1.4无穷小与无穷大
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同济大学高等数学第七版1.4--无穷小与无穷大
问：如何定义 lim f (x) ? x 以上定义如何修改？
lim f (x)
x
M 0，X 0，x : x X f (x) M
见教材37页, 题 5
填空：
当 x
2
时，tan x 是无穷大 lim tan x
x
2
1
当 x 0
时，
x
是正无穷大
1 lim x x0
1 lim x x0
无穷小一般用希腊字母 α, β, γ 等表示
无穷小的 ε-δ 定义
(x) 是 x x0 时的无穷小 lim (x) 0
xx0
0, 0
x : 0 x x0 (x)
无穷小的例子
下列函数何时为无穷小？
(x 1)2 (x 1)
lim(x 1)2 0
x1
1 (x ) x
谢谢观看！ 2020
M
M 0 1 使得，当
M
0 x 0 时，就有 1 M
x
称 1/x 为 x 0 时的无穷大，记作：lim 1 x0 x
所以 lim f (x) 的刻划需要两个正数： x x0
M 用来表示函数值 f(x) 的绝对值可以任意大:
|f(x) | > M 。
δ 用来表示当自变量 x 与 x0 的距离充分接近时
x 1
x 1
只要 x 1 2
M 1
证 M 0 2 使得，当
M 1
0 x 1 时，就有
所以 lim x 1 x1 x 1
x 1 M
x 1
x 1 lim x1 x 1
x 1 铅直渐近线
水平渐近线 y 1
y x 1 x 1
若 lim f (x) x x0 则 x = x0 为 y = f(x) 的铅直渐近线 x x0 y f (x)
lim f (x)
x
M 0，X 0，x : x X f (x) M
见教材37页, 题 5
填空：
当 x
2
时，tan x 是无穷大 lim tan x
x
2
1
当 x 0
时，
x
是正无穷大
1 lim x x0
1 lim x x0
无穷小一般用希腊字母 α, β, γ 等表示
无穷小的 ε-δ 定义
(x) 是 x x0 时的无穷小 lim (x) 0
xx0
0, 0
x : 0 x x0 (x)
无穷小的例子
下列函数何时为无穷小？
(x 1)2 (x 1)
lim(x 1)2 0
x1
1 (x ) x
谢谢观看！ 2020
M
M 0 1 使得，当
M
0 x 0 时，就有 1 M
x
称 1/x 为 x 0 时的无穷大，记作：lim 1 x0 x
所以 lim f (x) 的刻划需要两个正数： x x0
M 用来表示函数值 f(x) 的绝对值可以任意大:
|f(x) | > M 。
δ 用来表示当自变量 x 与 x0 的距离充分接近时
x 1
x 1
只要 x 1 2
M 1
证 M 0 2 使得，当
M 1
0 x 1 时，就有
所以 lim x 1 x1 x 1
x 1 M
x 1
x 1 lim x1 x 1
x 1 铅直渐近线
水平渐近线 y 1
y x 1 x 1
若 lim f (x) x x0 则 x = x0 为 y = f(x) 的铅直渐近线 x x0 y f (x)
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.4 无穷小与无穷大
是无穷小.
