循环群与群同构-南京大学
循环群讲义——精选推荐
§7循环群本节将讨论一类结构简单又富有代表性的特殊群――循环群.(它是一类基本而又重要的群,数学的一些分支（数论、有限域论等）和它有密切的联系.)通过对循环群的学习,可初步了解抽象代数研究问题的基本方法和格式以及论文的写作方法.本节主要内容是循环群的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题. 先看一个简单的例子：{} ,10,10,10,1,10,10,10,32123---=G 对数的乘法作成群.特点是每个元都是固定元10的方幂.一、循环群的概念1.定义 G 称为循环群⇔群G 的每个元都是G 中某个固定元．．．a 的方幂⎩⎨⎧倍数－－针对加法乘方－－针对乘法. 记为)(a G =，a 称为G 的生成元. 即 G a G ⇔=)(是群，且⎩⎨⎧==∈∃∈∀)()(.,,加法乘法ka x a x st Z k G x k .（注意:k 与x 有关！）【一般情况下，如果没有特别声明运算是乘法或是加法，就默认是乘法形式.】2.注意:(一般情况下)生成元不唯一.a 是生成元1-⇔a 是生成元.【理由：k k a a --=)(1】3.范例【解决了循环群的存在问题.同时，将得到结论：循环群在同构意义下只有这两种！】 ①整数加群),(+Z ，)1()1(-==Z .【1±是∞阶.00)1(=⇒=±n n 】问题:还有其他生成元?(无)【设1),(1)(1)(±=⇒∈==∈⇒=k Z k n nk k k Z 】*实际上可进一步证明：)()(a G a o =⇒∞=只有两个生成元1,-a a .【课外思考题】【设)(b G =，则有111,,)(-=⇒=⇒=⇒==∈∞=or s st aa b a a b Z t s a o st t s 】 ②模n 剩余类加群),(+n Z ，])1([=n Z .问题:还有其他生成元?(有)【])1([])1([-=-=n Z n 】*实际上可进一步证明：)()(a G n a o =⇒=的生成元为r a 当且仅当1),(=n r .【习题】【若1),(=n r ，则)()()()()()(1r u r v u r v n u r vn ur a a a e a a a a a vn ur =⇒====⇒=++. 反之，r a 是生成元，1),(1|)()()()(1=⇒-⇒=⇒=⇒===-n r rk n e a a a a a G na o rk k r r .】 ◎设p 为素数，则p 阶循环群)(a G =有1-p 个生成元：12,,,-p a a a .◎设p 为素数，则模p 剩余类加群p Z 的所有非零元都是生成元.二、循环群的种类1.结构定理 设循环群)(a G =同构于⎩⎨⎧=+∞=+n a o if Z a o if Z n)(),,()(),,(. 证明 注意体会生成元a 的阶在证明过程中的用处!(1)设∞=)(a o 【作用：0=⇔=k e a k 】此时，令k a Z G k →→,:ϕ，可证ϕ是同构映射.(证略)【ϕ是映射：若h k a a =，则h k h k e aa o h k =⇒=-⇒=∞=-0)(，说明对应元唯一. 易证ϕ是满射/单射. 再证ϕ的同态性:)()()()()()(,,y x a a h k axy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+==⇒==⇒∈∀+.】 (2)设n a o =)(【作用：k n e a k|⇔=】此时，令][,:k a Z G k n →→ϕ ϕ是映射：若h k a a =，则][][|)(h k h k n e a na o h k =⇒-⇒==-，说明对应元唯一. ϕ是单射：若][][h k =,则e e a a mn h k h k n m n a o m n h k ===⇒=-⇒-=-)()(|.ϕ是满射：][)(.,,][k a st G a Z k k k n =∈∃∈∀ϕ再证ϕ的同态性: )()()()(][][)()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+==⇒==⇒∈∀+.例1:循环群)(a G =的阶为⇔n 生成元a 的阶为n .【常用结论】证法 同构必同阶.若n a o =)(，则n Z G Z a n n ==⇒≅)(.