第4讲 基本初等函数
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普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]
高三新数学第一轮复习教案(讲座4)—基本初等函数
一.课标要求
1.指数函数
(1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的14C 的衰减,药物在人体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景;
(2)理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。 (3)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点;
(4)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型。 2.对数函数
(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用;
(2)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点; 3.知道指数函数x a y =与对数函数x y a
log
=互为反函数(a >0,a ≠1)。
二.命题走向
指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数,在历年的高考题中都占据着
重要的地位。从近几年的高考形势来看,对指数函数、对数函数、幂函数的考查,大多以基本函数的性质为依托,结合运算推理,能运用它们的性质解决具体问题。为此,我们要熟练掌握指数、对数运算法则,明确算理,能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。
预测2007年对本节的考察是:
1.题型有两个选择题和一个解答题; 2.题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题,则难度会加大。
三.要点精讲
1.指数与对数运算
(1)根式的概念:
①定义:若一个数的n 次方等于),1(*
∈>N n n a 且,则这个数称a 的n 次方根。即若a x n =,则x 称a 的n 次方根)1*
∈>N n n 且,
1)当n 为奇数时,n a 的次方根记作n
a ;
2)当n 为偶数时,负数a 没有n 次方根,而正数a 有两个n 次方根且互为相反数,
记作)0(>±
a a n
。
②性质:1)a a n n =)(;2)当n 为奇数时,a a n n =; 3)当n 为偶数时,⎩⎨⎧<-≥==)
0()0(||a a a a a a n 。
(2).幂的有关概念
①规定:1)∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *;2))0(10≠=a a ; n 个 3)∈=
-p a
a
p
p
(1Q ,4)m a a a
n
m
n
m
,0(>=
、∈n N *
且)1>n 。
②性质:1)r a a a a s r s r ,0(>=⋅+、∈s Q ); 2)r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ); 3)∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q )。 (注)上述性质对r 、∈s R 均适用。 (3).对数的概念
①定义:如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ,就是N a b =,那么数b 称以a 为底N 的对数,记作,log
b N a
=其中a 称对数的底,N 称真数。
1)以10为底的对数称常用对数,N 10
log
记作N lg ;
2)以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数,N e
log ,记作N ln ;
②基本性质:
1)真数N 为正数(负数和零无对数);2)01log =a ; 3)1log
=a a
;4)对数恒等式:N a
N
a
=log
。
③运算性质:如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1)N M MN a
a a log
log
)(log +=;
2)N M N M
a
a
a
log
log
log -=;
3)∈=n M n M
a
n
a
(log
log
R )。 ④换底公式:),0,1,0,0,0(log
log log
>≠>≠>=
N m m a a a
N N m
m a
1)1log
log
=⋅a b b
a
;2)b m
n b
a
n
a
m
log
log
=。
2.指数函数与对数函数 (1)指数函数:
①定义:函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1)函数的定义域为R ;2)函数的值域为),0(+∞; 3)当10<a 时函数为增函数。
②函数图像:
1)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二象限;
2)指数函数都以x 轴为渐近线(当10<a 时,图象向右无限接近x 轴);
3)对于相同的)1,0(≠>a a a 且,函数x
x
a y a y -==与的图象关于y 轴对称。
③函数值的变化特征: