分式混合运算的技巧
复杂算式分式与整式的混合运算
复杂算式分式与整式的混合运算在数学中，整式和分式是我们经常遇到的两种基本表达方式。
整式是由常数、变量和运算符号组成的代数表达式，而分式则是由整数或多项式分成的两个部分，其中一个作为分子，另一个作为分母。
本文将着重探讨复杂算式分式与整式的混合运算，以帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、复杂算式分式与整式的基本概念在进行复杂算式分式与整式的混合运算之前，我们首先需要了解两者的基本概念。
1. 整式：整式由常数、变量及其相应的运算符号（如加、减、乘、除等）组成。
例如，3x² + 2y - 5是一个整式，它包含了常数项3、变量项x²和y，以及运算符号的运算。
2. 分式：分式由一个分子和一个分母组成，它们分别是整数或多项式。
分子与分母之间用一条横线分隔。
例如，1/2是一个简单的分式，其中1是分子，2是分母。
需要注意的是，分式中的分母不能为0，否则分式将无法计算。
二、混合运算的步骤与方法当我们需要对复杂算式分式与整式进行混合运算时，可以按照以下步骤进行：1. 先进行整式之间的运算：将整式按照运算符的优先级进行计算，例如先进行乘法和除法，再进行加法和减法。
2. 再进行整式与分式之间的运算：将整式与分式相加或相减时，可以将整式视为分母为1的分式，然后进行通分计算。
3. 最后进行分式之间的运算：将分式按照通分的方法进行运算，即将分子和分母分别进行相应的运算，最后再化简结果。
需要注意的是，混合运算中需要遵循数学运算的基本规则，如乘法分配律、加法交换律、结合律等。
三、示例分析为了更好地理解混合运算的方法，我们来看一个具体的示例：例：计算表达式 3x² - 2 + 1/4x + 2/3 的值，其中x=2。
首先，我们将整式和分式分别进行计算，然后将它们相加。
整式部分：3x² - 2分式部分：1/4x + 2/3接下来，将整式和分式通分，得到：3x² - 2 + 1/4x + 2/3 = 3x² - 2 + 3/12x + 8/12然后，将整式和分式相加，得到：3x² - 2 + 3/12x + 8/12 = 3x² + 3/12x + 6/12化简分式的结果，得到：3x² + 3/12x + 6/12 = 3x² + 1/4x + 1/2最后，将x=2代入表达式，计算得到最终结果：3(2)² + 1/4(2) + 1/2 = 12 + 1/2 + 1/2 = 13因此，表达式的值为13。
分式混合运算中的技巧
分式运算的技巧【精练】计算：【分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其运算难度较大.不过我们注意到若把前两个分式相加,其结果却是非常简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.【解】===【知识大串联】1．分式的有关概念设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零,否则分式没有意义分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式,要进行约分化简2、分式的基本性质(M为不等于零的整式）3．分式的运算（分式的运算法则与分数的运算法则类似）．（异分母相加,先通分)；4．零指数5．负整数指数注意正整数幂的运算性质可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、 n可以是O或负整数．分式是初中代数的重点内容之一，其运算综合性强，技巧性大，如果方法选取不当，不仅使解题过程复杂化，而且出错率高．下面通过例子来说明分式运算中的种种策略，供同学们学习参考．1．顺次相加法例1:计算：【分析】本题的解法与例1完全一样。
【解】===2．整体通分法【例2】计算：【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（—a—1）看作一个整体，并提取“—”后在通分会使运算更加简便。
通常我们把整式看作分母是1的分式。
【解】==.3．化简后通分分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多．4．巧用拆项法例4计算:.分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a是整数），联想到，这样可抵消一些项.解：原式====5．分组运算法例5:计算：分析：本题项数较多,分母不相同。
因此，在进行加减时,可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便.解：=====【错题警示】一、错用分式的基本性质例1化简错解:原式分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变"，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质。
分式的加减乘除混合运算课件PPT
1
答乙:工甲程工队程一队天一完天成完这成项这工项程工的程_的______n______1____________,, 两队共同工作一天完成这项工程的 n 3
_________(_1_____1__.) n n3
bd
bd
三、例题学习，提高认知
例 计算 ：
（1）5x x2
3y y2
2x x2 y2
；
解：原式=
(5x
3y) x2 y
2
2
x
3x 3y
= x2 y2
把分子看成一个整体， 先用括号括起来！
=
3(x y) (x y)(x y)
=
3； x y
注意：结果要 化为最简分式！
计算 ：
（2）
分母不变， 分子相加减.
分式加减运算的方法思路：
异分母 通分 相加减 转化为
同分母 分母不变 相加减 转化为
分子（整式）
相加减
分式加减运算的注意事项：
（1）分母是多项式时，能分解因式的要先分解因 式；（2）分子相加减时，如果分子是一个多项式， 要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运 算，可减少出现符号错误；（3）分式加减运算的 结果要约分，化为最简分式（或整式）.
