1 第1讲 坐标系

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坐标系

理解坐标系的作用．

了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．

能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平

面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的

互化．

能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极

坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选

择适当坐标系的意义．

了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与

空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别．参数方程

了解参数方程，了解参数的意义．

能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．

了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．

了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆

线在表示行星运动轨道中的作用.

1．坐标系

(1)伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：

⎩⎪

⎨

⎪⎧x′＝λ·x（λ>0），

y′＝μ·y（μ>0）

的作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．

(2)极坐标系

在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标

系．

设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)． 2．直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，

y )和(ρ，θ)，则⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩

⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，

tan θ＝y

x

（x ≠0）Ｗ. 3．直线的极坐标方程

若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；

(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos__θ＝a ； (3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π

2且平行于极轴：ρsin__θ＝b ．

4．圆的极坐标方程

若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为：

ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2

＝0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；

(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos__θ； (3)当圆心位于M ⎝

⎛⎭⎫a ，π

2，半径为a ：ρ＝2a sin__θ.

求圆ρ＝cos θ－ 3 sin θ的圆心极坐标． 解：ρ＝cos θ－3sin θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π

3，

令ρ′＝ρ，θ′＝θ＋π

3， ①

则有ρ′＝2cos θ′，

所以圆心的极坐标为ρ′＝1，θ′＝0，代入①，得极坐标为⎝

⎛⎭⎫ 1，－π

3.

圆心C 的极坐标为⎝

⎛⎭⎫2，π

4，且圆C 经过极点．求圆C 的极坐标方程．

解：圆心C 的直角坐标为(2，2)，则设圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝r 2， 依题意可知r 2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4，

故圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－22ρ(sin θ＋cos

θ)＝0，

即ρ＝22(sin θ＋cos θ)．

确定极坐标方程ρ2cos 2θ－2ρcos θ＝1表示的曲线． 解：由方程ρ2cos 2θ－2ρcos θ＝1，得

ρ2(cos 2θ－sin 2θ)－2ρcos θ＝1.

由互化公式⎩⎪⎨⎪

⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2，

得x 2－y 2－2x ＝1，即(x －1)2－y 2＝2.

故此方程表示以(1，0)为中心，F 1(－1，0)，F 2(3，0)为焦点的等轴双曲线．

极坐标与直角坐标的互化

[典例引领]

(1)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，

求点A 到直线l 的距离．

(2)把曲线C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0化为极坐标方程．

【解】 (1)由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－2

2cos θ＝2，所以y －x ＝1.

由点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π

4得点A 的直角坐标为(2，－2)，

所以d ＝|2＋2＋1|2＝52

2.

即点A 到直线l 的距离为52

2

.

(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ

代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，

得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

极坐标方程与直角坐标方程的互化