高中数学北师大版(新)必修第一册 第五章 函数应用 学案-实际问题的函数刻画
数学北师大版必修一教学设计：实际问题的函数刻画Word版含答案
教学设计实际问题的函数建模整体设计教学分析函数基本模型的应用是本章的重点内容之一．教科书用例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习．在例题中，分别介绍了分段函数、对数函数、二次函数的应用．教科书中还渗透了函数拟合的基本思想．通过本节学习让学生进一步熟练函数基本模型的应用，提高学生解决实际问题的能力．三维目标1．培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力，即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式．2．会利用函数图像性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题．3．通过学习函数基本模型的应用，体会实践与理论的关系，初步向学生渗透理论与实践的辩证关系．重点难点根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型，并根据数学模型解决实际问题．课时安排3课时教学过程2．1实际问题的函数刻画导入新课情境：有一大群兔子在喝水、嬉戏，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至20世纪50年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在自然状态下，种群数量一般符合对数增长模型．这一节我们将讨论不同函数模型的应用．推进新课新知探究提出问题①我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f (x )元(15≤x ≤40)，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g (x )元(15≤x ≤40)，试求f (x )和g (x ).②A ，B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全.核电站距城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月.把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域.③分析以上实例属于哪种函数模型.讨论结果：①f (x )＝5x (15≤x ≤40)；g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90，15≤x ≤30，2x ＋90，30<x ≤40. ②y ＝5x 2＋52(100—x )2(10≤x ≤90)． ③分别属于一次函数模型、分段函数模型、二次函数模型．应用示例思路1例 1 当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，下表给出了实验的一组数据，这组数据能说明什么？不难看出，对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应，这就决定了一个函数关系．实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来．在医学研究中，为了方便，常用折线把它们连接起来(如图1)．图1根据图像，可以看出下列性质：(1)代谢率曲线在小于20 ℃的范围内是下降的，在大于30 ℃的范围内是上升的；(2)环境温度在20 ℃～30 ℃时，代谢率较低，并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；(3)环境温度太低或太高时，它对代谢率有较大影响．所以，临床上做“基础代谢率”测定时，室温要保持在20 ℃～30 ℃之间，这样可以使环境温度的影响最小．点评：在这个问题中，通过对实验数据的分析，可以确定由{4,10,20,30,38}到{60,44,40,40.5,54}的一个函数，通过描点，并且用折线将它们连接起来，使人们得到了一个新的函数，定义域扩大到了区间[4,38]．对于实际的环境温度与人体代谢率的关系来说，这是一个近似的函数关系，它的函数图像，可以帮助我们更好地把握环境温度与人体代谢率的关系.变式训练电信局为了满足客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如图2所示(其中MN∥CD)．(1)分别求出方案A，B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)；(2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案？并说明理由．图2解：(1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 20，0≤x ≤100，310x －10，x >100，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50，0≤x ≤500，310x －100，x >500. (2)当f (x )＝g (x )时，310x －10＝50， ∴x ＝200.∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可；当客户通话时间为0≤x ＜200分钟，g (x )＞f (x )，故选择方案A ；当客户通话时间为x ＞200分钟时，g (x )＜f (x )，故选择方案B .例2 某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去了200 000元，生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，产量x 对总成本C 、单位成本P 、销售收入R 以及利润L 之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？图3解：总成本C 与产量x 的关系为C ＝200 000＋300x ；单位成本P 与产量x 的关系为P ＝200 000x＋300； 销售收入R 与产量x 的关系为R ＝500x ；利润L 与产量x 的关系为L ＝R －C ＝200x －200 000.以上各式建立的是函数关系．(1)从利润关系式可见，希望有较大利润应增加产量．若x ＜1 000，则要亏损；若x ＝1 000，则利润为零；若x ＞1 000，则可盈利．这也可从图3看出，R 和C 的图像是两条直线，在它们的交点处利润为零．(2)从单位成本与产量的关系P ＝200 000x＋300可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模效益．例3 如图4，在一条弯曲的河道上，设置了六个水文监测站．现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通信电缆，怎样刻画专用通信电缆的总长度？解：情报中心在河边的位置一旦确定，每一个水文监测站到情报中心的通信电缆长度(曲线段长度)就唯一确定了，因此，表示情报中心位置的数值与专用通信电缆的总长度就构成一个函数关系．图4现在将弯曲的河道“拉直”，使刻画曲线段长度的问题变成了刻画直线段长度的问题． 将“变直了”的河道当作一个数轴，不妨设A 为原点，AB ＝b ，AC ＝c ，AD ＝d ，AE ＝e ，AF ＝f .于是，水文监测站A ，B ，C ，D ，E 和F 的坐标就可以用0，b ，c ，d ，e ，f 表示出来．表示情报中心位置的数值可以看作一个变量，用x 表示，这样，对于给定的x 的值，就能计算出情报中心到每一个水文监测站的长度，从而可以得出所需电缆的总长度为f (x )＝|x |＋|x －b |＋|x －c |＋|x －d |＋|x －e |＋|x －f |.变式训练一种放射性元素，最初的质量为500 g ，按每年10%衰减．(1)求t 年后，这种放射性元素质量ω的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫作半衰期)．(精确到0.1.已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)解：(1)最初的质量为500 g.经过1年后，ω＝500(1－10%)＝500×0.91；经过2年后，ω＝500×0.9(1－10%)＝500×0.92；由此推知，t 年后，ω＝500×0.9t .(2)解方程500×0.9t ＝250，则0.9t ＝0.5，所以t ＝lg 0.5lg 0.9＝－lg 22lg 3－1≈6.6(年)， 即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.知能训练某电器公司生产A 型电脑.1993年这种电脑每台平均生产成本为5 000元，并以纯利润20%确定出厂价．从1994年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低．到1997年，尽管A 型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%，但却实现了50%纯利润的高效益．(1)求1997年每台A 型电脑的生产成本；(2)以1993年的生产成本为基数，求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数．(精确到0.01，以下数据可供参考：5＝2.236，6＝2.449)活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导．出厂价＝单位商品的成本＋单位商品的利润．解：(1)设1997年每台电脑的生产成本为x 元，依题意，得x (1＋50%)＝5 000×(1＋20%)×80%，解得x ＝3 200(元)．(2)设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y ，则依题意，得5 000(1－y )4＝3 200，解得y 1＝1－255，y 2＝1＋255(舍去)． 所以y ＝1－255≈0.11＝11%， 即1997年每台电脑的生产成本为3 200元，1993年至1997年生产成本平均每年降低11%.拓展提升某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台．已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：(以千元为单位)解：设每周生产空调、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台，每周产值为f 千元，则f ＝4x ＋3y ＋2z ，其中⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z ＝360，12x ＋13y ＋14z ＝120，x ≥0，y ≥0，z ≥60，①②③ 由①②可得y ＝360－3x ， z ＝2x ，代入③得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，360－3x ≥0，2x ≥60，则有30≤x ≤120.故f ＝4x ＋3(360－3x )＋2·2x ＝1 080－x ，当x ＝30时，f max ＝1 080－30＝1 050.此时y ＝360－3x ＝270，z ＝2x ＝60.答：每周应生产空调30台，彩电270台，冰箱60台，才能使每周产值最高，最高产值为1 050千元．点评：函数方程不等式有着密切的关系，它们相互转化组成一个有机的整体，要细心体会．课堂小结本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数方程不等式之间的相互关系．活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．作业习题4—2 A 组1.设计感想本节设计从有趣的故事开始，让学生从故事中体会函数模型的选择，然后通过几个实例介绍常用函数模型．接着通过最新题型训练学生由图表转化为函数解析式的能力，从而解决实际问题，本节的每个例题的素材都是贴近现代生活，学生非常感兴趣的问题，很容易引起学生的共鸣．(设计者：林大华)。
新教材北师大版高中数学必修第一册 第五章 函数应用 课后练习 含解析
第五章函数应用课后练习1、利用函数性质判定方程解的存在性........................................................................ - 1 -2、利用二分法求方程的近似解.................................................................................... - 6 -3、实际问题的函数刻画.............................................................................................. - 11 -4、用函数模型解决实际问题...................................................................................... - 18 -1、利用函数性质判定方程解的存在性提升练习1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( )A.,0B.-2,0C. D.0【解析】选D.当x≤1时,由f(x)=0,得2x-1=0,所以x=0.当x>1时,由f(x)=0,得1+log2x=0,所以x=,不成立,所以函数的零点为0.2.函数f(x)=x2+ln x-4的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选B.因为f(1)=12+ln 1-4=-3<0,f(2)=22+ln 2-4=ln 2>0,又函数f(x)在定义域内单调递增,所以f(x)的零点在(1,2)内.3.函数f(x)=x3-的零点个数是()A.0B.1C.2D.无数个【解析】选B.作出y=x3与y=的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个交点,所以函数f(x)只有一个零点.4.若函数f(x)=ax2-x+2只有一个零点,则实数a的取值集合是.【解析】当a=0时,f(x)=-x+2,令f(x)=0,解得x=2,所以函数只有一个零点2,符合题意;当a≠0时,由函数只有一个零点可得Δ=(-1)2-4×a×2=0,即1-8a=0,解得a=.综上a=或a=0.答案:5.判断方程log2x+x2=0在区间上有没有实数根?为什么?【解析】设f(x)=log2x+x2,f=log2+=-1+=-<0,f(1)=log21+1=1>0,即f·f(1)<0,函数f(x)=log2x+x2的图象在区间上是连续的,因此,f(x)在区间上有零点,即方程log2x+x2=0在区间上有实根.提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)·(x-a)的两个零点分别位于区间( )A.(b,c)和(c,+∞)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(a,b)和(b,c)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内【解析】选C.因为a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0, 所以f(x)的零点分别位于(a,b)和(b,c)内.2.(2020·浙江高考)已知a,b∈R且ab≠0,若(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立,则( )A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0【解析】选C.由于ab≠0则a≠0且b≠0,根据y=(x-a)(x-b)(x-2a-b)的零点为a,b,2a+b的情况可确定是否满足(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立.若a<0,b<0,则2a+b<0,满足;若a<0,b>0,则b≠2a+b,不满足;若a>0,b>0,则2a+b>0,不满足;若a>0,b<0,则a=2a+b即a+b=0时满足,综上,只有选项C符合.3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【解析】选C.函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a≤1,解得a≥-1.【补偿训练】已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数k的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(0,1]C.(1,+∞)D.(-∞,1)【解析】选B.作出函数f(x)的图象,由图象知,当0<k≤1时, y=k与y=f(x)的图象有两个交点,此时方程f(x)=k有两个不等实根,所以0<k ≤1.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )A.f(x1)>0B.f(x1)<0C.f(x2)>0D.f(x2)<0【解析】选BC.在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x和函数y=的图象,如图所示,由图可知函数y=2x和函数y=的图象只有一个交点,即函数f(x)=2x+只有一个零点x0,且x0>1.因为x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),所以由函数图象可知,f(x1)<0,f(x2)>0.三、填空题(每小题5分,共10分)5.若方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是.【解析】由|x2-4x|-a=0,得a=|x2-4x|,作出函数y=|x2-4x|的图象,则由图象可知,要使方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则0<a<4.