线性规划与lindo

的约束条件数等于原问题的变量数； 5)原问题中的每个约束条件(行)对应于对偶问题的每一列，因此，对
原问题的每个约束条件都存在一个对偶变量； 6)对偶之对偶是原问题。
min cx s.t. Ax b (1)
x0
max yb s.t. yA c (2)
y0
对于原问题(1)和对偶问题(2)有：
x3
= 12－2x1－2x2
x4
= 8－x1－2x2
x5 = 16－4x1
x6 = 12－4x2
对目标函数
（1）
Z=2x1+3 x2
（2）
当非基变量x1=x2=0,便得z=0，这时得到一个基本可行解
X
(0)
x1(0)


x 2 (0) x3(0) x 4 (0)

x5 (0) x6 (0)
2. 线性规划的基本算法——单纯形法 用单纯法求解时，常将标准形式化为：
min f = cx (or max f=cx)
s.t. A x =b
(1)
这里
x≥0
A=(aij)m×n , b=(b1, b2, …, bn)T,
x = (x1, x2, …, xn)T c=(c1,c2, …, cn)
例 min z = 10x1 + 9x2 s．t．6x1 + 5x2 ≤ 60 10x1 + 20x2 ≥ 150 x1 ≤ 8 x1, x2 ≥ 0
于是 f = cBxB + cNxN , Ax = BxB + NxN = b, 则 xB = B-1b-B-1N xN , f = cBB-1b + (cN – cBB-1N)xN
令非基变量 xN = 0, 解得基变量 xB = B 1 b, 称(xB, xN)为基解. 基解的所有变量的值都非负，则称为基可行解，此时的基称为可行基.
xi 0, i 1,2,3,4
14
令cT 10, 14
4 A 1
11
3
2 1 1
2 2 2
3 3, 1
35 b 30,
40
x1
x


x2
,

x3 x4

则
max cx
s.t. Ax b
4 y1 y2 3y3 14
s.t.22
y1 y1

y2 y3 2y2 2
10 y3 14
3y1 3y2 y3 11
yi 0, i 1, 2, 3
பைடு நூலகம்
记y


y1 y2
,
则规划为:
y3
min yb
s.t. yA c
该部门生产一个单位第一类产品需要原料：S1—4单位,S2—1单位，S3— 3单位，售出产品可得到利润14，卖原料可得4y1+y2+3y3,故应有 4y1+y2+3y3>=14，同理有 2y1+y2+y3>=10, 2y1+2y2+2y3>=14,3y1+3y2+y3>=11 可得模型：
min 35y1 30y2 40y3
这时得到的目标函数的表达式是： Z = 14-1.5x4-0.125 x5 目标函数值达到最大，X(3)是线性规划的最优解。
3. 对偶问题
1）原问题 设某部门编制一个生产方案，此方案生产四种产品，用三种原
料(如下表)，求每种产品的产量为多少时利润最大。
新产品种类
原料种类 原料储备
1
2
3
4
S1
35
4
Max Z=2x1+3 x2
2x1+2x2+ x3
=12
x1+2x2 + x4
=8
4x1
+ x5 =16
4x2
+ x6 =12
x1≥0，x2≥0, x3≥0，x4≥0 ,x5≥0，x6≥0
系数矩阵
2 2 1 0 0 0


A P1
P2
P3
P4
P5
P6



1 4 0
2 0 4
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 10
x3, x4, x5, x6的系数列向量p3, p4, p5, p6是线性独立的，这些列向 量构成一个基
1 0 0 0
B P3
P4
P5
P6