反之，设n G =，若n a o ≠)(，则 ①∞=)(a o ,则∞==⇒≅Z G Z a )(矛盾；②n k a o ≠=)(,则n k Z G Z a k k ≠==⇒≅)(也矛盾. 循环群的结构定理说明了什么？【凡是无限循环群都彼此同构；有限循环群中，同阶则同构、不同阶则不同构.】例2:n 次单位根群{}1|=∈=n n x C x U 与n Z 同构.证法1 利用结构定理. )1,,1,0(2sin 2cos 12-=+==⇔=n k n k i n k ex x i n k k n πππ )()(222i n n k i n i n k e U e e πππ=⇒=是循环群,且生成元i n e π2的阶为n ,所以n i n n Z e U ≅=)(2π.证法2 直接建立同构映射. 令][:2k e i n k →πϕ,可证ϕ是同构映射.2.意义：从同构观点看，循环群只有两类――整数加群与模n 剩余类加群.【解决了循环群的数量问题】最后，讨论循环群的构造问题.这个问题从结构定理的证明过程就可得到.三、循环群的构造[构造定理] 设循环群)(a G =，则有{}Z k a a G a o k ∈==⇒∞=|)()(；{}1,,2,1,0|)()(-===⇒=n k a a G n a o k .证明 由结构定理的证明过程即得.另证：直接证明两个集合互相包含.【由运算封闭性，右集⊆左集；反之，m a x a G x =⇒=∈∀)(.若)()(Z k a a o k ∈⇒∞=彼此互异， 此时∈=m a x 右集1；若n a o =)(，设)0(n r r kn m <≤+=，则∈==r r kn m a a a a 右集2】至此，循环群所要研究的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题圆满得到解决.好比线性方程组解的讨论包括判定、数量、结构三大问题.当然，还可进一步把循环群和其他概念相结合，研究新的性质.比如在今后学习中可以得到：循环群是交换群；循环群的子群还是循环群；循环群的同态像还是循环群等等.四、课后思考题n or a o ∞=)(时，循环群)(a G =的生成元有哪几个？在结构定理证明中a 的阶用途是什么？◎3S 是不是循环群？◎),(+Q 不是循环群.【设)(a Q =,则210)12()(220=⇒=-⇒∈=⇒∈⇒∈≠n a n Z n na a Q a Q a a 】 ◎循环群是交换群(习题)；但交换群未必是循环群.比如:{}1|=∈=n n x C x A 是循环群， ∞==1n n AU 是交换群但不是循环群. ◎循环群是少数研究清楚的群.此外,有限单群也是.【单群】没有非平凡不变子群的群.有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，经全世界上百名的数学家约40年的共同努力，终于在1981年得到解决，这是数学史上的又一个非凡成就.有限单群分类的整个论证用了5000页以上的篇幅，散布在超过300篇文章之中,引用了很多新的群论概念和证明了大量的定理.《简爱》是一本具有多年历史的文学着作。
近世代数课件(全)--2-4 循环群
定理6 n 阶循环群 G ( a ) 有且只有 n 的正因数 T(n)个子群. 证：（1）( a ), ( a ), , ( a ) ，则
(a ) (a )
k d
是 ( a ) 的全部子群; （2）对于每个 1 k n，若 ( k , n ) d
1 2 n
G { , a
2
；且
2
,a
1
, a , a , a ,}
0
2.G是n阶循环群 a n ；且
G {a , a , , a }
1 2 n
3.G是n阶循环群， k k a 是G的生成元 a n
推论 若循环群 a ，则 G a 1 . G
2012-9-19
;
d
（3）若 d | n ，则 ( a ) 是唯一一个 阶为n/d的子群.
2012-9-19
G ( a ) ，则 ( a k ) G .
km
证： a km , a kn ( a k )
(a
kn
)
1
a
k(mn)
(a )
k
定理5 证：
无限循环群 G ( a ) 有无限多个子群.
( a ), ( a ), ( a ), 是 ( a ) 的全部
m n
0
1
2
不同的子群（若 ( a ) ( a ) ，则 m | n , n | m ，于是 m n .）
三、数量 定理2 循环群 G a ，则
(1) 若G是无限阶循环群，则G与整数加群同构. (2) 若G是n阶循环群，则G与模n的剩余类加群 同构.
