大三高数经典题目
大三期末数学试卷
考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数 \( f(x) = x^3 - 3x \)，则 \( f(x) \) 的极值点为：A. \( x = -1 \)B. \( x = 0 \)C. \( x = 1 \)D. \( x = -1 \) 和 \( x = 1 \)2. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2 \)，则 \( \lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x} \) 等于：A. 3B. 6C. 9D. 123. 设 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，则 \( A \) 的行列式 \( \det(A) \) 为：A. 0B. 2C. 5D. 74. 若 \( x^2 + y^2 = 1 \)，则 \( \int_0^{2\pi} x \, dx \int_0^{2\pi} y \, dy \) 等于：A. 0B. \( 2\pi \)C. \( 4\pi \)D. \( 8\pi \)5. 设 \( f(x) = e^x \)，则 \( f'(x) \) 为：A. \( e^x \)B. \( e^x + x \)C. \( e^x - x \)D. \( e^x + 1 \)二、填空题（每题5分，共25分）6. 设 \( f(x) = \ln(x + 1) \)，则 \( f'(x) = \) ________。
7. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = \) ________。
8. 设 \( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \)，则 \( A^{-1} = \) ________。
高数三真题
首先，我们需要明确一下高数三是指的哪门
课程。
高等数学是大学数学中的重要课程，
通常分为高数一、高数二、高数三三个部分。
高数三是高等数学中的一门复杂的课程，主
要涵盖了微积分、多元函数微积分以及重积
分等内容。
在准备高数三考试的时候，复习历年真题是
非常必要的。
历年的高数三真题会涵盖这门
课程的各个方向和知识点，看到考试时相似
的题目便可以很快的做出正确的答案。
以下是一些历年高数三的真题解析：
2019年四川高考高数三试题分析，该试卷的
难度整体较大，需要考生有比较实际的数学运算基础和数学分析能力。
试卷主要覆盖了微积分和常微分方程两个大的知识点，计算题和证明题同时出现。
其中证明题相对来说难度较大，需要考生对定理的理解和运用能力。
2018年广东高考高数三试题分析，该试卷总体难度适中，主要考察高数三的微积分基本原理，二重积分，三重积分，定积分和隐函数及导数应用。
试卷中的计算题难度较低，但是需要考生对知识点的理解和记忆扎实。
而证明题则较为困难，需要考生分析题目，结合已知定义推导出结论。
总的来说，高数三课程是大学数学教育中的难点，需要有较强的数学推理和分析能力，同时针对历年真题进行的备考复习可以有助于学生熟悉考试难度和出题方式，从而取得令人满意的成绩。
大学高等数学下考试题库(附答案)
大学高等数学下考试题库(附答案)一、填空题（每题2分，共20分）1. 设函数f(x)在区间I上单调递增，若a < b，则必有__________。
【答案】f(a) < f(b)2. 函数y = e^x在区间（-∞，+∞）上的最小值为__________。
【答案】03. 设函数f(x) = x^3 - 6x + 9，则f'(x) =__________。
【答案】3x^2 - 64. 设矩阵A = [a_{ij}]，则矩阵A的行列式det(A) = __________。
【答案】a_{11}a_{22}...a_{nn} -a_{11}a_{23}...a_{n2} + a_{12}a_{21}...a_{n3} - ... + (-1)^(n+1)a_{1n}a_{21}...a_{n1}5. 向量组α = (α1, α2, α3)和β = (β1, β2, β3)垂直的条件是__________。
【答案】α1β1 + α2β2 + α3β3 = 06. 设线性方程组Ax = b的解集为N，则N是__________。
【答案】向量空间7. 若函数f(x)在区间（a，b）上连续，且f(a) = f(b)，则函数f(x)在区间（a，b）上必有零点，此结论称为__________。
【答案】零点定理8. 设函数f(x)在区间I上单调递减，若a < b，则必有__________。
【答案】f(a) > f(b)9. 设函数f(x) = ln(x)，则f''(x) =__________。
【答案】1/x10. 设矩阵A = [a_{ij}]，则矩阵A的逆矩阵A^-1 = __________。
【答案】(1/det(A))[c_{ij}]，其中c_{ij} = (-1)^(i+j)det(A)/a_{ii}a_{jj}二、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数在区间（0，1）上单调递增的是__________。
大三高数考试题及答案
