反函数·典型例题精析

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SXA262高考数学必修_反函数常考题型6

反函数常考题型例析一、求反函数例1、函数)24(log 2++=x y )0(>x 的反函数是（）)(A -=x y 412+x )2(>x )(B -=x y 412+x )1(>x )(C -=x y 422+x )2(>x )(D -=xy 422+x )1(>x 解析：由0>x 知424>++x ，)24(log 2++=x y 2>，由)24(log 2++=x y 得y x 224=++，224+-=y y x ，所以所求反函数为-=x y 422+x )2(>x 。

例2、函数1)(-=x x x f 的反函数)(1x f -=＿＿＿＿。

解析：由题意知1≠x ，设1111-+=-=x x x y ，（1≠y ）所以111-=-x y ，即111+-=y x ，所以1-=x x y ，所以反函数)(1x f -1-=x x （1≠x ）。

点评：上述两题主要考查了反函数的概念及求法。

当函数的反函数存在时，反函数求解步骤一般有三步：⑴由)(x f y =，解出)(1y fx -=；⑵将)(1y f x -=中x 、y 互换位置得到=y )(1x f -；⑶写出=y )(1x f -的定义域。

即“一解”“二换”“三写”。

但写反函数的定义域时，要求写原函数的值域。

二、求字母的值或取值范围例3、已知函数a x y -=2的反函数是3+=bx y ，则=a ＿＿；=b ＿＿。

解析：函数a x y -=2的反函数是a x y 2121+=，由对应系数相等可知=a 6；=b 21。

例4、设函数)(log )(b x x f a += )1,0(≠>a a 且的图像过点2(，)1，其反函数图像过点2(，)8，则=+b a （）)(A 6 )(B 5 )(C 4 )(D 3解析：因为函数)(log )(b x x f a += )1,0(≠>a a 且的图像过点2(，)1，所以1)2(log =+b a ，又因为它的反函数图像过点2(，)8，所以原函数的图像过8(，)2，所以2)8(log =+b a 。

大一反函数的经典例题（范文5篇）

大一反函数的经典例题（范文5篇）以下是网友分享的关于大一反函数的经典例题的资料5篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