答案:(0,4)【补偿训练】设函数f(x)=若函数f(x)有且仅有1个零点,则实数a的取值范围是.【解析】当x>0时,f(x)=3x+1>1,函数无零点;要使函数f(x)有且仅有1个零点,则f(x)=a-2x 在(-∞,0]上有且仅有1个零点.画出函数y=a与函数y=2x(x≤0)的图象,如图所示.因为当x≤0时,2x∈(0,1],所以a∈(0,1].答案:(0,1]6.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增函数,则该函数有个零点,这几个零点的和等于.【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,所以f(0)=0.又因为f(-2)=0,所以f(2)=-f(-2)=0,故该函数有3个零点,这3个零点之和等于0.答案:3 0四、解答题7.(10分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0).(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;(2)试确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.【解析】(1)作出g(x)=x+(x>0)的图象如图:可知若g(x)=m有零点,则有m≥2e.故m的取值范围为{m|m≥2e}.(2)g(x)-f(x)=0有两个相异实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.在同一平面直角坐标系中,作出g(x)=x+(x>0)和f(x)的图象,如图.因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,其图象的对称轴为直线x=e,开口向下,最大值为m-1+e2,故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时, g(x)与f(x)有两个不同的交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根,所以m的取值范围是m>-e2+2e+1.2、利用二分法求方程的近似解基础练习1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )【解析】选B.利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.在B中,不满足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求零点,由于A,C,D中零点两侧函数值异号,故可采用二分法求零点.2.若函数f(x)在[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)f(b)<0,f(a)f>0,则( )A.f(x)在上有零点B.f(x)在上有零点C.f(x)在上无零点D.f(x)在上无零点【解析】选B.由f(a)f(b)<0,f(a)f>0可知f f(b)<0,根据零点存在定理可知f(x)在上有零点,在上有无零点无法判断.3.用二分法求关于x的方程ln x+2x-6=0的近似解时,能确定为解所在的初始区间的是( )A.(2,3)B.(0,2)C.(1,2)D.(0,+∞)【解析】选A.令函数f(x)=ln x+2x-6,可判断在(0,+∞)上单调递增,所以f(1)=-4<0,f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,所以根据函数的零点存在定理可得:零点在(2,3)内,即方程ln x+2x-6=0的近似解在(2,3)内.4.已知函数f(x)=x3-x2+1.(1)证明方程f(x)=0在区间[0,2]内有实数解;(2)使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f(x)=0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内.【解析】(1)因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,所以f(0)·f(2)<0,由函数的零点存在定理可得方程f(x)=0在区间[0,2]内有实数解.(2)取x1=(0+2)=1,得f(1)=>0,由此可得f(1)·f(2)<0,下一个有解区间为(1,2).再取x2=(1+2)=,得f=-<0,所以f(1)·f<0,下一个有解区间为.再取x3==,得f=>0,所以f·f<0,下一个有解区间为.综上所述,所求的实数解x0在区间内.创新练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.下列关于函数y=f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为( )①若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点.A.0B.1C.2D.3【解析】选A.①中x0∈[a,b]且f(x0)=0,所以x0是f(x)的一个零点,而不是(x0,0),故①错误;②由于x0两侧函数值不一定异号,故②错误;③方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,故③错误.2.下列函数不宜用二分法求零点的是( )A.f(x)=x3-1B.f(x)=ln x+3C.f(x)=x2+2x+2D.f(x)=-x2+4x-1【解析】选C.因为f(x)=x2+2x+2=(x+)2≥0,不存在小于0的函数值,所以不能用二分法求零点.3.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到表格:x 1.00 1.25 1.375 1.50f(x) 1.079 4 0.191 8 -0.360 4 -0.998 9则由表中的数据,可得方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1)为( )A.1.125B.1.312 5C.1.437 5D.1.468 75【解析】选B.因为f(1.25)·f(1.375)<0,故根据二分法的思想,知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5,两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又区间的长度为0.062 5<0.1,因此1.312 5是一个近似解.【补偿训练】某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时,设f(x)=lg x+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中,他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是.【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.812 5).答案:1.5,1.75,1.875,1.812 5二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.函数f(x)=x+x-4的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,3)C.(3,4)D.(4,8)【解析】选AD.设y1=lo x,y2=4-x,则f(x)的零点个数,即函数y1与y2的图象的交点个数,作出两函数图象如图.由图知y1与y2在区间(0,1)内有一个交点,当x=4时,y1=-2,y2=0;当x=8时,y1=-3,y2=-4,所以在(4,8)内两曲线又有一个交点.即函数f(x)=x+x-4的零点所在的区间为(0,1)和(4,8).三、填空题(每小题5分,共10分)5.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是.【解题指南】函数有零点,但不能用二分法,说明函数在零点两侧同号,结合二次函数的性质,说明函数f(x)的图象与x轴只有一个交点.【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法,所以函数f(x)=x2+ax+b的图象与x 轴只有一个交点,所以Δ=a2-4b=0,所以a2=4b.答案:a2=4b6.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1在区间[0,1]内的零点时,第一次经计算得f(0)<0,f(0.5)>0,f(1)>0,可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.【解析】因为f(0)<0,f(0.5)>0,所以f(0)·f(0.5)<0,故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5),利用二分法,则第二次应计算f=f(0.25).答案:(0,0.5) f(0.25)四、解答题7.(10分)已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.【证明】因为f(1)>0,所以3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0.因为a+b+c=0,所以-b-2c>0,则-b-c>c,即a>c.因为f(0)>0,所以c>0,则a>0.在区间[0,1]内选取二等分点,则f=a+b+c=a+(-a)=-a<0.因为f(0)>0,f(1)>0,所以函数f(x)在区间和上各有一个零点.又f(x)最多有两个零点,从而f(x)=0在[0,1]内有两个实根.3、实际问题的函数刻画基础练习1.某同学家门前有一笔直公路直通长城,星期天,他骑自行车匀速前往,他先前进了a km,觉得有点累,就休息了一段时间,想想路途遥远,有些泄气,就沿原路返回骑了b km(b<a),当他想起“不到长城非好汉”时,便调转车头继续前进,则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为( )【解析】选C.由题意可知,前进a km时,s是关于时间t的一次函数,所以其图象特征是直线上升.由于中间休息了一段时间,该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段.然后原路返回b km,图象下降且时间增加,再调转车头继续前进,则直线上升.C选项图象符合题意.2.甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动,丙车最先到达终点.丁车最后到达终点.若甲、乙两车的图象如图所示,则对于丙、丁两车的图象所在区域,判断正确的是( )A.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅰ区域B.丙在Ⅰ区城,丁在Ⅲ区域C.丙在Ⅱ区域,丁在Ⅰ区域D.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅱ区域【解析】选A.由题图可得相同时间内丙车行驶路程最远,丁车行驶路程最近,即丙在Ⅲ区域,丁在Ⅰ区域.3.图A表示某年12个月中每月的平均气温,一般地,家庭用电量(kW·h)与气温(℃)有一定关系.图B表示某家庭在此年12个月的用电量.根据这些信息,以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中,正确的是( )A.气温最高时,用电量最多B.气温最低时,用电量最少C.5月～7月用电量随气温增加而增加D.8月～12月用电量随气温降低而增加【解析】选C.逐月分析图象的升降趋势和变化率,排除干扰选项便能确定答案.比较题干中的两图可以发现,2月份用电量最多,而2月份气温不是最高,因此排除A.同理可排除B.8月至12月份气温一直下降,但用电量有增有减,排除D.由5,6,7三个月的气温和用电量可得出C正确.4.为了了解“环保型纸质饭盒”的使用情况,某研究性学习小组对本地区2005年至2007年使用纸质饭盒的所有快餐公司进行了调查,根据表格及图象提供的信息,可以得出这三年该地区每年平均消耗纸质饭盒万个.年份快餐公司数2005 302006 452007 90【解析】结合题中两个图表可得2005年消耗纸质饭盒总数=1×30=30(万个);2006年消耗纸质饭盒总数=2×45=90(万个);2007年消耗纸质饭盒总数=1.5×90=135(万个);故每年平均消耗纸质饭盒总数=(30+90+135)÷3=85(万个).答案:855.如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.【解析】(1)如图所示,延长NP交AF于点Q,所以PQ=(8-y)米,EQ=(x-4)米.在△EDF中,=,所以=.所以y=-x+10,定义域为[4,8].(2)设矩形BNPM的面积为S,则S=xy=x=-(x-10)2+50.又x∈[4,8],所以当x=8时,S取最大值48.提升练习一、单选题(每小题5分,共20分)1.李明放学回家的路上,开始和同学边走边讨论问题,走得比较慢;然后他们索性停下来将问题彻底解决;最后他快速地回到了家.下列图象中与这一过程吻合得最好的是( )【解析】选D.根据实际情况较吻合的应为D.2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是( )A.310元B.300元C.290元D.280元【解析】选B.由题意可知,收入y是销售量x的一次函数,设y=ax+b(a≠0),将(1,800),(2,1 300)代入得a=500,b=300.当销售量x=0时y=300.3.某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产.如果外购,每个配件的价格是1.10元;如果自己生产,则固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定此配件外购或自产的转折点(即生产多少件以上自产合算)是( )A.1 000件B.1 200件C.1 400件D.1 600件【解析】选D.设生产x件时自产合算,由题意得1.1x≥800+0.6x,解得x≥1 600.4.拟定从甲地到乙地通话m min的电话费f(m)=1.06·(0.50[m]+1),其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]=3,[3.7]=4,[5.2]=6),则从甲地到乙地通话时间为5.5 min的通话费为( )A.3.71B.3.97C.4.24D.4.77【解析】选C.5.5 min的通话费为f(5.5)=1.06×(0.50×[5.5]+1)=1.06×(0.50×6+1)=1.06×4=4.24.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元,某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如表所示:型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格 3.00元8.4元则下列说法正确的是( )A.买小包装实惠B.买大包装实惠C.卖3小包比卖1大包盈利多D.卖1大包比卖3小包盈利多【解析】选BD.大包装300克8.4元,则等价为100克2.8元,小包装100克3元,则买大包装实惠,故B正确,卖1大包盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元),卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元),则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元),则卖1大包比卖3小包盈利多,故D正确.6.某工厂8年来的产品年产量y与时间t(单位:年)的函数关系如图所示,则下面四个结论,正确的是( )A.前3年的年产量增长速度越来越快B.前3年的年产量增长速度越来越慢C.3年后,这种产品停止生产D.3年后,这种产品年产量保持不变【解析】选AD.由题干图可知,前3年中,年产量的增长速度越来越快,后5年的年产量是不变的,所以AD正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知直角梯形ABCD,如图(1)所示,动点P从点B出发,由B→C→D→A沿边运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为f(x).如果函数y=f(x)的图象如图(2)所示,则△ABC的面积为.【解析】由题中图象可知BC=4,CD=5,DA=5,所以AB=5+=5+3=8,所以S△ABC=×8×4=16.答案:16【补偿训练】生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在下图中请选择与容器相匹配的图象,A对应;B对应;C对应;D对应.【解析】A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水高度变化为快—慢—快,应与(1)对应;C,D容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水高度的变化为:C容器快,与(3)对应,D容器慢,与(2)对应.答案:(4) (1) (3) (2)8.某商人将手机先按原价提高40%,然后“八折优惠”,结果是每部手机比原价多赚144元,那么每部手机原价是元,实际售价为元.【解析】设每部手机原价是x元,由题意可得(1+40%)x·0.8-x=144,解得x=1 200.实际售价为1200+144=1 344(元).答案:1 200 1 344四、解答题(每小题10分,共20分)9.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月本地网内打出的电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图所示,当打出电话150分钟时,这两种方式话费相差多少元?【解析】设A种方式对应的函数解析式为s=k1t+20,B种方式对应的函数解析式为s=k2t.