证明： （1） : a k , k Z
《循环群与置换群》课件
在实际应用中，同态和同构的概念可 以用于比较不同置换群之间的相似性 和差异性，以及进行置换群的分类和 结构分析。此外，同态和同构也是研 究其他代数结构的重要工具和方法。
06
应用实例
在密码学中的应用
加密算法
置换群和循环群在加密算法中有着广泛的应用，如凯撒密码、栅栏密码等。这些 算法利用置换群中的置换操作对明文进行加密，保护信息的安全。
编码理论
置换群在编码理论中也有着广泛的应用，如线性码和循环码等。这些编码利用置换群的性质，能够设 计出高效可靠的编码方案。
在几何学中的应用
几何变换
置换群在几何变换中有着重要的应用 ，如矩阵表示和仿射变换等。通过利 用置换群的性质，可以研究几何图形 在不同变换下的性质和关系。
分形几何
循环群在分形几何中也有着一定的应 用，如Mandelbrot集和Julia集等。 这些分形结构通过循环群的迭代和递 归生成，展现出复杂而美丽的几何图 案。
《循环群与置换群》PPT课件
目录
• 群的基本概念 • 置换群 • 循环群与置换群的关系 • 循环群的性质 • 置换群的性质 • 应用实例
01
群的基本概念
群的定义
1
群是由一个集合以及定义在这个集合上的二元运 算所组成的一个代数结构。
2
群中的元素称为群元，通常用小写字母表示，如 $a, b, c, ldots$。
子群的构造
通过选择置换群中的若干个置换作为子群的元素，可以构造出置换群的子群。子群可以由单位元和若干个非单位元的 置换构成，其中非单位元的置换可以两两复合得到。
子群在置换群中的作用
子群在置换群的结构和性质研究中具有重要的作用。通过研究子群的性质和分类，可以进一步了解整个 置换群的性质和结构。
抽象代数循环群
抽象代数循环群定义1.5.1，设 G 为群，若∃a∈G 使得 G={an|n∈Z} 则 G 为循环群。
记为 G=<a>.我们称 a 为生成元。
其实我们知道对任何 {an|a∈G,n∈Z}≤G (由于群对运算封闭）,也就是说循环群其实是 {an}=G 。
例1. {Z;+} , 1,−1 为其生成元。
2. Um={c∈C∗|cm=1} 对乘法成循环群，本原根为生成元。
|Um|=m如： U2={1,−1} , −1 为生成元U3={1,ς,ς2}(ς=−1+3i2) 以ς为生成元。
U4={1,−1,i,−i} , −i 为生成元。
命题1.5.1:循环群为阿贝尔群。
aman=am+n=anam命题1.5.2:循环群的子群也为循环群。
令 G=<a>,H<G , H≠G 设 H≠{e} , m=min{k∈N|ak∈H}下证 H=<am> ,设 al∈H ，由带余除法可得 l=qm+r ( 0≤r<m ) ⇒ar=al−qm=al(am)−q∈H ，故 r=0 否则 ar∈H 且 r<m 则与 m 的定义相反。
推论1.5.3 {Z;+} 的任何子群，一定形如 mZ ， m≥0证： G<{Z;+} 若 G=Z ,取 m=1 ，若 G={0} 取 m=0 ,否则令 m=min{k∈N|k∈G}用命题1.5.2的方法证明。
G=<m>=mZ循环群分类定理：设 G 为循环群，且 |G|=∞ ,则 G≃{Z;+} ，若 |G|=m>0 则 G≃Z/mZ=Zm≃Um思路：证明一个群和一个商群同构，很容易想到同态基本定理。
证：设 G=<a> 定义ϕ:Z→G 使得ϕ(k)=ak 则ϕ(k+l)=ak+l=akal=ϕ(k)ϕ(l) 所以ϕ为同态。
因为 G 中所有元素都可以用 a 的次幂表示，自然ϕ为满射。
由同态基本定理得到： G≃Z/kerϕ。
循环群的性质研究
淮北师范大学2012届学士学位论文循环群的性质研究学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向高等代数学生姓名潘帅学号***********指导教师姓名张波指导教师职称讲师2012年4月3日循环群的性质研究潘帅（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要设G是一个群，a G，如果群G中的每一个元素都能写成元素a的乘方的形式，则称G是一个循环群，循环群是近世代数中的一个重要内容，也是一类基本研究明白的群，本文主要讨论了循环群的相关性质及其应用。
文中首先介绍了群的相关基础知识，由此引出循环群的定义和它的相关性质，讨论了循环群及其元素，子群间的关系，然后利用循环群的基础理论讨论了循环群的同态、同构，并给出了循环群的自同构群是交换群的结论。