大三高数考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(1)的值为：A. 0B. -2C. 1D. 2答案：B2. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 1B. 0C. -1D. 2答案：A3. 若函数f(x)在点x=a处可导，则以下说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不连续D. f(x)在x=a处的导数为0答案：A4. 以下哪个函数是奇函数：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：B5. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 1/4D. 1答案：A6. 以下哪个选项是二阶导数：A. f'(x)B. f''(x)C. f'''(x)D. f(x)答案：B7. 若函数f(x)的导数f'(x)=2x，则f(x)的原函数为：A. x^2 + CB. x^2 - CC. x^3 + CD. x^3 - C答案：A8. 以下哪个选项是二重积分：A. ∫f(x) dxB. ∫∫f(x,y) dxdyC. ∫f(x) dyD. ∫f(x,y) dydx答案：B9. 若函数f(x)的不定积分为F(x)，则以下说法正确的是：A. F(x)是f(x)的原函数B. F(x)是f(x)的导数C. F(x)是f(x)的二阶导数D. F(x)是f(x)的积分答案：A10. 以下哪个选项是正确的泰勒级数展开：A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...C. cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...D. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x的导数为________。
高等数学典型习题及参考答案
⾼等数学典型习题及参考答案第⼋章典型习题⼀、填空题、选择题1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是2、平⾏于向量}1,2,1{a -=?的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为且与平⾯过点=--+-z y x4、.xoz y z y x :⾯上的投影柱⾯⽅程是在曲线??==++Γ2102225、()==-=+=+=-δλδλ则平⾏与设直线,z y x :l z y x :l 1111212121()23A ()12B ()32C ()21D6、已知k 2j i 2a +-=,k 5j 4i 3b ?-+=,则与b a 3??-平⾏的单位向量为 ( )（A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{- （C ）}11,7,3{1291-±（D ）}11,7,3{1791-± 7、曲线==++2z 9z y x 222在xoy 平⾯上投影曲线的⽅程为（）（A ）==+2z 5y x 22 （B ）==++0z 9z y x 222（C ）==+0z 5y x 22 （D ）5y x 22=+8、设平⾯的⼀般式⽅程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平⾯必( ) (A)平⾏于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的⽅程分别为251214:1+=+=+z y x L ，67313:2+=+=z y x L ，41312:3-=+=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L10、设平⾯的⼀般式⽅程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平⾯必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy ⾯(D) 平⾏于xoy ⾯11、⽅程05z 3y 3x 222=-+所表⽰的曲⾯是（）（A ）椭圆抛物⾯（B ）椭球⾯（C ）旋转曲⾯（D ）单叶双曲⾯⼆、解答题1、设⼀平⾯垂直于平⾯0=z ，并通过从点)1,1,1(-P 到直线??=+-=010z y x 的垂线，求该平⾯⽅程。
大学高等数学习题及答案
高等数学（A）1习题1-11.求下列函数的自然定义域：(3)y =1-1-x 2x⎧1-x 2≥0⎧-1≤x ≤1解：由⎨，所以函数的定义域为：[-1,0)⋃(0,1]⇒⎨⎩x ≠0⎩x ≠0(7)y =arcsin(x -3)解：由-1≤x -3≤1⇒2≤x ≤4，所以函数的定义域为：[2,4]1(8)y =3-x +arctanx⎧3-x ≥0⎧x ≤3解：由⎨x ≠0⇒⎨x ≠0，所以函数的定义域为：(-∞,0)⋃(0,3]⎩⎩9.求下列函数的反函数：（1）y =3x +1解：由y 3=x +1⇒x =y 3-1，所以反函数为：y =x 3-11-xy =（2）1+x解：由y (1+x )=1-x ⇒x =1-x 1-yy =1+x1+y ，所以反函数为：习题1-21.下列各题中，哪些数列收敛？哪些数列发散？1(2){(-1)n }n 收敛.且极限为0.⎧n -1⎫(4)⎨⎬n +1⎩⎭收敛，且极限为12n -1(6){3n }2n -12n 1n收敛.且因为：3n =(3)-(3)，知极限为0.习题1-3x |x |当x →0时的左、右极限，并说明它们在x →0时的极限4.求f (x )=,φ(x )=x x 是否存在.