矩阵位移法
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结构力学二7-矩阵位移法
简记为
e e
e
1
4ie
1
e
1e 2ie 2e 4ie
F k
2ie
---单元刚度方程 其中
k e称作单元刚度矩阵(简称作单刚)
1
ie
e 1
e
F2e
单元刚度矩阵中元素的物理意义
e e 4ie 2ie k k e 11 12 k e e 2 i 4 i k k e 21 22 e
F 4i 2ie
e 1 e e 1
e 2
ie
e 1
e
F2e
F
e 1
e 2
2
e F2e 2ie1e 4ie 2
1e
F
e
2e
F2e
e 1
F1 4ie 2ie 1 2 i 4 i F e 2 2 e
1
1/2
2
M-图(kN· m)
(2)乘大数法 若 i 0 ,则将总刚主对角 元素 kii 乘以大数N.
6kN.m
3kN.m
i1 1 i2 2
2 3
P3
1
4 2 0 1 6 2 12 4 3 2 P 0 4 8 3 3
4 2 0 1 / 2 1 0 F 2 4 1 / 4 1 2 1 / 4 0 8 4 1 / 4 2 3 2 F 4 8 0 1 1 1
q
练习: 求图示结构的等效结点荷载. q
1 2 3 4
1
2
e e
e
1
4ie
1
e
1e 2ie 2e 4ie
F k
2ie
---单元刚度方程 其中
k e称作单元刚度矩阵(简称作单刚)
1
ie
e 1
e
F2e
单元刚度矩阵中元素的物理意义
e e 4ie 2ie k k e 11 12 k e e 2 i 4 i k k e 21 22 e
F 4i 2ie
e 1 e e 1
e 2
ie
e 1
e
F2e
F
e 1
e 2
2
e F2e 2ie1e 4ie 2
1e
F
e
2e
F2e
e 1
F1 4ie 2ie 1 2 i 4 i F e 2 2 e
1
1/2
2
M-图(kN· m)
(2)乘大数法 若 i 0 ,则将总刚主对角 元素 kii 乘以大数N.
6kN.m
3kN.m
i1 1 i2 2
2 3
P3
1
4 2 0 1 6 2 12 4 3 2 P 0 4 8 3 3
4 2 0 1 / 2 1 0 F 2 4 1 / 4 1 2 1 / 4 0 8 4 1 / 4 2 3 2 F 4 8 0 1 1 1
q
练习: 求图示结构的等效结点荷载. q
1 2 3 4
1
2
结构力学十三讲矩阵位移法
-6EI l2
4EI l
4
§13-3 单元刚度矩阵(整体座标系)
一、单元座标转换矩阵 Y1
X1
X1
Y1
MM21
e
x
M2 X2
正交矩阵 [T]-1 =[T]T
e e
e T T e
v1
y e
X 2
Y2
Fⓔ T T F ⓔ
ee
F T F ee
座标转换矩阵
5
二、整体座标系中旳单元刚度矩阵
[k] e = [T]T k e [T]
(4)
(6)
00
(5)
y
单元 局部码总码
单元 局部码总码
（1） 1 （2） 2 （3） 3 （4） 0 （5） 0 （6） 4
1
2
3 0
0
4
（1） 1
1
（2） 2
2
（3） 3 （4） 0
3 0
（5） 0
0
（6） 0
0
18
1 2
[k] 1 = 3
0 0 4
1 2
[k] 2= 3
0 0 0
123004 101 102 103 104 105 106 201 202 203 204 205 206 301 302 303 304 305 306 401 402 403 404 405 406 501 502 503 504 505 506 601 602 603 604 605 606 123000 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66
《结构力学》第十章矩阵位移法
《结构力学》第十章矩阵位移法矩阵位移法是结构力学中的一种重要分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
本文将分为四个部分来介绍矩阵位移法的基本原理和应用。
第一部分将介绍矩阵位移法的基本原理。
矩阵位移法基于结构的受力平衡方程和变形条件，建立了适用于不同类型结构的一般形式的位移函数。
通过对这些位移函数进行适当组合，可以得到一个较为简化的位移矩阵方程。
这个方程可以通过矩阵运算求解，从而得到结构的位移和应力分布。
第二部分将介绍矩阵位移法的应用。
矩阵位移法可以用于求解各种类型的结构，包括梁、柱、框架等。
具体应用时，首先需要确定结构的边界条件和受力情况，然后根据结构的几何形状和材料性质，建立相应的位移函数。
之后，将位移函数按照一定的规则组合起来，建立一个位移矩阵方程。
通过解这个方程，可以得到结构的位移和应力分布。
第三部分将介绍矩阵位移法的优点。