关键词：循环群，子群，同构，自同构群Study on the Properties of Cyclic GroupsPan Shuai(School of Mathematical science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000 )AbstractLet G be a group, a G∈. If every element can be written the form n a where ∈, then the group is a cyclic group. Cyclic groups is an important content in the n Z+algebra, also a kind of group was nearly researched understand, this subject mainly discussed the cyclic group related properties and application.The basic knowledge of relevant firstly be introduced in this subject, then drawn out the definitions of circulation and some related properties, discussed the cyclic group and its elements, even the relations between the subgroup, and used the circulation of the foundation of the theory to discuss the circulation about the homomorphism and isomorphism, lastly made us know the conclusions what automorphism group of circulation group is an exchange of group.Keywords：cyclic group, subgroup, isomorphism, automorphism group目录一、引言 (1)二、群的定义 (1)三、循环群的若干问题 (7)1、定义与性质 (7)2、循环群的性质 (8)3、循环群的判定 (9)四、循环群的同态，同构 (11)五、结论 (14)参考文献 (14)致谢 (15)一、引言当代科学技术发展的一大特点是，在几乎所有的领域，数学与计算机技术被广泛的应用。
循环群的自同构群
循环群的自同构群循环群是群论中一类重要而特殊的群结构。
它具有很多有趣的性质和应用，其中一个重要的性质就是它的自同构群。
首先，我们需要了解什么是循环群。
循环群是由一个元素生成的群，该元素被称为生成元。
换句话说，循环群中的每个元素都可以通过不断进行群运算（加法或乘法）与生成元相乘来得到。
例如，整数集合Z和模n剩余类集合Zn都是循环群，它们的生成元分别是1和1~(mod n)。
循环群的元素可以被表示为幂的形式，例如在整数集合Z 中，对于一个生成元g，其幂运算可以表示为g^n。
循环群的自同构群指的是将循环群映射到自身且保持群运算的双射（双向一一对应）集合。
换句话说，自同构群是循环群的一种变换，其中变换之前和之后的群运算保持不变。
循环群的自同构群在群论研究中具有重要的地位。
首先，自同构群是研究循环群内部结构的重要工具。
通过研究循环群的自同构群，我们可以了解循环群的各种性质和结构，并且可以对循环群进行分类。
其次，循环群的自同构群对密码学中的安全性有着重要的影响。
在现代密码学中，循环群被广泛应用于构建安全性强大的加密算法，例如Diffie-Hellman密钥交换算法和椭圆曲线密码算法。
而自同构群则可以用于验证加密算法的安全性和强度。
循环群的自同构群可以分为两类：平凡自同构群和非平凡自同构群。
平凡自同构群是指将循环群的所有元素映射到它们自身的恒等映射。
换句话说，平凡自同构群保持循环群的原始结构不变。
而非平凡自同构群则是指存在一种映射，能够改变循环群的结构，例如将生成元映射到其他元素或改变群的性质。
在循环群的自同构群中，非平凡自同构群是研究的重点。
对于循环群Z，它的非平凡自同构群就是循环群Z*。
而对于循环群Zn，它的非平凡自同构群就是单位元素到自身的同余映射（自同构映射）。
这些非平凡自同构群在代数结构和密码学中有着重要的应用。
总结起来，循环群的自同构群是群论研究中的一个重要课题。
通过研究循环群的自同构群，我们可以了解循环群的内部结构和性质，并且可以将其应用于代数结构和密码学等领域。
2019年第循环群.ppt
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12
关于子群定理证明（续）
对于n的每个正因子d, 在G中有且仅有一个d阶子群.
n
(4) 设 d|n，则H a d 是 G 的 d 阶子群.
