高中数学高考总复习椭圆习题及详解-

高中数学高考总复习椭圆习题及详解

一、选择题

1．设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2

cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )

A.⎝⎛⎭⎫0，3π4∪⎝⎛⎭⎫7π4，2π

B.⎣⎡⎭⎫π2，3π4

C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4

D.⎝⎛⎭⎫3π4，3π

2 [解析] 化为

x

21sin α＋y 2

－

1cos α

＝1，∴－1cos α>1

sin α

>0，故选C. 2,(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆

x

2

25＋y

2

16

＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )

A ．4x ±3y ＝0

B ．3x ±4y ＝0

C ．4x ±5y ＝0

D ．5x ±4y ＝0

[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b ＝c 2－a 2

＝4，∴渐近线方程为y ＝±43

x ，即4x ±3y ＝0.

(理)(2010·广东中山)若椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2

＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )

A.x 24＋y 22＝1

B.x 23＋y 2＝1

C.x 22＋y 24＝1 D ．x 2

＋y 2

3

＝1

[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2

＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2， ∵c 2

＝a 2

－b 2

，∴b 2

＝2，∴椭圆的方程为

x 2

4

＋

y 2

2

＝1.

3．分别过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1、F 2作两条互相垂直的直线l 1、l 2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )

A ．(0,1)

B.⎝

⎛⎭⎫0，

22 C.⎝⎛⎭

⎫

22，1 D.⎝

⎛⎦

⎤

0，

22 [解析] 依题意，结合图形可知以F 1F 2为直径的圆在椭圆的内部，∴c

＝a 2

－c 2

，a 2

>2c 2

，即e 2

＝c 2a 2<12，又∵e >0，∴0

2

，故选B.

4．椭圆x 2100

＋y 2

64＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1P F 2＝60°，则△F 1P F 2的面积是( )

A.6433

B.9133

C.1633

D.64

3

[解析] 由余弦定理：|P F 1|2＋|P F 2|2－2|P F 1|·|P F 2|·cos60°＝|F 1F 2|2

.又|P F 1|＋|P F 2|＝20，代入化简得|P F 1|·|P F 2|＝2563，

∴S △F 1P F 2＝12|P F 1|·|P F 2|·sin60°＝643

3

.

5．(2010·济南市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3

2，则双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的渐近线方程为( )

A ．y ＝±1

2

x

B ．y ＝±2x

C ．y ＝±4x

D ．y ＝±1

4

x

[解析] ∵由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±1

2

x ，选A.

6．(2010·南昌市模考)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于( )

A.513

B.1213

C.35

D.45

[解析] 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a 、b 、c ，则由条件知，b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9，又b 2＝a 2－c 2

＝(a ＋c )(a －c )＝36，

故⎩⎨

⎧ a ＋c ＝9a －c ＝4

，∴⎩⎨⎧

a ＝132

c ＝5

2

，∴e ＝c a ＝

5

13

. (理)(2010·北京崇文区)已知点F ，A 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点、右顶点，B (0，b )满足F B →·AB →

＝0，则椭圆的离心率等于( )

A.

3＋1

2

B.

5－12 C.3－1

2

D.

5＋1

2

[解析] ∵F B →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，F B →·AB →

＝0，

∴－ac ＋b 2＝0，∵b 2＝a 2－c 2

，

∴a 2

－ac －c 2

＝0，∴e 2

＋e －1＝0， ∵e >0，∴e ＝

5－1

2

. 7．(2010·浙江金华)若点P

为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1、F

2

分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e 1，双曲线离心率为e 2，若