哈密顿力学
哈密顿原理
（二）哈密顿原理
质点系的运动是一个客观存在的事 实，力学的任务是对运动作出正确的描 述。矢量力学的理论是指出一切真实运 动所应服从的规律，并以此为依据，去 论断各个具体运动的特征。可是分析力 学并不这样。分析力学研究约束所允许 的一切可能运动，设法在可能运动所构 成的集合中把真实运动挑选出来。由此 可见，分析力学与矢量力学在思想方法
4. 变分运算的几个法则 A B A B
AB A B B A
A B A A B 2 B B d dA A dx dx
Adx
x1
x2
x2
x1
A dx
A
x
B
z
设质点在某一瞬时速度为v，则滑过ds路程的时间
dt=ds/v
没有摩擦，保守力场机械能守恒
v 2gz
曲线方程
（坐标为z时的质点速度）
z=z(x),
而曲线的元弧长：
2
ds
dz 1 dx dx
ds dt v
1 z dx , 2 gz
'2
T
xB
（一）变分法简介
变分法是研究泛函极值的一 种数学理论，它是由力学中最 速落径问题的诱导而发展起来 的。由伊凡· 贝努力提出来的最 速落径问题是这样一个问题.
1. 最速落径问题
不考虑摩擦力和空气阻力，在连 接不在同一铅直线上的任意两定点A 和B（B低于A）的所有曲线中，无 初速的质 点在重力作用下沿哪一条 曲线轨道从A滑到B所需时间最短？ 显然，下滑时间与曲线形状有 关。
欧勒方程
如果 f 不显含自变量 x , 则欧勒方程有初积分 : f f - y' 常数. y '
哈密顿力学
哈密顿力学《哈密顿力学》是现代力学的基础，回顾整个物理学发展史，其地位可谓不可替代。
它的发现者哈密顿用其独特的思维方法，对动能定律、动量定律等物理定律进行整体性概括，从而构建了物理学的新学科力学，为后来研究研究阿基米德力学等提供了坚实的基础。
哈密顿力学，又称“哈密顿原理”，指的是哈密顿研究运动学规律的结果，是现代物理学中对运动学定律进行系统综合的理论，属于力学的范畴。
它是由英国物理学家哈密顿在18世纪末发现的，是古典力学的基础理论。
它将动能定律和动量定律统一起来，将运动学的定律完整地表达出来，从而构建了力学的完整的理论体系。
哈密顿力学的基本原理是：某物体总把其完全内在的能量（总能量）保持恒定，即总能量守恒原理。
它能够比较准确地描述系统中每一粒粒子的运动轨迹，从而使物理定律具有了更高的普遍性、深刻性和准确性，可以精确地描述出在各种环境、各种物理条件下，物体形成的一系列运动模式。
在哈密顿力学的体系中，系统的总动量和总动能均保持不变，满足动量守恒定律和能量守恒定律。
哈密顿力学对物体运动的描述进一步概括，构成了动量定律、能量定律等力学定律。
这一理论，无论是从力学定律上还是从动量定律上，均有着极其重要的影响，这与哈密顿在力学史上的地位是一致的。
哈密顿力学的研究，为现代科学的发展做出了重要的贡献，它的发现为现代物理学的发展奠定了坚实的基础，为物理学家研究经典力学和量子力学奠定了基础。
它也为新物理学的发展提供了指导性的理论，这种理论指导可以帮助物理学家更好地理解复杂的物理现象，深入探究它们背后的奥秘，从而为新兴物理学的发展提供新的借鉴和灵感。
哈密顿力学是力学研究的基础，其发现使物理学从蒙古病变解脱出来，使力学取得了显著的发展，开启了物体运动规律和物性研究的新纪元。
哈密顿力学的研究在现代物理学发展史上具有重要的地位，它具有极大的价值，为促进现代物理学的发展做出了不可磨灭的贡献。
哈密顿原理
关于哈密顿原理
哈密顿原理
Hamilton principle
适用于受理想约束的完整保守系统的重要积分变分原理。
W.R.哈密顿于1834年发表。
其数学表达式为：
式中L＝T－V为拉格朗日函数，T 为系统的动能，V为它的势函数。
哈密顿原理可叙述为：拉格朗日函数从时刻t1到t2的时间积分的变分等于零。
它指出，受理想约束的保守力学系统从时刻t1 的某一位形转移到时刻t2的另一位形的一切可能的运动中，实际发生的运动使系统的拉格朗日函数在该时间区间上的定积分取驻值，大多取极小值。
由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程。
哈密顿原理不但数学形式紧凑，且适用范围广泛。
如替换L的内容，就可扩充用于电动力学和相对论力学。
此外，也可通过变分的近似算法，用哈密顿原理直接求解力学问题。
哈密顿定理
哈密顿定理引言哈密顿定理，又称哈密顿-雅可比定理，是经典力学中的一条重要定理，由威廉·哈密顿于1835年提出。
它是质点力学中的一个基本定理，可以用来描述质点在势力场中的运动。
哈密顿定理在经典力学、量子力学、统计力学等领域都有广泛的应用。
定理表述哈密顿定理的表述如下：对于一个系统，其哈密顿函数H、广义坐标q和广义动量p之间满足以下关系：∂H/∂p = dq/dt∂H/∂q = -dp/dt其中，H是系统的哈密顿函数，q是广义坐标，p是广义动量，t是时间。
定理解释哈密顿定理可以理解为能量守恒的表述。
在一个力学系统中，系统的哈密顿函数代表系统的总能量。
根据哈密顿定理的第一部分，系统的总能量随时间的变化率与广义动量的变化率相等。
这意味着在系统中，能量的改变取决于动量的改变。
同样地，根据哈密顿定理的第二部分，系统的总能量的变化率与广义坐标的变化率的相反数相等。
这意味着在系统中，能量的改变取决于坐标的改变的相反方向。
这样，哈密顿定理给出了系统能量的变化与坐标和动量的关系，进一步揭示了力学系统内部的运动规律。
哈密顿定理的应用1. 力学系统的轨迹预测哈密顿定理可以用来预测力学系统的轨迹。
通过已知的系统的哈密顿函数、广义坐标和广义动量的初值，可以通过哈密顿定理计算出系统在不同时间点上的坐标和动量的数值。
这样，我们就可以通过数值计算的方式得到系统在未来的运动轨迹，从而对系统的行为进行预测。
这在航天器轨道计算、天体运动预测等领域有广泛的应用。
2. 力学系统的稳定性分析哈密顿定理还可以用来分析力学系统的稳定性。
通过对系统的哈密顿函数进行分析，可以得到系统在不同状态下的能量。
通过计算能量的变化率，可以了解系统在不同状态下的稳定性。
如果能量变化率始终小于零，系统就是稳定的。
而如果能量变化率大于零，系统就是不稳定的。
这种稳定性分析可以帮助我们理解力学系统的运动特性，进一步用来设计控制系统、优化工程结构等。
3. 非保守系统的分析哈密顿定理也可以用来分析非保守系统。
哈密顿原理的应用例子
哈密顿原理的应用例子一、什么是哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中的一种变分原理，描述了自然界中各种物理系统的运动规律。
它起源于数学家威廉·哈密顿的研究，也称为最小作用量原理。
哈密顿原理通过对系统的所有可能路径进行比较，找到系统运动的真实路径，从而得到最小作用量原理。
二、哈密顿原理的应用例子1. 光的传播路径假设有一个具有两个不同介质的透明介质界面，光从一个介质传播到另一个介质。
根据哈密顿原理，光的传播路径满足最小作用量原理。
这里的作用量是指光在传播过程中光程的积分。