假若 H’=<am>也是 G 的 d 阶子群，其中 am 为最小正方 幂元.则
4
有关循环群的生成元的定理
定理 1 G=<a>是循环群
（1）若 G 是无限循环群，则 G 的生成元是 a 和 a-1;
（2）若 G 是 n 阶循环群，则 G 有(n)个生成元，
当 n=1 时 G=<e>的生成元为 e；
当 n>1 时，r(rZ+r<n)，ar 是 G 的生成元(n,r)=1.
例： 两个Z上的一一变换 f:ZZ,f(x) = x g:ZZ,g(x) = -x
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16
变换的乘法
定义17.10 设f，g是A上的两个变换, f和g的合成称为f与g的乘积， 记作fg。
如果f和g都是A上的一一变换，则fg也是A上的一一变换。
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n
a md e n | md n | m m n t a m (a d )t H
d
d
H’H, |H’|=|H|=d H’=H
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实例
例 1 (1) <Z12,>, 生成元为与 12 互质的数：1,5,7,11 12 的正因子为 1,2,3,4,6,12， 子群：<0>,<1>, <2>,<3>, <4>, <6>
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（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
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二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
而 1 2 1 2 4 3 4 3 5 5 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 4 3 4 3 5 5 (1)( 2 3) 4 (3)( 4 1)2
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定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元 素的循环置换的复合。
例如， 1 32 63 44 18 52 65 77 8 (5)8 2 ()7 1 6 ()3 (1 4)3 2 ()4 5 6 ()8 7
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例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。
通常还是用
1 2
2 3
3 1
来表示。
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第6讲 循环群和置换群
12 第十二页，编辑于星期三：十六点12分。
证明思路：
(1) 子群H 中最小正方幂元am 为H 的生成元; (2) 若子群H=<am>有限，a≠e, 则 |a| 有限; (3) <an/d>是d 阶子群，再证唯一性.
2021/12/28 2021/12/28
13 13
第十三页，编辑于星期三：十六点 分。
Lagrange定理
Lagrange 定理： |G| = |H| [G:H] 证明： 令G 的不同的陪集为Ha1, Ha2, …, Har, |G| = |Ha1|+|Ha2|+…+|Har|
= |H| r = |H| [G:H]
2021/12/28 2021/12/28
1
第一页，编辑于星期三：十六点 分。
f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}
f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>}
11
2 2
33
1 2
2 1
33
f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>} f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}
1 3
2 2
13
11
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f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>} f6={<1,3>,<3,2>,<2,1>}
x,y∈ G ，必r,s∈Z, s.t. x=ar ,y=as 而且，
x*y=ar*as=ar+s=as+r=as+ar=y*x
大学课程近世代数-阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定理、同态同构学习讲义PPT18页
义
5.5 阿贝尔群和循环群
一. 阿贝尔群 定义 如果群<G，*>中的运算*是可交换的，则称该群为
阿贝尔群，或称交换群。 例 设<S,*>是有限的可交换独异点，且对任意的a,b,c∈S，等式
a*b=a*c 蕴含着 b = c，证明<S,*>是阿贝尔群。 分析 只要证明S中的每个元素都存在逆元，那么<S,*>就是 阿贝尔群。
证明见书Ｐ210
例：见书Ｐ210 例题１
作业P211 (３)(６)
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
a* h1≠a* h2(a∈G) ，所以|aiH|=|H|=m，i=1,2,…,k。
因此 n=|G|=
k aiH
=
k
aiH
=mk
i1
i1
推论1 推论2
任何质数阶的群不可能有非平凡子群。
设<G,*>是n阶有限群，那末对于任意的a∈G，a的 阶必是n的因子且必有an=e，这里e是群<G,*>中的 幺元。如果n为质数，则<G,*>必是循环群。
设任意的b∈S ……存在正整数i，j，使得bi = bj （ i<j） 即： bi * e= bi * bj－i由题意知bj－i就是幺元，则b的逆元 为……
定理3 设<G,*>是一个由元素a∈G生成的有限循环群。如果G
多所高校近世代数题库及部分答案
多所高校近世代数题库及部分答案一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ × ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（× ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。
（√ ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。
（√ ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。
（ × ）6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。
（ √ ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。
（√ ）8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。
（√ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。
（× ）10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。
（ × ）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（② ）①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同；④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ；③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。
密码学基础群 (循环群,生成元)
1829年4月6日, 阿贝尔死于肺结核, 年仅27岁.