问题2：2001年,2002年,2003年某地的森林 面积(单位:公顷)分别是S1，S2，S3，2003年 与2002年相比,森林面积增长率提高了多少?
答20:0220年03的年森的林森面林积面增积长增率长是率_是_s__2_s__1__s__1_s___3__s____2__s__,2,
分式的混合运算
8x6 y 3 2x y 3 ( ) 27 z 3 ————
2
先乘方，再乘除， 然后加减
3z
分时乘方：把分子、分母分别乘方
3、分式的加减法 1 a3 a 2 a 2 ————
1
2x 1 1 x 1 x 1 ( x y)( x y) ————
★例题
1 1 1 1 （3）( ) ( 2 2 ) a b a b
x2 4 x2 ) （4）( x2 2 x 2x
b a b2 a2 解：原式 ( ) ( 2 2 2 2 ) ab ab ab ab
b a b2 a 2 2 2 ab ab
b a a 2b 2 2 ab b a 2
★例题
15.2 分式的运算
——分式的混合运算
★知识回顾 1、分式的乘除法
6ab 10c 2 5c 3b
4a c ————
xy 1 2 2 2 2 x y x yx y
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
x2 4 x 2 解：原式 x2 2x
( x 2)( x 2) 2 x x2 x2
2x
ab ba
★例题
a b a2 b2 （1）1 2 a 2b a 4ab 4b 2
a b a 2 4ab 4b 2 解：原式 1 a 2b a2 b2
从高到低，从左 到右，括号从小到 大
同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减．
八年级数学 15.2.2分式的混合运算
b d b c bc
同分母加减：b c b c
加减法
aa a
异分母加减：b d bc ad bc ad
a c ac ac ac
一 新课讲解
2
问题：如何计算
2m
n
1 m-n
-
m n
n 4
？
请先思考这道题包含的运算，再确定运算顺 序，并独立完成.
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
2a
a2 b2
巧用公式
一 能力提升
例4.若
2 x2 1
A x 1
B ，求A、B的值. x 1
解析：先将等式两边化成同分母分式，然后对 照两边的分子，可得到关于A、B的方程组.
2.课本p146 习题15.2 第6题
一 课堂练习
1.
计算
1
3x 2y
3x 2y
2y 3x
的结果是（ C
）
2 y 6xy
A. 9x2
2y 3x
B. 2y
3x 2y
C. 3x
3x
D. 2 y
2.
化简(
x y
y) x
x
x
y
的结果是
x y y.3.化简来自1x y x 3y
解：∵ A B x 1 x 1
冀教版八年级数学上册_12.3 第2课时 分式的混合运算PPT课件
x
1
3
x2 x 1
x2 9
(
x
3)2
x3 (x 3)2
x 1 x2
x2 9 x 3 x 1 (x 3)2 x 2
x2 x 6 (x 3)2
x 1 x2
(x
3)(x (x 3)2
2)
x ，原式= 1 .
3
课堂小结
分式的混合运算法则 先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.
b2 (a b)
b2 (a b)
= 4ab b2 (a b)
= 4a b(a b)
=
4a ab b2
.
问题2
计算： 1
x
1
1
x
x 2
1
.
解：方法一：
1
1 x 1
x x2 1
= x 11 x x 1 x2 1
= x (x 1)(x 1) x 1;
x 1
x
方法二：1
1 x 1
x x2 1
= 1
1 x 1
x2 1 x
=1 x2 1 1 (x 1)(x 1) = x2 1 x 1 = x2 x x 1.
x x 1
x
xx
x
分式的混合运算法则 先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.
注意 （1）对应分式的混合运算，应先将除法转化为乘法运 算，异分母相加减转化为同分母相加减.有括号的先算 括号里面的； （2）有理数的运算顺序及运算律对分式运算同样适用.
AC AC. BB B
讲授新课
一 分式的混合运算
问题1
计算：
2a b
2
a
1
b
a b
人教版八年级上册数学分式混合运算的技巧专题
2＝－12.
[2019·枣庄]先化简，再求值：x2x－2 1÷x－1 1＋1，其中，x 为整数且满足 不等式组x5－－12＞x≥1，－2.
解：原式＝（x＋1）x（2 x－1）÷1＋x－x－1 1＝（x＋1）x（2 x－1）·x－x 1＝x＋x 1，
解不等式组，得 2＜x≤72，∵x 为整数，∴x＝3， ∴原式＝x＋x 1＝3＋3 1＝34.
[2019·遂宁]先化简，再求值：a2－a22－abb＋2 b2÷a2－a ab－a＋2 b，其中 a，b 满
足(a－2)2＋ b＋1＝0. 解：原式＝（a＋（ba）－（b）a－2 b）÷a（a－ a b）－a＋2 b＝aa－＋bb·a－1 b－a＋2 b＝－a＋1 b.