光的传播路径应满足以下条件：•光线传播的路径必须满足费马原理，即光线传播的路径是光程的极值路径；•光的传播路径必须满足最小作用量原理，即光的光程在所有可能路径中取得极值。
通过应用哈密顿原理，可以求解光的传播路径，从而揭示光在界面传播的规律。
2. 量子力学中的路径积分在量子力学中，粒子的运动可以用路径积分来描述。
路径积分是一种数学工具，通过将粒子在各个可能路径上的振幅相加，来得到粒子的全体运动。
哈密顿原理在量子力学中被拓展为路径积分的形式。
应用哈密顿原理的路径积分形式可以得到以下结论：•粒子在各个可能路径上的振幅相加，得到了粒子的全体运动；•粒子的运动路径满足最小作用量原理，即粒子的作用量在所有可能路径中取得极值。
路径积分理论是现代量子力学的基石之一，它可以用来描述和计算微观粒子的行为。
3. 经典力学中的质点运动在经典力学中，物体的运动可以使用拉格朗日力学或哈密顿力学来描述。
哈密顿力学是经典力学中的一种有效工具，基于哈密顿原理进行建模和计算。
哈密顿原理在经典力学中的应用可总结为：•哈密顿原理可以用于描述质点在给定势能场中的运动；•通过求解哈密顿原理，可以得到物体的运动方程和运动轨迹。
哈密顿力学在物体的运动描述和机械系统分析中具有广泛的应用。
4. 量子场论中的路径积分在量子场论中，我们可以将经典场进行量子化，并通过路径积分来解析量子场的运动。
哈密顿量 量子力学
哈密顿量量子力学
哈密顿量是量子力学中描述系统总能量的物理量。
它通常记作H，是系统的一个厄米算符。
对于一个粒子在势能V(x)下的哈
密顿量，可以写成如下形式：H = T + V，其中T是动能算符，描述粒子的动能，V是势能算符，描述粒子所处的势能场。
在一维情况下，哈密顿量可以写成以下形式：
H = - (1/2m) (d²/dx²) + V(x)
其中m是粒子的质量，d²/dx²是二阶导数。
这个方程描述了粒
子在势能V(x)下的薛定谔方程。
在三维情况下，哈密顿量可以写成以下形式：
H = - (1/2m) (∇²) + V(r)
其中m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算符，V(r)是粒子所处
的势能场。
哈密顿量的本征值对应着系统的能量，而对应的本征态描述了系统的状态。
通过求解哈密顿量的本征值问题，可以得到系统的能级结构和相应的波函数。
总而言之，哈密顿量是量子力学中非常重要的概念，它描述了系统的总能量并决定了系统的演化行为。
经典力学的哈密顿理论课件
7.1 哈密顿函数和正则方程
（1）哈密顿函数
拉格朗日函数是 q , q 和t的函数：
L L(q , q，, t它) 的全微分为
dL
s
1
L q
dq
s 1
L q
dq
L dt t
将广义动量和拉格朗日方程：
第2页，共30页。
p
L q
设曲线AB方程为y=y(x)，质点沿曲 线运动速度为
2gy ds
(dx)2 (dy)2
1 y'2 dx
dt
dt
dt
质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间
J
xBdt
xB
1 y'2 dx
xA
xA 2gy
（7.6）
第8页，共30页。
显然J的值与函数y(x)有关，最速落径问题就是求J的极值问题，即y(x)取什么 函数时，函数J[y(x)]取极小值。J[y(x)]称为函数y(x)的泛函数。J[y(x)]取极值
（3）哈密顿原理
一个具有s自由度的体系，它的运动由s个广义坐标 q (t ) 来描述。 在体系的s维位形空间中，这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点， 随着时间的变动，位形点在位形）空，间描绘出体系的运动轨道。设在时刻
t1 和 t 2 体系位于位形空间的 P1 点和 P2 点，相应的广义坐标为
q (t1 ) 和 q (t 2 )（或缩写为 q(t1 ) 和 q(t2 ) 由 P1 点通向和 P2 点有多种可能的轨道（路径），但体系运动的真实 轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的 真实轨道？即在 t1 ~ t2 时间内，为何确定体系的s个广义坐标 q(t )？
哈密顿原理
§7-4 哈密顿原理人们为了追求自然规律的统一、 和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律.牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架.哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架.哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义.一、变分法简介1. 函数的变分.自变量为x 的函数表示为)(x y y =.函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化.函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起的.这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ.与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下:)()0,(),(*x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成()()()x x y x y y εηε=−=0,,δ*在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动.q t d d →函数的微分.在曲线I 附近, 存在着许多相邻曲线, 这些曲线都满足力学系统的约束条件, 称为可能运动曲线,它们的方程表示为()()()t t q t q εηε+=0,,*在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ,()()()t t q t q q εηεδ=−=0,,*与q d 不同, q δ与时间变化无关, 称为等时变分. r δ和αq δ都是等时变分.变分的运算法则在形式上与微分运算法则相同. 下面列出几条变分法则.设1y 和2y 是自变量x 的两个函数, 则()2121δδδy y y y +=+()122121δδδy y y y y y +=22211221δδδy y y y y y y −= 现给出第3式的证明:()22222211122122211121*2121δηεηεηεηεηε+−=−++=− =y y y y y y y y y y y y y y22211221δδδy y y y y y y −= 等时变分还有两个重要性质:(1)变分与微分的运算可以交换, 即δ和d 的运算可交换;(2)变分和微商在运算上可以交换, 即δ和t d /d 的运算可交换.首先证明性质(1):设力学系统的1=s ,q . 