆相交的弦长公式1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．2．求弦长的方法(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．(2)根与系数的关系法：如果直线的斜率为k ，被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则弦长公式为：|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.y考向一 椭圆的性质3．（2021•新高考Ⅰ）已知F 1，F 2是椭圆C ：+＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|•|MF 2|的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．6【解答】解：F 1，F 2是椭圆C ：+＝1的两个焦点，点M 在C 上，|MF 1|+|MF 2|＝6，所以|MF 1|•|MF 2|≤＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时，取等号，所以|MF 1|•|MF 2|的最大值为9．故选：C ．4．（2022•新高考Ⅱ）已知直线l +＝1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于M ，N 两点，且|MA |＝|NB |，|MN |＝2，则l 的方程为 ．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点为E ，由+＝1，+＝1，相减可得：＝﹣，则k OE •k AB ＝•＝＝﹣，设直线l 的方程为：y ＝kx +m ，k ＜0，m ＞0，M （﹣，0），N （0，m ），∴E （﹣，），∴k OE ＝﹣k ，∴﹣k•k＝﹣，解得k＝﹣，∵|MN|＝2，∴＝2，化为：+m2＝12．∴3m2＝12，m＞0，解得m＝2．∴l的方程为y＝﹣x+2，即x+y﹣2＝0，故答案为：x+y﹣2＝0．考向二直线与椭圆相交问题5．（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是 ．【解答】解：∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，∴不妨可设椭圆C：，a＝2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴，由等腰三角形的性质可得，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，设直线DE方程为y＝，D（x1，y1），E（x2，y2），将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx﹣32c2＝0，由韦达定理可得，，，|DE|＝＝＝＝，解得c＝，△ADE的周长等价于|DE|+|DF2|+|EF2|＝4a＝8c＝．故答案为：13．根据近几年考查形式推测以小题形式出现，常规题，难度中等．椭圆的定义、方程、性质、直线与椭圆是高考常考内容。

2022高三总复习数学 椭圆及简单几何性质(含解析)

2022高三总复习数学 椭圆及简单几何性质(含解析)