∵(a－2)2＋ b＋1＝0， ∴a＝2，b＝－1，∴原式＝－1.
[2019·本溪]先化简，再求值：(a2－a2－4a4＋4－2－1 a)÷a2－2 2a.其中 a 满足 a2 ＋3a－2＝0.
解：原式＝（a－（2a）－（2）a＋2 2）＋a－1 2·a（a－ 2 2） ＝aa＋ －22＋a－1 2·a（a－ 2 2）＝aa＋ －32·a（a－ 2 2） ＝a（a2＋3）＝a2＋2 3a， ∵a2＋3a－2＝0，∴a2＋3a＝2，
[2019·达州]先化简：(xx2＋－22x－x2＋x－4x1＋4)÷4－x x，再选取 一个适当的 x 的值代入求值．
解：原式＝x（xx－＋22）－（xx＋－21）2·4－x x ＝xx2－（4x－＋x22）＋2x·4－x x ＝x（xx－＋42）2·4－x x＝（x－＋12）2.
当 x＝1 时，原式＝－19.
计算：(1)x－3x4y＋4xy＋－yx－x－7y4y； (2)x－x2 1－x－1；
分式的混合运算
分式的混合运算一、知识回忆1.分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 分式除法法则：分式除以分式，把除式．．的分子、分母颠倒位置后，与被除式 .. 即：a cb d ⋅=； a cb d ÷= = . 2.分式的乘方：()n a b=nn a b .3.分式的加、减法法则：同分母的分式相加， ；异分母的分式相加， .即： = a b a b c c c ±±； = =a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±±.二、知识的运用（练习例题） 例1、计算（1）231649a b b a ⋅ （2）2222524ab a bc cd -÷（3）2222255343m n p q mnp pq mn q ⋅÷ （4）)2(216322b aa bc ab -⋅÷（5）22232()()2a b ab c cd d a ÷⋅- （6）3423232263()()ab a c c d b b--÷⋅(1)221642816282a a a a a a a ---÷⋅++++ （2）226(3)(2)(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+-（3）x y y x x y y x -÷-⋅--9)()()(3432 （4）22222)(x y x xy y xy x x xy -⋅+-÷-例3、计算 （1）231 33x x x --- （2）22142x x x +--（3）2232 2(2)m n m mn m n m n ----- （4）223693x xx x x x---++（5）233x x x --- （6）22222222a b b ab a b a b a b ++-+--.（1）22211()x y x y x y x y +÷-+- （2）2()224a a aa a a-÷-+-（3）74(3)3xx x x -+-÷- （4）265(2)22x x x x -÷----（5）2222124()244a a a a a a a a a a +----⋅÷--+ （6）2222421()(1)4441x x x x x x x +--+⋅---+-三、问题探究例5、先化简，再求值：（1）222111a a aa a ++---，其中1a =+. （2）53(2)224x x x x ---÷++，其中2x =．例6、根据下列条件求值（1）2221412211a aa a a a--⋅÷+-+-，其中a满足20a a-=.（2）已知:2:3x y=，求2222()()x y x y xx yxy x y--÷[+]÷的值.（3）已知2317x xx++=，求4221x xx++的值.例7、先化简22122()121x x x xx x x x----÷+++，再给x取一个值，求这个代数式的值.例8、若等式4815(1)(5)A B xx x x x-+=+-+-成立，求实数A、B的值.四、（附加题）1.如图，△ABC 中，∠BAC =120°，D 是BC 边的中点，且AD ⊥AC.求证：AC =12AB.2.如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =108°， BD 平分∠ABC 交AC 于D. 求证：AB + CD =BC.CC。
分式的加减乘除混合运算
例2.计算：
1.
2 3x
x
2
y
x y 3x
x
y
x
x
y
分析与解：
巧用分配律
原式
2 3 x
x
2
y
x y 3x
(x
y )
•
x
x
y
2 3x
2
1 3x
1
•
x
x
y
2• x x y
2x x y
2.