曲线 I 表示系统的真实运动, 曲线 II 表示与曲线I 邻近的系统的可能运动.Q Q P ′→→, Q ′点的纵坐标为()q q q q d δd +++. Q P P ′→′→, Q ′点的纵坐标成为()q q q q δd δ+++. 于是 ()()q q q q q q q q δd δd δd +++=+++()()q q δd d δ=证明完毕.下面证明性质(2): 因为()()()()2d d δd d δd d d δt t q q t t q −=由于等时变分, ()()0δd d δ==t t . 所以上式可写成()()q t t q t q δd d d d δd d δ==证明完毕.在变分法中, 除等时变分外, 还有全变分. 全变分是由于函数自变量和函数形式的共同变化引起的, 用q ∆表示.()()0,,*x y x x y y −∆+=∆εx xy y y ∆+=∆d d δ 2. 泛函的变分与泛函取极值的条件---欧拉方程.若变量J 由一组函数()x y y i i =, n i ,,2,1 =的选取而确定, 则变量J 称为函数()t y y i i =的泛函, 记作()()()],,,[21x y x y x y J n .泛函J 由n 个函数的形式确定, 是函数形式的函数.泛函与函数的概念不同, 函数中的自变量是数； 而对于泛函, 处于自变量地位的是可以变化的函数的形式.举例说明：Oxy 平面中有B A ,两个固定点, 连接两固定点间的曲线的长度L 由下式确定, ()x x y L AB x x d d /d 12∫+= 显然, L 依赖于函数()x y y =的选取, 若函数()x y 的形式发生变化, 则曲线的形状随之变化, 曲线的长度也跟着改变. 长度L 就是函数()x y的泛函.研究形式最简单的泛函及其变分, 该泛函只依赖一个函数()()[]x x x y x y F J x x d ,,10∫′= 或 ()()()()()[]x x x x y x x y F J x x d ,0,,0,10∫′+′+=ηεεηε 其中()()x x y x y d d =′被积函数()()[]x x y x y F ,,′的形式是已知的, 积分的上下限是固定的. 当函数()x y 在形式上发生变化时, 泛函就会发生变化, 这种由于函数形式的变化引起泛函的变化(线性部分)称为泛函的变分,记作J δ.现将被积函数()()()()[]x x x y x x y F F ,0,,0,ηεεη′+′+=在0=ε处展开(只保留线性部分)()()()()[]x x x y x x y F ,0,,0,ηεεη′+′+()()[]()()x y F x y F x x y x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂+′===00,, 可见函数的变分为()()()()[]()()[]x x y x y F x x x y x x y F F ,,,0,,0,δ′−′+′+=ηεεη()()x y F x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂===00 y y F y y F ′ ′∂∂+ ∂∂===δδ00εεF 的变分是在0δ=x 的情况下进行的. 在力学中, x 为时间t , 这种变分是等时变分.现将J δ写成()()()()[]()()[]∫∫′−′+′+=1010d ,,d ,0,,0,δx x x x x x x y x y F x x x x y x x y F J ηεεη ()()()()[]()()[]{}∫′−′+′+=10d ,,,0,,0,x x x x x y x y F x x x y x x y F ηεεη∫=10d δx x x F 上式表明当积分变量与变分无关时, 变分算符和积分算符可以交换.在数学中, 变分法的基本问题是通过求泛函的极值(极大值, 或极小值, 或稳定值)去寻找函数)(x y . 泛函中的函数)(x y 的形式需不断改变, 直到J 达到极值. 当J 为极值时, )(x y 就是我们所要寻找的函数.泛函取极值的必要条件是满足欧拉方程. 推出欧拉方程:与函数极值条件类似, 处于极值的泛函, 其变分一定为零, 即()()[]x x x y x y F J x x d ,,δδ10∫′= ()()[]x x x y x y F x x d ,,δ10∫′= 0d δδ10= ′′∂∂+∂∂=∫x y y F y y F x x 考虑到()y x y δd d δ=′, 并对上式中的第二项采用分部积分法()x y y F x y y F x x y x y F x y y F x x x x x x d δd d δd d d δd d d δ101010∫∫∫ ′∂∂− ′∂∂=′∂∂=′′∂∂ 积分上下限是固定的, 即要求各函数曲线有相同的端点, 0δδ10==x x y y , 所以上式第一项 0δd δd d 1010=′∂∂= ′∂∂∫x x x x y y F x y y F x 故0d δ)d d (10=′∂∂−∂∂∫x y y F x y F x xεη=y δ, 由于η是任意函数, 所以y δ也是任意的. 可见, 要使上式成立, 必须0d d =′∂∂−∂∂y F x y F 这就是欧拉方程.可推广到多个函数为变量的泛函中去, 该泛函取极值的欧拉方程为0d d =′∂∂−∂∂ββy F x y F l ,,2,1 =β l 代表函数的个数.3. 变分问题.凡是与求泛函极值有关的问题都称做变分问题. 下面列举3个曾在变分法的发展中起过重要影响的变分问题.(1) 最速落径问题. 通过求泛函极值, 得知竖直平面内不在同一铅垂线上的两个固定点之间的多条曲线中, 能使质点以最短时间从高位置点到低位置点自由滑下的曲线是旋轮线(又称摆线).(2) 短程线问题. 已知曲面方程, 用求泛函极值的方法, 可得出曲面上两固定点之间长度最短的线.(3) 等周问题. 将泛函求极值, 可得知一平面内, 长度一定的封闭曲线, 所围面积最大的曲线是圆.例题6 最速落径问题.(有兴趣者自学)二、哈密顿原理1. 位形空间、 真实运动曲线和可能运动曲线.在分析力学中, 由s 个广义坐标s q q q ,,,21 组成的s 维空间称为位形空间.系统某一时刻的位形(即由广义坐标确定的系统的位置)与该空间中的一点相对应. 当位形随时间变化时(时间t 为参数), 位形点就会发生变化而形成一条曲线.用位形空间研究完整系的运动, 不用顾及约束对系统运动的影响. 因为空间由s 个广义坐标轴组成, 每一个广义坐标都可以自由变化. 位形空间中的任何一条曲线, 都表示系统在完整约束下的一种可能的运动过程.设s t q q ,,2,1),( ==ααα代表系统的真实运动, 则由它们决定的曲线称为真实运动曲线.由于函数)(t q q αα=形式发生变化而在真实曲线邻近出现的曲线称为可能运动曲线.2. 完整有势系统的哈密顿原理.哈密顿原理是分析力学中的积分变分原理, 它巧妙地运用泛函求极值的方法, 将真实运动从约束允许的一切可能运动中挑选出来.哈密顿原理是一条力学公理.首先, 定义一个称为作用量的泛函:()∫=10d ,,t t t t q q L S αα 式中的L 称为拉格朗日函数, 定义为V T L −=T 是力学系统相对惯性系的动能),,(t qq T T αα =; 势能),(t q V V α=. 拉格朗日函数是ααqq ,和t 的函数, ),,(t qq L L αα =. 假定位形空间中有两个固定点A 和B , 与A 点相对应的时刻是0t , 与B 点相对应的时刻是1t .两个固定点之间, 存在着由s t q q ,,2,1),( ==ααα决定的真实运动曲线.两固定点B A ,间还存在许多与真实运动曲线邻近的可能运动曲线, 它们是由q q q δ*+=αα s ,,2,1 =α0δδ10====t t t t q q αα s ,,2,1 =α决定的.作用量是依赖于函数)(t q α的泛函. 在位形空间的两个固定点间有许多可能运动轨道, 其中有一条是真实的. 哈密顿原理就是通过变分法中求泛函(在此指作用量)极值的方法, 将真实运动从这许多的可能运动中挑选出来的.哈密顿原理的内容是: 受完整约束的有势系, 在位形空间中, 相同时间内通过两位形点间的一切可能运动曲线中, 真实运动曲线使作用量取极值. (极值为极小值, 故此原理又称为哈密顿最小作用量原理)在哈密顿原理中, 一切可能运动必须具有以下共同的特点:(1) 都是同一系统在相同的约束条件下的可能运动;(2) 都是在时刻0t 和时刻1t 之间相同时间间隔内完成的运动;(3) 在位形空间中有相同的起点和终点, 即 0δδ10====t t t t q q ααs ,,2,1 =α哈密顿原理的数学表述:在位形空间内, 当s q q t t t t ,,2,1,0δδ10 =====ααα时, 对于受完整约束的有势系, 其真实运动使 ()0,,δδ10==∫t t t q q L S αα 综上所述, 当作用量泛函取极值时, 与该作用量所对应的位形空间曲线就是真实运动的曲线, 描绘该曲线的s 个函数)(t q q αα=就是真实运动的运动学方程.拉格朗日函数V T L −=是力学系统的特征函数.如果确定了系统的拉格朗日函数, 则通过哈密顿原理, 就可导出力学系统的动力学方程.由欧拉方程可以得到分析力学中有势系的普遍方程---拉格朗日方程, 我们将在下一章讨论这个问题.[拉格朗日函数不是惟一确定的. 设f 是一个任意广义坐标和时间的函数, 即),(t q f f α=, 设),(d d t q f tL L α+=′, 则∫∫=′1010d d t t t t t L t L δδ. 证明了在原有拉格朗日函数上加上一项广义坐标和时间的任意函数对时间的全微商, 是不会改变系统的运动方程的. 这种不变性称做规范变换不变性, 它对于现代理论物理的研究有重要意义.]例题 7 质量为m 的质点, 在重力场中以与水平线成α角的初速率v 抛射, 根据哈密顿原理, 求质点的运动微分方程.解 在抛射体运动的平面内, 以铅垂方向为y 轴, 建立直角坐标系Oxyz , 以y x ,作为质点的广义坐标. 拉格朗日函数为()mgy y x m L −+=2221 作用量为()t mgy y x m t L S t t t t d 21d 101022∫∫ −+== 根据哈密顿原理, 真实运动使()[]0d δδδδ10=−+=∫t y mg y y m x x m S t t ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t x x m x x m t x tx m t x x m ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t y y m y y m t y ty m t y y m 由于在10,t t 时刻, 0δδ==y x , 因此 ()[]∫=+−−=100d δδδt t t y mg y m x x m S 又因x δ和y δ是相互独立的, 所以要使上式成立, 必须0=xm 0=+mg ym 3. 一般完整系的哈密顿原理.对一般完整系, 主动力常含有非有势力, 上述哈密顿原理不再适用, 但可以将有势系的哈密顿原理的表达式经修改后推广到一般完整系中:即在位形空间中, 一般完整系的真实运动使0d δδ101= +∫∑=t q Q T t t S ααα 式中T 是系统的动能, αQ 是与广义坐标αq 对应的广义力.[ααq r F Q i ni i ∂∂⋅=∑= 1] 在下一章里, 我们将会根据一般完整系的哈密顿原理, 推导出一般完整系普遍适用的动力学方程, 即一般形式的拉格朗日方程.在物理学的研究中, 对于我们重要的是有势系的哈密顿原理.哈密顿原理具有统一的、简洁完美的形式, 即具有坐标变换的不变性, 从而使哈密顿原理具有很大的普适性.哈密顿原理——有限自由度——无限自由度.哈密顿原理——物理学其他领域.哈密顿原理还可用于创建新的理论, 根据实验结果和假设构造出拉格朗日函数, 便可用哈密顿原理导出运动方程, 其正确性由实践检验.哈密顿原理是作为公理提出的, 并未推证. 它们的正确性由原理演绎出的推论在实践中的检验而得到证实. ——完全不依赖牛顿定律, 它的适用条件也完全不受牛顿定律适用条件的限制, 其普适性比牛顿的运动定律大得多.。
哈密顿力学课件
x
y
F 0 F C
y
y
例4 捷线
T
1
b
1 y2
2g
a
dx y
F 1 y2 F 0 y x
F y F
1
1
y
y 1 y2
2C1
dy 2C1 y
dx
y
y C1 1 cos
dx
2C1 sin2
2
d
C1 1
cos
d
x C1 sin C2
y
C1
1
cos
旋轮线
C1,C2 由边界条件决定
A
F F
sin2 2 sin2
cos0 const.
d sin2 d
tan2 0 cot2
d
d cot
0
tan2 0 cot2
arccos cot0 cot 0 const.
第19页/共57页
cos cos0 sin sin0 cot cot0 0 Rsin sin0 eq. xsin0 cos0 y sin0 sin0 z cos0 0
p,t ,t
p
q,
p,t
力学状态参量变换 q,q q, p
找到新的特征函数，通过对 q, p 的偏导生成力学方程。
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1．Legendre变换
f f x, y
df f dx f dy x y
udx vdy
d ux xdu vdy
g g u, y
u
f x
u
x,
y
b a
b
a
s 1
F y
d dx
F y
δy dx
数学物理中的哈密顿力学
数学物理中的哈密顿力学在近代数学物理中，哈密顿力学是一种重要的理论框架。
它以守恒量为核心，描述了物理系统的演化过程，并且在对量子力学的描述中也有广泛应用。
一、哈密顿力学的基本概念哈密顿力学是通过定义哈密顿量来描述物理系统的演化。
哈密顿量可以认为是系统的能量函数，它的变化率与系统的运动状态有关。
哈密顿量可以用广义坐标（$q_1,q_2,...,q_n$）和广义动量（$p_1,p_2,...,p_n$）表示，即：$$H(q_1,q_2,...,q_n,p_1,p_2,...,p_n)$$其中，哈密顿量的表达式可以由系统的拉格朗日函数（$L$）通过勒让德变换求得：$$H(q_1,q_2,...,q_n,p_1,p_2,...,p_n)=\sum_{i=1}^{n}p_i\dot{q_i}-L(q_1,q_2,...,q_n,\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_n)$$二、哈密顿方程哈密顿方程是哈密顿力学的基本方程，它描述了系统的演化过程。
哈密顿方程由两组方程组成，分别是广义坐标的演化方程和广义动量的演化方程，即：$$\dot{q_i}=\frac{\partial H}{\partial p_i}$$$$\dot{p_i}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$$其中，$\dot{q_i}$和$\dot{p_i}$分别表示广义坐标和广义动量的变化率。
三、哈密顿力学的优势与拉格朗日力学相比，哈密顿力学具有以下优势：1. 守恒量的描述更为方便由于哈密顿量是系统的能量函数，因此哈密顿力学对守恒量的描述更为方便。
例如，对于守恒的机械能，可以直接从哈密顿方程导出它守恒的条件。
2. 演化方程的形式更为对称哈密顿方程的形式具有对称性，广义坐标和广义动量在方程中的地位是平等的，这是相比于拉格朗日方程形式的优势之一。
3. 适用范围更广哈密顿力学不仅适用于经典力学系统，而且在量子力学中也有广泛的应用。
经典力学中的哈密顿力学
经典力学中的哈密顿力学经典力学是研究物体运动的学科，是描述宏观物体运动的物理学分支。
在经典力学中，哈密顿力学是一种与牛顿力学等其他形式的力学相比较而独特的表述方式。
1. 哈密顿力学的定义哈密顿力学是由W.R. Hamilton在19世纪的初期发展起来的。
它是经典力学的一种数学表述方式，而不是新的力学理论。
在哈密顿力学中，对于物体的运动是由哈密顿函数和哈密顿方程来描述的。
哈密顿函数H是一种描述物体状态的函数，它由物体的位置和动量组成。
哈密顿函数可以看作一个确定物体状态的函数，通常情况下，它的定义是：H = T + V，其中T是动能，V是势能。
对于一个系统，T和V是已知的。
哈密顿方程是描述经典力学中物体运动的基本方程之一。
在哈密顿力学中，物体的运动由哈密顿函数和哈密顿方程来描述。
2. 哈密顿力学的应用哈密顿力学的应用范围广泛。
例如，它可以用来描述分子运动、经济系统、天体力学等问题。
在分子运动中，哈密顿力学可以用来计算分子的能量和动量。
在经济系统中，哈密顿力学可以用来描述经济交易和市场价格的变化。
在天体力学中，哈密顿力学可以用来描述行星的运动和轨道。
在物理学中，哈密顿力学的应用也非常重要。
哈密顿力学在量子力学中的应用，特别是在量子场论和量子微扰理论中，是不可缺少的。
3. 哈密顿力学的数学基础哈密顿力学的数学基础是泊松括号。
泊松括号在经典力学中是描述位形和动量演化的工具，它可以用来计算任意两个物理量的变化率。
泊松括号是两个函数的反对称李括号：[f,g] = ∂f/∂q * ∂g/∂p - ∂f/∂p * ∂g/∂q其中，q和p分别为位置和动量，f和g是任意两个函数。
4. 哈密顿力学和其他力学形式的比较哈密顿力学是牛顿力学和拉格朗日力学的补充，它提供了一种更加方便的方式来描述动态系统。
与拉格朗日力学相比，哈密顿力学的优点是它的形式不变性，使其比拉格朗日力学更加容易理解和应用。
5. 结论哈密顿力学是经典力学中的一种表述方式，它通过哈密顿函数和哈密顿方程来描述物体的运动。
量子力学中的哈密顿力学与力学对称性
量子力学中的哈密顿力学与力学对称性量子力学是描述微观世界的一门物理学理论，而哈密顿力学是量子力学中非常重要的一个分支。
在量子力学中，哈密顿力学被广泛应用于描述粒子的运动和能量变化。
同时，力学对称性在量子力学中也扮演着至关重要的角色。
本文将深入探讨量子力学中的哈密顿力学和力学对称性。
哈密顿力学是一种描述物理系统演化的数学形式。
它基于哈密顿原理，该原理指出物理系统的演化路径使作用量取极值。
在哈密顿力学中，物理系统的状态由波函数表示，而波函数的演化由薛定谔方程描述。
薛定谔方程是哈密顿力学的基础方程，它描述了波函数随时间的演化。
在哈密顿力学中，物理系统的演化是由哈密顿算符驱动的。
哈密顿算符是物理系统的能量算符，它描述了物理系统的能量变化。
在量子力学中，哈密顿算符的本征值表示了物理系统的能级，而本征函数则表示了物理系统的量子态。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到物理系统的能级和量子态。
在量子力学中，力学对称性是非常重要的概念。
力学对称性指的是物理系统在某种变换下保持不变。
例如，空间平移对称性指的是物理系统在空间平移下保持不变。
力学对称性对于理解物理系统的性质和规律非常关键。
通过研究力学对称性，我们可以推导出物理系统的守恒定律和选择定则。
在量子力学中，力学对称性可以通过对称算符来描述。
对称算符是物理系统的一个变换算符，它描述了物理系统在某种对称变换下的行为。
例如，空间平移对称性可以通过平移算符来描述。
通过研究对称算符的性质，我们可以得到物理系统的对称性和守恒量。
量子力学中的哈密顿力学和力学对称性在许多领域都有广泛的应用。
例如，在固体物理中，哈密顿力学被用于描述电子在晶格中的行为。
通过求解哈密顿算符的本征值和本征函数，我们可以得到电子的能级和波函数。
同时，力学对称性也被用于解释固体物理中的许多现象，例如电子的色散关系和晶体的对称性。
此外，在量子力学中，哈密顿力学和力学对称性也被应用于粒子物理学的研究。
通过研究哈密顿力学和力学对称性，我们可以推导出粒子的能级和量子态。
哈密顿动力学
哈密顿动力学一、哈密顿力学的基本概念哈密顿力学是一种描述物理系统运动的数学形式，它是由威廉·哈密顿在19世纪中期提出的。
哈密顿力学通过定义系统的能量和动量来描述它的运动状态，而不是像牛顿力学那样通过定义位置和速度来描述。
1. 哈密顿函数哈密顿函数是描述系统能量和动量之间关系的函数，通常用H表示。
如果一个物理系统具有n个自由度，则它的哈密顿函数可以表示为：H(p,q) = T(p) + V(q)其中p表示系统的动量，q表示系统的广义坐标或位置，T(p)表示动能，V(q)表示势能。
2. 哈密顿方程哈密顿方程是描述物理系统运动状态演化规律的方程组。
对于一个具有n个自由度的物理系统，它的哈密顿方程可以写成下面这个形式：dq/dt = ∂H/∂pdp/dt = -∂H/∂q其中dq/dt和dp/dt分别代表广义坐标和动量随时间变化率。
3. 正则变换正则变换是指将一个物理系统从一组广义坐标和动量变换到另一组广义坐标和动量的变换。
正则变换可以保持哈密顿函数不变，因此它是一种保持物理系统运动状态不变的变换。
二、哈密顿力学的应用哈密顿力学在物理学、天文学、化学等领域都有广泛的应用。
下面介绍几个具体的例子。
1. 量子力学中的哈密顿力学量子力学中的哈密顿力学是描述量子系统运动状态演化规律的数学形式。
它通过定义系统能量和动量来描述系统运动状态，而不是像薛定谔方程那样通过定义波函数来描述。
2. 天体运动中的哈密顿力学天体运动中的哈密顿力学可以用于描述行星、卫星等天体运动轨迹。
它通过定义天体质量、位置和速度来描述天体运动状态，从而可以预测未来某个时间点天体位置和速度。
3. 化学反应中的哈密顿力学化学反应中的哈密顿力学可以用于研究分子之间相互作用和化学反应机理。
它通过定义分子质量、位置和速度来描述分子之间相互作用，从而可以预测化学反应产物和速率常数。
三、结语总之，哈密顿力学是一种重要的物理学理论，它通过定义系统的能量和动量来描述系统运动状态，而不是像牛顿力学那样通过定义位置和速度来描述。
哈密顿力学
哈密顿力学哈密尔顿力学是哈密尔顿于1833年建立的经典力学的重新表述。
它由拉格朗日力学演变而来，那是经典力学的另一表述，由拉格朗日于1788年建立。
但它可以使用辛空间不依赖于拉格朗日力学表述。
关于这点请参看其数学表述。
哈密顿力学-简介哈密顿力学是标准的“伽利略加速点运动几何学”的一种力学。
不幸的是，后人将其称作是“新几何力学”，这多多少少显示了后人的数学知识和物理学思想的一种令人遗憾的欠缺。
哈密顿系统可以理解为时间R上的一个纤维丛E,其纤维Et,t∈R是位置空间。
拉格朗日量则是E上的jet丛(射流丛)J上的函数；取拉格朗日量的纤维内的勒让德变换就产生了一个时间上的对偶丛的函数，其在t 的纤维是余切空间T*Et，它有一个自然的辛形式，而这个函数就是哈密顿量。
任何辛流形上的光滑实值函数H可以用来定义一个哈密顿系统。
函数H称为哈密顿量或者能量函数。
该辛流形则称为相空间。
哈密顿量在辛流形上导出一个特殊的向量场，称为辛向量场。
该辛向量场，称为哈密顿向量场，导出一个流形上的哈密顿流。
该向量场的一个积分曲线是一个流形的变换的单参数族；该曲线的参数通常称为时间。
该时间的演变由辛同胚给出。
根据刘维尔定理每个辛同胚保持相空间的体积形式不变。
由哈密顿流到处的辛同胚的族通常称为哈密顿系统的哈密顿力学。
哈密顿向量场也导出一个特殊的操作，泊松括号。
泊松括号作用于辛流形上的函数，给了流形上的函数空间一个李代数的结构。
当余度量是退化的时，它不是可逆的。
在这个情况下，这不是一个黎曼流形，因为它没有一个度量。
但是，哈密顿量依然存在。
这个情况下，在流形Q的每一点q余度量是退化的，因此余度量的阶小于流行Q的维度，因而是一个亚黎曼流形。
这种情况下的哈密顿量称为亚黎曼哈密顿量。
每个这样的哈密顿量唯一的决定余度量，反过来也是一样。
这意味着每个亚黎曼流形由其亚黎曼哈密顿量唯一的决定，而其逆命题也为真：每个亚黎曼流形有唯一的亚黎曼哈密顿量。
亚黎曼测地线的存在性由Chow-Rashevskii定理给出。
了解哈密顿力学与拉格朗日力学的区别与联系
了解哈密顿力学与拉格朗日力学的区别与联系在物理学中，哈密顿力学和拉格朗日力学是两个重要的力学体系。
虽然它们都是描述物体运动的数学框架，但在方法和理论上存在一些区别和联系。
拉格朗日力学是由意大利数学家和物理学家拉格朗日于18世纪末提出的。
它基于一个称为拉格朗日量的函数，通过对系统的动能和势能进行数学描述，来推导出描述物体运动的方程。
拉格朗日力学的核心思想是最小作用量原理，即物体在运动过程中，其实际路径使作用量取极小值。
通过对拉格朗日量求极值，可以得到运动方程，从而描述物体在各种力的作用下的运动状态。
哈密顿力学则是由爱尔兰物理学家威廉·哈密顿于19世纪初提出的。
它以哈密顿函数为基础，通过对系统的广义坐标和广义动量进行数学描述，来推导出描述物体运动的方程。
哈密顿力学的核心思想是哈密顿原理，即物体在运动过程中，其哈密顿函数保持不变。
通过对哈密顿函数的求导，可以得到运动方程，从而描述物体在各种力的作用下的运动状态。
虽然哈密顿力学和拉格朗日力学在形式上有所不同，但它们之间存在着密切的联系。
事实上，拉格朗日力学可以看作是哈密顿力学的一种特殊情况。
在某些情况下，拉格朗日力学可以通过对哈密顿函数的Legendre变换得到。
这种变换可以将系统的广义坐标和广义动量相互转化，从而实现从拉格朗日力学到哈密顿力学的转换。
此外，哈密顿力学和拉格朗日力学在求解复杂力学问题时具有各自的优势。
拉格朗日力学适用于描述有势力的系统，如重力、弹性力等。
它通过建立拉格朗日方程，可以将复杂的力学问题简化为求解一组常微分方程的问题。
而哈密顿力学则适用于描述无势力的系统，如惯性力、洛伦兹力等。
它通过建立哈密顿方程，可以将问题转化为求解一组偏微分方程的问题。
因此，在不同的问题和情境下，选择适合的力学体系可以更加高效地解决问题。
总结起来，哈密顿力学和拉格朗日力学是物理学中两个重要的力学体系。
它们在方法和理论上有所不同，但又存在着密切的联系。
第八章经典力学的哈密顿理论
第八章经典力学的哈密顿理论一．正则坐标和哈密顿函数二．三种不同形式的哈密顿动力学方程1．哈密顿正则方程2．哈密顿原理3．哈密顿-雅可比方程一．正则坐标和哈密顿函数为表述空间的位置，引入坐标。
常用坐标：<1）直角坐标；<2）平面极坐标；<3）柱坐标；<4）球坐标等功能：<1）用三个坐标值表示空间的一点的位置<2）确定空间一组相互正交的单位矢量<有了单位矢量，任何一个有方向的力学量都可以统一用这组矢量表示）区别：<1）直角坐标与物体的运动无关，是固定不变的<2）曲线坐标的单位矢量是随着质点所在的位置而改变的， <3）自然坐标由质点的速度方向决定坐标1．广义坐标：设拉格朗日方程为：又设：拉格朗日方程为：令：上式中是变量的任意函数，则：而所以由：可以得到：即：通过拉格朗日方程，对于两个不同的拉格朗日量可以解得同一个广义坐标。
经典力学中，一个力学体系的拉格朗日函数不是唯一的，不同的拉格朗日函数可以相差一项：由于是任意函数，因此，一个力学体系的拉格朗日函数可以有无穷多个。
2．广义动量:若拉格朗日函数是唯一的，则与广义坐标相对应的广义动量也是唯一的，两者一一对应。
但是，由于拉格朗日函数都包含有广义速度因此和将是两个不同的力学量，由于是任意函数的，因此，与广义坐标对应的广义动量也有无穷多个。
用数学语言表述为：广义动量和广义坐标是完全独立的。
b5E2RGbCAP若取，只是时间的函数，则和就一一对应了。
但是，这是一个规范条件，这个规范条件并非理论本身所必需的。
条件：<1）保留广义坐标的概念不变<2）保留广义动量的定义不变，<3）对不做任何限制，问题：若使和保持独立地位：（A）力学理论如何？（B）是否会带来经典力学和拉格朗日理论中没有的优点？回答上述问题的理论即为哈密顿理论！3．两个变量的勒让德变换一组独立变数变为另一组独立变数的变化称为勒让德变换。
拉格朗日力学和哈密顿力学
拉格朗日力学和哈密顿力学
拉格朗日力学和哈密顿力学
拉格朗日力学和哈密顿力学是物理学中两种最主要的力学。
拉格朗日力学是通过拉格朗日的原则来研究物理系统的运动的方法，它面向的是未知受力的运动系统，而哈密顿力学则用于研究系统的状态为已知的线性运动系统，它强调的是动力学的概念，而不是像拉格朗日力学那样的原则。
拉格朗日力学中，拉格朗日对物体的状态来计算其运动做出了有力的假设，即物体的运动受到一些外界作用力的影响，这些外界作用力可以能量的形式表示，而运动状态可以通过拉格朗日势来确定。
由于拉格朗日势的存在，物体的运动方程就把势、动量、外力的关系给表示出来，从而可以用来求解物体的运动。
哈密顿力学主要利用一组确定的基本方程和统一的机制来研究
物体的运动，其中的基本方程是通过基本量，如动量、势能、惯性力等来确定物体的运动的，这种机制使得物体的运动可以用一组定义统一的规则来描述，而无需考虑外界作用力的影响。
总之，拉格朗日力学和哈密顿力学都是用来解释物体的运动的力学。
拉格朗日力学面向的是未知受力的运动系统，而哈密顿力学则用于研究系统的状态为已知的线性运动系统。
它们的最大的不同点在于，拉格朗日力学需要考虑外界作用力的影响，而哈密顿力学则不需要。
两者都可以有效的用于解释物体的运动。
- 1 -。
哈密顿力学
§5-3 正则方程
1.从拉格朗日方程到正则方程
统计物理、电动力学和量子力学等理论物理学科中对力学的 描述更多的是采用哈密顿正则方程的形式。
根据哈密顿函数的定义
d H d L s p q & s(q & a d p a p a d q & a ) d L
1
a 1
d dt q & L q L =0
d dx
f y
'
f y
0
欧勒方程
例：求最速落径方程
解：已知
f
1 y '2 ， 2gy
根据欧勒方程
d f
dx
y
-
f 0. y
f 1 1 y '2 y 3 / 2 ; f 1 (1 y '2 ) 1/ 2 y
y 2 2g
y 2gy
d
dx
1 2gy
(1
y
'2 ) 1/ 2
Q qt1 qt2 0
t1 t2s1qL d dtq & L qdt0
Qq 是 任 意 的
d dt q & L q L 0
(1,2...s)
三. 哈密顿原理的意义
➢哈密顿原理在理论上具有特别重要的意义, 它是建立在描述 体系运动总体效果----积分形式的基础之上，与采用什么样的 广义坐标（坐标系）无关，因此只要适当引进拉格朗日函数 （对相互作用需要建立模型得到势函数或力函数，进而得到拉 格朗日函数）,就容易推广应用拉格朗日方程和正则方程,并建 立整个分析力学的体系.
T [ y ( x ) ] x2 f ( y , y ', x ) d x 可 以 证 明 泛 函 T [ y ( x ) ] 取 极 值 的 条 件 是 其 x1
经典力学中的哈密顿量
经典力学中的哈密顿量经典力学是物理学的基础学科之一，它描述了宏观物体的运动规律。
在经典力学中，哈密顿量是一个非常重要的概念，它是描述系统能量的函数。
本文将介绍哈密顿量在经典力学中的应用以及它的相关理论。
在经典力学中，哈密顿量起着至关重要的作用。
它描述了一个力学系统的总能量，包括动能和势能的贡献。
哈密顿量通常用H来表示，在一般的形式中，可以写成H = T + V，其中T是动能项，V是势能项。
动能项描述了物体的运动状态，而势能项则描述了物体所处的位置。
哈密顿量的形式取决于具体的力学系统。
例如，对于简谐振子，哈密顿量可以写成H = 1/2mv^2 + 1/2kx^2，其中m是质量，v是速度，k是弹性系数，x是位移。
这个哈密顿量包含了振子的动能和势能贡献。
哈密顿量还可以描述多体系统。
对于一个由N个粒子组成的系统，哈密顿量可以写成H = Σi=1 to N (1/2mi vi^2 + Vi)，其中mi是第i个粒子的质量，vi是其速度，Vi是它所处的势场。
这个哈密顿量包含了系统中所有粒子的动能和势能贡献。
在经典力学中，物体的运动由它的哈密顿量决定。
根据哈密顿量，我们可以得到物体的运动方程。
这个运动方程称为哈密顿方程，它描述了物体在力学系统中的运动轨迹。
哈密顿方程是经典力学中最基本的方程之一，它可以推导出牛顿力学中的运动方程。
除了描述物体的运动，哈密顿量还有其他重要的应用。
在量子力学中，哈密顿量被用来描述系统的能级结构和演化。
量子力学是一种描述微观世界的物理理论，它和经典力学有很大的不同。
但是，量子力学的数学形式中包含了经典力学的一些概念，如哈密顿量。
在量子力学中，哈密顿量是一个厄米算符，它的本征值和本征函数对应了系统的能级和相应的量子态。
根据量子力学的基本原理，系统的演化由哈密顿量决定。
通过求解哈密顿量的本征值问题，我们可以得到系统的能级和量子态。
总结一下，哈密顿量是经典力学和量子力学中的一个重要概念。
在经典力学中，哈密顿量描述了系统的总能量，并且通过哈密顿方程决定了物体的运动。
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g ( u ) = xu − f ( x )
你注意到
(1)
知道了这个函数， 也就知道了曲线的所有切线， 从而也就知道曲线本身 （包络线） 。
一点对 t 也是成立的） ，也就是说
(10)
而新、旧状态函数对不作变化的自变量 qi 的偏导数相差一个符号（不难看出这
y
y = f ( x)
y
y = f ( x)
y = f ′( x0 ) x − g
(0, − g )
x0
x
唯一的截距，这相当于要求
f ′′( x) 总是大于零（或者总是小于零）的，因为这
种情况下曲线切线的斜率就是单调增加 （或减小） 的。 实 际上，由于我考虑的是那些光滑的函数
[
v
v = g (u )
2
f ( x) = x 2 。
f ( x, y ) ，现在假如我
f ∂y 2 > 0 ）变为 u = ∂f ∂y ，而另
u= ∂f ∂y
f ( x, y )
⇒
g ( x, u )
其中
(5)
这时候， g ( x, u ) 就可由如下 Legendre 变换得到
g ( x, u ) = yu − f ( x, y )
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们通常是用函数 y
= f ( x) 来确定曲线上的点 ( x, y) 的；
而对于第二种观点，
我们就需要用一些数来给出它的所有切线。一条直线可以用两个数来描述：斜率 和截距。 为了能用一个 （单值） 函数——譬如说我们将截距看作是斜率的函数—— 同时给出所有的切线， 就要求两条切线不能有相同的斜率——一个斜率只能对应
A
B 处的切线，它们相交于譬如说 C 点，那么，当 A 和 B
相距很近时，我们就可以用 AC 和 CB 这A 和 B 之间的那段曲线，这两个点靠的越近，这种近似也就越精确。所以， 对于任何一条曲线，其在所有点上的切线的包络线——对于圆来说，那就是那个 极限情况下的多边形——就是曲线本身。因此，我们就可以有两个等价的方法来 描述（或确定，或定义）曲线：要么告诉我构成它的一系列点 ( x, y ) ，要么告诉 我一系列的切线。 现在我们来看一下代数上对于这两方法是如何描述的。对于第一种观点，我
g (u ) 也可以做 Legendre 变换，由于 x = dg du ，因此 g (u ) 的 Legendre 变换
为 xu − g (u ) ，它就是原来的函数 举个例子。考虑函数 变量 u
f ( x) 。
f ( x) = x 2 ，它满足我们前面的条件 f ′′ = 2 > 0 ，新
变换后新的函数为 正是
]
u
x0 是曲线上任意一点，曲线在 x0 点的切线方程就可以表
示为 y 率
= u0 x − g 0 ，这里我用 u0 是表示切线的斜率，也就是曲线在 x0 点的斜
f ′( x0 ) ， 而 − g 0 表 示切线的截距。 g 0 可 以由“该切线经过曲线上的点
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( x0 , f ( x0 )) ”得到：g 0 = x0u0 − f ( x0 ) 。在我们的条件下，对于每一个 x0 就
和
pi 描述力学体系，我们首要的任务就是找出这个新的状态函数。
, t ) 状态参量： ( q, q , t ) 状态函数：L ( q, q
⇒ ⇒
( q , p, t ) ? ( q, p, t )
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我将用一个数学例子向你解释“同一个对象可以有不同的等价描述究竟是什 么意思？”以及“这些不同的描述在数学上有什么样的关系？”
( S ,V ) ，我们
= TdS − PdV ；但是你完全可以用别的变量来描述这同一个体系，
例 如 温 度 T 和 体 积 V ， 这 时 候 状 态 函 数 也 相 应 地 变 为 Helmholtz 自 由 能
f = f (T ,V ) = U − TS ， 它的全微分 df = − SdT − PdV 。 因此， 为了用 qi
u= df dx
(3)
的例子中我们通过 Legendre 变换把函数
f ( x)
⇒
g (u )
其中
这里 g (u ) 是这样定义的
g ( u ) = xu − f ( x )
顺便提一句，
(4)
f ′′( x) > 0 必然导致 g ′′(u ) > 0 （想想为什么？） ，因此我们对
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]
dg = ydu + udy − df = ydu + udy − ∂f = ydu − dx ∂x
∂f ∂f dx − dy ∂x ∂y
(7)
值得注意的是，从这个全微分不难看出：做变换的自变量 y
= ∂g ∂u （它实际
第 5 页，共 14 页
上就是 u
= ∂f ∂y 的反变换） ，也就是说
新的函数对新的自变量之偏导数等于旧的自变量
i H ( q, p, t ) = q
∂L i pi − L −L=q i ∂q
(9)
我们将这个函数称为 Hamilton 函数或者 Hamiltonian （Hamilton 量） 。 实际上这个 式子中间的那一项大家是熟悉的了， 它就是我们以前定义的 Jacobi 积分。 但是需
i 的函数；而 Hamilton 函数则是广义坐标 qi 和 要强调的是，Jacobi 积分是 qi 和 q i 通过 pi = ∂L ∂q i 的反变换用 pi 的函数，也就是说，我们需要把上式右边的 q i = q i ( q, p ) 。尽管 Jacobi 积分和 Hamilton 函数在数值上 qi 和 pi 表示出来， q
g (u ) 的 表 达 式 还 有 变 量 x ， 对 此 应 该 这 样 理 解 ： 你 需 要 通 过
u = ∂f ∂x 的反变换把 x 用 u 表示出来， x = x(u ) ，并把它代入上式，这样形
式上 g 也就只是 u 的函数了 条件
[
f ′′( x) > 0 保证了反变换的存在]。换一个角
2
i 时， 新的状态函数具有什么样的形式？这时候 pi = ∂L ∂q
f ∂y 2 > 0 变为了
1∂q 1 " ∂ 2 L ∂q 1∂q s ∂ 2 L ∂q ⎛ ∂ L ⎞ = # % # >0 det ⎜ ⎟ ⎜ ∂q ⎟ ∂ q ⎝ i j ⎠ ∂ 2 L ∂q s ∂q 1 " ∂ 2 L ∂q s ∂q s
[其中
y = f ( x) ] ， 也 可 以 等 价 地 用 另 外 一 系 列 的 点 (u, v) 来 描 述
v = g (u ) ]。代数上，我既可以用函数 f ( x) ，也可以用函数 g (u ) 来描述这同
一条曲线，数学上把类似从
f ( x) 到 g (u ) 的这种变换称为 Legendre 变换。上面 f ( x) 变为函数 g (u ) ：
= f ′( x) = 2 x ，其反变换为 x = u 2 ； Legendre
g (u ) = xu − f ( x) = u 2 2 − u 2 4 = u 2 4 。 而 x = ∂g ∂u = u 2
相应的 − g (u ) 作 如果你有兴趣， 不妨以每一个 u 作为斜率， u = 2 x 的反变换。 为截距做出一系列的直线，你会发现这些直线的包络线正是曲线 稍微推广一下，考虑这样一个具有两个自变量的函数 只想把其中一个变量（譬如 y ，假设 ∂ 一个变量保持不变
而对于保持不变的自变量则有 ∂g
∂x = − ∂f ∂x ，也就是说
新、旧函数对不做变化的自变量的偏导数相差一个负号。
不难把 Legendre 变换推广到更一般的情形，我把它作为练习留给你。 现在我们可以回答前面的问题了，也就是说，当描述力学体系状态的自变量
i 变为 qi 和 由 qi 和 q
条件 ∂
(6)
提醒你注意一下它的形式： 第一项是需要变换的自变量 y 和将要变换成的自变量
u = ∂f ∂y 的乘积，然后减去原来的函数。你需要通过 u = ∂f ∂y 的反变换把
y 用 x 和 u 表示出来， y = y ( x, u ) [同样的，条件 ∂ 2 f ∂y 2 > 0 保证了反变
换的存在 ，并把它代入上式，这样形式上 g 就是 x 和 u 的函数了。对上式做全 微分，我们也可以看到用这种方式构造的 g 不再把 y 作为变量了
度， 对上式做全微分， 你就可以看到用这种方式构造的 g 确实不再把 x 作为变量 了
dg = udx + xdu − df = udx + xdu −
这里 x
df dx = xdu dx
(2)
= dg du ，它实际上就是 u = ∂f ∂x 的反变换。
因此，几何上，对于同一曲线 [其中
f ( x) ，我既可以用一系列的点 ( x, y) 来描述
f ( x) ，也就是说
f ′′( x) 是连续的，因此，它不可能从负值一下子跳到正
值， 反之亦然。 所以上面的条件可以简单地说成是要求 的 2 阶导数
f
f ′′( x) 在任何一点 x 处都不等于零，在这种
情形下， f ′′( x) 要么总是大于零，要么总是小于零 。现 在我们就来看一下如何将截距表示为斜率的函数。假设
不会有任何差别，但是为了强调自变量（或函数行为）的不同，我们用了不同的 术语称呼它们。当谈到 Hamiltonian 时，它总是广义坐标和广义动量的函数（当