椭圆及简单几何性质A 级——基础达标1．已知椭圆x 211－m ＋y 2m －3＝1的长轴在y 轴上，且焦距为4，则m 等于( )A ．5B ．6C ．9D ．10解析：选C 由椭圆x 211－m ＋y 2m －3＝1的长轴在y 轴上，焦距为4，可得m －3－11＋m＝2，解得m ＝9.故选C ．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，则ab ＝( )A ．98B ．322 C ．43D ．324解析：选D ∵e ＝ca ＝ a 2－b 2a 2＝13，∴8a 2＝9b 2， ∴a b ＝3 24.故选D.3．(2021·东北三校第一次联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且cos ∠F 1AF 2＝78，则椭圆的离心率e ＝( )A ．12B ．32C ．14D ．74解析：选C 由题意可知|AF 1|＝|AF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ，又cos ∠F 1AF 2＝78，则在△AF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝a 2＋a 2－2a 2cos ∠F 1AF 2，化简得4c 2＝14a 2，则e 2＝116，所以e ＝14，故选C ．4．已知椭圆G 的中心为坐标原点O ，点F ，B 分别为椭圆G 的右焦点和短轴端点．点O 到直线BF 的距离为3，过F 垂直于椭圆长轴的弦长为2，则椭圆G 的方程是( )A ．x 24＋y 22＝1B ．y 24＋x 22＝1C ．x 216＋y 24＝1D ．y 216＋x 24＝1解析：选C 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知设BF 的方程为x c ＋yb ＝1，因为点O 到直线BF 的距离为 3.所以bc a ＝3，又因为过F 垂直于椭圆长轴的弦长为2，所以2b 2a ＝2，结合a 2＝b 2＋c 2，知a ＝4，b ＝2，故选C ．5．(多选)(2021·山东淄博高三模拟)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( )A ．椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1B ．椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1C ．|PQ |＝233D ．△PF 2Q 的周长为4 3解析：选ACD 由已知得，2b ＝2，b ＝1，c a ＝63，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3. ∴椭圆方程为x 2＋y 23＝1，如图．∴|PQ |＝2b 2a ＝23＝233，△PF 2Q 的周长为4a ＝4 3.故选A 、C 、D.6.(多选)(2021·山东青岛模拟)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A (离地面最近的点)距地面m 千米，远地点B (离地面最远的点)距地面n 千米，并且F ，A ，B 三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c ，则( )A ．a －c ＝m ＋RB ．a ＋c ＝n ＋RC ．2a ＝m ＋nD ．b ＝(m ＋R )(n ＋R )解析：选ABD 由题意可知a －c －R ＝m ，a ＋c －R ＝n ，可得a －c ＝m ＋R ，所以A 正确；a ＋c ＝R ＋n ，所以B 正确；可得a ＝m ＋n 2＋R ，c ＝n －m2，可知2a ＝m ＋n ＋2R ，所以C 错；由b 2＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －m 22＝(m ＋R )(n ＋R )．则b ＝(m ＋R )(n ＋R )，所以D 正确．故选A 、B 、D.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．解析：因为圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，所以圆心坐标为(3,0)，所以c ＝3.又b ＝4，所以a ＝b 2＋c 2＝5.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的左顶点为(－5,0)．答案：(－5,0)8.如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为________．解析：设圆柱的底面圆的直径为R ，则椭圆的短轴长为R . ∵截面与底面成45°角，∴椭圆的长轴长为2R ， ∴椭圆的半焦距为 ⎝⎛⎭⎫22R 2－⎝⎛⎭⎫R 22＝R 2， 则e ＝c a ＝R 222R ＝22.答案：229．已知点A (0,2)及椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点P ，则|PA |的最大值是________．解析：设P (x 0，y 0)，则－2≤x 0≤2，－1≤y 0≤1，∴|PA |2＝x 20＋(y 0－2)2.∵x 24＋y 20＝1，∴|PA |2＝4(1－y 20)＋(y 0－2)2＝－3y 20－4y 0＋8＝－3⎝⎛⎭⎫y 0＋232＋283.∵－1≤y 0≤1，而－1＜－23＜1，∴当y 0＝－23时，|PA |2max ＝283，即|PA |max＝2213. 答案：221310．(2021·昆明市三诊一模)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，O 为坐标原点，B ，C 两点在M 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝45°，则椭圆M 的离心率为________．解析：由题意，知A (－a,0)．因为四边形OABC 为平行四边形，所以OA ∥BC ，且|OA |＝|BC |＝a .又∠OAB ＝45°，所以C ⎝⎛⎭⎫a 2，±a 2，代入椭圆方程，得14＋a 24b 2＝1，所以b 2a 2＝13，所以e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝63. 答案：6311．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点．M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截矩为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 解：(1)根据题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去)，故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点．MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点．故b 2a ＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2.