常考问题8平面向量的线性运算及综合应用
第13讲 平面向量十大题型总结(解析版)-2024高考数学常考题型
第13讲平面向量十大题型总结【题型目录】题型一：平面向量线性运算题型二：平面向量共线问题题型三：平面向量垂直问题题型四：平面向量的夹角问题题型五：平面向量数量积的计算题型六：平面向量的模问题题型七：平面向量的投影问题题型八：万能建系法解决向量问题题型九：平面向量中的最值范围问题题型十：平面向量中多选题【典型例题】题型一：平面向量线性运算【例1】在ABC △中，D 是AB 边上的中点，则CB =（）A ．2CD CA+ B ．2CD CA- C ．2CD CA- D ．2CD CA+ 【答案】C【解析】：CA CD AC CD CD AC CD AD CD DB CD CB -=+=++=+=+=22【例2】在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC-B ．1344AB AC-C ．3144+AB AC D ．1344+AB AC 【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【例3】在ABC 中，点P 为AC 中点，点D 在BC 上，且3BD DC = ，则DP =()A ．1144AB AC+B ．1144AB AC--C ．1144AB AC-D ．1144AB AC-+【答案】B【解析】∵点P 为AC 中点，∴12AP AC = ,∵3BD DC =，()3AD AB AC AD ∴-=- ,∴1344AD AB AC =+ ,∴113244DP AP AD AC AB AC =-=-- =1144AB AC --,故选：B.【例4】在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且EB AB AC λμ=+，则λ=________，μ=_________．【答案】3414-【解析】如下图所示：D Q 为BC 的中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，E 为AD 的中点，所以，()1124AE AD AB AC ==+，因此，()131444EB AB AE AB AB AC AB AC =-=-+=- ，即34λ=，14μ=-.故答案为：34；14-.【例5】如图，等腰梯形ABCD 中，3AB BC CD AD ===，点E 为线段CD 中点，点F 为线段BC 的中点，则FE =（）A ．2136AB AC+B ．2136AB AC-+C ．1263AB AC+D ．1263AB AC-+点F 为线段BC 的中点，13BD BA AD BA BC BA =+=+=+ 又2BD FE = ，2136FE AB AC ∴=-+.【题型专练】1.设,,D E F 分别为ABC 的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=()A ．ADB ．12ADC ．12BCD ．BC【答案】A【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=，故选：A2.设D为△ABC所在平面内的一点,若3,AD BD CD CA CBλμ==+,则μλ=_____.【答案】3-【解析】如图所示：3CD CA AD CA BD=+=+，CA=+3(CD CB-)，即有CD=﹣1322CA CB+，因为CD CA CBλμ=+，所以λ=﹣12，μ=32，则μλ=﹣3，故答案为：﹣3.3.在ABC中，4AC AD=，P为BD上一点，若13AP AB ACλ=+，则实数λ的值（）A．18B．316C．16D．38【答案】C【解析】4AC AD=，14AD AC∴=，则14BD AD AB AC AB=-=-，1233BP AP AB AB AC AB AC ABλλ⎛⎫=-=+-=-⎪⎝⎭，由于P为BD上一点，则//BP BD，设BP k BD=，则21344kAC AB k AC AB AC k ABλ⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，所以423kkλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得16λ=.4.在ABC 中，2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，则λμ+=（）A ．13B ．23C ．38D ．58【答案】D【解析】AD 是BC 边上的高，∴90ADB ∠=︒，在ADB △中，1cos 22BD BD ABD AB ∠===，解得1BD =， 4BC =，∴14BD BC =，∴14AD AB BD AB BC =+=+， O 为AD 中点，∴1111122428AO AD AB BC AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ， AO AB BC λμ=+ ，∴1128AB BC AB BC λμ+=+ ，∴12λ=，18μ=，∴115288λμ+=+=.5.已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）A ．AO OD =B ．2AO OD=C ．3AO OD=D ．4AO OD =【答案】A【解析】D 为BC 边中点，∴2OB OC OD +=，∵20OA OB OC ++=，∴0OA OD =+，即AO OD =.6．设D 为ABC 所在平面内一点，且满足3CD BD =，则（）A ．3122AD AB AC =-B ．3122=+AD AB ACC ．4133AD AB AC =-D ．4133AD AB AC=+ ∴2CB BD =，即12BD CB = .()12123122AD AB BD ABCBAB AB ACAB AC ∴=+=+=+-=- 故选：A.题型二：平面向量共线问题【例1】已知向量()1,2a =- ，()sin ,cos b αα= ，若//a b，则tan α=（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2【例2】与模长为13的向量()12,5d =平行的单位向量为（）A ．1251313⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1251313⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．1251313⎛⎫ ⎪，或1251313⎛⎫-- ⎪，D ．1251313⎛⎫- ⎪，或1251313⎛⎫- ⎪，【例3】已知向量()1,2AB =，(),7BC m =，()3,1CD =-，若A ，B ，D 三点共线，则m =________．【例4】设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ=___．【答案】21【解析】因向量λ+a b 与2+a b 平行，所以()b a b a ba μμμλ22+=+=+，所以⎩⎨⎧==μμλ21，解得⎪⎩⎪⎨⎧==2121μλ【例5】在ABC ∆中，点P 满足3BP PC = ，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ= ，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（）A ．212+B ．12+C ．32D ．52【答案】B【解析】如下图所示：3BP PC = ，即()3AP AB AC AP -=- ，1344AP AB AC∴=+ ，AM AB λ= ，()0,0AN AC μλμ=>> ，1AB AM λ∴=，1AC ANμ= ，1344AP AM ANλμ∴=+ ，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+的最小值为312+，故选：B.【题型专练】1.已知非零向量a ，b ，c ，若(1)a x = ，，(41)b =- ，，且//a c ，//b c则x =（）A ．4B ．4-C ．14D ．14-【答案】D【解析】：因非零向量c b a ,,，且//a c ，//b c ，所以a 与b 共线，所以()x 411=-⨯，所以41-=x 2.已知向量的(7,6)AB =，(3,)BC m =- ，(1,2)AD m =- ，若A ，C ，D 三点共线，则m =______.3.已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且35OA a b =+，47OB a b =+，OC a mb =+，若A ，B ，C 三点共线，则m =（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】A【解析】法一：b a b a b a OB AO AB 27453+=++--=+=，()b m a b m a b a OC BO BC 7374-+-=++--=+=，因A ，B ，C 三点共线，所以AB 与BC 共线，所以()[]()b m a b m a b a 73732-+-=-+-=+λλλ，所以()⎩⎨⎧-=-=7231m λλ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=131m λ法二：由,,A B C 三点共线，得(1)(4)(72)OC xOA x OB x a x b =+-=-+-，故41,72,x x m -=⎧⎨-=⎩解得1m =．4.设12e e，是两个不共线的向量，若向量12m e ke =-+（k ∈R ）与向量212n e e =-共线，则A ．0k =B ．1k =C ．2k =D ．12k =【答案】D【解析】因为向量12=-+ m e ke （k ∈R ）与向量212=-n e e 共线，所以存在实数λ，使得λ=m n ，所以有2211(2)λ-+=- e ke e e ，因此12k λλ=⎧⎨-=-⎩，解得12k =.5.如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +=（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+，M 、O 、N 三点共线，122m n∴+=，2m n ∴+=.故选：C.6.已知M 为ABC 的边AB 的中点，N 为ABC 内一点，且13AN AM BC =+ ，则AMNBCNS S =△△（）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】因为13AN AM BC =+，所以13MN BC = ，所以MN ∥BC ，又因为M 为边AB 的中点，所以点A 到MN 的距离等于点N 到BC 的距离，所以13AMNBCNMN S S BC== △△,题型三：平面向量垂直问题【例1】已知向量(1)(32)m =-，，=，a b ，且()+⊥a b b ，则m =（）A ．8-B ．6-C ．6D ．8【答案】D【解析】：()()()2,42,3,1-=-+=+m m b a ，因()b b a ⊥+，所以()0=⋅+b b a ，即()()()022122,32,4=--=--m m ，所以8=m 【例2】已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】22【解析】由题意可得：11cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =.【例3】已知单位向量,a b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A ．b a 2+B ．ba +2C ．ba 2-D ．ba -2【答案】D【思路导引】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可．【解析】由已知可得：11cos 601122⋅=︒=⨯⨯=a b a b ．A ：∵215(2)221022+⋅=⋅+=+⨯=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；B ：∵21(2)221202+⋅=⋅+=⨯+=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；C ：∵213(2)221022-⋅=⋅-=-⨯=-≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；D ：∵21(2)22102-⋅=⋅-=⨯-=b b b a b b ，∴本选项符合题意．故选D ．【例4】已知向量(2,1),(3,)a b m →→=-=，且()a b a →→→+⊥，则实数m =___________.【答案】1【分析】先求出+=(1,1)a b m →→+，再解方程1(2)1(1)0m ⨯-+⨯+=即得解.【详解】解：由题得+=(1,1)a b m →→+，因为()a b a →→→+⊥，所以()=0a b a →→→+g ，所以1(2)1(1)0,1m m ⨯-+⨯+=∴=.故答案为：1【例5】已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为（）A ．4B ．–4C ．94D ．–94【答案】B 【解析】由()t ⊥+n m n 可得()0t ⋅+=n m n ，即20t ⋅+=m n n ，所以2221|cos |3||t |||<,>|||=-=-=-⋅⋅⨯⨯n n n m n m n m n m n ||4334||3=-=-⨯=-n m ．故选B ．【例6】已知向量AB 与AC 的夹角120，且|AB |=3，|AC |=2，若AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥ ，则实数λ的值为_____．【答案】712【解析】向量与的夹角为，且所以．由得，，即，所以，即，解得．【题型专练】1.ΑΒC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2ΑΒ= a ，2ΑC =+a b ，则下列结论正确的是（）A ．1=b B ．⊥a bC ．1⋅=a b D ．()4ΒC-⊥a b 【答案】D【解析】如图由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-= ，故||2b = ，故A 错误；|2|2||2a a ==，所以||1a = ，又22(2)4||222cos 602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯=，所以1a b ⋅=- ，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD += ，且AD BC ⊥ ，所以()4C a b +⊥B ，故选D ．2.已知1e ，2e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60 ，则实数λ的值是．【答案】33【解析】解法一：因1e ，2e 11==，021=⋅e e所以221212112122)()λλλ-⋅+=+⋅-⋅-=-e e e e e e e e ，12|2-=e ，12||λ+===e e ，2cos60λ==，解得：33λ=．解法二：建立坐标系，设()()1,0,0,121==e e ()()λλ,1,1,3212=+-=-e e e ，所以()()2221213λ+=+=-+=)()λλ-=+-3212e e e所以由数量积的定义得︒⨯+⨯=-60cos 1232λλ，解得：33λ=．3.已知向量()(),2,1,1a m b ==，若()a b b +⊥ ，则m =__________.【答案】4-【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】由题意可得()1,3a b m +=+，则130m ++=，解得4m =-.故答案为：4-4.已知向量(,2),(2,4)m a a n a =+=- ，且()n m n ⊥-，则实数=a _____________．【答案】2【分析】根据向量坐标运算及向量垂直的坐标表示即得.【详解】因为(,2)(2,4)(2,2)m n a a a a -=+--=-，又()n m n ⊥- ，所以2(2)(2)40a a ⨯-+-⨯=，解得2a =．故答案为：2.5.在ABC 中，()1,2,3A k -，()2,1,0B -，()2,3,1C -，若ABC 为直角三角形，则k 的值为（）A ．23B ．83C ．－1D ．325-题型四：平面向量的夹角问题【例1】已知平面向量a ，b满足||4,||1== a b ，()a b b -⊥ ，则cos ,a b 〈〉= （）A ．14B ．4C．4D ．4【例2】已知(2,0)a = ，1,22b ⎛= ⎝⎭r ，则a b - 与12a b + 的夹角等于（）A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°【例3】已知向量a=（2，1），()3,1b =- ，则（）A．若c =-⎝⎭ ，则a c ⊥B ．向量a 在向量b 上的投影向量为12b-C ．a 与a b -D ．()//a b a+【例4】若向量a ，b 满足||a = ，(2,1)b =-，5a b ⋅=- ，则a 与b 的夹角为_________．【例5】已知向量a b ，满足566a b a b ==⋅=-，，，则cos ,a a b +=()A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【例6】若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则a 与b 夹角的余弦值为________．【例7】设向量(68)=-，a ，(34)=，b ，t =+c a b，t ∈R ，若c 平分a与b 的夹角，则t 的值为．【答案】2【解析】解法一：()t t b t a c 48,36++-=+=，所以()()t t t c a 14100488366+=+++--=⋅；()()1425484363+=+++-=⋅t t t c b 510==因c 平分a 与b 的夹角，所以=c b c a ==，所以()1425214100+=+t t ，解得2=t解法二：因c 平分a 与b的夹角，所以()()⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎫⎛=58,054,3108,6λλλb a c ，又因()t t b t a c 48,36++-=+=，所以()()t t 3658480+-=+⨯，解得2=t 【例8】已知A B C △的三个顶点分别为(3(60)(5A B C ，，，，，求ACB ∠的大小．【答案】C【解析】()()3,1,0,2=-=CB CA()()()2312022222=+==+-=所以21223012cos -=⨯⨯+⨯-==∠CB CA ACB ，所以︒=∠120ACB 【题型专练】1.设非零向量、ab满足||2||,||||a b a b b =+= ，则向量a 与b的夹角为（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒2.已知(2,1)a =-，||b =，且()10a b a +⋅= ，则,a b 〈〉= ___________.3.已知向量,a b 满足||1a =，||a b =+1)b =- ，则,a b 的夹角等于___________.4.若两个非零向量a 、b 满足2a b a b a +=-=，则a b - 与b 的夹角___________.5.已知单位向量a ，b 满足0a b ⋅=，若向量c =+，则sin ,a c ＝（）A B C D6.已知向量,a b 满足()()3,4,·28a b a b a b ==+-=，则向量a 与b 所成的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37.已知向量a ，b 满足||2||2b a == ，|2|2a b -= ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒8.已知向量()PA =，(1,PB =，则APB ∠=A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D【解析】根据题意，可以求得2,2PA PB ===，所以333cos 222PA PB APB PA PB⋅∠===-⋅，结合向量所成角的范围，可以求得150APB ∠=︒，故选D ．9.非零向量a ，b 满足：-=a b a ，()0⋅-=a a b ，则-a b 与b 夹角的大小为A ．135︒B ．120︒C ．60︒D ．45︒【答案】A【解析】 非零向量a ，b 满足()0⋅-=a a b ，∴2=⋅a a b，由-=a b a 可得2222-⋅+=a a b b a，解得=b ，()22cos 2θ-⋅⋅-∴===--a b ba b b a b ba b，θ为-a b 与b 的夹角，135θ∴= ，故选A ．10.已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos,=a c ___________.【答案】23【解析】因为2=c a，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．11.已知向量(4,3),(1,2)a b =-=-，,a b的夹角为θ，则sin θ=__________.【答案】55【解析】依题意[]0,πθ∈，所以255cos ,sin 55||||a b a b θθ⋅===-== .故答案为.12.已知向量,a b 满足5,6,6==⋅=-a b a b ，则cos ,+=a a b （）A ．3531-B ．3519-C ．3517D ．3519【答案】D【思路导引】计算出()a ab ⋅+ 、a b + 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值．【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=- ，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= ．7a b +== ，因此()1919cos ,5735a ab a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+ ．故选D ．题型五：平面向量数量积的计算【例1】（2021新高考2卷）已知向量0,||1,||||2,a b c a b c a b b c c a ++====⋅+⋅+⋅=_______．【答案】29-【解析】方法一：因为0=++c b a ，所以()02=++cb a ，即0222222=+++++c b c a b a c b a所以0222441=+++++c b c a b a ，所以9222-=++c b c a b a ，所以29-=++c b c a b a 方法二：因为0=++c b a ，所以c b a -=+，所以()()22c b a -=+，即2222cb a b a=++所以4241=++b a ，所以21-=b a ，同理b c a -=+，所以()()22b ca -=+，即2222b c a c a =++，所以4241=++c a ，所以21-=c a ，同理a c b -=+，所以()()22a c b -=+，即2222a c b c b =++，所以1244=++c b ，所以27-=⋅c b ，所以29-=++c b c a b a 【例2】在△ABC 中，6,AB O =为△ABC 的外心，则AO AB ⋅等于A B ．6C ．12D ．18【答案】D【解析】试题分析：如图，过点O 作OD AB ⊥于D ，则()36018AO AB AD DO AB AD AB DO AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯+=，应选D.【例3】已知边长为3的正2ABC BD DC = ，，则AB AD ⋅=（）A ．3B ．9C ．152D ．6【例4】已知ABC 为等边三角形，AB =2，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，R λ∈，若2BQ CP ⋅=-，则λ=（）A ．12B ．12C ．12±D故选：A.【例5】在ABC 中，6A π=，||AB =||4AC =，3BD BC =，则AB AD ⋅=______．【答案】24-【分析】利用基底,AB AC 3AD AB BD AB BC =+=+ ,BC AC = 23AD AB AC ∴=-+ ,∴()232AB A AB AD AB AB C =⋅-+=-⋅ 【题型专练】1.如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC =，1AD = ，则AC AD ⋅=（）A ．B CD ．3-2.在ABC 中，3AB AC ==，DC BD 2=﹒若4AD BC ⋅=，则AB AC ⋅=______．3.ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，P 为线段BC 上任一点，则AP AC ⋅=（）A ．8B ．4C ．2D ．64.已知ABC 为等边三角形，D 为BC 的中点，3AB AD ⋅=，则BC =（）A BC ．2D ．45.如图，在ABC 中，3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足2AP mAC AB =+，若||3AC =，||4AB =，则AP CD ⋅的值为（）A ．-3B ．1312-C ．1312D ．1126．在平行四边形ABCD 中，AC ＝6，AB AD ⋅＝5，则BD ＝____________.【详解】AC AB BC AB AD =+=+ ，则2AC AB = 236226AD AB AD +=-⋅=，AD AB - ，则222BD AD AB AD =-⋅+ 7．已知在ABC 中，90C ∠=︒，4CA =，3CB =，D 为BC 的中点，2AE EB =，CE 交AD 于F ，则CE AD ⋅=_______【答案】73-##123-题型六：平面向量的模问题【例1】已知(1)t =，a ，(6)t =-，b ，则|2|+a b 的最小值为________．【答案】52【解析】：()()()40205362444462262,2222222+-=+-+++=-++=-+=+t t t t t t t t t t a对称轴2=t ，所以当2=t 时，524040202=+-=a 【例2】（2021新高考1卷）已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos(),sin())P αβαβ++，(1,0)A ，则：A ．12||||OP OP = B ．12||||AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP == ，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以1||2|sin |2AP α===== ，同理2||2|sin |2AP β== ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC【例3】已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b =．【答案】324211244+⨯⨯⨯+====+3212==【例4】已知a 与b 均为单位向量，其中夹角为θ，有下列四个命题1p ：||1+>a b ⇔θ∈[0，23π）2p ：||1+>a b ⇔θ∈(23π，π]3p ：||1->a b ⇔θ∈[0，3π）4p ：||1->a b ⇔θ∈(3π，π]其中真命题是（A ）1p ，4p (B)1p ，3p (C)2p ，3p (D)3p ，4p 【答案】A【解析】由||1+>a b 得，221∙>a +2a b +b ，即∙a b ＞12-，即cos θ=||||∙a b a b ＞12-，∵θ∈[0，π]，∴θ∈[0，23π），由||1->a b 得，22-1∙>a 2a b +b ，即∙a b ＜12，即cos θ=||||∙a b a b ＜12，∵θ∈[0，π]，∴θ∈(3π，π]，故选A ．【例5】设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a b C ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b a D ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b 【答案】C【解析】对于A b b a a2222-=⇒+-=+⋅+⇒=θ，所以1cos -=θ，所以︒=180θ，所以A 错，B 错；C 对，D 有可能为︒0【题型专练】1．设向量(10)，a =，22()22=-b ，若t =+c a b (t ∈R)，则||c 的最小值为A B ．1C ．2D ．12【答案】C【解析】()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=t t t b t a c 22,22122,220,12222221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t 222122122121212222≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+++=t t t t t t 2.已知向量(1,2)a =- ，(21,1)b m =- ，且a b ⊥，则|2|a b -= （）A ．5B ．4C ．3D ．23.已知向量a ，b满足1a =，2b =，a b -=，则2a b +=（）A ．B ．C D4.已知[02π)αβ∈、，，(cos ,sin )a αα=r，(cos(),sin())b αβαβ=++，且23a b -=，则β可能为（）A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3【答案】BD【分析】根据向量模的运算列方程，化简求得cos β的值，进而求得正确答案.5.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(3,4),||1==a b ，则|2|a b += _____________．6.已知向量,a b 满足||2,(2,2)a b == ，且|2|6a b += ，则||a b += __________．7.设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=______________.【解析】因为,a b为单位向量，所以1a b ==r r所以1a b +==，解得：21a b ⋅=-所以a b -==8.设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵33-=+a b a b ，∴22(3)(3)-=+a b a b ，∴2269-⋅+=a ab b 2296+⋅+a a b b ，又||||1==a b ，∴0⋅=a b ，∴⊥a b ；反之也成立，故选C ．9.已知向量a ，b 夹角为045，且|a |=1，|2-a b |b |=．【答案】．【解析】∵|2-a b |=平方得224410-= a a b +b ，即260--=|b |b |，解得|b |=（舍）题型七：平面向量的投影问题【例1】已知向量(2,1),(1,1)a b =-= ，则a 在b上的投影向量的模为（）A B ．12C ．2D ．1【例2】已知6a =，3b =，向量a 在b 方向上投影向量是4e ，则a b ⋅ 为（）A ．12B ．8C ．-8D ．2【例3】已知平面向量a ，b ，满足2a =，1b =，a 与b 的夹角为23π，2b 在a 方向上的投影向量为（）A ．1-B ．12aC ．12a - D ．1【例4】已知平面向量a ，b 满足2=a ，()1,1b =，a b +=r r a 在b 上的投影向量的坐标为（）A ．22⎛ ⎝⎭B ．()1,1C ．()1,1--D ．⎛ ⎝⎭【例5】已知O 为正三角形ABC 的中心，则向量OA 在向量AB 上的投影向量为（）A ．ABB C ．12AB-D ．12AB故选：C【例6】设向量a 在向量b 上的投影向量为m ，则下列等式一定成立的是（）A ．||a b m bb ⋅=⋅ B ．2||a b m bb ⋅=⋅ C ．m b a b⋅=⋅ D ．ma b a⋅=⋅【题型专练】1．已知()1,2a = ，()1,2b =- ，则a 在b上的投影向量为（）A ．36,55⎛⎫- ⎪B ．36,55⎛⎫- ⎪C ．36,55⎛⎫-- ⎪D ．36,55⎛⎫ ⎪2．如图，在平面四边形ABCD 中，120ABC BCD ∠=∠= ，AB CD =，则向量CD 在向量AB 上的投影向量为（）A ．2AB -B ．12AB -C ．12AB D ．