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1
→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1
⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是
→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′
′
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1
→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1
⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是
→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′
′
高数上第一章§1.4无穷小量与无穷大量
x→+∞
它们都是无穷大量， lim f ( x )= +∞ ， lim g ( x )= −∞ ，它们都是无穷大量 ，
x→+∞
1 是无穷小量。 但 lim [ f ( x )+ g ( x )]= lim = 0 是无穷小量。 x→+∞ x→+∞ 2 x
3.无穷小量与无穷大量的关系
1 性质 6 若 lim X = ∞ ，则 lim = 0 ； X 1 反之， 反之，若 lim X = 0 ( X ≠ 0) ，则 lim = ∞ 。 X
两个无穷小的和或积仍然是无穷小， 两个无穷小的和或积仍然是无穷小，但是两个无穷小 的商却有多种可能性。 的商却有多种可能性。
例如， 都是无穷小， 例如，当 x → 0 时， x , 3 x , x 2 , sinx , 1− cosx 都是无穷小，
3x sin x 1− cos x 1 x2 而 lim =1 ， lim = 0 ， lim 2 = ∞ ， lim = 。 2 2 x→0 3 x x→0 x x→0 x x→0 x
性质 4 若 X ≤Y ， lim X = +∞ ，则 limY = +∞ ；
性质 5 若 lim X = +∞ ，则 lim( − X )= −∞ 。
两个无穷大量的和是否是无穷大量？ 问 ： 两个无穷大量的和是否是无穷大量 ？
不一定。 答：不一定。 不一定
1 例如： ， g ( x ) = −2 x ， 例如 f ( x )= 2 x + 2x
（2）正无穷大量的定义 正无穷大量的定义
∀G > 0, ∃δ > 0, ∋ 0 < x − xo < δ, 恒有 f ( x ) > G ⇔ lim f ( x ) = +∞ .
它们都是无穷大量， lim f ( x )= +∞ ， lim g ( x )= −∞ ，它们都是无穷大量 ，
x→+∞
1 是无穷小量。 但 lim [ f ( x )+ g ( x )]= lim = 0 是无穷小量。 x→+∞ x→+∞ 2 x
3.无穷小量与无穷大量的关系
1 性质 6 若 lim X = ∞ ，则 lim = 0 ； X 1 反之， 反之，若 lim X = 0 ( X ≠ 0) ，则 lim = ∞ 。 X
两个无穷小的和或积仍然是无穷小， 两个无穷小的和或积仍然是无穷小，但是两个无穷小 的商却有多种可能性。 的商却有多种可能性。
例如， 都是无穷小， 例如，当 x → 0 时， x , 3 x , x 2 , sinx , 1− cosx 都是无穷小，
3x sin x 1− cos x 1 x2 而 lim =1 ， lim = 0 ， lim 2 = ∞ ， lim = 。 2 2 x→0 3 x x→0 x x→0 x x→0 x
性质 4 若 X ≤Y ， lim X = +∞ ，则 limY = +∞ ；
性质 5 若 lim X = +∞ ，则 lim( − X )= −∞ 。
两个无穷大量的和是否是无穷大量？ 问 ： 两个无穷大量的和是否是无穷大量 ？
不一定。 答：不一定。 不一定
1 例如： ， g ( x ) = −2 x ， 例如 f ( x )= 2 x + 2x
（2）正无穷大量的定义 正无穷大量的定义
∀G > 0, ∃δ > 0, ∋ 0 < x − xo < δ, 恒有 f ( x ) > G ⇔ lim f ( x ) = +∞ .
1-4 无穷小与无穷大
5
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铃
二、 无穷大
无穷大的定义 如果当x→a 时, |f(x)|无限增大, 那么称函数f(x) 为当 x→a时的无穷大, 记为
lim f ( x) = ∞. [形式记法,实际上极限不存在]
x →a
无穷大的精确定义
x→x0
lim f (x)=∞ ⇔∀M>0, ∃δ >0, 当0<|x−x0|<δ 时,有|f(x)|>M.
1 所以当 x →0 时,函数 y = ln x ⋅ sin 不是无穷大. x
+
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作 业
习题1−4 (P41): 3. 6. 7.
18
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的铅直渐近线.
1 x −1
x→x0
y=
1
铅直渐近线
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铅直渐近线
如果 lim f (x)=∞ , 则称直线x= x0 是函数 y=f(x)的图形
的铅直渐近线. 水平渐近线 水平渐近线. 如果 lim f (x) =A, 则直线 y =A 称为函数 y =f(x)的图形的 →∞
x
x→x0
水平渐近线
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x 的渐近线. 例3 求曲线 y = x +1 x 1 解 因为 lim y = lim = lim(1 − ) = 1, x →∞ x →∞ x + 1 x →∞ x +1
x 所以曲线 y = 的水平渐近线为 y =1. x +1 1 x +1 因为 lim = lim = 0, lim y = ∞, x →−1 x →−1 y x →−1 x
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二、 无穷大
无穷大的定义 如果当x→a 时, |f(x)|无限增大, 那么称函数f(x) 为当 x→a时的无穷大, 记为
lim f ( x) = ∞. [形式记法,实际上极限不存在]
x →a
无穷大的精确定义
x→x0
lim f (x)=∞ ⇔∀M>0, ∃δ >0, 当0<|x−x0|<δ 时,有|f(x)|>M.