解：x →0lim -f (x )=lim -x →0x →0x x=lim -1=1,lim +f (x )=lim +=lim +1=1x →0x →0x x →0x x →0∴lim f (x )=1|x |-x |x |x=lim -lim(-1)=-1,lim φ(x )=lim =lim =lim +1=1x →0x →0x x →0x x →0-x →0+x →0+x x →0+x x →0∴lim φ(x )不存在.lim -φ(x )=lim -x →0习题1-44.求下列极限并说明理由.（1）lim x →∞2x +1x2x +1112x +1=2+,而lim =0,由定理1可知：lim =2.解：x x →∞x →∞x x x 1-x 2(2)lim x →∞1-x1-x 2(1-x )(1+x )1-x 2=1+x ，而lim x =0,由定理1可知：lim =1解：1-x =x →0x →01-x1-x 习题1-51.计算下列极限.x 2-32（2）x lim →3x +1解：lim x →x -3x →30===023x +1lim(x 2+1)4x →32lim(x 2-3)x 2-2x +1（3）lim x →1x 2-1x 2-2x +1(x -1)2x -1lim =lim =lim =0解：x →1x 2-1x →1(x +1)(x -1)x →1x +14x 3-2x 2+x （4）lim x →03x 2+2x 解：lim 4x -2x +x 4x -2x +1=lim =x →0x →03x 2+2x 3x +2322lim(4x 2-2x +1)x →0lim(3x +2)x →0=1=02x 2-1（7）lim x →∞2x 2-x -11)2x -11x →∞x lim =lim ==解：x →∞2x 2-x -1x →∞111122--2lim(2--2)x x x →∞x x 21-1x 2lim(1-x 2-6x +8（9）lim x →4x 2-5x +4x 2-6x +8(x -4)(x -2)(x -2)2lim =lim =lim 解：x →4x 2-5x +4x →4(x -4)(x -1)x →4(x -1)=3习题1-61.计算下列极限：1-cos2x lim （5）x →0x sin x 1-cos2x 2sin 2x sin xlim =lim =2lim =2⋅1=2解：x →0x sin x x →0x sin x x →0x 2.计算下列极限.-x )（1）lim(1x →0-1lim(1-x )=lim[(1+(-x ))]=e 解：x →0x →01x1-x -11x+2x )（2）lim(1x →02lim(1+2x )=lim[(1+2x )]=e 解：x →0x →01x12x 21x习题1-75.利用等价无穷小的性质，求下列极限：tan3xlim （1）x →02x tan3x ~3x ,∴lim 解：当x →0时，（3）lim x →0tan3x 3x 33=lim =lim =x →0x →02x x →022x 2tan x -sin xsin 3x 1x ⋅x 2tan x -sin x tan x (1-cos x )2=lim 1=1lim =lim =lim 333x →0x →0x →0x →02sin xsin x x 2解：1(x →0,tan x ~x ,1-cos x ~x 2,sin 3x ~x 3)2习题1-83.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点，那么补充或改变函数的定义使它连续：x 2-1（1）y =x 2-3x +2，x =1,x =2解：在x =1点，lim y =lim x →1(x -1)(x +1)(x +1)=lim =-2x →1(x -1)(x -2)x →1(x -2)故x =1点为第一类中的可去间断点.如果补充f (1)=-2,则f (x )在x =2点连续。
高数竞赛题
1、设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f(a) = 0，f(b) = 1。
若存在ξ∈ (a,b) 使得 f'(ξ) = 2，则以下哪个结论必然成立？A. ∀x ∈ (a, b), f(x) ≤ 2x - aB. ∃x₁, x₂∈ (a, b), f(x₁) < f(x₂)C. ∀x ∈ (a, ξ), f(x) < (x - a)/(b - a)D. ∃x₀∈ (a, b), f(x₀) = 1/2 且 f'(x₀) = 0（答案）2、设数列 {a_n} 满足 a_1 = 1，a_{n+1} = a_n + 2/a_n，则以下关于数列 {a_n} 的说法正确的是？A. {a_n} 是递减数列B. 对任意正整数 n，有 a_n < n + 1C. 存在正整数 k，使得 a_k < k 但 a_{k+1} > k + 1D. 对任意正整数 n，有 a_n ≥√(2n + 1)（答案）3、设函数 f(x, y) = x2 + y2 - 2x - 2y + 1，则 f(x, y) 在区域 D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 2} 上的最小值为？A. -1B. 0C. 1 - √2（答案）D. 2 - 2√24、设向量 a = (1, 2)，b = (2, 1)，c = (1, -2)，若 (a + λb) ⊥ c，则实数λ的值为？A. -1/2B. 1/2（答案）C. -2D. 25、设函数 f(x) = x3 - 3x2 + 2，则 f(x) 的极值点个数为？A. 0B. 1C. 2（答案）D. 36、设矩阵 A = [1 2; 3 4]，B = [2 0; 1 1]，则 AB - BA =？A. [0 -2; 2 0]（答案）B. [2 2; -2 -2]C. [0 2; -2 0]D. [-1 -2; 3 4]7、设函数 f(x) = ex - x - 1，则不等式 ex > x2 + x + 1 的解集为？A. (-∞, 0)B. (0, +∞)（答案）C. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)D. (-1, 0) ∪ (0, 1)8、设函数 f(x) = (x - a)(x - b)(x - c)，其中 a, b, c 是互不相等的实数。
