第三章 大学物理动量守恒定律和能量守恒定律

b
动 量 定 理 常 用 于 碰 撞 过 程
冲力的平均值
F
1 p F (t )dt t2 t1 t1 t
t2
动量定理与牛顿定律的关系
例 质量为2.5g的乒乓球以10m/s的
速率飞来，被板推挡后，又以20m/s 的速率飞出。设两速度在垂直于板
v2 30o
45o v1 n
45o x
v1
n
I F 6.14N t
6.14 10 2 Ns
mv 2 F t sin sin 105
F
51.86

t
v2
sin 0.7866

v1
105
51.86 45 6.86
v1
x
3-2 动量守恒定律
n n n Fei dt mi vi 2 mi vi1 t1 i 1 i 1 i 1 n n 若 Fei 0 则有 mi vi 2 mi vi1 0 t2

i 1
i 1
n p mi vi 恒矢量
i 1
动量守恒定律: 当一个质点系不受外力作用或所受外 力的矢量和为零时，系统内各质点间动量可以交换， 但系统的总动量始终保持不变。
守恒条件： F 0 ei
应用动量守恒定律的注意问题
1、系统动量守恒的条件是外力矢量和为零。但 在外力比内力小得多的情况下，外力对质点系 的总动量变化影响甚小(?) ，可以忽略。这时可 以认为近似满足守恒条件。 如碰撞、打击、爆炸等问题，因为参与 碰撞的物体的相互作用时间很短，相互作用 内力很大，而一般的外力（如空气阻力、摩 擦力或重力）与内力比较可忽略不计。
x y z y z y0 z0
Fx dx Fy d y Fz dz
x0
各分力功的代数和就是总功。
例题：
例1 作用在质点上的力为 F 2 yi 4 j ( N )
在下列情况下求质点从 x1 2(m ) 处运动到
x2 3(m ) 处该力作的功：
1. 质点的运动轨道为抛物线
1 F dr GMm 3 r dr r dr GMm 2 r
b
rb r F
a
dr
dr m
M
ra
1 W GMm 2 dr ra r 1 1 GMm (GMm ) ra rb
rb
b
rb
r F
a
W F dr 0
可见，万有引力作功与路 径无关，仅与初、末位置 有关。
W F dr 0
初态量 末态量 x是相对弹簧原长的形 变量
可见，弹簧弹力作功也与路径 无关，仅与初、末位置有关。
3、万有引力的功
两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以 M所在处为原点，M指向m的方向为矢径的正方向。 m受的引力方向与矢径方向相反。
1 ˆ F GMm 2 r r r r ˆ r GMm 3 r r
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
动量守恒定律 守恒定律 机械能守恒定律 能量守恒定律 物理学大厦 的基石
3-1 质点和质点系的动量定理 一、冲量 质点的动量定理 dp d (mv ) 牛顿第二定律 F dt dt
动量
p mv
冲量：
力对时间的累积效应
作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量 ——质点的动量定理
质点系的动量定理：作用于系统外力的矢量和的冲量 等于系统动量的增量 作用于系统的外力的矢量和是作用于系统内每一 质点的外力的矢量和。只有外力才对系统总动量的 变化有贡献，而系统的内力不改变整个系统的总动 量。 数学工具：函数 f(x) 在 [a,b] 区间的平均值
其几何意义是什么？
1 f ( x) f ( x)dx ba a
数学工具：
2 2 b b b d (b b ) d (b ) b db bdb
v2
1 2 1 2 W mv dv m vdv mv2 mv1 2 2 v1
质点的动能
1 E k mv 2 2
质点的动能定理
1 1 2 2 W mv2 mv1 Ek2 Ek1 Ek 2 2
分量表示式

t2
t1
t2
Fx dt I x mv2 x mv1x
Fy dt I y mv2 y mv1 y
t1
t2
t1
Fz dt I z mv2 z mv1z
o
问题：动量增量方向？ 冲量的方向？动量增量的 方向，一般与力的方向不一致。
v0
x
y
二、质点系的动量定理
应用动量守恒定律的注意问题
2、如果系统所受外力的矢量和并不为零，但外 力的矢量和在某个坐标轴上的分量为零，那么， 系统的总动量虽不守恒，但在该坐标轴的分动 量则是守恒的。（可以用分量式解释） 3、动量守恒定律是用牛顿第二定律导出的，所 以它只适用于惯性系。
例 例、火箭以2.5103m/s的速率水平飞行，由控制器 题 使火箭分离。头部仓m =100kg，相对于容器仓的平
1 1 W GMm (GMm ) ra rb
R
o
1 1 GMm Rh R
GMmh R( R h)
Baidu Nhomakorabea
三、一对作用力和反作用力的功 m1、m2组成一个封闭系统 在dt 时间内
dr2
dr1
m1
r21 f2
m2
m1 m2
f1 f 2
dW f1 dr1 f 2 dr2
x 4y
2
2. 质点的运动轨道为直线
4y x 6
Y x2 4 y
4y x 6
2.25
1
2
O
3 X
W
B
A
F dr
4y x 6
y2 y1
Fx dx Fy dy Fz dz
b a
Y x2 4 y
2.25
1
2
W1
x2 , y2

