【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.2空间向量的数乘运算课件 新人教A版选修2-1

的中心， 的中点，求下列各式中， ， 的中心，Q 是 CD 的中点，求下列各式中，x，y 的值． 的值． → → → → (1)OQ＝PQ＋xPC＋yPA； → → → → (2)PA＝xPO＋yPQ＋PD.
思路点拨】 【 思路点拨 】 解答本题需准确画图， 解答本题需准确画图 ， 先利用三 角形法则或平行四边形法则表示出指定向量， 角形法则或平行四边形法则表示出指定向量 ， 再 根据对应向量的系数相等，求出 、 的值即可 的值即可． 根据对应向量的系数相等，求出x、y的值即可．
(4)用上述结论证明 或判断 三点 A、B、C 共线时，只需证 用上述结论证明(或判断 用上述结论证明 或判断)三点 、 、 共线时， → → → → 即可．也可用“ 明存在实数 λ，使AB＝λBC或AB＝µAC即可．也可用“对 ， → → → 空间任意一点 O，有OB＝tOA＋(1－t)OC”来证明三点共 ， － 线． 2．对向量共面的充要条件的理解 ． (1)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有 空间一点 → → → 序实数对(x， 使 y)， 序实数对 ， ， MP＝xMA＋yMB.满足这个关系式的点 满足这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内； 反之， 反之， 平面 MAB 内的任一点 P 都满 足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面． 足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
→ → → ∴EF＝A1F－A1E 4 2 2 2 2 ＝ a－ b－ c＝ (a－ b－c)． － － ＝ － － ． 5 15 5 5 3 2 2 → → → → 又EB＝EA1＋A1A＋AB＝－ b－c＋a＝a－ b－c， － ＋ ＝ － － ， 3 3 → 2→ 所以 ， ， 三点共线． ∴EF＝ EB.所以 E，F，B 三点共线． 5
问题探究
→ → → 1．如果 ＝OA＋tAB，你能判定 P、A、B 共线吗？ ．如果OP 、 、 共线吗？
提示：能判定 、 、 共线 共线． 提示：能判定P、A、B共线． 2． 空间的两非零向量a， b共面 能否推出a＝ 2 ． 空间的两非零向量 a ， b 共面 ， 能否推出 a ＝ 共面， λb(λ∈R)? ∈ 提示：不能推出a＝ 因空间中任意两向量都共 提示：不能推出 ＝λb.因空间中任意两向量都共 共面未必有a∥ ，则不一定有a＝ 面，a，b共面未必有 ∥b，则不一定有 ＝λb. ， 共面未必有
例2 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 在 如图所示，
→ → → A1D1 上，且A1E＝2ED1，F 在对角线 A1C 上，且A1F 2→ 求证： ， ， 三点共线． ＝ FC.求证：E，F，B 三点共线． 求证 3
→ 思路点拨】 【思路点拨】 要证 E，F，B 三点共线，只需证 ＝ ， ， 三点共线，只需证EB → mEF(m∈R)即可． 即可． ∈ 即可
→ → 的中点．证明：向量A 别为 BB1 和 A1D1 的中点．证明：向量 1B、B1C、 → EF是共面向量． 是共面向量．
思路点拨】 【思路点拨】
Hale Waihona Puke 利用向量共面的充要条件或向
量共面的定义来证明． 量共面的定义来证明．
→ → → → 证明】 法一： 【证明】 法一：EF＝EB＋BA1＋A1F 1→ → 1 → ＝ B1B－A1B＋ A1D1 2 2 1 → → → － ＝ (B1B＋BC)－A1B 2 1→ → ＝ B1C－A1B. 2 → → → 由向量共面的充要条件知， 由向量共面的充要条件知，A1B、B1C、EF是共面向 量．
【解】 如图 → → → (1)∵OQ＝PQ－PO ∵ → 1 → → ＝PQ－ (PA＋PC) 2 → 1→ 1→ ＝PQ－ PC－ PA， 2 2 1 ∴y＝z＝－ . ＝ ＝－ 2 (2)∵O 为 AC 的中点，Q 为 CD 的中点， 的中点， 的中点， ∵ → → → → → → ∴PA＋PC＝2PO，PC＋PD＝2PQ， → → → → → → ∴PA＝2PO－PC，PC＝2PQ－PD， → → → → ∴PA＝2PO－2PQ＋PD， ＝－2. ∴x＝2，y＝－ ＝ ， ＝－
