选修2-3课件二项式定理
高中数学选修2-3优质课件：1.3.1 二项式定理
是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具
体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非
负整数，求解方式与求有理项一致.
跟踪训练 3 (1)若x－ax9 的展开式中 x3 的系数是－84，则 a＝__1____. 解析 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck9x9－k(－a)k1xk＝Ck9·(－a)kx9－2k(0≤k≤9， k∈N). 当9－2k＝3时，解得k＝3，代入得x3的系数，根据题意得C39 (－a)3＝－84， 解得a＝1.
题型探究
类型一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式.
解答
(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋ …＋(－1)nCnn. 解 原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ckn (x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cnn(－1)n ＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
解答
类型二 二项展开式通项的应用
命题角度1 二项式系数与项的系数 例 2 已知二项式(3 x－32x)10. (1)求展开式第4项的二项式系数； 解 (3 x－32x)10 的展开式的通项是
Tk＋1＝Ck10(3 x)10－k(－32x)k＝Ck10310－k(－23)k·x10－23k (k＝0,1,2，…，10).
解答
引申探究
将例1(1)改为求(2x－
1 x2
)5的展开式.
解 方法一 (2x－x12)5＝C05(2x)5－C15(2x)4·x12＋C25(2x)3·(x12)2－C35(2x)2·(x12)3＋
人教B版数学选修2-3课件：1.3.1 二项式定理
【做一做1-1】 (a+b)2n的二项展开式的项数是( )
A.2n
B.n+1
C.2n+1 D.2n-1 解析:因为(a+b)2n中的指数为2n,
所以展开式有2n+1项.
答案:C
【做一做 1-2】 化简:C���0��� (x+1)n-C���1��� (x+1)n-1+…+(-1)rC������������ (x+1)n-
(2)展开式中所有含x的有理项;
(3)展开式中系数最大的项.
分析根据前3项系数成等差数列可求出n值,应用二项展开式的通
项求特定项.
题型一 题型二
解:(1)由题意可知,������n0 + ������n2 ·212=2������n1 ·12,得 n=8.
Tr+1=������8r (
x)8-r·
题型一 题型二
题型一 二项式定理的应用
【例 1】
用二项式定理展开
3
������ +
1 ������
4
.
分析本题可以直接利用二项式定理展开再化简,也可以先化简再 展开.
题型一 题型二
解法一
3
������ +
1 ������
4 = C40
3
������)4 + C41(3
������
3
1 ������
题型一 题型二
(3)设第 k 项的系数 tk 最大, 则有 tk≥tk+1,且 tk≥tk-1,于是
C8������-1·2-������+1 ≥ C8������ ·2-������ , 解得 3≤k≤4. C8������-1·2-������+1 ≥ C8������-2·2-������+2,
人教版高中数学选修2-3二项式定理 (共16张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
–■
① 项： a 3
a 2b ab 2 b 3
a3kbk
数学(北师大版选修2-3)课件1.5.1二项式定理
二项式系数与项的系数
(1)求二项式2
x－1x6 的展开式中第
6
项的二项式
系数和第 6 项的系数；
(2)求x－1x9 的展开式中 x3 的系数．
第一章 计数原理
§ 5 二项式定理
5．1 二项式定理
学习目标
重点难点
1.理解二项式定理是代数乘法公式
的推广．
1.重点是二项式定理、
2．掌握二项式定理，并能利用计数 推导及通项公式．
原理证明二项式定理．
2．难点是利用计数原
3．会用二项式定理解决与二项式展 理推导出二项展开式.
开式有关的简单问题.
阅读教材：5.1二项式定理的有关内容，完成下列问题． 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有(a＋b)n＝ _C_0n_a_n＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_r_b_r＋__…__＋__C_nn_b_n_____(n∈N＋)． 这个公式称为二项式定理．等号右边的多项式称为(a＋b)n 的二项展开式，(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的 系数_C_nr___(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数．
1．(1)求(x＋2y)4 的展开式；
(2)
化
简：
C0n(x
＋
1)n
－C
1 n
(x＋
1)n
－
1＋
C2n
(x
＋
1)n
－2
－
…
＋(
1.5 第一课时 二项式定理 课件(北师大选修2-3)
n－2r ∵第 6 项为常数项，∴当 r＝5 时， ＝0，解得 n＝10. 3
返回
n－2r ∈Z， 3 (2)根据通项公式，由题意，得 0≤r≤10， r∈Z. 10－2r 3 令 ＝k(k∈Z)，则 10－2r＝3k，即 r＝5－ k. 3 2 ∵r∈Z，∴k 应为偶数，∴k＝2,0，－2， ∴r＝2,5,8. ∴第 3 项、 6 项与第 9 项为有理项， 第 它们分别为 405x2， －61 236,295 245x 2.
返回
问题1：(a＋b)n展开式中共有多少项？
提示：n＋1项． 问题2：(a＋b)n展开式中系数有什么特点？
提示：依次为组合数 C0 ，C1 ，C2 ，…，Cn. n n n n
问题3：(a＋b)n展开式中每项的次数有什么特点？项的
排列有什么规律？
提示：每一项的次数和是一样的，都是n次，并且是按a 的降幂排列，b的升幂排列．
0 ＝ C 4 (3
(1)法一：3
4 1 ＋ C 4 (3 3
x＋
1
4 x
x)
1 2 2 1 2 x ) · ＋ C 4 (3 x) · ＋ C 3 4 x x
(3
1 3 4 1 4 x)· ＋C4· x x
＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
返回
[一点通]
求形式简单的二项展开式时可直接由二项式
定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是
降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现 正负间隔的情况．
返回
1 3 1．3Cn＋9C2 ＋27Cn＋…＋3nCn＝________. n n
返回
返回
人教B版高中数学(选修2-3)1-3《二项式定理》ppt课件
代入， 令m (12 – r )+ nr = 0，将 n =﹣2m 代入，解得 r = 4 ， ﹣
故T5 为常数项，且系数最大。 为常数项，且系数最大。
T5的系数 ≥ T4的系数 ∴ T5的系数 ≥ T6的系数 4 3 C12 a 8 b 4 ≥ C12 a 9 b 3 即 4 8 4 5 C12 a b ≥ C12 a 7 b 5 8 a 9 解得 ≤ ≤ 5 b 4
相等且同时取得最大值
2 n r n n n n
(3)各二项式系数的和 各二项式系数的和
C + C + C +L + C +L + C = 2
0 n
例1.
在 (2x − 3y )
10
展开式中
1024 1
(1)求二项式系数的和 求二项式系数的和; 求二项式系数的和 (2)各项系数的和 各项系数的和; 各项系数的和
T4 = − C a b
3 4 7
3
系数最小
T =Cab
4 7 3 5
4
系数最大
三、例题讲解： 例题讲解：
3
(1 − x )(1 + x) 的展开式中， x 5 的系数 的展开式中， 例 1 ⑴在
10
是多少？ 是多少？
解：⑴原式= 原式
(1 + x) − x (1 + x) 3 10 5 10 可知 x 的系数是 (1 + x) 的第六项系数与 − x (1 + x)
3、特例： 特例： n 1 2 2 r r n n （1 + x） = 1 + Cn x + Cn x + L + Cn x + L + Cn x
高中数学选修2-3精品课件：1.3.1 二项式定理
2.二项式系数及通项 (1)(a＋b)n展开式共有 n＋1 项，其中 各项的系数Ckn (k∈{0, 1,2，…，n}) 叫做二项式系数 . (2)(a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1＝ Cknan－kbk .
要点一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式； 解 方法一 (3 x＋ 1x)4 ＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2·( 1x)2＋C34(3 x)·( 1x)3＋
－1，n为奇数时.