相比于传统的力方法，矩阵位移法具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点。
这是因为矩阵位移法可以通过矩阵运算将结构的受力分析转化为代数运算，减少了繁琐的计算过程，并且可以应用于各种不规则结构。
第四部分将介绍矩阵位移法的局限性。
矩阵位移法虽然具有很多优点，但也有一些限制。
首先，矩阵位移法对结构的刚度矩阵的求取较为复杂，需要通过精确和谐振数法等途径进行求解。
其次，矩阵位移法不能用于解决非线性和动力问题。
总结起来，矩阵位移法是一种重要的结构力学分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
它具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点，但也有一些局限性。
因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。
同时，矩阵位移法的进一步研究和发展也是一个非常重要的方向。
矩阵位移法
第十三章 矩阵位移法
13.1 概 述
1、定义： 矩阵位移法是以结构位移为基本未知量， 借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系 结构受力、变形等计算的方法。 2、理论基础：位移法 3、分析工具：矩阵 4、计算手段：计算机 5、解题方法： 1）、单元分析 2）、整体分析
一、矩阵位移法的基本思路
k T k T
e T e
的性质： 1）元素 k ij 表示在整体坐标系中第j个杆端位 移分量等于1时引起的第i个杆端力分量； e 2）、k 是对称矩阵； 3）、 e 一般单元的是奇异矩阵
k
e
k
例：试求图示所示刚架中各单元在整体坐标
系中的刚度矩阵，设各杆的杆长和截面尺寸 相同。 L=5m,b×h=0.5m×1.0m,A=0.5m2,I=1/24m4, E=3×107kPa,EA/L=300×104kN/m,EA/L= 25×104kN.m
4EI M 1 l 2EI M 2 l
2EI l 1 4EI 2 l
e
单元刚度矩阵
e
4EI l k 2EI l
2EI l 4EI l
13.3、单元分析（二）——整体坐标 系中的单元刚度矩阵
3、奇异性
k
e
0
三、特殊单元
1、忽略轴向变形的梁单元的刚度方程
u u
1
2
0
6EI l2 4EI l 6EI 2 l 2EI l 12EI l3 6EI 2 l 12EI l3 6EI 2 l 6EI l2 2EI v1 l 1 6EI v 2 2 l 2 4EI l
13.1 概 述
1、定义： 矩阵位移法是以结构位移为基本未知量， 借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系 结构受力、变形等计算的方法。 2、理论基础：位移法 3、分析工具：矩阵 4、计算手段：计算机 5、解题方法： 1）、单元分析 2）、整体分析
一、矩阵位移法的基本思路
k T k T
e T e
的性质： 1）元素 k ij 表示在整体坐标系中第j个杆端位 移分量等于1时引起的第i个杆端力分量； e 2）、k 是对称矩阵； 3）、 e 一般单元的是奇异矩阵
k
e
k
例：试求图示所示刚架中各单元在整体坐标
系中的刚度矩阵，设各杆的杆长和截面尺寸 相同。 L=5m,b×h=0.5m×1.0m,A=0.5m2,I=1/24m4, E=3×107kPa,EA/L=300×104kN/m,EA/L= 25×104kN.m
4EI M 1 l 2EI M 2 l
2EI l 1 4EI 2 l
e
单元刚度矩阵
e
4EI l k 2EI l
2EI l 4EI l
13.3、单元分析（二）——整体坐标 系中的单元刚度矩阵
3、奇异性
k
e
0
三、特殊单元
1、忽略轴向变形的梁单元的刚度方程
u u
1
2
0
6EI l2 4EI l 6EI 2 l 2EI l 12EI l3 6EI 2 l 12EI l3 6EI 2 l 6EI l2 2EI v1 l 1 6EI v 2 2 l 2 4EI l
结构力学教学课件-09矩阵位移法
实践应用
学习者可以通过实际的结构分析案例，将矩阵位移法应用于实际问题中，加深理解和掌 握。
THANKS
感谢观看
矢量与张量
在结构力学中，矢量与张量是描述结 构内力和位移的重要工具，矩阵位移 法中需要用到这些概念。
矩阵位移法的计算步骤
建立结构离散化模型
将结构划分为若干个离散的单元，每个单元 具有一定的自由度。
建立单元刚度方程
根据结构力学中的刚度原理，建立每个单元 的刚度方程。
集成整体刚度方程
将所有单元的刚度方程集成在一起，形成整 体刚度方程。
课程目标
掌握矩阵位移法的基本原理和步骤，理解如何应 用矩阵位移法解决实际工程问题。
学会使用相关软件进行结构分析，提高解决实际 问题的能力。