法二： 法二：连结 A1D、BD，取 A1D 中点 G，连结 、 ， ， FG、BG， 、 ， 1 1 则有 FG 綊 DD1，BE 綊 DD1， 2 2 ∴FG 綊 BE. 为平行四边形． ∴四边形 BEFG 为平行四边形． ∴EF∥BG. ∥ ∴EF∥平面 A1BD. ∥ 同理， 同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面 A1BD， ∥ ， ∥ ， → → → 平行． ∴A1B、B1C、EF都与平面 A1BD 平行． → → → 共面． ∴A1B、B1C、EF共面．
→ → → 互动探究 本例中的条件不变， PO＝xBA＋yBC＋ 本例中的条件不变， 若 → zBP，试求 x、y、z 的值． 、 、 的值．
→ → → 解：∵PO＝BO－BP 1 → → → ＝ (BA＋BC)－BP － 2 1→ 1→ → ＝ BA＋ BC－BP， 2 2 1 ＝－1. ∴x＝y＝ ，z＝－ ＝ ＝ ＝－ 2
知新益能 1．空间向量的数乘运算 ． (1)定义： 实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个 定义： 与空间向量a的乘积 定义 实数λ与空间向量 的乘积λa仍然是一个 向量 称为向量的数乘运算． ______，称为向量的数乘运算． ， (2)向量 与λa的关系 向量a与 的关系 向量 λ的范围 的范围 λ>0 λ＝0 ＝ λ<0 方向关系 方向______ 方向 相同 λa＝0，其方向是任意的 ＝ ， 方向_____ 方向 相反 模的关系 λa的模是 的模是a 的模是 的模的 |λ|倍 倍 ______
课堂互动讲练
考点突破 空间向量的数乘运算 空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算没有 什么区别， 什么区别，只是将适用范围由平面推广到了空 间．运算要正确地使用向量加法和减法的平行四 边形法则和三角形法则，以及准确使用运算律． 边形法则和三角形法则，以及准确使用运算律．
例1 已知正四棱锥 P-ABCD， 是正方形 ABCD O ，
(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表 共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表 示式， 示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两 个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量 个不共线的向量表示出来， 是否共面的依据， 是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为 向量式，以便于应用向量这一工具． 向量式，以便于应用向量这一工具．
2．共线向量与共面向量 ． (1)共线向量 共线向量 定义：表示空间向量的有向线段所在的直线______ 定义：表示空间向量的有向线段所在的直线 互相 平行或重合 ，则这些向量叫做__________或平行 ____________，则这些向量叫做 共线向量 或平行 向量； 向量； 充要条件： 对于空间任意两个向量a， ≠ ， 充要条件 ： 对于空间任意两个向量 ， b(b≠0)， ＝ a∥b的充要条件是存在实数 ，使______. 的充要条件是存在实数λ， a＝λb ∥ 的充要条件是存在实数 (2)共面向量 共面向量 同一个平面 定 义 ： 平 行 于 _____________ 的 向 量 叫 做 共 面 向 量． 充要条件：若两个向量a， 不共线 则向量p与 ， 不共线， 充要条件：若两个向量 ，b不共线，则向量 与a， b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对 ， y), 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x， 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对 p＝xa＋yb ＝ ＋ 使___________.