2AB 【答案】B【分析】根据图形求出向量AB 与CD的夹角，再根据投影向量的公式进行求解即可.【详解】延长AB ，DC 交于点E ，如图所示，3.已知向量()1,3a =，()2,4b =-，则下列结论正确的是（）A ．()a b a+⊥r r r B ．2a b +=C ．向量a 与向量b 的夹角为34πD ．b 在a的投影向量是()1,34.已知()3,1a =-，()1,2b =，下列结论正确的是（）A ．与b同向共线的单位向量是⎝⎭B ．a 与bC ．向量a在向量b 上的投影向量为12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．15a b b⎛⎫-⊥ ⎪ 5.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A ．若1,,120a b a b ===︒，则()2a b a+⊥r r r B ．点()()1,1,3,2M N --，与向量MN同方向的单位向量为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．若20a b a b a +=-=≠ ，则+r r a b 与a b - 的夹角为60°D ．若向量()()2,1,6,2a b =-= ，则向量b 在向量a 上的投影向量为2a-同方向的单位向量为6．己知空间向量||3,||2a b ==，且2a b ⋅=，则b 在a 上的投影向量为________．【答案】29a ##29a7.已知1a =，2b =，且()a ab ⊥+，则a 在b 上的投影向量为（）A ．b -B ．bC ．14b- D ．14b【答案】C 【详解】因为()a a b ⊥+ ，所以()0a a b ⋅+= ，即220,0a a b a a b +⋅=+⋅= ，又因为1a = ，设,a b 的夹角为θ，所以1a b ⋅=-，a 在b 上的投影为：cos b a b a θ⋅=⋅ ，所以a 在b 上的投影向量为214cos b a b b b ba b θ⋅⋅=⋅=⋅- .故选：C8.已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为ABC．D．【答案】A【解析】AB =（2，1），CD =（5，5），则向量AB 在向量CD方向上的射影为22325515255)5,5()1,2(cos 22=⨯+⨯=+⋅==CD AB AB θ9.若向量,a b满足22a a b =+= ，则a 在b 方向上投影的最大值是AB．CD．【答案】B【详解】由题意2,22a a b =+= ，所以2||4164b a b +⋅+=，设,a b 的夹角为θ，则2||8cos 120b b θ++= ，所以212cos 8b bθ+=- ，所以a 在b 方向上投影为2123cos 2()(48b b a bb θ+=⨯-=-+，因为3b b +≥cos a θ≤ ，故选B.题型八：万能建系法解决向量问题边长为a 的等边三角形已知夹角的任意三角形正方形矩形平行四边形直角梯形等腰梯形圆建系必备（1）三角函数知识cos ,sin x r y r q q ==；（2）向量三点共线知识(1)OC OB OAl l =+-（对面女孩看过来）．【例1】如图，在等腰梯形ABCD 中，2,3,4AB BC CD BC BE ==== ，则CA DE ⋅=（）A ．43B ．154-C ．558-D ．6516-3315,0,,0,1,D C A ⎛⎛⎫⎛⎫【例2】如图，正八边形ABCDEFGH 中，若AE AC AF λμ=+()R λμ∈，，则λμ+的值为________．正八边形的中心【详解】、HD BF 所在的直线分别为x y 、轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心M 点，3608⎛∠=∠=∠=∠= ⎝AOB COB AOH EOD 18045135-= ，所以22.5∠= BAC ，13522.5112.5∠-∠=-= HAB CAB ，所以∠HAC y 轴，、AOM MOC 为等腰直角三角形，2，则2=====OD OF OE OA OC ，()0,2F ，2===OM MC ，所以()2,2--A ，(2,-C【点睛】本题主要考查了平面向量坐标法解决几何问题，建立坐标系是解题的关键，还考查了向量的加法运算，考查方程思想及转化思想，属于中档题．【题型专练】1.如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，10AB =，7BC =，2CD =，5AD =，则AC BD ⋅=___________.则5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，532,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，15,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，530,2D ⎛ ⎝953,22AC ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭ ，1553,22BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，AC BD ∴⋅ 故答案为：15-.2.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD = _________；PB PD ⋅=_________．【答案】(1).(2).1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =- ，因此，PD == ()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.题型九：平面向量中的最值范围问题【例1】如下图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，3BCD π∠=，CB CD ==M 为边BC 上的动点，则AM DM ⋅的最小值为（）A ．83B ．214C ．114-D ．133-【例2】ABC 是边长为4的等边三角形，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且DE BC ⊥，则DA DE ⋅的最小值为（）AB ．C ．3D ．－3则(0,0),(2,23),(4,0)C A B【例3】四边形ABCD 中，4AB =，60A B ∠=∠=︒，150D ∠=︒，则DA DC ⋅的最小值为（）AB ．C ．3D ．－3∴90,60DCB E ∠=︒∠= ，设CE x =，则3,DC x DA =∴()423cos150DA DC x x ⋅=-⋅⋅ 所以当1x =时，DA DC ⋅的最小值为【例4】如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2AD =，9BC =，5AB =，cos 5B =，若M ，N 是线段BC上的动点，且1MN = ，则DM DN ⋅的最小值为（）A ．134B ．132C ．634D ．352//AD BC ，32AD =，9BC =，5AB =(9,0)C ∴，∴3cos 5A xB AB ==，3,4A A x y ==9(3,4),(,4)2A D ∴，【例5】已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足2BE EC =，3AE BD ⋅=-，则AF BE⋅的最小值为（）A ．0B ．23C ．43D ．2【例6】已知向量a，b，c共面，且均为单位向量，0a b⋅=，则ab c++的最大值是（）A B C1D1【例7】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆DABE △，BEC △，ECD 均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC BP ⋅的最小值为（）A ．12B ．24C ．36D ．18故选：A【例8】已知AB AC ⊥ ，1AB t = ，AC t = ，若点P 是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+ ，则PB PC ⋅的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21【答案】A【解析】以题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点(1,4)P ，1(,0)B t，(0,)C t ，所以11(1,4)(1,4)(1)(1)4(4)PB PC t t t t ⋅=----=-⨯--⨯- =1174t t --17-≤=13（当且仅当14t t =，即12t =时取等号），所以PB PC ⋅ 的最大值为13．故选A ．【题型专练】1．已知梯形ABCD 中，3B π∠=，2AB =，4BC =，1AD =，点P ，Q 在线段BC 上移动，且1PQ =，则DP DQ ⋅的最小值为（）A ．1B ．112C ．132D ．1142．在ABC 中，902A AB AC ∠=== ，，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上运动，则AP MP ⋅的最小值为___________.【答案】78【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出3.ABC 为等边三角形，且边长为2，则AB 与BC 的夹角大小为120，若1BD =，CE EA =，则AD BE ⋅的。
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通真题感悟：常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用
常考问题9 等差数列、等比数列[真题感悟]1．(2012·苏州期中)在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 3＋a 4＋…＋a 8＝________.解析 根据等差数列性质计算．因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 4＋…＋a 8＝3(a 5＋a 6)＝3.答案 32．(2013·苏锡常镇调研)在等差数列{a n }中，已知a 8≥15，a 9≤13，则a 12的取值范围是________．解析 因为a 8＝a 1＋7d ≥15，a 9＝a 1＋8d ≤13，所以a 12＝a 1＋11d ＝－3(a 1＋7d )＋4(a 1＋8d )≤7.答案 (－∞，7]3．(2013·新课标全国Ⅰ卷)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. 答案 (－2)n －14．(2011·江苏卷)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________． 解析 由题意知a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3且q ≥1，a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2且a 2≥1，那么有q 2≥2且q 3≥3.故q ≥33，即q 的最小值为33.答案 33[考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1)数列的概念是A 级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n 项和等概念，一般不会单独考查；(2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都是C级，熟练掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n项求和公式、性质等知识，理解其推导过程，并且能够灵活应用．试题类型可能是填空题，以考查单一性知识为主，同时在解答题中经常与不等式综合考查，构成压轴题．。
2022年上海15区中考数学一模考点分类汇编专题08 平面向量的线性运算 (解析版)
2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题08 平面向量的线性运算一．选择题（共12小题）1．（青浦区）如果（、均为非零向量），那么下列结论错误的是（）A．B．∥C．D．与方向相同【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵，∴||＝2||；；＝；与的方向相反，故A，B，C正确，D错误，故选：D．【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．2．（金山区）点G是△ABC的重心，设＝，＝，那么关于和的分解式是（）A．+B．﹣C．+D．﹣【分析】根据向量加法的平行四边形法则得出＝（+），再根据重心的性质得出＝，即可求解．【解答】解：∵＝，＝，∴＝（+）＝（+），∵点G是△ABC的重心，∴＝＝×（+）＝（+）．故选：C．【点评】本题考查三角形的重心，平面向量，平行四边形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（崇明区）如果向量与向量方向相反，且3||＝||，那么向量用向量表示为（）A．B．C．D．【分析】由向量与向量方向相反，且3||＝||，可得，继而求得答案．【解答】解：∵向量与向量方向相反，且3||＝||，∴3＝﹣，∴．故选：D．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意根据题意得到3＝﹣是解此题的关键．4．（徐汇区）已知点C是线段AB的中点，下列结论中正确的是（）A．＝B．+＝0C．＝D．||＝||【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，∴；；；||＝||，∴A，B，C错误，D正确，故选：D．【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．5．（黄浦区）已知，，是非零问量，下列条件中不能判定∥的是（）A．∥，∥B．＝3C．||＝||D．＝，＝﹣2【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵，，∴，故A能；∵，∴，故B能；∵||＝||，不能判断与方向是否相同，故C不能；∵，，∴＝﹣，∴，故D能，故选：C．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．6．（嘉定区）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据单位向量的性质逐一判断即可．【解答】解：∵是单位向量，∴||＝1，∴||＝，∴A正确；∵||与的大小相同，但方向不一定相同，∴B错误；∵与大小相同，但方向不一定相同，∴C错误；∵与方向不一定相同，∴不一定等于，∴D错误，故选：A．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量的性质是解题的关键．7．（宝山区）已知为非零向量，＝2，＝﹣3，那么下列结论中，不正确的是（）A．||＝||B．C．D．∥【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵＝2，＝﹣3，∴||＝||，＝﹣，故A正确，B错误；∵＝2，＝﹣3，∴3＝6﹣6＝，故C正确；∵＝2，＝﹣3，∴＝﹣，∴，故D正确，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．8．（杨浦区）已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是（）A．＝B．﹣＝C．||+||＝2D．+＝2【分析】根据单位向量的定义逐一判断即可．【解答】解：根据单位向量的定义可知：和都是单位向量，但是这两个向量并没有明确方向，∴A，B，D错误，C正确，故选：C．【点评】本题考查了平面向量中的单位向量知识，熟练掌握单位向量的定义是解题的关键．9．（虹口区）已知＝7，下列说法中不正确的是（）A．﹣7＝0B．与方向相同C．∥D．||＝7||【分析】根据平面向量的定理逐一判断即可．【解答】解：∵＝7，∴＝；与方向相同；；||＝7||，故A不正确；B、C、D正确，故选：A．【点评】本题考查了平面向量的定理，熟练掌握平面向量的基本定理是解题的关键．10．（浦东新区）已知||＝3，||＝2，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（）A．3＝2B．2＝3C．3＝﹣2D．2＝﹣3【分析】根据平行向量的性质即可解决问题．【解答】解：∵||＝3，||＝2，且和的方向相反，∴＝﹣，∴2＝﹣3，故选：D．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．（普陀区）已知与是非零向量，且||＝|3|，那么下列说法中正确的是（）A．B．C．D．||＝3【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案【解答】解：A、由与是非零向量，且||＝|3|知，与3只是模相等，方向不一定相同，不一定成立，故不符合题意；B、由与是非零向量，且||＝|3|知，与3只是模相等，方向不一定相反，即不一定成立，故不符合题意；C、由与是非零向量，且||＝|3|知，与3只是模相等，不一定共线，故不符合题意；D、由与是非零向量，且||＝|3|知，||＝3，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．12．（松江区）已知＝2，那么下列判断错误的是（）A．﹣2＝0B．C．||＝2||D．∥【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案．【解答】解：A、由＝2知，﹣2＝，符合题意；B、由＝2知，，不符合题意；C、由＝2知，||＝2||，不符合题意；D、由＝2知，∥，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．二．填空题（共14小题）13．（崇明区）计算：2（3+2）﹣5＝．【分析】根据平面向量的加减运算法则即可求解．【解答】解：原式＝6＝，故答案为：，【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．14．（杨浦区）已知的长度为2，的长度为4，且和方向相反，用向量表示向量＝﹣2．【分析】根据与的长度与方向即可得出结果．【解答】解：∵的长度为2，的长度为4，且和方向相反，∴，故答案为：﹣2【点评】本题考查了平面向量的基本知识，熟练掌握平面向量的定义和性质是解题的关键．15．（虹口区）如果向量、、满足（+）＝﹣，那么＝（用向量、表示）．【分析】根据平面向量的加减运算法则计算即可．【解答】解：∵（+）＝﹣，∴，∴，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．16．（浦东新区）计算：3（2﹣）﹣2（2﹣3）＝2+3．【分析】根据平面向量的加减运算法则即可求解．【解答】解：3（2﹣）﹣2（2﹣3）＝6﹣3﹣4+6＝2+3，故答案为：2+3．【点评】本题考查了平面向量的基本知识，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．17．（浦东新区）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O．设＝，＝，那么向量关于向量、的分解式是﹣+．【分析】根据向量的加减计算法则即可得出结果．【解答】解：∵＝，＝，∴＝＝﹣+，故答案为：﹣+．【点评】本题考查了向量的加减计算法则，熟练掌握向量的加减计算法则是解题的关键．18．（普陀区）已知是单位向量，与方向相反，且长度为6，那么＝﹣6.（用向量表示）【分析】根据平面向量的性质解决问题即可．【解答】解：∵是单位向量，与方向相反，且长度为6，∴＝﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．（徐汇区）计算：2﹣（﹣4）＝+2．【分析】根据平面向量的加减运算法则求解即可．【解答】解：2＝2﹣+2＝+2，故答案为：+2，【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．20．（徐汇区）如图，已知点G是△ABC的重心，记向量＝，＝，则向量＝+．．（用向量x+y的形式表示，其中x，y为实数）【分析】如图，延长AE到H，使得EH＝AE，连接BH，CH．求出，证明AG＝AH即可解决问题．【解答】解：如图，延长AE到H，使得EH＝AE，连接BH，CH．∵AE＝EH，BE＝EC，∴四边形ABHC是平行四边形，∴AC＝BH，AC∥BH，∵＝+＝+，∵G是重心，∴AG＝AE，∵AE＝EH，∴AG＝AH，∴＝（+）＝+．故答案为：+．【点评】本题考查三角形的重心，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（嘉定区）已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么＝．【分析】根据平面向量的加减运算法则求解即可．【解答】解：∵，∴2﹣2＝3﹣3，∴＝3﹣2，故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．22．（静安区）如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点G，如果＝，＝，那么＝+．（用含向量、的式子表示）【分析】由重心的性质可得，，利用三角形法则，即可求得的长，又由中线的性质，即可求得答案．【解答】解：在△ABC中，中线AD、BE相交于点G，∴点G为△ABC的重心，∴＝＝，＝＝，∴＝+＝+，∴＝2＝+．故答案为：+．【点评】此题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．23．（崇明区）如图，在平行四边形ABCD中，点M是边CD中点，点N是边BC的中点，设＝，＝，那么可用、表示为．【分析】先根据中位线定理求出，再根据平面向量的加减运算法则求出即可求解．【解答】解：如图，连接BD，∵点M是边CD中点，点N是边BC的中点，∴MN是△BDC的中位线，∴MN∥BD，且MN＝，∴，∵＝，＝，∴，∴，∴，故答案为：【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．24．（奉贤区）计算：2（﹣2）+3（+）＝5﹣．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：2（﹣2）+3（+）＝2﹣4+3+3＝5﹣，故答案为5﹣．【点评】本题考查平面向量，平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25．（金山区）计算：（﹣2）+2＝+．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：（﹣2）+2＝﹣+2＝+．故答案为：+．【点评】本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是掌握平面向量的加法法则，属于中考常考题型．26．（青浦区）计算：3﹣2（﹣2）＝．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：3﹣2（﹣2）＝3﹣2+4＝+4，故答案为：+4．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量的加法法则，属于中考常考题型．三．解答题（共9小题）27．（浦东新区）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE＝BC．（1）如果AC＝6，求AE的长；（2）设＝，＝，求向量（用向量、表示）．【分析】（1）由平行线截线段成比例求得AE的长度；（2）利用平面向量的三角形法则解答．【解答】解：（1）如图，∵DE∥BC，且DE＝BC，∴＝＝．又AC＝6，∴AE＝4．（2）∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣．又DE∥BC，DE＝BC，∴＝＝（﹣）．【点评】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义．28．（杨浦区）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE＝BC．（1）如果AC＝6，求AE的长；（2）设＝，＝，试用、的线性组合表示向量．【分析】（1）根据相似三角形的性质得出等式求解即可；（2）根据平面向量的加减运算法则即可求解．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵DE＝，∴AE＝4；（2）由（1）知，，∴DE＝，∵，∴＝．【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的性质等知识，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．29．（宝山区）如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，又＝．（1）设＝，＝，用向量、表示向量＝，＝．（2）如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长．【分析】（1）根据平面向量的加减运算法则即可求解；（2）先证明△ABF∽△BCA，得∠ABF＝∠BCA，从而得出△ABF∽△ECB，再根据相似三角形对应边成比例得出比例式求解即可．【解答】解：（1）∵AF＝2DF，∴AF＝，∵，∴，∴＝，∵＝，∴，∴＝，故答案为：，；（2）∵＝，∴AF∥BC，AF＝，∴∠BAF＝∠ABC＝90°，∠AFB＝∠CBE，∵AD＝3，AF＝2DF，∴AF＝2，∴BC＝8，在Rt△ABF中，BF＝＝2，又∵，∴△ABF∽△BCA，∴∠ABF＝∠BCA，∴△ABF∽△ECB，∴，∴，∴BE＝．【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，证明△ABF∽△ECB是解第（2）问的关键．30．（虹口区）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，使CE＝BC，联结AE交DC于点F，设＝，＝．（1）用向量、表示；（2）求作：向量分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要写明结论）【分析】（1）利用三角形法则解决问题即可；（2）利用平行四边形法则解决问题即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD时平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∴＝＝，＝＝，∵CE＝BC，∴＝，∴＝+＝+；（2）如图，过点F作FM∥AD交AB于点M，，即为向量分别在、方向上的分向量．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则解决问题．31．（奉贤区）如图，在△ABC中，AC＝5，cot A＝2，cot B＝3，D是AB边上的一点，∠BDC ＝45°．（1）求线段BD的长；（2）如果设＝，＝，那么＝，＝，＝（含、的式子表示）．【分析】（1）作CE⊥AB于E，设CE＝x，AE＝2x，在Rt△ACE中，由勾股定理得，x2+（2x）2＝52，解方程即可解决问题；（2）先求出AD的长，再求出AD与AB的数量关系，根据平面向量的加减运算法则即可求解．【解答】解：（1）作CE⊥AB于E，设CE＝x，∵cot A＝，∴AE＝2x，在Rt△ACE中，由勾股定理得，x2+（2x）2＝52，解得x＝±，∵x＞0，∴x＝，∴CE＝，∵∠CDE＝45°，∴CE＝DE＝，∵cot B＝3，∴BE＝3CE＝3，∴BD＝BE+DE＝3+＝4；（2）∵DE＝，AE＝2，∴AD＝，∵BD＝4，∴，即AD＝，∵＝，＝，∴＝，∴，∴＝＝，故答案为：；；．【点评】本题考查了平面向量，三角函数的定义勾股定理等知识，熟练掌握三角函数的定义，平面向量的加减运算法则是解题的关键．32．（长宁区）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB：CD＝3：2，点E是边CD的中点，联结BE交对角线AC于点F，若＝，＝．（1）用、表示、；（2）求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）【分析】（1）利用三角形法则，平行线分线段成比例定理求解即可．（2）利用平行四边形法则作出图形即可．【解答】解：（1）∵AB：CD＝3：2，∴CD＝AB，∴＝，∴＝+＝+，∴DE＝EC，CE∥AB，∴＝＝，∴AF＝AC，∴＝（+）＝+．（2）如图，在、方向上的分向量分别为，．【点评】本题考查平面向量，梯形的性质等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．33．（金山区）如图，已知：四边形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，＝＝2，设＝，＝．求向量关于、的分解式．【分析】连接BD，先由得到MN∥BD、MN：BD＝2：3，然后得到3＝2，再结合平面向量的减法运算得到与和的关系，最后即可用含有和的式子表示．【解答】解：连接BD，∵，∴MN∥BD，，∴，∵，，∴，∴．【点评】本题考查了平行线的判定、平面向量的减法运算，熟练应用三角形法则是解题的关键．34．（普陀区）如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，AB：CD＝1：3．（1）求的值；（2）设＝，＝，那么＝，＝+（用向量，表示）【分析】（1）根据平行线的性质和相似三角形的判定证明△ABE∽△DCE和△BEF∽△BCD即可得出结论；（2）根据（1）中结论和平面向量的加、减运算即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠EDC，∠ABE＝∠DCE，∴△ABE∽△DCE，∴＝＝，∴CE＝3BE，∵EF∥CD，∴∠BEF＝∠BCD，∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BCD，∴＝，∵BC＝BE+CE＝BE+3BE＝4BE，∴＝；（2）由（1）知：EF＝CD，∴＝＝，∵+＝，∴＝﹣，∵＝，∴，∵AB：CD＝1：3，∴AB＝CD，∴＝，＝+﹣＝．故答案为：，．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质以及平面向量，熟练掌握平行线的性质和平面向量的加、减运算是解题的关键．35．（青浦区）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE、BD相交于点F，BF＝3DF．（1）求AE：ED的值；（2）如果，，试用、表示向量．【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，从而△BCF∽△DEF，利用相似三角形的性质得比例式，从而解得AE：ED的值；（2）先求出．再利用向量的加法可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△BCF∽△DEF，∴，∵BF＝3DF，∴．∴，∴．∴AE：ED＝2；（2）∵AE：ED＝2：1，∴．∵，∴，∵，∴，∵AD∥BC，∴，∵BF＝3DF，∴．∴．∴，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平面向量，解决本题的关键是理解平面向量．。
高考数学 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示 高考真题