培养学生对结构力学学科的兴趣和热爱，为今后 从事土木工程领域的工作打下基础。
02
矩阵位移法基础
矩阵位移法概述
矩阵位移法是一种基于矩阵运算的数值分析方法，用 于解决结构力学中的位移问题。
结构力学教学课件-09矩阵位移法
目 录
• 引言 • 矩阵位移法基础 • 矩阵位移法的基本原理 • 矩阵位移法的应用实例 • 结论
01
引言
课程背景
01
结构力学是土木工程学科中的重 要基础课程，矩阵位移法是结构 力学中的一种重要分析方法，用 于解决结构的位移和内力问题。
02
随着计算机技术的发展，矩阵位 移法在结构分析中得到了广泛应 用，因此掌握矩阵位移法对于土 木工程师来说具有重要意义。
矩阵位移法的应用范围
矩阵位移法广泛应用于各种工程结构的分析，如桥梁、建筑、机械等 。
下一步学习建议
深入学习矩阵位移法的数学基础
为了更好地理解和应用矩阵位移法，建议学习者深入学习线性代数和数值分析等相关数 学基础。
学习者可以通过实际的结构分析案例，将矩阵位移法应用于实际问题中，加深理解和掌 握。
THANKS
感谢观看
矢量与张量
在结构力学中，矢量与张量是描述结 构内力和位移的重要工具，矩阵位移 法中需要用到这些概念。
矩阵位移法的计算步骤
建立结构离散化模型
将结构划分为若干个离散的单元，每个单元 具有一定的自由度。
建立单元刚度方程
根据结构力学中的刚度原理，建立每个单元 的刚度方程。
集成整体刚度方程
将所有单元的刚度方程集成在一起，形成整 体刚度方程。
课程目标
掌握矩阵位移法的基本原理和步骤，理解如何应 用矩阵位移法解决实际工程问题。
学会使用相关软件进行结构分析，提高解决实际 问题的能力。
培养学生对结构力学学科的兴趣和热爱，为今后 从事土木工程领域的工作打下基础。
02
矩阵位移法基础
矩阵位移法概述
矩阵位移法是一种基于矩阵运算的数值分析方法，用 于解决结构力学中的位移问题。
结构力学教学课件-09矩阵位移法
目 录
• 引言 • 矩阵位移法基础 • 矩阵位移法的基本原理 • 矩阵位移法的应用实例 • 结论
01
引言
课程背景
01
结构力学是土木工程学科中的重 要基础课程，矩阵位移法是结构 力学中的一种重要分析方法，用 于解决结构的位移和内力问题。
02
随着计算机技术的发展，矩阵位 移法在结构分析中得到了广泛应 用，因此掌握矩阵位移法对于土 木工程师来说具有重要意义。
矩阵位移法的应用范围
矩阵位移法广泛应用于各种工程结构的分析，如桥梁、建筑、机械等 。
下一步学习建议
深入学习矩阵位移法的数学基础
为了更好地理解和应用矩阵位移法，建议学习者深入学习线性代数和数值分析等相关数 学基础。
矩阵位移法
利用矩阵位移法求内力的步骤：
1. 编总码,单元码,确定局部坐标系和整体坐标系。
2.求 Keke T k e
3.求 P PDPE PE e PE e TT PE e F P e
4.求
5.求
e
ee
e
F k FP
q
B
l
12
ql3 7ql3
/12EI / 24EI
l2
2EI
l
6EI
l2 4EI
l
e
k
4EI
l
2EI l
2EI
l
4EI l
§9-3 整体坐标系下的单刚 k e
θx y
x θ y
F x1 e cos
F y1 sin
M1
0
F x2 0
F y2 M 2
0 0
s in cos
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
3.对于连续梁，可不用坐标转换， 另外大多数情况可只采取2×2矩阵, 当有滑动支座时可采取相应的2×2矩阵。
§9-6 等效结点荷载 P
K FP 0
FP P
结点荷载与结点约束力成负号关系
K P
PD
直接结点荷载
PE
非结点荷载引起的 等效结点荷载
P PD PE
PD
可直接写出
2ql 2
D （0，0，0）
2.忽略轴向变形时
（0，0，0）
B
l
（1，0，2）
A
（3，0，4）
C
l
1.考虑轴向变形时
（0，0，0）
B
l
（0，0，1）
A
（0，0，2）
C
l
第九节矩阵位移法
(2 =1)
0
6EI l2 2EI l
0
6EI
l2 4EI
l
e
…（9-4）
F e k ee
…（9-5）
即为一般单元的刚度方程。其中 k e 称为局部坐标系中的单
元刚度矩阵。
2、一般单元刚度矩阵的性质
（1）单元刚度系数的意义
单元刚度矩阵中的每个元素称为单元刚度系数 kij ，其物理
意义表示由于单位杆端位移引起的杆端力。
( v1e
v2e
)
Fye1
6EI l2
(1e
2e )
12EI l3
( v1e
v2e )
Fye2
6EI l2
(1e
e 2
)
12 l
EI
3
( v1e
v2e
)
Fx1 M1
1
v1
Fy1
u1
…（9-2）
e
1
M2
Fx2
2 Fy2
v2
u2
2
式(9-1) 、(9-2)即为局部坐标系下平面刚架一般单元的单元刚度方