大一反函数的经典例题（1）［例1］若函数f (x ) 与g (x)的图象关于直线y =x 对称，且f (x )=(x -1) (x ≤1) ，求g (x ). 选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象间的对称关系.解：f (x ) 与g (x ) 在定义域内互为反函数，f (x )=(x -1) 2(x ≤1) 的反函数是2y =1-x (x ≥0) ，∴g (x )=1-x (x ≥0).说明：互为反函数的图象关于y =x 对称，反之亦然，也是判断两个函数互为反函数的方法之一，本是f (x ) 与g (x )互为反函数，要求g (x ), 只须求f (x ) 在限定区间上的反函数即可.［例2］若点P (1，2) 在函数y=ax +b 的图象上，又在它的反函数的图象上，求a , b 的值.选题意图：本题考查反函数的概念，反函数的图象与原函数图象的对称关系的应用.解：由题意知P (1，2) 在其反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于y =x 对称的性质，Ｐ′(2，1) 也在函数y =+b 的图象上，⎧⎪2=a +b 因此：⎨解得:a =-3,b =7. ⎪⎩1=2a +b说明：引导学生树立创造性思考问题的方式、方法，利用互为反函数的图象的对称关系. （１，２）在反函数图象上，则(2，1) 也在原函数图象上是解决该问题的关键所在，即f (2)=1,这是得到a , b 的另一个关系式的条件，这样两个条件两个未知数，就可解出a , b 的值.［例3］已知函数f (x )=(1+x 2-1) -2(x ≥-2) ，求方程f (x )=f (x ) 的2解集.选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象关于y =x 对称的关系，灵活运用这一关系解决问题的能力.分析：若先求出f (x )=2x +2-2(x ≥-2), 再解方程(1+-1-1图2—8 x 2) -2=2x +2-2，整理得四2次方程，求解有困难，但我们可以利用y =f (x ) 与y =f (x ) 的图象的关系求解. 先画出y =f (x )=(1+x 2-1) -2的图象，如图，因为y =f (x ) 的图象和y =f (x ) 的图象关于直线y =x 对称，2-1可立即画出y =f (x ) 的图象，由图象可见两图象恰有两个交点，且交点在y =x 上，因此，由x 2⎧⎪y =(1+) -2方程组⎨联立即可解得. 2⎪⎩y =x解：由函数f (x )=(1+x 2) -2(x ≥-2) 画出图象，如图，由于函数f (x ) 的反函数的图象与2函数f (x ) 的图象关于y =x 对称，故可以画出其反函数图象(如图)，由图可知两图象恰有两x 2⎧y =(1+) -2⎪-1个交点且交点都在y =x 上. 因此，方程组⎨的解即为f (x )=f (x ) 的解，于是2⎪⎩y =x解方程组得x =-2或x =2,从而方程f (x )=f (x ) 的解集为｛-2,2｝.说明：解决本题的关键是，根据互为反函数的图象关于y =x 对称，若两个函数有交点，则交点必在直线y =x 上，由此，将要解的两个较复杂的方程组转化为直线y =x 与其中-1y =(1+x 2) -２一个方程组的解的问题. 2大一反函数的经典例题（2）［例1］下列各组函数中，不互为反函数的是( ) ．．．．．．1(x -3) 21B. f (x )=2x +3,g (y )= (y -3)2A. f (x )=2x +3,g (x )=C. f (x )=x , g (x )=x2D. f (x )=x (x ＜0) , g (x )=-x (x ＞0)2选题意图：本题主要考查函数的反函数的有关概念，判断互为反函数的两个函数必须满足的条件：即函数解析式之间的关系是互相能确定x 、y ，定义域与值域之间的关系，是否是一个函数的定义域和值域分别是另一个函数的值域和定义域.解析：由f (x )=x 的定义域为x ∈R ，而值域为y ≥0; g (x )= x 的定义域为x ≥0，而值域为y ≥0. 由反函数的概念知反函数的定义域和值域正是原函数的值域和定义域推得它们不能互为反函数.说明：注意例1是判断不互为反函数的命题，否定互为反函数的三条件之一即不是反函数.［例2］判断函数y =x -x 有无反函数? 如果有，求出其反函数.选题意图：加深函数有无反函数判断的理解以及熟悉求反函数的方法与步骤.解：判断函数y =f (x ) 有无反函数，根据反函数的概念，应该判断：对每个确定的y 的(可能取到) 值，是否有惟一确定的x 值与之相对应. 由y =x -x112-12-1，得∴(x ) -y ⋅x -1=0112212①.11y ±y 2+4y -y +4x =, , x 0, ∴x =舍去,22y +y 2+4y 2+y y 2+4∴x =, ∴x =+1∴每一个确定的y 值，对应着(即只能221求出) 一个x , ∴ｘ是y 的函数，即y =x -x1-1有反函数，，由上面过程，易见反函数为x 2+x x 2+4x 2+x x 2+4，值域为(0，y =+1, 且f (x ) =y =+1的定义域是(x ∈Ｒ）22＋∞).说明：上述过程包含着：对于任意实数y 的取值方程①必有根，因此x 2-x11-12可以取到任意实数即函数y =x -x 的值域为（－∞，＋∞），所以反函数的定义域为（－∞，x 2+x x 2+4＋∞），恰是函数y =+1的定义域，在这种情况下，可以不注明函数的定义2域，当然原函数y =x -x 的值域也可以用以下方法解：当x =1时，y =0，当0＜ｘ＜１时，0＜x ＜1，x112-12-1＞1, 则y ＜０，且当x →0时，x →0, x121-1→+∞, 这时y 可以取任12何负数. 当x ＞1时，x ＞1，0＜x12-12＜1, 则y ＞0，且当x →＋∞时，x →+∞, x-12-12→0.这时y 可以取任何正数，∴y =x -x 的值域为R ，即（－∞，＋∞）.［例3］已知一次函数y =f (x ) 的反函数仍是它自己，求f(x ). 选题意图：本题考查反函数的概念，利用反函数与原函数的关系分析问题解决问题的能力.解：设y =f (x )=ax +b (a ≠0) ，则f1bx -, a a 1bax +b =x -对于一切x 都成立，a a-1(x ) =1⎧a =⎪⎧a =1⎧a =-1⎪a ∴⎨∴⎨或⎨⎪-b =b , ⎩b =0. ⎩b ∈R, ⎪⎩a∴f (x )=x 或f (x )=-x +b (b ∈R).说明：利用互为反函数的条件判断或证明某个或某两个函数是互为反函数的基本方法，此题是一个特殊函数的反函数的证明，希望读者掌握这种证明方法和思路.大一反函数的经典例题（3）函数的性质、反函数函数的单调性例题例1-5-1 下列函数中，属于增函数的是[ ]解 D例1-5-2 若一次函数y=kx+b(k≠0) 在(-∞，+∞) 上是单调递减函数，则点(k，b) 在直角坐标平面的[ ]A ．上半平面B．下半平面C ．左半平面D．右半平面解 C 因为k ＜0，b ∈R ．例1-5-3 函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4) 上是减函数，则实数a 的取值范围是[ ]A ．a ≥3 B．a ≤-3C ．a ≤5 D．a=-3解 B 因抛物线开口向上，对称轴方程为x=1-a，所以1-a ≥4，即a ≤-3．例1-5-4 已知f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2) ，那么g(x) [ ]A ．在区间(-1，0) 内是减函数B ．在区间(0，1) 内是减函数C ．在区间(-2，0) 内是增函数D ．在区间(0，2) 内是增函数解 A g(x)=-(x2-1) 2+9．画出草图可知g(x)在(-1，0) 上是减函数．+bx在(0，+∞) 上是______函数(选填“增”或“减”) ．解[-2，1]大一反函数的经典例题（4）反函数例题讲解例1．下列函数中，没有反函数的是(A) y = x 2－1（x 1）2( )(B) y = x 3+1（x ∈R ）(D) y =⎨⎧2x -2(x ≥2) ，-4x (x x（x ∈R ，x ≠1）x -1分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定．判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y 表示x 的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数．本题应选（D ）．因为若y = 4，则由⎨⎧2x -2=4，得x = 3．x ≥2⎩由⎨⎧-4x =4，得x = －1．x ∴（D ）中函数没有反函数．如果作出y =⎨⎧2x -2(x ≥2) ，的图像（如图），依图-4x (x 更易判断它没有反函数．例2．求函数y =1--x 2（－1≤x ≤0）的反函数．解：由y =1--x 2，得：-x 2=1-y ．∴1－x 2 = (1－y ) 2，x 2 = 1－(1－y ) 2 = 2y －y 2 ．∵－1≤x ≤0，故x =-2y -y 2．又当－1≤x ≤0 时，0≤1－x 2≤1，∴0≤-x 2≤1，0≤1－-x 2≤1，即0≤y ≤1 ．∴所求的反函数为y =-2x -x 2（0≤x ≤1）．由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是：①把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数，求出x = φ ( y )．②求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域；③依习惯，把自变量以x 表示，因变量为y 表示，改换x = φ ( y ) 为y = φ ( x )．例3．已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2（x 分析：依据f －1 (2 )这一符号的意义，本题可由f ( x )先求得f －1 ( x )，再求f －1 (2 )的值（略）．依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( m ) = 2．据此求f －1(2 )的值会简捷些．令x 2 + 2x + 2 = 2，则得：x 2 + 2x = 0 ．∴x = 0 或x =－2 ．又x 的图像是（( )（B（（分析：作为选择题，当然不必由f ( x )求出f －1 ( x )，再作出f －1 ( x )图像，予以比较、判断．由f (x ) =+4x 2（x ≤0）易得函数f ( x )的定义域为(-∞, 0]，值域为[1, +∞)．于是有函数f－1( x )的定义域为[1, +∞)，值域为(-∞, 0]．依此对给出图像作检验，显然只有（D ）是正确的．因此本题应选（D ）．例5．给定实数a ，a ≠0，a ≠1，设函数y =x -11（x ∈R ，x ≠）．a ax -1求证：这个函数的图像关于直线y = x 成轴对称图形．分析：本题可用证明此函数与其反函数是同一个函数的思路．证明：先求给出函数的反函数：由y =∴x -11（x ∈R ，x ≠），得y ( ax －1) = x －1 ．a ax -1(ay －1) x = y －1 ．①若ay －1 = 0，则ay = 1 ．又a ≠0，故y =11．此时由①可有y = 1．于是=1，即a = 1， a a这与已知a ≠1是矛盾的，故ay －1 ≠ 0 ．则由①得x =∴函数y =≠）．由于函数f ( x )与f －1 ( x )的图像关于直线y = x 对称，故函数y =（x ∈R 且x ≠1）的图像关于直线y = x 成轴对称图形． a1ay -11（y ∈R ，y ≠）．ay -1ax -11x -1（x ∈R ，x ≠）的反函数还是y =（x ∈R ，xa ax -1ax -1x -1ax -1本题证明还可依轴对称的概念进行，即证明：若点P （x ，y ）是函数f ( x ) 图像上任一点，则点P 关于直线的对称点Q （y ，x ）也在函数f ( x )的图像上（过程略）．例题讲解（反函数）例1．求下列函数的反函数：(1) y =3x －1 (x ∈R ) ；(2) y =x 3＋1 (x ∈R ) ；(3)y =x +1 (x ≥0) ；(4)y =2x +3(x ∈R ，且x ≠1) ．x -1通过本例，使学生掌握求反函数的方法．求反函数时，要强调分三个步骤进行．第一步将y = f (x ) 看成方程，解出x = f －1 (y ) ，第二步将x ，y 互换，得到y = f －1 (x ) ，第三步求出原函数的值域，作为反函数的定义域．其中第三步容易被忽略，造成错误．如第(3)小题，由y =x +1解得x = (y －1) 2，再将x ，y 互换，得y = (x －1) 2．到此以为反函数即y = (x －1) 2，这就错了．必须根据原函数的定义域x ≥0，求得值域y ≥1，得到反函数的定义域，于是所求反函数为y = (x －1) 2 (x ≥1) ．例2．求下列函数的反函数：(1) y = x 2－2x －3 (x ≤0) ；⎧x -1(x ≤0) ，⎪(2) y =⎨1-1(x ＞0) ．⎪⎩x通过本例，使学生进一步掌握求反函数的方法，明确求解中三个步骤缺一不可．解：(1) 由y = x 2－2x －3，得y = (x －1) 2－4，即(x －1) 2 = y ＋4，因为x ≤0，所以x -1=-y +4，所以原函数的反函数是y =1-x +4 ( x≥－3) ．(2) 当x ≤0时，得x = y＋1且y ≤－1；当x ＞0时，得x =1且y ＞－1，y +1所以，原函数的反函数是：x ≤－1，x ＞－1．⎧x +1⎪y =⎨1⎪⎩x +1例题讲解(反函数）［例1］若函数f (x ) 与g (x)的图象关于直线y =x 对称，且f (x )=(x -1) 2(x ≤1) ，求g (x ).选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象间的对称关系. 解：f (x ) 与g (x ) 在定义域内互为反函数，f (x )=(x -1) 2(x ≤1) 的反函数是y =1-x (x ≥0) ，∴g (x )=1-x (x ≥0).说明：互为反函数的图象关于y =x 对称，反之亦然，也是判断两个函数互为反函数的方法之一，本是f (x ) 与g (x ) 互为反函数，要求g (x ), 只须求f (x ) 在限定区间上的反函数即可.［例2］若点P (1，2) 在函数y=ax +b 的图象上，又在它的反函数的图象上，求a , b 的值. 选题意图：本题考查反函数的概念，反函数的图象与原函数图象的对称关系的应用. 解：由题意知P (1，2) 在其反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于y =x 对称的性质，Ｐ′(2，1) 也在函数y =ax +b 的图象上，⎧⎪2=a +b因此：⎨解得:a =-3,b =7.⎪⎩1=2a +b说明：引导学生树立创造性思考问题的方式、方法，利用互为反函数的图象的对称关系. （１，２）在反函数图象上，则(2，1) 也在原函数图象上是解决该问题的关键所在，即f (2)=1,这是得到a , b 的另一个关系式的条件，这样两个条件两个未知数，就可解出a , b 的值.x［例3］已知函数f (x )=(1+) 2-2(x ≥-2) ，求方程2-1f (x )=f (x ) 的解集.选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象关于y =x 对称的关系，灵活运图2—8 用这一关系解决问题的能力.x分析：若先求出 f -1(x )=2x +2-2(x ≥-2), 再解方程(1+) 2-2=2x +2-2，2整理得四次方程，求解有困难，但我们可以利用y =f (x ) 与y =f -1(x ) 的图象的关系x求解. 先画出y =f (x )=(1+) 2-2的图象，如图，因为y =f (x ) 的图象和y =f -1(x ) 的2图象关于直线y =x 对称，可立即画出y =f -1(x ) 的图象，由图象可见两图象恰有两x 2⎧y =(1+) -2⎪个交点，且交点在y =x 上，因此，由方程组⎨联立即可解得. 2⎪⎩y =xx 2) -2(x ≥-2) 画出图象，如图，由于函数f (x ) 的反函2数的图象与函数f (x ) 的图象关于y =x 对称，故可以画出其反函数图象(如图) ，解：由函数f (x )=(1+x 2⎧⎪y =(1+) -2由图可知两图象恰有两个交点且交点都在y =x 上. 因此，方程组⎨2⎪⎩y =x 的解即为f (x )=f -1(x ) 的解，于是解方程组得x =-2或x =2,从而方程f (x )=f -1(x )的解集为｛-2,2｝.说明：解决本题的关键是，根据互为反函数的图象关于y =x 对称，若两个函数有交点，则交点必在直线y =x 上，由此，将要解的两个较复杂的方程组转化为x 2直线y =x 与其中y =(1+) -２一个方程组的解的问题.2例题讲解（练习）例1．函数f (x )=x －x 是否存在反函数？说明理由点评：不存在，∵ f (0)=f (－1)=f (1)=0．例2．求下列函数的反函数．(1) f (x )=36x +5x -1(2) y =-x -1(3) f (x )=x －2x +3，x ∈(1，+∞) (4)f (x )=1--x 2(－1≤x ≤0)点评：(1) f-12(x )=2x +5(x ∈R 且x ≠6) x -6(2) f (x )=x +1 (x ≤0) (3) f (4) f-1－1(x )=(x )=-x -2+1 (x >2)-x -1 (0≤x ≤1)2-1⎧⎪x -1(x ≥1)例3．求函数y =⎨的反函数．⎪⎩--x (x 2 ⎧⎪x +1点评：反函数为y =⎨2⎪⎩1-x(x ≥0)．(x 例4．已知f (x )=3x +2－1，求f [f (x )]的值．x +1⎡点评：f ⎢f⎢⎣-1⎛2⎫⎤2⎪⎥=，注意f (x ) 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠－1}，值域为{y |y 2⎪2⎝⎭⎥⎦∈R 且y ≠－3}．例5．已知一次函数y =f (x ) 反函数仍是它自己，试求f (x ) 的表达式．分析：设y =f (x )=ax +b (a ≠0) ，则f (x )=－11(x －b ) ．a⎧1=a ⎪⎧a =-1⎧a =11⎪a由(x －b )=ax +b 得⎨或⎨⇒⎨a b b ∈R b =0⎩⎩⎪-=b ⎪⎩a∴ f (x )=x 或f (x )=－x+b (b ∈R )例6．若函数y =ax +1在其定义域内存在反函数．4x +3(1) 求a 的取值范围；(2) 求此函数的值域．解：(1)方法一：原式可化为4xy +3y =ax +1，(4y －a ) x =1－3y ，a ax +1a≠时，，即44x +344解得a ≠时原函数有反函数．3ax +1方法二：要使y =在其定义域内存在反函数，则需此函数为非常数函数，4x +3a 14ax +1即≠，所以a ≠时函数y =在其定义域内存在反函数．3434x +3当y ≠(2) 由y =ax +1-3y +1解得x =．4x +34y -aax +1-3x +1的反函数为y =．4x +34x -a -3x +1a ∵y =的定义域是{x |x ∈R 且x =}44x -aax +1a 故y =的值域是{y |y ∈R 且y ≠}．44x +3∴y =例7．设函数y =f (x ) 满足f (x －1)=x －2x +3(x ≤0) ，求f (x +1)．解：∵x ≤0，则x －1≤－1．∵ f (x －1)=(x －1) +2 (x ≤0) ∴ f (x )=x +2 (x ≤－1) ．由y =x +2 (x ≤1) 解得x =-y -2(y ≥3)2222－1∴ f 故f-1(x )=-x -2 (x ≥3) ．x -1 (x ≥2) ．－1－1-1(x +1)=-－1点评：f (x +1)表示以x +1代替反函数f (x ) 中的x ，所以要先求f (x ) ，再以x +1代x ，不能把f (x +1)理解成求f (x +1)的反函数．习题1．已知函数 f (x )=x －1 (x ≤－2) ，那么 f (4)=______________．2．函数y =－x +x －1 (x ≤22－1－11) 的反函数是_________________．22⎧1]⎪x -1，x ∈(0，3．函数y =⎨2的反函数为__________________．⎪⎩x ，x ∈[-1，0)4．函数y =5．已知y =x 2-2x +3 (x ≤1) 的反函数的定义域是_____________．11x +m 与y =nx -是互为反函数，则m =______和n =________．23答案1．-2．y =1--4x -3⎛⎝x ≤-3⎫24⎪⎭3．y =⎧⎪⎨x +1，x ∈(-1，0]，⎪⎩-x ，x ∈(0，1]4．2，+∞)5．16，2大一反函数的经典例题（5）反函数求值例1、设互为反函数，求有反函数的值．，且函数与分析：本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过算出反函数求解，所以不妨试试“赋值法”，即给变量一些适当的值看看能得到什么后果．解：设在函数这样即有，则点的图象上，即，从而在函数的图象上，从而点．由反函数定义有．，小结：利用反函数的概念，在不同式子间建立联系，此题考查对反函数概念的理解，符号间关系的理解．两函数互为反函数, 确定两函数的解析式例2 若函数的值.与函数互为反函数，求分析：常规思路是根据已知条件布列关于布列？如果注意到g(x)的定义域、值域已知，又义域与值域互换，有如下解法：的三元方程组，关键是如何与g(x)互为反函数，其定解：∵g(x)的定义域为.且，的值域为又∵g(x) 的定义域就是∵g(x) 的值域为的值域, ∴,.由条件可知∴.的定义域是, ,∴.令, 则即点(3,1) 在的图象上.又∵与g(x) 互为反函数,的对称点(1,3) 必在g(x)的图象上.∴(3,1) 关于∴3=1+ , .故 .判断是否存在反函数例3、给出下列函数:(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .其中不存在反函数的是__________________.分析:判断一个函数是否有反函数, 从概念上讲即看对函数值域内任意一个,依照这函数的对应法则, 自变量总有唯一确定的值与之对应, 由于这种判断难度较大, 故通常对给出的函数的图象进行观察, 断定是否具有反函数.解: (1) ,(2)都没有问题, 对于(3)当.对于(4)时,和时, 和,且.对于(5)当时, 和 .故(3),(4),(5)均不存在反函数.小结:从图象上观察, 只要看在相应的区间内是否单调即可.求复合函数的反函数例4、已知函数分析: 由于已知是找到解:令,由得. 于是有,再由,则,所求是求出, ,求的反函数.的反函数,因此应首先由的表达式, 再求反函数., ,.,由于,又,的反函数是. 的值域是, .小结:此题涉及对抽象函数符号的认识与理解, 特别是在换元过程中, 相应变量的取值范围也要随之发生改变, 这一点是学生经常忽略的问题.原来的函数与反函数解析式相同求系数例5、已知函数试指出与其反函数是同一个一次函数,的所有取值可能.的反函数的解析式,与分析:此题可以有两种求解思路:一是求解比较, 让对应系数相等, 列出关于的方程, 二是利用两个函数图象的对称性, 找对称点, 利用点的坐标满足解析式来列方程. 解：由上, 于是又于是知点在图象上, 则点定在的图象(1) 过点(2),则点也在的图象上,由(1)得当或,当.时, 代入(2),此时(2)恒成立即;代入(2)解得综上, 的所有取值可能有或 .小结:此题是反函数概念与方程思想的综合. 在这个题目中特殊点的选取一般是考虑计算简单方便, 而且这种取特殊点列方程的方法在其他地方也有应用, 故对此种方法要引起重视. 另外此题在最后作答时, 要求写出的所有取值可能即要把的取值与的取值搭配在一起, 所以解方程组时要特别小心这一点. 选题角度：反函数图象关系、将反函数问题转化为原函数、利用性质求解析式、两函数互为反函数，确定两函数的解析式判断是否存在反函数、求出反函数解析式解关于反函数的不等式、求复合函数的反函数、由原来函数运算关系证明反函数运算。