专题六 平面向量6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示考点一 平面向量的概念及线性运算1.(2022全国乙文,3,5分)已知向量a =(2,1),b =(-2,4),则|a -b |= ( )A.2B.3C.4D.5答案D 由题意知a -b =(4,-3),所以|a -b |=√42+(−3)2=5,故选D .2.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n答案B 由题意可知,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =m -n ,又BD =2DA ,所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(m -n ),所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n -2(m -n )=3n -2m ,故选B .3.(2015课标Ⅰ理,7,5分)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗ C.AD⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗ -13AC ⃗⃗⃗⃗ 答案 A AD⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +43BC ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +43(AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗ )=-13AB ⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗ .故选A. 4.(2014课标Ⅰ文,6,5分)设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗ B.12AD ⃗⃗⃗⃗ C.BC ⃗⃗⃗⃗ D.12BC⃗⃗⃗⃗ 答案 A 设AB⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗ =b,则EB ⃗⃗⃗⃗ =-12b+a,FC ⃗⃗⃗⃗ =-12a+b,从而EB ⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =(−12b +a )+(−12a +b )=12(a+b)=AD ⃗⃗⃗⃗ ,故选A.5.(2015课标Ⅱ理,13,5分)设向量a ,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ= . 答案12解析 由于a ,b 不平行,所以可以以a ,b 作为一组基底,于是λa +b 与a +2b 平行等价于λ1=12,即λ=12.6.(2015北京理,13,5分)在△ABC 中,点M,N 满足AM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗ ,则x = ,y = .答案12;-16解析 由AM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知M 为AC 上靠近C 的三等分点,由BN ⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗ 知N 为BC 的中点,作出草图如下:则有AN⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ ),所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗ -AM ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ )-23·AC ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ -16AC ⃗⃗⃗⃗ , 又因为MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=-16. 7.(2013江苏,10,5分)设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 . 答案12解析 DE ⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗ , ∵DE⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗ ,∴λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=12. 考点二 平面向量的基本定理及坐标运算1.(2015课标Ⅰ文,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3),则向量BC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)答案 A 根据题意得AB ⃗⃗⃗⃗ =(3,1),∴BC ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -AB⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A. 2.(2014北京文,3,5分)已知向量a =(2,4),b =(-1,1),则2a -b =( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)答案 A 由a =(2,4)知2a =(4,8),所以2a -b =(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A. 3.(2014广东文,3,5分)已知向量a =(1,2),b =(3,1),则b -a =( ) A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3) 答案 B b -a =(3,1)-(1,2)=(2,-1).故答案为B.4.(2014福建理,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a =(3,2)表示出来的是( )A.e 1=(0,0),e 2=(1,2)B.e 1=(-1,2),e 2=(5,-2)C.e 1=(3,5),e 2=(6,10)D.e 1=(2,-3),e 2=(-2,3) 答案 B 设a=k 1e 1+k 2e 2,A 选项,∵(3,2)=(k 2,2k 2),∴{k 2=3,2k 2=2,无解.B 选项,∵(3,2)=(-k 1+5k 2,2k 1-2k 2), ∴{−k 1+5k 2=3,2k 1−2k 2=2,解之得{k 1=2,k 2=1. 故B 中的e 1,e 2可把a 表示出来. 同理,C 、D 选项同A 选项,无解.5.(2021全国乙文,13,5分)已知向量a =(2,5),b =(λ,4),若a ∥b ,则λ= .答案85解题指导:利用“若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔x 1y 2=x 2y 1”解题.解析由已知a ∥b 得2×4=5λ,∴λ=85.解题关键:记准两平面向量共线的充要条件是解这类问题的关键.6.(2017山东文,11,5分)已知向量a =(2,6),b =(-1,λ).若a ∥b ,则λ= . 答案 -3解析 本题考查向量平行的条件. ∵a=(2,6),b =(-1,λ),a ∥b , ∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.7.(2016课标Ⅱ文,13,5分)已知向量a =(m,4),b =(3,-2),且a ∥b ,则m= . 答案 -6解析 因为a ∥b ,所以m 3=4−2,解得m=-6. 易错警示 容易把两个向量平行与垂直的条件混淆. 评析 本题考查了两个向量平行的充要条件.8.(2014陕西,13,5分)设0<θ<π2,向量a =(sin 2θ,cos θ),b =(cos θ,1),若a ∥b ,则tan θ= . 答案12解析∵a∥b,∴sin 2θ×1-cos2θ=0,∴2sin θcos θ-cos2θ=0,∵0<θ<π2,∴cos θ>0,∴2sin θ=cos θ,∴tan θ=1 2 .。
《平面向量》热点题型探究
《平面向量》热点题型探究题型一 向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量．两个向量不能比较大小，但它的模可以比较大小． (2)零向量：模为0的向量，记作0，其方向为任意的，所以0与任意向量平行，其性质有0·a ＝0，0＋a ＝a .(3)单位向量：模为1个长度单位的向量，与a 方向相同的单位向量为a|a |.2．共线向量(1)概念：若两个非零向量a ，b 的方向相同或相反，则称a 与b 共线，也叫a 与b 平行，规定零向量与任意向量共线．两个向量共线，其所在的直线可能重合也可能平行．(2)共线向量定理：a ∥b (b ≠0)⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb . (3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (4)若A ，B ，C 三点共线且OA →＝λOB →＋μOC →，则λ＋μ＝1. 3．平面向量线性运算的两种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理来判断.1．有下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若|AB →|＝|DC →|，则四边形ABCD 是平行四边形； ③若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C 解析 对于①，|a|＝|b|，a ，b 的方向不确定，则a ，b 不一定相等，所以①错误；对于②，若|AB →|＝|DC →|，则AB →，DC →的方向不一定相同，所以四边形ABCD 不一定是平行四边形，所以②错误；对于③，若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ，③正确；对于④，若a ∥b ，b ∥c ，则b ＝0时，a ∥c 不一定成立，所以④错误．综上，假命题是①②④，共3个．故选C 项．2．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF →＝( )A ．34AB →＋14AD →B ．14AB →＋34AD →C ．12AB →＋AD →D ．34AB →＋12AD →D 解析 根据题意得AF →＝12(AC →＋AE →)，又AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →，所以AF →＝12⎝⎛⎭⎫AB→＋AD →＋12AB →＝34AB →＋12AD →.故选D 项．3．设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________.解析 由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB →＝λBD →.又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，又e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ(3－k )，2＝－λ(2k ＋1)，解得k ＝－94.答案 －944．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2P A →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，则△P AB 与△PBC 的面积的比值为________.解析 由2P A →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，得2P A →＋4PC →＝3AB →＋3BP →，所以2P A →＋4PC →＝3AP →，即4PC →＝5AP →.所以A ，C ，P 三点共线，且|AP →||PC →|＝45，所以S △P AB S △PBC ＝|AP →||PC →|＝45.答案 45题型二 平面向量基本定理平面向量基本定理：若a ，b 是平面内不共线的向量，向量c 是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对x ，y ，使c ＝x a ＋y b .平面向量基本定理是定义向量坐标的基础，是将平面内任意向量用不共线的平面向量即基底表示出来的基础．5．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m,3m －4)，b ＝(1,2)，且平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)C 解析 平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，由平面向量基本定理可知，向量a ，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a ，b 是不共线向量．又因为a ＝(m,3m －4)，b ＝(1,2)，则m ×2－(3m －4)×1≠0，即m ≠4，所以m 的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．故选C 项．6．如图所示，|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝3，∠AOB ＝60°，OB ⊥OC ，设OC →＝xOA →＋yOB →，则( )A ．x ＝－2，y ＝－1B ．x ＝－2，y ＝1C ．x ＝2，y ＝－1D ．x ＝2，y ＝1B 解析 过点C 作CD ∥OB 交AO 的延长线于点D ，连接BC ，如图所示．由|OB →|＝1，|OC →|＝3，∠AOB ＝60°，OB ⊥OC ，知∠COD ＝30°.在Rt △OCD 中，可得OD ＝2CD ＝2，则OC →＝OD →＋DC →＝OD →＋OB →＝－2OA →＋OB →.故x ＝－2，y ＝1.故选B 项．7．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，点Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则实数t 的值为________.解析 因为CP →＝23CA →＋13CB →，所以3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，所以2AP→＝PB →，即点P 为AB 的一个三等分点(靠近点A )．又由题意可知A ，M ，Q 三点共线，则可设AM →＝λAQ →，所以CM →＝AM →－AC →＝λAQ →－AC →＝λ⎝⎛⎭⎫12AB →＋12AC →－AC →＝λ2AB →＋λ－22AC →，又CM →＝tCP →＝t (AP →－AC →)＝t ⎝⎛⎭⎫13AB →－AC →＝t 3AB →－tAC →，故⎩⎪⎨⎪⎧ λ2＝t 3，λ－22＝－t ，解得⎩⎨⎧t ＝34，λ＝12.故t 的值是34.答案 34【变式】如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，7AE →＝5AB →，AD →＝4AF →，EF 交AC 于点K ，AK →＝λOA →，则实数λ的值为____________.解析 因为AK →＝λOA →＝－λAO →＝－λ2(AB →＋AD →)，所以AK →＝－λ2⎝⎛⎭⎫75AE →＋4AF →.又E ，F ，K 三点共线，所以－λ2×⎝⎛⎭⎫75＋4＝1，解得λ＝－1027. 答案 －1027题型三 向量的数量积及应用)1．向量的数量积是一个实数，求向量数量积的三种方法：一是利用向量数量积的定义，a·b ＝|a||b|cos θ；二是根据向量数量积的几何意义，a·b 等于a 的模与b 在向量a 方向上的投影的乘积；三是建立坐标系，写出向量坐标a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，再利用平面向量的数量积运算法则求解．2．向量的投影：|b |cos θ叫向量b 在向量a 方向上的投影，|b |cos θ＝a·b|a|.3．若向量a 与b 的夹角为θ，则θ的范围为[0，π]，cos θ＝a·b|a||b|；若已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4．已知非零向量a ，b ，则a ⊥b ⇔a·b ＝0；已知非零向量a ，b ，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.5．向量的模是非负数，|a|2＝a 2＝a·a ；若向量a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.8．已知非零向量a ，b 满足|a|＝2|b|，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6B 解析 因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a·b －b 2＝0，所以a·b ＝b 2，所以cos θ＝a·b|a|·|b|＝|b|22|b|2＝12，所以a 与b 的夹角为π3.故选B 项． 9．已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3C 解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝12＋(t －3)2＝1，所以t ＝3，所以AB →·BC →＝(2,3)·(1，0)＝2.故选C 项．10．已知向量a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.解析 依题意向量a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )，a ⊥b ，则a·b ＝0，即－4×6＋3m ＝0，即m ＝8.答案 811．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝23，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →·AE →＝________.解析 如图，因为E 在线段CB 的延长线上，所以EB ∥AD ．因为∠DAB ＝30°，所以∠ABE ＝30°.因为AE ＝BE ，所以∠EAB ＝30°.又因为AB ＝23，所以BE ＝2.因为AD ＝5，所以EB →＝25AD →.所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →－25AD →.又因为BD →＝AD →－AB →，所以BD →·AE →＝(AD →－AB →)·⎝⎛⎭⎫AB →－25AD →＝AD →·AB →－25AD →2－AB →2＋25AD →·AB →＝75|AD →|·|AB →|·cos 30°－25×52－(23)2＝75×5×23×32－10－12＝21－22＝－1.答案 －1 【规范演练】1．下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 B 解析 A 项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B 项中，不存在实数λ，使得e 1＝λe 2，故两向量不共线，故其可以作为基底；C 项中，e 2＝2e 1，两向量共线，故其不可以作为基底；D 项中，e 1＝4e 2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B 项．2．设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为2π3”是“|a ＋b |＝3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件D 解析 因为a ，b 均为单位向量，若a 与b 夹角为2π3，则|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝1＋1＋2×1×1×cos 2π3＝1，所以由“a 与b 夹角为2π3”不能推出“|a ＋b |＝3”；若|a ＋b |＝3，则|a ＋b |＝|a|2＋|b|2＋2a·b ＝1＋1＋2×1×1×cos 〈a ，b 〉＝3，解得cos 〈a ，b 〉＝12，即a 与b 夹角为π3，所以由“|a ＋b |＝3”不能推出“a 与b 夹角为2π3”．因此“a 与b 夹角为2π3”是“|a ＋b |＝3”的既不充分也不必要条件．故选D 项．3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，c ＝(4,5)，若(a ＋λb )⊥c ，则实数λ＝( ) A ．－12B ．12C ．－2D ．2C 解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，所以a ＋λb ＝(1－2λ，2＋3λ)，又(a ＋λb )⊥c ，所以(a ＋λb )·c ＝0，即4(1－2λ)＋5(2＋3λ)＝0，解得λ＝－2.故选C 项．4．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，13 B ．⎝⎛⎭⎫0，12C ．⎝⎛⎭⎫－13，0 D ．⎝⎛⎭⎫－12，0 C 解析 由题意得AO →＝AC →＋CO →，O 在线段CD 上且不与端点重合，所以存在k (0<k <1)，使CO →＝kCD →，又BC →＝3CD →，所以CD →＝13BC →＝13(AC →－AB →)，所以AO →＝AC →＋k 3(AC →－AB →)＝－k 3AB→＋⎝⎛⎭⎫1＋k 3AC →，又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，所以x ＝－k 3，所以－13<x <0.故选C 项． 5．在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝2.若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM →·MN →＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1C 解析 由题意作出图形，如图所示．由图及题意，可得AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12AB →，MN →＝CN →－CM →＝12CB →－12CD →＝－12BC →＋12DC →＝－12AD →＋12AB →.所以AM →·MN →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →·⎝⎛⎭⎫－12AD →＋12AB →＝－12·|AD →|2＋14·|AB →|2＝－12×4＋14×16＝2.故选C 项． 【跟踪检测】 基础热身1．已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A 解析 |BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.因为0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A 项．2．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量c ＝λa ＋b ，则实数λ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2D 解析 由题中所给图象可得2a ＋b ＝c ，又c ＝λa ＋b ，所以λ＝2.故选D 项． 3．已知平面向量a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，且a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(－1,7) B ．(－1,2) C ．(1,2)D ．(1，－2)D 解析 因为a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，且a ∥b ，所以－1×y －2×2＝0，解得y ＝－4，故可得3a ＋2b ＝3(－1,2)＋2(2，－4)＝(1，－2)．故选D 项．4．设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．5A 解析 由|a ＋b |＝10得|a ＋b |2＝10， 即a 2＋2a·b ＋b 2＝10，①又|a －b |＝6，所以a 2－2a·b ＋b 2＝6，② 由①－②得4a·b ＝4，则a·b ＝1.故选A 项．5．已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b|＝( ) A ．9 B ．3 C ．109D ．310 D 解析 向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，所以2a ＋b ＝(1，x －8)，由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9，则|b |＝(－3)2＋92＝310.故选D 项．6．(2019·广东东莞统考)如图所示，△ABC 中，BD →＝2DC →，点E 是线段AD 的中点，则AC →＝( )A ．34AD →＋12BE →B ．34AB →＋BE →C ．54AD →＋12BE →D ．54AD →＋BE →C 解析 由题意和图可知，AC →＝AD →＋DC →，DC →＝12BD →，BD →＝BE →＋ED →，ED →＝12AD →，所以AC →＝54AD →＋12BE →.故选C 项．7．如图，已知|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2，tan ∠AOB ＝－43，∠BOC ＝45°，OC →＝mOA →＋nOB →，则m n＝( )A ．57B ．75C ．37D ．73A 解析 以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示．因为|OA →|＝|OB →|＝1，且tan ∠AOB ＝－43，所以cos ∠AOB ＝－35，sin ∠AOB ＝45，所以A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－35，45，又令∠AOC ＝θ，则θ＝∠AOB －∠BOC ，所以tan θ＝tan(∠AOB －∠BOC )＝－43－11－43＝7，又因为点C 在∠AOB 内，所以cos θ＝210，sin θ＝7210，又|OC →|＝2，所以C ⎝⎛⎭⎫15，75，因为OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，所以⎝⎛⎭⎫15，75＝(m,0)＋⎝⎛⎭⎫－35n ，45n ＝⎝⎛⎭⎫m －35n ，45n ，即⎩⎨⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎨⎧n ＝74，m ＝54，所以m n ＝57.故选A 项．8．已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________.解析 cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3－λ3＋11＋λ2＝12，解得λ＝33. 答案339．已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝4，则b 在a 方向上的投影等于________.解析 因为a·b ＝2×4cos 120°＝－4，所以b 在a 方向上的投影为a·b |a|＝－42＝－2.答案 －210．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析 由条件知M 是△ABC 的重心，设D 是BC 边的中点，则AB →＋AC →＝2AD →，而AM →＝23AD →，所以2AD →＝m ·23AD →，所以m ＝3.答案 311．在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________.解析 如图，△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，记NA →＝CA →－mCB →，则当N 在D 处，即AD ⊥BC 时，f (m )取得最小值32，因此|AD →|＝32，容易得到∠ACB ＝120°.因为CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1，所以O 在边AB 上，所以当CO ⊥AB 时，|CO →|最小，|CO →|min ＝12.答案 1212．平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，AB →·AD →＝4，点P 在边CD 上，则P A →·PC →的取值范围是________.解析 设|PD →|＝x ，x ∈[0,4]，则P A →·PC →＝(PD →＋DA →)·PC →＝⎝⎛⎭⎫－x 4AB →－AD →·4－x 4AB →＝－x 4×4－x 4AB →2－4－x 4AD →·AB →＝－x 4×4－x 4×16－4－x 4×4＝x 2－3x －4＝⎝⎛⎭⎫x －322－254，所以当x ＝32时，取最小值－254，当x ＝4时，取最大值0，即P A →·PC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤－254，0. 答案 ⎣⎡⎦⎤－254，0 能力提升13．设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(1，λ)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________.解析 因为a 与b 的夹角为钝角，所以a ·b <0，且a 与b 不平行，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－2＋λ<0，－2λ≠1，即λ<2且λ≠－12，所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，2. 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，2 14．已知A B →与A C →的夹角为90°，|A B →|＝2，|A C →|＝1，AM →＝λA B →＋μA C →(λ，μ∈R )，且AM →·B C →＝0，则λμ的值为________．解析 根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB→＝(0,2)，AC →＝(1,0)，BC →＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y )，所以AM →·BC →＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM →＝λAB →＋μAC →，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y x ＝14. 答案 1415．如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，1为半径的圆上任意一点，则AP →·BP →的取值范围是________.解析 取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA →＋CB →＝2CD →，所以AP →·BP →＝(CP →－CA →)·(CP →－CB →)＝CP →2－CP →·(CA →＋CB →)＋CA →·CB →＝CP →2－2CD →·CP →＋CA →·CB →＝1－2×3×1×cos CD →，CP→＋(23)2cos π3＝7－6cos CD →，CP →，所以当cos CD →，CP →＝1时，AP →·BP →取得最小值为1；当cos CD →，CP →＝－1时，AP →·BP →取得最大值为13.因此AP →·BP →的取值范围是[1,13]．答案 [1,13]16．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求向量a 在b 上的投影；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．解析 (1)a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，则|a －b |＝2－2cos (α－β)＝2，所以cos(α－β)＝0，而0＜β＜α＜π，所以0＜α－β＜π，所以α－β＝π2.所以向量a 在b 上的投影为|a |cos a ，b ＝a ·b |b |＝cos(α－β)＝0. (2)由a ＋b ＝c 得⎩⎪⎨⎪⎧ cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②①2＋②2得cos(α－β)＝－12，而0＜α－β＜π，故α－β＝2π3，而由①得α＋β＝π，解得α＝5π6，β＝π6.。
高考数学总复习 第八章 第1讲 平面向量及其线性运算配套课件 文
长；
解：(1)由题设知A→B＝(3,5)，A→C＝(－1,1)， 则A→B＋A→C＝(2,6)，A→B－A→C＝(4,4)． 所以|A→B＋A→C|＝2 10，|A→B－A→C|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2，2 10.