(m
2
n)3
1 m
1 n
m2
1 2mn
n2
1 m2
1 n2
mn
m3n3
例1.(1) ( a 2b )3 •（ c ）2 • ( bc )4 c ab a
解：(1)原式 (a 2b)3 • c2 • (bc)4
(c)3 (ab)2
a4
分子、分 母分别乘 方
a6b3 c2 b4c4 ••
c3 a2b2 a4 b5c3
（2）( a
b)3
a2 (
b2
)2
2a
ab3
分析与解：原式
(m
2
n)3
mn mn
(m
1
n)2
m2 m
n2 n2 2
m3n3 mn
(m
2
n)2
1 mn
(m
1
n)2
m2 n2 m2n2
m3n3 mn
2mn m2 n2 mn (m n)2 (m n)2 m n
2mn m2 n2 mn (m n)2 m n mn
(a b)3 • a2b6 8a3 (a2 b2 )2
八年级数学分式的混合运算
1.解法一： a 1 4 a a2 2 2 2 a 2a a 4a 4 a 2a
a 4 a ( a 1) a 2a 2 a ( a 2) 4a
2 2
a4 a ( a 2) 2 a ( a 2) 4a
6
3
2
4
4
b c
5
3
ab 3 a b 2 ) ( ) （2） ( 3 2a ab
2 2
(a b) ab 2 3 2 2 8a (a b ) 3 2 6 (a b) ab 3 2 2 8a (a b) (a b)
3 2 6
b (a b) 2 8a ( a b )
a2 a 1 4 a 1. 2 2 2 a 2a a 4a 4 a 2a x 3 5 2. ( x 2) 2x 4 x 2 x2 x 4 3. 2 2 x x x 4x 4 x 2x 2 4 a 8 a a 1 a 1 4. 2 a a 2 a 1 a 1
1 a2
1.解法二：
a 1 4 a a2 2 2 2 a 2a a 4a 4 a 2a 2 2 a 2 a 2a a 1 a 2a 2 2 a 2a 4 a a 4a 4 4 a a 2 a 1 a = …… 4a a2 4a 1 a2
巧用公式
2a 2 a b2
繁分式的化简：1.把繁分式些成 分子除以分母的形式，利用除法法则 化简；2. 利用分式的基本性质化简。
1 1 1 a 例4. 1 1 a 1
1 1 解法1， 原式 (1 ) (1 ) 1 a a 1 a a 1 a a 1 a 1 a1
分式混合运算的法则
分式混合运算的法则数学篇分式混合运算的法则在学习数学中，我们经常需要进行分式混合运算，即将有两个或以上的运算符和分数混合在一起运算。
处理这种复杂的运算需要掌握一些规则和技巧，下面我们就来了解一下分式混合运算的法则。
（一）化简与合并同类项进行分式混合运算时，我们首先需要将各项化简为最简形式，然后合并同类项。
例如，对于以下的分式混合运算：$ \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} $我们可以化简后得到：$ \frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{1}{12} $然后再将同类项相加，得到最终的答案：$ \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $（二）乘法和除法的法则在分式混合运算中，乘法和除法的运算要优先于加法和减法，我们需要按照以下的法则进行运算：①分式与整数相乘或相除时，先将整数化为分数，然后通分，最后再进行相乘或相除。
例如，计算以下的分式混合运算：$ \frac{1}{2} \times 3 + \frac{2}{3} \div \frac{1}{4} $我们可以先将整数3化为分数，得到：$ \frac{3}{1} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \div \frac{1}{4} $然后通分，得到：$ \frac{6}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \times \frac{4}{1} $最后进行相乘和相除得到答案：$ 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3} $②分式与分式相乘时，将分子和分母分别相乘，然后通分，化简后得到最简分数。
例如，计算以下的分式混合运算：$ \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \times \frac{3}{5} $我们先将两个分式相乘，得到：$ \frac{1 \times 2}{2 \times 3} - \frac{1 \times 3}{4\times 5} = \frac{1}{3} - \frac{3}{20} $然后通分得到：$ \frac{20}{60} - \frac{9}{60} $最后化简后得到答案：$ \frac{11}{60} $（三）加法和减法的法则在分式混合运算中，加法和减法的运算要在乘法和除法之后进行，我们需要按照以下的法则进行运算：①将各项通分，然后将分子相加或相减，得到一个新的分式。
分式的运算技巧
分式概念形如〔A、B是整式，B中含有字母〕的式子叫做分式。
其中A叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。
注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。
无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。
由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。
方法：数看结果，式看形。
分式条件:1.分式有意义条件：分母不为0。
2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。
3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。
4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。
5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。
代数式分类整式和分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。
无理式和有理式统称代数式。
分式的根本性质分式的分子和分母同时乘以〔或除以〕同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：〔A,B,C为整式，且B、C≠0〕运算法那么约分根据分式根本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。
约分步骤：单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。
分式的乘法法那么：〔1〕两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
用字母表示为：分式的加减法法那么：同分母分式的加减法法那么:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