反函数例题及解析

反函数例题及解析反函数可是数学里很有趣的一部分呢！那咱就直接开始看例题吧。

就说这个简单的函数y = 2x + 1，我们想求它的反函数。

第一步呀，我们要把x用y来表示。

从y = 2x + 1开始，我们可以通过移项来求解x，那就是y - 1 = 2x，然后x就等于(y - 1)/2。

这就是它的反函数啦，写成y=(x - 1)/2。

你看，是不是也没有那么难呀？再来看一个稍微复杂一点的函数，y = 3x²（x≥0）。

这个求反函数的时候要小心哦。

首先我们把x解出来，x²=y/3，因为x≥0嘛，所以x等于根号下(y/3)。

那这个函数的反函数就是y = 根号下(x/3)啦。

那为啥要学反函数呢？这就好比你在一个迷宫里走，函数是从入口走到出口的路线，反函数呢，就是从出口倒着走回入口的路线。

很神奇吧！还有这个函数y = 1/(x - 1)（x≠1）。

我们先让y = 1/(x - 1)，然后通过交叉相乘得到y(x - 1)=1，展开就是xy - y = 1，移项得到xy = 1 + y，再把x解出来，x=(1 + y)/y。

所以这个函数的反函数就是y=(1 + x)/x（x≠0）。

在求反函数的时候，一定要注意原函数的定义域和值域哦。

比如说有的函数在整个实数域上不是单调的，那我们可能要划分区间来求反函数呢。

就像y = x²，如果不规定x的范围，它的反函数就不是唯一的。

只有规定了x≥0或者x≤0的时候，才能准确地求出反函数。

再给个例子，y = sinx（-π/2≤x≤π/2）。

这个函数在这个区间上是单调递增的，所以可以求反函数。

我们知道sinx=y，那x = arcsiny。

这里的arcsin就是反正弦函数啦。

这就告诉我们呀，函数的单调性对求反函数可重要了。

你要是觉得反函数有点难，别担心。

多做几个例题就好啦。

就像学骑自行车，刚开始可能会摔倒，但是骑得多了就很熟练啦。

反函数也是这样，看的例题多了，自己做的时候就得心应手了。

反函数题型分析.