当t=100时,100k1+20=100k2,所以k2-k1=.当t=150时,150k2-150k1-20=150×-20=10.答:这两种方式话费相差10元.10.某地上年度电价为0.8元/度,年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间(包含0.55元/度和0.75元/度),经测算,若电价调至x元/度,则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)(元/度)成反比,且当x=0.65时,y=0.8.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若每度电的成本为0.3元,则电价调至多少时,电力部门本年度的收益将比上一年增加20%? [收益=用电量×(实际电价-成本价)]【解析】(1)因为y与(x-0.4)成反比,所以可设y=(k≠0),把x=0.65,y=0.8代入上式,得0.8=,解得k=0.2,所以y==,所以y与x之间的函数关系式为y=(0.55≤x≤0.75).(2)根据题意,得(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%),整理得x2-1.1x+0.3=0,解得x1=0.5(舍去)或x2=0.6,所以当电价调至0.6元/度时,电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.4、用函数模型解决实际问题基础练习1.一等腰三角形的周长为20,底边y是关于腰长x的函数,它的解析式为( )A.y=20-2x(x≤10)B.y=20-2x(x<10)C.y=20-2x(5≤x≤10)D.y=20-2x(5<x<10)【解析】选D.由y+2x=20得y=20-2x.又得5<x<10.2.一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时,交通灯由红变绿,汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走,那么( )A.人可在7秒内追上汽车B.人可在10秒内追上汽车C.人追不上汽车,其间距最少为5米D.人追不上汽车,其间距最少为7米【解析】选D.设汽车经过t秒行驶的路程为s米,则s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7,当t=6时,d取得最小值7.3.今有一组试验数据如表所示:t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12u 1.5 4.04 7.5 12 18.01则能体现这些数据关系的函数模型是( )A.u=log2tB.u=2t-2C.u=D.u=2t-2【解析】选C.可以先描出各点(如图),并利用数据点直观地认识变量间的关系,选择合适的函数模型来刻画它.由图可知,图象不是直线上的点,排除选项D;图象不符合对数函数的图象特征,排除选项A;当t=3时2t-2=23-2=6,==4,由题干中表格知当t=3时,u=4.04,模型u=能较好地体现这些数据关系.4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁皮(如图中阴影部分)备用.当截取的矩形面积最大时,矩形的两边长x,y分别为.【解析】由三角形相似,即=,得x=×(24-y),所以S=xy=-(y-12)2+180,故当y=12时,S有最大值,此时x=15.答案:15,125.某市居民生活用水收费标准如下:用水量x/t 每吨收费标准/元不超过2 t部分m超过2 t不超过4 t部分 3超过4 t部分n已知某用户1月份用水量为8 t,缴纳的水费为33元;2月份用水量为6 t,缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y元.(1)写出y关于x的函数解析式;(2)若某用户3月份用水量为3.5 t,则该用户需缴纳的水费为多少元?(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元,求该用户最多可以用多少吨水.【解析】(1)由题设可得y=当x=8时,y=33;当x=6时,y=21,代入得解得所以y关于x的函数解析式为y=(2)当x=3.5时,y=3×3.5-3=7.5.故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元.(3)令6x-15≤24,解得x≤6.5.故该用户最多可以用6.5 t水.提升练习一、单选题(每小题5分,共25分)1.某厂原来月产量为a,一月份增产10%,二月份比一月份减产10%,设二月份产量为b,则( )A.a=bB.a>bC.a<bD.无法比较a,b的大小【解析】选B.因为b=a(1+10%)(1-10%),所以b=a[1-(10%)2]=a,所以b=a×,所以a>b.2.用长度为24的材料围成一个矩形场地,中间有两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( )A.3B.4C.6D.12【解析】选A.设隔墙长度为x,如图所示,则与隔墙垂直的边长为=12-2x,所以矩形面积S=x·(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,0<x<6,所以当x=3时,S max=18.3.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.8元,普通车存车费是每辆一次0.5元,若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y 关于x的函数关系式是( )A.y=0.3x+800(0≤x≤2 000)B.y=0.3x+1 600(0≤x≤2 000)C.y=-0.3x+800(0≤x≤2 000)D.y=-0.3x+1 600(0≤x≤2 000)【解析】选D.依题意存车费总收入:y=0.5x+0.8(2 000-x)=-0.3x+1 600.4.我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番,设平均每年增长率为x,则( )A.(1+x)19=4B.(1+x)20=3C.(1+x)20=2D.(1+x)20=4【解析】选D.翻两番,即从1变成4,从2000年到2020年共经过20年,即(1+x)20=4.【误区警示】翻番问题,要特别注意翻一番是由1变为2,翻两番是由1变为4.5.(2020·全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) ( )A.60B.63C.66D.69【解析】选C.因为I(t)=,所以I(t*)==0.95K,则=19,所以0.23(t*-53)=ln 19≈3,解得t*≈+53≈66.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)6.甲乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )A.甲比乙先出发B.甲比乙跑得快C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点【解析】选BD.由题图可知两人跑的路程相同,甲比乙跑的时间少,甲比乙跑得要快,比乙先到达终点.三、填空题(每小题5分,共10分)7.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表:关于x呈指数型函数变化的变量是.【解析】以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.答案:y28.(2019·北京高考)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.【解析】(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,原价应为60+80=140(元),超过了120元可以优惠,所以当x=10时,顾客需要支付140-10=130(元).(2)由题意知,当x确定后,顾客可以得到的优惠金额是固定的,所以顾客支付的金额越少,优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠,最少要一次购买2盒草莓,此时顾客支付的金额为(120-x)元,所以(120-x)×80%≥120×0.7,所以x≤15.即x的最大值为15.答案:(1)130 (2)15四、解答题(每小题10分,共20分)9.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,如图的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).根据图象提供的信息解答下列问题:(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截至第几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第八个月公司所获得的利润是多少万元.【解析】(1)可设S与t的函数关系式为S=at2+bt+c.由题意,得或或无论哪个均可解得a=,b=-2,c=0,所以所求函数关系式为S=t2-2t.(2)把S=30代入,得30=t2-2t,解得t1=10,t2=-6(舍去),所以截至第10个月末公司累积利润可达到30万元.(3)把t=7代入,得S=×72-2×7==10.5(万元),把t=8代入,得S=×82-2×8=16(万元),则第八个月获得的利润为16-10.5=5.5(万元),所以第八个月公司所获利润为5.5万元.10.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现:该饮料在人均GDP处于中等的地区人均A饮料销售量最多,然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数中:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=log a x+b;④y=a x+b(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位:L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由;(2)若人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2 L,人均GDP为4千美元时,年人均A 饮料的销售量为5 L,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,年人均A饮料的销售量最多是多少?【解析】(1)用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区人均A饮料销售量最多,然后向两边递减.而②,③,④表示的函数在区间上是单调函数,所以②,③,④都不合适,故用①来模拟比较合适.(2)因为人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2 L;人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销售量为5 L,把x=1,y=2;x=4,y=5代入y=ax2+bx,得解得a=-,b=,所以函数解析式为y=-x2+x(x∈[0.5,8]).因为y=-x2+x=-+,所以当x=时,年人均A饮料的销售量最多是L.创新练习1.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是T1(℃),空气的温度是T0(℃),经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T=T0+(T1-T0)e-0.25t求得.把温度是90 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t分钟后,物体的温度是50 ℃,那么t的值约等于(参考数据:ln 3≈1.099,ln 2≈0.693) ( )A.1.78B.2.77C.2.89D.4.40【解析】选B.由题意可知50=10+(90-10)·e-0.25t,整理得e-0.25t=,即-0.25t=ln =-ln 2≈-0.693,解得t≈2.77.2.某校学生研究性学习小组发现,学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化,老师讲课开始时,学生的兴趣激增;接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间,随后学生的注意力开始分散.设 f(x)表示学生注意力指标,该小组发现f(x)随时间x(分钟)的变化规律(f(x)越大,表明学生的注意力越集中)如下:f(x)=(a>0,a≠1),若上课后第5分钟时的注意力指标为140,回答下列问题:(1)求a的值;(2)上课后第5分钟时和下课前5分钟时比较,哪个时间注意力更集中?并请说明理由;(3)在一节课中,学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长?【解析】(1)由题意得,当x=5时,f(x)=140,即100·-60=140,解得,a=4.(2)f(5)=140,f(35)=-15×35+640=115,由于f(5)>f(35),故上课后第5分钟时比下课前5分钟时注意力更集中.(3)①当0≤x≤10时,由(1)知,f(x)≥140的解集为[5,10];②当10<x≤20时,f(x)=340>140,成立;③当20<x≤40时,-15x+640≥140,。
北师大版(2019)数学必修第一册：5.2.1 实际问题的函数刻画 教案
实际问题的函数刻画【教学目标】1．尝试用函数刻画实际问题，感受函数与现实世界的联系，会用数学知识有意识地解决实际问题，能够找出简单实际问题中的函数关系式。
2．会用数学知识有意识地解决实际问题，会用数学知识进行实际问题的转化，并用数学知识解读实际问题。
3．培养学生用数学眼光看待问题的意识与能力。
【教学重点】知道怎样用数学知识刻画实际问题。
【教学难点】1．用数学知识解读实际问题。
2．引用数学符号建立数学模型，用数学语言表示实际问题。
【教学过程】一、阅读交流 问题1：某公司投入了15万元，用于研发设计一种新型几何模板。
经测算，每件产品的直接成本是130元，市场的合适售价是190元。
显然，这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品，另一方面又要争取获得好的收益。
当这种新型几何模板畅销时，怎样计算总收益呢？提示：（1）该问题中反映的信息中有哪些量？ （2）这几个量之间存在怎样的依赖关系？（3）数据提供的信息是什么（揭示了怎样的规律）？ （4）上述规律有什么现实指导意义？ 解：设产量为x ，总收益为y 。
（1）*60150000(N )y x x =-∈。
（2）实际中企业关注的是成本与利润之间的关系，需要对它们进行比较。
（3）数学知识诠释：①从利润关系式可见，希望有较大利润应增加产量。
若x<2500，则要亏损；若x =2500 ，则利润为零；若x >2500，则可赢利。
②单位成本P 与产量x 的关系xP 150000130+=可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模效应。
问题2：网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表，第一行是脚长（新鞋码，单位：mm ），第（1）脚长和鞋号有什么关系呢？（2）如果看到一款“30号”的女童鞋，你知道对应的脚长估计是多少吗？ （3）一名脚长为262mm 的女运动员，又该穿多大号的鞋呢？ 解：（1）在这个实际问题中出现了两个变量：一个是脚长；一个是鞋号。
从题目看出，表中的数据已经给出了几个脚长对应的鞋码；（2）从题目看出，对于每一个脚长都有唯一的鞋号与之对应，所以题目给出是一个函数关系；（3）为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对数值在平面直角坐标系中表示出来。
北师大版高中数学必修1：实际问题的函数刻画_课件4
函数应用
设2011年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2011 年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面 积y与x的函数关系式是( )
x
A．y＝0.9550·m
x
B．y＝(1－0.0550)·m C．y＝0.9550－x·m D．y＝(1－0.0550－x)·m
函数应用
【解析】设每年的冰雪覆盖面积减少率为 a. ∵50 年内覆盖面积减少了 5%，
间 t( 单 位 时 间 ) 之 间 的 关 系 为 y ＝ f(t) ＝
1 1＋a×2－bt
·100%
，
我
们
称
这
一
函
数
关
系
为
“学习曲线”．已知这类学习任务中的某项任
务有如下两组数据：
t＝4，y＝50%；t＝8，y＝80%. 试确定该项学习任务的“学习曲线”的关系
式 f(t)．
函数应用
解：由题意得
1＋a1·2－4b·100%＝50%， 1＋a1·2－8b·100%＝80%
a·2－4b＝1， ⇒a·2－8b＝14，
解得：a＝4，b＝0.5.
所以“学习曲线”的关系式为
f(t)＝1＋4×1 2－0.5t·100%.
函数应用
题型二 分段函数模型应用题
例2 有一批单放机原价为每台80元，甲、 乙两个商场均有销售，甲商场的优惠办法是: 买1台每台少收4元，买2台每台少收8元，买 3台每台少收12元，…，以此类推，直到减 到半价为止；乙商场的优惠办法是：一律按 原价的70%销售．某公司要为每位员工买1 台单放机，问到哪个商场购买比较合算？
函数应用
【解】 设共买单放机 x(台)，在甲、乙商场 购买这些单放机分别需 y(元)、z(元)． 则 y＝4800x－，4xx∈x，10x，∈＋[1∞，1且0]x且为x整为数整，数， z ＝56x(x≥1，且 x 为整数)． (1)当 1≤x≤10 时，y－z＝4x(6－x)．所以当 1≤x≤6 时，y>z；当 x＝6 时，y＝z；当 6<x≤10 时，y<z.
