复合函数与隐函数的偏导数
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经济学专业数学复合函数和隐函数的偏导数配套课件
则
两边对 x 求导
在
的某邻域内
Fy 0
Fx dy dx Fy
2017年4月14日星期五
18
y 例 5 设方程 ln x y arctan 确定 y 是 x dy x 的函数,求 . dx
2 2
解
1 2y 1 1 yx Fy 2 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y 2 x 所以,
1 2x 1 y x y Fx 2 ( 2 ) 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y2 x
y 令 F ( x, y ) ln x y arctan ,则 x
2 2
Fx dy x y x y . dx Fy yx x y
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2017年4月14日星期五
定理4
② ③ 则方程
若函数
F ( x, y, z ) 满足:
的某邻域内具有连续偏导数 ,
① 在点
F ( x0 , y0 , z0 ) 0 Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
在点 某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 并有连续偏导数
全微分的形式不变性
设函数
则复合函数 的全微分为 都可微,
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达
形式都一样,
2017年4月14日星期五
这性质叫做全微分形式不变性.
12
利用全微分的形式不变性，可以比较容易地得到全 微分的四则运算公式：
u vdu u d(u v) du dv, d(uv) udv vdu, d v2 v u vdu udv udv vdu , d (v 0). 2 v v
§8.4 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式
M
26
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定理2 若函数 F (x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0 , y0, z0) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x) 两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x0
ex y cos y x (0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
8
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例3 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解 dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
x y
解 z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
7
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例2 u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
讲义-9.3-多元复合函数与隐函数求导
9.3 .
多元复合函数与隐函数的偏导数 1. 一个方程所确定的隐函数可能是
13
F (x, y, z ) = 0 2. 方程组所确定的隐函数可能是
F (x, y, z ) = 0
G(x, y, z ) = 0
以下分别针对不同的隐函数方程形式讨论其中的求导问题： 隐函数存在定理 I：若函数 F (x, y ) 满足： (1) F (x0 , y0 ) = 0
′ 2. 设 f (x, y ) 一阶偏导连续，f (1, 1) = 1, f ′ x (1, 1) = 2，f y (1, 1) = 3，又 ϕ(x) = 3 dϕ (x) f (x, f (x, x))，求 。 dx x=1
NUDT-2017-S3
F (x, y, z ) = 0 G(x, y, z ) = 0 , ,
′ 例：设由 ln(xz ) + arctan(yz ) = 0 可确定隐函数 z = z (x, y )，求 zx 。
f (x, f (x, f (x, x)))，求 ϕ(1) 与 ϕ′ (1)。 例：设 u = u(x) 由 u = f (x, y ), g (x, y, z ) = 0, h(x, z ) = 0
.
注：以上的求法法则可以形象地解释为： “嵌套”→ 乘积， “并列”→ 相加 ∂z ∂z 例：对下列函数分别求 和 ∂x ∂y (1) z = eu cos v, u = 2x − y, v = xy (2) z = f (3x + 2y, x2 + y 2 )
∂z ∂z 和 ∂x ∂y ∂z ∂z 例：设 z = f (x/y )，其中 f 可微，证明：x +y =0 ∂x ∂y 例：设 z = xy + xf (x/y )，其中 f 可微，证明： 例：设 z = f (x, x + y, x/y )，其中 f 可微，求 x ∂z ∂z +y = xy + z ∂x ∂y dz dt
大学数学_8_4 复合函数的求导法则
z dz ( u 2 v 2 )
( u 2 v 2 ) 高阶的无穷小，得 z z u z v ( u 2 v 2 )
t 0
lim
u t v t t z du z dv ( u 2 v 2 ) u 2 v 2 lim . 2 2 u dt v dt t 0 t u v z du z dv u dt v dt 所以复合函数 z f [ (t ), (t )] 可导，具有求导公式：