1 所以当 x →0 时,函数 y = ln x ⋅ sin 不是无穷大. x
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作 业
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的铅直渐近线.
1 x −1
x→x0
y=
1
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铅直渐近线
如果 lim f (x)=∞ , 则称直线x= x0 是函数 y=f(x)的图形
的铅直渐近线. 水平渐近线 水平渐近线. 如果 lim f (x) =A, 则直线 y =A 称为函数 y =f(x)的图形的 →∞
x
x→x0
水平渐近线
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x 的渐近线. 例3 求曲线 y = x +1 x 1 解 因为 lim y = lim = lim(1 − ) = 1, x →∞ x →∞ x + 1 x →∞ x +1
x 所以曲线 y = 的水平渐近线为 y =1. x +1 1 x +1 因为 lim = lim = 0, lim y = ∞, x →−1 x →−1 y x →−1 x
高等数学1.4无穷大与无穷小的关系
f ( x) A ( x)
x x 0 时的无穷小.
x x 0 时的无穷小. 0, 0, 当 0 x x0 时，
lim f ( x ) A ( x) , 即 f ( x) A , x x
0
因为 ( x ) 是当
二、无穷大 定义: 绝对值无限增大的函数称为 无穷大. 1 1 称 为 x 0 时的无穷大 如 x 0时， ， x x 如 lim f ( x ) ; lim f ( x )
（2） 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
要证： M > 0， >0，当 0 <|x – x0| < ， 1 1 M. 恒有 f ( x ) , f ( x ) 0, f ( x) M 当x
1 x0 时，f ( x ) 为无穷大
M
x0
f (x)
M邻域， x0 的空心邻域 ， 0
该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 –M 色区域内.
x0
x0
x
2 无穷大
x x0
lim f ( x )
y
>0， M > 0， 当 0 <|x – x0| < ， 恒有 | f (x) | >M.
( X 0) ( x X) 定义2 M 0, 0,当 0 x x0 时，有
x x0
x
f ( x) M
则称f ( x )是 x x 0 时的无穷大, 记为 ( x )
x x0
f ( x ) ). lim f ( x ) . ( lim x
x x 0 时的无穷小.
x x 0 时的无穷小. 0, 0, 当 0 x x0 时，
lim f ( x ) A ( x) , 即 f ( x) A , x x
0
因为 ( x ) 是当
二、无穷大 定义: 绝对值无限增大的函数称为 无穷大. 1 1 称 为 x 0 时的无穷大 如 x 0时， ， x x 如 lim f ( x ) ; lim f ( x )
（2） 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
要证： M > 0， >0，当 0 <|x – x0| < ， 1 1 M. 恒有 f ( x ) , f ( x ) 0, f ( x) M 当x
1 x0 时，f ( x ) 为无穷大
M
x0
f (x)
M邻域， x0 的空心邻域 ， 0
该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 –M 色区域内.
x0
x0
x
2 无穷大
x x0
lim f ( x )
y
>0， M > 0， 当 0 <|x – x0| < ， 恒有 | f (x) | >M.