大学高等数学各章节练习题
第一章 极限与连续一、填空1、设11()01x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则[]()___________.f f x =2、若数列{}n x 收敛，则数列{}n x 一定 。
3、若0lim ()x x f x A →=,而0lim ()x x g x →不存在,则0lim(()())x x f x g x →+ .4、当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小,则_______=a5、设函数()f x 在点0x x =处连续，则()f x 在点0x x =处是否连续.6、设21))((,sin )(x x f x x f -==ϕ,则)(x ϕ的定义域为_________7、如果⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,00,12sin )(2x x xe x xf ax 在),(+∞-∞内连续，则__=a8、 曲线22x e x y -=的渐近方程为__________________二、选择9、如果)(),(x g x f 都在0x 点处间断，那么( ） （A))()(x g x f +在0x 点处间断 (B ）)()(x g x f -在0x 点处间断 （C))()(x g x f +在0x 点处连续 （D ）)()(x g x f +在0x 点处可能连续. 10、设数列n x 与n y 满足lim 0n n n x y →∞=,则下列断言正确的是( )（A ）若n x 发散，则n y 必发散. (B)若n x 无界，则n y 必有界 （C)若n x 有界，则n y 必为无穷小（D ）若1nx 为无穷小，则n y 必为无穷小。
11、已知0()lim0x f x x→=，且(0)1f =，那么（ ）（A)()f x 在0x =处不连续。
(B ）()f x 在0x =处连续。
（C ）0lim ()x f x →不存在。
（D ）0lim ()1x f x →=12、设2()43x x f x x x+=- ，则0lim ()x f x →为（ ）（A ）12 (B ）13 (C) 14 （D)不存在 13、设2(1)sin ()(1)x xf x x x-=-，那么0x =是函数的（ ） （A ）无穷间断点.（B ）第二类间断点。
南湖校区大三数学测试题
南湖校区大三数学测试题(一)6）如图，点A、B的坐标分别为（2，0）、（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则的值( )(A) 2．（B）3．（C）4．（D）5．（7）如图，将Rt△ABC(其中∠B＝34°，∠C＝90°）绕A点按顺时针方向旋转到△AB1 C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（）(A) 56°．（B）68°．（C）124°．（D）180°．(11)如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数1yx=的图象上，则图中阴影部分的面积等于.☆(22) 二次函数32++=bxaxy,根据表格中的数据可得y与x的函数关系式是（）x-11ax21ax2+bx+38（A）342+-=xxy．（B）342++=xxy．（C）332--=xxy．（D）332++=xxy．如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为（）(A)24π．(B)32π．(C)36π．(D)48π．如图①，在55⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．请在所给网格中按下列要求画出图形．（1）从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22．（2）以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数．64主视图左视图64图①图（第1（6）题）（第1（7）题）Oyx(3,b)A1(a,2)B1C11BA7．如图，一次函数1y kx m =+和二次函数22y x bx c =++的图象相交于点A (1，0)，B (3，2)．(1)求一次函数和二次函数的关系式． (2)求1y ＜2y 时，x 的取值范围．10．用铝合金型材做一个形状如图①所示的矩形窗框，设窗框的一边为x （单位：m ），窗户的透光面积为y （单位：m 2），y 与x 的函数图象如图②所示． (1)观察图象，当x 为何值时，窗户透光面积最大 (2)当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少图① 图②8．如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过矩形ABCD 的两个顶点A 、B ，AB 平行于x 轴，对 角线BD 与抛物线交于点P ，点A 的坐标为(0，2)，AB ＝4． (1)求抛物线的解析式；(2)若S △APO ＝23，求矩形ABCD 的面积．。