设 u (t ) v (t ) .w (t ) 均 在 点 t 处 可 导 ， z f (u , v, w) 在对应点(u , v, w) 处有连续的偏导数， 写出复合 函数 z f [ (t ), (t ), (t )] 的全导数公式. u t 函数的结构图是 z w t v t 由 z 经u , v, w 到 t 有三条途径，故和式中应有三项，所以全 导数为 dz z du z dv z dw . dt u dt v dt w dt dz 例 1 设 z uv ， u sin t ，v cos t ，求全导数 . dt dz z du z dv 解 dt u dt v dt v cos t u ( sin t ) cos 2 t sin 2 t cos 2t
例 5 设 z arcsin u, u x 2 y 2 ，求
z z , . x y
解 函数的结构如下： x z u y 所以 z z u 1 2x 2x x u x 1 u2 1 ( x 2 y 2 )2 z dz u 1 2y 2y 2 y du y 1 u 1 ( x 2 y 2 )2
t 0
t
lim(
( u 2 v 2 ) 高阶的无穷小，得 z z u z v ( u 2 v 2 )
t 0
lim
u t v t t z du z dv ( u 2 v 2 ) u 2 v 2 lim . 2 2 u dt v dt t 0 t u v z du z dv u dt v dt 所以复合函数 z f [ (t ), (t )] 可导，具有求导公式：
设 u (t ) v (t ) .w (t ) 均 在 点 t 处 可 导 ， z f (u , v, w) 在对应点(u , v, w) 处有连续的偏导数， 写出复合 函数 z f [ (t ), (t ), (t )] 的全导数公式. u t 函数的结构图是 z w t v t 由 z 经u , v, w 到 t 有三条途径，故和式中应有三项，所以全 导数为 dz z du z dv z dw . dt u dt v dt w dt dz 例 1 设 z uv ， u sin t ，v cos t ，求全导数 . dt dz z du z dv 解 dt u dt v dt v cos t u ( sin t ) cos 2 t sin 2 t cos 2t
例 5 设 z arcsin u, u x 2 y 2 ，求
z z , . x y
解 函数的结构如下： x z u y 所以 z z u 1 2x 2x x u x 1 u2 1 ( x 2 y 2 )2 z dz u 1 2y 2y 2 y du y 1 u 1 ( x 2 y 2 )2
t 0
t
lim(
复合函数与隐函数的偏导数-PPT
z x
0,
Fy
Fz
z y
0.
因为 Fz 连续,且Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，所以存在
点( x0 , y0 ,
于就是得
z0 ) 得一个邻域,在这个邻域内 z Fx , z Fy .
Fz
0,
x Fz y Fz
隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
例
已知 x2 a2
y2 b2
(2) F (0,0) 0; (3) Fy (0,0) 1 0, 隐函数存在定理1 所以方程在点 (0, 0) 附近确定一个有连续导数、 当x 0时y 0得隐函数 y f ( x),且
dy dx
Fx Fy
y x
e e
x y
.
隐函数的求导公式
例 已知ln x2 y2 arctan y ,求 dy . x dx
z f [ ( x, y), ( x, y),( x, y)]在对应点( x, y)
u
v
w
得两个偏导数存在, 且可用下列公式计算:
z x
z u
u x
z v
v x
z w
w x
ux
z y
z u u y
z v
v y
z w
w y
zv wy
多元复合函数的求导法则
例 设z
u2
1 v2
w2
,u
x2
y2,v
x2
x
x
z y z x x y
隐函数的求导公式
设方程 xy yz zx 1 确定了隐函数
z
y
z
z
z(
x,
y),
试求
2z x 2
隐函数求导法则
隐函数求导法则隐函数求导法则和复合函数求导相同。
由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y²，所以y′=dy/dx=y（e^xy-y0/x(2y-e^xy)。
求导法则对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。
在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。
隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。
显函数与隐函数显函数解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。
显函数可以用y=f(x)来表示。
隐函数如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。
隐函数与显函数的区别1.隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x²+y²=0。
2.显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y，右边是x的表达式。
比如：y=2x+1。
隐函数是x和y都混在一起的，比如2x-y+1=0。
3.有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如e^y+xy=1。
偏导数知识点公式总结
偏导数知识点公式总结一、偏导数的概念1.1 偏导数的定义偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数。