ke T Tk eT
F e kee
即为单元e在整体坐标中的单元刚度方程 其中 k e为整体坐标系的单元刚度矩阵，和 k e 同阶，且具有类似的性质。
§9-4 结构的整体刚度矩阵
作用在结构上的荷载与结构的结点位移， 也存在一一对应的关系，即为结构的整体刚 度方程。结构的整体刚度方程反映了结点荷 载和结构位移之间的关系，其实质就是位移 法的基本方程。求解方法一种是传统位移法， 另一种是直接刚度法。
l
Fxe1
EA l
u1e
EA l
u2e
矩阵位移法
D1 = D2 = 0
； D5 = D6 = 0
则有修正后的总刚度矩阵：
-100 2 [K ] = 100 600
[k11 ] [k12 ] {F1} = {F2 } [k 21 ] [k 22 ]
{D1} {D 2 }
@
单元刚度矩阵的性质：①对称性；②奇异性； ③主对角元恒为正值
3、整体刚度矩阵
K ij ：单元仅发生第j个杆端单位位移时，在第
Y2 = QBA
写成矩阵表达式为：
4 EI 2 EI 6 EI q + q + -v ) ( v l 1 l 2 l2 1 2 2 EI 4 EI 6 EI q + q + -v ) ( M2 = v l 1 l 2 l2 1 2 6 EI 12 EI (v1 - v2 ) Y1 = (q1 +q 2 ) + l2 l2 6 EI 12 EI = q + q (v1 - v2 ) Y2 ( 1 2) l2 l2 M1 =
2
3
1 2
Hale Waihona Puke 3-1 50 1 50 50 300 -50 150 -1 -50 2 -100 -1 -50 = 50 150 -100 600 50 150 -1 50 1 50 -50 150 50 300
计入边界条件：因边界结点1和3 为固定端，故有：
0 12EI l3 6 EI - 2 l 0 12EI l3 6 EI - 2 l
@
0 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI - 2 l 4 EI l
EA l 0 0
矩阵位移法
l 2EI
l
2EI e
l 4EI
l
（9-10）
请注意，这个单元刚度矩阵是可逆的，不存在奇异性。 在力学上应作何解释？
桁架中链杆单元的单元刚度矩阵是怎样的？
请同学们自己研究，提出结论
矩阵位移法
§9-3 单元刚度矩阵（整体坐标系）
矩阵位移法
问题的提出：
x
y
交汇于同一结点的各单元各处于不同的 局部坐标系，为结点平衡方程的建立提出 了问题。
为此，需要有一个统一的坐标系统。
矩阵位移法
(1) 单元坐标转换矩阵
Fx1 M1
Fy1
y y
x
(e)
M2
Fx2
Fy2
x
Fx1 M1
Fy1 (e) y
y
x
M2 Fx2
Fy2 x
F
e x1
F
e x1
cos
F e y1
sin
F
e y1
F e x1
sin
F
e y1
cos
Fxe1 cos
Fx1
Fye1 sin
矩阵位移法
位移法的基本思路
分析未知位移
M
C
B
将结构离散化，分析 每个杆件的杆端力
建立平衡方程，求解 结点位移
回代杆端力表达式， 求杆端力，绘内力图
A
BB
C
M BA 4iBA
M BC 4iBC
A
M
B
MB 0
化整为零
集零为整
矩阵位移法
传统解法与矩阵位移法的比较
理论同源，作法有别。前者以手算为主， 后者以电算为主。
由于 1, 2, 4, 5 为0，所以划去1、2、4、5列
矩阵位移法
⎤ ⎧δ1② ⎫ k ⎥⎨ ②⎬ k ⎦ ⎩δ 2 ⎭
② 12 ② 22
② ⎡ k11 =⎢ ② ⎣ k21 ② k12 ⎤ ②⎥ k22 ⎦
k①
① ⎡ k22 =⎢ ① ⎣ k32
① k23 ⎤ ①⎥ k33 ⎦
k②
23 / 42
第十章 矩阵位移法
② ② F1 = k11 Δ1 + k12 Δ 2 ② ① ② ① F2 = k21 Δ1 + (k22 + k22 )Δ 2 + k23 Δ 3 ① ① F3 = k32 Δ 2 + k33 Δ 3
e Nj
F = − F sinα + F cosα
e xi e yi
M ie
e
i
Me j
M ie = M ie
F
e xi
e FNi M ie e FSi
y x
e ⎧ FNi ⎫ ⎡ cosα ⎪ e⎪ ⎢ e Fi = ⎨ FSi ⎬ = ⎢ −sinα ⎪M e ⎪ ⎢ 0 ⎩ i⎭ ⎣
sinα cosα 0
10 / 42
第十章 矩阵位移法
廏鞾條栒厱冟剶异昕穧 局部坐标系下平面杆单元分析
y
i
EA
e
j
x
u je
单元方向： i → j
⎧uie ⎫ ⎪ ⎪ δ e = ⎨ e⎬ 杆端位移： ⎪u j ⎪ ⎩ ⎭
uie
e FNi
i
EA
e
j Fe Nj
F
F
e Ni
EA EA e = ⋅ ui − ⋅ u je l l