要点二 二项展开式通项的应用 例 2 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项； 解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，即 n2－9n＋8＝0， 解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·(
x
(1)求含x2的项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
解
3
x－ 3 3
n
展开式的通项为Tr1
Cnr
nr
x3
(3)r
r
x3
n2r
Crn (3)r x 3 .
x
第6项为常数项，即r＝5，
n－2r 且 3 ＝0，∴n＝10.
n－2r (1)令 3 ＝2，得
r＝21(n－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
第一章——
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
人教B数学选修2-3课件：第1章1.31.3.1二项式定理
第—章1.31・3・1计数原理二项式定理二项式定理学习目标：1.会证明二项式定理. 的通项公式.（重点）教材整理二项式定理阅读教材P26〜P27例1以上部分，完成下列问题. 二项式定理及相关的概念0微体验0判断(正确的打“J”，错误的打“x”)(1)@+份"展开式中共有〃项.()(2)在公式中，交换°, b的顺序对各项没有影响.()(3)C严是(M 展开式中的第呗.()(4)(o—b)"与(。
+矿的二项式展开式的二项式系数相同.(【解析】(l)x因为(a+b)n展开式中共有〃+1项.(2)X因为二项式的第r+1项C旷H和e+川的展开式的第r+1 项cyv是不同的，其中的°, b是不能随便交换的.(3)X因为C r n a n-r b r是@+份"展开式中的第卄1项.(4)7因为(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数都是C；【答案】(1)X (2)X (3)X (4)7啖型ly 二项式定理的正用、逆用(3〕5【例1】⑴用二项式定理展开杯一疋I;(2)化简:C…(x+1 )n—CJ(x+1 )n~1+C…(x+1 )w-2 --------- (—l)'C；Xr+l)n_r + ・・・+(T)"C；；.【精彩点拨】⑴二项式的指数为5,且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x+1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解.=32八曲+讐字+器—話(2)原式=C*x+1)"+C掀+1)" 丫―1)+C偸+1)" ®(—1尸+…+ 0+1 厂(T)「+・・・+C；；(T)〃=心+/丿+(—M=f・规律方进1.展开二项式可以按照二项式定理进行.展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件.2.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.3.对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用.对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项黑指数的规律以及各项的系数.…+a+;说+【：期他) 乍牡習胡伴+輿*(1) •【片I 丿3 s I: 3 务+窘H 8h 2+108x +54+l^+4・n r =4+ 10W +54T +12X+1)121岂2+10b +5444(2)JMH1+2C +22C +.:+2n ll (l +2)f 3=.逆??zL—式系数与项的系数问题_____________/ 讥【例2】⑴求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第< 儿丿6项的系数；(2)求”一/的展开式中『的系数.【精彩点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解.【解】⑴由己知得二项展开式的通项为人+1Z 3=(-l)G2f3®AT6=-12-X"\:•第6项的二项式系数为C6=6, 第6项的系数为C%(-1)・2=-12.⑵ 7V+LC旷• V =(-1)圈严「，\儿丿・・・9一2尸3,・••尸3,即展开式中第四项含「，其系-84.数为(-1)£=规律方进1.二项式系数都是组合数C,；(r=0,l,2, n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.2.第厂+1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C；；.例如，在(l+2x)7的展开式中，第四项是T4=C^-3(2X)3,其二项式系数是C=35,而第四项的系数是C护=280.2. (l+2r)"的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项 式系数最大的项和系数最大的项.