0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 10
对应于B的变量x3, x4, x5, x6为基变量，从标准型我们可以得到：
人工变量法
对偶单纯形法
两阶段法
对偶理论
进一步讨论
灵敏度分析──参数规划*
在经济管理领域内应用
运输问题（转运问题）
特殊的LP问题
整数规划 多目标LP问题*
4.1 线性规划中的单纯形法
1.线性规划的标准形式：
min z = f (x) x
s.t. gi (x) 0 （i 1,2, , m)
其中目标函数f(x)和约束条件中的gi(x)都是线性函数
设备 产品
A
B
C
D
x1
2
1
4
0
x2
2
2
0
4
Max Z=2x1+3 x2 2x1+2x2≤12 x1+2x2≤8 4x1 ≤16 4x2 ≤12 x1≥0，x2≥0
引入松弛变量
x3 —A设备闲置台时数 x4 —B设备闲置台时数 x5 —C设备闲置台时数 x6—D设备闲置台时数 将线性规划化为标准型.
第4章 线性规划模型(下)
4.1 线性规划中的单纯形法 4.2 用lindo解线性规划 4.3 用lindo解二次规划 4.4 应用实例1 4.5 应用实例2
实际问题 提出
LP问题
基本概念
LP问题 数学模型 解的概念
可行解、最优解 基本解、基可行解 基本最优解
基本方法
图解法
原始单纯形法
单纯形法
大M法
s.t.x 0
及其对偶问题：
max F yb
s.t.
yA c y0
第一步 将其对偶问题转化为程序要求的标准形式：
min(F ) bT yT
s.t.(yT
AT
)y 0
T
cT
第二步 编程序求解。注意，在Mathematica4系统中，向量与它 的转置（Transpose）是等价的，但矩阵与它的转置不等价。求 解程序以及格式如下：
Z=0+2x1+3 x2 （2）
分析(2)式，将x2定为换入变量后，必须从x3, x4, x5, x6中换出一个，
并保证其余的都是非负，即x3, x4, x5, x6≥0
当x1＝0，由（1）式得到
x3
= 12－2x2 ≥0
x4
= 8－2x2 ≥0
（3）
x5 = 16
≥0
x6 = 12－4x2 ≥0
从（3）式中可以看出，只有选择
引入松弛变量 x3, x4, x5, 将不等式化为等式, 即单纯形标准形: min z = 10x1 + 9x2 s．t．6x1 + 5x2 + x3 = 60
10x1 + 20x2 - x4 = 150 x1 + x5 = 8 xi≥ 0 (i = 1,2,3,4,5)
系数矩阵为: 6 5 1 0 0
y0
max cx s.t. Ax b
x0
min yb s.t. yA c
y0
比较原问题和对偶问题，可以看到它们之间存在如下关系： 1)原问题的目标函数系数是对偶问题的约束条件的右端常数，同理，
原问题的约束条件的右端常数是对偶问题的目标函数系数； 2)约束条件中的不等号反向； 3)原问题的目标函数是求最小值，对偶问题的目标函数是求最大值； 4)原问题中的每列对应于对偶规划中的每一约束条件(行)，对偶问题
若可行基进一步满足: cN – cBB-1N≥0, 即: cBB-1N - cN≤0，则对一切可 行解x, 必有f (x) ≥ cBB-1b, 此时称基可行解x = (B-1b, 0) T为最优解.
例:某工厂在计划期内安排生产x1, x2两种产品，这些产品 分别需要在A、B、C、D四种不同的设备上加工。按工艺规 定，产品x1和产品x2在各设备上加工的台时数见下表。已知 各设备在计划期内有效台时数分别是12、8、16和12一台设 备工作一小时称为一台时）.该工厂每生产一件产品x1可得利 润2元，每生产一件产品x2可得利润3元，问如何安排生产计 划，才能得到利润最多？
的从，目说标明函目数标的函表数达值式还（可6）以中增可大看，到X(1，)不非一基定变是量最x优1的解系。数于是是正 用上述方法，确定换入换出变量，继续迭代，再得到另一个基 本可行解X(2)
X (2) (2,3,2,0,8,0)T
再经过一次迭代，又得到一个基本可行解
X (3) (4,2,0,0,0,4)T


0 0 12 8 16 12

0
0
12
8
16
12T
这个基本可行解表示：工厂没有安排生产产品；设备的有效 台时数没有被利用，所以构成的利润为0。
从分析目标函数的表达式可以看到，非基变量x1, x2系数都是 正数，若将非基变量换成基变量，目标函数就会增加。所以，只 要在目标函数的表达式中还存在正系数的非基变量，这表示目标 函数还有增加的可能，就需要将非基变量换成基变量。一般选择 正系数最大的那个非基变量。可按以下方法来确定换出变量。