反函数·典型例题精析

2．4 反函数·例题解析

【例1】求下列函数的反函数：

(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝

≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+

(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝

≤．＝－≤≤－＜≤11

2x x +⎧⎨⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232

3521

53253232

x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)， 由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222

解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝

≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11

111122x x y y x x

++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，

得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，

x x +-1

得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，

故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x

【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．

(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－

≤x -1

解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，

由＝－，得反函数＝＋＋≥－．

函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11

解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2， 反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23

它们的图像如图2．4－2所示．

【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113

x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．

解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，

31x x a ++

若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313

-----ay y ax x (2)f(x)f (x)x 1若＝，即

＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113

x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．

或解 由f(x)＝f -1(x)，那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域相同，定义域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．

【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax b cx d

++ 试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身．

解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc ad c cx d dx b cx a

dx b cx a ax b cx d

-+-+--+-++-()

令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．

事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1(x)＝f(x)，

因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．

【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数．

解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩

⎪⎪--1373137313737373

x 设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]121211121

73

73373

12-----x x x

【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x

-+-++-+----12

1212112212111

解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关 系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．

f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12 【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a --1

1

1

证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝

，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax a

a x ax ----11

1111 ∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------1111

11

因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y ＝x 对称， ∴函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称．