1 1 例3.已知y x m和y nx 互为反函数, 求m和n. 2 3
1 解 :由y x m得x 2 y 2m. 2 1 y x m的反函数是y 2 x 2m( x R) 2
1 n 2 m 6 1即 2m 3 n 2.
1 a . 2
二.反函数的求法
如果原函数有反函数，求反函数可分三步：
(1)由y f ( x)出发, 用y表示x, 求出x f ( y);
1
(2)将x, y互换, 得y f ( x);
(3)指出反函数的定义域 (即原函数的值域 )
例1.函数y 1 x (1 x 0) 的反函数是( B ).
解法一:由题设知g ( x)是f ( x 1)的反函数 .
1
设y f ( x 1),则它的反函数为 x f ( y 1)
而f ( x) f [ f ( y 1)] y 1
即y f ( x) 1, 故 : g ( x) f ( x) 1.
7 g (3) f (3) 1 2 小结 :由对称关系, 等价于g ( x)与f 1 ( x 1)互为反函数.
1 x 0, 1 y 0 2 x 1 y (1 y 0),
y 1 x 2 (1 x 0). 应选B.
解法2: 排除法
y 1 x (1 x 0), 可得 1 y 0. 据此可知函数 y 1 x 2 (1 x 0)的反函数的定义域和值域都是 1 x 0.由此可排除 A, C , D.
解 :由已知可知 y f ( x)的反函数是它自身 .
1
by 1 2ax 1 即f ( x) f ( x) y x 2 y 2a 2x b bx 1 1 f ( x) 2 x 2a

单调性奇偶性反函数典型例题总结

单调性奇偶性反函数典型例题总结一：单调性类型一：函数单调性的证明。

例1：证明函数上的单调性.证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0则∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0∴上递减.【变式1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1<x2，则∵0<x1<x2≤1 ∴x1-x2<0，0<x1x2<1∵0<x1x2<1故，即f(x1)-f(x2)>0∴x 1<x 2时有f(x 1)>f(x 2)上是减函数.例2：解任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2．当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．总结：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二：求函数的单调区间例1.判断下列函数的单调区间； (1)y=x 2-3|x|+2； (2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∵－＝∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 10012121221a x x x x x x x x x x x x ()()()()()()()()12211222121212211222111111+---+---判断函数＝≠ 在区间－，上的单调性． f(x) (a 0) ( 1 1) axx 2 1-∴f(x)在上递增.例2：（1）y＝|x2＋2x－3| （2）(2)(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像，如图2．3－1所示．由图像易得：递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)递减区间是(－∞，－3]，[－1，1](2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；总结升华：[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三：单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)例1：已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a ≤2，∴-2a ≥-4 ∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7.例2：函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围．解当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数．若a ＜0时，无解． ∴a 的取值范围是0≤a ≤1．例3已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)时为减函数．类型四:分段函数的单调性:分段函数的单调性，首先应该判断各段函数的单调性，若每一段函数单调性一致，再判断分界点处函数值的关系，符合单调性定义，则该函数在整个定义域上单调递增或递减，不符合，则必须分开说明单调性．例1:例1 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x(x >1)，()4－a2x ＋2(x ≤1)是R 上的单调递增．．函数，则实数a 的取值范围为________． [4,8) 【解析】因为f (x )是定义在R 上的增函数，故y ＝a x 和y ＝()4－a2x ＋2均为增函数，所以a >1且4－a2>0，即1<a <8.又画出该分段函数图象，由图象可得，该函数还必须满足：a 1≥()4－a2×1＋2，即a ≥4. 综上，a 的取值范围为4≤a <8.当≠时，对称轴＝，若＞时，由＞≤，得＜≤．a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a aa--⎧⎨⎪⎩⎪(2)f(2)f(15)与(2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜＜，函数在≥15∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2)二：奇偶性类型一、判断函数的奇偶性例1:判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3(4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6)(7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数；(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例1:已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.举一反三：【变式1】（2011 湖南文12）已知为奇函数，，则为：．解：，又为奇函数，所以．例2: f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x>0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0，，如图例3:．设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)<f(a)时，求a 的取值范围. 解：∵f(a-1)<f(a) ∴f(|a-1|)<f(|a|) 而|a-1|，|a|∈[0，3].类型三：分段函数的奇偶性例1．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.当0x >时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,(0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.类型四：应用奇偶性求函数解析式。

最全反函数概念·典型例题精析完整版.doc

2．4 反函数·例题解析【例1】求下列函数的反函数：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+ (3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0)(0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232352153253232x x x x y y y y -+-++-+-解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)，由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11111122x x yy xx++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1)x(1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，由＝－，得反函数＝＋＋≥－．函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2，反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23它们的图像如图2．4－2所示．【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，31x x a ++若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313-----ay y ax x(2)f(x)f (x)x 1若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113x x a axx 令x ＝0，∴a ＝－3．或解由f(x)＝f -1(x)，那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域相同，定义域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax bcx d++试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身．解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc adc cxd dx bcx adx b cx a ax b cx d-+-+--+-++-()令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1(x)＝f(x)，因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数．解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--1373137313737373x设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]121211121737337312-----x x x【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x xx-+-++-+----121212112212111解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a--111证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax aa x ax ----111111∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y ＝x 对称， ∴函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称．赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，，且2t t -，是关于x的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，，且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >．将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-． ∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（）Ａ．24米Ｂ．12米Ｃ．米Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．函数关系式；（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+．图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． ) 图(1)90 图(2)90天21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >．（3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价．故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100；②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593； ③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56．综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+．由已知：当0x =时1y =．即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++）（2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+ 1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）．解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-（舍），2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-<（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）．解法三：由解法二知，18k =，所以2(1813)10CD =-=，所以(136)1017BD =-+=．答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元．（1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+．（2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚．（3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程．解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=> ∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令M N x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ， MN MFAD AB∴=．B A D MF2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-．(102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b =+⎧∴⎨=+⎩ 解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中．（1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标；（2）求图（2）中抛物线的函数表达式；（3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，；（2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=． 130a =-∴．BB 图(1)图(2)l∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+．（3）4B ∵点的横坐标为15， 4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=． 3350A B =∵，拱高为30， ∴立柱44458520(m)22A B =+=．由对称性知：224485(m)2A B A B ==。

高一求反函数试题及答案

高一求反函数试题及答案1. 已知函数 \( f(x) = 2x + 3 \)，求该函数的反函数。

答案：首先，我们设 \( y = 2x + 3 \)，然后解出 \( x \) 以求得反函数。

将 \( y \) 代入得 \( x = \frac{y - 3}{2} \)。

因此，函数 \( f(x) = 2x + 3 \) 的反函数为 \( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} \)。

2. 给定函数 \( g(x) = \sqrt{x - 1} \)，求该函数的反函数。

答案：对于函数 \( g(x) = \sqrt{x - 1} \)，我们设 \( y =\sqrt{x - 1} \)，然后平方两边得到 \( y^2 = x - 1 \)。

解出\( x \) 得到 \( x = y^2 + 1 \)。

因此，函数 \( g(x) = \sqrt{x - 1} \) 的反函数为 \( g^{-1}(x) = x^2 + 1 \)。

3. 函数 \( h(x) = \log_2(x + 1) \) 的反函数是什么？答案：对于函数 \( h(x) = \log_2(x + 1) \)，我们设 \( y =\log_2(x + 1) \)，然后利用指数和对数的关系，得到 \( 2^y = x + 1 \)。

解出 \( x \) 得到 \( x = 2^y - 1 \)。

因此，函数 \( h(x) = \log_2(x + 1) \) 的反函数为 \( h^{-1}(x) = 2^x - 1 \)。

4. 求函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在区间 \( (0, +\infty) \) 上的反函数。

答案：对于函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，我们设 \( y =\frac{1}{x} \)，然后解出 \( x \) 得到 \( x = \frac{1}{y} \)。

高中数学-反函数例题选讲

高中数学-反函数例题选讲【例1】求下列函数的反函数：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232352153253232x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)，由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11111122x x y y x x++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，由＝－，得反函数＝＋＋≥－．函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2，反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23它们的图像如图2．4－2所示．【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，31x x a ++若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313-----ay y ax x (2)f(x)f (x)x 1若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．或解由f(x)＝f -1(x)，那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域相同，定义域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax b cx d++ 试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身．解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc ad c cx d dx b cx adx b cx a ax b cx d-+-+--+-++-()令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1(x)＝f(x)，因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数．解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--1373137313737373x 设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]121211121737337312-----x x x【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x-+-++-+----121212112212111解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12 【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a --111证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax aa x ax ----111111 ∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y ＝x 对称， ∴函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称．。