矩阵位移法与矩阵力法之不同就在于选取 的基本未知量不同，因此计算次序不同
结构力学-矩阵位移法
Fxe1, Fye1, u1e , v2e , Fxe2 , Fye2 , u2e , v2e
以上杆端力和杆端线位移与相应的坐标轴正 方向一致为正，相反为负。
M1e，M 2e，1e，2e，M1e，M 2e，1e ,2e
以上杆端力矩和杆端转角均以顺时针方向为 正，逆时针方向为负。
10
3. 单元坐标转换矩阵
③
4
④
7
⑤
⑥
1
36
曲杆可用多段直杆近似代替(以直代曲)。
进行结点编号时，要尽量使单元两端结点编号 的差值最小。
4
三、单元杆端力和杆端位移的坐标变换
1．坐标系
结构整体分析 —整体坐标系xy
x
2
②
4
y
①③
④
单元分析—局部坐标系 x y 1
3
单元始端指向末端的方向就
是 x 轴的正方向
1
x
坐标轴遵循右手法则，即
Fx1e
M
e 1
1
M
e 1
e
y
x
2
y
x
单元杆端力
x
2
②
4
y
①③
④
1
3
y v1e 1
1
u1e
u1e
v1e
1e
1e
e
y
x
2
x
2
单元杆端位移
7
Fxe1 Fye1
uv11ee
F
e
MFxe12e
e
u12ee
Fye2
v2e
M
e 2
e 2
Fxe1 Fye1
uv11ee
点，单元与单元、单元与支座均通
以上杆端力和杆端线位移与相应的坐标轴正 方向一致为正，相反为负。
M1e，M 2e，1e，2e，M1e，M 2e，1e ,2e
以上杆端力矩和杆端转角均以顺时针方向为 正，逆时针方向为负。
10
3. 单元坐标转换矩阵
③
4
④
7
⑤
⑥
1
36
曲杆可用多段直杆近似代替(以直代曲)。
进行结点编号时，要尽量使单元两端结点编号 的差值最小。
4
三、单元杆端力和杆端位移的坐标变换
1．坐标系
结构整体分析 —整体坐标系xy
x
2
②
4
y
①③
④
单元分析—局部坐标系 x y 1
3
单元始端指向末端的方向就
是 x 轴的正方向
1
x
坐标轴遵循右手法则，即
Fx1e
M
e 1
1
M
e 1
e
y
x
2
y
x
单元杆端力
x
2
②
4
y
①③
④
1
3
y v1e 1
1
u1e
u1e
v1e
1e
1e
e
y
x
2
x
2
单元杆端位移
7
Fxe1 Fye1
uv11ee
F
e
MFxe12e
e
u12ee
Fye2
v2e
M
e 2
e 2
Fxe1 Fye1
uv11ee
点，单元与单元、单元与支座均通
矩阵位移法
矩阵位移法
矩阵位移法是一种用于解决多项式方程组的数学方法。
它利用行和列变化将原系数矩阵转换成一个三角矩阵。
然后，从底端开始一行行解对角线的方程，最终求出未知数的值，解决多项式方程组。
矩阵位移法的基本步骤如下：
1.将系数矩阵进行行变换和列变换，转换成三角矩阵。
2.从最下面的方程开始，先求解最后一个未知数。
3.从次下面的方程开始，根据前面的结果一行行解出剩余未知数。
矩阵位移法比较容易理解和应用，可以有效地解决多项式方程组，但也存在一些缺点，比如容易出现几何错误，计算精度较低。
结构力学：第十章 矩阵位移法
矩阵位移法的单元体现了更强的通用性。
§10-2 单元刚度矩阵
3. 其他单元的单元刚度矩阵
(1) 平面桁架单元
Fxei 0 Fxej 0
EA
l 0 EA l 0
0 0 0 0
EA l 0
EA
l 0
{δe} uie
vie
u
e j
v
e j
T
{Fe} Fxei
0
Fxej
Fxei
Hale Waihona Puke FyeiMe i
=
Fxej
Fyej
M
e j
EA l
0
0
EA
l
0
0
0
12EI
l3 6EI
l2
0
12EI l3
6EI
l2
0
6EI l2 4EI
l
0
6EI l2
2EI
l
EA l 0
0 EA l 0
0
00
u
e i
12 l
EI
3
6EI l2
6EI
l2
2EI
6EI l2
2
F62
§10-2 单元刚度矩阵
单一位移时的单元杆端力
F23
6EI l2
3
F53
F33
4EI l
3
F63
2EI l
3
§10-2 单元刚度矩阵
单一位移时的单元杆端力
F14
EA l
4
F44
EA l
4
F35
6EI l2
5
F65
F55
12EI l3
5
F25
§10-2 单元刚度矩阵
3. 其他单元的单元刚度矩阵
(1) 平面桁架单元
Fxei 0 Fxej 0
EA
l 0 EA l 0
0 0 0 0
EA l 0
EA
l 0
{δe} uie
vie
u
e j
v
e j
T
{Fe} Fxei
0
Fxej
Fxei
Hale Waihona Puke FyeiMe i
=
Fxej
Fyej
M
e j
EA l
0
0
EA
l
0
0
0
12EI
l3 6EI
l2
0
12EI l3
6EI
l2
0
6EI l2 4EI
l
0
6EI l2
2EI
l
EA l 0