即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28.故a ＝7，b ＝27.12．(2020·全国卷Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝43|AB |.(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点．若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程． 解：(1)由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ， 其中c ＝a 2－b 2.不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b 2a ，－b 2a ；C ，D 的纵坐标分别为2c ，－2c ，故|AB |＝2b 2a ，|CD |＝4c .由|CD |＝43|AB |得4c ＝8b 23a ，即3×c a ＝2－2⎝⎛⎭⎫c a 2.解得c a ＝－2(舍去)，c a ＝12. 所以C 1的离心率为12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x 24c 2＋y 23c2＝1.设M (x 0，y 0)，则x 204c 2＋y 203c 2＝1，y 20＝4cx 0，故x 204c 2＋4x 03c＝1.①由于C 2的准线为x ＝－c ，所以|MF |＝x 0＋c ，而|MF |＝5，故x 0＝5－c ，代入①得(5－c )24c 2＋4(5－c )3c＝1，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝－1(舍去)，c ＝3. 所以C 1的标准方程为x 236＋y 227＝1，C 2的标准方程为y 2＝12x .B 级——综合应用13.(多选)(2021·山东潍坊模拟)如图，两个椭圆x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，下列四个选项正确的为( )A ．P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值B ．曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称 C ．曲线C 所围区域面积必小于36D ．曲线C 总长度不大于6π解析：选BC 易知F 1(－4,0)，F 2(4,0)分别为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，E 1(0，－4)，E 2(0,4)分别为椭圆y 225＋x 29＝1的两个焦点．若点P 仅在椭圆x 225＋y 29＝1上，则P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和为定值，到E 1(0，－4)，E 2(0,4)两点的距离之和不为定值，故A 错误；两个椭圆关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称，则曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称，故B 正确；曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C 正确；曲线C 所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故D 错误．故选B 、C ．14．(2021·湖南长沙一模)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点E (0，t )(0＜t ＜b )．已知动点P 在椭圆上，且P ，E ，F 2三点不共线，若△PEF 2的周长的最小值为3b ，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．22C ．12D ．53解析：选D 如图，连接EF 1，F 1P ，易知|EF 1|＝|EF 2|，△PEF 2的周长为|PE |＋|PF 2|＋|EF 2|＝|PE |＋2a －|PF 1|＋|EF 2|＝2a ＋|EF 2|＋|PE |－|PF 1|≥2a ＋|EF 2|－|EF 1|＝2a ＝3b ，所以e ＝c a ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－49＝53，故选D. 15．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，若椭圆上一点P 与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形．(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，若直线l 与椭圆相交于A ，B ，且AB 是圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝5的一条直径，求椭圆E 的标准方程．解：(1)由题意不妨设椭圆上的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，代入椭圆方程可得14＋a 24b 2＝1，即a 2＝3b 2，∴a 2＝3b 2＝3(a 2－c 2)，∴2a 2＝3c 2，∴e ＝63.(2)由(1)得椭圆E 的方程为x 23b 2＋y 2b2＝1，易知直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x －1)－1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)－1，x 2＋3y 2＝3b 2⇒(3k 2＋1)x 2－6k (k ＋1)x ＋3(k ＋1)2－3b 2＝0.∴x 1＋x 2＝6k (k ＋1)3k 2＋1，x 1x 2＝3(k ＋1)2－3b 23k 2＋1.又x 1＋x 2＝2，∴k ＝13，∴x 1x 2＝16－9b 24，则|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1034－4·16－9b 24＝25，∴b 2＝103，则a 2＝10，∴椭圆E 的标准方程为x 210＋y 2103＝1.C 级——迁移创新16．(多选)(2021·山东德州模拟)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c ，下列结论正确的是( )A ．卫星向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小解析：选ABD 根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]，A 正确；当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知其速度更慢，B 正确；a －c a ＋c ＝1－e 1＋e ＝21＋e－1，当比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误；根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确．故选A、B、D.。

