3第三章 扭转分析

T
Ip
— 横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性、小变形的等圆截面直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
r0
（r0：为平均半径）
一、实验：
1.实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
10
φ
1.实验前： ①绘纵向线，圆周线；
②施加一对外力偶 m。
2.实验后： ①圆周线不变；
②纵向线变成斜直线。
3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴 线作了相对转动，纵向截面上无正应力；轴线长度不变，横截面无正应力。
石油钻机中的钻杆等。 扭转：杆件两端作用两个大小相等、方向相反作用面与直杆
的轴线垂直的力偶，使杆的任意两个横截面发生绕轴线的相
对转动的变形称为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
剪应变（）：直角的改变量。
3
工 程 实 例
4
§3–2 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
1
第三章 扭 转
§3–1 概述 §3–2 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图 §3–3 纯剪切 §3–4 等直圆杆在扭转时的应力 ·强度分析 §3–5 等直圆杆在扭转时的变形 ·刚度条件 §3–6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3–7 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
2
§3–1 概 述
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、
1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。
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二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
1. 变形几何关系：
tg
G1G dx
d
dx
d
dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
d —— 扭转角沿长度方向变化率。
dx
18
2. 物理关系：
虎克定律：
G
变形几何关系：
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪 切应力状态。
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四、剪切虎克定律：
T=m
T
( 2 A0t)
( R )
L
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)，剪应力与 剪应变成正比关系。
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为材料的切变模量， 无量纲，故G的
目 ①扭矩变化规律；
的 ②|T|max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
T
6.37
– –
4.78
x
9.56
7
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，
从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩
图。
m2
m3
m1
m4
解：①计算外力偶矩
量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。
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剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三 个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系 （推导详见后面章节例题7.10）：
G
E 2(1
)
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量 就可以推算出来。
T2 m2 m3 0 ,
A1
T2 m2 m3 9.56kN m
m3 2 m1 B2C
3 m4
n 3D
T3 m4 0 , T3 m4 6.37kN m
③绘制扭矩图
T
– 4.78
6.37
x
–
T 9.56 kN m max
9.56
9
§3–3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
´ b
L
´
A dA r0 T
c
d
r0 AdA r0 2 r0 t T
dx
T
2 r02
t
12
三、切应力互等定理：
mz 0
t dxdy t dxdy 故
上式称为切应力互等定理。
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对 出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向 或共同背离该交线。
d
dx
G
G
d
dx
G
d
dx
G
d
dx
19
3. 静力学关系：
dA
T A dA
A
G
2
d
dx
dA
O
G
d
dx
A
2dA
令 I p A 2dA （Ip为极惯性矩，与横截面的几何尺寸有关）
T
GI p
d
dx
d
dx
T GI p
代入物理关系式
G
d
dx
得：
T
Ip
横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
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15
五、 应变能与应变能能密度
y
单元体微功：
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d dz
dW
1 2
(dzdy)(dx
)
12 dV
x 应变比能：
u dU dW 1
dV dV 2
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§3–4 等直圆杆在扭转时的应力 ·强度条件
①变形几何方面
等直圆杆横截面应力
②物理关系方面
一、等直圆杆扭转实验观察：
③静力学方面
m1
9.55

P1 n
9.55
500 300
A
15.9(kN m)
n
B
C
D
m2
m3
9.55
P2 n
9.55
150 300
4.78 (kN m)
m4
9.55
P4 n
9.55
200 300
6.37
(kN m)
8
②求扭矩（扭矩按正方向设）
mC 0 , T1 m2 0
m2 1
T1 m2 4.78kN m
一、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m 7.024 P (kN m) 其中：P — 功率，马力（PS,公制）
n
n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP,英制） n — 转速，转/分（rpm）
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 ，即 切应变。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
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φφ
4二. 、（薄圆壁筒两圆端筒的剪相应对力扭转 大角）小与： 的关系：
微小矩形单元体如图所示：
①横截面上无正应力 L R
②横截面上各点处，只产生垂直于半径的
均匀分布的剪应力 ，沿周R向大小不变
a
dy
1PS=0.735kW , 1HP=0.746kW , 1kW=1.36PS
5
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
mx 0 T m0
m
m
T m
3 扭矩的符号规定：
x
m
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
6
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。