对于一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 表示在$x_i$方向上的变化率。
偏导数的定义可以表示为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, ..., x_i + \Delta x_i, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{\Delta x_i}$$1.2 偏导数的图示解释偏导数可以通过函数曲面的切线来解释。
对于函数 $z = f(x, y)$，在点$(x_0, y_0, z_0)$处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$可以理解为曲面在$x$方向的斜率，即曲面在$x$方向上的变化率。
同样地，$\frac{\partial f}{\partial y}$表示曲面在$y$方向上的变化率。
这样的解释有助于我们更直观地理解偏导数的含义。
二、偏导数的性质2.1 对称性对于二元函数 $f(x, y)$，它的偏导数满足对称性，即$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$。
这一性质表明，在计算混合偏导数时，可以不必考虑自变量的顺序。
2.2 连续性在函数的定义域内，若偏导数存在且连续，则函数规定可微。
这一性质是偏导数与函数连续性的关系，对于函数的导数性质有着重要的影响。
2.3 性质总结：和与积对于函数 $u = u(x, y)$ 和 $v = v(x, y)$，它们的偏导数具有和与积的运算法则。
多元复合函数与隐函数求导
( ) ( ) ( ) ( u )2 + ( v )2 而 = • = • x x x
这样，就有 所以
( u )2 + ( v )2 ( ) ∂ u 2 ∂ v 2 →0 , → ( ) +( ) x ∂ x ∂ x
( ) →0 x
设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具 有连续的偏导数，且
F( x0 , y0 , z0 ) = 0, Fz′ ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0
则方程F（x,y,z）=0在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域内 能够确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f （x,y,z），它满足条件z0=f(x0,y0),且有公式 ∂ z - Fx′ ∂ z - Fy′ = = Fz′ ∂ x Fz′ ∂y 证明：（略） 例10 设
x y x y 1 x y y = yf ( , ) + xy[ f1′ ( , ) • + f 2′ ( , ) • ( - 2 )] y x y 2x y y x x
x y x y y x y = yf ( , ) + xf1′ ( , )f 2′ ( , ) y x y x x y x
二、隐函数的微分法
隐函数存在定理1
设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连 续的偏导数，且
F( x0) ≠ 0
则方程F（x,y）=0在点P0(x0,y0)的某一邻域内能够确 定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f（x,y）， 它满足条件y0=f(x0), 且有公式
∂ z ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v = • + • ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ z ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v = • + • ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y
多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x
3多元复合函数与隐函数的求导法则
求 m , m , m
x y z
z z u z v x u x v x
解
m x
m u m v m v u x v x v x
f1 1
f2
y
f3
yz
m m u m v m v
f1 2x
f2 ye xy
z y
f1 2 y
f2 xe xy
例7
设w
f(
x,y yz
)，而 u
x ,v y
y z
，求
w x
, w y
, w z
.
z z u z v x u x v x
解
w w u w v x u x v x
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2
yz(
f21
xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
例11 设z y F ( x2 y2 ), 验证 y z x z x.
x y
证
z 0 F ( x2 y2 ) ,
由链式法则,
z z u z v , x u x v x
z z u z v , y u y v y
代入,
dz
z x
dx
z y
dy中, 得
dz
z u
u x
z v
v x
dx
z y
z u
多元复合函数求导法和隐函数求导公式
通过练习和案例分析，提 高解决多元复合函数和隐 函数求导问题的能力。
THANKS
感谢观看
通过对方程两边求导，得到隐函数的导数表 达式。
高阶偏导数的计算方法
利用低阶偏导数的计算结果，逐步推导高阶 偏导数的表达式。
学习建议
熟练掌握多元复合函数的 求导法则，能够灵活运用 链式法则、乘积法则等解 决实际问题。
理解偏导数的概念及其性 质，能够正确计算偏导数 并解释其物理意义。
ABCDBiblioteka 学会利用隐函数求导公式， 解决涉及方程组的导数问 题。
04