(完整版)高中数学椭圆经典例题详解

(完整版)高中数学椭圆经典例题详解

椭圆标准方程典型例题例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222c b a +=可求出m 的值．解：方程变形为12622=+my x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ．例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a by a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a bx a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ．例3 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ， 可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ．例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积． 解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限． 由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF ． 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =．例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．例7 已知椭圆1222=+y x ， （1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（4）由①＋②得 ：()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程． 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221mx x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =． 说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例9 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解：如图所示，椭圆131222=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ． 解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为1364522=+y x ．例10 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ． 说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．例11 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程． 分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．解：设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ．例13 知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹． 解：设点M 的坐标为),(y x ，点P 的坐标为),(00y x ，则2x x =，0y y =．因为),(00y x P 在圆122=+y x 上，所以12020=+y x ．将x x 20=，y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x ．所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x ．说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(y x ，设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ，然后根据题目要求，使x ，y 与0x ，0y 建立等式关系， 从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x ，y 的方程， 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得， 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122． 在21F AF ∆中，3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ； 所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标． 再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．例15 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为A ．4 B ．2 C ．8 D ．23解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F ，由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ，所以82101012=-=-=MF MF ，又因为ON 为21F MF ∆的中位线，所以4212==MF ON ，故答案为A ．说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即a MF MF 221=+，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．例16 已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围． 解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。