1872年, 若尔当(C.Jordan)引入了 阿贝尔群这一术语, 以纪念这位英年 早逝的天才数学家.
a
30
有限环
定义 设R是一个非空集合. 如果在R上定义了两个代数 运算, “+”(称为加法)和“∗” (称为乘法), 并且满足:
(R1) (R, +)构成一个交换群; (R2) 乘法结合律: 即对所有的a, b, c∈R, 有
进一步, 如果F是有限集,则称(F,+, ∗) 是一 个有限域(finite field), 也称为伽罗华域 (Galois field).
a
36
例 有理数域(Q,+, ×); 实数域(R,+, ×); 复数域(C,+, ×).
例4.1.2.2 设p∈Z+是素数, Zp={0,1,…, p-1}, 则(Zp, ⊕, ⊗) 是一个有限域.
单位元记为: e=1.
a
9
例3 设m∈Z+, Zm={0,1,…, m-1}, 则(Zm, ⊗)不是 一个群.元素0无逆元!
0×?=1 找不到这样的元素！ 例4 设m∈Z+是素数, Zm*= {1,2,…,m-1}, 则
(Zm*, ⊗)是一个有限交换群. 单位元: e=1; a∈Zm的逆元a-1: a×a-1=1 (mod m).
a
3
群的概念
例1 设G={1, -1, i, -i}, 则(G, ×) 是一个有限交 换群.
元素a
1
-1
i
-i
逆元a-1 1
-1
14代数系统-循环群12-7
例、设G是群 对于任意的a ∈G 令S={ an |n ∈Z } 证明S是G 的子群 证：按判定定理二来判断 对任意的an,am ∈S an(am)-1 = an(a-1)m =an-m n- m∈ Z 所以 an-m ∈S 如果a的阶是有限的（为r) 则 S={a,a2,a3,…ar} 由a的各次幂构成的子群称为由a生 成的子群，记为<a> 例：<Z,+>中由 <2>所生成的子群
例：有限阶<Z4,+4>是循环群 因为 0=10 1=11 2=12 3=13 0=30 1=33 2=32 3=31 生成元为1或3 设a是生成元 ∀ n∈ Z4 n=ak= ka mod 4 取n=1 有 1=ka mod 4 即 有s 使 4s+ka =1 可得出 a与4互质(a,4)=1 反之 （a，4）=1 互质 则有 4s+ta =1 1= ta mod 4 1=at mod 4 n∈Z ∀ n∈ Z4 n = 1n =(at)n = atn tn∈Z 在Z4中只有1、3与4互质 所以为生成元 Z20 的生成元为1、3、7、9、11、13、 17、19 得出的结论是否有一般的意义？
定理10.11 设G＝<a>为循环群 1）若G是无限阶群，则G只有两 个生成元 a和a-1 2）若G是n阶循环群， 则G含有ψ（n）个生成元。 对于任何小于等于n且与n互素的 正整数r，ar是G的生成元 欧拉数：ψ（n）为 0…n-1中与n互质的数的个数 如n=9 与9互质的数有 ψ（9）={ 1，2，4，5，7，8} 推广：1、<Zn,+n>是循环群 其生成元的集合是： M={a | a ∈Zn 且（a,n)=1互质} 2、素数阶的群 <Zn,+n>中 除幺元以外的所有元素均为 生成元
历年南京大学计算机考研复试离散数学题集
( S1R1S2 S2R1S3 ) ( t1R2t2 t2R2t3 )
S1R1S3 t1R2t2
< S1, t1> R3 < S3, t3> R3 满足传递性。 2. 自反性与传递性同 1。
证明反对称性： < S1, t1> R3 < S2, t2> < S1, t1> < S2, t2>
( S1R1S2 ) ( t1R2t2 ) S1 S2 t1 t2
对于 G 各个连通分量，均有 vi = ei + 1， v = v1 + v2 + … + vn’ = e1 + e2 + … + en + n’ = e + n’。 n m 1， n 1。 G 中只有一个连通分量，即 G 是连通的。
五．1. 证明：
因为 G 的阶为奇数，
故无偶数因子，
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严禁用于商业用途
六．Zm、Zn 分别是 m、n 阶剩余加群。定义代数系统(Zm Zn,*)：对任意 x1,x2∈Zm，y1,y2∈Zn， (x1,y1)*(x2,y2)=(x1+mx2,y1+ny2)。 证明：若 m、n 互质，Zm Zn 是循环群，生成元为(1,1)。 证明：（1）封闭性 （2）可结合性 （3）幺元 （0, 0） （4）逆元 显然，对于任意（a,b）∈Zm×Zn, 有（a‐1, b‐1） 综上所述，对于任意的 m、n，（Zm×Zn, *）都是群。 显然，若 m 与 n 互质， Zm×Zn 是循环群，生成元为(1,1)。