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A．0
B.B→E
图 8-1-1
C.A→D
D.C→F
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4．设O→A＝e1，O→B＝e2，若 e1 与 e2 不共线，且点 P 在线段 AB 上，|AP|∶|PB|＝2，如图 8-1-2，则O→P＝( C )
A.13e1－23e2 C.13e1＋23e2
图 8-1-2
B.23e1＋13e2 D.23e1－13e2
非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个(yī ɡè)实数λ，使得b=λa，
即 b∥a(⇔3b)＝若λaO(→a≠P0＝)． xO→A＋yO→B ，三点 P，A，B 共线⇔x＋y＝1. 若P→A＝λP→B，则 P，A，B 三点共线．
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【互动探究(tànjiū)】
3．(2013 年陕西)已知向量 a＝(1，m)，b＝(m,2)，若 a∥b, 则实数(shìshù) mC ＝)(
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5．共线向量及其坐标表示
使得((s1hb)ǐ＝向deλ量)a__a_(_a_≠_0_)与_．b 共线的充要条件是存在唯一一个(yī ɡè)实数λ，
(2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，当且仅当 x1y2 －x2y1＝0 时，向量(xiàngliàng) a，b 共线．
第八章 平面(píngmiàn)向量
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练：8 平面向量的线性运算及综合应用
常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用(建议用时：50分钟)1．(2012·苏州期中)已知向量a ＝(2，x )，b ＝(x －1,1)，若a ∥b ，则x 的值为________． 解析 由a ∥b ，得2－x (x －1)＝0，解得x ＝2或－1. 答案 2或－12．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13则|b | 等于________． 解析 向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13， 则a ·b ＝|a ||b |·cos 120°＝－32|b |， |a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.所以13＝9－3|b |＋|b |2，则|b |＝－1(舍去)或|b |＝4. 答案 43．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝1，则向量a 与c 的夹角为________．解析 因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )．所以|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2cos 60°＝3.所以|c |＝ 3.又c ·a ＝－(a ＋b )·a ＝－a 2－a ·b ＝－1－cos 60°＝ －32，设向量c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a ||c |＝－321×3＝－32.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°. 答案 150°4．(2013·天一、淮阴、海门中学联考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12，则|AB→|＝________. 解析 将AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12两式相减得AB →·(AC →－BC →)＝AB →2＝16，则|AB →|＝4. 答案 45．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD→＝________.解析 由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝(AD →＋12AB →)·(AD→－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.答案 26．(2013·安徽卷改编)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是________．解析 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB→＝2，知cos ∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝π3，又A ，B 是两定点，可设A (3，1)，B (0,2)，P (x ，y )，由OP→＝λOA →＋μOB →，可得⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝λ＋2μ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝33x ，μ＝y 2－36x .因为|λ|＋|μ|≤1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪33x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 2－36x ≤1，当⎩⎨⎧x ≥0，3y －3x ≥0，时，3y ＋3x ≤6由可行域可得S 0＝12×2×3＝3，所以由对称性可知点P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝4 3. 答案 4 37．如图，在正方形ABCD 中，已知AB ＝2，M 为BC 的中点，若N 为正方形内(含边界)任意一点，则AM →·AN →的最大值是________．解析 由数量积的定义得AM →·AN →＝|AM →|·|AN→|cos ∠NAM ，当N 点与C 点重合时，|AN→|cos ∠NAM 最大，解三角形得最大值为65，所以AM →·AN→的最大值是6.8．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3P B →|的最小值为______． 解析 建立如图所示的直角坐标系，设DC ＝m ，P (0，t )，t ∈[0，m ]，由题意可知，A (2,0)，B (1，m )，P A →＝(2，－t )，P B →＝(1，m －t )，P A →＋3P B →＝(5,3m －4t )，|P A →＋3P B →|＝52＋(3m －4t )2≥5，当且仅当t ＝34m 时取等号，即|P A →＋3P B →|的最小值是5. 答案 59．(2013·南通模拟)已知a ＝(sin α，sin β)，b ＝(cos(α－β)，－1)，c ＝(cos(α＋β)，2)，α，β≠k π＋π2(k ∈Z )． (1)若b ∥c ，求tan α·tan β的值； (2)求a 2＋b·c 的值．解 (1)若b ∥c ，则2cos(α－β)＋cos(α＋β)＝0， ∴3cos αcos β＋sin αsin β＝0，∵α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，∴tan αtan β＝－3. (2)a 2＋b·c ＝sin 2α＋sin 2β＋cos(α－β)cos(α＋β)－2 ＝sin 2α＋sin 2β＋cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β－2 ＝sin 2α＋cos 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－2 ＝sin 2α＋cos 2α－2＝1－2＝－1.10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)． (1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积． (1)证明 因为m ∥n ，所以a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b 2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)，所以a ＝b .所以△ABC 为等腰(2)解 由题意，可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0，所以a ＋b ＝ab ，由余弦定理，知4＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0，所以ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.11．(2013·苏北四市模拟)如图所示，A ，B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，C 点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP 的面积为S .(1)求O A →·O Q →＋S 的最大值； (2)若CB ∥OP ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6的值．解 (1)由已知，得A (1,0)，B (0,1)，P (cos θ，sin θ)， 因为四边形OAQP 是平行四边形， 所以O Q →＝O A →＋O P →＝(1,0)＋(cos θ，sin θ) ＝(1＋cos θ，sin θ)． 所以O A →·O Q →＝1＋cos θ. 又平行四边形OAQP 的面积为 S ＝|O A →|·|O P →|sin θ＝sin θ，所以O A →·O Q →＋S ＝1＋cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1.又0<θ<π，所以当θ＝π4时，O A →·O Q →＋S 的最大值为2＋1. (2)由题意，知C B →＝(2,1)，O P →＝(cos θ，sin θ)， 因为CB ∥OP ，所以cos θ＝2sin θ.又0<θ<π，cos 2θ＋sin 2θ＝1， 解得sin θ＝55，cos θ＝255，所以sin2 θ＝2sin θcos θ＝45，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝sin 2θcos π6－cos 2θsin π6＝45×32－35×12＝43－310. 备课札记：。
专题09 平面向量【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题09平面向量一、选择题1．(2022年全国乙卷理科·第3题)已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅= ()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 解析：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2022年全国乙卷理科·第3题2．(2022新高考全国II 卷·第4题)已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =( )A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C解析：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =． 故选C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2022新高考全国II 卷·第4题3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =( )A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +【答案】B 解析：因点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+． 故选：B ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2022新高考全国I 卷·第3题4．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是 ( )A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A解析：AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题5．(2020新高考II 卷(海南卷)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =( )A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-= 【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第3题6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b ( )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 解析：5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=．()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+． 故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题7．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题)已知()2,3AB =，()3,AC t =，1BC =，则AB BC ⋅=( )【答案】C【解析】∵()2,3AB =，()3,AC t =，∴()1,3BC AC AB t =-=-,∴()22131BC t =+-=，解得3t =，即()1,0BC =，则AB BC ⋅=()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题8．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题)已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】B 解析：()()222,0,a b b a b b a b b a b b b-⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅==，所以221cos ,22ba b a b a bb⋅===⋅，所以,3a b π=．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的垂直问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题9．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512510.618-≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美 人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金 分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】 答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．【题目栏目】平面向量\线段的定比分点问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题10．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题11．(2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + c d ab 头顶咽喉肚脐足底【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( )A ．B ．CD ．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点 在中，有即所以圆的方程为 可设由可得 ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+3252A AB x AD y ()0,0A ()1,0B ()0,2D ()1,2C BD C CE BD ⊥E Rt BDC ∆225BD AB AD =+=1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△1125125225CE CE ⨯⨯=⇒=C ()()224125x y -+-=25251,2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AP AB AD λμ=+()25251,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以，所以 其中， 所以的最大值为，故选A ．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线251551sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2552cos 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++25sin ϕ=5cos ϕ=λμ+3C CE BD ⊥E 1AB =2AD =22125BD =+1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△55CE =P FH DB λμ+A BD C BD 55A FH 2525256522r +=+=所以，所以的最大值为，故选A ． 另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A ．法三：如图，建立平面直角坐标系设，即圆的方程是，若满足即 ， ，所以，设 ，即，655325AFAB ==λμ+3P λμ+AG x AB y AD =+x y λμ+=+2AD DF FG ===3,0x y ==()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=AP AB AD λμ=+21x y μλ=⎧⎨-=-⎩,12x y μλ==-12x y λμ+=-+12x z y =-+102x y z -+-=点在圆上，所以圆心到直线的距离， ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A ． 法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高． 即在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，． ∵ ∴，． 两式相加得：(),P x y ()22425x y -+=d r ≤21514z -≤+13z ≤≤z 3λμ+3BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =22125BD +=BD C E CEBDCERt BCD△BD12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△C 255P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0151cos 25x μθ==+02155y λθ==(其中，) 当且仅当，时，取得最大值3． 【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【点评】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生 转化与化归思想和运算求解能力 【解析】解法一：建系法连接，，，．，∴∴ ∴，∴ ∴最小值为 解法二：均值法2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+++=++≤5sin 5ϕ=25cos 5ϕ=π2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC ∆P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-OP ()0,3OA =()1,0OB =-()1,0OC =2PC PB PO +=()(),,3PO PA x y x y⋅=--⋅--222233324PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭34PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵ ，∴ ∴ ，∴最小值为解法三：配凑法 ∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通 法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大． 【考点】 平面向量的坐标运算，函数的最值【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题 14．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,22BA =,31()22BC =,则ABC ∠= ( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯⋅,所以30ABC ∠=︒,故选A. 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = ( )A ．8-B ．6-C ．6D ．82PC PB PO +=()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅OA PA PO =-()()2232PA PO PA PO =+-⋅()()222PA POPA PO +≥-⋅322PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-32-【答案】D【解析】由()a b b ⊥+可得：()0a b b +=，所以20a bb，又(1,)(3,2)a m b =-，= 所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m ，故选D ．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题16．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ． 考点：平面向量的线性运算【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第7题17．(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b 满足，|a -，则a b=( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A解析：因为222||()210,a b a b a b a b +=+=++⋅=222||()26,a b a b a b a b -=-=+-⋅= 两式相加得：228,a b +=所以1a b ⋅=，故选A ． 考点：(1)平面向量的模；(2)平面向量的数量积 难度：B备注：常考题【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标2理科·第3题 二、多选题18．(2021年新高考Ⅲ卷·第10题)已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则 ( )A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC106⋅解析:A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以221||cos sin 1OP αα=+，222||(cos )(sin )1OP ββ=+-，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以222221||(cos 1)sin cos 2cos 1sin 2(1cos )4sin 2|sin|22AP αααααααα=-+-++-==，同理222||(cos 1)sin 2|sin|2AP βββ=-+，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=--- cos cos2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选AC ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年新高考Ⅲ卷·第10题 三、填空题19．(2022年全国甲卷理科·第13题)设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________． 【答案】11解析：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=． 故答案为：11．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2022年全国甲卷理科·第13题20．(2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题)已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-解析:由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题21．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第14题22．(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-． 解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第14题23．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________．3【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b ==所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题24．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________． 【答案】22解析：由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =． 2． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题25．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b ，若25c a b =-，则cos ,a c 〈〉=___________．【答案】23． 【解析】因为25c a b =-，·=0a b ，所以225=2a c a a b ⋅=-⋅，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c 〈〉=22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题26．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ． 【答案】12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b + 所以4210λ⨯-⨯=，解得12λ=． 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题27．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题)已知向量,的夹角为,,,则__________． 【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为法三:坐标法依题意,可设,,所以 所以．【考点】平面向量的运算【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行a b 60︒2a =1b =2a b +=23222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|23a b +=2a b +23()2,0a =13,22b ⎛= ⎝⎭()((22,033a b +=+=()2223323a b +=+=解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的模长问题 【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题28．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m = ．【答案】2m =-【解析】由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题29．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 【答案】12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点：向量共线．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\平面向量的共线问题【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第13题30．(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C 是圆O 上的三点,若,则与的夹角为______． 【答案】 解析:∵,∴O 为线段BC 中点,故BC 为的直径, ∴,∴与的夹角为．考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想 难度:B备注:高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标1理科·第15题31．(2013高考数学新课标2理科·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD⋅＝________．1()2AO AB AC =+AB AC 0901()2AO AB AC =+O 090BAC ∠=AB AC 090【答案】2解析：由题意知：2211402222AE BD AD AD AB AB ⋅=-⋅-=--= 考点：(1)5．1．2向量的线性运算；(2)5．3．1平面向量的数量积运算 难度： A备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第13题32．(2013高考数学新课标1理科·第13题)已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c •=，则t =_____． 【答案】 2解析：•b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2． 考点: (1)5．3．1平面向量的数量积运算．难度：Ａ备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第13题。
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算平面向量是解决平面几何问题的重要工具。
平面向量之间可以进行线性运算，包括加减法、数量乘法和应用特殊运算规则的向量乘法。
本文将详细介绍平面向量的线性运算及其应用。
一、平面向量的基本概念在平面直角坐标系中，向量由两个有序实数对表示，分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
设向量 a 的分量为 (a1, a2)，则向量 a 可表示为 a = a1i + a2j，其中 i 和 j 分别是 x 轴和 y 轴的单位向量。
二、平面向量的加法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其和为 c = (a1 +b1)i + (a2 + b2)j。
向量的加法满足交换律、结合律和零向量的存在性。
三、平面向量的减法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其差为 c = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j。
向量的减法也满足交换律和结合律。
四、平面向量的数量乘法设有平面向量 a = a1i + a2j，实数 k，k与向量 a 的数量积为 k * a =ka1i + ka2j。
数量乘法满足结合律、分配律和对数乘法的分布律等性质。
五、平面向量的线性运算应用1. 向量共线与平行若有两个非零向量 a 和 b，当且仅当存在实数 k，使得 a = kb，称向量 a 和 b 共线。
若向量 a 和 b 共线且方向相同或相反，则称向量 a 和b 平行。
2. 向量的线性组合设有向量组 a1, a2, ..., an，其中每个向量的形式为 ai = ai1i + ai2j。
对于任意给定的实数 k1, k2, ..., kn，向量 b = k1a1 + k2a2 + ... + knan 称为向量组 a1, a2, ..., an 的线性组合。