( X 0) ( x X) 定义2 M 0, 0,当 0 x x0 时，有
x x0
x
f ( x) M
则称f ( x )是 x x 0 时的无穷大, 记为 ( x )
x x0
f ( x ) ). lim f ( x ) . ( lim x
1[1].4.无穷小与无穷大
![1[1].4.无穷小与无穷大](https://img.taocdn.com/s3/m/4cc6dcdb50e2524de5187edc.png)
解
1 2 + 3 2 x +2 x x = 0 = 0. lim 3 2 = lim x→∞ 2x + x +1 x→∞ 1 1 2 2+ + 3 x x
m−1
对于一般的有理函数
a0 x + a1 x + ⋯+ am f (x) = b0 xn + b1 xn−1 + ⋯+ bn
m
（m, n 为正整数）,有 为正整数） 有
定理3 有界变量与无穷小的乘积是无穷小。 定理 有界变量与无穷小的乘积是无穷小。 内有界， 证 设函数u在 U (x0 ,δ1 )内有界，则 ∃M > 0, 恒有 u < M. 使得当0 < x − x0 < δ 1时，
0
又设α是当x → x 0时的无穷小, ∴ ∀ε > 0, ∃δ 2 > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ 2时
故
1 lim = ∞. x →1 x − 1
证明:函数 内无界, 例3 证明 函数 y = x cos x 在(−∞,+∞) 内无界 但当 x
→ +∞
时,该函数不是无穷大.。 该函数不是无穷大
证 ∀M > 0, 在 (−∞,+∞) 内，总 ∃x0 , 使 y ( x0 ) > M 例如,取 x0 = 2kπ , y (2kπ ) = (2kπ ) cos 2kπ = 2kπ 例如 取 (k = 0,1,2,⋯), 只要 k > M 时，就有 y ( x0 ) > M 2k 无界. 故在 (−∞,+∞)内 y = x cos x无界
lim 推论2 存在, lim 推论 设 x→ x f ( x) g ( x) = A存在 若 x→ x f ( x) = ∞.
1 2 + 3 2 x +2 x x = 0 = 0. lim 3 2 = lim x→∞ 2x + x +1 x→∞ 1 1 2 2+ + 3 x x
m−1
对于一般的有理函数
a0 x + a1 x + ⋯+ am f (x) = b0 xn + b1 xn−1 + ⋯+ bn
m
（m, n 为正整数）,有 为正整数） 有
定理3 有界变量与无穷小的乘积是无穷小。 定理 有界变量与无穷小的乘积是无穷小。 内有界， 证 设函数u在 U (x0 ,δ1 )内有界，则 ∃M > 0, 恒有 u < M. 使得当0 < x − x0 < δ 1时，
0
又设α是当x → x 0时的无穷小, ∴ ∀ε > 0, ∃δ 2 > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ 2时
故
1 lim = ∞. x →1 x − 1
证明:函数 内无界, 例3 证明 函数 y = x cos x 在(−∞,+∞) 内无界 但当 x
→ +∞
时,该函数不是无穷大.。 该函数不是无穷大
证 ∀M > 0, 在 (−∞,+∞) 内，总 ∃x0 , 使 y ( x0 ) > M 例如,取 x0 = 2kπ , y (2kπ ) = (2kπ ) cos 2kπ = 2kπ 例如 取 (k = 0,1,2,⋯), 只要 k > M 时，就有 y ( x0 ) > M 2k 无界. 故在 (−∞,+∞)内 y = x cos x无界
lim 推论2 存在, lim 推论 设 x→ x f ( x) g ( x) = A存在 若 x→ x f ( x) = ∞.
高等数学1-4-无穷小与无穷大
说明: 除 0 以外任何很小的常数函数都不是无穷小 !
因为 C 当
显然 C 只能是 0 换句话说，0 是无穷小量。 C 时,
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
lim f ( x) A
f ( x ) A , 其中 为
x x0 时的无穷小量 .
证: lim f ( x) A
1.4 无穷小与无穷大
一、无穷小量 定义1 . 若 则称函数 例如 : 函数 函数 为当 函数
(或x ) 时 , 函数
为当
(或x ) 时的无穷小 .
（以零为极限的变量。） 为当 时为无穷小;
时为无穷小;
为当 时为无穷小.
定义1. 若 则称函数 为
(或
x ) 时 , 函数
(或
x ) 时的无穷小 .
当
但
所以
3. 若
时,
不是无穷大 !
则直线
x x0
为曲线
的铅直渐近线 .