<S1, t1> S t。
< S1, t1> R3< S2, t2> S1R1S2 t1R2t2 S2R1S1 R3 满足对称性。 ③ < S1, t1> R3 < S2, t2> < S2, t2> R3 < S3, t3>
江苏大学近世代数题库
近世代数题库：一、填空题：1、设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A 。
2、群的单位元是 的，每个元素的逆元素是 的。
3、若a,b ∈G;m,n ∈Z,且（ab ）n =a n b n ,则G 为 。
4、如果S=﹛a,b ﹜,且a,b 满足关系232;a b e ba ab ===，列出群,a b 的所有元素 。
5、凯莱定理说：每一个群都同一个 同构。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为 。
7、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。
8、设φ是群G 到G ′的同构映射，且φ可逆，若a 是G 的任一元素，则1a -= 。
9、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 。
10、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 。
11、设交换群G 中a 的阶是3, b 的阶是4,则ab 的阶是 。
12、在循环群G= a 中若a 的阶是一个有限整数n ，那么G 与 同构。
13、若群G= a 是无限循环群，那么G 与 同构。
14、求Z 12的全部生成元 ，全部子群 。
15、每一个有限群都同构于一个 。
16、n 次对称群n S 的阶是 。
17、给出一个5轮换)31425(=π，那么=-1π 。
18、设置换1212n n k k k τ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则对任一n 阶置换σ有1στσ-= 。
19、将下列轮换的乘积表示为不相交轮换的乘积（3654）（3241）（31524）= 。
20、已知σ4=（1437562），则σ= 。
21、整数加法群Z 关于子群nZ 的陪集为 。
22、设ord a=30，则4a 在a 中的所有左陪集是 。
23、在Z 12中，子群H=4中的所有左陪集是 。
24、H 是群G 一个子群,则H 的右、左陪集的个数 。
25、设N 是G 的正规子群，商群N G 中的单位元是 。
循环群与群同构
2. i <0时， 1i是负数； 3. –1同样是生成元，如：5=(-1)-5。 • 有限循环群：
– 剩余加群 (Z6, +6): [1]是生成元素。 – 注意：[5]也是生成元： • [5]0=[0]；[5]1=[5]； [5]2=[4]； • [5]3=[3]； [5]4=[2]； [5]5=[1]；
循环群的子群
无限循环群的生成元必是无限阶的
• 无限循环群只有唯一的有限子群：{e} – 假设G有t阶有限子群H, 且H{e}, 则设H的最小正方幂 元为am, 则amt=e, 矛盾。 • N阶循环群中，对n的每一个整除因子d，n阶循环群G恰好 有一个d阶子群 – 有：以an/d为生成元可构成一个d阶子群，设它为H。 – 恰有一个：如果H1=<am>也是d阶子群，则amd=e, 所以 kn=md, 也就是m=k(n/d), 因此： am=（an/d）kH, 即 H1H, 但H1与H等势，所以 H1=H
循环群与群同构
赵建华 陶先平
内容
• 同构与同态 • 循环群与生成元 • 循环群的子群 • 无限循环群与整数加群同构 • 有限循环群与相应的剩余加群同构
群同构与同构映射
• 群(G1,)与(G2,*)同构 (G1≅G2) 当且仅当：
存在双射(同构映射)f: G1G2, 满足： 对任意x,yG1, f (x y) = f (x) * f (y)
3阶群的唯一性
• 任意两个三阶群同构
1 2 b 3 3 1 aa 2 b cc * a b a b c a b c c a b ?