3. 向量的共面性若存在不全为零的实数 k1, k2, k3，使得 k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0，称向量组 a1, a2, a3 共面。
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练：8 平面向量的线性运算及综合应用
常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用(建议用时：50分钟)1．(2012·苏州期中)已知向量a ＝(2，x )，b ＝(x －1,1)，若a ∥b ，则x 的值为________． 解析 由a ∥b ，得2－x (x －1)＝0，解得x ＝2或－1. 答案 2或－12．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13则|b | 等于________． 解析 向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13， 则a ·b ＝|a ||b |·cos 120°＝－32|b |， |a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.所以13＝9－3|b |＋|b |2，则|b |＝－1(舍去)或|b |＝4. 答案 43．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝1，则向量a 与c 的夹角为________．解析 因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )．所以|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2cos 60°＝3.所以|c |＝ 3.又c ·a ＝－(a ＋b )·a ＝－a 2－a ·b ＝－1－cos 60°＝ －32，设向量c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a ||c |＝－321×3＝－32.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°. 答案 150°4．(2013·天一、淮阴、海门中学联考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12，则|AB→|＝________. 解析 将AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12两式相减得AB →·(AC →－BC →)＝AB →2＝16，则|AB →|＝4. 答案 45．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD→＝________.解析 由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝(AD →＋12AB →)·(AD→－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.答案 26．(2013·安徽卷改编)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是________．解析 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB→＝2，知cos ∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝π3，又A ，B 是两定点，可设A (3，1)，B (0,2)，P (x ，y )，由OP→＝λOA →＋μOB →，可得⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝λ＋2μ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝33x ，μ＝y 2－36x .因为|λ|＋|μ|≤1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪33x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 2－36x ≤1，当⎩⎨⎧x ≥0，3y －3x ≥0，时，3y ＋3x ≤6由可行域可得S 0＝12×2×3＝3，所以由对称性可知点P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝4 3. 答案 4 37．如图，在正方形ABCD 中，已知AB ＝2，M 为BC 的中点，若N 为正方形内(含边界)任意一点，则AM →·AN →的最大值是________．解析 由数量积的定义得AM →·AN →＝|AM →|·|AN→|cos ∠NAM ，当N 点与C 点重合时，|AN→|cos ∠NAM 最大，解三角形得最大值为65，所以AM →·AN→的最大值是6.8．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3P B →|的最小值为______． 解析 建立如图所示的直角坐标系，设DC ＝m ，P (0，t )，t ∈[0，m ]，由题意可知，A (2,0)，B (1，m )，P A →＝(2，－t )，P B →＝(1，m －t )，P A →＋3P B →＝(5,3m －4t )，|P A →＋3P B →|＝52＋(3m －4t )2≥5，当且仅当t ＝34m 时取等号，即|P A →＋3P B →|的最小值是5. 答案 59．(2013·南通模拟)已知a ＝(sin α，sin β)，b ＝(cos(α－β)，－1)，c ＝(cos(α＋β)，2)，α，β≠k π＋π2(k ∈Z )． (1)若b ∥c ，求tan α·tan β的值； (2)求a 2＋b·c 的值．解 (1)若b ∥c ，则2cos(α－β)＋cos(α＋β)＝0， ∴3cos αcos β＋sin αsin β＝0，∵α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，∴tan αtan β＝－3. (2)a 2＋b·c ＝sin 2α＋sin 2β＋cos(α－β)cos(α＋β)－2 ＝sin 2α＋sin 2β＋cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β－2 ＝sin 2α＋cos 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－2 ＝sin 2α＋cos 2α－2＝1－2＝－1.10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)． (1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积． (1)证明 因为m ∥n ，所以a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b 2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)，所以a ＝b .所以△ABC 为等腰(2)解 由题意，可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0，所以a ＋b ＝ab ，由余弦定理，知4＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0，所以ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.11．(2013·苏北四市模拟)如图所示，A ，B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，C 点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP 的面积为S .(1)求O A →·O Q →＋S 的最大值； (2)若CB ∥OP ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6的值．解 (1)由已知，得A (1,0)，B (0,1)，P (cos θ，sin θ)， 因为四边形OAQP 是平行四边形， 所以O Q →＝O A →＋O P →＝(1,0)＋(cos θ，sin θ) ＝(1＋cos θ，sin θ)． 所以O A →·O Q →＝1＋cos θ. 又平行四边形OAQP 的面积为 S ＝|O A →|·|O P →|sin θ＝sin θ，所以O A →·O Q →＋S ＝1＋cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1.又0<θ<π，所以当θ＝π4时，O A →·O Q →＋S 的最大值为2＋1. (2)由题意，知C B →＝(2,1)，O P →＝(cos θ，sin θ)， 因为CB ∥OP ，所以cos θ＝2sin θ.又0<θ<π，cos 2θ＋sin 2θ＝1， 解得sin θ＝55，cos θ＝255，所以sin2 θ＝2sin θcos θ＝45，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝sin 2θcos π6－cos 2θsin π6＝45×32－35×12＝43－310. 备课札记：。
历年高三数学高考考点之平面向量的线性问题必会题型及答案
历年高三数学高考考点之<平面向量的线性问题>必会题型及答案体验高考1.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.2.已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m 等于( ) A.－8 B.－6 C.6 D.8 答案 D解析 由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0， 即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.3.已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A.4B.－4C.94D.－94答案 B解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0， ∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0， 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.4.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________. 答案 12 －16解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.高考必会题型题型一 平面向量的线性运算及应用例1 (1)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 (2)已知在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →， CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝_____.答案 (1)D (2)23解析 (1)设CO →＝yBC →，∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. ∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. (2)因为AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.点评 平面向量的线性运算应注意三点 (1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.变式训练1 (1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD →＝λAB →＋kAC →，则λ＋k 等于( )A.1＋ 2B.2－ 2C.2D.2＋2(2)在△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，则1m ＋1n＝________.答案 (1)A (2)6解析 (1)根据向量的基本定理可得， AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋(ED →－EC →) ＝AC →＋(2AC →－22BC →)＝AC →＋2AC →－22(AC →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22·AC →＋22AB →， 所以λ＝22，k ＝1＋22， 所以λ＋k ＝1＋ 2.故选A.(2)由GA →＋GB →＋GC →＝0，知点G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D (图略)，则CH →＝12CG →＝13CD →＝16(CA→＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n ＝6.题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知点A (－3，0)，B (0，3)，点O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________.答案 1解析 由题意知OA →＝(－3，0)，OB →＝(0，3)， 则OC →＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°，知∠xOC ＝150°，∴tan 150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.(2)平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，请解答下列问题： ①求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； ②若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；③若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 解 ①由题意得(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.②a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)， ∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴2×(3＋4k )－(－5)(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.③设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2，4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4－2y －1＝0，x －42＋y －12＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或d ＝(5，3).点评 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②若a ∥b (a ≠0)，则b ＝λa .(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 变式训练2 (1)如图所示，在△ABC 中，D 为AB 的中点，F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋2y的最小值为( )A.8＋2 2B.8C.6D.6＋2 2(2)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________. 答案 (1)B (2)m ≠12解析 (1)因为点D 为AB 的中点，所以AB →＝2AD →，因为AF →＝x a ＋y b ，所以AF →＝2xAD →＋yAC →.因为点F 在线段CD 上，所以2x ＋y ＝1，又x ，y ＞0，所以1x ＋2y＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y≥4＋2y x ·4xy＝8， 当且仅当y ＝2x ＝12时取等号，所以1x ＋2y的最小值为8.(2)因为OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，所以AB →＝(3，1)，BC →＝(－m －1，－m ).由于点A 、B 、C 能构成三角形，所以AB →与BC →不共线，而当AB →与BC →共线时，有3－m －1＝1－m ，解得m ＝12，故当点A 、B 、C 能构成三角形时，实数m 满足的条件是m ≠12.高考题型精练1.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C.|－λa |≥|a | D.|－λa |≥|λ|a答案 B解析 对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反，B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小.2.设点M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB →＋32MA →＋32MC →＝0，点D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|的值为( )A.13B.12 C.1 D.2 答案 A解析 ∵D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ， ∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD →＝12ME →＝12(MA →＋MC →).∵MB →＋32MA →＋32MC →＝0，∴MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－3MD →，∴|MD →||BM →|＝|MD →||－3MD →|＝13，故选A. 3.已知点A (－3，0)，B (0，2)，点O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝ λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为( ) A.1 B.13 C.12 D.23答案 D解析 过点C 作CE ⊥x 轴于点E (图略). 由∠AOC ＝π4，知|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →， 即OE →＝λOA →，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23.4.在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对 答案 C解析 由已知，得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，故AD →∥BC →.又因为AB →与CD →不平行，所以四边形ABCD 是梯形.5.设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2，1)，则“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C解析 若a ＝(4，2)，则|a |＝25，且a ∥b 都成立； ∵a ∥b ，设a ＝λb ＝(2λ，λ)，由|a |＝25，知4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝±2， ∴a ＝(4，2)或a ＝(－4，－2).因此“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的充分不必要条件.6.在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，点E 为BC 的中点，则AE →等于( )A.23AB →＋12AD →B.12AB →＋23AD →C.56AB →＋13AD →D.13AB →＋56AD → 答案 A解析 BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23AB →＋AD →，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝23AB →＋12AD →.7.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( ) A.②③ B.①② C.③④ D.④⑤ 答案 A解析 ①方向不一定相同；④方向可能相反；⑤若b ＝0，则不对.8.在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)答案 12(5e 1＋3e 2)解析 在矩形ABCD 中，因为点O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2).9.在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.答案 45解析 依题意得，AM →＝AB →＋BC →＋CM →＝AB →＋BC →－14AB →＝34AB →＋BC →，AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋12BC →.又AB →＝λAM →＋μAN →，于是有AB →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB →＋BC →＋μ⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34λ＋μAB →＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ2BC →.又AB →与BC →不共线，因此有⎩⎪⎨⎪⎧34λ＋μ＝1，λ＋μ2＝0，由此解得λ＝－45，μ＝－2λ，所以λ＋μ＝－λ＝45.10.已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，如图所示，△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，点O 是坐标原点，则|OA →|的最大值为________.答案 2解析 因为点G 是△ABC 的外心，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，所以点G 是BC 的中点，△ABC 是直角三角形，且∠BAC 是直角.又GA →，GB →，GC →是三个单位向量，所以BC ＝2，又△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，所以点G 的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧.又|GA →|＝1，所以当OA 经过BC 的中点G 时，|OA →|取得最大值，且最大值为2|GA →|＝2.11.设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值.(1)证明 由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB →＝2e 1－8e 2，∴AB →＝2BD →. 又∵AB →与BD →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.(2)解 由(1)可知BD →＝e 1－4e 2， ∵BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF →＝λBD →(λ∈R )， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.12.已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线； (3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时，a 的值. (1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2). 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0. (2)证明 当t 1＝1时， 由(1)知OM →＝(4t 2，4t 2＋2). ∵AB →＝OB →－OA →＝(4，4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB →， 又∵AM →与AB →有公共点A ，∴不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线.(3)解 当t 1＝a 2时， OM →＝(4t 2，4t 2＋2a 2).又AB →＝(4，4)，OM →⊥AB →， ∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0， ∴t 2＝－14a 2，故OM →＝(－a 2，a 2). |AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|.∵S △ABM ＝12，∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12， 解得a ＝±2， 故所求a 的值为±2.。
8 平面向量线性运算及综合应用问题
1．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )．A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b2．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|a －b |＝1，则|a ＋b |＝( )．A ．1 B. 2 C. 3 D ．23．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝ ( )．A.23B.13 C ．－13 D ．－234．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )．A.π6B.π3C.2π3D.5π65．已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为 ( )．A.π6B.π3C.π2D.2π36．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.7．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF→＝2，则AE →·BF →的值是________．9．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(－cos x ，cos x )，c ＝(－1，0)．(1)若x ＝π6，求向量a ，c 的夹角； (2)当x ∈π2，9π8时，求函数f (x )＝2a ·b ＋1的最大值．10．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)．(1)求向量b ＋c 的长度的最大值；(2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．11．已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3sin C cos C －cos 2C ＝12，且c ＝3.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a 、b 的值．。
《平面向量的线性运算》考点讲解复习与同步训练
《6.2.1 平面向量的线性运算》考点讲解【思维导图】【常见考法】考法一 向量的加法运算【例1-1】如图，在下列各小题中，已知向量a 、b ，分别用两种方法求作向量a b +．【例1-2】如果a 表示“向东走10km ”， b 表示“向西走5km ”， c 表示“向北走10km ”， d 表示“向南走5km ”，那么下列向量具有什么意义？ （1）a a +；（2）a b +；（3）a c +；（4）b d +；（5）b c b ++；（6）d a d ++.【例1-3】向量()()AB MB BO BC OM ++++﹒化简后等于（ ）A.AMB.0C.0D.AC 【例1-4】已知点D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列等式中错误的（ ）A ．FD DA FA +=B ．0FD DE EF ++=C ．DE DA EC +=D ．DE DA FD +=【一隅三反】1.如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c .2．在平行四边形ABCD 中，AB AD +等于（ ）A ．ACB ．BDC ．BCD ．CD3．（多选）如图，在平行四边形ABCD 中，下列计算正确的是（ ）A ．AB AD AC +=B ．AC CD DO OA ++= C ．AB AD CD AD ++= D ．0AC BA DA ++=4.化简(1)BC →＋AB →； (2)AO →＋BC →＋OB →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →.(4)DB →＋CD →＋BC →； (5)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →.考法二 向量的减法运算【例2-1】如图，在各小题中，已知,a b ，分别求作a b -．【例22-2】．化简下列各式：①()AB CB CA --；②AB AC BD CD -+-；③OA OD AD -+；④NQ QP MN MP ++-.其中结果为0的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【一隅三反】1．如图，已知向量,,,a b c d ，求作向量a b -，c d -．2.如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c .3．在五边形ABCDE 中（如图），AB BC DC +-=（ ）A ．ACB ．ADC ．BD D ．BE 4．化简AB CD AC BD --+=______.5.化简（1）(AB →－CD →)－(AC →－BD →) (2)OA →－OD →＋AD →；(3)AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →．考法三 向量的数乘的运算【例3-1】把下列各小题中的向量b 表示为实数与向量a 的积：（1）3a e =，6b e =；（2）8a e =，14b e =-；（3）23a e =-，13b e =； （4）34a e =-，23b e =-．【例3-2】如图，OADB 是以向量,OA a OB b ==为边的平行四边形，又11,33BM BC CN CD ==，试用,a b 表示,,OM ON MN ．【一隅三反】1．计算：（1）(3)4a -⨯；（2）3()2()a b a b a +---；（3）(23)(32)a b c a b c +---+．2．化简：（1）()()522423a b b a -+-；（2）()()634a b c a b c -+--+-； （3）()()113256923a b a a b ⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦； （4）()()()()x y a b x y a b -+---.3．如图，解答下列各题：（1）用,,a d e 表示DB ；（2）用,b c 表示DB ；（3）用,,a b e 表示EC ；（4）用,d c 表示EC ．考法四 向量的共线定理【例4-1】判断向量,a b 是否共线(其中1e ,2e 是两个非零不共线的向量):(1)113,9a e b e ==-; (2)121211,3223a e eb e e =-=-; (3)1212,33a e e b e e =-=+.【例4-2】 (1)已知向量12,e e 不共线,若12210AB e e =+,1228BC e e =-+,()123CD e e =-,试证:,,A B D 三点共线.(2)设12,e e 是两个不共线向量,已知122AB e ke =+,123CB e e =+,122CD e e =-,若,,A B D 三点共线,求k 的值.【一隅三反】1．判断下列各小题中的向量a ,b 是否共线（其中12,e e 是两个非零不共线向量）．（1）115,10a e b e ==-；（2）121211,3223a e eb e e =-=-； （3）1212,33a e e b e e =+=-．2．设,a b 是不共线的两个非零向量.（1）若233OA a b OB a b OC a b =-=+=-，，，求证：A B C ，，三点共线；（2）若8a kb +与2ka b +共线，求实数k 的值；（3）若232AB a b BC a b CD a kb =+=-=-，，，且A C D ，，三点共线，求实数k 的值.3．O 为ABC ∆内一点，且20OA OB OC ++=，AD t AC =，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为（ ）A ．13 B ．14 C ．12 D ．23《6.2.1 平面向量的线性运算（精讲）》考点讲解答案解析考法一 向量的加法运算【例1-1】如图，在下列各小题中，已知向量a 、b ，分别用两种方法求作向量a b +．【答案】见解析【解析】将b 的起点移到a 的终点，再首尾相接，可得a b +；将两个向量的起点移到点A ，利用平行四边形法则，以a 、b 为邻边，作出平行四边形，则过点A 的对角线为向量a b +.如图所示，AB a b =+．（1）；（2）；（3） ；（4）.【例1-2】如果a 表示“向东走10km ”， b 表示“向西走5km ”， c 表示“向北走10km ”， d 表示“向南走5km ”，那么下列向量具有什么意义？ （1）a a +；（2）a b +；（3）a c +；（4）b d +；（5）b c b ++；（6）d a d ++.【答案】（1）向东走20km ；（2）向东走5km ；（3）向东北走；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走.【解析】由题意知：a 表示“向东走10km ”， b 表示“向西走5km ”， c 表示“向北走10km ”， d 表示“向南走5km ”（1）a a +表示“向东走20km ”（2）a b +表示“向东走5km ”（3）a c +表示“向东北走”（4）b d +表示“向西南走”（5）b c b ++表示“向西北走”（6）d a d ++表示“向东南走”【例1-3】向量()()AB MB BO BC OM ++++﹒化简后等于（ ）A.AMB.0C.0D.AC 【答案】D【解析】()()AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AO OM MB BC ++++=++++=+++ AM MB BC AB BC AC =++=+=, 故选D.【例1-4】已知点D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列等式中错误的（ ）A ．FD DA FA +=B ．0FD DE EF ++=C ．DE DA EC +=D ．DE DA FD +=【答案】D 【解析】由题意，根据向量的加法运算法则，可得FD DA FA +=，故A 正确； 由0FD DE EF FE EF ++=+=，故B 正确；根据平行四边形法则，可得DE DA DF EC =+=，故C 正确，D 不正确.故选：D.【一隅三反】1.如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c .【答案】见解析【解析】 方法一 可先作a ＋c ，再作(a ＋c )＋b ，即a ＋b ＋c .如图①，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB →＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC→＝a ＋b ＋c 为所求．① ②方法二 三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ；(2)作平行四边形AOBC ，则OC →＝a ＋b ；(3)再作向量OD →＝c ； (4)作平行四边形CODE ，则OE →＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c .即OE →即为所求.2．在平行四边形ABCD 中，AB AD +等于（ ）A ．ACB ．BDC ．BCD ．CD【答案】A【解析】根据向量加法的平行四边形法则可得AB AD AC +=，故选：A.3．（多选）如图，在平行四边形ABCD 中，下列计算正确的是（ ）A ．AB AD AC +=B ．AC CD DO OA ++= C ．AB AD CD AD ++=D ．0AC BA DA ++=【答案】ACD 【解析】由向量加法的平行四边形法则可知AB AD AC +=，故A 正确；AC CD DO AD DO AO OA ++=+=≠，故B 不正确；AB AD CD AC CD AD ++=+=，故C 正确；0AC BA DA BA AC DA BC DA ++=++=+=，故D 正确.故选：ACD. 4.化简(1)BC →＋AB →； (2)AO →＋BC →＋OB →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →.(4)DB →＋CD →＋BC →； (5)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →.【答案】（1）AC →（2）AC →（3）0（4）0（5）AB →【解析】 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →.(2)AO →＋BC →＋OB →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA →＝AC →＋CD →＋DF →＋FA →＝AD →＋DF →＋FA →＝AF →＋FA →＝0.(4)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB →＝BD →＋DB →＝0.(5)方法一 (AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →.方法二 (AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →.方法三 (AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →＋OM →)＋MB →＝AM →＋MB →＝AB →.考法二 向量的减法运算【例2-1】如图，在各小题中，已知,a b ，分别求作a b -．【答案】见解析【解析】将,a b 的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量，如图，BA a b =-，(1) (2)(3) (4)【例22-2】．化简下列各式：①()AB CB CA --；②AB AC BD CD -+-；③OA OD AD -+；④NQ QP MN MP ++-.其中结果为0的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】①()0AB CB CA AB BC CA AC CA --=++=+=；②()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=；③0OA OD AD DA AD -+=+=；④0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=；以上各式化简后结果均为0,故选:D【一隅三反】1．如图，已知向量,,,a b c d ，求作向量a b -，c d -．【答案】见解析【解析】如下图所示，在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =，OC c =，OD d =，则BA a b =-，DC c d =-．2.如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c .【答案】见解析【解析】在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，再作向量BC →＝c ，则向量CA →＝a －b －c .3．在五边形ABCDE 中（如图），AB BC DC +-=（ ）A ．ACB ．ADC ．BD D ．BE【答案】B 【解析】AB BC DC AB BC CD AD +-=++=.故选：B4．化简AB CD AC BD --+=______.【答案】0【解析】0AB CD AC BD AB BD DC CA --+=+++=．故答案为：0．5.化简（1）(AB →－CD →)－(AC →－BD →) (2)OA →－OD →＋AD →；(3)AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →．【答案】（1）0⃑ （2）0⃑ （3）AB →【解析】（1）方法一(统一成加法) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝AD →＋DA →＝0.方法二(利用OA →－OB →＝BA →) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)－CD →＋BD →＝CB →－CD →＋BD →＝DB →＋BD →＝0.方法三(利用AB →＝OB →－OA →) 设O 是平面内任意一点，则(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(OB →－OA →)－(OD →－OC →)－(OC →－OA →)＋(OD →－OB →)＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0. (2)OA →－OD →＋AD →＝OA →＋AD →－OD →＝OD →－OD →＝0．(3)AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →＝AB →＋DA →＋BD →＋CB →＋AC →＝(AB →＋BD →)＋(AC →＋CB →)＋D A →＝AD →＋AB →＋DA →＝AD →＋DA →＋AB →＝0＋AB →＝AB →．考法三 向量的数乘的运算【例3-1】把下列各小题中的向量b 表示为实数与向量a 的积：（1）3a e =，6b e =；（2）8a e =，14b e =-；（3）23a e =-，13b e =； （4）34a e =-，23b e =-． 【答案】（1）2b a =；（2）74b a =-；（3）12b a =-；（4）89b a =． 【解析】（1）623b e e ==⨯，2b a =；（2）71484b e e =-=-⨯，74b a =-； （3）112()323b e e ==-⨯-，12b a =-； （4）283()394b e e =-=⨯-，89b a =． 【例3-2】如图，OADB 是以向量,OA a OB b ==为边的平行四边形，又11,33BM BC CN CD ==，试用,a b 表示,,OM ON MN ．【答案】1566OM a b =+，2233ON a b =+，1126MN a b =- 【解析】14222,()33333CN CD ON OC OA OB a b =∴==+=+ 11,,36BM BC BM BA =∴= 1()6OM OB BM OB OA OB ∴=+=+-1566a b =+ 1126MN ON OM a b ∴=-=- 【一隅三反】1．计算：（1）(3)4a -⨯；（2）3()2()a b a b a +---；（3）(23)(32)a b c a b c +---+．【答案】（1）12a -；（2）5b ；（3）52a b c -+-.【解析】（1）原式(34)12a a =-⨯=-；（2）原式33225a b a b a b =+-+-=；（3）原式233252a b c a b c a b c =+--+-=-+-．2．化简：（1）()()522423a b b a -+-；（2）()()634a b c a b c -+--+-； （3）()()113256923a b a a b ⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦； （4）()()()()x y a b x y a b -+---.【答案】（1）22a b --；（2）102210a b c -+；（3）132a b +；（4）2()x y b - 【解析】（1）()()522423101081222a b b a a b b a a b -+-=-+-=--.（2）()()6346186444102210a b c a b c a b c a b c a b c -+--+-=-++-+=-+. （3）()()()()1115113256932693232262a b a a b a b a a b a b ⎡⎤-+--=-+--=+⎢⎥⎣⎦. （4）()()()()()()()2x y a b x y a b x y x y a x y x y b x y b -+---=--++-+-=-.3．如图，解答下列各题：（1）用,,a d e 表示DB ；（2）用,b c 表示DB ；（3）用,,a b e 表示EC ；（4）用,d c 表示EC ．【答案】（1）DB d e a =++．（2）DB b c =--．（3）EC e a b =++．（4）EC c d =--．【解析】由题意知，AB a =，BC b =，CD c =，DE d =，EA e =，则（1）DB DE EA AB d e a =++=++．（2）DB CB CD BC CD b c =-=--=--．（3）EC EA AB BC e a b =++=++．（4）()EC CE CD DE c d =-=-+=--．考法四 向量的共线定理【例4-1】判断向量,a b 是否共线(其中1e ,2e 是两个非零不共线的向量):(1)113,9a e b e ==-; (2)121211,3223a e eb e e =-=-; (3)1212,33a e e b e e =-=+.【答案】(1)共线，(2)共线，(3)不共线.【解析】(1)∵113,9a e b e ==-,∴3b a =-,∴,a b 共线.(2)∵1211,23a e e =-12121132623b e e e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,∴6b a =,∴,a b 共线. (3)假设()b a λλ=∈R ,则()121233e e e e λ+=-,∴12(3)(3)0e e λλ-++=. ∵12,e e 不共线,∴30,30.λλ-=⎧⎨+=⎩此方程组无解.∴不存在实数λ,使得b a λ=,∴,a b 不共线.【例4-2】 (1)已知向量12,e e 不共线,若12210AB e e =+,1228BC e e =-+,()123CD e e =-,试证:,,A B D 三点共线.(2)设12,e e 是两个不共线向量,已知122AB e ke =+,123CB e e =+,122CD e e =-,若,,A B D 三点共线,求k 的值.【答案】(1)见解析(2)-8【解析】(1)()1212122835BD BC CD e e e e e e =+=-++-=+，12210AB e e =+， 2AB BD ∴=，BD ∴与AB 共线.又BD 与AB 有公共点B ，,,A B D ∴三点共线.(2)()()121212234BD CD CB e e e e e e =-=--+=-. ,,A B D 三点共线，,AB BD ∴共线.∴存在实数λ使AB BD λ=，即()121224e ke e e λ+=-. 12(2)(4)e k e λλ∴-=--.1e 与2e 不共线，24k λλ=⎧∴⎨=-⎩，，8k ∴=-. 【一隅三反】1．判断下列各小题中的向量a ,b 是否共线（其中12,e e 是两个非零不共线向量）．（1）115,10a e b e ==-；（2）121211,3223a e eb e e =-=-；（3）1212,33a e e b e e =+=-．【答案】(1) a 与b 共线；(2) a 与b 共线；(3) a 与b 不共线．【解析】（1）∵2b a =-，∴a 与b 共线．（2）∵16a b =，∴a 与b 共线． （3）设a b =λ，则()121233e e e e λ+=-，∴12(13)(13)0e e λλ-++=．∵1e 与2e 是两个非零不共线向量，∴130λ-=，130λ+=．这样的λ不存在，∴a 与b 不共线． 2．设,a b 是不共线的两个非零向量.（1）若233OA a b OB a b OC a b =-=+=-，，，求证：A B C ，，三点共线；（2）若8a kb +与2ka b +共线，求实数k 的值；（3）若232AB a b BC a b CD a kb =+=-=-，，，且A C D ，，三点共线，求实数k 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）4±.（3）43k =. 【解析】证明：（1）22AB OB OA a b AC OC OA a b =-=+=-=--，，所以AC AB =-. 又因为A 为公共点，所以A B C ，，三点共线.（2）设()82a kb ka b λλ+=+∈R ，，则82k k λλ=⎧⎨=⎩，，解得42k λ=⎧⎨=⎩，或42k λ=-⎧⎨=-⎩，， 所以实数k 的值为4±.（3）()()2332AC AB BC a b a b a b =+=++-=-，因为A C D ，，三点共线，所以AC 与CD 共线.从而存在实数μ使AC CD μ=，即()322a b a kb μ-=-，得322.k μμ=⎧⎨-=-⎩，解得324.3k μ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以43k =. 3． O 为ABC ∆内一点，且20OA OB OC ++=，AD t AC =，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为（ ）A ．13B ．14C ．12D ．23【答案】A【解析】由AD t AC =有()OD OA t OC OA -=-,所以(1)OD tOC t OA =+-,因为B ，O ，D 三点共线,所以BO OD λ=,则2(1)OA OC tOC t OA λλ+=+-,故有2(1){1t tλλ=-=,13t =,选A.《6.2 1 平面向量的线性运算》同步练习【题组一 向量的加法运算】1．化简．（1）AB CD BC DA +++．（2）()()AB MB BO BC OM ++++．2．下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．MB AD BM +-B ．()()AD MB BC CM +++ C ．()AB CD BC ++ D ．OC OA CD -+ 3．（1）如图（1），在ABC 中，计算AB BC CA ++；（2）如图（2），在四边形ABCD 中，计算AB BC CD DA +++；（3）如图（3），在n 边形123n A A A A 中，12233411?n n n A A A A A A A A A A -+++++=证明你的结论.4．（1）已知向量a ,b ,求作向量c ，使0a b c ++=.（2）（1）中表示a ,b ,c 的有向线段能构成三角形吗？5．一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为16/km h ，同时河水流速的大小为4/km h 求船实际航行的速度的大小与方向（精确到l °）.6．一架飞机向北飞行300km ，然后改变方向向西飞行400km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.【题组二 向量的减法运算】1．已知向量a ，b ，c ，求作a b c -+和()a b c --.2．化简：AB CB CD ED AE -+--=（ ）A ．0B ．ABC ．BAD ．CA3．化简：（1）AB BC CA ++； （2） ()AB MB BO OM +++；（3）OA OC BO CO +++； （4）AB AC BD CD -+-；（5）OA OD AD -+； （6）AB AD DC --；（7）NQ QP MN MP ++-.4．（多选）下列各式中，结果为零向量的是（ ）A ．AB MB BO OM +++B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++D ．AB AC BD CD -+-5．（多选）已知,a b 为非零向量,则下列命题中正确的是( )A ．若a b a b +=+,则a 与b 方向相同B ．若a b a b +=-,则a 与b 方向相反C ．若a b a b +=-,则a 与b 有相等的模D ．若a b a b -=-,则a 与b 方向相同【题组三 向量的数乘运算】1．化简：（1）5(32)4(23)a b b a -+-；（2）111(2)(32)()342a b a b a b -----；（3）()()x y a x y a +--．2．化简下列各式：（1）2(32)3(5)5(4)a b a b b a -++--；（2）1[3(28)2(42)]6a b a b +--．3．作图验证： （1）11()()22a b a b a ++-= （2）11()()22a b a b b +--=4．已知点B 是平行四边形ACDE 内一点，且AB ＝ a ，AC ＝ b ，AE ＝ c ，试用,,a b c表示向量CD 、BC 、BE 、CE 及BD ．4．如图，四边形OADB 是以向量OA a =，OB b =为边的平行四边形，又13BM BC =，13CN CD =，试用a 、b 表示OM 、ON 、MN .5．向量,,,,a b c d e 如图所示，据图解答下列问题：（1）用,,a d e 表示DB ；（2）用,b c 表示DB ；（3）用,,a b e 表示EC ；（4）用,d c 表示EC .【题组四 向量的共线定理】1．设12,e e 是两个不共线的向量,若向量()12a e e R λλ=+∈与()212b e e =--共线,则( )A ．λ=0B ．λ=-1C ．λ=-2D ．λ=-122．设,a b 是不共线的两个非零向量，已知2AB a pb =+，,2BC a b CD a b =+=-，若,,A B D 三点共线，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．-2D ．-13．判断下列各小题中的向量a 与b 是否共线：（1）2a e =-，2b e =；（2）12a e e =-，1222b e e =-+．4．已知向量m ，n 不是共线向量，32a m n =+，64b m n =-，c m xn =+（1）判断a ，b 是否共线；（2）若a c ，求x 的值5．已知非零向量12,e e 不共线，且122AP e e =-，1234PB e e =-+，122CQ e e =--，1245QD e e =-，能否判定A ，B ，D 三点共线？请说明理由．6．设12,e e 是两个不共线向量，已知1228AB e e =-，123CB e e =+，122CD e e =-．若123BF e ke =-，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．7．已知12,e e 是两个不共线的向量，若1228AB e e =-，123CB e e =+，122CD e e =-，求证：A ，B ，D 三点共线．8．如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD a = ，AB b =,M 为AB 的中点,点N 在DB 上,且2DN NB =.证明:M ,N ,C 三点共线.9．如图,点C 是点B 关于点A 的对称点,点D 是线段OB 的一个靠近点B 的三等分点,设,AB a AO b ==.(1)用向量a 与b 表示向量,OC CD ;(2)若45OE OA =,求证:C ,D ,E 三点共线.10．如图所示，已知D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 的中点，延长CD 至点M 使DM CD =，延长BE 至点N 使BE EN =，求证：M ，A ，N 三点共线．《6.2 1 平面向量的线性运算（精练）》同步练习答案解析【题组一 向量的加法运算】1．化简．（1）AB CD BC DA +++．（2）()()AB MB BO BC OM ++++． 【答案】（1）0；（2）AC .【解析】（1）0AB CD BC DA AB BC CD DA +++=+++=；（2）()()AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC ++++=++++=.2．下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．MB AD BM +-B ．()()AD MB BC CM +++ C ．()AB CD BC ++D ．OC OA CD -+ 【答案】A【解析】对B ，()()AD MB BC CM AD MB BC CM AD +++=+++=，故B 正确； 对C ，()AB CD BC AB BC CD AD ++=++=，故C 正确；对D ，OC OA CD AC CD AD -+=+=，故D 正确；故选：A.3．（1）如图（1），在ABC 中，计算AB BC CA ++；（2）如图（2），在四边形ABCD 中，计算AB BC CD DA +++；（3）如图（3），在n 边形123n A A A A 中，12233411?n n n A A A A A A A A A A -+++++=证明你的结论.【答案】（1）0（2）0（3）0，见解析【解析】（1）0AB BC CA AC CA AC AC ++=+=-=（2）0AB BC CD DA AC CD DA AD DA AD AD +++=++=+=-=.（3）122334n 110n n A A A A A A A A A A -+++++=.证明如下：12233411n n n A A A A A A A A A A -+++++ 133411n n n A A A A A A A A -=++++ 1411n n n A A A A A A -=+++11110n n n n A A A A A A A A =+=-=4．（1）已知向量a ,b ,求作向量c ，使0a b c ++=.（2）（1）中表示a ,b ,c 的有向线段能构成三角形吗？【答案】（1）见解析.【解析】（1）方法一：如图所示，当向量a ,b 两个不共线时，作平行四边形OADB ，使得OA a =，OB b =，则a b OD +=，又0a b c ++=，所以0OD c +=，即OD c OC =-=-，方法二：利用向量的三角形法则，如下图：作ABC ∆，使得AB a =，BC b =，CA c =，则0AB BC CA ++=，即0a b c ++=，当向量a ,b 两个共线时，如下图：使得AB a =，BC b =，DE c =则AB BC a b +=+，()DE a b =-+，所以，0AB BC DE ++=，即0a b c ++=.（2）向量a ,b 两个不共线时，表示a ,b ,c 的有向线段能构成三角形，向量a ,b 两个共线时，a ,b ,c 的有向线段不能构成三角形.5．一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为16/km h ，同时河水流速的大小为4/km h 求船实际航行的速度的大小与方向（精确到l °）.【答案】，方向与水流方向成76°角【解析】设船的航行速度为1v ，水流速度为2v ，船的实际航行速度为v ，v 与2v 的夹角为α，则||416//)v km km h === 由16tan 44α==，得76α︒≈.船实际航行的速度的大小为，方向与水流方向成76°角.6．一架飞机向北飞行300km ，然后改变方向向西飞行400km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.【答案】飞机飞行的路程为700km ；两次位移的合成是向北偏西约53°方向飞行500km .【解析】由向量的加减运算可知：飞机飞行的路程是700km ；两次位移的合成是向北偏西约53°，方向飞行500km .【题组二 向量的减法运算】1．已知向量a ，b ，c ，求作a b c -+和()a b c --.【答案】详见解析【解析】由向量加法的三角形法则作图：a b c -+由向量三角形加减法则作图：()a b c --2．化简：AB CB CD ED AE -+--=（ ）A ．0B ．ABC ．BAD ．CA 【答案】A【解析】AB CB CD ED AE -+--AB BC CD DE AE =+++-0AE AE =-=．故选：A ．3．化简：（1）AB BC CA ++； （2） ()AB MB BO OM +++；（3）OA OC BO CO +++； （4）AB AC BD CD -+-；（5）OA OD AD -+； （6）AB AD DC --；（7）NQ QP MN MP ++-.【答案】（1）0.（2）AB （3）BA .（4）0（5）0（6）CB .（7）0【解析】（1）原式0AC AC =-=.（2）原式AB BO OM MB AB =+++=（3）原式OA OC OB OC BA =+--=.（4）原式0AB BD DC CA =+++=（5）原式0OA AD DO =++=（6）原式()AB AD DC AB AC CB =-+=-=.（7）原式0MN NQ QP PM =+++=4．（多选）下列各式中，结果为零向量的是（ ）A ．AB MB BO OM +++B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++D ．AB AC BD CD -+- 【答案】BD【解析】对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确； 对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确；对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；对于选项D ：()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确.故选：BD5．（多选）已知,a b 为非零向量,则下列命题中正确的是( )A ．若a b a b +=+,则a 与b 方向相同B ．若a b a b +=-,则a 与b 方向相反C ．若a b a b +=-,则a 与b 有相等的模D ．若a b a b -=-,则a 与b 方向相同【答案】ABD【解析】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当,a b 不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||||||||||||a b a b a b -<±<+.当,a b 同向时有||||||a b a b +=+,||||||a b a b -=-.当,a b 反向时有||||||||a b a b +=-,||+||||a b a b =-故选：ABD【题组三 向量的数乘运算】1．化简：（1）5(32)4(23)a b b a -+-；（2）111(2)(32)()342a b a b a b -----； （3）()()x y a x y a +--．【答案】（1）32a b -；（2）111123a b -+；（3）2ya . 【解析】（1）原式151081232a b b a a b =-+-=-；（2）原式123111111334222123a b a b a b a b =--+-+=-+； （3）原式2xa ya xa ya ya =+-+=．2．化简下列各式：（1）2(32)3(5)5(4)a b a b b a -++--；（2）1[3(28)2(42)]6a b a b +--．【答案】(1)149a b -； (2) 11433a b -+.【解析】（1）原式64315205149a b a b b a a b =-++-+=-．（2）原式11114(62484)(228)6633a b a b a b a b =+-+=-+=-+． 3．作图验证：（1）11()()22a b a b a ++-= （2）11()()22a b a b b +--= 【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】如图，在平行四边形ABCD 中，设,AB a AD b ==，则11(),()22AO a b OB a b =+=-.（1）因为AO OB AB +=，所以11()()22a b a b a ++-= （2）因为AO OB AO BO AO OD AD -=+=+=，所以11()()22a b a b b +--= 4．已知点B 是平行四边形ACDE 内一点，且AB ＝ a ，AC ＝ b ，AE ＝ c ，试用,,a b c 表示向量CD 、BC 、BE 、CE 及BD ．【答案】CD c BC b a ==-；；BE =c a -；CE ＝c b - ；BD ＝b a c -+．【解析】∵四边形A CDE 为平行四边形．∴CD ＝AE ＝c ； BC ＝AC －AB ＝b a -； BE ＝AE －AB ＝ -c a ； CE ＝AE －AC ＝-c b ； BD ＝BC ＋CD ＝ b a c -+．4．如图，四边形OADB 是以向量OA a =，OB b =为边的平行四边形，又13BM BC =，13CN CD =，试用a 、b 表示OM 、ON 、MN .【答案】1566OM a b =+；()23ON a b =+；1126MN a b =- 【解析】13BM BC =，BC CA =，16BM BA ∴=， ∴111()()666BM BA OA OB a b ==-=-． ∴()115666OM OB BM b a b a b =+=+-=+． 13CN CD =，CD OC =， ∴2222()3333ON OC CN OD OA OB a b =+==+=+．∴221511336626MN ON OM a b a b a b =-=+--=-．5．向量,,,,a b c d e 如图所示，据图解答下列问题：（1）用,,a d e 表示DB ；（2）用,b c 表示DB ；（3）用,,a b e 表示EC ；（4）用,d c 表示EC .【答案】（1）DB d e a =++；（2）DB b c =--；（3）EC e a b =++；（4）EC c d =--.【解析】由图知,,,,AB a BC b CD c DE d EA e =====,（1）DB DE EA AB d e a =++=++；（2）DB CB CD BC CD b c =-=--=--；（3）EC EA AB BC e a b =++=++；（4）()EC CE CD DE c d =-=-+=--【题组四 向量的共线定理】1．设12,e e 是两个不共线的向量,若向量()12a e e R λλ=+∈与()212b e e =--共线,则( )A ．λ=0B ．λ=-1C ．λ=-2D ．λ=-12【答案】D【解析】由已知得存在实数k 使a kb =,即()12212e e k e e λ+=--,于是1=2k 且λ=-k ,解得λ=-12. 2．设,a b 是不共线的两个非零向量，已知2AB a pb =+，,2BC a b CD a b =+=-，若,,A B D 三点共线，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．-2D ．-1【答案】D【解析】因为,,A B C ，故存在实数λ，使得AB BD λ=，又2BD a b =-，所以22a pb a b λλ+=-，故1,1p λ==-，故选D.3．判断下列各小题中的向量a 与b 是否共线：（1）2a e =-，2b e =；（2）12a e e =-，1222b e e =-+．【答案】（1）a 与b 共线；（2）a 与b 共线．【解析】（1）2b e a ==-，所以a 与b 共线；（2）1212222()2b e e e e a ==-=-+--，所以a 与b 共线．4．已知向量m ，n 不是共线向量，32a m n =+，64b m n =-，c m xn =+（1）判断a ，b 是否共线；（2）若a c ，求x 的值 【答案】（1）a 与b 不共线.（2）23x = 【解析】（1）若a 与b 共线，由题知a 为非零向量，则有b a λ=，即()6432m n m n λ-=+， ∴6342λλ=⎧⎨-=⎩得到2λ=且2λ=-，∴λ不存在，即a 与b 不平行.（2）∵a c ∥，则c ra =，即32m xn rm rn +=+，即132r x r=⎧⎨=⎩，解得23x =. 5．已知非零向量12,e e 不共线，且122AP e e =-，1234PB e e =-+，122CQ e e =--，1245QD e e =-，能否判定A ，B ，D 三点共线？请说明理由．【答案】无法判定A ，B ，D 三点共线，见解析【解析】无法判定A ，B ，D 三点共线，证明如下：()()1212122343AB AP PB e e e e e e =+=-+-+=-+， ()()12121224526CD CQ QD e e e e e e =+=--+-=-，所以2CD AB =-，所以向量AB 与CD 共线．由于向量共线包括对应的有向线段平行与共线两种情况，所以无法判定A ，B ，D 三点共线．6.设12,e e 是两个不共线向量，已知1228AB e e =-，123CB e e =+，122CD e e =-．若123BF e ke =-，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．【答案】12k =【解析】()()12121212234,3BD CD CB e e e e e e BF e ke =-=--+=-=-， ∵B ，D ，F 三点共线，∴BF BD λ=，即121234e ke e e λλ-=-． 由题意知12,e e 不共线，得34k λλ=⎧⎨-=-⎩，解得12k =． 7．已知12,e e 是两个不共线的向量，若1228AB e e =-，123CB e e =+，122CD e e =-，求证：A ，B ，D 三点共线．【答案】见解析【解析】∵123CB e e =+，122CD e e =-，∴214BD CD CB e e =-=-．又()12122824AB e e e e =-=-，∴，∴AB BD ．∵AB 与BD 有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．8．如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD a = ，AB b =,M 为AB 的中点,点N 在DB 上,且2DN NB =.证明:M ,N ,C 三点共线.【答案】证明见解析【解析】∵2DN NB =, ∴111()()333NB DB AB AD b a ==-=-. 连接,MN NC ,则1111()2363MN MB BN MB NB b b a b a =+=-=--=+,2122()333NC DC DN AB NB b b a b a =-=-=--=+, ∴2NC MN =,∴NC 与MN 共线. 又NC 与MN 有公共点N ,∴M ,N ,C 三点共线.9．如图,点C 是点B 关于点A 的对称点,点D 是线段OB 的一个靠近点B 的三等分点,设,AB a AO b ==.(1)用向量a 与b 表示向量,OC CD ;(2)若45OE OA =,求证:C ,D ,E 三点共线.【答案】(1)OC b a =--,5133CD a b =+;(2)证明见解析. 【解析】(1)∵AB a =,AO b =,∴OC OA AC b a =+=--,11151()2()33333CD CB BD CB BO CB BA AO a a b a b =+=+=++=+-+=+. (2)证明: 45OE OA = ()413555CE OE OC b a b a b CD ∴=-=-++=+=, ∴CE 与CD 平行,又∵CE 与CD 有共同点C ,∴C ，D ，E 三点共线.10．如图所示，已知D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 的中点，延长CD 至点M 使DM CD =，延长BE 至点N 使BE EN =，求证：M ，A ，N 三点共线．【答案】见解析【解析】连接BM ，CN （图略）．∵D 为MC 的中点，且D 为AB 的中点，∴四边形ACBM 为平行四边形，∴AB AM AC =+，∴AM AB AC CB =-=．同理可证，AN AC AB BC =-=．∴AM AN =-，∴AM ，AN 共线且有公共点A ，∴M ，A ，N 三点共线．。