【解】r 6=CW ，T 7=d(2x)6,依题意有C 沖二C 防，・d=8. ・：(1+2浮的展开式中，二项式系数最大的项为T 5=Ci(2x)4=l 120x 4.设第卄i项系数最尢则有・：5水6.,・r=5 或r=6(Vr=0,1,2, •••：•:系数最大的项为丁6=1792x‘，T7=1792X6.寒型3/ 求展开式中的特定项—匚—一^上 ------- ——----------------（探究问题丿（1〕41.如何求x+f展开式中的常数项？< X）【提示】利用二项展开式的通项卅巾求解，令4—2厂A（山.4X3=0,贝lj r=2,所以*展开式中的常数项为C：=〒=6.2. (a+b)(c+d)展开式中的每一项是如何得到的？【提示】S+b)(c+d展开式中的各项都是由°+0中的每-项分别乘以c+d中的每一项而得到.3.如何求x+;(2x+l)3展开式中含x的项？V兀丿/ \【提示】x+; (2x+1)3展开式中含x的项是由中的x与£分别A) A A与(2x+l)3展开式中常数项C；=l及＜项C S22?=12?分别相乘再把积相加得x・C汁!C(2X)2=X+12X=13X.即|X+』2X+1)3展开式中含x的项为A A J 13x.3r 3 H【例3】已知在二的展开式中，第6项为常数项.⑴求M；(2)求含*项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.【精彩点拨】|写出通项小卜隔匚5, x的指数为零T⑴求出〃值IT修正通项公式IT⑵求“项的系教 f考查X 指数为整数f分析求岀k值T(3)写岀有理项【解】通项公式为:T「+1=C；尸(―3 疗』c；；(—3)1 丁.(1)：•第6项为常数项,/I—2rAr=5 时，有=0,即〃=10・10—2丫 1(2)令一=2,得尸尹0—6)=2,・：所求的系数为C W(-3)2=405.•Ed7里SWGO^・霜黑规律方进1.求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第P 项,7；=C：T厂+0T；(2)求含/•的项(或#护的项)；(3)求常数项;(4)求有理项.2.求二项展开式的特定项的常用方法⑴对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写岀通项公式,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.3. (1)在(l-?)(l+x)10的展开式中，f 的系数是 _______(2)若L —专f 展开式的常数项为60,则常数a 的值为— k 兀丿【解析】⑴『应是(1+x)10中含f项、含『项分别与1, -X3相乘的结果，・••其系数为do+C?o(-l)=2O7.(2)|x-却的展开式的通项是7>1=G?Y(—胪9(—令6-3r=0,得尸2,即当尸2时，乃+1为常数项，即常数项是C紅根据已知得C]a=60,解得o=4.【答案】(1)207 (2)41.在(X-A/3)10的展开式中，含『的项的系数是(A. —27蘇B. 27CjoD. 9Cjo【解析】含【答案】DA. —28的展开式中常数项是(B. -7C. 7【解析】D. 288-rTr+1=G•另•------r 1 4 4材=(-l)g•护存,当8_严,即尸6时，丁7=(—1)6・C讣2=7.【答案】C3. (2019-全国卷皿)(1+2?)(l+x)4的展开式中x3的系数为()A. 12B. 16C. 20D. 24【解析】展开式中含F的项可以由“1与和“2*与*的乘积组成，则『的系数为C；+2C；=4+8=12.【答案】A4.在2f—$的展开式中，中间项是 _____ .k 兀丿【解析】由〃=6知中间一项是第4项，因2=C%2?)3. |一$=Q•(— 1)3-23.%3,所以T4=-160X3.【答案】-160f。
人教A版高中数学选修2-3课件1.3二项式定理第一课时(新选修2-3)
+
C n1a n- 1b +
C
a2 n -
n
2b2
+
L
+
C
n n
-
1abn -
1
+
C nnbn
问题5：如何证明这个猜想？
问题6：公式
(a
+
b)n
=
C n0an
+
C n1an- 1b +
L
+
C
ak n-
n
kbk
+
L
+ C nnbn
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，
项？合并同类项之后各项的系数分别是
什么组合数？由此可得(a＋b)4的展开式
是什么？
(a + b)4 = C 40a 4 + C 41a 3b + C 42a2b2 + C 43ab3 + C 44b4
问题4：根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么吗？
(a +
b)n
=
C n0a n
(1 +
x )n
=
C
0 n
+
C n1x
+ C n2x 2 +
L
+
C
k n
x
k
+
L
+
C
n n
x
n
问题8：(a－b)n(n∈N*)的展开式是什么？
(a - b)n = C n0an - C n1an- 1b + C n2an- 2b2 - L + (- 1)nC nnbn
人教版A版高中数学选修2-3：二项式定理_课件21
(1)令x＝0，则a0＝－1； 令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.① ∴a1＋a2＋…＋a7＝129.