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 若 若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) (自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
无穷小的性质
定理1
定理2
有限个无穷小量的代数和仍是无穷 小量。
有界变量与无穷小量的乘积仍是无
穷小量。 推论1 常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
推论2 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。
定理3 极限不为零的函数除无穷小量，所得的
商是无穷小量。
x x0
14无穷小与无穷大
以上定义如何修改？
lim f (x)
x
M 0 ， X 0 ， x :x X f() x M
见 p.41, 题 5
定理 2 （无穷大与无穷小的关系） 无穷大与无穷小有倒数关系。
1 0 l i m f( x ) lim f ( x)
1 limf (x )0 lim f ( x) f ( x) 0
x x 0
0
不存在。但为了方便，我们说函数的极限是 无穷大。 注意： (1) 任何常数（无论其绝对值多么大）都不是无 穷大。 (2) 无穷大必须与自变量的变化过程联系起来， 不能孤立地说一个变量是无穷大。
x 1 例2 证明： lim x 1 x 1
分析 M 0 要 x 1 M
1.4 无穷小与无穷大
Infinitesimal and Infinity
一、无穷小 (Infinitesimal)
l i m f(x )A
f( x ) A ( 0 )
limf (x )A0 l i m [ f( x ) A ] 0 lim (x )0 ( x ) f( x ) A
无穷小的例子 下列函数何时为无穷小？
( x 1) ( x 1)
2
l im (x 1 ) 0
2 x 1
1 x
e
x
(x )
(x )
1 lim 0 x x
x
lim e 0
x
ye
x
下列函数何时为无穷小？
2
1 x
(x 0 )
1 x 0 x
|f(x) | > M 。
δ 用来表示当自变量 x 与 x0 的距离充分接近时
lim f (x)
x
M 0 ， X 0 ， x :x X f() x M
见 p.41, 题 5
定理 2 （无穷大与无穷小的关系） 无穷大与无穷小有倒数关系。
1 0 l i m f( x ) lim f ( x)
1 limf (x )0 lim f ( x) f ( x) 0
x x 0
0
不存在。但为了方便，我们说函数的极限是 无穷大。 注意： (1) 任何常数（无论其绝对值多么大）都不是无 穷大。 (2) 无穷大必须与自变量的变化过程联系起来， 不能孤立地说一个变量是无穷大。
x 1 例2 证明： lim x 1 x 1
分析 M 0 要 x 1 M
1.4 无穷小与无穷大
Infinitesimal and Infinity
一、无穷小 (Infinitesimal)
l i m f(x )A
f( x ) A ( 0 )
limf (x )A0 l i m [ f( x ) A ] 0 lim (x )0 ( x ) f( x ) A
无穷小的例子 下列函数何时为无穷小？
( x 1) ( x 1)
2
l im (x 1 ) 0
2 x 1
1 x
e
x
(x )
(x )
1 lim 0 x x
x
lim e 0
x
ye
x
下列函数何时为无穷小？
2
1 x
(x 0 )
1 x 0 x
|f(x) | > M 。
δ 用来表示当自变量 x 与 x0 的距离充分接近时
1.4无穷小与无穷大
0
( x )
0
无穷大的概念 定义2 如果在 x x0 (或 x )时, 函数 f ( x ) 的绝对值无限增大, 则称函数 f ( x ) 为当 x x0 (或 x )时的无穷大.
注意 1. 无穷大是变量, 不能与很大的数混淆;
lim 2. 切勿将 x x f ( x ) 认为极限存在;
1 4、 . f ( x)
无穷小的概念
注意: (1)无穷小是变量, 不能与很小的数混淆. (2) 零是可以作为无穷小的唯一常数. (3) 无穷小是相对于 x 的某个变化过程而言的, 例
1 1 如, 当 x 时, x 是无穷小; 当 x 2 时, x 就
不是无穷小.
无穷小的运算性质 性质1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如, x 时, 1 是无穷小, 但 n 个 1 之和为1, n n 不是无穷小. 性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量. 反之不然.