2020-2021学年新教材北师大版数学必修第一册：第5章§22.2用函数模型解决实际问题
2.2用函数模型解决实际问题学习目标核心素养1.能利用已知函数模型求解实际问题．(重点)2．能自建确定性函数模型解决实际问题．(重点、难点)1. 通过把实际应用问题转化为数学问题，培养数学抽象素养．2．通过利用函数模型解决实际问题，培养数学建模素养．1．常见的函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1).2．应用函数模型解决问题的基本过程用函数模型解应用题的四个步骤：(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；(4)还原——将数学结论还原为实际问题．思考：1.对于解决实际应用问题时得到的函数，如何确定其定义域？提示：在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人必须为自然数等．2．求函数最大值或最小值的方法一般有哪些？提示：利用函数的单调性，利用基本不等式，利用基本初等函数的值域等．1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100xC[当x＝4时，A中，y＝400；B中，y＝700；C中，y＝800；D中，y＝1004.故选C.]2．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝a log3(x＋2)，观测发现2013年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2019年冬有越冬白鹤()A．4 000只B．5 000只C．6 000只D．7 000只C[当x＝1时，由3 000＝a log3(1＋2)，得a＝3 000，所以到2019年冬，即第7年，y＝3 000×log3(7＋2)＝6 000.故选C.]3．新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车、其他新能源汽车等．它是未来汽车的发展方向．一个新能源汽车制造厂引进了一条新能源汽车整车装配流水线，这条流水线生产的新能源汽车数量x(辆)与创造的价值y(万元)之间满足二次函数关系．已知产量为0时，创造的价值也为0；当产量为40000辆时，创造的价值达到最大6000万元．若这家工厂希望利用这条流水线创收达到5625万元，则它可能生产的新能源汽车数量是________辆．30000或50000[设二次函数关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)则根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧c＝0－b2a＝400004ac－b24a＝6000，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－38×10－5b＝310c＝0故y＝－38×10－5·x2＋310x，令y＝5625，解得x＝30000或x＝50000.故答案为30000或50000.]利用二次函数模型解决实际问题【例1】已知某种商品涨价x成(1成＝10%)时，每天的销售量减少45x(其中x>0)成．(1)应该涨价多少，才能使每天的营业额(售出的总金额)最大？(2)如果适当涨价，能使每天的营业额增加，求x的取值范围．[解]设商品原价格为m，每天的原销售量为n，则每天的原营业额为m·n，涨价后每天的营业额为y＝m·⎝⎛⎭⎪⎫1＋x10·⎝⎛⎭⎪⎫1－45·x10·n，(1)y＝m·⎝⎛⎭⎪⎫1＋x10·⎝⎛⎭⎪⎫1－45·x10·n＝[－1125(x－54)2＋8180]·m·n.当x＝54，即涨价12.5%时，每天的营业额最大．(2)要使涨价后每天的营业额比原来增加，则需m·⎝⎛⎭⎪⎫1＋x10·⎝⎛⎭⎪⎫1－45·x10·n＞m·n，即2x2－5x＜0，变形得x(2x－5)<0.又x>0，故0＜x＜52.∴x的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，52.利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．[跟进训练]1．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t 小时内向居民供水总量为1006t (0≤t ≤24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少． [解] 设t 小时后，蓄水池中的存水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1006t (0≤t ≤24).设u ＝t ，则u ∈[0，26]，y ＝60u 2－1006u ＋400＝60⎝⎛⎭⎪⎫u －5662＋150， ∴当u ＝566即t ＝256小时时，蓄水池中的存水量最少．利用指数、对数型函数模型解决实际问题【例2】 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p %，10年后森林面积变为a 2.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的14.已知到今年为止，森林面积为22a .(1)求p %的值； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)该森林今后最多还能砍伐多少年？[解] (1)由题意得a (1－p %)10＝a 2，即(1－p %)10＝12，解得p %＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110． (2)设经过m 年森林面积为22a ，则a (1－p %)m ＝22a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212， m 10＝12，解得m ＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，n 年后森林面积为22a ·(1－p %)n .令22a (1－p %)n ≥14a ，即(1－p %)n ≥24，⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 10≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1232， 得n 10≤32，解得n ≤15，故今后最多还能砍伐15年．指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1＋p )x (其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．[跟进训练]2．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若最初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)[解] 依题意，得2100·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤11 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120.则n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)， 故n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4，考虑到n ∈N ，即至少要过滤8次才能达到市场要求．利用分段函数模型解决实际问题[探究问题]1．在解决实际问题时，对于自变量x 的不同的取值范围，不能用一个统一的解析式来表达，应该如何解决？提示：写成分段函数的形式．2．如何求分段函数的定义域和值域？提示：把分段函数中各段函数的定义域求并集，就是分段函数的定义域，先求出各段函数的值域，分段函数的值域就是各段函数值域的并集．【例3】 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H (x )＝⎩⎨⎧400x －x 2，0≤x ≤200，x ∈N ，40 000，x >200，x ∈N ， 其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数(用f (x )表示)；(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)[思路点拨] (1)根据“利润＝收入－成本”求解，因为收入为月产量x 的分段函数，所以利润也应为月产量x 的分段函数；(2)由(1)中得到的函数，分别求出各段函数的最大值，其中的最大值就是分段函数的最大值．[解] (1)设每月产量为x 台，则总成本为t ＝10 000＋100x .又f (x )＝H (x )－t ，∴f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋300x －10 000，0≤x ≤200，x ∈N ，30 000－100x ，x >200，x ∈N . (2)当0≤x ≤200时，f (x )＝－(x －150)2＋12 500，所以当x ＝150时，有最大值12 500；当x >200时，f (x )＝30 000－100x 是减函数，f (x )<30 000－100×200<12 500.所以当x ＝150时，f (x )取最大值，最大值为12 500.所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元．在本例中，若总收入满足函数：H (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧99x －100x ＋11 000，0≤x ＜200，x ∈N ，90 000，x ≥200，x ∈N ，其中x 是仪器的月产量，其余条件不变，(1)将利润表示为月产量的函数(用f (x )表示)；(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)[解] (1)设每月产量为x 台，则总成本为t ＝10 000＋100x .又f (x )＝H (x )－t ， 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ＋1 000，0≤x ＜200，x ∈N ，80 000－100x ，x ≥200，x ∈N .(2)当0≤x ＜200时，f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ＋1 000，因为x ＋100x ≥2x ×100x ＝20，所以f (x )≤－20＋1 000＝980，当x ＝10时等号成立；当x ≥200时，f (x )＝80 000－100x 是减函数，f (x )≤80 000－100×200＝60 000， 所以当x ＝200时，f (x )取最大值，最大值为60 000.所以每月生产200台仪器时，利润最大，最大利润为60 000元．应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．1．利用函数模型解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系．( ) (2)函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义． ( )(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了． ( )[提示](1)错误．实际问题中的两个变量之间不一定有确定的函数关系．(2)错误．在函数模型中，函数的定义域除了使函数式有意义，还要满足实际问题的要求．(3)错误．用函数模型预测结果和实际结果可能不完全相等，但是函数模型也有意义．[答案](1)×(2)×(3)×2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为() A．200副B．400副C．600副D．800副D[由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．] 3．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为()A．3 000×1.06×7元B．3 000×1.067元C．3 000×1.06×8元D．3 000×1.068元B[根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3 000×1.06x，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x＝7代入，即可求得y＝3 000×1.067.故选B.]4．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费40元．(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？[解](1)租金增加了900元，900÷60＝15，所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．(2)设租金提高后有x辆未租出，则已租出(100－x)辆．租赁公司的月收益为y元，y＝(3 000＋60x)(100－x)－160(100－x)－40x，其中x∈[0，100]，x∈N，整理，得y＝－60x2＋3 120x＋284 000＝－60(x－26)2＋324 560，当x＝26时，y＝324 560，即最大月收益为324 560元．此时，月租金为3 000＋60×26＝4 560(元).莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
2024-2025年北师大版数学必修第一册5.2.1实际问题的函数刻画(带答案)
2．1 实际问题的函数刻画必备知识基础练知识点一由已知变量关系刻画函数1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车量为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)2．目前我国一些高耗能产业的产能过剩，严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务．某行业计划从2019年开始，每年的年产能比上一年的年产能减少的百分比为x(0＜x＜1).(1)设第n(n∈N*)年(2019年记为第1年)的年产能为2018年的a倍，请用a，n表示x；(2)若x＝10%，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2018年的年产能的25%?参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477.知识点二由图表信息刻画函数3．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是( )4．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：(1)未成年男性体重y kg与身高x cm的关系？试写出这个函数的解析式；(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？知识点三函数模型的选择5．已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q(单位：万元)与速度v(单位：百公里/小时)(0≤v≤3)的以下数据：Q＝av3＋bv2＋cv，Q＝0.5v＋a，Q＝k log a v＋b.(1)试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；(2)该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．关键能力综合练1．某公司市场营销人员的个人月收入y(元)与其每月的销售量x(万件)成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的月收入是( )A ．3 100元B ．3 000元C ．2 900元D ．2 800元2．下表是某次测量中两个变量x ，y 的一组数据，若将y 表示为关于x 的函数，则最可能的函数关系是( )A C ．指数函数关系 D ．对数函数关系3．小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( )4．如图，开始时桶(1)中有a 升水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y 1＝a e －nt，那么桶(2)中水就是y 2＝a －a e－nt，假设过5分钟时桶(1)和桶(2)中的水相等，则再过________桶(1)中的水只有a8.( )A ．7分钟B ．8分钟C ．9分钟D ．10分钟5．(探究题)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．6．某地上年度电的价格为0.8元/度，年用电量为1亿度．本年度计划将电的价格调至0.55元/度～0.75元/度(包含0.55元/度和0.75元/度)，经测算，若电的价格调至x元/度，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元/度)成反比，且当x＝0.65时，y＝0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若电的成本价为0.3元/度，则电的价格调至多少时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%?(收益＝用电量×(实际电的价格－成本价))核心素养升级练1．