反函数题型及解析

反函数题型及解析1.求下列函数的反函数，找出它们的定义域和值域（1）y=2+lg（x+1）；（2）y=3+；（3）y=．2.求函数的反函数（1）y=（2）y=（3）y=lnx+1 （4）y=3x+23.求下列函数的反函数的定义域（1）y=（2）（3）4.求下列函数的反函数，并指出该函数和它的反函数的定义域（1）y=；（2）y=；（3）y=e x﹣15.求下列函数的反函数（1）y=；（2）y=（e x﹣e﹣x）；（3）y=1+ln（x﹣1）6.求下列函数的反函数．（1）y=log（1﹣x）+2（x＜0）；（2）y=2﹣（﹣2≤x≤0）；（3）y=（﹣1≤x≤0）；（4）y=x|x|+2x．反函数题型解析1.分析:（1）由对数式的真数大于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，化对数式为指数式，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域；（2）由根式内部的代数式大于等于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，求出x，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域；（3）由分式的分母不为0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，求出x，再把x，y 互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域．解：（1）y=2+lg（x+1），由x+1＞0，可得x＞﹣1，∴原函数的定义域为（﹣1，+∞），值域为R．由y=2+lg（x+1），得lg（x+1）=y﹣2，化为指数式得，x+1=10y﹣2，x，y互换得：y=10x﹣2﹣1，此反函数的定义域为R，值域为（﹣1，+∞）；（2）y=3+，由x≥0，可得原函数的定义域为[0，+∞），值域为[3，+∞）．由y=3+，得，x=（y ﹣3）2，x，y互换得：y=（x﹣3）2，此反函数的定义域为[3，+∞），再由为[0，+∞）；（3）y=，由x+1≠0，得x≠﹣1，∴原函数的定义域为{x|x≠﹣1}，由y==，∴原函数的值域为{y|y≠1}．由y=，得yx+y=x﹣1，即（1﹣y）x=1+y，∴x=，x与y互换得：，此反函数的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠﹣1}．2. 分析：由已知的解析式求出x的表达式，再把x换成y、y换成x，并注明反函数的定义域．解：由y=的得，xy+4y=x﹣4，解得（y≠1），所以（x≠1），则函数y=的反函数是（x≠1）．（2）函数y=可得：2x=2x y+y．可得2x（1﹣y）=y，2x=，可得x=，函数y=的反函数为y=．（3）由y=lnx+1解得x=e y﹣1，即：y=e x﹣1，∵x＞0，∴y∈R所以函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=e x﹣1（x∈R）；（4）∵y=3x+2，∴3x=y﹣2，又3x＞0，故y＞2，∴x=log3（y﹣2）（y＞2），∴函数y=3x+2的反函数是y=log3（x﹣2）（x＞2）3.分析：欲求反函数的定义域，可以通过求原函数的值域获得，所以只要求出函数的值域即可，反函数的定义域即为原函数的值域求解即可解：（1）∵y=，∴ye x+y=e x，∴（y﹣1）e x=﹣y，∴，∴x=ln，x，y互换，得函数y=的反函数为：，，解得反函数的定义域为：{x|0＜x＜1}（2）反函数的定义域即为原函数的值域，由，x＞0，所以，所以，则y＜0，反函数的定义域为（﹣∞，0）（3）由得，e x=．∵e x＞0，∴＞0，∴﹣1＜y＜1，∴反函数的定义域是（﹣1，1）4.解：（1）由y=，即2xy﹣y=x，x（2y﹣1）=y，解得x=，x，y互换得y=，其定义域为{x|x ≠}（2）由（2）y=可得y2=2x﹣3，即x=（y2+3），x，y互换得y=（x2+3），因为原函数的值域为[0，+∞），则反函数的定义域为[0，+∞）（3）由y=e x﹣1则x﹣1=lny，即x=1+lny，x，y互换得y=1+lnx，则其定义域为（0，+∞）5.分析:由已知解析式，用y表示出x，然后把x与y互换，即得反函数，应注意定义域与值域的互换．解：（1）由y=得到x=，把x与y互换可得：y=，（x∈R）；（2）由y=（e x﹣e﹣x）得到：e x=y±，∵e x＞0，∴e x=y+，由此得：x=ln（y+）∴函数y=（e x﹣e﹣x）的反函数是y=ln（x+）（x∈R）；（3）∵y=1+ln（x﹣1）∴x=e y﹣1+1（y∈R），∴函数y=1+ln（x﹣1）的反函数为y=e x﹣1+1（x∈R）；6.分析:首先确定函数的值域，即反函数的定义域，然后看作方程解出x，从而将x与y互换即可．解：（1）∵y=log（1﹣x）+2（x＜0）；∴y＜2，∴y=﹣log2（1﹣x）+2，∴x=1﹣22﹣y，即y=1﹣22﹣x，（x＜2）；（2）∵y=2﹣（﹣2≤x≤0）的值域为[0，2]，∴x=﹣，即y=﹣，（x∈[0，2]）；（3）∵y=（﹣1≤x≤0）的值域为[，1]，∴x2=1+log3y，∴x=﹣，故y=﹣，（≤x≤1）；（4）y=x|x|+2x的值域为R，当x≥0时，y=x2+2x，故x=，当x＜0时，y=﹣x2+2x，x=1﹣；故y=．。

反函数练习（含详细解析）

反函数练习（含详细解析）反函数练习一．填空题1．若f（x）=（x﹣1）2（x≤1），则其反函数f﹣1（x）=．2．定义在R上的函数f（x）=2x﹣1的反函数为y=f﹣1（x），则f﹣1（3）=3．若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．4．已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）=．5．函数y=x2+2（﹣1≤x≤0）的反函数是f﹣1（x）=．6．已知函数f（x）=2x+m，其反函数y=f﹣1（x）图象经过点（3，1），则实数m 的值为．7．设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）=．8．函数f（x）=x2，（x＜﹣2）的反函数是．9．函数的反函数是．10．函数y=x2+3（x≤0）的反函数是．11．设函数f（x）=3x，若g（x）为函数f（x）的反函数，则g （1）=．12．设函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数y=x ﹣f（x）的图象经过点（2，5），则函数y=f﹣1（x）+3的图象一定过点．13．函数（x≤0）的反函数是．14．已知函数，则=．15．函数的反函数为f﹣1（x）=．16．函数的反函数的值域是．17．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=．18．设f（x）=4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）=．19．若函数y=ax+8与y=﹣x+b的图象关于直线y=x对称，则a+b=．20．已知函数f（x）=log2（x2+1）（x≤0），则f﹣1（2）=．参考答案一．填空题（共20小题）1．1﹣（x≥0）；2．2；3．；4．3；5．，x∈[2，3]；6．1；7．1；8．；9．f﹣1（x）=（x﹣1）2（x≥1）；10．y=﹣（x ≥3）；11．0；12．（﹣3，5）；13．（x≥﹣1）；14．﹣2；15．，（x∈（0，1））；16．；17．（x＞﹣2）；18．1；19．2；20．﹣；。

反函数(含答案)

反函数一些结论:()1定义域上的单调函数必有反函数；()2奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数； ()3定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数. ()4周期函数在整个定义域内不存在反函数.（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．考点一。

反函数图象1.已知函数的反函数是，则的图象是（）解：由题意知则所以的图象可由的图象向右平移1个单位而得到。

故选（C ）。

考点二。

求反函数定义域，值域2.（1）若为函数的反函数，则的值域为_________。

解：利用反函数的值域就是原函数的定义域，立即得的值域为。

（2）已知p 为xe 2y =上一点，Q 为2ln ln y -=x 上一点，求PQ 最小值。

解：由题，两函数互为反函数，当PQ 与y=x 垂直，且P,Q 分别为两曲线切点时，PQ 最小。

2ln ln y -=x ，则1x 1y =='，即x=1,切点为（1，-ln2),故22ln 1d +=。

由对称性，PQ 最小值=)2ln 12+（。

（3）已知y=a 与y=2(x+1),y=x+lnx 交于A ，B 两点,求AB 最小值。

解：0x11y >+='，单调递增，y=2(x+1)单增且k=2,画图像得:要使AB 最小，只需B 到y=2(x+1)距离d 最小又5535212d =+-=，故AB min=d 25=23。

考点三。

求反函数3.（1）函数的反函数是（）A. B. C. D. 解：由可得，故从解得因所以即其反函数是故选（B ）。

（2）求下列函数的反函数：（1）2()(1)f x x x x =+≤-；（2）221(01)(){(10)x x f x x x -≤≤=-≤<.解：（1）由2(1)y x x x =+≤-得2211()(1)24y x x =+-≤-，∴211(0)24x y y +=-+≥，∴所求函数的反函数为211(0)24y x x =--+≥．（2）当01x ≤≤时，得1(10)x y y =+-≤≤，当10x -≤<时，得(01)x y y =-<≤，∴所求函数的反函数为1(10)(01)x x y x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩．（3）f(x)图像与g(x)图像关于直线x+y=0对称，则f(x)反函数为（ ) A.y=g(x) B.y=g(-x) C.y=-g(x) D.y=-g(-x)解：f(x)图像与g(x)图像关于直线x+y=0对称，∴-x=f(-y),即-y=)(f 1x --,则y=-)(f 1x --,)()(f 1x g x -=-∴-,故)(-g (f 1x x -=-），选D. 考点四。

高三数学反函数试题答案及解析

高三数学反函数试题答案及解析1.已知函数，则．【答案】1【解析】因为，所以因此【考点】反函数2.设方程和方程的根分别为和，函数，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，可得，同理，令，得，从而为曲线与直线交点的横坐标，为曲线与直线交点的横坐标，而曲线与曲线关于直线对称，故点与点关于直线对称，由于直线与直线对称，故的中点即为直线与直线的交点，故点的坐标为，由中点坐标公式可得，，故曲线的对称轴为直线，因此函数在上单调递增，故有，故选A.【考点】1.函数的零点；2.互为反函数的两个函数图象的关系；3.二次函数3.若函数是函数且的反函数，且函数的图像经过点，则____________.【答案】【解析】函数且的反函数是，又因为图像经过点，，解得：，所以．【考点】本题反函数的定义，学生的基本运算能力．4.函数与的图像关于直线对称，则 .【解析】由已知可知g（x）与f(x)是互为反函数，设g（3）=b，则1+logb=3，解得b=4，所以2g（3）=4.【考点】反函数的图象及其性质.5.函数的反函数（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由.∵x>0，∴y>0. ∴.故选A.【考点】反函数的求解.6.函数的反函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据已知函数，函数，由得，所求反函数为，选B。