高等数学试题题库及答案
高等数学试题题库及答案一、单项选择题（每题2分，共10题）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数是：A. 2x+2B. 2x+1C. x^2+2xD. 2x^2+2x+1答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：B3. 若f(x)在x=a处连续，则下列哪个选项一定成立：A. f(a)存在B. f(a)=lim(x→a)f(x)C. f(a)=lim(x→a)f(x)且f(a)存在D. f(a)不存在答案：C4. 函数y=e^x的不定积分是：A. e^x + CB. e^xC. ln(e^x) + CD. ln(x) + C答案：A5. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 2答案：C6. 以下哪个函数是奇函数：A. f(x)=x^2B. f(x)=x^3C. f(x)=x+1D. f(x)=x^2+1答案：B7. 二重积分∬(x^2+y^2)dxdy在区域D上，其中D是由x^2+y^2≤1定义的圆盘，其值是：A. πB. 2πC. π/2D. 4π答案：A8. 微分方程dy/dx=2x的通解是：A. y=x^2+CB. y=2x+CC. y=x^2D. y=2x^2+C答案：A9. 函数f(x)=x^3在x=0处的泰勒展开式是：A. x^3B. x^3+3x^2+3x+1C. x^3+3x^2+3xD. x^3+3x^2答案：C10. 以下哪个级数是收敛的：A. 1+1/2+1/4+1/8+...B. 1-1/2+1/3-1/4+...C. 1+1/2+1/3+1/4+...D. 1-1/2+1/3-1/4+1/5-...答案：A二、填空题（每题3分，共5题）11. 函数f(x)=x^2+3x+2的二阶导数是________。
答案：212. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+x)的值是________。
大学,高等数学,历年考题(Word最新版)
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偏导数的几何应用 1. [2021] 求曲面在点处的切平面和法线方程解令，则从而切点的法向量为从而切平面为法线方程为3、[07]曲线在点的切线方程为. 4.[07]（化工类做）在曲面上求出切平面，使所得的切平面与平面平行。
解：曲面的法向量应与平面平面的法向量平行，从而有，由于切点在曲面上因此切平面为5.[2006]已知直线和平面则（B）A、在内B、与平行，但不在内C、与垂直D、不与垂直，不与平行 6.[2006]曲面在点处的法线方程是7. [2006]（化工类做）已知直线和，证明：，并求由所确定的平面方程。
证明：直线上任取两点，则是的方向向量；的一个方向向量为，因为，所以设所确定的平面方程为，它经过点和点，所以所求方程为二。
多元函数1. 【2021】设，则2. 【2021】设,则3. 【2021】函数在点处沿指向点方向的方向导数4. 【2021】证明函数在点不连续，但存在有一阶偏导数解因为与有关，故二重极限不存在，因而由连续定义函数在点不连续。
又，或，或于是函数在点存在有一阶偏导数。
5.【2021】设, 求解令，则，于是用公式得6. [2021] 在曲面上找一点，使它到点的距离最短，并求最短距离。
解设点为，则等价于求在约束之下的最小值。
令且由解得驻点，最短距离为（令计算起来更加便利，舍去驻点，）7.[2021] 8.[2021] 9.【2021】设函数有二阶连续偏导数,求函数的二阶混合偏导数.10.【2021】求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向削减得最快？沿哪个方向的值不变？11.【2021】求函数的极值.12.[2021]13. [2021] 14. [2021]15. [2021]16.[2009]17.[2009]18.[2009] 设，其中函数具有二阶连续偏导数，求。
高等数学300题(含答案)
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2
2
x 1 , 代入 g(1 2x) 1 x 即可得到结果 3.
4
x
10 、 设 f (x) 2x 5 , 则 f f (x) 1 .
解: f (x) 1 2x 5 1 2x 4,则f 「 f (x) 1[ f (2x 4) 2(2x 4) 5 4x 13
0 ,则正整数 n =
x 0 s]n x
x0 1 cos x
x2 ln 1 x2
解: ∵ l]m
l]m x2 x2
x0 s]nn x
x x0
n
2
27、 l]m(1 x) x x0
n 4 0, l]m xn n 2 0 n 2, n 4, x x0 2 2
故n 3 .
(
)
A、 1
B. 0
解 : ∵ l]m
x0
s]
n x
x
1,
「 l]m x 0【
x
s]nx1⎠
⎞
C. 1
a
o
a
a
1
│
D. 2
选 C.
29、函数
f
(x)
〔e
1
, x 1
x
1
,
在点
x
1处
0, x 1
A、连续
B、不连续, 但右连续
(
)
C、不连续, 但左连续
1
1
解 : f (1) 0, l]m e x 1 , l]m e
32 、 f (x) s]n bx , x 0 在 x 0 处连续, a 与 b 的关系为
.