分式的混合运算方法
分式的混合运算方法
对于分式混合运算,一般应按运算顺序,有括号先做括号内的运算,若利用乘法对加法的分配律,则可简化运算。
分式混合运算法则
分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变(乘)；
乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；
加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；
变号必须两处，结果要求最简。
分式运算法则
1、约分
根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。
2、公因式的提取方法
系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
3、最简分式
一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
乘法同分母分式的加减法法则进行计算。
两
个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
4、除法
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
也可表述为：除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。
5、乘方
分子乘方做分子，分母乘方做分母，可以约分的约分。
第19讲 分式的加减及综合计算(解析版)
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1第19讲分式的加减及综合计算模块一：分式的加、减法一、同分母的分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．二、异分母的分式加减法法则：（1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分，这几个相同的分母叫做公分母．（2）异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简．【例1】计算：（1）x yx y x y ---；（2）211a ab ab+-．【答案】（1）1；（2）b2．【解析】本题主要考查同分母的加减法，注意计算结果一定要是最简分式．【例2】化简22x y y x y x---的结果是（）A 、x y--B 、y x-C 、x y-D 、x y+【答案】A【解析】本题主要考查同分母的加减法，注意结果为最简分式．【例3】计算：（1）22x x+；（2）31269x x+．【答案】（1）x x 242+；（2）321843x x +【解析】（1）222442222x x x x x x x++=+=；（2）22333312343469181818x x x x x x x++=+=．【总结】本题主要考查异分母分式的加减法．【例4】计算：（1）a b b c ab bc++-；（2）2212y x x x y y -+-．【答案】（1）ac ac -；（2）22232242xy x x y x y +-+．【解析】（1）()()()c a b a b c b c a a b b c ca cb ab ac c aab bc abc abc abc abc ac++-+++----=-===；（2）()323222222222121224222222x x y x x y x y y x y x x x y y xy xy xy xy--+-++-=+-=．【总结】本题主要考查异分母分式的加减法，注意结果要化为最简分式．【例5】计算：（1）23(3)3x xx x ---；（2）2216322a a a a a --++--．【答案】（1）()223x x -；（2）4102--a a ．【解析】（1）23(3)3x x x x ---()()2233(3)3x x x x x -=---2233(3)x x x x -+=-22(3)x x =-；（2）2216322a a a a a --++--()()()()161221a a a a a -=-++-+()()()()()()()()()1262122122a a a a a a a a a --+=-++-++-()()()232612122a a a a a a -+--=++-原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3()()()2910122a a a a a --=++-()()()()()101122a a a a a -+=++-()()1022a a a -=+-2104a a -=-．【总结】当分式的分母是多项式时，要先分解因式，再按照相应法则进行加减运算．【例6】某同学爬一楼梯，从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下．已知该同学上楼速度是a 米/分，下楼速度是b 米/分，求他上、下楼的平均速度．（用含a 、b 的代数式表示）【答案】b a ab+2．【解析】b a ababb a b a +=+=+22112．【总结】本题要注意速度等于路程除以时间，不要简单的求两个速度的平均数．模块二：分式的综合计算一、分式的综合运算：与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．【例7】计算：a b a bb a a +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的结果为（）A 、a b b-B 、a b b+C 、a ba-D 、a b a+【答案】A【解析】原式=bba b a a ab b a -=+⋅-22．【总结】本题在计算时，注意按照运算顺序进行，有括号先算括号里面的．【例8】计算：262393m m mm ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果为（）A 、1B 、33m m -+C 、33m m +-D 、33m m +【答案】A【解析】原式=()()1333233363=+++=-⋅+--+mm m m m m m m ．【总结】本题依旧考查的是分式的混合运算，注意先乘除后加减．【例9】计算：（1）22211()()a b ab a b b a a b a b--÷-+--；（2）2284111[(1)(442a a a a+-⋅-÷--．【答案】（1）ab a b -+；（2）22+-a a ．【解析】（1）22211((a b ab a b b a a b a b--÷-+--()()()()()()()()2()a a b b a b ab b a a b a b a b a b a b a b ab ab ⎡⎤-+=+-÷-⎢⎥+-+-+-⎢⎥⎣⎦()()222a ab ab b ab ab a b a b b a -++-=⋅+--()()()2a b ab a b a b b a-=⋅+--ab a b=-+；（2）2284111[(1)()]442a a a a+-⋅-÷--()()284421[((224422a a a a a a a a a +=-⋅-÷-+-()()()228212242a aa a aa -=-⋅⋅+--412a =-+22a a -=+．