【考点】反函数点评：主要是考查了反函数的求解，属于基础题。

7.设函数的反函数是，且过点，则经过点．【答案】【解析】因为函数的反函数是，且过点，而的图象就是的图象沿x轴向右平移1单位的结果，所以反函数是的图象过（0,2），的图象过（2,0），故经过点（3,0）.【考点】本题主要考查互为反函数的函数图象之间的关系，图象的平移。

点评：基础题，点（a,b）在函数的图象上，则点（b，a）在反函数的图象上。

8.若函数y=的图象经过（0，-1），则y=的反函数图象经过点( )A．（4，一1）B．（一1,-4）C．（-4,- 1）D．（1,-4）【答案】B【解析】根据原函数与反函数图象之间的关系可得结论，对于原函数与复合函数的所过定点问题，本题可利用在函数值-1保持不变的情况下，求出与原函数自变量x=0与之对应的复合函数的自变量x=-4，由函数y=f（x）的图象经过点（0，-1），所以当x=-4时有f（4+x）=f（0）=-1，从而函数y=f（4+x）过点（-4，-1），则函数y=f（4+x）的反函数并经过点（-1，-4），故答案为B。

《反函数典型例题精析》

《反函数_典型例题精析》反函数是指在函数关系中，将自变量和因变量的角色互换，从而得到一个新的函数关系。

它是函数关系的逆运算，用于解决一些特定的问题。

下面将通过几个典型的例题来对反函数进行精析。

例题1：已知函数y = 2x + 3，求它的反函数。

解析：要求反函数，需要将自变量和因变量的角色互换。

首先将原函数中的自变量x换成y，因变量y换成x：x = 2y + 3。

然后解方程，将y表示出来：y = (x - 3) / 2。

所以，原函数的反函数为f^(-1)(x) = (x - 3) / 2。

例题2：已知函数f(x) = x^2，求它的反函数。

解析：同样地，需要将自变量和因变量的角色互换。

将原函数中的自变量x换成y，因变量y换成x：x = y^2。

然后解方程，将y表示出来。

但是，由于原函数f(x) = x^2不是一一对应的函数，即存在多个x对应同一个y的情况，所以它没有反函数。

例题3：已知函数f(x) = e^x，求它的反函数。

解析：同样地，需要将自变量和因变量的角色互换。

将原函数中的自变量x换成y，因变量y换成x：x = e^y。

然后解方程，将y表示出来：y = ln(x)。

所以，原函数的反函数为f^(-1)(x) = ln(x)。

通过以上例题的分析可以看出，反函数的求解过程主要是将原函数中的自变量和因变量互换，然后解方程将因变量表示出来。

需要注意的是，反函数存在的条件是原函数必须是一一对应的函数，即每个自变量对应唯一的因变量。

如果原函数不是一一对应的函数，则不存在反函数。

反函数在实际问题中有着重要的应用，例如在金融领域中，可以利用反函数来解决利率计算、贷款计算等问题；在物理学中，可以利用反函数来解决速度、加速度等问题。

因此，熟练掌握反函数的求解方法对于解决实际问题具有重要意义。

总结起来，反函数是函数关系的逆运算，通过将自变量和因变量的角色互换，得到一个新的函数关系。

反函数的求解过程主要是将原函数中的自变量和因变量互换，然后解方程将因变量表示出来。

第13讲反函数的概念题型与解题策略(原卷+解析)-高考数学二轮复习

第13讲反函数的概念题型与解题策略一、知识与方法1．反函数的定义对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，对应法则为f ，若对于每一个y ∈A ，都有唯一的x D ∈满足()f x y =．则这样的对应也构成一个函数，称为原来函数y =()f x 的反函数，记作1()x f y -=．习惯上，自变量常用x 表示，因变量常用y 表示，所以我们对调反函数式1()x f y -=中的,x y ，把它改写成1(),y f x x A -=∈．2．求函数()y f x =的反函数的基本步骤(1)由()y f x =解出x ，得1()x f y -=；(2)将,x y 互换得1()y f x -=；(3)由原函数的值域写出反函数1()y f x -=的定义域．若()f x 与1()f x -互为反函数，则①()f x 的定义域和值域分别为1()f x -的值域和定义域；②()f x 和1()f x -的对应法则互递；③()f x 和1()f x -的图像关于直线y x =对称．3．原函数与反函数的“交叉关系”原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量互换、定义域与值域互换，应特别注意以下两点．(1)()111()(),(),(())f a b f b a f f x x f f x x ---=⇔===，但()1()f f x -≠1(())f f x -(2)函数()(0)y f x a a =+≠的反函数是1()y f x a -=-，而不是1()y f x a -=+．4．对反函数概念的进一步阐述(1)不是每个函数都有反函数，由定义可知，对每个y A ∈都能从()f x y =中解出唯一的x D ∈(与之对应)，这样的函数存在反函数；(2)单调函数具有反函数，且可以证明其反函数的单调性与原来函数的单调性一致．二、典型例题【例1】(1)若121(),()()21x x f x g x f x --==+，则35g ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．(2)函数11,1ax y x x ax a -⎛⎫=≠-∈ ⎪+⎝⎭R 的图像关于y x =对称，则a 的值为________．(3)设1()f x -是函数()1()(1)2x x f x a a a -=->的反函数，则1()1f x ->成立的x 的取值范围是________．(4)2()f x a x b =++与()13c g x x =-+-互为反函数，则a b c ，，的值依次为________．【例2】(1)已知函数3(0)3x x f x x +⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，求13x f -⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)已知函数1()(0,1)x f x a b b b -=+>≠的图像经过点(1,3)，函数1()f x a -+(0)x >的图像经过点(4,2)，试求函数1()f x -的表达式；(3)已知函数13()12x f x x+=-与函数()g x 的图像关于直线y x =对称，又函数()h x 与(2)g x +互为反函数，求(4)h 的值；(4)判断函数2,0,2,0x x x y x x ⎧-=⎨->⎩是否有反函数，如果有，求出反函数，否则说明理由．【例3】为研究“原函数图像与其反函数图像的交点是否在定直线y x =上”这一课题，可以分3步进行研究：(1)首先选取如下函数：221,,1x y x y y x =+==+图像的交点坐标：21y x =+与其反函数12x y -=的交点坐标为(1,1)--． 21x y x =+与其反函数2x y x=-的交点坐标为(0,0),(1,1)．y =21(0)y x x =-的交点坐标为⎝⎭，(1,0),(0,1)--(2)观察分析上述结果得到研究结论．(3)对得到的结论进行证明，现在请完成(2)和(3)．三、易错警示【例】已知23()1xf xx+=-，若函数()g x的图像与1(1)y f x-=+的图像关于直线y x=对称，求g(3)的值．四、难题攻略【例】已知函数210()(10)10x f x x x -⎛⎫=> ⎪+⎝⎭． (1)求的反函数；(2)如果不等式对于上的每一个的值都成立，求实数的取值范围；(3)设，求函数的最小值及相应的的值．()fx 1(1()(f x m m ->11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦xm 11()()g x f x -=()y g x =x五、强化训练1．在上的递减函数满足：当且仅当时，函数值的集合为，且，又对中的任意，都有． (1)判断和是否都是中的元素，并说明理由． (2)若表示在上的反函数，则是否具有这样的性质：并说明理由．(3)不等式是否有解?如有，求出解集；如没有解，说明理由．R ()f x x M +∈⊆R ()f x [0,2]112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭M 12,x x ()()()1212f x x f x f x =+1418M 1()f x -()f x M 1()f x -()()()1111212f x f x f x x ---=+()1211(2)([0,2])4f x x f x x --++∈2．设． (1)试判断函数的单调性，并用函数单调性的定义，给出证明；(2)若的反函数为，证明：对任意的自然数都有； (3)若的反函数为，证明：方程有唯一解．211()log ,()()12x f x F x f x x x+==+--()F x ()f x 1()f x -(3)n 1()1n f n n ->+()F x 1()F x -1()0F x -=第13讲反函数的概念题型与解题策略一、知识与方法1．反函数的定义对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，对应法则为f ，若对于每一个y ∈A ，都有唯一的x D ∈满足()f x y =．则这样的对应也构成一个函数，称为原来函数y =()f x 的反函数，记作1()x f y -=．习惯上，自变量常用x 表示，因变量常用y 表示，所以我们对调反函数式1()x f y -=中的,x y ，把它改写成1(),y f x x A -=∈．2．求函数()y f x =的反函数的基本步骤(1)由()y f x =解出x ，得1()x f y -=；(2)将,x y 互换得1()y f x -=；(3)由原函数的值域写出反函数1()y f x -=的定义域．若()f x 与1()f x -互为反函数，则①()f x 的定义域和值域分别为1()f x -的值域和定义域；②()f x 和1()f x -的对应法则互递；③()f x 和1()f x -的图像关于直线y x =对称．3．原函数与反函数的“交叉关系”原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量互换、定义域与值域互换，应特别注意以下两点．(1)()111()(),(),(())f a b f b a f f x x f f x x ---=⇔===，但()1()f f x -≠1(())f f x -(2)函数()(0)y f x a a =+≠的反函数是1()y f x a -=-，而不是1()y f x a -=+．4．对反函数概念的进一步阐述(1)不是每个函数都有反函数，由定义可知，对每个y A ∈都能从()f x y =中解出唯一的x D ∈(与之对应)，这样的函数存在反函数；(2)单调函数具有反函数，且可以证明其反函数的单调性与原来函数的单调性一致．二、典型例题【例1】(1)若121(),()()21x x f x g x f x --==+，则35g ⎛⎫= ⎪⎝⎭________． (2)函数11,1ax y x x ax a -⎛⎫=≠-∈ ⎪+⎝⎭R 的图像关于y x =对称，则a 的值为________． (3)设1()f x -是函数()1()(1)2x x f x a a a -=->的反函数，则1()1f x ->成立的x 的取值范围是________．(4)2()f x a x b =++与()13c g x x =-+-互为反函数，则a b c ，，的值依次为________．【分析】解决反函数问题要特别注意利用原函数和反函数之问的关系．概念清晰非常重要，可以大大减少解题时的运算量．【解析】(1)设13355g f t -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3()5f t =，即213,2215t t t -=∴=+．即325g ⎛⎫= ⎪⎝⎭． (2)一个函数的图像关于直线y x =对称，则这个函数的反函数就是原函数，利用待定系数法可求出a 的值．由11,1ax y x x ax a -⎛⎫=≠-∈ ⎪+⎝⎭R 得1(1)(1)y x y a y -=≠-+．设11()(1)(1)x f x x a x --=≠-+．由题知：1()()f x f x -=，即11,1(1)1x ax a a x ax --=∴=++． (3)【解法一】由()12x x y a a -=-得()2210x x a ya --=．∴x a y =(负值舍去)，∴(log a x y =+，即(1()log a f x x -=+．由(log 1a x +>得x a >，解得212a x a ->．【解法二】∵1,()a f x >∴为增函数且值域为R ，∴()1()(1)f f x f ->，即(1)x f >．即211122a x a a a -⎛⎫>-= ⎪⎝⎭． (4)∵3()f x a x b =++的定义域为x b ≠-，值域为y a ≠，()13c g x x =-+-的定义域为3x ≠，值域1y ≠-，∴21,3,()31b a f x x -=-=∴=++．在()f x 上取一点(0,5)，则点(5,0)在()g x 上，∴(5)1053c g =-+=-．解方程得2c =，故a b c ，，的值分别为3,1,2．【例2】(1)已知函数3(0)3x x f x x +⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，求13x f -⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)已知函数1()(0,1)x f x a b b b -=+>≠的图像经过点(1,3)，函数1()f x a -+(0)x >的图像经过点(4,2)，试求函数1()f x -的表达式； (3)已知函数13()12xf x x+=-与函数()g x 的图像关于直线y x =对称，又函数()h x 与(2)g x +互为反函数，求(4)h 的值；(4)判断函数2,0,2,0x x x y x x ⎧-=⎨->⎩是否有反函数，如果有，求出反函数，否则说明理由．