(多选题)如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有( )2．(情境命题—生活情境)某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销，采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品的价格为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价格为(n＋1)元时，比礼品价格为n(n∈N＋)元时的销售量增加10%.设未赠送礼品时的销售量为m件．(1)写出礼品价格为n 元时，利润y n (单位：元)与n (单位：元)的函数关系式； (2)请你设计礼品的价格，以使商店获得最大利润．2．1 实际问题的函数刻画必备知识基础练1．答案：D解析：根据题意可知，存车总收入y (元)与x 的函数关系式是y ＝0.2x ＋(4000－x )×0.3＝－0.1x ＋1200(0≤x ≤4000)，故选D.2．解析：(1)依题意得(1－x )n＝a ，则1－x ＝n a ，所以x ＝1－na (n ∈N *). (2)设第n 年的年产能不超过2018年的年产能的25%，则(1－10%)n≤25%， 即(910 )n ≤14 ，n lg 910 ≤lg 14 ，n (2lg 3－1)≤－2lg 2，n ≥2lg 21－2lg 3 . 因为2lg 21－2lg 3 ≈2×0.3011－2×0.477 ＝30123 ，所以n ≥30123 .因为13＜30123＜14，且n ∈N *，所以n 的最小值为14.所以至少要到2032年才能使年产能不超过2018年的年产能的25%. 3．答案：A解析：从题图看出，在时间段[0，t 1]，[t 1，t 2]内水面高度是匀速上升的，因此几何体应为两柱体组合，在[0，t 1]时间段内上升慢，在[t 1，t 2]时间段内上升快，所以得下面的柱体横截面面积大，上面的柱体横截面面积小，故选A.4．解析：(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出已知数据对应的点，根据点的分布特征，可考虑以y ＝a ·b x刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系．不妨取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y ＝a ·b x，得⎩⎪⎨⎪⎧7.9＝a ·b 70，47.25＝a ·b 160，用计算器算得a ≈2，b ≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y ＝2×1.02x.将其他数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．(2)将x ＝175代入y ＝2×1.02x ，得y ＝2×1.02175，由计算器算得y ≈63.98， 由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以，这个男生偏胖． 5．解析：(1)选择模型Q ＝av 3＋bv 2＋cv .理由如下：若选择Q ＝0.5v ＋a ，当v ＝0时，0＝1＋a ，解得a ＝－1，则Q ＝0.5v－1； 当v ＝1时，Q ＝0.51－1＝－0.5，这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型； 若选择函数模型Q ＝k log a v ＋b ，需v >0，这与试验数据在v ＝0时有意义矛盾，所以不选择该函数模型；从而只能选择函数模型Q ＝av 3＋bv 2＋cv ， 由试验数据得a ＋b ＋c ＝0.7，①8a ＋4b ＋2c ＝1.6，② 27a ＋9b ＋3c ＝3.3，③联立①②③，解得a ＝0.1，b ＝－0.2，c ＝0.8. 故所求函数解析式为Q ＝0.1v 3－0.2v 2＋0.8v (0≤v ≤3).(2)设超级快艇在AB 段的航行费用为y (万元)，则所需时间为3v(小时)，其中0<v ≤3，结合(1)知，y ＝3v(0.1v 3－0.2v 2＋0.8v )＝0.3[(v －1)2＋7]，所以当v ＝1时，y min ＝2.1(万元).故该超级快艇应以1百公里/小时的速度航行才能使AB 段的航行费用最少，为2.1万元．关键能力综合练1．答案：B解析：设函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， ∵函数图象过点(1，8 000)，(2，13 000)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝8 000，2k ＋b ＝13 000， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝5 000，b ＝3 000， ∴y ＝5 000x ＋3 000，当x ＝0时，y ＝3 000，∴营销人员没有销售量时的月收入是3 000元． 2．答案：D解析：观察图表中函数值y 随自变量x 变化的规律可知，随着自变量x 增大，函数值也在增大，但是增加的幅度越来越小，因此它最可能的函数模型为对数函数．故选D.3．答案：D解析：20至30分钟时距离没有变化，故选D. 4．答案：D 解析：由题意得a e －5n＝a －a e－5n，e －n＝(12 )15 .设再经过t 分钟，桶(1)中的水只有a8，得a e－n (t ＋5)＝a 8 ，则t ＋55＝3，解得t ＝10. 5．答案：(1)130 (2)15解析：(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时， 总价为60＋80＝140(元)，达到120元， 又∵x ＝10，∴顾客需要支付140－10＝130(元).(2)解法一：当单笔订单的总价达不到120元时，顾客不少付，则李明得到总价的80%； 当单笔订单的总价达到120元时，顾客少付x 元，设总价为a 元(a ≥120)，则李明每笔订单得到的金额与总价的比为0.8（a －x ）a ＝0.8(1－xa)，∴当a 越小时，此比值越小． 又a 最小为120元(即买两盒草莓)， ∴0.8(120－x )≥120×0.7，解得x ≤15. ∴x 的最大值为15.解法二：购买水果总价刚好达到120元时，顾客少付x 元，这时x 占全部付款的比例最高，此时如果满足李明所得金额是促销前总价的70%，那么其x 值最大．由此列式得(120－x )×0.8＝120×0.7，解得x ＝15.∴x 的最大值为15.6．解析：(1)因为y 与(x －0.4)成反比，所以可设y ＝kx －0.4(k ≠0)，把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k0.65－0.4，解得k ＝0.2，所以y ＝0.2x －0.4 ＝15x －2， 所以y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2 (0.55≤x ≤0.75).(2)根据题意，得(1＋15x －2)(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)，整理得x2－1.1x＋0.3＝0，解得x1＝0.5(舍去)或x2＝0.6，所以当电的价格调至0.6元/度时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.核心素养升级练1．答案：BCD解析：因为正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图象是直线型的．故A错误；因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加得快，上面的高度增加得慢，即图象应越来越缓．故B正确；球是对称的几何体，下半球因下面窄上面宽，所以水的高度增加得越来越慢；上半球恰好相反，所以水的高度增加得越来越快，即图象先平缓再变陡．故C正确；图中几何体两头宽，中间窄，所以水的高度增加，下半体越来越快，上半体越来越慢，即图象先变陡再变平缓．故D正确．故选B、C、D.2．解析：(1)当礼品价格为n元时，销售量为m(1＋10%)n件，故利润y n＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n＝(20－n)·m·1.1n(0＜n＜20，n∈N＋).(2)令y n＋1－y n≥0，即(19－n)·m·1.1n＋1－(20－n)·m·1.1n≥0，解得n≤9.所以y1＜y2＜y3＜…＜y9＝y10.令y n＋1－y n＋2≥0，即(19－n)·m·1.1n＋1－(18－n)·m·1.1n＋2≥0，解得n≥8.所以y9＝y10＞y11＞y12＞y13＞…＞y19.所以礼品价格为9元或10元时，商店获得最大利润．。
北师大版高中数学必修一学案函数应用复习
练一练
为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：
发送
解密
加密
明文密文密文明文
已知加密为 为明文、 为密文 ，如果明文“ ”通过加密后得到密文为“ ”，再发送，接受方通过解密得到明文“ ”，若接受方接到密文为“ ”，则原发的明文是。
例2已知二次方程 的两个根分别属于(-1,0)和(0,2)，求 的取值范围.
三巩固练习
1.函数 的实数解落在的区间是（）.
A. [0，1] B. [1，2]
C. [2，3] D. [3，4]
2.下列函数关系中，可以看着是指数型函数 （ 模型的是（）.
A.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
B.我国人口年自然增长率为1﹪，这样我国人口总数随年份的变化关系
教学过程
一自主学习
1如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数 在区间 内有零点.
复习2：二分法基本步骤.
①确定区间 ，验证 ，给定精度ε；
②求区间 的中点 ；
③计算 ：若 ，则 就是函数的零点；若 ，则令 （此时零点 ）；若 ，则令 （此时零点 ）；
④判断是否达到精度ε；即若 ，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤②~④．
教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
函数应用复习课
授课时间
撰写人
学习重点
常用简单函数模型的应用。
学习难点
实际问题的函数刻画化归。
学习目标
（１）培养学生由实际问题转化为教学问题的建模能力。
（２）使学生会利用函数图象的和性质，对函数进行处理，得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题。
新教材高中数学第五章函数应用 实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题素养作业北师大版必修第一册
第五章 §2 2.1A 组·素养自测一、选择题1．某商场售出两台取暖器,第一台提价20%以后按960卖出,第二台降价20%以后按960卖出,这两台取暖器卖出后,该商场( C )A ．不赚不亏B ．赚了80元C ．亏了80元D ．赚了160元[解析] 设第1台原价x 1,第2台原价x 2,则x 1·(1＋20%)＝960得x 1＝800,x 2·(1－20%)＝960,得x 2＝1200,960×2－(800＋1200)＝－80. ∴选C ．2．用长度为24m 的材料围成一矩形场地,如果在中间加两道隔墙,要使矩形面积最大,则隔墙的长度应为( A )A ．3mB ．4mC ．6mD ．12m[解析] 设矩形的长为x ,则宽为14(24－2x ),则矩形的面积为S ＝14(24－2x )x ＝－12(x2－12x )＝－12(x －6)2＋18,所以当x ＝6时,矩形的面积最大,此时隔墙的长度应为3m.3．某生产厂家的生产总成本y (万元)与产量x (件)之间的关系式为y ＝x 2－80x ,若每件产品的售价为25万元,则该厂获得最大利润时,生产的产品件数为( D )A ．52B ．52.5C ．53D ．52或53[解析] 因为利润＝收入－成本,当产量为x 件时(x ∈N ),利润f (x )＝25x －(x 2－80x ),所以f (x )＝105x －x 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －10522＋10524,所以x ＝52或x ＝53时,f (x )有最大值．4．某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x （1≤x <10，x ∈N ＋），2x ＋10（10≤x <100，x ∈N ＋），1.5x （x ≥100，x ∈N ＋），其中x 代表拟录用人数,y 代表面试人数．若面试人数为60,则该公司拟录用人数为( C )A ．15B ．40C ．25D ．130[解析] 令y ＝60,若4x ＝60,则x ＝15>10,不合题意；若2x ＋10＝60,则x ＝25,满足题意；若1.5x ＝60,则x ＝40<100,不合题意．故拟录用25人．5．如图1,动点P 从直角梯形ABCD 的直角顶点B 出发,沿B →C →D →A 的顺序运动,得到以点P 运动的路程x 为自变量,△ABP 的面积y 为因变量的函数的图象,如图2,则梯形ABCD 的面积是( B )A ．96B ．104C ．108D ．112[解析] 从图2可看出,BC ＝8,CD ＝10,DA ＝10,在图1中,过点D 作AB 的垂线,垂足为E ,可推得AE ＝6,AB ＝16,所以梯形的面积为12(DC ＋AB )·BC ＝12(10＋16)×8＝104,故选B ．6．(福建高考题)要制作一个容积为4m 3,高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( C )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元[解析] 设该容器的总造价为y 元,长方体的底面矩形的长为x m,因为无盖长方体的容积为4m 3,高为1m,所以长方体的底面矩形的宽为4xm,依题意,得y ＝20×4＋10⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥160,当且仅当x ＝4x,即x ＝2时,等号成立,y 取得最小值,即y min ＝160.所以该容器的最低总造价为160元．故选C ．二、填空题7．某商人购货,进价已按原价a 扣去25%,他希望对货物订一新价,以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利,则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是__y ＝a4x (x ∈N ＋)__．[解析] 依题意,设新价为b ,则有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)·25%.化简,得b ＝54a . ∴y ＝b ·20%·x ＝54a ·20%·x ,即y ＝a4x (x ∈N ＋)．8．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元,并且生产量每增加一单位产品,成本就增加1万元,又知总收入R 是单位产量Q 的函数：R (Q )＝4Q －1200Q 2,那么总利润L (Q )的最大值是__250__万元,这时产品的产量为__300__．(总利润＝总收入－成本)[解析] L (Q )＝4Q －1200Q 2－(200＋Q )＝－1200(Q －300)2＋250,则当Q ＝300时,总利润L (Q )取最大值250万元．9．某人计划购买一辆A 型轿车,售价为14.4万元,购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元,同时汽车年折旧率约为10%,试问,大约使用__4__年后,用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．[解析] 设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元,依题意可得14.4(1－0.9x)＋2.4x ＝14.4化简得x －6×0.9x＝0,令f (x )＝x －6×0.9x易得f (x )为递增函数,又f (3)＝－1.374<0,f (4)＝0.0634>0,∴f (x )在(3,4)上有一个零点,故大约使用4年后,用在该车上费用达到14.4万元．三、解答题10．(10分)有l 米长的钢材,要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆,下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形,则小矩形的长与宽之比为多少时,窗户所透过的光线最多？并求出窗户面积的最大值．[解析] 设小矩形的长为x ,宽为y ,窗户的面积为S , 则由题图可得9x ＋πx ＋6y ＝l ,所以6y ＝l －(9＋π)·x , 所以S ＝π2x 2＋4xy ＝π2x 2＋23x ·[l －(9＋π)·x ]＝－36＋π6x 2＋23lx ＝－36＋π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2l 36＋π2＋2l23（36＋π）. 要使窗户所透过的光线最多,只需窗户的面积S 最大． 由6y ＞0,得0＜x ＜l9＋π.因为0＜2l 36＋π＜l9＋π,所以当x ＝2l 36＋π,y ＝l －（9＋π）x 6＝l （18－π）6（36＋π）,即x y ＝1218－π时,窗户的面积S 有最大值,且S max ＝2l23（36＋π）.11．(10分)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人,则给予优惠：每多1人,人均费用减少10元,直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元．