多元复合函数和隐函数的实际应用
几何应用
曲线和曲面求导
通过多元复合函数求导法，可以求出曲 线和曲面的导数，进而研究它们的几何 性质，如曲线的斜率、曲面的法线等。
VS
参数方程的应用
在几何中，参数方程常常用来描述曲线和 曲面，通过隐函数求导公式，可以方便地 求出参数方程的导数，进而研究曲线的切 线和曲面的法线。
导数
表示函数在某一点附近的变化率，是函数的局部性质。对于隐函数，其导数表示其在某点处的切线斜率。
一阶隐函数求导公式
求导法则
利用链式法则对隐函数进行求导，即对$y$的求导数等于$frac{partial F}{partial x} cdot frac{dx}{dy}$。
举例
若$F(x, y) = 0$，则$frac{dy}{dx} = -frac{frac{partial F}{partial x}}{frac{partial F}{partial y}}$。
全导数的应用
全导数在研究多元函数的性质、优化问题以及偏微分方程等 领域中都有广泛的应用。通过全导数，我们可以更全面地了 解多元复合函数在不同自变量变化情况下的整体行为。
复合函数与隐函数求导法
2005-3-27 ′′ ′′ ′′ 或wxz = f11 + ( xy + yz ) f 21 + xy 2 zf 22 + yf1′
三、复合函数的高阶偏导数
(3) ∵ wx = f1′ x + f 2′v x = f1′ + yzf 2′ u ∴ wxx = ( wx )′x = ( f1′ + yzf 2′)′x = ( f1′)′x + ( yzf 2′)′x ′ ′ = [( f1′)1 u x + ( f1′)′2 v x ] + yz[( f 2′)1 u x + ( f 2′)′2 v x ] ′′ + yz ( f12 + f 21 ) + y 2 z 2 f 22 = f11 + 2 yzf12 + y 2 z 2 f ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ = f11
证： 对 x求导，视 y为常数 ∵ ∴由(1)式可得： z x = f u u x + f v v x 同理可得： z y = f u u y + f v v y
2005-3-27
链式求导法续
3. 复合函数求导公式与链图的关系满足下列规律：
z x z y
同链相乘，异链相加。
另3：每一个完整链上的节数=对应项的因子个数。
2 2
二、链式求导法 2. z=f [u(x,y),v(x,y)]型
设z = f (u, v)在(u , v)有连续偏导数，u = u ( x, y ), v = v( x, y )在 ( x, y )有偏导数，则 复合函数z = f [u ( x, y ), v( x, y )]在( x, y ) z ( 2 ) f u f v + , 可偏导，且： = x u x v x z ( 2 ) f u f v = + y u y v y
三、复合函数的高阶偏导数
(3) ∵ wx = f1′ x + f 2′v x = f1′ + yzf 2′ u ∴ wxx = ( wx )′x = ( f1′ + yzf 2′)′x = ( f1′)′x + ( yzf 2′)′x ′ ′ = [( f1′)1 u x + ( f1′)′2 v x ] + yz[( f 2′)1 u x + ( f 2′)′2 v x ] ′′ + yz ( f12 + f 21 ) + y 2 z 2 f 22 = f11 + 2 yzf12 + y 2 z 2 f ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ = f11
证： 对 x求导，视 y为常数 ∵ ∴由(1)式可得： z x = f u u x + f v v x 同理可得： z y = f u u y + f v v y
2005-3-27
链式求导法续
3. 复合函数求导公式与链图的关系满足下列规律：
z x z y
同链相乘，异链相加。
另3：每一个完整链上的节数=对应项的因子个数。
2 2
二、链式求导法 2. z=f [u(x,y),v(x,y)]型
设z = f (u, v)在(u , v)有连续偏导数，u = u ( x, y ), v = v( x, y )在 ( x, y )有偏导数，则 复合函数z = f [u ( x, y ), v( x, y )]在( x, y ) z ( 2 ) f u f v + , 可偏导，且： = x u x v x z ( 2 ) f u f v = + y u y v y
8.5_复合函数与隐函数的求导法则
19
复合函数与隐函数的微分法
dy . 例7 设 sin y e xy , 求 dx
x 2
x 2 设 , F ( x , y ) sin y e xy 解法1
e x y 2 , Fy cos y 2 xy , Fx
Fx dy y2 ex . 所以 dx Fy cos y 2 xy
多元复合函数求导法从一定意义上说, 可以认 为是一元复合函数求导法的推广.
由y f ( u), u ( x ) 构成的一元复合
函数 y f [ ( x )], 其导数公式是 dy d y du . dx du dx 对多元复合函数, 因变量对每一个自变量求导数也 如此, 不过, 因变量要通过各个中间变量达到自变量.
e xy[ y sin( x y ) cos( x y )],
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cos v 1
e xy[ x sin( x y ) cos( x y )].
z f u f v y u y v y
y
5
复合函数与隐函数的微分法
z z 例1 设z e sinv , u xy, v x y, 求 和 . x y z z u z u u e sinv y e cos v 1
2) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内 F 具有连续偏导数
u
y
z f u f y u y y eu sin( x y ) x eu cos( x y ).