【总结】本题主要考查分式的混合运算，在计算时一方面注意法则的准确运用，一方面注意方法的灵活．【例10】已知320a b -=，求下式的值：(1)(1b a b a a a b a a b+-÷---+．【答案】-5．【解析】∵320a b -=，∴23=a b ，2-=-b a a ，52=+b a a ．∴(1)(1b a b a a a b a a b +-÷---+332121225⎛⎫⎛⎫=++÷-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5=-．【总结】本题主要是利用分式的性质，通过整体代入的思想求值，另外本题也可以通过分式的混合运算，算出分式的最终结果之后再求值．【例11】化简：11111(1)(2)(2)(3)(99)(100)a a a a a a a ++++------- ．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5【答案】()()99199---a a 【解析】11111(1)(2)(2)(3)(99)(100)a a a a a a a ++++------- 1111111=1213210099a a a a a a a +-+-++-------- 1100a =-．【总结】本题主要是类比分数的拆项的思想来求解，注意方法的恰当选择．1.(2022秋黄浦七年级期末真题)12-的结果是（）A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】A【分析】根据负整数指数幂法则即可得．【详解】解：1122-=，故选：A ．【点睛】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键．2.(2022秋浦东新区七年级期末真题)如果2210a a --=，那么代数式242aa a a ⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭的值是（）A ．3-B ．1-C ．1D ．3【答案】B【分析】先化简所求的式子，再根据2210a a --=，可以得到221a a -=-，然后代入化简后的式子即可．【详解】解：242aa a a ⎛⎫-⋅⎪+⎝⎭2242a a a a -=⋅+()()2222a a a a a +-=⋅+()2a a =-22a a =-，2210a a --= ，221a a ∴-=-，∴原式1=-，故选：B ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．3.计算23111b b b a a a +-+++的结果是（）A ．0B ．61b a +C ．()3361b a -+D ．1b a -+【答案】A【分析】根据分式的混合运算法则即可求解．【详解】解：23111b b b a a a +-+++231b b b a +-=+0=，故选：A ．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，掌握同分母分式的加减法运算法则是解题的关键．4.(2022秋黄浦七年级期末真题)已知244A x =-，1122B x x=++-，其中2x ≠±，下列说法正确的是（）A ．A B=B ．A ，B 互为倒数C ．A ，B 互为相反数D ．以上均不正确【答案】C【分析】把A 、B 先分别化简，然后观察比较．【详解】∵B=222111122442222444x x x x x x x x x ----+=-===-+-+----，且A=244x -，∴A 、B 互为相反数，故选C ．【点睛】本题考查分式的加减运算，这类题通常的解题思路是将A 、B 两个式子分别先化简，然后再根据化简的结果进行分析判断，得出结论.5.(2022秋徐汇区七年级期末真题)如图是嘉琪进行分式计算的过程，下列判断不正确的是（）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7A ．第二步运用了分式的基本性质B ．从第三步开始出现错误C ．原分式的计算结果11x -D ．当1x =时，原分式的值为0【答案】D【分析】根据分式的混合运算法则和分式有意义的条件即可解答．【详解】解：第二步将11x +变为()()()111x x x -+-，即分式的分子和分母同时乘()1x -，是运用了分式的基本性质，故A 正确，不符合题意；第三步分式相减时，把分母减没了，出现错误，故B 正确，不符合题意；从第三步开始，正确的计算如下，()()2(1)11x x x x --=+-…………第三步()()111x x x +=+-…………第四步11x =-…………第五步．∴原分式的计算结果为11x -，故C 正确，不符合题意；当1x =时，原分式没有意义，故D 错误，符合题意．故选D ．【点睛】本题考查分式的化简求值．掌握分式的混合运算法则和分式的分母不能为0是解题关键．6.(2022秋青浦区七年级期末真题)计算312112a a a a++--的结果是（）A ．1B ．1-C ．2121a a +-D ．4121a a +-【答案】A【分析】根据同分母分式减法计算法则求解即可．【详解】解：312112a a a a++--312121a a a a +=---3121a a a --=-2121a a -=-1=，故选A ．【点睛】本题主要考查了同分母分式减法，正确计算是解题的关键．7.(2022秋浦东新区七年级期末真题)计算211a a a a ++++的结果是（）A ．1a a +B ．21a a ++C ．3D ．2【答案】D【分析】根据同分母分式加法计算法则求解即可．【详解】解：211a a a a ++++21a a a ++=+221a a +=+()211a a +=+2=，故选D ．【点睛】本题主要考查了同分母分式加法，熟知相关计算法则是解题关键．8.(2022秋徐汇区七年级期末真题)计算12x x+=_____．【答案】3x【分析】根据同分母分式相加，分母不变，只把分子相加，进行计算即可．【详解】解：123x x x+=，故答案为：3x．【点睛】本题要考查了同分母分式的加法，解题的关键是掌握：同分母分式相加，分母不变，只把分子相加．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！99.化简分式2422x x x ---的结果为______．【答案】2x +/2x+【分析】根据分式的减法法则进行计算．【详解】2422x x x ---242x x -=-()()222x x x +-=-2x =+，故答案为：2x +.【点睛】本题考查了分式的减法，正确的计算是解题的关键．10.(2022秋民办华育七年级期中真题)化简22m n mn n m m m ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭的结果为______．【答案】1m n-【详解】解：22m n mn n m m m ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭222m n m mn n m m m ⎛⎫--=÷- ⎪⎝⎭222m n m mn n m m--+=÷()2m n mm m n -=⨯-1m n=-故答案为：1m n-【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算顺序和法则是解题的关键．