(1)写出每人需交费用y 关于人数x 的函数； (2)旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润？解：(1)当0＜x ≤30时,y ＝900；当30＜x ≤75,y ＝900－10(x －30)＝1200－10x .即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1200－10x ，30＜x ≤75.(2)设旅行社所获利润为S 元, 则当0＜x ≤30时,S ＝900x －15000；当30＜x ≤75时,S ＝x (1200－10x )－15000＝－10x 2＋1200x －15000.即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15000，0＜x ≤30，－10x 2＋1200x －15000，30＜x ≤75. 因为当0＜x ≤30时,S ＝900x －15000为增函数, 所以x ＝30时,S max ＝12000；当30＜x ≤75时,S ＝－10x 2＋1200x －15000＝－10(x －60)2＋21000, 即x ＝60时,S max ＝21000＞12000.所以当旅行团人数为60时,旅行社可获得最大利润．B 组·素养提升一、选择题1．如图所示,从某幢建筑物10m 高的窗口A 处用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直)．如果抛物线的最高点M 离墙1m,离地面403m,则水流落地点B离墙的距离OB 是( B )A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m[解析] 以OB 所在直线为x 轴,OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,设抛物线方程是y ＝a (x －1)2＋403,由条件(0,10)在抛物线上,可得10＝a ＋403,a ＝－103,所以y ＝－103(x －1)2＋403,设B (x ,0)(x ＞1),代入方程得：(x －1)2＝4,所以x ＝3.2．某建材商场国庆期间搞促销活动,规定：顾客购物总金额不超过800元,不享受任何折扣；若顾客购物总金额超过800元,则超过800元部分享受一定的折扣优惠,并按下表折扣分别累计计算：若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元,则此人购物实际所付金额为( A ) A ．1500元 B ．1550元 C ．1750元D ．1800元[解析] 设该顾客在此商场的购物总金额为x 元,可以获得的折扣金额为y 元． 由题可知,y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤800，0.05（x －800），800＜x ≤1300，0.1（x －1300）＋25，x ＞1300.∵y ＝50＞25,∴x ＞1300,∴0.1(x －1300)＋25＝50,解得x ＝1550.1550－50＝1500(元)．故此人购物实际所付金额为1500元．3．(多选)在某种金属材料的耐高温试验中,温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．给出下列说法,其中正确的是( BD )A ．前5min 温度增加的速度越来越快B ．前5min 温度增加的速度越来越慢C ．5min 以后温度保持匀速增加D ．5min 以后温度保持不变E ．温度随时间的变化情况无法判断[解析] 温度y 关于时间t 的图象是先凸后平,即5min 前每当t 增加一个单位增量Δt ,则y 相应的增量Δy 越来越小,而5min 后y 关于t 的增量保持为0,则BD 正确．4．某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用y 1(千元)、乙厂的总费用y 2(千元)与印制证书数量x (千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则( ABC )A ．甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元B ．甲厂的费用y 1与证书数量x 之间的函数关系式为y 1＝0.5x ＋1C ．当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元D ．若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用[解析] 由题图知甲厂制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元,甲厂的费用y 1与证书数量x 满足的函数关系为y 1＝0.5x ＋1,故A 、B 正确；当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为3÷2＝1.5元,故C 正确；当x ＝8时,y 1＝0.5×8＋1＝5,y 2＝14×8＋52＝92,因为y 1＞y 2,所以当印制8千个证书时,选择乙厂更节省费用,故D 不正确． 二、填空题5．某零售商购买某种商品的进价P (单位：元/千克)与数量x (单位：千克)之间的函数关系的图象如图所示．现此零售商仅有现金2700元,他最多可购买这种商品__90__千克．[解析] 由题意得,购买这种商品所需费用y (单位：元)与数量x (单位：千克)之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧37x ，0＜x ≤10，32x ，10＜x ≤50，30x ，50＜x ≤100，27x ，100＜x ≤150，25x ，x ＞150，从而易得30×50＜2700＜30×100,即该零售商购买这种商品的数量应在50千克与100千克之间,故最多可购买这种商品270030＝90(千克)．6．甲工厂八年来某种产品的年产量y 与年份代号x 的函数关系如图所示．现有下列四种说法：①前三年该产品的年产量增长速度越来越快； ②前三年该产品的年产量增长速度越来越慢； ③第三年后该产品停止生产； ④第三年后该产品的年产量保持不变． 其中说法正确的是__②④__．[解析] 设年产量y 与年份代号x 的关系为f (x ),由图,可知前三年该产品的年产量的增长速度越来越慢,故①错误,②正确；由图,可知从第四年开始该产品的年产量不发生变化,且f (4)≠0,故③错误,④正确．7．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为__800__副．[解析]由5x＋4000≤10x,解得x≥800,即日产手套至少为800副时才不亏本．三、解答题8．某种商品进价为每个80元,零售价为每个100元,为了促销,采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品的价格为1元时,销售量增加10%,且在一定范围内,礼品价格为(n＋1)元时比礼品价格为n(n∈N＋ )元时的销售量增加10%.设未赠送礼品时的销售量为m件．(1)写出礼品价格为n元时,利润y n(单位：元)与n(单位：元)的函数关系式；(2)请你设计礼品的价格,以使商店获得最大利润．[解析](1)当礼品价格为n元时,销售量为m(1＋10%)n件,故利润y n＝(100－80－n)·m(1＋10%)n＝m(20－n)·1.1n(0<n<20,n∈N＋)．(2)令y n＋1－y n≥0,即m(19－n) ·1.1n＋1－m(20－n)·1.1n≥0,解得n≤9.所以y1<y2<y3<…<y9＝y10.令y n＋1－y n＋2≥0,即m(19－n)·1.1n＋1－m(18－n)·1.1n＋2≥0,解得n≥8.所以y9＝y10>y11>y12>y13>…>y19.所以礼品价格为9元或10元时,商店获得最大利润．9．某创业团队拟生产A,B两种产品,根据市场预测,A产品的利润与投资额成正比(如图1),B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2)．(注：利润与投资额的单位均为万元)(1)分别将A,B两种产品的利润f(x),g(x)表示为投资额x的函数；(2)该团队已筹到10万元资金,并打算全部投入A,B两种产品的生产,问：当B产品的投资额为多少万元时,生产A,B两种产品能获得最大利润,最大利润为多少？解析：(1)由题意可设f(x)＝k1x,g(x)＝k2x,则f(1)＝k1＝0.25,g(4)＝2k2＝2.5,k2＝1.25.所以f(x)＝0.25x(x≥0),g (x )＝1.25x (x ≥0)．(2)设B 产品的投资额为x 万元,则A 产品的投资额为(10－x )万元．y ＝f (10－x )＋g (x )＝0.25(10－x )＋1.25x (0≤x ≤10),令t ＝x ,则y ＝－0.25t 2＋1.25t ＋2.5,所以当t ＝2.5,即x ＝6.25时,收益最大,y max ＝6516万元．答：投资B 产品6.25万元,A 产品3.75万元时,能获得最大利润,最大利润为6516万元．。
北师版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第5章 实际问题的函数刻画 用函数模型解决实际问题
合模型选图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋
势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答
案.
变式训练1已知正方形ABCD的边长为4,动点P从点B开始沿折线BCDA向
点A运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是
(100-)(1 + 2%) ≥ 100,
0 < < 100,∈N+,
故
∴0<x≤50,x∈N+.
2
-50 ≤ 0,
因此当0<x≤50,x∈N+时,能保证第二产业的产值不减少.
(2)设该市第二、三产业的总产值每年增加f(x)(0<x≤50,x∈N+)万元,则
a
f(x)=(100-x)(1+2x%)a+1.2ax-100a=50
(1)某种商品进价为每件360元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若
按九折出售,则每件还能获利.( × )
(2)某种产品每件80元,每天可售出30件,如果每件定价120元,则每天可售出
20件,如果售出件数是定价的一次函数,则这个函数解析式为
y=-4x+200.( × )
(3)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.( √ )
2.对于本题通过作差探讨出函数的单调情况是解题的关键所在.
变式训练3大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000 m,游回产地产卵.研究鲑鱼
1
的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 y=2log3100 ,单位是m/s,其中x
北师大版高中数学必修一课件实际问题的函数刻画
单位成本P与产量x的关系： P 300 200000 ; x
销售收入系：
L=R-C=200x-200000。
以上各式建立的是函数关系。
（1）从利润关系式可见，希望有 较大利润应增加产量。若x<1000,则要 亏损；若x=1000，则利润为零； 若x>1000，则可赢利.
返回第二张幻灯片
60 50 40 30
o 10 20 30 40 50 x
根据图象，可以看出下列性质： 所以（，2（（）临31环）床）境环上代温境做谢度温“率在度基曲2太础线0o底代在C或～谢小3太率0于o高”C20时时测oC，定的代它时范谢对，围率代室是较谢温下底率要降，有保的较持，大在 20并oC且～影在较3响大0稳。o约C定之3，0间o即C，的温这范度样围变可内化以是时使上，环升代境的谢温；率度变影化响不最大小；。
环境温度/（oC） 4 10 20 30 38 代谢率/[4185J/（hm2）] 60 44 40 40.5 54
名词解释
环境温度/（oC） 4 10 20 30 38 代谢率/[4185J/（hm2）] 60 44 40 40.5 54
y
60
50 40 30
o
10 20 30 40 50
x
y
要做这些事情，就要消耗能量。哪怕躺在床上什么也 指不人干体，在也清需醒要而能又量极供端应安。静这的个状基态本下的，能不量受消肌耗肉就活叫动做、 环基境础温代度谢、。食每物天及或精每神小紧时张的等基影础响代时谢的消能耗量了代多谢少率能。量， 就用基础代谢率来表示。
在基础代谢率的基础上，人还要工作、生活、运动、消 化吸收，这些都会增加消耗。一天中总的能量消耗就是 基础代谢率加上日常生活的能量消耗。
北师版高中数学必修第一册精品课件 第5章 函数应用 2 实际问题中的函数模型
,∈[,],
综上可知,s 随 t 变化的规律是 s= -,∈(,],
- + -,∈(,].
2=150<650;
×
10
(3)当t∈[0,10]时,smax=
当t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650;
当t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650,
线段BC对应的方程是v=-2t+70(20≤t≤35).故当t=4时,v=12,
所以 s= ×4×12=24.
(2)当
2
0≤t≤10 时,s= t·3t= t ;
当 10<t≤20 时,s=150+(t-10)×30=30t-150;
当
20<t≤35 时,s=150+300+(t-20)·(-2t+70+30)=-t2+70t-550.
实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些
数据的规律,其中最接近的一个是(
)
x
5.15
6.126
3
4
y
4.041 8
7.5
18.01
12
2
A.y=(x -1)
C.y=log2x
B.y=2x-2
D.y=lo x
分析:把各组数据代入,逐个检验即可选出最接近的一个.
解析:对于选项A,各组数据都很接近,
(2)设经过
p%=1
m 年森林面积为 a,
则 a(1-p%)
m
于是
=
北师大版高中数学 必修第一册 5.1函数的应用
解析：①当 a＝0 时，由 f(x)＝－x－1＝0 得 x＝－1，符合题意． ②当 a>0 时，函数 f(x)＝ax2－x－1 为开口向上的抛物线，且 f(0)＝ －1<0，对称轴 x＝21a>0，∴f(x)必有一个负实根，符合题意． ③当 a<0 时，x＝21a<0，f(0)＝－1<0，∴Δ＝1＋4a＝0，即 a＝－14. 此时 f(x)＝－1x2－x－1＝－ 2x＋1 2＝0，∴x＝－2，符合题意．
(1,1.5)
1.25
－0.30
(1.25,1.5)
1.375
0.22
(1.25,1.375)
1.312 5
－0.05
(1.312 5,1.375) 1.343 75
0.08
(1.312 5,1.343 75) 1.328 125 (1.312 5,1.328 125) 1.320 312 5
0.01 －0.02
答案：C
题型一 二分法概念的理解 1．下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中
函数零点的是( )
解析：利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在 B 中，不满足 f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点，由于 A、C、D 中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
答案：B
【方法归纳】 (1)用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 ①需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方 法完成)． ②取区间端点的平均数 c，计算 f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c， n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要 求，终止计算，得到函数零点的近似值． (2)二分法求函数零点步骤的记忆口诀 定区间，找中点，中值计算两边看． 同号丢，异号算，零点落在异号间． 重复做，何时止，精确度来把关口．
新教材高中数学第5章函数应用1利用函数性质判定方程解的存在性ppt课件北师大版必修第一册
3．能借助函数单调性及图象判断 决，培养直观想象素养．
零点个数．(重点、难点)
自主 预习 探新 知
1．函数的零点概念 (1)概念：使得__f_(x_0_)＝__0__的数 x0 称为方程 f(x)＝0 的解，也称为函 数 f(x)的零点． (2)方程、函数、图象之间的关系： 函数 y＝f(x)的_零__点_就是函数 y＝f(x)的图象与_x_轴__交__点__的__横__坐__标__， 也就是方程 f(x)＝0 的解．
2．在探究1中，只利用零点存在定理，能判断函数f(x)＝lg x＋x 的零点的个数吗？要与什么指示相结合才能判断其零点的个数？
提示：只利用零点存在定理，不能判断函数f(x)＝lg x＋x的零点 的个数，应再利用函数的单调性，才能判断其零点的个数．即函数 f(x)＝lg x＋x在其定义域(0，＋∞)内单调递增，所以函数f(x)只有一个 零点．
第五章 函数应用
§1 方程解的存在性及方程的近似解 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
学习目标
核心素养
1.理解函数的零点、方程的根与图
象交点三者之间的关系．(重点、 1．通过对函数零点概念的学习，
易混点)
培养数学抽象素养．
2．会借助零点存在定理判断函数 2．通过把函数零点问题转化为对
的零点所在的大致区间．(重点) 应函数图象交点的问题加以解
[解] (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是
－1.