1 2 3
1 2 1 2 2 3
3 3 1 2
3 1
设a是单位元，cb=a必然成立，否则 •如果cb=b，则c=cbb =a； a -1b c -1=bb c •如果cb=c，则b=c-1cb=c-1c=a 类似地，bc=a必然成立。 由ab=b,cb=a可知bb必然是c。 由ac=c,bc=a可知cc必然是b。
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������������ ∈ ℤ ，故������������ = ������������−1
8
无限循环群的生成元（续）
命题：无限循环群有且只有2个生成元
∵ 设群������������ = ������������ = ������������������������ ������������ ∈ ������������ , ������������ ∈ ℤ ，若������������亦为������������ 的 ������������ = ������������������������ = ������������������������ 生成元，则：(∃������������, ������������ ∈ ℤ)(������������������������ = ������������ ∧ ������������������������ = ������������)，故 ������������是无限阶元 ∴ ������������������������ − 1 = 0 ⇒ ������������ = ������������ = 1 ∨ ������������ = ������������ = −1 ，故有������������ = ������������或者������������ = ������������−1
ℤ, + 是循环群，恰有2个生成元：1和 − 1
5
循环群与生成元（续）
例2：有限循环群 模6剩余加群 ℤ6 ,⊕6 是循环群，恰有2个生成 元：1 和 5 50 = 0，51 = 5，52 = 4，
6
53 = 3，54 = 2，55 = 1.
循环群与生成元（续）
例3：非循环群 Klein四元群(������������ ,∗)不是循环群，因为对任何������������ ∈ ������������， ������������ = ������������, ������������ ：
定义（无限循环群）：若循环群������������ 的生成元������������为无 限阶元，则称������������ 为无限循环群。 ������������ = ������������������������ , ������������±������������ , ������������±������������ , ⋯ ，其中������������0 为单位元。
3
∃������������ ∈ ������������ ������������ = ������������
（generator）
循环群与生成元（续）
定义（有限循环群）：若循环群������������ 的生成元������������的阶 为������������，则称������������ 为有限循环群，即������������阶循环群。 ������������ = ������������������������ , ������������������������ , ������������������������ , ⋯ , ������������������������−������������ ，其中������������0 为单位元。
7
无限循环群的生成元
限循环群的生成元
命题：若������������是无限循环群的生成元，则������������−1 也是该无 设群������������ = ������������ = ������������������������ ������������ ∈ ������������ , ������������ ∈ ℤ ，������������������������ = ������������−1 令������������ = −������������ ，则������������ = (������������−1
循环群与群同构
离散数学－代数结构 南京大学计算机科学与技术系
循环群与群同构
循环群与生成元 循环群的子群 群的同构与同态 无限循环群的同构群 有限循环群的同构群 (循环)群的直积2循环群与生成元
定义（循环群） ������������ ,∗ 为循环群（cyclic group）是指： 这里， ������������ = ������������������������ ������������ ∈ ℤ ，������������称为������������ 之生成元
“⇐”：设gcd ������������, ������������ = 1，则(∃������������, ������������ ∈ ℤ)(������������������������ + ������������������������ = 1)， “⇒”：设������������������������ 是������������ 的生成元，令gcd ������������, ������������ = ������������且������������ = ������������������������， 则 ������������������������ ������������������������ =
������������
= ������������������������������������ ，由消去律，������������������������������������−1 = ������������
∵
9
有限循环群的生成元
命题：设有限群������������ = ������������ ，且 ������������ = ������������，则对任意不大 于������������的正整数������������，������������ = ������������������������ ⇔ ������������������������������������ ������������, ������������ = ������������
4
循环群与生成元（续）
例1：无限循环群 ℤ, +
∵ ������������为ℤ之生成元⇔ ℤ = ������������ ⇔ ∃������������ ∈ ℤ ������������������������ = ∴ 1和 − 1均是其生成元 1 ⇔ ∃������������ ∈ ℤ ������������ ⋅ ������������ = 1 ⇔ ������������ ∈ 1, −1