11.已知50x y --=，则11⎛⎫-÷ ⎪-++⎝⎭yx y x y x y 的值为______．【答案】25/0.4【分析】先将括号里面的通分，将除法转化为乘法，约分化简，代入x y -的值，即可求解．【详解】原式()()()()x y x yx y y x y x y x y x y ⎡⎤+-+=-⨯⎢+-+-⎢⎥⎣⎦()()2yx yyx y x y +=⨯+-2x y=-5x y -= ∴225x y =-故答案为：25．【点睛】本题考查了分式化简求值，正确化简分式是解题的关键．12.计算：23111m m m +-=++______．【答案】2【分析】根据同分母的减法运算可进行求解．【详解】解：231222111m m m m m ++-==+++；故答案为2．【点睛】本题主要考查分式的减法运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．13.(2022秋青浦区七年级期末真题)已知13a b =，则2222a ab b a b ++=+________．【答案】1310【分析】由13a b =可得3b a =，代入式子进行化简即可求解．【详解】解：13a b =，3b a ∴=，原式22222399a a a a a +=++2213131010a a ==．故答案：1310．【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握化简求值方法是解题的关键．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1114.(2022秋上宝七年级期中真题)通分(1)314x y ，246xy (2)26a a +，219a a --(3)229a a -，2369a a -+(4)21(1)4a a -+-，21242a a a --+【答案】(1)33213412y x y x y =，223248612x xy x y =(2)(3)262(3)(3)a a a a a a -=++-，212292(3)(3)a a a a a --=-+-(3)2222(3)9(3)(3)a a a a a a -=--+，2233(3)69(3)(3)a a a a a +=-+-+(4)212(1)(1)42(1)(3)a a a a a --=+--+，2132422(1)(3)a a a a a a -+=--+-+【分析】根据分式的基本性质，把几个异分母分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．根据分式的通分的概念逐个化简即可．【详解】（1）最简公分母：3212x y ，33213412y x y x y =，223248612x xy x y =；（2）最简公分母：2(3)(3)a a +-(3)262(3)(3)a a a a a a -=++-，212292(3)(3)a a a a a --=-+-；（3）最简公分母：2(3)(3)a a -+，2222(3)9(3)(3)a a a a a a -=--+，2233(3)69(3)(3)a a a a a +=-+-+；（4）最简公分母：2(3)(1)a a +-，21112(1)(1)4(3)(1)32(1)(3)a a a a a a a a a ---===--+-+-+，2211132422(1)2(1)2(1)(3)a a a a a a a a a --+==-=--+---+．【点睛】本题考查了分式通分的概念，理解分式通分的概念，会正确求出几个分式的最简公分母是解题的关键．15.化简：(1)()1333x x x ---；(2)2111x x x+--；(3)212111x x x -⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭；(4)222443a ab b b a b a b a b ⎛⎫++÷-- ⎪--⎝⎭．【答案】(1)1x (2)1x +(3)1x +(4)22a bb a+-【分析】（1）根据异分母分式的减法运算法则求解即可；（2）根据同分母分式的加法运算法则求解即可；（3）根据分式的混合运算法则求解即可；（4）根据分式的混合运算法则求解即可；【详解】（1）()1333x x x ---()()333x x x x x =---()33x x x -=-1x=；（2）2111x x x+--2111x x x =---211x x -=-()()111x x x +-=-1x =+；（3）212111x x x -⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭()()1111211x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝=-⎭-()()11212x x x x x +--⨯--=原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！131x =+；（4）222443a ab b b a b a b a b ⎛⎫++÷-- ⎪--⎝⎭()222223a b b a b a b a b a b +⎛⎫-=÷ ---⎝⎭()22224a b b a b a a b+=-÷--()()()2222a a b a b ba b a b +-+⨯--=22a bb a +=-．【点睛】此题考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．1.分式2411÷--xxx x 的值可能等于（）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】B【详解】解：()()2441411111x xxx x x x x x x -÷=⋅--+-+，401x ≠+，故选项A 不符合题意；41x =+，则3x =，存在，故选项B 符合题意；()421x =+，则1x =，此时原式无意义，故选项C 不符合题意；()441x =+，则0x =，此时原式无意义，故选项D 不符合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了分式的乘除，正确化简分式是解题关键．2.已知13xyx y =+，15yzy z =+，16zxz x =+，则xyzxy yz zx =++（）A ．14B ．12C ．17D ．19【答案】C【分析】结合题意得3x y xy +=，5y z yz +=，6z x zx+=从而求出1117x y z ++=，对xyz xy yz zx ++进行化简得1111z x y++代入即可求解．【详解】解：13xy x y =+ ，15yz y z =+，16zx z x =+，3x y xy +∴=，5y z yz +=，6z x zx+=，113x y ∴+=，115y z +=，116z x+=，111111356x y y z z x∴+++++=++，1117x y z∴++=，1111117xyz xy yz zx xy yz zx xyz xyz xyz z x y===++++++，故选：C ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是结合题意求出1111z x y++．