11
复合函数与隐函数的微分法
(完整版)3多元复合函数与隐函数的求导法则
z f [φ(t),ψ(t)]
z f (u,v)
u φ(t)
v ψ(t)
dz z du z dv dt u dt v dt
全导数
例 1 设 z eu sin v ，而u xy，v x y 求 z 和z . x y
解 z z u z v eu sin v y eu cos v 1
x y
证
z 0 F ( x2 y2 ) ,
z
1
F ( x2
y2) ,
x
x
y
y
下求 F ( x2 y2 )对x, y的偏导.记u x2 y2,
x u x v x eu ( y sin v cos v)
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cos v 1
eu( x sin v cos v)
例 2 设 z u2 v2 ，而u x y，v x y ，
求 z 和z . x y
解 z z u z v 2u 1 2v 1 4x x u x v x
§3复合函数与隐函数的偏导数
一、多元复合函数的导数(链式法则)
定理：z f [( x, y),( x, y)]
z f (u,v) u ( x, y)
v (x, y)
z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y
链式法则如图示 z f [( x, y),( x, y)]
解 dz z du z dv z dt u dt v dt t
v et u sin t cost
et cos t et sin t cos t
et (cos t sin t ) cos t
例5
5多元复合函数及隐函数的微分法
类似地，可求得
z y
1 x
f1 2 f2 sin xf3 .
例 4 设 z xy f (x y, x y), 求 z , z .
x y
解 在这个函数的表达式中， 乘法中有复合
函数，所以先用乘法求导公式.
z x
y
f (x y, x y) xy f11
f2 1
y f (x y, x y) xy f1 f2,
dx
2y
y
定理 2 （隐函数存在定理） 设函数 F (x, y, z)在 点 P0 (x0 , y0 , z0 ) 的某个邻域内连续且有连续的偏导数 Fx (x, y, z)， Fy (x, y, z)， Fz (x, y, z)，又 F (x0 , y0 , z0 ) 0， Fz (x0 , y0 , z0 ) 0，则存在惟一的函数 z f (x, y)在(x0 , y0 ) 的某个邻域内满足方程 F (x, y, z) 0，即
2(1 6z)2 6(2x y)2 (1 6z)3
故
2z x 2
(1, 2,1)
2 5
例 设 (cx az , cy bz) 0 , 证明 a z
x
b z c , 其中 a , b , c 为常数，函数 可微
y
(a1 b2 0).
证 解得
两边对 x 求导
1
(c
a
z x
)
w
y sin x, 于是
z f (u,v, w).
因为
u y x x2 ,
v 1, x
w y cos x, x
u 1 ,
v 2,
w sin x,
y x y
y
所以
z x
f u
z y
1 x
f1 2 f2 sin xf3 .
例 4 设 z xy f (x y, x y), 求 z , z .
x y
解 在这个函数的表达式中， 乘法中有复合
函数，所以先用乘法求导公式.
z x
y
f (x y, x y) xy f11
f2 1
y f (x y, x y) xy f1 f2,
dx
2y
y
定理 2 （隐函数存在定理） 设函数 F (x, y, z)在 点 P0 (x0 , y0 , z0 ) 的某个邻域内连续且有连续的偏导数 Fx (x, y, z)， Fy (x, y, z)， Fz (x, y, z)，又 F (x0 , y0 , z0 ) 0， Fz (x0 , y0 , z0 ) 0，则存在惟一的函数 z f (x, y)在(x0 , y0 ) 的某个邻域内满足方程 F (x, y, z) 0，即
2(1 6z)2 6(2x y)2 (1 6z)3
故
2z x 2
(1, 2,1)
2 5
例 设 (cx az , cy bz) 0 , 证明 a z
x
b z c , 其中 a , b , c 为常数，函数 可微
y
(a1 b2 0).
证 解得
两边对 x 求导
1
(c
a
z x
)
w
y sin x, 于是
z f (u,v, w).