平面向量的综合应用
2021年新高考数学总复习第五章《平面向量与复数》平面向量的综合应用1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ＝a·b|a||b|(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝a2＝x2＋y2，其中a＝(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题．2．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．3．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s 的夹角)．4．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．概念方法微思考1．根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？提示 (1)线段的长度问题．(2)直线或线段平行问题．(3)直线或线段垂直问题．(4)角的问题等．2．如何用向量解决平面几何问题？提示 用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ )(2)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(3)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是菱形．( √ )(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )题组二 教材改编2．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3，4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)，∴|AB →|＝22＋(－2)2＝22，|AC →|＝16＋64＝45，|BC →|＝36＋36＝62，∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2，∴△ABC 为直角三角形．3．平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是____________．答案 x ＋2y －4＝0解析 由OP →·OA →＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4，即x ＋2y ＝4.题组三 易错自纠。
常考问题平面向量的线性运算及综合应用
常考问题平面向量的线性运算及综合应用部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑常考问题8平面向量的线性运算及综合应用[真题感悟] 1．(2018·辽宁卷>已知点A(1,3>，B(4，－1>，则与向量A错误!同方向的单位向量为( >．b5E2RGbCAPA.错误!B.错误!p1EanqFDPwC.错误!D.错误!DXDiTa9E3d解读A错误!＝(4，－1>－(1,3>＝(3，－4>，∴与A错误!同方向的单位向量为错误!＝错误!.RTCrpUDGiT答案A 2．(2018·福建卷>在四边形ABCD中，错误!＝(1,2>，错误!＝(－4,2>，则该四边形的面积为( >5PCzVD7HxAA.错误!B．2错误!C．5D．10解读因为错误!·错误!＝0，所以错误!⊥错误!.jLBHrnAILg 故四边形ABCD的面积S＝错误!|错误!||错误!|＝错误!×错误!×2错误!＝5.xHAQX74J0X答案C 3．(2018·湖北卷>已知点A(－1,1>，B(1,2>，C(－2，－1>，D(3,4>，则向量错误!在错误!方向上的投影为( >LDAYtRyKfEA.错误!B.错误!C. －错误!D．－错误!解读错误!＝(2,1>，错误!＝(5,5>，所以错误!在错误!方向上的投Zzz6ZB2Ltk影为错误!＝错误!＝错误!＝错误!.dvzfvkwMI1答案A 4．(2018·新课标全国Ⅰ卷>已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t>b.若b·c＝0，则t＝________.rqyn14ZNXI 解读因为向量a，b为单位向量，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b＝错误!，由b·c＝0，得∴b·c＝ta·b＋(1－t>·b2＝错误!t＋(1－t>×12＝错误!t＋1－t＝1－错误!t＝0.∴t＝2.EmxvxOtOco答案2 5．(2018·山东卷>已知向量错误!与错误!的夹角为120°，且|错误!|＝3，|错误!|＝2.若A错误!＝λ错误!＋错误!，且错误!⊥错误!，则实数λ的值为________．SixE2yXPq5解读由错误!⊥错误!知错误!·错误!＝0，即错误!·错误!＝(λ错误!＋错误!>·(错误!－错误!>＝(λ－1>错误!·错误!－λA 错误!2＋错误!2＝(λ－1>×3×2×错误!－λ×9＋4＝0，解得λ＝错误!.6ewMyirQFL答案错误![考题分析]题型选择题、填空题难度低档考查平面向量的有关概念(如单位向量>、数量积的运算(求模与夹角等>．中档在平面几何中，求边长、夹角及数量积等．高档在平面几何中，利用数量积的计算求参数值等.1．向量的概念(1>零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2>长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±错误!.(3>方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量>．(4>如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k>是直线l的一个方向向量．(5>|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影．2．两非零向量平行、垂直的充要条件设a＝(x1，y1>，b＝(x2，y2>，(1>若a∥b⇔a＝λb(λ≠0>；a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.(2>若a⊥b⇔a·b＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.3．平面向量的性质(1>若a＝(x，y>，则|a|＝错误!＝错误!.(2>若A(x1，y1>，B(x2，y2>，则|A错误!|＝错误!.kavU42VRUs (3>若a＝(x1，y1>，b＝(x2，y2>，θ为a与b的夹角，则cosθ＝错误!＝错误!.y6v3ALoS89 4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量错误!＝错误!－错误!(其中O为我们所需要的任何一个点>，这个法则就是终点向量减去起点向量．M2ub6vSTnP 5．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立．0YujCfmUCw 6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.eUts8ZQVRd热点一平面向量的线性运算【例1】(2018·江苏卷>设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝错误!AB，BE＝错误!BC.若错误!＝λ1错误!＋λ2错误!(λ1，λ2为实数>，则λ1＋λ2的值为________．sQsAEJkW5T解读如图，错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!(错误!－错误!>＝－错误!错误!＋错误!错误!，则λ1＝－错误!，λ2＝错误!，λ1＋λ2＝错误!.GMsIasNXkA答案错误![规律方法]在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1>题就是把向量错误!用TIrRGchYzg 错误!，错误!表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数．7EqZcWLZNX【训练1】(2018·天津卷>在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若错误!·错误!＝1，则AB的长为________．lzq7IGf02E 解读在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则错误!＝错误!，∴错误!＝错误!＝错误!－错误!错误!，又错误!＝错误!＋错误!，zvpgeqJ1hk ∴错误!·错误!＝(错误!＋错误!>·(错误!－错误!错误!>＝错误!2－错误!错误!·错误!＋错误!·错误!－错误!错误!2＝|错误!|2＋错误!|错误!||错误!|·cos60°－错误!|错误!|2＝1＋错误!×错误!|错误!|－错误!|错误!|2＝1.NrpoJac3v1∴错误!|错误!|＝0，又|错误!|≠0，∴|错误!|＝错误!.1nowfTG4KI答案错误!热点二平面向量的数量积【例2】若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量b与a＋b的夹角为( >．A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!fjnFLDa5Zo 解读法一由已知|a＋b|＝|a－b|，两边平方，整理可得a·b＝0.①由已知|a＋b|＝2|a|，两边平方，整理可得a2＋b2＋2a·b＝4a2.②把①代入②，得b2＝3a2，即|b|＝错误!|a|.③而b·(a＋b>＝b·a＋b2＝b2，故cos〈b，a＋b〉＝错误!＝tfnNhnE6e5错误!＝错误!＝错误!.HbmVN777sL又〈b，a＋b〉∈[0，π]，所以〈b，a＋b〉＝错误!.法二如图，作O错误!＝a，O错误!＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则O错误!＝a＋b，B错误!＝a－b.V7l4jRB8Hs 由|a＋b|＝|a－b|，可知|O错误!|＝|B错误!|，所以平行四边形OACB是矩形．又|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，可得|O错误!|＝|B错误!|＝2|O错误!|，故在Rt△AOB中，|错误!|＝错误!83lcPA59W9＝错误!|O错误!|，故tan∠OBA＝错误!＝错误!，所以∠BOC＝∠OBA＝错误!.而〈b，a＋b〉＝∠BOC＝错误!.mZkklkzaaP答案A [规律方法]求解向量的夹角，关键是正确求出两向量的数量积与模．本例中有两种解法，其一利用已知向量所满足的条件和向量的几何意义求解，其二构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象．AVktR43bpw 【训练2】(2018·湖南卷>已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( >．ORjBnOwcEd A．[错误!－1，错误!＋1] B．[错误!－1，错误!＋2]2MiJTy0dTTC．[1，错误!＋1] D．[1，错误!＋2]解读由a，b为单位向量且a·b＝0，可设a＝(1,0>，b＝(0,1>，又设c＝(x，y>，代入|c－a－b|＝1得(x－1>2＋(y－1>2＝1，又|c|＝错误!，故由几何性质得错误!－1≤|c|≤错误!＋1，即错误!－1≤|c|≤错误!＋1.答案A热点三平面向量与三角函数的综合【例3】已知向量m＝(sinx，－1>，n＝(cosx,3>．(1>当m∥n时，求错误!的值；(2>已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，错误!c＝2asin(A＋B>，函数f(x>＝(m＋n>·m，求f错误!的取值范围．gIiSpiue7A解(1>由m∥n，可得3sinx＝－cosx，于是tanx＝－错误!，∴错误!＝错误!＝错误!＝－错误!.uEh0U1Yfmh(2>在△ABC中A＋B＝π－C，于是sin(A＋B>＝sinC，由正弦定理，得错误!sinC＝2sinAsinC，∵sinC≠0，∴sinA＝错误!.又△ABC为锐角三角形，∴A＝错误!，于是错误!<B<错误!.∵f(x>＝(m＋n>·m＝(sinx＋cosx,2>·(sinx，－1>＝sin2x＋sinxcosx－2＝错误!＋错误!sin2x－2＝错误!sin错误!－错误!，IAg9qLsgBX ∴f错误!＝错误!sin错误!－错误!＝错误!sin2B－错误!.由错误!<B<错误!得错误!<2B<π，∴0<sin2B≤1，－错误!<错误!sin2B－错误!≤错误!－错误!，WwghWvVhPE即f(B＋错误!>∈错误!.asfpsfpi4k [规律方法]在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．ooeyYZTjj1【训练3】(2018·江苏卷>已知向量a＝(cosα，sinα>，b＝(cosβ，sinβ>，0<β<α<π.BkeGuInkxI(1>若|a－b|＝错误!，求证：a⊥b；(2>设c＝(0,1>，若a＋b＝c，求α，β的值．(1>证明由|a－b|＝错误!，即(cosα－cosβ>2＋(sinα－sinβ>2＝2，整理得cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即a·b＝0，因此a⊥b.PgdO0sRlMo(2>解由已知条件得错误!3cdXwckm15 cosβ＝－cosα＝cos(π－α>，由0<α<π，得0<π－α<π，又0<β<π，故β＝π－α.则sinα＋sin (π－α>＝1，即sinα＝错误!，故α＝错误!或α＝错误!.当α＝错误!时，β＝错误!(舍去>h8c52WOngM 当α＝错误!时，β＝错误!.审题示例(四> 突破有关平面向量问题的思维障碍图1解读法一设直角三角形ABC的两腰长都为4，如图1所示，以C为原点，CA，CB所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则A(4,0>，B(0,4>，因为D为AB的中点，所以D(2,2>．因为P为CD的中点，所以P(1,1>．故|PC|2＝12＋12＝2，|PA|2＝(4－1>2＋(0－1>2＝10，|PB|2＝(0－1>2＋(4－1>2＝10，所以错误!＝错误!＝10.v4bdyGious图2法二如图2所示，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别作为x轴，y轴建立平面直角坐标系．设|CA|＝a，|CB|＝b，则A(a,0>，B(0，b>，则D错误!，P错误!，J0bm4qMpJ9∴|PC|2＝错误!2＋错误!2＝错误!＋错误!，XVauA9grYP|PB|2＝错误!2＋错误!2＝错误!＋错误!，bR9C6TJscw|PA|2＝错误!2＋错误!2＝错误!＋错误!，pN9LBDdtrd 所以|PA|2＋|PB|2＝10错误!＝10|PC|2，DJ8T7nHuGT∴错误!＝10.法三如图3所示，取相互垂直的两个向量C错误!＝a，C错误!＝b 作为平面向量的基向量，显然a·b＝0.QF81D7bvUA图3则在△ABC中，B错误!＝a－b，因为D为AB的中点，所以C错误!＝错误!(a＋b>．4B7a9QFw9h 因为P为CD的中点，所以P错误!＝－错误!C错误!＝－错误!×错误!(a＋b>＝－错误!(a＋b>．在△CBP中，P错误!＝P错误!＋C 错误!＝－错误!(a＋b>＋b＝－错误!a＋错误!b，在△CAP中，P 错误!＝P错误!＋C错误!＝－错误!(a＋b>＋a＝错误!a－错误!b.所以|P错误!|2＝错误!2＝错误!(a2＋b2＋2a·b>＝错误!(|a|2＋|b|2>，|P错误!|2＝错误!2＝错误!a2＋错误!b2－错误!a·b＝错误!|a|2＋错误!|b|2，|P错误!|2＝错误!2＝错误!a2＋错误!b2－错误!a·b＝错误!|a|2＋错误!|b|2.故错误!＝错误!＝10.ix6iFA8xoX答案D 方法点评以上根据向量数与形的基本特征，结合题目中的选项以及直角三角形的条件，从三个方面提出了不同的解法，涉及向量的基本运算、坐标运算等相关知识，在寻找解题思路时，应牢牢地把握向量的这两个基本特征．wt6qbkCyDE [针对训练]在△ABC中，已知BC＝2，错误!·错误!＝1，则△ABC的面积S△ABC最大值是________．Kp5zH46zRk解读以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－1,0>，C(1,0>．设A(x，y>，则错误!＝(－1－x，－y>，错误!＝(1－x，－y>，于是错误!·错误!＝(－1－x>(1－x>＋(－y>(－y>＝x2－1＋y2.Yl4HdOAA61由条件错误!·错误!＝1知x2＋y2＝2，ch4PJx4BlI这表明点A在以原点为圆心，错误!为半径的圆上．当OA⊥BC时，△ABC面积最大，即S△ABC＝错误!×2×错误!＝错误!.(建议用时：60分钟>1．(2018·陕西卷>设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( >．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解读由|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，则有cos〈a，b〉＝±1.即〈a，b〉＝0或π，所以a∥b.由a∥b，得向量a与b同向或反向，所以〈a，b〉＝0或π，所以|a·b|＝|a||b|.qd3YfhxCzo答案C 2．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝错误!则|b|等于( >．E836L11DO5A．5B．4C．3D．1解读向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝错误!，则a·b＝|a||b|·cos120°＝－错误!|b|，|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.所以13＝9－3|b|＋|b|2，则|b|＝－1(舍去>或|b|＝4.答案B 3．(2018·辽宁一模>△ABC中D为BC边的中点，已知A错误!＝a，A错误!＝b则在下列向量中与A错误!同向的向量是( >．S42ehLvE3MA.错误!＋错误!B.错误!－错误!501nNvZFisC.错误!D．|b|a＋|a|b解读∵A错误!＝错误!(A错误!＋A错误!>＝错误!(a＋b>，jW1viftGw9∴向量错误!与向量A错误!是同向向量．xS0DOYWHLP答案C 4．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a与b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，则向量a与c的夹角为( >．LOZMkIqI0wA．30°B．60°C．120°D．150°解读因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b>．所以|c|2＝(a＋b>2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cos60°＝3.所以|c|＝错误!.ZKZUQsUJed 又c·a＝－(a＋b>·a＝－a2－a·b＝－1－cos60°＝－错误!，设向量c与a的夹角为θ，则cosθ＝错误!＝错误!＝－错误!.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.dGY2mcoKtT答案D5．(2018·安徽卷>在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|错误!|＝|错误!|＝错误!·错误!＝2，则点集{P|错误!＝λ错误!＋μ错误!，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( >．rCYbSWRLIA A．2错误!B．2错误!C．4错误!D．4错误!FyXjoFlMWh 解读由|错误!|＝|错误!|＝错误!·错误!＝2，知cos∠AOB＝错误!，又0≤∠AOB≤π，则∠AOB＝错误!，又A，B是两定点，可设A(错误!，1>，B(0,2>，P(x，y>，由错误!＝λ错误!＋μ错误!，可得错误!⇒错误!TuWrUpPObX 因为|λ|＋|μ|≤1，所以错误!＋错误!≤1，当错误!7qWAq9jPqE 由可行域可得S0＝错误!×2×错误!＝错误!，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S＝4S0＝4错误!，故选D.llVIWTNQFk答案D 6．(2018·新课标全国Ⅱ卷>已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则错误!·错误!＝________.yhUQsDgRT1解读由题意知：错误!·错误!＝(错误!＋错误!>·(错误!－错误!>＝(错误!＋错误!错误!>·(错误!－错误!>＝错误!2－错误!错误!·错误!－错误!错误!2＝4－0－2＝2.MdUZYnKS8I答案2 7．(2018·江西卷>设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为错误!，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．09T7t6eTno 解读a在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉＝错误!.∵a·b＝(e1＋3e2>·2e1＝2e错误!＋6e1·e2＝5.|b|＝|2e1|＝2.∴错误!＝错误!.答案错误! 8．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰DC上的动点，则|P错误!＋3P错误!|的最小值为______．e5TfZQIUB5解读建立如图所示的直角坐标系，设DC＝m，P(0，t>，t∈[0，m]，由题意可知，A(2,0>，B(1，m>，P错误!＝(2，－t>，P错误!＝(1，m－t>，P错误!＋3P错误!＝(5,3m－4t>，|P错误!＋3P 错误!|＝错误!≥5，当且仅当t＝错误!m时取等号，即|P错误!＋3P错误!|的最小值是5.s1SovAcVQM答案59．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为错误!，|OB|＝2，设∠AOB＝θ，θ∈错误!.GXRw1kFW5s(1>用θ表示点B的坐标及|OA|；(2>若tanθ＝－错误!，求O错误!·O错误!的值．UTREx49Xj9解(1>由题意，可得点B的坐标为(2cosθ，2sinθ>．在△ABO中，|OB|＝2，∠BAO＝错误!，∠B＝π－错误!－θ＝错误!－θ.由正弦定理，得错误!＝错误!，8PQN3NDYyP即|OA|＝2错误!sin错误!.mLPVzx7ZNw(2>由(1>，得O错误!·O错误!＝|O错误!||O错误!|cosθAHP35hB02d＝4错误!sin错误!cosθ.NDOcB141gT因为tanθ＝－错误!，θ∈错误!，1zOk7Ly2vA所以sinθ＝错误!，cosθ＝－错误!.又sin错误!＝sin错误!cosθ－cos错误!sinθ＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!，fuNsDv23Kh 故O错误!·O错误!＝4错误!×错误!×错误!＝－错误!.tqMB9ew4YX 10．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m ＝(a，b>，n＝(sinB，sinA>，p＝(b－2，a－2>．HmMJFY05dE(1>若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2>若m⊥p，边长c＝2，C＝错误!，求△ABC的面积．(1>证明因为m∥n，所以asinA＝bsinB，即a·错误!＝b·错误!(其中R是△ABC外接圆的半径>，所以a＝b.所以△ABC为等腰三角形．ViLRaIt6sk(2>解由题意，可知m·p＝0，即a(b－2>＋b(a－2>＝0，所以a＋b ＝ab，由余弦定理，知4＝c2＝a2＋b2－2abcos错误!＝(a＋b>2－3ab，即(ab>2－3ab－4＝0，所以ab＝4或ab＝－1(舍去>．9eK0GsX7H1所以S△AB C＝错误!absinC＝错误!×4×sin错误!＝错误!.naK8ccr8VI11．如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π>，C点坐标为(－2,0>，平行四边形OAQP的面积为S.B6JgIVV9ao(1>求O错误!·O错误!＋S的最大值；P2IpeFpap5(2>若CB∥OP，求sin错误!的值．3YIxKpScDM解(1>由已知，得A(1,0>，B(0,1>，P(cos θ，sin θ>，因为四边形OAQP是平行四边形，所以O错误!＝O错误!＋O错误!＝(1,0>＋(cosθ，sinθ>gUHFg9mdSs＝(1＋cosθ，sinθ>．所以O错误!·O错误!＝1＋cos θ.uQHOMTQe79又平行四边形OAQP的面积为S＝|O错误!|·|O错误!|sinθ＝sinθ，IMGWiDkflP 所以O错误!·O错误!＋S＝1＋cosθ＋sinθ＝错误!sin错误!＋1.WHF4OmOgAw又0<θ<π，所以当θ＝错误!时，O错误!·O错误!＋S的最大值为错误!＋1.aDFdk6hhPd(2>由题意，知C错误!＝(2,1>，O错误!＝(cosθ，sinθ>，ozElQQLi4T因为CB∥OP，所以cosθ＝2sinθ.又0<θ<π，cos2θ＋sin2θ＝1，解得sinθ＝错误!，cosθ＝错误!，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝错误!，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝错误!.CvDtmAfjiA 所以sin错误!＝sin2θcos错误!－cos2θsin错误!＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!.QrDCRkJkxh申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算在数学中，平面向量是向量的一种，它在平面内具有长度和方向，可以用有向线段表示。
平面向量之间可以进行线性运算，包括加法和数乘。
本文将详细介绍平面向量的线性运算及其性质。
一、平面向量的定义平面向量是指具有大小和方向的向量，它们通常用加粗的小写字母表示，如a、a等。
平面向量可以用有向线段表示，线段的起点表示向量的起点，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
二、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个平面向量a和a，它们的加法定义为：a + a = a + a这意味着向量的加法满足交换律，顺序不影响结果。
加法的几何解释为将两个向量的起点相连，然后将它们的箭头相连，新向量的起点与第一个向量的起点相同，终点与第二个向量的终点相同。
三、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
设有一个平面向量a和一个实数a，它们的数乘定义为：aa = aa数乘有以下性质：1. 数乘满足结合律：(aa)a = a(aa)，其中a和a为实数。
2. 数乘满足分配律：(a + a)a = aa + aa，其中a和a为实数。
3. 数乘满足分配律：a(a + a) = aa + aa，其中a为实数，a和a为平面向量。
四、线性组合线性组合是指将一组向量与一组实数相乘并求和得到一个新的向量。
设有a个平面向量a₁、a₂、...、aa和a个实数a₁、a₂、...、aa，它们的线性组合定义为：a₁a₁ + a₂a₂ + ... + aaaa线性组合是向量加法和数乘的联合运算，这个概念在线性代数中具有重要的应用。
五、线性运算的性质1. 交换律：向量加法满足交换律，即a + a = a + a。
2. 结合律：向量加法满足结合律，即(a + a) + a = a + (a + a)，其中a、a和a为平面向量。
3. 分配律：向量加法和数乘满足分配律，即a(a + a) = aa + aa，(a + a)a = aa + aa，其中a、a为实数，a和a为平面向量。
8.第八讲：平面向量的坐标表示与线性运算
二．考点梳理 1．平面向量基本定理：如果 e 1 、e 2 是同一 平面内的两个不共线向量，那么对这一平
面内的任一向量 a ，有且只有一对实
数 1 、 2 ，使 a1e12e2 ．我们把不
共线向量 e 1 、e 2 叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底．
注意:
（1）基底不唯一，关键是不共线；
， O，D OD
OO
==
．．
A A C CD D B B
分析：以 OA ，OB 为基底，借助 C 、D 是 AB
的三等分点，由平面向量的基本定理可以将 OC 、 OD 线性表出．
解：因为 C 、 D 是 AB 的三等分点，所以
AC 1 AB ， BD 1 AB ,
3
3
OC OA AC OA 1 AB OA 1 (OB OA)
② 若 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则 AB DC 是四边形 ABCD为平行四边形的充要条件； ③ 若 a b ， b = c ，则 a = c ；
④ a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ；
⑤ 若 a // b ， b // c ，则 a // c ，其中正确的序 号是
4．平面向量的坐标运算 （1）若 a(x1,y1)，b(x2,y2) ， 则 a b ( x 1 i y 1 j ) ( x 2 i y 2 j ) ，由向量线性 运算的结合律和分配律，可得
a b ( x 1 i y 1 j ) ( x 2 i y 2 j ) ( x 1 x 2 ) i ( y 1 y 2 ) j
这样，平面内的任一向量 a 都可以由 x 、y
唯一确定，我们把有序数对( x , y ) 叫做向量
a 的（直角）坐标，记作：a(x,y).
