常考问题8平面向量的线性运算及综合应用

常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用

[真题感悟]

1．(2013·辽宁卷)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →

同方向的单位向量为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4

5

，－35

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45

D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－45，35 解析 A B →

＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，

∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →|

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35

，－45.

答案 A

2．(2013·福建卷)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →

＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10

解析 因为AC →·BD →＝0，所以AC →⊥BD →.

故四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →|＝1

2×5×25＝5.

答案 C

3．(2013·湖北卷)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →

方向上的投影为( ) A.322 B.3152

C. －322 D ．－3152

解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，所以AB →在CD →

方向上的投 影为AB →·CD →

|CD →|＝2×5＋1×552＋52

＝1552＝322. 答案 A

4．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.

解析 因为向量a ，b 为单位向量，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝1

2，由b·c ＝0，

得∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )·b 2＝12t ＋(1－t )×12

＝12t ＋1－t ＝1－12t ＝0.∴t ＝2.

答案 2

5．(2013·山东卷)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC →

，且AP →⊥BC →

，则实数λ的值为________．

解析 由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λA B →

2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712.

答案

7

12

[考题分析]

题型 选择题、填空题

难度 低档 考查平面向量的有关概念(如单位向量)、数量积的运算(求模与夹角等)． 中档 在平面几何中，求边长、夹角及数量积等． 高档 在平面几何中，利用数量积的计算求参数值等.

1．向量的概念

(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为±a

|a |.

(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．

(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)|b |cos 〈a ，b 〉叫做b 在向量a 方向上的投影． 2．两非零向量平行、垂直的充要条件 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，

(1)若a ∥b ⇔a ＝λb (λ≠0)；a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的性质

(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2

＋y 2

. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |A B →

|＝

x 2－x 1

2

＋y 2－y 1

2

.

(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2

x 21＋y 21x 22＋y 22

.

4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN →＝ON →－OM →

(其中O 为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．

5．根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 互相垂直，反之也成立．

6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.

热点一 平面向量的线性运算

【例1】 (2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE

→＝λ1AB →＋λ2AC →

(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

解析 如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →

)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23

，

λ1＋λ2＝12

.

答案 1

2

[规律方法] 在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1)题就是把向量DE →

用

AB →，AC →

表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数． 【训练1】 (2013·天津卷)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →

＝1，则AB 的长为________．