2021年高考数学考点50椭圆必刷题理含解析

2021年高考数学考点50椭圆必刷题理含解析

考点50 椭圆1．已知圆，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点，则点的轨迹的方程是A． B． C． D．【答案】B2．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，且离心率之积为1，为两曲线的一个交点，则的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】B【解析】的焦点坐标为，离心率为，，椭圆，，，得，，为直角三角形，故选B.3．倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为( )A． B． C． D．【答案】A4．已知点P（x0，y0）（x0≠）在椭圆C：（a＞b＞0）上，若点M为椭圆C的右顶点，且PO⊥PM （O为坐标原点），则椭圆C的离心率e的取值范围是A．（0，） B．（0，1） C．（，1） D．（0，）【答案】C5．已知双曲线的左右焦点分别为，椭圆的离心率为，直线过点与双曲线交于两点，若，且，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题，6．已知分别是椭圆的左，右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点，若过的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D7．已知椭圆的中心在原点，直线与坐标轴的交点是椭圆的两个顶点. （1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆上的两点，且满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为与轴交点为，与轴交点为，又直线与坐标轴交点为椭圆的顶点，所以椭圆的顶点为，，故所求椭圆方程为8．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且的面积为，求以为圆心与直线l相切的圆的方程．【答案】（1）（2）.【解析】（1）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为，所以，所以，又，9．已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．【答案】（1）（2）【解析】（1）设圆的半径为，题意可知，点满足：，，所以，，由椭圆定义知点的轨迹为以为焦点的椭圆，且进而，故轨迹方程为：．（2）当直线斜率不存在时，，或，，此时弦长．当直线斜率存在时，设的方程为：，10．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（），且点F（，0）为其右焦点。

