高中数学_立体几何中的向量方法教学设计学情分析教材分析课后反思

3.2 立体几何中的向量方法

——空间“角”问题教学目标

1.使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量

方法；

2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；

3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点

1、求解线线角、线面角、二面角的向量方法

2、建立合理的坐标系

教学难点

二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系

教学过程

一、知识储备（课前已让学生完成）

1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）

3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）

2.向量的有关知识:

a b cos a, b —__— (2)两向量夹角公式： |a||b| 让学生回忆空间中的角。（目的：整体上把控今天的纲要内容，

同时让学生明白本节课空间向量是解决角的问题的新方法）

三、知识讲解与典例分析

知识点1：异面直线所成的角（范围： （0,才）（提问）

（1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a '与/那么直线a ‘与b 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所 成的角.

（2）用向量法求异面直线所成角 设两异面直线a 、b 的方向向量分别为a 和b ,（小组讨论）

问题1：

当a 与b 的夹角不大于90°时，异面直线a 、b 所成

的角与a 和b 的夹角的关系？ 问题2 : a 与b 的夹角大于90°时，,异面直线a 、b 所成的角

与a 和b 的夹角的关系?

（1）两向量数量积的定义:

a b |a || b| cos a,b

（3）平面的法向量：与平面垂直的向量

、复习引入

a,b

a

结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为

cos 6* cos< 肚 n

>|= " I 一

|/n|| n\

知识点2、直线与平面所成的角 （范围： [0,才）（提问）

在课件上优先把例1拿出来让学生思考如何用传统方法找到线面角, 然后再让学生共同探讨向量的方法

（目的：通过传统方法和向量法进行对比， 让学生深刻感受到向量法 据图分析可得：结论:

例如图,在正方体ABCD-AiBiCiDi 中,

求AE 与平面A|B|CD 所成的角

分析：（说明；给出板演过程，强调细节） 直线与

平面所成的角步骤：

1. 求出平面的法向量

2. 求出直线的方向向量

的美好用处。）

sin | cos n, AB |

3.求以上两个向量的夹角，（锐角）其余角为所求角

练习;如图，在正三棱柱ABC-A 中'AB二血AA『

点D是Af ］的中点，求直线AD和平面ABC”斤成角的正弦值.

（学生上黑板，两个学生上黑板，用不

同的坐标系来解决此问题，目的让学生

体会如何选择合理的坐标系）

知识点3:二面角（范围：［0,］）（提问）

（小组讨论）①方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面

角I 的大小为，其中AB l,AB ,CD l,CD .

门——AB^CD

cos 6— cos < AB. CD >- ―=r~

、- \^\\CD\

②法向量法

同出，二面角等于法向量夹角的补角 例3、如图，ABCD 是一直角梯形， ABC 90 , SA 面ABCD ,

1

SA AB BC 1，AD ，求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值

（给出详细的板演过程，规范答题步骤）

如图建立空间直角坐标系屏-号"则

灿 om c （-】aD （Q 1 ?o ）s s （ao ?i ）

易知面翊的法向录为（O,^T O ）

又m 方向朝面内，压方向朝面外，属于 一进

一出”的情况，二面 角等于法向量夹角

即所求二面角的余弦值为—.

3

练习：正方体ABCD A i BiG D i 的棱长为1 ,点E 、F 分别为CD 、DD i 的 中点•求二面角F AE D 的余弦值。

解

:

归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进

设面孔©的法向呈为局=〔工$刀，则有

■ 1

二叫=仏亍

2

余弦值为

3

四、课堂小结

1 .用向量来求空间角，都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，

(1) .异面直线所成的角：cos |cos a,b |

(2).直线和平面所成的角：sin |cos AB, n |

(3) . 二面角：cos cos n2或cos cos n1, n2问题的关键在于确定对应线段的向量.

2.合理建立空间直角坐标系

(1)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的

三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不

存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两

条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点.

(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直

关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.

［易错防范］

1 .利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角.因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同.

2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．

五、布置作业。

1.学案P172---174

2.步步高P137---138 删掉：10,11