1 1 例如, 当x 0时, y sin x x 是一个无界变量, 但不是无穷大.
y
1 1 sin x x
无穷大举例
1 无限增大, 故 1 是当 x 0 (1) 当 x 0 时, x x 1 . lim 时的无穷大, 即 x 0 x (2) 当 x 0 时, ln x 取负值无限减小, 故 ln x
于无穷小的讨论.
例 2 求 lim
x 1
x 1
4x 1 . 2 x 2x 3
证 因 lim( x 2 2 x 3) 0, 又 lim(4 x 1) 3 0, 故 x 1
x 2 2 x 3 0 0, lim x 1 4x 1 3
( x )
0
无穷大的概念 定义2 如果在 x x0 (或 x )时, 函数 f ( x ) 的绝对值无限增大, 则称函数 f ( x ) 为当 x x0 (或 x )时的无穷大.
注意 1. 无穷大是变量, 不能与很大的数混淆;
lim 2. 切勿将 x x f ( x ) 认为极限存在;
1 4、 . f ( x)
无穷小的概念
注意: (1)无穷小是变量, 不能与很小的数混淆. (2) 零是可以作为无穷小的唯一常数. (3) 无穷小是相对于 x 的某个变化过程而言的, 例
1 1 如, 当 x 时, x 是无穷小; 当 x 2 时, x 就
不是无穷小.
无穷小的运算性质 性质1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如, x 时, 1 是无穷小, 但 n 个 1 之和为1, n n 不是无穷小. 性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量. 反之不然.
1 1 例如, 当x 0时, y sin x x 是一个无界变量, 但不是无穷大.
y
1 1 sin x x
无穷大举例
1 无限增大, 故 1 是当 x 0 (1) 当 x 0 时, x x 1 . lim 时的无穷大, 即 x 0 x (2) 当 x 0 时, ln x 取负值无限减小, 故 ln x
于无穷小的讨论.
例 2 求 lim
x 1
x 1
4x 1 . 2 x 2x 3
证 因 lim( x 2 2 x 3) 0, 又 lim(4 x 1) 3 0, 故 x 1
x 2 2 x 3 0 0, lim x 1 4x 1 3
§1.4和1.5极限运算法则
多项式与分式函数代入法
1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 + L + a n , 则有 结论: 结论:
x → x0
lim f ( x ) = a 0 ( lim x ) n + a1 ( lim x ) n −1 + L + a n
+ a1 x 0 + L + a n = f ( x 0 ). P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x ) lim P ( x ) P ( x ) x → x0 0 = f ( x 0 ). lim f ( x ) = = x → x0 lim Q( x ) Q( x 0 )
sin x lim x→ ∞ x
1 limxcos x→ 0 x
1 limx ar ctan x→ 0 x
2
§1.5 极限运算法则
一、无穷小的运算性质: 无穷小的运算性质 定理1: 在自变量的同一变化过程中, 定理1: 在自变量的同一变化过程中, 有限个无穷 小的代数和仍是无穷小. 小的代数和仍是无穷小. 注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 1 1 但 是无穷小， 例如, n → ∞ 时, 是无穷小， n 个 之和的极限为 1 . n n 定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小
1.4无穷小与无穷大
极限定义总结
例如： f ( x ) lim
x
M 0, X 0,当x X时，恒有| f ( x) | M .
精确定义的模式：
任给 ( )
，存在 ()
，当
，恒有
| f ( x ) A | , 0 , 0 , 0 | x x0 | , | f ( x ) | M , f ( x ) M , M 0 X 0. | x | X , x X , x X . f ( x ) M
_
因变量（函数值）的变化趋势有4种，
f ( x) A, f ( x) , f ( x) , f ( x) .