0 EA l 0
0
00
u
e i
12 l
EI
3
6EI l2
6EI
l2
2EI
6EI l2
2
F62
§10-2 单元刚度矩阵
单一位移时的单元杆端力
F23
6EI l2
3
F53
F33
4EI l
3
F63
2EI l
3
§10-2 单元刚度矩阵
单一位移时的单元杆端力
F14
EA l
4
F44
EA l
4
F35
6EI l2
5
F65
F55
12EI l3
5
F25
矩阵位移法
第十一章 矩 阵 位 移 法
一、单元的划分 矩阵位移法解题，首先将结构划分为若干个单元。同一个结构 单元的划分可多可少，但每个单元必须是等截面直杆。 单元的两端为结点，单元与单元间以结点相连。单元划分后， 需将单元和结点排序编码。 【例11－1】将图示结构划分为单元。 q
P D A B E C
q
P D B E C
K 13 K 23 K 33 K 43 K 53 K 63
K 14 K 24 K 34 K 44 K 54 K 64
K 15 K 25 K 35 K 45 K 55 K 65
K 16 K 26 K 36 K 46 K 56 K 66
e
同理可求得余下各列元素，即
0 0 0 sin cos 0
简写为：
T
e
0 ix 0 iy 0 i 0 jx 0 jy 1 j
cos sin 0 T 0 0 0
e
u i vi i u j v j j
e
K
e
K 11 K 21 K 31 K 41 K 51 K 61
K 12 K 22 K 32 K 42 K 52 K 62
K 13 K 23 K 33 K 43 K 53 K 63
K
e
EA 0 l 12EI 0 l3 6 EI 0 l2 EA 0 l 12EI 0 3 l 6 EI 0 l2
0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI 2 l 2 EI l
EA l 0 0 EA l 0 0
一、单元的划分 矩阵位移法解题，首先将结构划分为若干个单元。同一个结构 单元的划分可多可少，但每个单元必须是等截面直杆。 单元的两端为结点，单元与单元间以结点相连。单元划分后， 需将单元和结点排序编码。 【例11－1】将图示结构划分为单元。 q
P D A B E C
q
P D B E C
K 13 K 23 K 33 K 43 K 53 K 63
K 14 K 24 K 34 K 44 K 54 K 64
K 15 K 25 K 35 K 45 K 55 K 65
K 16 K 26 K 36 K 46 K 56 K 66
e
同理可求得余下各列元素，即
0 0 0 sin cos 0
简写为：
T
e
0 ix 0 iy 0 i 0 jx 0 jy 1 j
cos sin 0 T 0 0 0
e
u i vi i u j v j j
e
K
e
K 11 K 21 K 31 K 41 K 51 K 61
K 12 K 22 K 32 K 42 K 52 K 62
K 13 K 23 K 33 K 43 K 53 K 63
K
e
EA 0 l 12EI 0 l3 6 EI 0 l2 EA 0 l 12EI 0 3 l 6 EI 0 l2
0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI 2 l 2 EI l
EA l 0 0 EA l 0 0
结构力学 第三十八讲 矩阵位移法
第十一章 矩阵位移法
以上结构各杆都考虑轴向变形的影响。若刚架的杆 件不考虑轴向变形，则结点位移未知量编号及单元定 位向量如下：
2(1,0,2) ①
② 1(0,0,0)
3(1,0,3) 4(1,0,4)
③ 5(0,0,0)
{}(1) [1,0,2,1,0,3]T {}(2) [1,0,2,0,0,0]T {}(3) [1,0,4,0,0,0]T
3
1、结点位移未知量编号（整体码）1 为了确定各单元的定位向量，
要按照结点编号从小到大的顺序对
A①
②
0 4
C0
x
结构每个结点的未知量u、v、θ 0 B
y
统一进行编号。
0 0
若某个结点位移未知量等于零，则整体码编号为零。
则图示刚架的位移向量和相应结点力向量为：
（1） uA
（（32））
vAA
（4） C
F
F1 F2
F1 F2
4i1 2i2
4i2
4i2
2i2 3i3
4i4
12
或写为： F K K 为整体刚度矩阵
第十一章 矩阵位移法
二、直接刚度法
F1
直接刚度法以传统位移法的 基本体系为力学模型。
1
F2
② 2③
i2
i3
分别建立单元局部坐标和整 i1 ① 体坐标如图。
i4 ④
1、结点位移分量的统一编码―整体码（总码） 图11-9所示刚架整体结构的结点位移向
量 ：
(1 2 3 4)T
(uA vA A c )T
相应结点力向量为： {F}=(F1 F2 F3 F4)T
2、单元定位向量?