2x
考点 7 函数间断点的类型判定
33、 x 0 是函数 f (x) arci an 1 的 x
大三高等数学试卷及答案
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.设函数f(x)在区间(a,b)内连续，且a和b为f(x)的不连续点，则f(x)在(a,b)内是否有界？A.有界B.无界C.不能确定D.与a和b的值有关2.设数列{an}收敛于A，则下列哪个数列收敛于0？A.{anA}B.{Aan}C.{an+A}D.{1/an}3.设函数f(x)在区间I上可导，且f'(x)>0，则f(x)在I上：A.单调递增B.单调递减C.有极值点D.不能确定4.设函数f(x)在区间(a,b)内连续，且在(a,b)内f(x)>0，则下列哪个结论是正确的？A.∫(atob)f(x)dx>0B.∫(atob)f(x)dx<0C.∫(atob)f(x)dx=0D.不能确定5.设函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则下列哪个结论是正确的？A.f(x)在(a,b)内单调递增B.f(x)在(a,b)内单调递减C.f(x)在(a,b)内有极值点D.不能确定二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内一定可导。
（）2.若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增，则f'(x)>0。
（）3.若函数f(x)在区间(a,b)内有界，则f(x)在(a,b)内一定可积。
（）4.若函数f(x)在区间(a,b)内可导，则f(x)在(a,b)内一定连续。
（）5.若函数f(x)在区间(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内一定存在原函数。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1.函数f(x)=x^33x在区间(-∞,+∞)内的单调递增区间是______。
2.函数f(x)=e^x的n阶导数是______。
3.设函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在(a,b)内______。
4.设函数f(x)在区间(a,b)内连续，且在(a,b)内f(x)>0，则∫(atob)f(x)dx______0。
大学数学竞赛题库及答案
大学数学竞赛题库及答案大学数学竞赛通常涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计、数学分析等多个领域。
以下是一些典型的大学数学竞赛题目及其答案。
# 题目一：高等数学题目：求函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 在区间 \( [1, 2] \)上的最大值和最小值。
答案：首先，我们找到函数的导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)。
令导数等于零，解得 \( x = \frac{1}{3} \)。
这个点不在给定区间内，所以我们需要检查区间端点的函数值。
在 \( x = 1 \) 时，\( f(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 1 = 2 \)。
在 \( x = 2 \) 时，\( f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 1 = 9 \)。
因此，函数在区间 \( [1, 2] \) 上的最大值为 9，最小值为 2。
# 题目二：线性代数题目：求解线性方程组：\[ \begin{cases}x + y + z = 6 \\2x - y + z = 1 \\3x + y + 2z = 8\end{cases} \]答案：我们可以使用高斯消元法来解这个方程组。
首先将方程组写成增广矩阵的形式，然后进行行操作：\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\2 & -1 & 1 & 1 \\3 & 1 & 2 & 8\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\0 & -3 & -1 & -11 \\0 & 1 & 1 & 2\end{array}\right] \]继续行操作，得到：\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -2 & -5 \\0 & 1 & 1 & 2 \\0 & 0 & 3 & 13\end{array}\right] \]最后，我们得到解为 \( x = 1, y = 2, z = 3 \)。
大学高等数学 第三章典型例题及小结
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
f (x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
证明 e x (ax 2 bx c ) 0 至多有三个实根 证 记
f ( x ) e x (ax2 bx c )
直接证明有困难，采用反证法
设 f ( x ) 0 有四个实根 x1 x2 x3 x4
记 f ( x ) e (ax bx c ) 连续、可导 对 f ( x ) 在[ x1 , x2 ],[ x2 , x3 ],[ x3 , x4 ] 用罗尔定理得
x ln(1 x) x ( x 0) . 例3. 证明不等式 1 x 证: 设 f (t ) ln(1 t ) ,
中值定理条件, 因此应有
即
因为
故
例4. 设
至少存在一点 证: 结论可变形为 使
证明
设 F ( x) x 2 , 则 f ( x) , F ( x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使
x
lim
x2 x
2
x 1
lim
x
1 1 1 1 2
思考: 如何求 lim
2
arctan n
1 n
n
( n 为正整数) ?