因为
u y x x2 ,
v 1, x
w y cos x, x
u 1 ,
v 2,
w sin x,
y x y
y
所以
z x
f u
复合函数及隐函数求导
• 教学要求
1.熟练掌握各种情形下的多元复合函数偏导数的 求法； 2.理解和掌握抽象复合函数的高阶偏导数。
先复习一元函数复合函数求导法则
设 y f (u), u ( x) 则复合函数 y f [ ( x)]的导数为 dy dy du f (u)( x) dx du dx 设 y f (u), u (v) v ( x)
练习形式的隐函数确定的函数为因为所确定的函数设方程确定函数设方程xyxyzyzxzzy确定函数设方程lnln解法1利用隐函数求导求导解法2利用公式三多元复合函数的全微分设函数的全微分为都可微其全微分表达形式都一样这性质叫做全微分形式不变性
第五讲 复合函数与隐函数 的微分法
• 内容提要
1.多元复合函数的求导法则； 2.隐函数的求导法则；
u
y
z
v
x
y
z z u z v z x z y u y v y u v
例8 设
f 具有二阶连续偏导数,
求 w, 2w . x xz
w , f1 , f2
解: 令 u x y z , v xyz , 则
uv
w f (u, v)
3、设 z e sin t2t3 ,则dz ________________. dt
二、设 z
v
ue u ,而u
x2
y2,v
xy ，求z
, z
.
x y
三、设z arctan(xy),而y e x ,求dz . dx
四、设 z f ( x 2 y 2 , e xy ),(其中f具 有一阶连续偏导
wx
y
z y
1.熟练掌握各种情形下的多元复合函数偏导数的 求法； 2.理解和掌握抽象复合函数的高阶偏导数。
先复习一元函数复合函数求导法则
设 y f (u), u ( x) 则复合函数 y f [ ( x)]的导数为 dy dy du f (u)( x) dx du dx 设 y f (u), u (v) v ( x)
练习形式的隐函数确定的函数为因为所确定的函数设方程确定函数设方程xyxyzyzxzzy确定函数设方程lnln解法1利用隐函数求导求导解法2利用公式三多元复合函数的全微分设函数的全微分为都可微其全微分表达形式都一样这性质叫做全微分形式不变性
第五讲 复合函数与隐函数 的微分法
• 内容提要
1.多元复合函数的求导法则； 2.隐函数的求导法则；
u
y
z
v
x
y
z z u z v z x z y u y v y u v
例8 设
f 具有二阶连续偏导数,
求 w, 2w . x xz
w , f1 , f2
解: 令 u x y z , v xyz , 则
uv
w f (u, v)
3、设 z e sin t2t3 ,则dz ________________. dt
二、设 z
v
ue u ,而u
x2
y2,v
xy ，求z
, z
.
x y
三、设z arctan(xy),而y e x ,求dz . dx
四、设 z f ( x 2 y 2 , e xy ),(其中f具 有一阶连续偏导
wx
y
z y
D9-4,5复合函数求导,隐函数求导
x y zx y z
y z f2 (x y z, xyz)
2w xz
f12 xy
f22 x y
为简便 起f11见
,y引(x入 z记) f号12
f1xy
2zf u
f,22f12yf2u2fv
,
例6 设 z 1 f ( xy) y( x y), f ,具有二阶连续
x 偏导数，求 2z .
xy
解 先求x的偏导数比较复杂，由题意知:
混合偏导数相等，则先求 z , y
z 1 f ( xy) x ( x y) y( x y),
y x
f ( xy) ( x y) y( x y),
2z 2z yf ( xy) ( x y) y( x y).
xy yx
二、多元复合函数的全微分 设函数 z f (u,v) 具有连续偏导数，则全微分
及求导方法 .
例如求由方程e y xy e 0所确定的隐函数y的导数.
两边同时对x求导：e y
dy dx
y
x
dy dx
0，dy dx
x
y ey
.
或用微分法：e ydy
xdy
ydx
0
dy dx
x
y ey
.
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
在点
的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数;
( yf1 zf 3)dx ( xf1 zf2)dy ( yf 2 xf 3)dz
u x
yf1
zf 3
u y
xf1
zf 2
u z
yf 2
xf
du u dx u dy u dz x y z
多元函数微积分(课件)
zx f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 ) ，
如果极限
lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x0
x
存在，则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0) 处对 x 的偏导数，记为
z
x (x0 , y0 ) 或 f x (x0 , y0 ) 。
求函数的二阶偏导数，并验证
2z x2
2z y2
0。
解 MATLAB求解代码如下：
程序运行结果为：
>>syms x y >>z = log(sqrt(x^2+y^2)) >>dz_dx2 = diff(diff(z,x),x) >>dz_dy2 = diff(diff(z,y),y) >>dz_dxdy = diff(diff(z,x),y) >>dz_dydx = diff(diff(z,y),x) >>a = simplify(dz_dx2+dz_dy2)
MATLAB求解代码如下：
z xy ln x 。 y
>>syms x y >>f = x^y; >>dfx = diff(f,x) >>dfy = diff(f,y)
17
第、 二节 偏导数与全微分
、
3．高阶偏导数
对于二元函数 z f (x, y) 来说，如果它的一阶偏导数 fx (x, y) 、 f y (x, y) 仍是关于每个自变 量的函数，并且一阶偏导数对每个自变量的偏导数存在，则称这个二元函数具有二阶偏导数。
12
目录
1
多元函数的概念、极限与连续性
复合函数求导法则与隐函数的求导
1 2 x
.