【分析】本题的解题要诀：按部就班，不要“跳跃”，吃透概念，循序渐进，读出“几何条件”背后的“代数信息”．【解析】 (1)设3x t =，则33113,().().13t t x x t f t y f x yx x t t x+++===∴==∴=+．∴1(1)1,1x y x y -=∴=-，得11()1f x x -=-．可得1133313x f x x -⎛⎫== ⎪-⎝⎭-，得1333x f x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭． (2)10,1,()x b b y f x a b ->≠==+，则1,1log ()x b b y a x y a -=--=-．∴1()log ()1()b f x x a x a -=-+>，可得1()log 1b f x a x -+=+．1()x f x a b -=+的图像经过点(1,3)，可得2a =．1()(0)f x a x -+>的图像经过点(4,2)，可得4b =．∴14()log (2)1(2)f x x x -=-+> (3)设(4)h t =，则点(4,)t 在函数()y h x =的图像上．又函数()h x 与(2)g x +互为反函数，∴点(,4)t 在(2)y g x =+的图像上，即(2)4g t +=，即点(2,4)t +在函数()y g x =的图像上．又函数13()12xf x x+=-与函数()g x 的图像关于直线y x =对称， ∴点(4,2)t +在13()12x f x x +=-的图像上．∴13272,77t t =+∴=--． (4)由反函数的概念判断所给的函数存在反函数．①当0x 时，221124y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，由二次函数的性质可知[0,y ∈+)∞．反解，得102x y =-． ②当0x >时，2y x =-，由一次函数的性质可知(,0)y ∈-∞．反解，得12x y =-，0y <．由①，②得10,21,0.2y x y y ⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩互换,x y得所求的反函数为1021,0.2x y x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩．【例3】为研究“原函数图像与其反函数图像的交点是否在定直线y x =上”这一课题，可以分3步进行研究：(1)首先选取如下函数：221,,1xy x y y x =+==+图像的交点坐标：21y x =+与其反函数12x y -=的交点坐标为(1,1)--． 21x y x =+与其反函数2xy x=-的交点坐标为(0,0),(1,1)．y =21(0)y x x =-的交点坐标为⎝⎭，(1,0),(0,1)--(2)观察分析上述结果得到研究结论．(3)对得到的结论进行证明，现在请完成(2)和(3)．【分析】本例研究函数()f x 与其反函数1()f x -的交点有什么特点，是一个很好的研究性课题，一是交点的个数，二是交点的位置，这些疑点，本例均可以破解．21y x =+与其反函数12x y -=只有1个交点，且在y x =上；21x y x =+与其反函数2xy x=-的交点有2个，且都在y x =上；y =21(0)y x x =-的交点有3个，不都在y x =上，故第三例是一个很好的研究点．21),1(0)y x y x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩⇒21x -，两边平方解42424222121200(1)x x x x x x x x x x x x +=-+⇒--=⇒---=⇒+(1)(1)0x x x --+=⇒()2(1)100x x x x x +--=⇒=或1x =-或x =，由于[1,0],x x ∈-∴=舍去，∴1,0,0,1,x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故有3个交点，(0,1)-不在y x =上，⎝⎭在y x =上．又比如函数1y x=-的反函数就是其本身，图像不与直线y x =相交，但与直线y x =对称，图像上每一点都是它与反函数的交点，故可以说有无穷多个交点且与直线y x =对称．再举一例我们探究方程1161log 16xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解的个数，实质就是互为反函数的116xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与116log y x =图像交点的个数，有3个交点，其中1111,,,2442⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两个交点也不在直线y x=上．根据上面的分析可以得出如下结论：()y f x =与1()y f x -=的交点可能在y x =上，也可能不在直线y x =上．若不在y x =上，则必关于y x =对称．交点的个数可以有1个，2个，3个或无穷多个．【解析】 (1)略．(2)原函数图像与其反函数图像的交点不一定在直线y x =上．(3)证明：设点(,)a b 是()f x 的图像与其反函数图像的任一交点，由于原函数与其反函数的图像关于直线y x =对称，则点(,)b a 也是()f x 的图像与其反函数图像的交点，且有(),()b f a a f b ==．若a b =，则交点显然在直线y x =上；若a b <且()f x 是增函数时，有()()f b f a <，从而有b a <，前后矛盾；若b a <且()f x 是增函数时，有()()f a f b <，从而有a b <，前后矛盾；若a b <且()f x 是减函数时，有()()f b f a <，从而有a b <成立，此时交点不在直线y x =上．同理，若b a <且()f x 是减函数时，交点也不在直线y x =上．综上所述，如果函数()f x 是增函数，并且()f x 的图像与其反函数的图像有交点，则交点一定在直线y x =上；如果函数()f x 是减函数，并且()f x 的图像与其反函数的图像有交点，则交点不一定在直线y x =上．三、易错警示【例】已知23()1x f x x +=-，若函数()g x 的图像与1(1)y f x -=+的图像关于直线y x =对称，求g (3)的值．【错解】(若对反函数的概念不够清晰，则易出现如下的错解)由题意知，()g x 是1(y f x -=1+)的反函数，而1(1)y f x -=+的反函数是(1)y f x =+， ∴2(1)325()(1)(1)1x x g x f x x x +++=+==+-，于是23511(3)33g ⨯+==．【分析】事实上，()y f x =的反函数为1()y f x -=，因此1()y f x -=是函数1()y f x -=当x 取1x +时所得的函数值．另一方面，(1)y f x =+的反函数是这样求出的：由(1)y f x =+得11()x f y -+=．即1()1x f y -=-，互换,x y ，得1()1y f x -=-， ∴(1)y f x =+的反函数是1()1y f x -=-，而不是1(1)y f x -=+．【解析】【正解一】∵1233(),()12x x f x f x x x -++=∴=--．则14(1)1x f x x -++=-，令1(1)y f x -=+41x x +=-，则41y x y +=-，互换x y 、得1(1)y f x -=+的反函数为()y g x ==4347,(3)1312x g x ++∴==--．【正解二】设(3)g x =，则1()3g x -=．()y g x =的图像与1(1)y f x -=+的图像关于直线y x =对称． ∴()y g x =与1(1)y f x -=+互为反函数．因此有11()(1)3g x f x --=+=．因此2339(3)1312f x ⨯+=+==-．于是97(3)122g x ==-=．四、难题攻略【例】已知函数210()(10)10x f x x x -⎛⎫=> ⎪+⎝⎭．(1)求的反函数；(2)如果不等式对于上的每一个的值都成立，求实数的取值范围；(3)设，求函数的最小值及相应的的值．【分析】本例是一道涉及函数与反函数、含参数无理不等式恒成立，以及求函数最值等众多数学知识的综合题，包含的信息很多．如何处理这些信息，使问题的解决一步步获得进展并最后加以攻克呢?数学教育家·波利亚为我们提供了这样一条路线：(1)为了解答一道题目，我们必须具备关于题目的一些知识，此外还必须在我们已经存在的，但原本潜伏着的知识中挑选和收集相关的内容……从我们的记忆中萃取这样的相关元素可以称之为‘动员’．(2)然而，要解答一道题目，仅仅回忆起一些孤立的事实是不够的，我们必须把它们组织起来，而且它们的组合必须能很好地适用于我们手头的题目．(3)动员和组织绝不可能真正分开．(4)工作取得进展的另一个方面，是我们概念转换的模式．(5)当我们在向最终目标前进时，就可以越来越清楚地看到它，当我们看得更清楚一些时，就可以判断，我们离它更近了一些．(6)什么是趋向解答的进展?我们可以以不易觉察的小脚步稳步前进，但又不时跳跃腾飞，()fx 1(1()(f x m m ->11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦xm 11()()g x f x -=()y g x =x G取得突破性的进展．解综合题的过程实质就是汇聚相关知识，恰到好处地加以运用，一步步使之深入并完美地获得最终结果的过程，这里既有知识的再现、思维的不断深化、解题策略的实施，也是解题能力的展示．本例第(2)问可转化为含参数一次不等式在区问上恒成立，求参数的取值范围，且必须分类讨论．第(3)问的解题关键是有效变形后运用基本不等式求最小值．【解析】(1)得．．(2)要使对于上的每一个的值都成立．即，也即在，则．设，①当，即时，要使恒成立，只要即可．∴．又．②当，即时，．③当，即时，要使恒成立，只要即可．∴，即，解得．又．．（3）． 210(10)10x y x x -⎛⎫=>⎪+⎝⎭1)x y =<<1()1)f x x -∴=<<1(1()(f x m m ->11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦x (1(m m >-10(1(m m >11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦t =211,(10)10032t m t m ++->2()(10)10M t m t m =++-100m +>10m >-()0M t >103M ⎛⎫> ⎪⎝⎭2210100,34003m m m m ++->--<m <10,m >-m <<100m +=10m =-()900.10M t m =-<∴≠-100m +<10m <-()0m t >102M ⎛⎫> ⎪⎝⎭2101002m m ++->22300m m --<m <<10,m m <-∴∈∅m <<111()2()10f x f x -⎤=+=⎥⎦111122101010⎛==⨯+⨯ ⎝5=等号成立的条件为(舍去，∴．∴当时，．五、强化训练1．在上的递减函数满足：当且仅当时，函数值的集合为，且，又对中的任意，都有．(1)判断和是否都是中的元素，并说明理由．(2)若表示在上的反函数，则是否具有这样的性质：并说明理由．(3)不等式是否有解?如有，求出解集；如没有解，说明理由．【解析】(1)∵[]1110,2.22f M⎛⎫=∈∴∈⎪⎝⎭于是111112[0,2]42222f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=+=∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.1.4M∴∈又1111111.213[0.2]..8248248f f f M⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯∴=+=+=∉∴∉⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)∵()f x是R上的减函数,而,()M f x∴R是M上的减函数.故()f x在M上的反函数必然存在,且1()f x-的定义域为()f x的值域[0,2].对于任意的12,[0,2]x x∈,记()()111122,y f x y f x--==.则()()()112212,,x f y x f y y y M==∈.故()()()()11212121212.x x f y f y f y y y y f x x-+=+=∴=+.而()()()()()1111112121212.y y f x f x f x f x f x x-----=∴=+.故1()f x-具有性质()()()2111112=.+f x f x f x x---（3）∵()f x在M上是减函数,,∴1()f x-在[0,2]上也是减函数.由()1211(2)4f x x f x--++,得()1211(2)(2)f x x f x f---+⋅+.11=-1-3x=-3x=-()g xR()f x x M+∈⊆R()f x[0,2]112f⎛⎫=⎪⎝⎭M12,x x()()()1212f x x f x f x=+1418M1()f x-()f x M1()f x-()()()1111212f x f x f x x---=+()1211(2)([0,2])4f x x f x x--++∈即()()121121(2)2(2)fxx f x f x x x f ----++=+++.∴{}2202022,0,0.222x x x x x x ⎧+⎪+=∴⎨⎪++⎩即不等式的解集是2．设． (1)试判断函数的单调性，并用函数单调性的定义，给出证明；(2)若的反函数为，证明：对任意的自然数都有； (3)若的反函数为，证明：方程有唯一解．【解析】211(1)()log ,(1,1),21x F x x x x +=+∈---函数12y x=-在(1,1)-上单调递增,且函数y =21log 1x x +-可写成22log (1)1y x =---，在(-1，1)上单调递增.211()log 21xF x x x+∴=+--在(-1，1)上单调递增。