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是
log26.
(4)解方程f(x)＝
高中数学北师大版(新)必修第一册 第五章 函数应用 学案-利用函数性质判定方程解的存在性
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性——课标定位素养阐释——1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系.2.掌握函数零点存在定理.3.能结合图象求解零点问题.4.初步理解函数与方程思想.5.感受数学抽象的不同层次，感受直观想象的作用，提高数形结合的意识.——自主预习·新知导学——一、函数的零点【问题思考】1.函数的零点是点吗？2.结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，思考是否所有的函数都有零点？并说明理由.3.学一学：使得f(x0)=0 的数x0称为方程f(x)=0的解，也称为函数f(x)的零点.f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.4.做一做：若4是函数f(x)=ax2-2log2x的零点，则实数a的值等于()A.4B.-4C.-14D.14二、零点存在定理【问题思考】1.若f(a)·f(b)>0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗?2.结合教材，你认为求函数零点个数的常用方法有哪些？3.学一学：零点存在定理：若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)·f(b)<0，则在开区间(a，b)内，函数y=f(x)至少有一个零点,即在开区间(a，b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.4.做一做：已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f(x)一定存在零点的区间是()A.(-∞，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，+∞)【思考辨析】判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.(1)零点即函数y=f(x)的图象与x轴的交点.( )(2)若方程f(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2,则函数y=f(x)有两个零点.( )(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则一定有f(a)·f(b)<0.( )——合作探究·释疑解惑——探究一判断函数零点所在区间【例1】(1)函数f(x)=e x+x-2的零点所在的一个区间是()A.(-2，-1)B.(-1，0)C.(0，1)D.(1，2)(2)函数f(x)=ln(x+1)-2(x>0)的零点所在的大致区间是()xA.(3，4)B.(2，e)C.(1，2)D.(0，1)反思感悟判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数，求出函数的值.(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数图象连续，则在该区间内至少有一个零点.【变式训练1】函数f(x)=x+lg x-3的零点所在的大致区间是()A.(32，2) B.(2，52)C.(52，3) D.(3，72)探究二求函数的零点【例2】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.(1)f(x)=x2+7x+6；(2)f(x)=1-log2(x+3)；(3)f(x)=2x-1-3；(4)f(x)=x2+4x-12x-2.反思感悟求函数零点的两种方法(1)代数法：求方程f(x)=0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.【变式训练2】若函数f(x)=x2+x-a的一个零点是-3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点.探究三判断函数零点的个数【例3】判断函数f(x)=ln x+x2-3零点的个数.反思感悟判断函数零点个数的方法(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x)，在同一平面直角坐标系中画出函数y1=g(x)和y2=h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数.【变式训练3】函数f(x)=ln x-x+2的零点个数为()A.1B.2C.0D.不能确定探究四一元二次方程根的分布问题【例4】关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0，求a为何值时函数f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1有且仅有一个零点.延伸探究若本例条件不变，关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0的一根大于1，一根小于1，求实数a的取值范围.反思感悟解决一元二次方程根的分布问题应注意以下几点(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题.(2)结合草图考虑三个方面：①开口方向；②Δ与0的大小；③对称轴与所给端点值的关系；④端点的函数值与零的关系.——思想方法——用数形结合思想判断函数零点的个数【典例】试讨论函数f(x)=x2-2|x|-a-1(a∈R)的零点个数.分析：函数f(x)的零点个数即为方程f(x)=0的解的个数.令f(x)=0，即x2-2|x|=a+1.令g(x)=x2-2|x|，h(x)=a+1，则方程x2-2|x| =a+1的解的个数即为函数g(x)与h(x)的图象交点的个数，故将问题转化为函数g(x)与h(x)的图象交点个数的问题.反思感悟在函数与方程问题中，可以把函数的零点、方程的根等问题转化为两个函数图象交点的问题，依据函数图象的特征，构造关于参数的不等式求解.——随堂练习——1.函数y=4x-2的零点是()A.2B.(-2，0)C.(12，0) D.122.对于函数f(x)，若f(-1)·f(3)<0，则()A.方程f(x)=0一定有实数解B.方程f(x)=0一定无实数解C.方程f(x)=0一定有两实数解D.方程f(x)=0可能无实数解3.方程2x-x2=0的解的个数是.4.已知函数f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比0大，一个零点比0小，则实数a的取值范围为.5.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.(1)f(x)=x+3；x(2)f(x)=x2+2x+4；(3)y=2x-3；(4)y=1-log5x.参考答案——自主预习·新知导学——一、函数的零点【问题思考】1.提示：函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f(x)=0的解，即函数的零点是一个实数.2.提示：不一定.因为函数的零点就是方程的根，并不是所有的方程都有根，所以说不是所有的函数都有零点.如:指数函数，其图象都在x轴的上方，与x轴没有交点，故指数函数没有零点，对数函数有唯一一个零点.4.【答案】D【解析】因为4是函数f(x)=ax2-2log2x的零点，.所以a×42-2log24=0，解得a=14二、零点存在定理【问题思考】1.提示：不一定.如y=x2-1在区间(-2，2)上有两个零点，但f(2)·f(-2) >0.2.提示：方法1：利用方程的根,转化为解方程，方程有几个根相对应的函数就有几个零点.方法2：利用函数y=f(x)的图象与x轴交点的个数，从而判定零点的个数.方法3：结合函数的单调性.若函数在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，利用f(a)·f(b)<0，结合单调性可判定y=f(x)在(a，b)上零点的个数.方法4：转化成两个函数图象的交点问题，两个函数图象有几个交点,就说明有几个零点. 4.【答案】B【思考辨析】(1)×(2)√(3)×——合作探究·释疑解惑——探究一判断函数零点所在区间【例1】(1)【答案】C【解析】因为f(0)=e0+0-2=-1<0，f(1)=e1+1-2=e-1>0，所以f(0)·f(1)<0.由零点存在定理，f (x )的零点所在的一个区间为(0，1). (2)【答案】C【解析】由题意可得f (x )的定义域为(0，+∞)， 可知f (x )在区间(0，+∞)上是增函数.f (1)=ln(1+1)-2=ln 2-2<0，f (2)=ln(2+1)-1=ln 3-1>0， 可得f (1)·f (2)<0，由零点存在定理， 可知f (x )的零点所在大致区间是(1，2). 【变式训练1】 【答案】C【解析】因为f (32)=32+lg 32-3=lg 32−32<0，f (2)=2+lg 2-3=lg 2-1<0， f (52)=52+lg 52-3=lg 52−12<0，f (3)=3+lg 3-3=lg 3>0， f (72)=72+lg 72-3=12+lg 72>0.又f (x )在区间(0，+∞)上是增函数，故选C .探究二 求函数的零点【例2】 解：(1)解方程f (x )=x 2+7x+6=0， 得x=-1,或x=-6，所以函数的零点是-1，-6. (2)解方程f (x )=1-log 2(x+3)=0，得x=-1， 所以函数的零点是-1.(3)解方程f (x )=2x-1-3=0，得x=log 26， 所以函数的零点是log 26.(4)解方程f (x )=x 2+4x -12x -2=0，得x=-6(x=2舍去)，所以函数的零点是-6.【变式训练2】 解：由题意知f (-3)=0， 即(-3)2-3-a=0，得a=6. 所以f (x )=x 2+x-6.解方程x 2+x-6=0，得x=-3，或x=2. 所以函数f (x )还有一个零点，是2. 探究三 判断函数零点的个数【例3】解法1：函数对应的方程为ln x+x2-3=0，所以原函数零点的个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图象交点的个数.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=ln x和函数y=3-x2的图象(如图).由图象知，函数y=3-x2与y=ln x的图象只有一个交点，从而方程ln x+x2-3=0有一个根，即函数f(x)=ln x+x2-3有一个零点.解法2：由于f(1)=ln 1+12-3=-2<0，f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0，所以f(1)·f(2)<0.又f(x)=ln x+x2-3的图象在区间(1，2)上是不间断的，所以f(x)在区间(1，2)上必有零点.又f(x)在区间(0，+∞)上是增函数，所以f(x)只有一个零点.【变式训练3】【答案】B【解析】如图所示，在同一平面直角坐标系中，分别画出函数y=ln x，y=x-2的图象，可知两函数有两个交点,即f(x)有两个零点.探究四一元二次方程根的分布问题【例4】解：当a=0时，方程变为-2x-1=0，即x=-1，符合题意；2当a≠0时，方程为一元二次方程，由题意知方程有两个相等的实数根，所以Δ=[-2(a+1)]2-4a (a-1)=12a+4=0，解得a=-13. 综上可知，当a=0，或a=-13时， 函数f (x )=ax 2-2(a+1)x+a-1有且仅有一个零点.延伸探究解：因为方程有一根大于1，一根小于1，所以图象大致如图所示.令f (x )=ax 2-2(a+1)x+a-1，所以必须满足{a >0，f (1)<0，或{a <0，f (1)>0. 又f (1)=-3<0，所以a>0.故当a>0时，方程ax 2-2(a+1)x+a-1=0的一根大于1，一根小于1.——思 想 方 法——用数形结合思想判断函数零点的个数【典例】 分析：函数f (x )的零点个数即为方程f (x )=0的解的个数.令f (x )=0，即x 2-2|x|=a+1.令g (x )=x 2-2|x|，h (x )=a+1，则方程x 2-2|x| =a+1的解的个数即为函数g (x )与h (x )的图象交点的个数，故将问题转化为函数g (x )与h (x )的图象交点个数的问题.解：令g (x )=x 2-2|x|，h (x )=a+1，则g (x )={x 2-2x ,x ≥0，x 2+2x ，x <0，函数g (x )，h (x )的大致图象如图所示.又g (-2)=g (0)=g (2)=0，g (-1)=g (1)=-1，由图可得，当a+1<-1，即a<-2时，函数g (x )与h (x )的图象无交点；当a+1=-1，或a+1>0，即a=-2，或a>-1时，函数g (x )与h (x )的图象有2个交点；当-1<a+1<0，即-2<a<-1时，函数g(x)与h(x)的图象有4个交点；当a+1=0，即a=-1时，函数g(x)与h(x)的图象有3个交点.综上，当a<-2时，函数f(x)无零点；当a=-2，或a>-1时，函数f(x)有两个零点；当-2<a<-1时，函数f(x)有4个零点；当a=-1时，函数f(x)有3个零点.——随堂练习——1.【答案】D.【解析】令y=4x-2=0，得x=12.∴函数y=4x-2的零点为122.【答案】D【解析】∵函数f(x)的图象在区间(-1，3)上未必连续，故尽管f(-1)·f(3)<0，但方程y=f(x)=0在区间(-1，3)上未必有实数解.3.【答案】2【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x及y=x2的图象(图略)，可看出两图象有两个交点，故2x-x2=0的解的个数为2.4.【答案】(-∞，2)【解析】由题意可知f(0)=a-2<0，解得a<2.5.解：(1)令f(x)=0，即x+3=0，得x=-3.x所以函数f(x)的零点是-3.(2)令f(x)=0，即x2+2x+4=0，因为Δ=4-4×4=-12<0,所以此方程无解，故原函数无零点.(3)令y=0，即2x-3=0，2x=3，解得x=log23.故函数的零点为log23.(4)令y=0，即1-log5x=0，log5x=1，解得x=5.故函数的零点为5.。
新教材高中数学章末梳理5第五章函数应用课件北师大版必修第一册
冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t) 随时间t(单位：天)的变化规律，其中指数增长率r≈0.38，据此，在新冠 肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的10倍需要的时间约为
(ln 10≈2.30) A．4天
B．6天
C．8天
( C) D．10天
[解析] 设所需时间为 t1， 则 e0.38(t＋t1)＝10e0.38t，是 e0.38t＝10， ∴0.38t1＝ln 10≈2.3， ∴t1＝02..338≈6.