例3. 求
高等数学(大二、三)题库
（一）函数、极限、连续一、选择题：1、 在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。
(A);1+=x y (B);2x x y -= (C)34+-=x y (D)25-=x y2、 当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( )（A ）无穷大量 （B ）无穷小量 （C ）无界函数 （D ）有界函数 3、 当x →1时，31)(,11)(x x xxx f -=+-=ϕ都是无穷小，则f (x )是)(x ϕ的( ) （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）等阶无穷小 4、 x =0是函数xarctgx f 1)(=的( ) （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点； （C ）振荡间断点 （D ）无穷间断点 5、 下列的正确结论是（ ）（A ）)(lim x f xx →若存在，则f (x )有界；（B ）若在0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0x g x x →),(lim 0x h x x →都存在，则),(lim 0x f x x →也 存在；（C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根;（D ） 当∞→x 时，xx x x x a sin )(,1)(==β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比. 二、填空题：1、 若),1(3-=x f y Z且x Zy ==1则f (x )的表达式为 ;2、 已知数列n x n 1014-=的极限是4, 对于,1011=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ;3、 3214lim1x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、 设,)(ax ax x f --=则x =a 是f (x )的第 类 间断点; 5、,0,;0,)(,sin )(⎩⎨⎧>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则n = ； 三、 计算题:1、计算下列各式极限： （1）x x x x sin 2cos 1lim0-→； （2）xxx x -+→11ln 1lim 0；（3）)11(lim 220--+→x x x （4）xx x x cos 11sinlim30-→（5）x x x 2cos 3sin lim 0→ （6）xx xx sin cos ln lim0→2、确定常数a , b ，使函数⎪⎩⎪⎨⎧-<<∞---=<<-+=1,11,11,arccos )(2x x x b x x a x f 在x =-1处连续.四、证明：设f (x )在闭区间[a , b ]上连续，且a <f (x )<b , 证明在(a , b )内至少有一点ξ，使()f ξξ=.（二）导数与微分一、填空题:1、 设0()f x '存在，则t t x f t x f t )()(lim 000+--+→= ;2、 ,1,321,)(32⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x x x f 则(1)f '= ; 3、 设xey 2sin =, 则dy = ;4、 设),0(sin >=x x x y x则=dxdy; 5、 y =f (x )为方程x sin y + y e 0=x确定的隐函数, 则(0)f '= .二、选择题:1、)0(),1ln()(2>+=-a a x f x 则(0)f '的值为( )(A) –ln a (B) ln a (C)a ln 21 (D) 21 2、 设曲线21xey -=与直线1x =-相交于点P , 曲线过点P 处的切线方程为( ) (A) 2x -y -2=0 (B) 2x +y +1=0 (C) 2x +y -3=0 (D) 2x -y +3=03、 设⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=0),1(0)(2x x b x e x f ax 处处可导，则( )(A) a =b =1 (B) a =-2, b =-1 (C) a =0, b =1 (D) a =2, b =14、 若f (x )在点x 可微,则xdyy x ∆-∆→∆0lim 的值为( ) (A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) 不确定 5、设y =f (sin x ), f (x )为可导函数，则dy 的表达式为( ) (A)(sin )f x dx ' (B)(cos )f x dx ' (C)(sin )cos f x x ' (D)(sin )cos f x xdx '三、计算题：1、 设对一切实数x 有f (1+x )=2f (x ),且(0)0f '=,求(1)f '2、若g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0,00,1cos 2x x x x 又f (x )在x =0处可导，求))((=x x g f dx d3、 求曲线⎩⎨⎧=++=-+010)1(y te t t x y 在t =0处的切线方程4、 f (x )在x =a 处连续,),()sin()(x f a x x -=ϕ求)('a ϕ5、 设3222()x y y u x x =+⋅=+, 求.dudy 6、 设()ln f x x x =, 求()()n fx . 7、.（三）中值定理与导数的应用一、填空题：1、 函数f (x )=arctan x 在[0 ,1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ= ;2、 若01lim sin 22ax x e b x →-=则a = , b = ; 3、 设f (x )有连续导数，且(0)(0)1f f '==则)(ln )0()(sin limx f f x f x -→= ;4、x e y x sin =的极大值为 ，极小值为 ;5、 )10(11≤≤+-=x xxarctgy 的最大值为 ，最小值为 . 二、选择题：1、 如果a,b 是方程f(x)=0的两个根，函数f(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，那么方程f’(x)=0在(a,b)内（ ）（A ）仅有一个根； （B ）至少有一个根； （C ）没有根； （D ）以上结论都不对。