所以极限定义共24种。
精确定义的模式： 任给 ( ) ，存在 () ，当 ，恒有
0 , 0 , 0 | x x0 | ,
| f ( x ) A | , M 0 X 0. | x | X , x X , x X . | f ( x ) | M , f ( x ) M , f ( x ) M
来说，极限是不存在的．但为了便于叙述函数的这一性态，我
们也说“函数的极限是无穷大”．
正无穷大与负无穷大:
x x0 ( x )
lim f (x) ， lim f (x) ．
x x0 ( x )
同学们自己写出 精确定义
例2
1 lim ． （证明） x 1 x 1
思考题
1。无限个无穷小的和是否是无穷小？ 2。无穷大+无穷大=无穷大？ 3。无界变量是否是无穷大？
1 1 1 1 1.非，n 时， ... n 1. n n n n
1-4无穷小 无穷大
(1)n (1) 是当n 时的无穷小. 3. lim 0. n n n
n
注：
1.无穷小是变量，不能与很小的数混淆；
2. 0是可以作为无穷小的唯一常数.
无穷小与函数极限的关系:
Th1: lim f ( x) A
x x0
f ( x) A , 其中 是当x x0时的无穷小.
推论1 ：同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小；
推论2：常数与无穷小的乘积是无穷小；
推论3：有限个无穷小的乘积也是无穷小.
求下列极限： 1 1： x sin ； lim x 0 x 1 2.lim x arctan ； x 0 x tan x 3.lim . 1 x 0 2 ex
无穷小与无穷大的关系：
Th : 在同一过程中， 1 若f ( x)为无穷大，则 为无穷小； f ( x) 1 若f ( x)为无穷小，且f ( x) 0, 则 为无穷大. f ( x)
注：对无穷大的讨论可归结为对无穷小的讨论.
作业：
第41页：2.(2)； 6(选做) 第49页：3.
§1.4 无穷小、无穷大
无穷小
无穷大 无穷小与无穷大的关系
1.4.1 无穷小 无穷小的概念 无穷小与函数极限的关系 无穷小的运算性质
无穷小
def : 极限为零的变量称为无穷小.
例： 1.lim sin x 0. x0
函数 sin x是当x 0时的无穷小.
1 2. lim 0. 1 是当x 时的无穷小. x x x
x x0 x x0
注：
(1)无穷大是变量，不能与很大的数混淆；
(2)切勿将 lim f ( x) 视为极限存在；
x x0
n
注：
1.无穷小是变量，不能与很小的数混淆；
2. 0是可以作为无穷小的唯一常数.
无穷小与函数极限的关系:
Th1: lim f ( x) A
x x0
f ( x) A , 其中 是当x x0时的无穷小.
推论1 ：同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小；
推论2：常数与无穷小的乘积是无穷小；
推论3：有限个无穷小的乘积也是无穷小.
求下列极限： 1 1： x sin ； lim x 0 x 1 2.lim x arctan ； x 0 x tan x 3.lim . 1 x 0 2 ex
无穷小与无穷大的关系：
Th : 在同一过程中， 1 若f ( x)为无穷大，则 为无穷小； f ( x) 1 若f ( x)为无穷小，且f ( x) 0, 则 为无穷大. f ( x)
注：对无穷大的讨论可归结为对无穷小的讨论.
作业：
第41页：2.(2)； 6(选做) 第49页：3.
§1.4 无穷小、无穷大
无穷小
无穷大 无穷小与无穷大的关系
1.4.1 无穷小 无穷小的概念 无穷小与函数极限的关系 无穷小的运算性质
无穷小
def : 极限为零的变量称为无穷小.
例： 1.lim sin x 0. x0
函数 sin x是当x 0时的无穷小.
1 2. lim 0. 1 是当x 时的无穷小. x x x
x x0 x x0
注：
(1)无穷大是变量，不能与很大的数混淆；
(2)切勿将 lim f ( x) 视为极限存在；
x x0
高数§1.4 无穷小与无穷大
x x0
lim f ( x ) . ( lim f ( x ) ).
x
•讨论
1. 很大很大的数是否是无穷大? 2. 无穷大的精确定义如何叙述？
否
•提示 lim f ( x) M0 d 0 当0|xx0|d 时有|f(x)|M
lim f ( x ) M0 X0 当|x|>X 时有|f(x)|>M
f ( x) A
对自变量的其它变化过程类似可证 .
x x0
lim 0
6
下页
二、 无穷大 无穷大的定义
如果当xx0(或x)时 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大 那么称函数f(x)为xx0(或x)时的无穷大。 记为：
x x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
lim f ( x ) . ( lim f ( x ) ).