[解析] 设销售单价在进价的基础上增加 x 元，日销售利润为 y 元， 则 y＝x[480－40(x－1)]－200，
由于 x>0，且 520－40x>0，所以 0<x<13， 即 y＝－40x2＋520x－200，0<x<13. 所以当 x＝58200＝6.5 时，y 取得最大值即为了使日均销售利润最大， 销售单价应定为 5＋6.5＝11.5(元)．
因为 x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，所以由函数图象可知，f(x1)<0，f(x2)>0.
方法二：因为函数 y＝2x 与 y＝1－1 x在区间(1，＋∞)上单调递增，所 以函数 f(x)＝2x＋1－1 x在区间(1，＋∞)上单调递增，从而函数 f(x)在区间 (1，＋∞)内只有一个零点 x0，又 x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则由函数 的单调性可知，f(x1)<f(x0)＝0，f(x2)>f(x0)＝0.
例 2 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200 元 ， 每 桶 水 的 进 价 是 5 元 ． 当 销 售 单 价 为 6 元 时 ， 日 均 销 售 量 为 480 桶．根据数据分析，销售单价在进价基础上每增加1元，日均销售量就 减少40桶．为了使日均销售利润最大，销售单价应定为__1_1_.5___元．
2020年高中数学 新北师大版 必修第一册 5.2.2 用函数模型解决实际问题 学案
用函数模型解决实际问题【学习目标】1．通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养。
2．通过建立数学模型解决实际问题，培养数据分析、数学运算素养。
【学习重难点】1．会利用已知函数模型解决实际问题。
(重点)2．能建立函数模型解决实际问题。
(重、难点)【学习过程】一、初试身手1．下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为()A．一次函数模型B．二次函数模型C．对数函数模型D．指数函数模型2．一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型为()A．分段函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数3．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点。
用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是()4．用一根长为12 m 的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则铁框架的最大面积是________m 2． 【答案】 1．D 2．A[由图像知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数。
] 3．B[乌龟距离起点的距离始终在增加，符合一次函数的增长模型，兔子距离起点的距离先增加，再停止增加一段时间后又更快的增加，总之乌龟与兔子行进的路程是一样的，乌龟用的时间少，兔子用的时间长，综合以上分析，故选B ．]4．9[设铁框架的一边长为x m ，则其面积S ＝12－2x x 2＝－x 2＋6x ＝－(x －3)2＋9． 由⎩⎨⎧x >012－2x >0，得0<x <6． 所以，当x ＝3时，S 取最大值9．] 二、合作探究表格信息类建模问题【例1】年份 2015 2016 2017 2018 x (年)123生产总值(万亿元) 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式； (2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较； (3)利用关系式预测2019年该国的国内生产总值。
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2．1实际问题的函数刻画——读教材·知识梳理——[情境导入]爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕．若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁．也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理．例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式．假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%.[问题]五期后的本利和是多少？[新知初探]知识点实际问题的函数刻画1．在现实世界中，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画．函数刻画的方法可以使用图象，但常见的还是使用解析式．2．函数模型是应用最广泛的数学模型之一．许多实际问题一旦被认定是函数关系，就可以通过研究函数的性质，使问题得到解决．通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数解析式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的．[做一做]1．某地为了改善生态环境，政府决定绿化荒山，计划第一年先植树0.5万公顷，以后每年比上年增加1万公顷，每年植树的公顷数y(单位：万公顷)是时间x(单位：年)的函数，这个函数的图象是下图中的()2．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民本月用水量为()A．20 m3B．18 m3C．15 m3D．14 m33．某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．——研教材·典例精析——题型一解析式法刻画函数关系[例1]车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元．(1)若设自行车停放的辆次为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；(2)若估计前来停放的3 500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围．1．一次函数模型的实际应用应用一次函数模型时，应本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．2．一次函数的最值求解一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或ax＋b≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．[跟踪训练]某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km，之后以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求离开北京2 h 时火车行驶的路程．题型二图表法刻画函数关系[例2]某国2017年至2020年国内生产总值(单位：万亿元)如表所示，(1)画出函数图象，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较．利用已知图表中的数据根据条件画出图象，依据图象构建函数模型是解决此类问题的关键．[跟踪训练]某个体经营者把前六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才最合算．请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并求出最大纯利润．(精确到0.1万元)题型三 已知函数模型的实际应用问题[例3] 灌满水的热水瓶放在室内，如果瓶内水原来的温度是θ1 ℃，室内气温是θ0 ℃， t min 后，水的温度可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中，k 是一个与热水瓶类型有关的正的常量．现有一个某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100 ℃，1 h 后又测得瓶内水温变为98 ℃.已知某种茶叶必须用不低于85 ℃的水冲泡，现用这个热水瓶在早上六点灌满100 ℃的水，问：能否在这一天的中午十二点用瓶内的水来冲泡这种茶叶？(假定该地白天室温为20 ℃)[通性通法]某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x ，因变量为y ，它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为：第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型，了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定；第二步，求解数学模型，利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答； 第三步，转译成实际问题的解．[跟踪训练]某辆汽车以x km/h 的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x ≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为15⎝⎛⎭⎫x －k ＋4 500x L ，其中k 为常数．若汽车以120 km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L ．欲使每小时的油耗不超过9 L ，则x 的取值范围为________．[随堂检测]1．某数学小组进行社会实践调查，了解到雪花桶装水经营部在为定价发愁．进一步调研了解到如下信息：该经营部每天的房租，人工工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：根据以上信息，你认为该经营部的定价为多少才能获得最大利润？()A．每桶8.5元B．每桶9.5元C．每桶10.5元D．每桶11.5元2．据调查，某存车处(只存放自行车和电动车)在某天的存车量为400辆次，其中电动车存车费是每辆一次2元，自行车存车费是每辆一次1元．若该天自行车存车量为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝x＋400(0≤x≤400)B．y＝x＋800(0≤x≤400)C．y＝－x＋400(0≤x≤400)D．y＝－x＋800(0≤x≤400)3．通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M＝lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级，则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．参考答案——读教材·知识梳理——[新知初探] [做一做]1．【答案】A【解析】由题意知该一次函数的图象必过(1，0.5)和(2，1.5)两点，故排除B 、C 、D. 2．【答案】C【解析】设用水量为x m 3，水费为y 元， (1)当0≤x ≤12时，y ＝3x ， 令3x ＝54可得x ＝18(舍)；(2)当12<x ≤18时，y ＝12×3＋6(x －12)＝6x －36， 令6x －36＝54可得x ＝15.符合题意，故选C. 3．【答案】60【解析】设涨价x 元，销售的利润为y 元，则y ＝(50＋x －45)(50－2x )＝－2x 2＋40x ＋250＝－2(x －10)2＋450，所以当x ＝10，即销售价为60元时，y 取得最大值．——研教材·典例精析——题型一 解析式法刻画函数关系[例1] 解：(1)由题意得y ＝0.3x ＋0.5(3 500－x )＝－0.2x ＋1 750(x ∈N ＋且0≤x ≤3 500)． (2)若电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，则 3 500×(1－40%)≤x ≤3 500×(1－25%)， 即2 100≤x ≤2 625.根据函数y ＝－0.2x ＋1 750(2 100≤x ≤2 625)的图象(图略)，可得函数y ＝－0.2x ＋1 750(2 100≤x ≤2 625)的值域是[1 225，1 330]， 即收入在1 225元至1 330元之间．[跟踪训练]解：因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝115(h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t km ，所以火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的函数关系式为s ＝13＋120t ⎝⎛⎭⎫0≤t ≤115.离开北京2 h 时火车匀速行驶的时间为2－16＝116(h)，此时火车行驶的路程s ＝13＋120×116＝233(km).题型二 图表法刻画函数关系[例2] 解：(1)根据表中数据画出函数图象，如图所示．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为y ＝kx ＋b . 把直线通过的两点(0，8.206 7)和(3，10.239 8)代入上式，解方程组，可得k ＝0.677 7， b ＝8.206 7.所以它的一个函数关系式为y ＝0.677 7x ＋8.206 7.(2)由(1)中得到的关系式为f (x )＝0.677 7x ＋8.206 7，计算出2018年和2019年的国内生产总值分别为f (1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4(万亿元)， f (2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1(万亿元)． 与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．[跟踪训练]解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，画出散点图，如图所示．据此，可考虑用函数y ＝－a (x －4)2＋2(a >0) ①表示投资A 种商品的金额与其纯利润的关系，用y ＝bx (b >0) ②表示投资B 种商品的金额与其纯利润的关系． 把x ＝1，y ＝0.65代入①式，得0.65＝－a (1－4)2＋2，解得a ＝0.15，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资A 种商品的金额的函数解析式可近似地用y ＝－0.15(x －4)2＋2来表示．把x ＝4，y ＝1代入②式，解得b ＝0.25，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资B 种商品的金额的函数解析式可近似地用y ＝0.25x 来表示．设下个月投入A ，B 两种商品的资金分别是x A 万元，x B 万元，纯利润为W 万元，得⎩⎪⎨⎪⎧x A ＋x B ＝12，W ＝y A ＋y B ＝－0.15（x A －4）2＋2＋0.25x B ， 即W ＝－0.15⎝⎛⎭⎫x A －1962＋0.15×⎝⎛⎭⎫1962＋2.6. 故当x A ＝196≈3.2时，W 取得最大值，约为4.1，此时，x B ＝8.8.即下个月投入A ，B 两种商品的资金分别约为3.2万元，8.8万元时，可获得最大纯利润，约为4.1万元.题型三 已知函数模型的实际应用问题 [例3] 解：根据题意，有98＝20＋(100－20)e －60k，整理得e－60k＝3940， 利用计算器，算得k ≈0.000 42. 故θ＝20＋80e－0.000 42t.从早上六点到这一天的中午十二点共经过6 h ，即360 min. 当t ＝360时，θ＝20＋80e －0.000 42×360≈89.因为89 ℃>85 ℃，所以能在这一天的中午十二点用瓶内的水来冲泡这种茶叶．[跟踪训练]【答案】[60，100]【解析】设每小时的油耗(所需要的汽油量)为y L ，由题意可得y ＝15⎝⎛⎭⎫x －k ＋4 500x ， 当x ＝120时，y ＝11.5，∴11.5＝15⎝⎛⎭⎫120－k ＋4 500120，解得k ＝100，∴y ＝15⎝⎛⎭⎫x －100＋4 500x .要使每小时的油耗不超过9 L ，则15⎝⎛⎭⎫x －100＋4 500x ≤9，即x 2－145x ＋4 500≤0， 解得45≤x ≤100，又60≤x ≤120，可得60≤x ≤100，故当每小时的油耗不超过9 L 时， x 的取值范围为[60，100]．[随堂检测]1．【答案】D【解析】根据表格可知销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶． 设每桶水的价格为(6＋x )元，公司日利润为y 元，则y＝(6＋x－5)(480－40x)－200＝－40x2＋440x＋280(0≤x≤12)，∴当x＝5.5时函数y有最大值，因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大．2．【答案】D【解析】因为自行车存车量为x辆次，所以电动车存车量为(400－x)辆次，所以y＝x＋2(400－x)＝－x＋800(0≤x≤400)，故选D.3．【答案】100【解析】当M＝7时，∵7＝lg A－lg A0＝lg AA0，∴AA0＝107，∴A＝A0107，当M＝5时，∵5＝lg A－lg A0＝lg AA0，∴AA0＝105，∴A＝A0105，从而可得7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的100倍．。