图11－9
第十一章 矩阵位移法 2、单元定位向量
第四章 矩阵位移法
Ij,M j'i6 lE ij3 ij
Ii2 lE ij3 ij
Ii6 lE ij3 ij
Ij4 lE ij3 ij
I
j
4-2 矩阵位移法
规定
弯曲杆元e的节点位移列矩 阵
弯曲杆元e的杆端力向量
i
(e)
i j
zi
j
Txi cos N N Txyyjjico00s
sin sin
0 0
0 0
cos cos
ssi00ninN N TTxxyyijij
则xoy平面内平面刚架杆元的杆端力向量的坐标转换关系为：
Txi cos sin 0
012 1
x2y2w2
345 2
x3 y3w3
3 000
5
y 000
x5y5w5
4-4 编号约定与杆元定位向量
2、杆元定位向量
杆系结构节点的个个未知位移分量，按其编号的大小，依次排列起来成为一个向 量，这个向量称为结构节点未知位移向量。
w w y 11 x 2y 22x 4y 4
4-1 位移法
2.位移法中的符号规定与弯曲杆元刚度方程
位移法的符号规定： ① 杆端剪力与y轴正向一致为正； ② 杆挠度与y轴正向一致为正； ③ 杆端弯矩不论左右端一律规定顺时针为正。
由弯曲要素表可得固端弯矩与固端剪力为： M 21112 q1l2 2,N211 2q1l2
如何求弯曲杆元因杆端发生线位移和角位移而引起的杆端弯矩、剪力？
Ii1liE j2 3ij Ij6 lE ij3 ij
Ij,M j'i6 lE ij3 ij
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1
k11 k21
k12 1
k
22
k
2
4i 2i
2i 2 4i
k(1)(2) k(2)(1)
k(1)(2) 2
k(2)(2)
k22 k32
k23 2
k33
(3) 整体分析
对号入座并叠加
单元1入座后
矩
阵
位
0 0 0 4i 2i 0
移 法
K 0
0
0 2i
4i
0
0 0 0 0 0 0
矩 阵 位 移 法
根据单元定位向量知
矩 阵 位 移 法
（8）计算最后的杆端弯矩
矩 阵 位 移 法
(9) 画弯矩图
矩 阵 位 移 法
连续梁例题
矩 阵 位 移 输入 基本参数: 法
输 入 杆的长度 :
3，1， 0 4，4
输入 刚度EI:
1000，1000（相对值）
结点 力偶荷载 :
0，0，42
输入 固端弯矩:
(2)以单元分析为基础(力法计算的 结果单元刚度方程);
(3) 建立平衡方程求出结点位移,
(4) 将结点位移代入单元刚度方 程求得内力
作法有别--
矩
(1)矩阵组织数据，矩阵运算;
阵 位
(2)设计计算机程序（正确）;
移 法
(3) 原始数据的准备、输入、计算 结果的输出及正确性判别等
特点：
省力；计算速度快；计算结果精度高 ；使用者要力学概念清楚。
位移法----人算-----怕繁\怕苦\怕累----
------ 讲究技巧
矩
阵
位
矩阵位移法----机算-----怕乱\----------
移 法
讲究计算程序化\规范化
9.2 编码、定位向量 9.2.1结点位移编号\杆端位移编号)/ 单元编码
矩 阵 位 移 法
(a) 连续梁编码；(b) 结点转角和结点力偶；（c）简支梁单元局部 码
（5）集成等效结点荷载向量
形成过程如下：
矩 阵 位 移 法
此连续梁的结点上还作用着结点力偶荷载
矩 阵 位 移 法
结点总荷载向量为
矩 阵 位 移 法
（6）引入支承条件（主1副0法）
修改前的方程为
矩 阵 位 移 法
结点4是固定端，即，引入支承条件修改后方程变为：
（7）解方程得（总码标记在右侧）
第九章 矩阵位移法
矩
阵
位 移
9.1 矩阵位移法概述
法
9.2 编码、定位向量
9.3 单元分析
9.4 整体分析
9.5 等效结点荷载向量
9.6 计算例题
9.1 矩阵位移法概述
以位移法为力学原理，以矩阵代数为数学工具，以计
算机为计算手段三位一体的力学分析方法
