五年级奥数春季班第1讲-勾股定理

3
13 2
第一讲 勾股定理
模块 1、常见勾股数及辅助线
例 1．（1）如图，下列未知边的长度分别是
、 、 。

?
5
4
?
?
25
24
（2）如图，下列图形的面积分别是
、 、 。

10
1.3 6.5
8
1.2
1.5
2
解：（1）应用勾股定理：
第 1 个直角三角形中两条直角边分别是 3 和 4，所以斜边长为 5；
第 2 个直角三角形中斜边长为 13，一条直角边长为 5，所以另一条直角边的长为 12； 第 3 个直角三角形中，斜边长为 25，一条直角边长为 24，所以另一条直角边的长为 7。

（2）第 1 个直角三角形的斜边长为 10，一条直角边长为 8，另一条直角边长为 6，
1
所以三角形的面积是 ⨯ 8 ⨯ 6 = 24 ；
2
第 2 个直角三角形的斜边长为 1.3，一条直角边长为 1.2，另一条直角边长为 0.5，
1
所以三角形的面积是 ⨯1.2 ⨯ 0.5 = 0.3 ；
2
第 3 的图形中，小直角三角形的两条直角边分别为 2 和 1.5，它的面积是 S 1=1.5，
斜边长为 2.5，大直角三角形的斜边是 6.5，一条直角边长为 2.5，所以另一条直角边长为 6，
面积 S 2= 1
⨯ 2.5 ⨯ 6 = 7.5 ，
于是面积等于 S 1+S 2=9.
例 2．（1）如左图，梯形的周长为 ，面积为 ；如右图，梯形的周长为 ，面积
为 ；
10
0.6
10
0.6
20
1.3
1.2 1.5
16
20
1.3
1.2
1.5
22 22
12
0.5
0.6
0.9
， B
C
C
（2）下图的梯形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相互垂直，已知 AD =3 AC =9
，BD =12，则 BC 的长度为 。

A
D A
3
D
12
9
B E
解：（1）如图，平移得到直角三角形，斜边为 20，一条直角边长为 12，所以另一条直角边长为 16，
于是周长=20+10+16+22=68，面积= 1 2
⨯16 ⨯ (10 + 22) = 256 ；
第 2 个图中，做出两条高线，得到两个直角三角形，求得两条直角边长分别为 0.5，0.9，
于是梯形的下底长为 0.5+0.6+0.9=2，梯形的周长=0.6+2+1.3+1.5=5.4，面积= 1 2
⨯1.2 ⨯ (0.6 + 2) = 1.56 。

（2）如图平移 AC 到 DE ，连结 CE ，CE =AD =3，DE =AC =9，
在直角三角形 BDE 中，BD =12，DE =9，所以斜边 BE =15， 解得 BC =BE −CE =15−3=12。

模块 2、勾股定理及其重要模型
例 3．（1）以直角三角形 ABC 的三边向外做三个正方形，正方形内的数代表正方形的面积，求未知正方形 的面积为 。

A
?
3
B
C
14
（2）下面的图形是以直角三角形 ABC 的三边为直径向外做半圆得到，半圆内的数表示所在半圆的面积，求 未知半圆的面积为 。

15
7
?
解：（1）AB 2=3，BC 2=14，所以 AC 2=3+14=17；
（2）最小的半圆面积等于π
r
1
2=7，第二个半圆面积等于r2=15，
π
222
所以最大的半圆的面积等于π
2(r12+r22)=7+15=22.
例4．（1）下图是由两个直角三角形构成，求问号处的边长是。

2
?
1
2
（2）下图是由一个两条直角边长都是1的直角三角形向外做直角三角形得到的，形成一共一个美丽的螺旋图案，第8个直角三角形的斜边长是；如果一直螺旋下去，第个直角三角形的斜边长是10.
111
1
1 1
1
1 1
解：（1）由勾股定理，下面的直角三角形的两条直角边长分别为1、2，斜边的平方=1+4=5，这样上面的直角三角形的两条直角边的平方分别是5、4，它们的和等于9，所以问号处的边长等于3.（2）最小的直角三角形的斜边长的平方,等于2，第2个直角三角形的斜边的平方等于3，第3个直角三角形的斜边的平方等于4，……，第8个直角三角形的斜边的平方等于9，斜边长等于3，第n个直角三角形的斜边的平方等于102=100，所以这是第99个直角三角形。