3.若分式24932321x A B x x x x -=---+-（A 、B 为常数），则A 、B 的值为（）A ．43A B ==；B ．71A B ==；C ．17A B ==；D ．3513A B =-=；【答案】B 【分析】等式右边进行分式的减法运算，再根据对应项的系数相等可求解．【详解】解：∵321A B x x -+-()()()()132321A x B x x x --+=+-()()32321Ax A Bx Bx x ---=+-()()22323A B x x A B x --+--=，∴()()2223493232A B x A B x x x x x ---+=----，∴3429A B A B -=⎧⎨+=⎩，则71A B =⎧⎨=⎩，故选：B ．【点睛】本题考查了分式的加减法、解二元一次方程组，熟练掌握分式加减运算法则是解答的关键．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！154.已知2610m m --=，则22126m m m -+的值为______．【答案】39【分析】由已知得到16m m-=和22261m m m -=+，再整体代入，利用完全平方公式化简即可求解．【详解】解：将2610m m --=，两边同时除以m ，得：16m m -=，由2610m m --=，可得：22261m m m -=+，所以22126m m m -+2211m m =++2112m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+-+2162=++39=．故答案为：39．【点睛】本题考查了分式的加减以及完全平方公式的运用，解题关键是正确将已知变形．5.甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，一艘轮船在静水中的速度为a 千米/时，水流的速度为b 千米/时()b a <，轮船往返两个港口一次共需______小时.【答案】22100aa b -【分析】分别求出顺流和逆流时的速度，利用路程、时间、速度之间的关系即可列式求解．【详解】解： 轮船在静水中的速度为a 千米/时，水流的速度为b 千米/时()b a <，∴顺流速度为()a b +千米/时，逆流速度为()a b -千米/时，甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，∴轮船往返两个港口一次共需时间为：()()()()2250505050100a b a b a a b a b a b a b a b -+++==+-+--，故答案为：22100a a b -．【点睛】本题考查分式加减的应用，解题的关键是计算出轮船顺流和逆流时的速度，根据路程、时间、速度之间的关系列出分式．6.分式化简：22424422x x x x x x x ⎛⎫---÷= ⎪-++-⎝⎭___．【分析】首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简．【详解】解：原式2(2)(2)22(2)2x x x x x x x ⎡⎤+---=-⨯⎢⎥-+⎣⎦22222x x x x x x +--⎛⎫=-⨯ ⎪-+⎝⎭()()()()2222222x x x x x x +---=⨯+-82(2)(2)x x x x x-=-+82x =+．故答案为：82x +．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．7.若()()112121A x x x x =+----，则A =__________．【答案】1-【分析】首先将等式右边通分，然后根据题意得到()112x A x =-+-，然后求解即可．【详解】∵121A x x +--()()()()()212121A x x x x x x --=+----()()()1221x A x x x -+-=--∵()()112121A x x x x =+----∴()112x A x =-+-∴()22x A x -=-∴1A =-．故答案为：1-．【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则．8.计算：(1)2221651565a a a a a a a a a --+⋅÷++++；(2)29(2)33666x x x x x x --+--+-．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17(2)26xx +【分析】（1）因式分解约分即可得到答案；（2）通分合并再因式分解约分即可得到答案．【详解】（1）解：原式1(5)(1)1(5)(5)(1)a a a a a a a a a -++=⨯⨯++--15a =-；（2）解：原式221896(318)(6)(6)x x x x x x x -+----+=+-2(6)(6)(6)x x x x -=+-26x x =+．【点睛】本题考查分式化简，解题的关键是熟练掌握整式乘法及因式分解．9.已知2321302a b a b ⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭，求代数式221b a a a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫÷-⋅- ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭的值．【答案】2ab a b -+，14a ,b ,再根据分式的混合运算法则先化简后代值求解即可．【详解】解：由已知，得210,330,2a b a b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,41.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩原式22()()b a a b a a b a a b a b a b ⎡⎤----⎡⎤=÷⋅⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦2b a b ab a b b a b--=⋅⋅+-2ab a b=-+，当14a =-，12b =时，原式21114211442⎛⎫⎛⎫-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=-+．【点睛】本题考查非负数的性质、分式的混合运算、解二元一次方程组等知识，正确运用法则是解题的关键，是中考常考题型，可以通过此类题目的训练提高计算能力．10.计算(1)22211444a a a a a --÷-+-；(2)211a a a ---【答案】(1)2(1)(2)a a a ++-(2)11a -【分析】（1）先将两个分式分解因式，然后再约分化简即可．（2）先通分，再化简求解．【详解】（1）解：原式21(2)(2)2(2)(1)(1)(1)(2)a a a a a a a a a -+-+=⋅=-+-+-（2）解：原式＝2111a a a +--＝2(1)(1)1a a a a -+--＝2211a a a -+-＝11a -【点睛】本题考查了分式的加减、乘除运算，掌握通分、分解因式的方法是求解的关键．。