高数三复习题
高数三复习题一、极限的概念与性质1. 极限的定义- 请解释数列极限的定义。
- 给出函数在某点极限的定义。
2. 极限的性质- 极限的唯一性、有界性、保号性。
- 极限的四则运算法则。
3. 极限存在的条件- 请列举函数极限存在的条件。
4. 无穷小与无穷大- 无穷小的定义和阶数。
- 无穷大的概念。
二、导数与微分1. 导数的定义- 给出导数的定义，并解释其几何意义。
2. 基本导数公式- 列出基本初等函数的导数公式。
3. 高阶导数- 解释高阶导数的概念，并给出求高阶导数的方法。
4. 微分- 微分的定义和几何意义。
- 微分与导数的关系。
三、中值定理与泰勒公式1. 罗尔定理- 罗尔定理的条件和结论。
2. 拉格朗日中值定理- 拉格朗日中值定理的条件和结论。
3. 柯西中值定理- 柯西中值定理的条件和结论。
4. 泰勒公式- 泰勒公式的定义和应用。
四、不定积分1. 不定积分的定义- 解释不定积分的概念。
2. 基本积分公式- 列出基本初等函数的积分公式。
3. 换元积分法- 解释换元积分法的原理和应用。
4. 分部积分法- 分部积分法的原理和应用。
五、定积分1. 定积分的定义- 定积分的定义和几何意义。
2. 定积分的性质- 定积分的基本性质。
3. 定积分的计算- 定积分的计算方法。
4. 定积分的应用- 定积分在几何、物理等领域的应用。
六、级数1. 级数的概念- 级数的定义和分类。
2. 收敛性判别- 给出级数收敛性的判别方法。
3. 幂级数- 幂级数的定义和收敛区间。
4. 泰勒级数- 泰勒级数的定义和应用。
七、多元函数微分学1. 偏导数- 偏导数的定义和几何意义。
2. 全微分- 全微分的定义和计算方法。
3. 多元函数的极值- 多元函数极值的概念和求法。
八、重积分1. 二重积分- 二重积分的定义和计算方法。
2. 三重积分- 三重积分的定义和计算方法。
3. 重积分的应用- 重积分在几何、物理等领域的应用。
九、曲线积分与曲面积分1. 曲线积分- 曲线积分的定义和计算方法。
大三高等数学考卷及答案
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.设函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)内是（）A.严格单调递增B.严格单调递减C.常数函数D.无法确定2.设函数f(x)=x^33x，则f(x)的极大值点为（）A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=33.设函数f(x)=e^x，则f(x)在x=0处的泰勒展开式为（）A.1+x+x^2/2B.1+x+x^2/2+x^3/6C.1+x+x^2/2+x^3/6+D.1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/244.设矩阵A为对称矩阵，则A的特征值（）A.必为实数B.必为复数C.必为正数D.必为负数5.设向量组α1,α2,α3线性相关，则向量组2α13α2+α3,α1+α2α3,3α12α2+2α3也（）A.线性相关B.线性无关C.必有一组线性相关D.必有一组线性无关二、判断题（每题1分，共5分）1.函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处连续。
（）2.若矩阵A可逆，则矩阵A的行列式必不为0。
（）3.向量组α1,α2,α3线性相关，则向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1也线性相关。
（）4.函数f(x)在区间(a,b)内单调递增，则f'(x)>0。
（）5.线性方程组Ax=b有唯一解的充分必要条件是矩阵A的秩等于矩阵A的列数。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1.函数f(x)=x^33x在x=0处的二阶导数为______。
2.矩阵A的行列式为______，则矩阵A可逆。
3.向量组α1,α2,α3线性相关的充分必要条件是______。
4.函数f(x)=e^x的泰勒展开式为______。
5.线性方程组Ax=b有唯一解的充分必要条件是______。
四、简答题（每题2分，共10分）1.简述泰勒公式的定义及意义。
2.简述矩阵的秩的定义及计算方法。
3.简述线性相关的定义及判定方法。
4.简述导数的定义及计算方法。
大学大三中考数学试卷题型
一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，求$f'(1)$的值。
A. 0B. 1C. -1D. 22. 设向量$\vec{a} = (1, 2, 3)$，向量$\vec{b} = (2, 3, 4)$，则$\vec{a}\cdot \vec{b}$的值为：A. 9B. 11C. 12D. 133. 在极坐标系中，点$P(2, \frac{\pi}{3})$对应的直角坐标为：A. $(1, \sqrt{3})$B. $(2, \sqrt{3})$C. $(1, -\sqrt{3})$D. $(2, -\sqrt{3})$4. 设$A$，$B$，$C$为三角形的三顶点，且$\angle A = 60^\circ$，$\angle B = 90^\circ$，$\angle C = 30^\circ$，若$AB = 2$，则$AC$的长度为：A. $\sqrt{3}$B. 2C. $\sqrt{6}$D. 35. 设$a$，$b$，$c$为实数，且$a^2 + b^2 + c^2 = 1$，则下列不等式中正确的是：A. $a + b + c \leq 1$B. $a + b + c \geq 1$C. $a^2 + b^2 + c^2 \leq 3$D. $a^2 + b^2 + c^2 \geq 3$二、填空题（每题5分，共25分）1. 设函数$f(x) = x^2 - 4x + 4$，则$f(x)$的顶点坐标为__________。
2. 设向量$\vec{a} = (3, -4)$，$\vec{b} = (4, 3)$，则$\vec{a} \times\vec{b}$的值为__________。
3. 在复平面内，复数$z = 2 + 3i$的模为__________。
4. 设$A(1, 2)$，$B(3, 4)$，则$AB$的中点坐标为__________。