(3)由题意知100≤－3r≤2r∈ 10Z
.
r∈Z
令10－3 2r＝k(k∈Z)，则 10－2r＝3k，
即 r＝5－32k，∵r∈Z，∴k 应为偶数， ∴k＝2,0，－2，即 r＝2,5,8. ∴第 3 项，第 6 项，第 9 项为有理项， 它们分别为 405x2，－61 236,295 245x－2.
二项式定理
1.能用计数原理证明二项式定理. 考纲解读
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
主干知识整合
要点梳理
一、二项式定理 (a＋b)n＝ C0nan +C1nan1b Crnanrbr Cnnbn (n
∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项
式叫(a＋b)n 的二项展开式．
2．应用二项式定理的两种思路 二项式定理是一个恒等式，使用时有两种思路：一是利用恒 等定理(两个多项式恒等，则对应项系数分别相等)；二是赋 值．二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很 多求二项展开式的系数的问题迎刃而解．
3．二项式系数的最值问题 对于二项式系数的最大值、最小值问题，有时应对n的奇偶 性进行讨论才有定论．
【典例】(2012·长春模拟)(1＋x3)x＋x126 展开式中的 常数项为________．
【审题指导】 (1)从考点上：本题考查的是二项式定 理的通项公式．
二项式定理 优秀课件
(a b)n
C?n0a n
Cn1an1(b)
C
k n
a
nk
(b)n
(1 x)n ?Cn0 Cn1 x Cnk xk Cnn xn
此时，二项式系数就等于项的系数！！
(a b)n
C
1 4
a
3b
C42a 2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
(a b)n ?
没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。 ------牛顿
探究3：请分析 (a b)n 的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
①项： a n a n1b L a nkbk L bn
……
(a b)100 ? (a b)n ?
此法 有困难
多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1 b1)(a2 b2 ) 的展开式是什么？ 展开式有几项？每一项是怎样构成的？
➢问题2: (a1 b1)(a2 b2 )(a3 b3 ) 展开式中 每一项是怎样构成的？展开式有几项？
C n0a n
Cn1an1b
C
k n
a
nk
bk
Cnnbn(n
N*)
Tk1 Cnkankbk
例1：展开(x 2)5 .
解：(x 2)5 C50x5 20 C51x4 21 C52x3 22
C53x2 23 C54 x124 C55x0 25
②系数：Cn0 Cn1 Cnk Cnn
人教版A版高中数学选修2-3：二项式定理课件
含 y2 的项为 T3＝C25(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3 中含 x5 的项为 C13x4·x＝C13x5. 所以 x5y2 的系数为 C25C13＝30.故选 C. 法二 (x2＋x＋y)5 为 5 个 x2＋x＋y 之积，其中有两个取 y，两个取 x2，一个取
x 即可，所以 x5y2 的系数为 C25C23C11＝30.故选 C.
(9)求展开式中第几项为有理项；
Tk 1
C1k0 (
1)k 2
102k
x3
.
解
(1)通项为
Tk＋1＝
C nk
x
nk 3
(
1)k 2
k
x3
C
k n
(
n 2k
1 2
)k
x
n2k 3
.
因为第 6 项为常数项，所以 k＝5 时，有 3 ＝0，
即 n＝10.
(2)令k
2, 则T3
( x y)2m1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a 7b,则m ()
A.5
B.6
C.7
D.8
2、(2014 年13)( x y)( x y)8的展开式中 x2 y7的系数为____.
3、(2015·10)(x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数为( )
A．10
B．20
(2)令 x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (3)奇数项的二项式系数和为 C010＋C210＋…＋C1100＝29， 偶数项的二项式系数和为 C110＋C310＋…＋C910＝29.
(4)令 x＝y＝1，得到 ao＋a1＋a2＋…＋a10＝1，① 令 x＝1，y＝－1(或 x＝－1，y＝1)， 得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，② ①＋②得 2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋2510； ①－②得 2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－2510. (5)x 的奇次项系数和为 a1＋a3＋a5＋…＋a9＝1－2510； x 的偶次项系数和为 a0＋a2＋a4＋…＋a10＝1＋2510.