zb za
mgdz mgz a mgz b
初态量 末态量
a

a
Z
dr


W mg dr 0
可见，重力作功与路径无关， 仅与初、末位置有关。
a
O
b
mg
Y
X
2、弹力的功
F kx
W kxdx
xa xb
F
o
xa xb
x
1 1 1 2 1 2 2 2 ( kxb kxa ) kxa kxb 2 2 2 2
t2 t1
质点系
F12 F21
F1
F21 F12
m1
F2
m2

t2
t1
( F1 F2 )dt (m1v1 m2v2 ) (m1v10 m2v20 )
推广到由n个质点所组成的系统 n n t2 n Fi外 dt mi vi 2 mi vi1 p2 p1 t1 i 1 i 1 i 1
质点系：由两个及两个以上质点组成的系统。 内力：质点系内质点间的相互作用力。
外力：系统外物体对质点系内质点的作用力。
质点系
F 1
F12
m1
F21
F2
m2
t1 ( F1 F12 )dt m1v1 m1v10 t2 ( F2 F21 )dt m2v2 m2v20
x2
y2
2、功率 力在单位时间内所作的功，是反映作功快 慢程度的物理量
平均功率：
瞬时功率：
W P t dW P dt
dW F dr
单位：瓦特 W
dr P F F v dt
二、质点的动能定理
dv 力对质点作的功： W F dr m dr mv dv dt
取坐标系，将上式投影，有：
I x Fx dt mv 2 cos 30 ( mv 1 cos 45 ) Fx t
y
O
v2 30o
I y Fy dt mv 2 sin 30 mv 1 sin 45


45o x
v1
n
F y t I I x i I y j 0.061i 0.007 j N s
Fx 6.1N Fy 0.7N F
2 x 2 y
F F 6.14N
tan
Fy Fx
0.1148
6.54
为平均冲力与x方向的夹角。
用矢量法解 I ＝F t
m v m v 2m v1v 2 cos105
2 2 1 2 2 2 2
y
O
v2 30o
解：（一维运动可以用标量）利用牛二律
dv 12t 12t m dv dt dt m
t
12t v dt 3t 2 0 2
利用动能定理
1 2 2 4 W m(3t ) 0 9t 729 J 2
3-5 保守力与非保守力
一、保守力 1、重力的功
势能
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点. b b WG mg dr (mg )k (dxi dyj dzk )
dr
dr m
M
ra
二、保守力和耗散力 W F dr 0
力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而与 路径无关。这种力称为保守力。 典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力、静电场 力等。 与保守力相对应的是非保守力或耗散力
典型的耗散力： 摩擦力
例2、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面， 忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功 是多少？ a 解：取地心为原点 h b
面的同一平面内，且它们与板面法
线的夹角分别为45o和30o，求：（1）
乒乓球得到的冲量；（2）若撞击时
间为0.01s，求板施于球的平均冲力 的大小和方向。 解：取挡板和球为研究对象，由于 作用时间很短，忽略重力影响。设 挡板对球的冲力为 F 则有：
I Fdt mv2 mv1
均速率为103 m/s 。火箭容器仓质量m2=200kg。求 容器仓和头部仓相对于地面的速率。
3m/s v = 2.5 10 解： vr= 103 m/s 1
v1
v2
设：以地面为参照系，头部仓对地速度为v1， 容器仓对地速度为v2
v1 vr v2
(m1 m2 )v m1v1 m2v2 m1 (v2 vr ) m2v2
W dW
r2 r1
F dr
功的单位：焦耳(J)
力的空间积累效应
直角坐标系中功的表达式
F Fx i Fy j Fz k
dr dxi dyj dzk
dW Fx dx Fy dy Fz dz
W
b
a x
F dx F dy F dz
m1vr 3 v2 v 2.17 10 m / s m1 m2
v1 v2 vr 3.17 10 m / s
3
3-4 动能定理
一、功、功率
1、功
ri
A
B

恒力功： W Fs cos F s 变力功
元功： 取得有限位移
Fi
dW F dr
外力对质点所作的功等于质点动能的增量。
功是质点动能变化的量度 过程量 状态量
动能是相对量
I mv2 mv1 p2 p1 p
例3、质量为2kg的质点在力F 12ti (SI)
的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。 求前三秒内该力所作的功。
x1 , y1 3
( Fx dx Fy dy ) 2 ydx 4dy
x1 2
x2
O
3 X
9 x dx d ( x 2 ) 10.8 J 2 2 4
W2 2 ydx 4dy
x1 3 y1 3 1 ( x 6)dx dx 21.25 J 2 2 2
r1 r2
f1 dr1 f 2 dr2
r1
o
f1
r2
dW f 2 (dr2 dr1 ) f 2 d (r2 r1 ) r2 r1 r21 dW f 2 dr21