二阶常系数线性方程

1).函数的线性相关性
定义：设 y1 , y2 , , yn为定义在区间I 内的n个
函数．如果存在n个不全为零的常数，使得当 x
在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k2 y2 kn yn 0，
那么称这 n 个函数在区间I 内线性相关．否
则称线性无关
例如 当x (, )时， e x，ex , e2x线性无关
1，cos2 x, sin2 x 线性相关
特别地，若在 I 上有 y1( x) 常数，则函数 y1 ( x)与
y2 ( x)
y2 ( x)在 I 上线性无关.
2)二阶齐次线性方程的通解
定理 2：如果 y1 ( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个线性
无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2就是方程(1)的通解.
设非齐次方程通解为 y c1( x) y1 c2( x) y2
y c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x) y1 c2( x) y2
设 c1( x) y1 c2 ( x) y2 0
(4)
y c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x) y1 c2( x) y2
例如 y y 0, y1 cos x, y2 sin x,
且 y2 tan x 常数, y1
y C1 cos x C2 sin x.
2.二阶非齐次线性方程的解的结构
1)通解的构成
定理 3 设 y*是二阶非齐次线性方程
y P( x) y Q( x) y f ( x) (2)
cx1c(1x(
x) )
e
e
x
c

2
(
xc2 ( x
x) 0 ) x
1
解得
c1( x) 1 c2 ( x) xex
c1( x) x C1， c2( x) xex ex C2 原方程的通解为 y C1x C2e x x2 x 1.
小结
主要内容 线性方程解的结构；
线性相关与线性无关；
降阶法与常数变易法；
补充内容
y P( x) y Q( x) y 0
可观察出 一个特解
(1) 若P( x) xQ( x) 0,
特解 y x;
(2) 若1 P( x) Q( x) 0, 特解 y e x;
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积分可得
c1( x) C1
y2 f ( x) dx, w( x)
c2( x) C2
y1 f ( x) dx, w( x)
非齐次方程通解为
y C1 y1 C2 y2 y1
y2 f ( x) dx w( x)

y2
y1 f ( x) dx. w( x)
例 求方程 y x y 1 y x 1的通解. 1 x 1 x
的 一 个 特 解 , Y 是 与 (2) 对 应 的 齐 次 方 程 (1) 的 通 解 , 那 么 y Y y*是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.
2) 特解的叠加原理
定理 4
y1*与
y* 2
分别是方程
y P( x) y Q( x) y f1( x)，
y P(x) y Q(x) y
即 y1u (2 y1 P( x) y1 )u 0, 令v u,
则有 y1v (2 y1 P( x) y1 )v 0,
y1v (2 y1 P( x) y1 )v 0 v的一阶方程
降阶法
解得 v 1 e , P( x)dx
y2 1
解 1 x 1 0, 1 x 1 x
对应齐方一特解为 y1 e x , 由刘维尔公式
y2 e x
1
e


x 1 x
dx
dx

x,
e2x
对应齐方通解为 Y C1x C2e x .
设原方程的通解为 y c1( x)x c2 ( x)e x , c1( x)，c2 ( x) 应满足方程组
(3) 若1 P( x) Q( x) 0, 特解 y ex .
(三） 齐次线性方程
• 1.定义 y py qy f ( x) 齐次线性方程
• 2. 解法
1、由对结果的猜想得：
r
2
yerx .
prq0
将 y, y, y 代入方程(2), 得
c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x)( y1 P( x) y1 Q( x) y1) c2( x)( y2 P( x) y2 Q( x) y2 ) f ( x)
c1( x) y1 c2 ( x) y2 f ( x)
(5)
(4),(5)联立方程组
cc11
( (
x x
) )
y1 y1

c2( x) c2( x)
y2 y2

0 f
(x)
系数行列式 w( x) y1 y2 0, y1 y2

c1( x)


y2 f w(
(x) x)
,
c2 ( x)
y1 f ( x) , w( x)
u
1
e
P(
x )dx
dx
y2 1
y2 y1
1
e
P(
x )dx
dx,
y2 1
齐次方程通解为
刘维尔公式
y C1 y1 C2 y1
1 y12
e


P
(
x
)dx
dx
.
2.非齐次线性方程通解求法------常数变易法
设对应齐次方程通解为 y C1 y1 C2 y2 (3)
f2(x)
的特解,
那么
y* 1

y* 2
就是
y P(x)y Q(x)y f1(x) f2(x) 的特解.
(二) 降阶法与常数变易法 1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法
设y1是方程(1)的一个非零特解，
令 y2 u( x) y1
代入(1)式, 得
y1u (2 y1 P( x) y1 )u ( y1 P( x) y1 Q( x) y1 )u 0,