例5．（1）某直角三角形三条边长都是整数，其中一条直角边长是8，求另外两条边的长度分别为和。

（2）某直角三角形的一条直角边长为6，周长是15，求它的面积为。

（3）如图，长方形ABCD的长是5，宽是1，现将长方形的右下角折到左上角，三角形ABM的面积是。

A 1 B
N
M
5
D
C
解：（1）设斜边长为a，另一条直角边的长为b，所以a2−b2=64，得64=(a+b)(a−b)，64=26，又a+b、a−b都是整数，且a+b与a−b同奇同偶，
所以可以是 ⎨⎧a + b = 32 ⎩ a - b = 2 ⎩ a - b = 4 ⎩ b = 15 ⎩ b = 6
⎧a + b = 16 ⎧
a = 17 ⎧a = 10 ，或 ⎨ ，解得 ⎨ 或 ⎨ 。

（2）直角三角形的一条直角边长为 6，周长是 15，设斜边为 a ，则另一条直角边是 9−a ，
1
得 a 2 = 36 + (9 - a)2 ，解得 a=6.5，9−a=2.5，所以三角形的面积= ⨯ 6 ⨯ 2.5 = 7.5 ；
2
（3）设 B M=a ，MC =5−a ，A M=M C =5−a ，在直角三角形 ABM 中，有勾股定理得
AM 2=AB 2+BM 2，得 (5 - a)2 = 1 + a 2 ，解得 a=2.4，所以三角形 ABM 的面积= 1
2
⨯1⨯ 2.4 = 1.2 。

模块 3 有趣的路径问题 例 6．（1）如图是一个铁丝围成的长方体铁架，长、宽、高分别为 7 厘米、2 厘米、3 厘米，一只蚂蚁在 A 点，蚂蚁需要爬到 B 点处，如果只能沿着长方体的棱爬，最短路径是 厘米。

B
A
（2）如图是一个长方体木块，长、宽、高分别为9 厘米、7 厘米、5 厘米，一只蜘蛛在 A 点蜘蛛需要爬到 B 点，如果只能沿着长方体木块的表面爬，最短路径为 厘米。

B
A
解：（1）7+3+2=12 厘米；
（2）有三种路线，分别是 7+ 9 + 4 = 7 + 13 ≈10.6；
2+ 9 + 49 =2+ 58 ≈9.6；3+ 49 + 4 =3+ 53 ≈10.28；
所以最短路径为 9.6 厘米。

随 堂 测 试
1．下图是一个长方形点阵，相邻两点距离为 1 厘米，求图中多边形的周长为
厘米。

解：如图，连结两条辅助线，把图形分成一个小正方形和两个直角三角形，
小正方形的边长为1，小直角三角形的斜边长是5，大直角三角形的斜边长是13，
所以图形的周长为5+2+1+13+13=34。

2．如图是一个直角梯形ABCD，其中AD=4，AB=12，BC=9，求阴影三角形的周长为。

A4D A4D
1212
B9C B4E5C
解：过D做DE垂直于BC，交BC于点E，则BE=4，EC=5，DE=AB=12，
在直角三角形DEC中，斜边DC=13，在直角三角形ABC中，AB=12，BC=9，所以斜边AC=15，所以三角形ACD的周长是4+13+15=32。

3．下图是由三个直角三角形组成的，求问号处的边长为。

2？
4
1
6
解：最下面的直角三角形的两条直角边长分别为1和6，所以它的斜边长的平方等于1+36=37，中间的直角三角形的两条直角边的平方分别为16和37，它的斜边的平方等于53，
最上面的直角三角形的斜边的平方是53，一条直角边的平方等于4，
所以另一条直角边的平方等于534=49，于是这条直角边的长度是7。

4．三角形ABC中，AD是一条高，分别以A B、BD、DC、CA为边向外做正方形，一些正方形的面积已知，正方形内的数代表正方形的面积，求问号处正方形的面积为。

10
27A10
B D C
6
?
解：由图知AC的平方等于10，CD的平方等于6，所以AD的平方等于10−6=4，
问号处的正方形的面积等于BD2，BD2=AB2−AD2=27−4=23
5．如图，一个直角三角形ABC的直角边AB长为5，BC长为12，将直角折到斜边上，即三角形A BD折到三角形AED的位置，求三角形DEC的面积为。

A
E
B D C
解：直角三角形ABC的直角边AB长为5，BC长为12，所以斜边AC=13，
由题意知AE=AB，所以AE=5，CE=13−5=8，
设BD=DE=x，则DC=12−x，有勾股定理得DC2=DE2+EC2，
11040
，所以三角形DEC的面积等于⨯8⨯=。

3233
所以(12−x)2=x2+82，解得x=。