高二椭圆练习题及答案

高二椭圆练习题及答案

高二椭圆练习题及答案椭圆是高中数学中的一个重要的几何概念，它在解析几何和微积分等数学分支中有着广泛的应用。

为了帮助高二学生巩固和提高对椭圆的理解和应用能力，以下提供一些高二椭圆练习题及其答案。

练习题一：1. 椭圆的离心率等于0的特殊情况是什么？该椭圆的形状如何？2. 某椭圆的焦点坐标为（2，0）和（-2，0），长轴长度为8. 求该椭圆的方程。

3. 某椭圆的长轴长度为10，短轴长度为8. 如果该椭圆的焦点到椭圆上任意点的距离之和为15，求该椭圆的方程。

4. 某椭圆的方程为(x-1)²/25 + y²/16 = 1，求该椭圆的焦点坐标及离心率。

5. 某椭圆的离心率为1/2，焦点为（0，-4）和（0，4）。

求该椭圆的方程。

答案一：1. 当椭圆的离心率等于0时，它的焦点和中心重合，长轴和短轴相等，椭圆变为一个圆。

2. 根据焦点坐标和长轴的长度，我们可以确定椭圆的中心坐标和短轴的长度。

所以该椭圆的方程为(x-2)²/16 + y²/4 = 1。

3. 根据题目信息，我们可以利用椭圆的定义来求解。

假设该椭圆的焦点为（c, 0），根据定义可得2a = 10，2ae = 15。

解方程组得a = 5/2，c = 3/2。

所以该椭圆的方程为(x-3/2)²/25 + y²/16 = 1。

4. 根据方程的形式，我们可以直接确定椭圆的中心坐标和长短轴长度。

所以该椭圆的焦点坐标为（1±√9, 0），离心率为√(1-16/25) = 3/5。

5. 根据焦点坐标和离心率的信息，我们可以利用椭圆的定义来求解。

假设该椭圆的焦点为（c, 0），根据定义可得2a = 2e，a = 4，c = 2。

所以该椭圆的方程为(x-2)²/16 + y²/9 = 1。

练习题二：1. 已知椭圆的离心率为2/3，焦点坐标为（±4，0），求该椭圆的方程。

高三数学椭圆试题答案及解析

高三数学椭圆试题答案及解析

高三数学椭圆试题答案及解析1.若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是()A．至多为1B．2C．1D．0【答案】B【解析】由题意知：>2，即<2，∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2．故选B．2.椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝()A．B．C．D．4【答案】A【解析】a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，不妨设F1为左焦点，P在x轴上方，则F1(－，0)，设P(－，m)(m>0)，则＋m2＝1，解得m＝，所以|PF1|＝，根据椭圆定义：|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2×2－＝．3.椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可知△ABF为直角三角形，其中|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由勾股定理，|AF|2＝|AB|2＋|BF|2即(a＋c)2＝a2＋b2＋a2＝2a2＋a2－c2，整理得c2＋ac－a2＝0，同除a2得e2＋e－1＝0，∴e＝，∵e∈(0,1)，∴e＝．4.设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的上焦点是F1，过点P(3,4)和F1作直线PF1交椭圆于A，B两点，已知A(，)．(1)求椭圆E的方程；(2)设点C是椭圆E上到直线PF1距离最远的点，求C点的坐标．【答案】（1）＋x2＝1 （2）(，－)【解析】(1)由A(，)和P(3,4)可求直线PF1的方程为y＝x＋1．令x＝0，得y＝1，即c＝1．椭圆E的焦点为F1(0,1)，F2(0，－1)，由椭圆的定义可知．2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝2．∴a＝，b＝1，所以椭圆E的方程为＋x2＝1．(2)设与直线PF1平行的直线l：y＝x＋m．，消去y得3x2＋2mx＋m2－2＝0，Δ＝(2m)2－4×3×(m2－2)＝0，即m2＝3，∴m＝±．要使点C到直线PF1的距离最远，则直线l要在直线PF1的下方，所以m＝－．此时直线l与椭圆E的切点坐标为(，－)，故C(，－)即为所求．5.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.（1）求的方程；（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.【答案】（1）；（2），或..【解析】（1）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为，由题意知解得，即可求出的方程；（2）由（1）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.由在上，得，显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点由得，因由题意知，所以，将韦达定理得到的结果代入式整理得，解得或，即可求出直线l的方程.（1）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为，由题意知解得，故方程为.（2）由（1）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.由在上，得，显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点由得，又是方程的根，因此，由得因由题意知，所以，将①，②，③，④代入⑤式整理得，解得或，因此直线l的方程为，或.【考点】1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系.6.已知椭圆的离心率为，过的左焦点的直线被圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）设的右焦点为，在圆上是否存在点，满足，若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）圆上存在两个不同点，满足..【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、点到直线的距离公式、垂径定理、圆的标准方程、两个圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力，考查学生的数形结合思想.第一问，利用直线方程得到椭圆的左焦点坐标，再结合离心率，得到椭圆的标准方程；第二问，利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，由已知弦长为，则由垂径定理得到圆的半径，从而得到圆的标准方程，利用两点间的距离公式得到和，代入已知中，得到P点的轨迹方程为圆，利用两个圆的位置关系判断两个圆相交，所以存在点P.因为直线的方程为，令，得，即 1分∴，又∵，∴，∴椭圆的方程为. ４分（2）∵圆心到直线的距离为，又直线被圆截得的弦长为，∴由垂径定理得，故圆的方程为. ８分设圆上存在点，满足即，且的坐标为，则，整理得，它表示圆心在，半径是的圆。