例11 设 y sin 3 (2 x 1)，求y'. 解
y' (sin (2 x 1))'
3
3 sin 2 (2 x 1) (sin3 (2 x 1))' 3 sin 2 (2 x 1) cos( 2 x 1) (2 x 1)' 3 sin (2 x 1) cos( 2 x 1) 2
f' (u ) g' ( x).
复合函数的求导法则一般称为链式法则，它也适 用于多层复合的情况.比如y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)，则 只要满足相应的条件，复合函数y=f(g(h(x)))就可导， 且有
dy dy du dv f' (u ) g' (v)h' ( x). dx du dv dx
1 ( sin x) cos x tan x .
例10 设 y e
tan x
，求y' .
y e u , u tan v，v x .则 解 令
dy dy du dv dx du dv dx
e sec v
u 2
1 2 x
2
e
tan x
sec
x
1 x
若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在
对初等函数求导时，就可以“一步到位”. 例14 计算 [ln( x 2 1 x)]' . 解 [ln( x 2 1 x)]'
1
x2 1 x 2 x2 1
(
1
2 x 1)
1 x ( 2 1) 2 x 1 x x 1 1 x 1
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v x
1,
w x
0,
v 0, y
w y
1.
区 别
z f u f , x u x x
z f u f . y u y y
类 似
两者的区别
把 z f (u, x, y)
把复合函数 z f [( x, y), x, y], 中的u及y看作不变
中的y 看作不变而对x的偏导数 而对x的偏导数
12
则复合函数z f [ (t), (t)]在对应点t可导, 且
其导数可用下列公式计算: dz z du z dv . dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t);
2
多元复合函数的求导法则
z Au Bv o( )
由于函数 z f (u,v)在点(u,v)可微
多元复合函数的求导法则
例 z eu sin(x y),而u xy,求 z , z
解 变量树图
x y
x
u
z f u f
y zx
x u x x
eu sin( x y) y eu cos(x y) y
z f u f y u y y
eu sin( x y) x eu cos( x y)
解 z z u z v x u x v x eu sin v y eu cosv 1
e xy[ ysin( x y) cos( x y)].
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cosv 1
exy[xsin( x y) cos( x y)].
y f (t)
f 2(t) .
14
多元复合函数的求导法则
三、小结
多元复合函数求导法则 (链导法则) (大体分三种情况) 求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导
15
第五节 隐函数的求导公式
一个方程的情形
16
第八章 多元函数微分法及其应用
隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
1. F ( x, y) 0
9
多元复合函数的求导法则
类似地再推广, 中间变量多于两个的情形
设u ( x, y),v ( x, y), w ( x, y)
都在点( x, y)处具有三对个x和中y间的变偏量导两数个,复自合变函量数
z f [( x, y), ( x, y),( x, y)]在对应点( x, y)
u
v
w
的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算:
z z u z v z w x u x v x w x
ux
zv
z y
z u u y
z v
v y
z w
w y
wy
10
多元复合函数的求导法则
例 设z
u2
1 v2
w2
,u
x2
y2,v
x2
y2,
w 2xy. 求 z
x
解 z z u z v z w x u x v x w x
2
(ux vx wy)
z
y
z
z
z(
x,
y
),
试求
2z x 2
,
2z y2
.
x x y
再将上式两边对x求偏导, 得
2z x 2
z x
(x (x
y) ( y)2
y
z)1
2( y z) ( x y)2
由x, y的对称性知,
2z y2
2( x z) ( x y)2
27
隐函数的求导公式
2002年考研数学(四),7分
问: 函数对某自变量的偏导数之结构
项数 中间变量 的个数.
每一项 函数对中间变量的偏导数
该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).