方法感悟 1．向量共线的充要条件及其应用 ． (1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样， 空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样， 空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样 当我们说a， 共线时 表示a， 的两条有向线段所 共线时， 当我们说 ，b共线时，表示 ，b的两条有向线段所 在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线； 在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当 我们说a 我们说 ∥b时，也具有同样的意义． 时 也具有同样的意义． (2)“共线 ” 这个概念具有自反性 ∥a)，也具有对 “ 共线”这个概念具有自反性(a ， 称性，即若a ， 称性，即若 ∥b，则b∥a. (3)如果应用上述结论判断 ，b所在的直线平行，还 如果应用上述结论判断a， 所在的直线平行 所在的直线平行， 如果应用上述结论判断 需说明a(或 上有一点不在 上有一点不在b(或 上 需说明 或b)上有一点不在 或a)上．
→ → → 证明】 【证明】 设AB＝a，AD＝b，AA1＝c. ， ， → → → 2→ ∵A1E＝2ED1，A1F＝ FC， 3 → 2 → → ∴A1E＝ A1D1，A1F 3 2→ C. ＝ A1C. 5 → 2→ 2 ∴A1E＝ AD＝ b， ， 3 3 2 → → → 2 → → → A1F＝ (AC－AA1)＝ (AB＋AD－AA1) ＝ 5 5 2 2 2 ＝ a＋ b－ c. ＋ － 5 5 5
3．1.2 空间向量的数乘运算 ．
学习目标 1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律， 了解 掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律， 掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律 共线(平行 向量的意义． 共线 平行)向量的意义 平行 向量的意义． 2． 理解共线向量定理和共面向量定理及其推论 ， ． 理解共线向量定理和共面向量定理及其推论， 会证明空间三点共线与四点共面问题． 会证明空间三点共线与四点共面问题．
向量共线问题 判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x， 判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数 ， 使 a＝xb成立， 或充分利用空间向量的运算法则 ， 成立， ＝ 成立 或充分利用空间向量的运算法则， 结合具体的图形，通过化简、计算得出a＝ ， 结合具体的图形 ， 通过化简 、 计算得出 ＝ xb， 从 而得出a∥ 即 与 共线 共线． 而得出 ∥b即a与b共线．
3.1.2 空 间 向 量 的 数 乘 运 算
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基 1．空间向量加法运算满足________和________． ．空间向量加法运算满足 结合律 和 交换律 ． 2． 以前学过的平面向量中有关向量的数乘运算 ， ． 以前学过的平面向量中有关向量的数乘运算， 所谓平面向量的数乘运算就是：实数λ与平面向量 与平面向量a 所谓平面向量的数乘运算就是：实数 与平面向量 的乘积λa仍然是一个 向量 的乘积 仍然是一个______，还学过平面中两向量 仍然是一个 ， 共线的充要条件， 其具体内容为： 共线的充要条件 ， 其具体内容为 ： 在平面内存在 ＝ ≠ 成立． 惟一实数λ ___________，使得____________成立． 惟一实数 ，使得 a＝λb(b≠0) 成立
(3)空间向量的数乘运算律 空间向量的数乘运算律 ＋ 设 λ、µ 是实数，则有①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 、 是实数，则有①分配律： ＋ ＝_________.
＝ ②结合律：λ(µa)＝(λµ)a 结合律：________________. 推论： 的直线， 推论：如果 l 为经过点 A 平行于已知非零向量 a 的直线， 那么对于空间任一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是 ， → → 方 存在实数 t， OP＝OA＋ta①， ， 使 ① 其中 a 叫做直线 l 的____ 向向量 ，如图所示． ________，如图所示． → → → → OA＋tAB 上取AB ， 式可化为____＝ 若在 l 上取 ＝a，则①式可化为 OP ＝________.
向量共面问题 证明三个向量共面的常用方法： 设法证明其中 证明三个向量共面的常用方法 ： (1)设法证明其中 一个向量可表示成另两个向量的线性组合； (2) 寻 一个向量可表示成另两个向量的线性组合 ； (2)寻 找平面α，证明这些向量与平面 平行 平行． 找平面 ，证明这些向量与平面α平行．
例3 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E、F 分 如图， 、