《反函数》典型例题精析

《反函数》典型例题解析【例1】求下列函数的反函数：（1）3521x y x -=+（12x ≠-）；（2）223y x x =-+（(],0x ∈-∞）；（3）211y x =+（0x ≤）；（4）()()1001x y x -≤≤=<≤⎪⎩。

【解析】（1）∵3521x y x -=+()313213132221242x x x +-==-++，当12x ≠-时，32y ≠；由3521x y x -=+可得()235y x y -=--，即523y x y --=-； ∴所求反函数为523x y x --=-（32x ≠）。

（2）∵223y x x =-+()212x =-+， ∴函数在(],0-∞上单调递减，其值域为[)3,+∞；又由()212y x =-+（(],0x ∈-∞）可得1x -=1x = 所以反函数为()11fx -=[)3,x ∈+∞）（3）∵211y x =+（0x ≤），其值域为01y <≤，由211y x =+得x = 所以反函数为()1fx -=01x <≤）。

（4）由y =10x -≤≤）得值域为01y ≤≤，又由y =21x y =-，所以反函数为()121f x x -=-（01x ≤≤）；由y =01x <≤）得值域为10y -≤<，且由y =2x y =，所以反函数为()12f x x -=（10x -≤<）；故所求反函数为()()()212,101,01x x f x x x -⎧-≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩。

注意：分段函数的反函数一定为分段函数（由各段的反函数合并而成）。

【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．（1）1y =；（2）232y x =--（0x ≤）【解析】（1）∵已知函数的定义域是[)1,+∞，且函数1y =在定义域上单调递增， ∴值域为{}1y y ≥；又由1y =可得()211x y =++，所以函数1y =的反函数为()211y x =++（[)1,x ∈+∞）。

(完整)高一反函数·典型例题精析

反函数·例题解析【例1】求下列函数的反函数：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232352153253232x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)，由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11111122x x y y x x++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，x x +-1得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，由＝－，得反函数＝＋＋≥－．函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2，反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23它们的图像如图2．4－2所示．【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，31x x a ++若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313-----ay y ax x(2)f(x)f (x)x 1若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．或解由f(x)＝f -1(x)，那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域相同，定义域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax b cx d++ 试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身．解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc ad c cx d dx b cx adx b cx a ax b cx d-+-+--+-++-()令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1(x)＝f(x)，因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数．解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--1373137313737373x 设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]121211121737337312-----x x x【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x-+-++-+----121212112212111 解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a --111证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax aa x ax ----111111 ∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y ＝x 对称，∴函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称．。

反函数典型例题精析

2．4 反函數·例題解析【例1】求下列函數的反函數：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232352153253232x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域為y ∈[2，＋∞)，由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11111122x x y y x x++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，x x +-1得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x【例2】求出下列函數的反函數，並畫出原函數和其反函數的圖像．(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1解 (1)∵已知函數的定義域是x ≥1，∴值域為y ≥－1，由＝－，得反函数＝＋＋≥－．函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2，反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23它們的圖像如圖2．4－2所示．【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113x x a ++ (1)求它的反函數；(2)求使f -1(x)＝f(x)的實數a 的值．解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，31x x a ++若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313-----ay y ax x (2)f(x)f (x)x 1若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．或解由f(x)＝f -1(x)，那麼函數f(x)與f -1(x)的定義域和值域相同，定義域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax b cx d++ 試求a 、b 、c 、d 滿足什麼條件時，它的反函數仍是自身．解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc ad c cx d dx b cx adx b cx a ax b cx d-+-+--+-++-()令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．事實上，當a ＋d ＝0時，必有f -1(x)＝f(x)，因此所求的條件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．【例5】設點M(1，2)既在函數f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的圖像上，又在它的反函數圖像上，(1)求f -1(x)，(2)證明f -1(x)在其定義域內是減函數．解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--1373137313737373x 设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]121211121737337312-----x x x【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x-+-++-+----121212112212111解法(二) 由函數y ＝f(x)與其反函數y ＝f -1(x)之間的一一對應關系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12 【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a --111证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax aa x ax ----111111 ∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111因為原函數的圖像與其反函數的圖像關於直線y ＝x 對稱， ∴函數y ＝f(x)的圖像關於直線y ＝x 對稱．。

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