5
多元复合函数的求导法则
例 设 y (cos x)sin x , 求 dy
dx 解 法一
这是幂指函数的导数,可用取对数求导法计算.
但用全导数公式较简便.
法二 令u cos x, v sin x, 则y uv
第四节 多元复合函数的 求导法则
复合函数的求导法则
1
第八章 多元函数微分法及其应用
多元复合函数的求导法则
一、复合函数的求导法则一中(链元间函变导数量法为则)
1. z f (u,v), u (t),v (t)的情形.
定理 如果函数u (t)及v (t)都在点t可微,
函数z f (u,v)在对应点(u,v)也可微,
并有 z Fx , z Fy . x Fz y Fz
22
隐函数的求导公式
(证明从略)仅推导公式.
设
是方程
所确定的隐
函数,则
将恒等式 F ( x, y,f ( x, y)) 0
两边分别关于x和y求导, 应用复合函数求导法得
Fx
Fz
z xΒιβλιοθήκη 0,zFy
Fz
y
0.
因为 Fz 连续,且Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，所以存在
z
2z xy
c2x a2
y
z2
c
2[
x ( a2z2
c2 b2
y z
)]
c4 xy a2b2z3
注 对复合函数求高阶偏导数时, 需注意:
导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时,
仍需用复合函数求导的方法.
25
隐函数的求导公式
设方程 xy yz zx 1 确定了隐函数
z
z(
x,
y),试求
(证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F ( x, f ( x)) 0
两边关于x求导, 由全导数公式,得 18
隐函数的求导公式
F ( x, f ( x)) 0
Fx
(
x
,
y
)
Fy
(
x,
y)
dy dx
0
由于Fy ( x, y)连续，且Fy ( x0 , y0 ) 0，所以存在
( x0 , y0 )的一个邻域, 在这个邻域内Fy ( x, y) 0,
点( x0 , y0
于是得
,
z0 )z的一 个Fx邻, 域z ,在这F个y .邻域内Fz
0,
x Fz y Fz
23
隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
z Fy y Fz
例
已知 x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
求 z , z 及 2z . x y xy
解
令 F(x, y, z)
x2 a2
(2) F (0,0) 0; (3) Fy (0,0) 1 0, 隐函数存在定理1 所以方程在点 (0, 0) 附近确定一个有连续导数、
当x 0时y 0的隐函数 y f ( x),且
dy dx
Fx Fy
y ex x ey
.
20
隐函数的求导公式
例 已知ln x2 y2 arctan y ,求 dy . x dx
13
多元复合函数的求导法则
y 已知f(t)可微,证明 z f ( x2 y2 ) 满足方程
1 z 1 z z x x y y y2 . 提示 引入中间变量,令t x2 y2,则 z y
f (t)
t, y 为中间变量, x, y 为自变量.
z 2xyf (t)
x
f 2(t) ,
z 1 2 y2 f (t)
于是得
dy Fx ( x, y) 或简写: dy Fx .
dx Fy ( x, y)
dx Fy
19
隐函数的求导公式
如, 方程 xy e x e y 0, 记 F( x, y) xy e x e y , 则
(1) Fx ( x, y) y e x与Fy ( x, y) x e y 在点(0,0) 的邻域内连续;
如z f (u,v, w), u u(t), v v(t), w w(t)
u
变量树图 z
v
t
w
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
导数 dz 称为全导数(又称链导公式). dt
4
多元复合函数的求导法则
如z f (u,v, w), u u(t), v v(t), w w(t) dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
在一元函数微分学中, 曾介绍过隐函数
F(x, y) 0
(1)
的求导法.
现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1)
的求导公式, 并指出:
隐函数存在的一个充分条件.
17
隐函数的求导公式
隐函数存在定理1 设二元函数 F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内满足:
(1) 具有连续偏导数;
设函数u f ( x, y, z) 有连续偏导数,且
z z( x, y)由方程xex ye y zez所确定,求du.
解 法一 用公式 设F( x, y, z) xex ye y zez ,则
Fx ( x 1)e x , Fy ( y 1)e y , Fz (z 1)ez .
复合函数为z f [( x, y), ( x, y)].
如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点( x, y) 具有对x和y的偏导数, 且函数z f (u,v)在对 应点(u,v) 可微, 则复合函数
z f [( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个
偏导数存在, 且可用下列公式计算
z
z
u z
v ,
z
z
u z
v .