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高中数学高考总复习椭圆习题及详解一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，3π4∪⎝⎛⎭⎫7π4，2π B.⎣⎡⎭⎫π2，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，3π2[答案] C[解析] 化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1，∴－1cos α>1sin α>0，故选C.2．(文)(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0[答案] A[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b ＝c 2－a 2＝4，∴渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 24＝1D ．x 2＋y 23＝1 [答案] A[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1. 3．分别过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1、F 2作两条互相垂直的直线l 1、l 2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎫0，22 C.⎝⎛⎭⎫22，1D.⎝⎛⎦⎤0，22 [答案] B[解析] 依题意，结合图形可知以F 1F 2为直径的圆在椭圆的内部，∴c <b ，从而c 2<b 2＝a 2－c 2，a 2>2c 2，即e 2＝c 2a 2<12，又∵e >0，∴0<e <22，故选B. 4．椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.6433B.9133C.1633D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2. 又|PF 1|＋|PF 2|＝20，代入化简得|PF 1|·|PF 2|＝2563， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝6433.5．(2010·济南市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x[答案] A[解析] ∵由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A. 6．(文)(2010·南昌市模考)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于( )A.513 B.1213 C.35D.45[答案] A[解析] 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a 、b 、c ，则由条件知，b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9，又b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝36，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝9a －c ＝4，∴⎩⎨⎧a ＝132c ＝52，∴e ＝c a ＝513.(理)(2010·北京崇文区)已知点F ，A 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点、右顶点，B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则椭圆的离心率等于( )A.3＋12 B.5－12 C.3－12D.5＋12[答案] B[解析] ∵FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，FB →·AB →＝0， ∴－ac ＋b 2＝0，∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2－ac －c 2＝0，∴e 2＋e －1＝0， ∵e >0，∴e ＝5－12. 7．(2010·浙江金华)若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1、F 2分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e 1，双曲线离心率为e 2，若PF 1→·PF 2→＝0，则1e 12＋1e 22＝( )A ．2 B. 2 C. 3D ．3[答案] A[解析] 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为a ′，焦距为2c ，则由条件知||PF 1|－|PF 2||＝2a ′，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，将两式两边平方相加得：|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(a 2＋a ′2)，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴a 2＋a ′2＝2c 2， ∴1e 12＋1e 22＝1⎝⎛⎭⎫c a 2＋1⎝⎛⎭⎫c a ′2＝a 2＋a ′2c 2＝2. 8．(2010·重庆南开中学)已知椭圆x 24＋y 22＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且倾角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，以下结论中：①△ABF 1的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB |＝83；正确结论的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] A[解析] ∵a ＝2，∴△ABF 1的周长为|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8，故①正确；∵F 2(2，0)，∴l ：y ＝x －2，原点到l 的距离d ＝|－0－2|2＝1，故②正确；将y ＝x －2代入x 24＋y 22＝1中得3x 2－42x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝423，∴|AB |＝1＋12⎪⎪⎪⎪423－0＝83，故③正确．9．(文)(2010·北京西城区)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] B[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|P A |＝|PN |，又AM 是圆的半径， ∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆． (理)F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 [答案] A[解析] ∵PQ 平分∠F 1P A ，且PQ ⊥AF 1， ∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|P A |， ∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|P A |＋|PF 2|)＝a ，∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．10．(文)(2010·辽宁沈阳)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，49 B.⎝⎛⎭⎫23，1 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎝⎛⎭⎫0，12 [答案] C[解析] 点B 的横坐标是c ，故B 的坐标⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，已知k ∈⎝⎛⎭⎫13，12，∴B ⎝⎛⎭⎫c ，b2a . 斜率k ＝b 2a c ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13<k <12，解得12<e <23. (理)(2010·宁波余姚)如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为( )A ．e －1B ．1－eC ．e 2－1D ．1－e 2[答案] C[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，由点差法，x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，作差得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b 2，∴k AB ·k OM＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1.故选C.二、填空题11．(文)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．[答案]22[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22. (理)(2010·揭阳市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2无公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫0，22[解析] 易知以半焦距c 为半径的圆在椭圆内部，故b >c ，∴b 2>c 2，即a 2>2c 2， ∴c a <22. 12．(2010·南充市)已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝________.[答案] 54[解析] 易知A ，C 为椭圆的焦点，故|BA |＋|BC |＝2×5＝10，又AC ＝8，由正弦定理知， sin A ＋sin C sin B ＝|BA |＋|BC ||AC |＝54.13．(文)若右顶点为A 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上存在点P (x ，y )，使得OP →·P A →＝0，则椭圆离心率的范围是________．[答案]22<e <1 [解析] 在椭圆x 2a 2＋y 2a 2＝1上存在点P ，使OP →·P A →＝0，即以OA 为直径的圆与椭圆有异于A 的公共点．以OA 为直径的圆的方程为x 2－ax ＋y 2＝0与椭圆方程b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2联立消去y 得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，将a 2－b 2＝c 2代入化为(x －a )(c 2x －ab 2)＝0， ∵x ≠a ，∴x ＝ab 2c 2，由题设ab 2c 2<a ，∴a 2－c 2c 2<1.即e >22，∵0<e <1，∴22<e <1. (理)已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的点，M 是椭圆上的动点，则|MA |＋|MB |的最大值是________．[答案] 10＋210[解析] 如图，直线BF 与椭圆交于M 1、M 2.任取椭圆上一点M ，则|MB |＋|BF |＋|MA |≥|MF |＋|MA |＝2a ＝|M 1A |＋|M 1F |＝|M 1A |＋|M 1B |＋|BF | ∴|MB |＋|MA |≥|M 1B |＋|M 1A |＝2a －|BF |. 同理可证|MB |＋|MA |≤|M 2B |＋|M 2A |＝2a ＋|BF |， 10－210≤|MB |＋|MA |≤10＋210.14．