向量的线性运算技巧及练习题含答案
向量的线性运算技巧及练习题含答案一、选择题1．如果向量a 与单位向量e 的方向相反，且长度为3，那么用向量e 表示向量a 为（ ）A ．3a e =B ．3a e =-C ．3e a =D ．3e a =-【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的定义解答即可．【详解】解：∵向量e 为单位向量，向量a 与向量e 方向相反，∴3a e =-．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2．在四边形ABCD 中，，，，其中与不共线，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形 【答案】C【解析】【分析】 利用向量的运算法则求出，利用向量共线的充要条件判断出，得到边AD ∥BC ，AD=2BC ，据梯形的定义得到选项. 【详解】 解：∵， ∴，∴AD ∥BC ，AD=2BC.∴四边形ABCD 为梯形.【点睛】本题考查向量的运算法则向量共线的充要条件、利用向量共线得到直线的关系、梯形的定义.3．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( )A ．｜2｜＞｜-2｜B ．｜2｜＜｜-2｜C ．｜2｜＞｜2-｜D ．｜2｜＜｜2-｜【答案】A【解析】【分析】 对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有，即可确定A 、C 满足；当两向量不共线，构造三角形，从而排除C ，进而解答本题.【详解】 解：若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有；代入可知只有A 、C 满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC ； 令， ，则， ∴且； 又BA+BC>AC ∴ ∴. 故选A.【点睛】本题考查了非零向量的模，针对向量是否共线和构造三角形是解答本题的关键.4．在矩形ABCD 中，如果AB 3BC 模长为1，则向量（AB +BC +AC ） 的长度为（ ）A ．2B ．4C 31D 31【答案】B【解析】【分析】先求出AC AB BC =+，然后2AB BC AC AC ++=，利用勾股定理即可计算出向量（AB +BC +AC ）的长度为【详解】 22||3,||1||(3)122|||2|224AB BC AC AC AB BCAB BC AC ACAB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==⨯=∴故选：B.【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.5．若AB 是非零向量，则下列等式正确的是（ ）A ．AB BA =；B ．AB BA =；C ．0AB BA +=；D ．0AB BA +=.【答案】B【解析】【分析】 长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果【详解】∵AB 是非零向量, ∴AB BA =故选B【点睛】此题考查平面向量，难度不大6．下列判断正确的是( )A ．0a a -=B ．如果a b =，那么a b =C ．若向量a 与b 均为单位向量，那么a b =D ．对于非零向量b ，如果()0a k b k =⋅≠，那么//a b【答案】D【解析】【分析】根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案.【详解】 A. -a a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误；B. 如果a b =，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误；C. 若向量a 与b 均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误；D. 对于非零向量b ，如果()0a k b k =⋅≠，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b ，故D 正确.故答案为D.【点睛】本题考查向量的性质以及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.7．如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a,BC k ，那么向量AO 用向量a b ⋅表示为（ ）A ．12a bB ．2133a bC ．2233a bD ．1124a b 【答案】B【解析】【分析】 利用三角形的重心性质得到： 23AO AD ；结合平面向量的三角形法则解答即可． 【详解】∵在△ABC 中，AD 是中线， BCb ， ∴11BDBC b 22． ∴1b 2AD AB BD a又∵点O 是△ABC 的重心， ∴23AOAD ， ∴221AO AD a b 333． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出23AOAD 是解题的关键．8．若向量a 与b 均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．A ．a b =B ．1a =C ．1b =D ．a b =【答案】D【解析】【分析】由向量a 与b 均为单位向量，可得向量a 与b 的模相等，但方向不确定．【详解】解：∵向量a 与b 均为单位向量，∴向量a 与b 的模相等， ∴a b =. 故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．9．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=，=， =，=，则 （ ） A ．+++= B ．-+-= C ．+--=D ．--+= 【答案】B【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项．【详解】根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D 错误；；而； ∴B 正确. 故选B.【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.10．下列各式正确的是（ ）．A ．()22a b c a b c ++=++B ．()()330a b b a ++-=C ．2AB BA AB +=D ．3544a b a b a b ++-=- 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量计算法则依次判断即可.【详解】A 、()222a b c a b c ++=++，故A 选项错误；B 、()()3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-，故B 选项错误；C 、0AB BA +=，故C 选项错误；D 、3544a b a b a b ++-=-，故D 选项正确；故选D.【点睛】本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.11．已知a 、b 、c 都是非零向量，如果2a c =，2b c =-，那么下列说法中，错误的是（ ）A ．//a bB ．a b =C ．72BD = D ．a 与b 方向相反【答案】C【解析】【分析】利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答.【详解】 解：已知2a c ＝，2b c -＝，故a b ，是长度相同，方向相反的相反向量，故A ,B ,D 正确，向量之和是向量，C 错误，故选C.【点睛】本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用相等向量与相反向量的定义判断A 、B 、D 三项结论正确.12．下列说法正确的是（ ）A ．()0a a +-=B ．如果a 和b 都是单位向量，那么a b =C ．如果||||a b =，那么a b =D ．12a b =-（b 为非零向量），那么//a b【答案】D【解析】【分析】根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案.【详解】解：A 、()a a +-等于0向量，而不是0，故A 选项错误；B 、如果a 和b 都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误；C 、如果||||a b =，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；D 、如果12a b =-（b 为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b ，故D 选项正确.故选：D.【点睛】本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.13．化简()()AB CD BE DE -+-的结果是（ ）．A ．CAB ．AC C ．0D ．AE【答案】B【解析】【分析】根据三角形法则计算即可解决问题．【详解】解：原式()()AB BE CD DE =+-+AE CE =- AE EC =+AC =，故选：B ．【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．14．下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ ）A ．AB BA =-B ．AB BA =C ．AB BCAC D ．AB BC AB BC +=+ 【答案】D【解析】【分析】根据向量的性质，逐一判定即可得解.【详解】A 选项，AB BA =-，成立；B 选项，AB BA =，成立；C 选项，AB BC AC ，成立；D 选项，AB BC AB BC +=+不一定成立；故答案为D.【点睛】此题主要考查向量的运算,熟练掌握,即可解题.15．已知c 为非零向量， 3a c =， 2b c =-，那么下列结论中错误的是（ ）A ．//a bB ．3||||2a b =C ．a 与b 方向相同D ．a 与b 方向相反【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】∵ 3a c =， 2b c =- ∴3a b 2=-， ∴a ∥b ，32a b =- a 与b 方向相反，∴A ，B ，D 正确，C 错误；故选：C ．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如果a b c +=，3a b c -=，且0c ≠，下列结论正确的是A ．=a bB ．20a b +=C ．a 与b 方向相同D ．a 与b 方向相反【答案】D【解析】【分析】根据向量的性质进行计算判断即可. 【详解】解：将a b c +=代入3a b c -=，计算得：-2a b =（方向相反）.故选：D【点睛】本题考查了向量的性质，熟悉向量的性质是解题的关键.17．已知非零向量a 、b 和c ，下列条件中，不能判定a b 的是（ ）A ．2a b =-B ．a c =，3b c =C ．2a b c +=，a b c -=-D ．2a b =【答案】D【解析】【分析】根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求【详解】A 、2a b =-，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；B 、a c =，3b c =，则a ∥b ∥c ，故本选项错误；C 、由已知条件知2a b =-，3a c -=，则a ∥b ∥c ，故本选项错误；D 、2a b =只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，a 与b 不一定平行，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键．18．如果2a b =（a ，b 均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）A ．a //bB ．a -2b =0C ．b =12aD ．2a b =【答案】B【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b -= 故错误.故选B.19．已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中，正确的是（ ）A ．12CA AB = B ．12CB AB = C ．0AC BC += D ．0AC CB +=【答案】B【解析】 根据题意画出图形，因为点C 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答． 解：A 、12CA BA =，故本选项错误；B 、12CB AB =，故本选项正确；C 、0AC BC +=，故本选项错误；D 、AC CB AB +=，故本选项错误．故选B ．20．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =，AC b =，则AM 等于（ ）．A ．()12a b - B ．()12b a - C ．()12a b + D ．()12a b -+ 【答案】C【解析】【分析】 根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-，然后根据中线的定义可得：()12CM a b =-，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM . 【详解】解：∵AB a =，AC b =∴CB AB AC a b =-=-∵AM 是ABC △的边BC 上的中线∴()1122CM CB a b ==- ∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+故选C.【点睛】此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.。
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常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用[真题感悟]1．(2013·辽宁卷)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解析 A B →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案 A2．(2013·福建卷)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10解析 因为AC →·BD →＝0，所以AC →⊥BD →.故四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →|＝12×5×25＝5.答案 C3．(2013·湖北卷)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152C. －322 D ．－3152解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，所以AB →在CD →方向上的投 影为AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52＝1552＝322. 答案 A4．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.解析 因为向量a ，b 为单位向量，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝12，由b·c ＝0，得∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )·b 2＝12t ＋(1－t )×12＝12t ＋1－t ＝1－12t ＝0.∴t ＝2.答案 25．(2013·山东卷)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．解析 由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λA B →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712.答案712[考题分析]题型 选择题、填空题难度 低档 考查平面向量的有关概念(如单位向量)、数量积的运算(求模与夹角等)． 中档 在平面几何中，求边长、夹角及数量积等． 高档 在平面几何中，利用数量积的计算求参数值等.1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为±a|a |.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)|b |cos 〈a ，b 〉叫做b 在向量a 方向上的投影． 2．两非零向量平行、垂直的充要条件 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1)若a ∥b ⇔a ＝λb (λ≠0)；a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |A B →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN →＝ON →－OM →(其中O 为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．5．根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 互相垂直，反之也成立．6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.热点一 平面向量的线性运算【例1】 (2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE→＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析 如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12.答案 12[规律方法] 在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1)题就是把向量DE →用AB →，AC →表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数． 【训练1】 (2013·天津卷)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB→|·cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.答案 12热点二 平面向量的数量积【例2】 若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|＝2|a |， 则向量b 与a ＋b 的夹角为( )． A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π3解析 法一 由已知|a ＋b |＝|a －b |，两边平方，整理可得a·b ＝0.①由已知|a ＋b |＝2|a |，两边平方，整理可得a 2＋b 2＋2a ·b ＝4a 2.② 把①代入②，得b 2＝3a 2，即|b |＝3|a |.③ 而b ·(a ＋b )＝b ·a ＋b 2＝b 2，故cos 〈b ，a ＋b 〉＝b ·a ＋b |b |·|a ＋b |＝b 23|a |·2|a |＝3a223a2＝32. 又〈b ，a ＋b 〉∈[0，π]，所以〈b ，a ＋b 〉＝π6.法二 如图，作O A →＝a ，O B →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则O C →＝a ＋b ，B A →＝a －b .由|a ＋b |＝|a －b |，可知|O C →|＝|B A →|，所以平行四边形OACB 是矩形．又|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，可得|O C →|＝|B A →|＝2|O A →|，故在Rt △AOB 中，|OB →|＝|BA →|2－|OA →|2,)＝3|O A →|，故tan ∠OBA ＝|O A →||O B →|＝33，所以∠BOC ＝∠OBA ＝π6.而〈b ，a ＋b 〉＝∠BOC ＝π6.答案 A[规律方法] 求解向量的夹角，关键是正确求出两向量的数量积与模．本例中有两种解法，其一利用已知向量所满足的条件和向量的几何意义求解，其二构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象．【训练2】 (2013·湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )．A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2] 解析 由a ，b 为单位向量且a ·b ＝0， 可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，又设c ＝(x ，y )， 代入|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1， 又|c |＝x 2＋y 2，故由几何性质得12＋12－1≤|c |≤12＋12＋1， 即2－1≤|c |≤2＋1. 答案 A热点三 平面向量与三角函数的综合【例3】 已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(cos x,3)． (1)当m ∥n 时，求sin x ＋cos x3sin x －2cos x的值；(2)已知在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，3c ＝2a sin(A ＋B )，函数f (x )＝(m ＋n )·m ，求f ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π8的取值范围．解 (1)由m ∥n ，可得3sin x ＝－cos x ，于是tan x ＝－13，∴sin x ＋cos x 3sin x －2cos x ＝tan x ＋13tan x －2＝－13＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2＝－29.(2)在△ABC 中A ＋B ＝π－C ，于是 sin(A ＋B )＝sin C ， 由正弦定理，得3sin C ＝2sin A sin C ， ∵sin C ≠0，∴sin A ＝32.又△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3，于是π6<B <π2.∵f (x )＝(m ＋n )·m ＝(sin x ＋cos x,2)·(sin x ，－1)＝sin 2 x ＋sin x cos x －2＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －2＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π8＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π8－π4－32＝22sin2B －32.由π6<B <π2得π3<2B <π，∴0<sin2B ≤1，－32<22sin 2B －32≤22－32，即f (B ＋π8)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，22－32.[规律方法] 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．【训练3】 (2013·江苏卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．(1)证明 由|a －b |＝2，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cosαcos β＋sin αsin β＝0，即a ·b ＝0，因此a ⊥b .(2)解 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，cos β＝－cos α＝cos(π－α)，由0<α<π，得0<π－α<π，又0<β<π，故β＝π－α.则sin α＋sin (π－α)＝1，即sin α＝12，故α＝π6或α＝5π6.当α＝π6时，β＝5π6(舍去) 当α＝5π6时，β＝π6.审题示例(四) 突破有关平面向量问题的思维障碍图1解析法一设直角三角形ABC的两腰长都为4，如图1所示，以C为原点，CA，CB所在的直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，则A (4,0)，B (0,4)，因为D 为AB 的中点，所以D (2,2)．因为P 为CD 的中点，所以P (1,1)．故|PC |2＝12＋12＝2，|PA |2＝(4－1)2＋(0－1)2＝10，|PB |2＝(0－1)2＋(4－1)2＝10，所以|PA |2＋|PB |2|PC |2＝202＝10.图2法二 如图2所示，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线分别作为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设|CA |＝a ，|CB |＝b ，则A (a,0)，B (0，b )，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，b4，∴|PC |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 42＝a 216＋b216，|PB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 4－b 2＝a 216＋9b216，|PA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 42＝9a 216＋b216，所以|PA |2＋|PB |2＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫a 216＋b 216＝10|PC |2，∴|PA |2＋|PB |2|PC |2＝10. 法三 如图3所示，取相互垂直的两个向量C A →＝a ，C B →＝b 作为平面向量的基向量，显然a ·b ＝0.图3则在△ABC 中，B A →＝a －b ，因为D 为AB 的中点，所以C D →＝12(a ＋b )．因为P 为CD 的中点，所以P C →＝－12C D →＝－12×12(a ＋b )＝－14(a ＋b )．在△CBP 中，P B →＝P C→＋C B →＝－14(a ＋b )＋b ＝－14a ＋34b ，在△CAP 中，P A →＝P C →＋C A →＝－14(a ＋b )＋a ＝34a －14b .所以|P C →|2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14a ＋b 2＝116(a 2＋b 2＋2a ·b )＝116(|a |2＋|b |2)，|P B →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋34b 2＝116a 2＋916b 2－38a ·b ＝116|a |2＋916|b |2，|P A →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a －14b 2＝916a 2＋116b 2－38a ·b ＝916|a |2＋116|b |2.故|PA |2＋|PB |2|PC |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫916|a |2＋116|b |2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫116|a |2＋916|b |2116|a |2＋|b |2＝10.答案 D方法点评 以上根据向量数与形的基本特征，结合题目中的选项以及直角三角形的条件，从三个方面提出了不同的解法，涉及向量的基本运算、坐标运算等相关知识，在寻找解题思路时，应牢牢地把握向量的这两个基本特征．[针对训练] 在△ABC 中，已知BC ＝2，AB →·AC →＝1，则△ABC 的面积S △ABC 最大值是________． 解析 以线段BC 所在直线为x 轴， 线段BC 的垂直平分线为y 轴， 建立平面直角坐标系， 则B (－1,0)，C (1,0)．设A (x ，y )，则AB →＝(－1－x ，－y )， AC →＝(1－x ，－y )，于是AB →·AC →＝(－1－x )(1－x )＋(－y )(－y )＝x 2－1＋y 2. 由条件AB →·AC →＝1知x 2＋y 2＝2，这表明点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上． 当OA ⊥BC 时，△ABC 面积最大，即S △ABC ＝12×2×2＝ 2.(建议用时：60分钟)1．(2013·陕西卷)设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 由|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，则有cos 〈a ，b 〉＝±1.即〈a ，b 〉＝0或π，所以a ∥b .由a ∥b ，得向量a 与 b 同向或反向，所以〈a ，b 〉＝0或π，所以|a ·b |＝|a ||b |. 答案 C2．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13则|b | 等于( )． A ．5 B ．4 C ．3 D ．1解析 向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13， 则a ·b ＝|a ||b |·cos 120°＝－32|b |，|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.所以13＝9－3|b |＋|b |2，则|b |＝－1(舍去)或|b |＝4. 答案 B3．(2013·辽宁一模)△ABC 中D 为BC 边的中点，已知A B →＝a ，A C →＝b 则在下列向量中与A D →同向的向量是( )．A.a |a |＋b |b |B.a |a |－b|b | C.a ＋b|a ＋b |D ．|b |a ＋|a |b 解析 ∵A D →＝12(A B →＋A C →)＝12(a ＋b )，∴向量a ＋b |a ＋b |与向量A D →是同向向量． 答案 C4．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝1，则向量a 与c 的夹角为( )． A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°解析 因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )．所以|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2cos 60°＝3.所以|c |＝ 3.又c ·a ＝－(a ＋b )·a ＝－a 2－a ·b ＝－1－cos 60°＝ －32，设向量c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a ||c |＝－321×3＝－32.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.答案 D5．(2013·安徽卷)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB→＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )． A ．2 2 B ．2 3 C ．4 2 D ．43解析 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，知cos ∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝π3，又A ，B 是两定点，可设A (3，1)，B (0,2)，P (x ，y )，由OP →＝λOA →＋μOB →，可得⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝λ＋2μ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝33x ，μ＝y 2－36x .因为|λ|＋|μ|≤1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪33x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪y2－36x ≤1，当⎩⎨⎧x ≥0，3y －3x ≥0，时，3y ＋3x ≤6由可行域可得S 0＝12×2×3＝3，所以由对称性可知点P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝43，故选D. 答案 D6．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.解析 由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.答案 27．(2013·江西卷)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________． 解析 a 在b 方向上的射影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b|b |. ∵a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝5. |b |＝|2e 1|＝2. ∴a ·b |b |＝52. 答案 528．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3P B →|的最小值为______．解析 建立如图所示的直角坐标系，设DC ＝m ，P (0，t )，t ∈[0，m ]，由题意可知，A (2,0)，B (1，m )，P A →＝(2，－t )，P B →＝(1，m －t )，P A →＋3P B →＝(5,3m －4t )，|P A →＋3P B→|＝52＋3m －4t 2≥5，当且仅当t ＝34m 时取等号，即|P A →＋3P B →|的最小值是5.答案 59．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π4，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4.(1)用θ表示点B 的坐标及|OA |； (2)若tan θ＝－43，求O A →·O B →的值．解 (1)由题意，可得点B 的坐标为(2cos θ，2sin θ)．在△ABO 中，|OB |＝2，∠BAO ＝π4，∠B ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π－3π4－θ＝3π4－θ.由正弦定理，得|OB |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－34π＝|OA |sin B ， 即|OA |＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ.(2)由(1)，得O A →·O B →＝|O A →||O B →|cos θ ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θcos θ. 因为tan θ＝－43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以sin θ＝45，cos θ＝－35.又sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝sin 3π4cos θ－cos 3π4sin θ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×45＝210， 故O A →·O B →＝42×210×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－1225. 10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，C＝π3，求△ABC的面积．(1)证明因为m∥n，所以a sin A＝b sin B，即a ·a 2R ＝b ·b2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)，所以a ＝b .所以△ABC 为等腰三角形．(2)解 由题意，可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0，所以a ＋b ＝ab ，由余弦定理，知4＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0，所以ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.11．如图所示，A ，B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，C 点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP 的面积为S .(1)求O A →·O Q →＋S 的最大值； (2)若CB ∥OP ，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6的值．解 (1)由已知，得A (1,0)，B (0,1)，P (cos θ，sin θ)， 因为四边形OAQP 是平行四边形，所以O Q →＝O A →＋O P →＝(1,0)＋(cos θ，sin θ) ＝(1＋cos θ，sin θ)． 所以O A →·O Q →＝1＋cos θ. 又平行四边形OAQP 的面积为S ＝|O A →|·|O P →|sin θ＝sin θ，所以O A →·O Q →＋S ＝1＋cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1. 又0<θ<π，所以当θ＝π4时，O A →·O Q →＋S 的最大值为2＋1.(2)由题意，知C B →＝(2,1)，O P →＝(cos θ，sin θ)， 因为CB ∥OP ，所以cos θ＝2sin θ. 又0<θ<π，cos 2θ＋sin 2θ＝1， 解得sin θ＝55，cos θ＝255，4 5，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝35.所以sin2 θ＝2sin θcos θ＝所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝sin 2θcos π6－cos 2θsin π6＝45×32－35×12＝43－310.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。