矩
阵
位
与位移法的区别：
移
原理同源，作法有别
法
原理同源--- (1)以结点位移为基本未知量,
9.2.2 单元定位向量
单元两端的杆端转角位移局部码(1)、(2)所对应
的结点位移总码组成的向量称为单元定位向量，
矩
记为。此连续梁，3个单元的定位向量分别为：
阵
位
移
法
定位向量
9.3 单元分析(简支梁单元)
矩 阵 位 移 法
单元刚度方程
单元刚度矩阵 (任务)
9.4 整体分析
矩 阵 位 移 法整
体 刚 度 方 程
矩 阵 位 移 法
刚臂约束力矩 向量:
(2) 去刚臂（加约束力矩负值）
矩 阵 位 移 法
原荷载的等效结点荷载向量
结点总荷载向量
要注意：如果连续梁的各个结点上还作用着力偶荷载 （这里称为结点力偶荷载
矩 阵 位 最后的结点总荷载向量应为 移 法
9.6 计算例题 (支承条件后处理法)
矩 阵 位 移 法
F1
4 F1
4
法
12
M
F2
M
(1)
F2
M
(2)
0 F 2 0
第二步:求单元等效结点荷载向量并换码
M
F 1eq
M M
1 2
F 1eq
4
F 1eq
4
M
F 2eq
M
M
2 3
F 1eq
0 F1eq 0
第三步:集成结点荷载向量
矩
单元1入座后
阵 位 移 法
0 4
矩
(4)解方程
阵
位
M2 0
移
法
M 21 M 23 0
4i2 4 3i2 21 0
7i2 25
2
25 7i
3.571 i
(5) 计算杆端弯矩
矩
阵
位
移 法
M 12
2i2
ql 2 12
2i2
4 11.143
M 21
4i2
ql 2 12
4i2
4 10.286
M 23Βιβλιοθήκη 3i 2Fpeq 0 4
0 0
单元2入座后
4 4
Fpeq 4 0 4
0 0 0
4
FP FPj FPeq 4
42
(5)引入支承条件修改原始刚度方程
矩 K FP
阵 位 移 法
4i
2 i
2i
8i
0
2i
12
4 4
0 2i 4i3 42
（1）编码和单元定位向量
矩 阵 位 移 法
（2）计算各单元刚度矩阵
单元的线刚度分别为：
矩
阵
位
移
单元刚度矩阵分别为：
法
（3）整体刚度矩阵的集成
将各单元刚度矩阵中的元素，按其定位向量累加 到整体刚度中。其形成过程如下：
矩 阵 位 移 法
（4）计算各单元固端弯矩向量（单元定位向量标记在右侧）
矩 阵 位 移 法
-4，4，0，0
简支 简支梁杆端剪力: 6，-6，0，0
一\位移法计算
2
矩
阵
位
移 法
(1) 基本未知结点位移 设 i EI EI
2
l4
(2) 单元分析
M 12
2i2
ql 2 12
2i2
4
M 21
4i2
ql 2
12
4i2
4
(a)
M 23
3i 2
42 2
3i 2
21
M 31 42
(3)整体分析
4i 2i 0
K 2i 4i 4i 2i
0 2i 4i
单元2入座后
(4) 集成结点荷载向量
矩
FP FPj Fpeq
阵
位
作用在结点上的力偶荷载
移
法
0
FPj
0
42
计算等效结点荷载向量:
矩
第一步:计算固端弯矩向量
阵 位 移
M F1
M
(1)
F1
M
(2)
qq1l l222
单元刚度集成法
矩
阵
位
移 法
单元(1)对号 入座
单元刚度集成法
单元(2)对号入 座并累加
矩 阵 位 移 法 单并元累加(3)对号入座
整体刚度矩阵
连续梁刚度方程
矩 阵 位 移 法
9.5 等效结点荷载向量
矩 阵 位 移 法 加刚臂
去刚臂
(1)加约束求杆端固端弯矩、刚臂约束力矩
矩 阵 位 移 法
固端弯矩向量:
42 2
3i 2
21 10.286
M 31 42
二\矩阵位移法计算(支承条件后处理法)
2 1 3
2 12 31 3
矩
阵
位
移
法
(1) 编码 单元定位向量
1
11 2
2
2 3
(2) 单元分析 换码定座位
矩
阵
位
移 法
k
1
4i 2i
2i1 4i
k (1)(1) k(2)(1)
k(1)(2) k(2)(2)