(文)已知实数k 使函数y ＝cos kx 的周期不小于2，则方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆的概率为________．[答案] 12[解析] 由条件2π|k |≥2，∴－π≤k ≤π，当0<k ≤π且k ≠3时，方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆，∴概率P ＝12.(理)(2010·深圳市调研)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的面积为πab ，M 包含于平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2|y |≤3内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，则椭圆M 的方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1[解析] 平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2|y |≤3是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得πab 83＝π4， 即ab ＝2 3.因为0<a ≤2,0<b ≤3， 所以a ＝2，b ＝ 3.所以，椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.三、解答题15．(文)(2010·山东济南市模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆C 的焦点坐标；(2)若点P 是椭圆C 上的任意一点，过焦点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线PM ，PN 的斜率分别为k PM 、k PN ，当k PM ·k PN ＝－14时，求椭圆的方程．[解析] (1)∵圆x 2＋y 2＝b 2与直线y ＝x ＋2相切， ∴b ＝21＋1，得b ＝ 2. 又2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝2，c 2＝a 2－b 2＝2，∴两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称， 不妨设：M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )， 由于M ，N ，P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程， 即有x 02a 2＋y 02b 2＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1.两式相减得：y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a 2.由题意可知直线PM 、PN 的斜率存在，则 k PM ＝y －y 0x －x 0，k PN ＝y ＋y 0x ＋x 0，k PM ·k PN ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a 2，则－b 2a 2＝－14，由a ＝2得b ＝1，故所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(理)(2010·北京东城区)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是23.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2a b ＝23c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4.因为MP →＝(x －m ，y )， 所以|MP →|2＝(x －m )2＋y 2 ＝(x －m )2＋12×⎝⎛⎭⎫1－x 216. ＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2. 因为当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点， 即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]， 故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m ≤4. 故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．16．(2010·辽宁文，20)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程． [解析] (1)设焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0) ∵k l ＝tan60°＝ 3 ∴l 的方程为y ＝3(x －c ) 即：3x －y －3c ＝0 ∵F 1到直线l 的距离为2 3 ∴|－3c －3c |(3)2＋(－1)2＝3c ＝2 3∴c ＝2∴椭圆C 的焦距为4(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由题可知y 1＜0，y 2＞0 直线l 的方程为y ＝3(x －2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －2)x 2a 2＋y 2b 2＝1消去x 得， (3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 2(a 2－4)＝0由韦达定理可得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－43b 23a 2＋b2 ①y 1·y 2＝－3b 2(a 2－4)3a 2＋b2②∵AF 2→＝2F 2B →，∴－y 1＝2y 2，代入①②得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－43b 23a 2＋b 2③－2y22＝－3b 2(a 2－4)3a 2＋b 2④③2④得12＝48b 4(3a 2＋b 2)2·3a 2＋b 23b 2(a 2－4) ＝16b 2(3a 2＋b 2)(a 2－4) ⑤ 又a 2＝b 2＋4 ⑥ 由⑤⑥解得a 2＝9 b 2＝5 ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.17．(文)(2010·安徽文)椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．[解析] (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) ∵e ＝12，即c a ＝12，∴a ＝2c 又b 2＝a 2－c 2＝3c 2∴椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1.又∵椭圆过点A (2,3) ∴44c 2＋93c 2＝1，解得c 2＝4，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2)法一：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0， 直线AF 2的方程为x ＝2.设P (x ，y )为角平分线上任意一点，则点P 到两直线的距离相等．即|3x －4y ＋6|5＝|x －2| ∴3x －4y ＋6＝5(x －2)或3x －4y ＋6＝5(2－x )即x ＋2y －8＝0或2x －y －1＝0.由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F 1AF 2的平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法二：设AM 平分∠F 1AF 2，则直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称．由题意知直线AM 的斜率存在且不为0，设为k .则直线AM 方程y －3＝k (x －2)．由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0 设点F 2(2,0)关于直线AM 的对称点F 2′(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0x 0－2＝－1k y 02－3＝k (x 0＋22－2)解之得F 2′(－6k ＋2k 2＋21＋k 2，61＋k 2)． ∵直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称，∴点F 2′在直线AF 1上．即3×－6k ＋2k 2＋21＋k 2－4×61＋k 2＋6＝0. 解得k ＝－12或k ＝2. 由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，∴k ＝－12(舍去)． 故∠F 1AF 2的角平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法三：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)，∴AF 1→|AF 2→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3) ＝－45(1,2)， ∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0.[点评] 因为l 为∠F 1AF 2的平分线，∴AF 1→与AF 2→的单位向量的和与l 共线．从而可由AF 1→、AF 2→的单位向量求得直线l 的一个方向向量，进而求出其斜率．(理)(2010·湖北黄冈)已知点A (1,1)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，如果|AB |最大时，求证A 、B 两点关于原点O 不对称；(3)设点C 、D 是椭圆上两点，直线AC 、AD 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．[解析] (1)由椭圆定义知：2a ＝4，∴a ＝2，∴x 24＋y 2b 2＝1 把(1,1)代入得14＋1b 2＝1 ∴b 2＝43，则椭圆方程为x 24＋y 243＝1∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，∴c ＝263故两焦点坐标为⎝⎛⎭⎫263，0，⎝⎛⎭⎫－263，0. (2)用反证法：假设A 、B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为(－1，－1)，此时|AB |＝22，取椭圆上一点M (－2,0)，则|AM |＝10∴|AM |>|AB |.从而此时|AB |不是最大，这与|AB |最大矛盾，所以命题成立．(3)设AC 方程为：y ＝k (x －1)＋1联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)＋1x 24＋3y 24＝1消去y 得 (1＋3k 2)x 2－6k (k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0∵点A (1,1)在椭圆上∴x C ＝3k 2－6k －13k 2＋1∵直线AC 、AD 倾斜角互补∴AD 的方程为y ＝－k (x －1)＋1同理x D ＝3k 2＋6k －13k 2＋1又y C ＝k (x C －1)＋1，y D ＝－k (x D －1)＋1y C －y D ＝k (x C ＋x D )－2k所以k CD ＝y C －y D x C －x D ＝13即直线CD 的斜率为定值13.。

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