15
设 及 是当xx0时的两个无穷小 d10 d20
取d min{d1 d2}
下页
三、无穷小的性质(P42)
•定理1 有限个无穷小的和也是无穷小
例如 当x0时 x与sin x都是无穷小 所以xsin x也是当x0时的无穷小
16
下页
三、无穷小的性质(P42)
•定理1 有限个无穷小的和也是无穷小
•定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证明 设函数 f 在x0的某一去心邻域{x|0|xx0|d1}内有界 即 M0 使当0|xx0|d1时 有|f |M 又设是当xx0时的无穷小 即0 存在d20 使当0|xx0|d2时 有|| 取dmin{d1 d2} 则当0|xx0|d 时 有 |f ||f |||M 这说明f 也是当xx0时的无穷小
1 ( 2) lim f ( x ) 0, 且f ( x ) 0 lim . x x0 x x0 f ( x) ( x ) ( x )
lim f ( x ) . ( lim f ( x ) ).
x
•讨论
1. 很大很大的数是否是无穷大? 2. 无穷大的精确定义如何叙述？
否
•提示 lim f ( x) M0 d 0 当0|xx0|d 时有|f(x)|M
lim f ( x ) M0 X0 当|x|>X 时有|f(x)|>M
f ( x) A
对自变量的其它变化过程类似可证 .
x x0
lim 0
6
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二、 无穷大 无穷大的定义
如果当xx0(或x)时 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大 那么称函数f(x)为xx0(或x)时的无穷大。 记为：
x x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
lim f ( x ) . ( lim f ( x ) ).
15
设 及 是当xx0时的两个无穷小 d10 d20
取d min{d1 d2}
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三、无穷小的性质(P42)
•定理1 有限个无穷小的和也是无穷小
例如 当x0时 x与sin x都是无穷小 所以xsin x也是当x0时的无穷小
16
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三、无穷小的性质(P42)
•定理1 有限个无穷小的和也是无穷小
•定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证明 设函数 f 在x0的某一去心邻域{x|0|xx0|d1}内有界 即 M0 使当0|xx0|d1时 有|f |M 又设是当xx0时的无穷小 即0 存在d20 使当0|xx0|d2时 有|| 取dmin{d1 d2} 则当0|xx0|d 时 有 |f ||f |||M 这说明f 也是当xx0时的无穷小
1 ( 2) lim f ( x ) 0, 且f ( x ) 0 lim . x x0 x x0 f ( x) ( x ) ( x )
1.4无穷小、无穷大、极限运算法则
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三、无穷小的比较
引例 . x →0时, 1 Y=x Y=x2 1 1 2 0.1 0.01
x, x2 都是无穷小, 但
3 0.01 4 0.001 …… –> 0 –>0
0.000 0.0001 …… 001
所以无穷小趋于零的速度不一样， 所以无穷小趋于零的速度不一样，因此引入阶的概念
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例如： − 是很小的数， 穷小量。 例如： 1010000000000 是很小的数，但不是无 穷小量。
2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 零是可以作为无穷小的唯一的数 零是可以作为无穷小的唯一的 3.分析 f (x) 是否为无穷小一定要考虑自变 分析 变化过程.如 量 x 的 变化过程 如 x → 2时 x − 2 是无穷 不是无穷小。 小，但 x → 3时，则 x − 2 不是无穷小。 返回 返回
定义: 定义:设α, β是同一过程中的两个无 , 且α ≠ 0. 穷小 β (1) 如果lim = 0, 就说β是比α高阶的无穷小 , α 记作β = o(α); β β α低阶的无穷小. (2)如果lim = ∞, 就说 是比 低阶的无穷小. α β (3) 如果lim = C(C ≠ 0),就说β与α是同阶的无穷小 ; α β ; 特殊地如果lim = 1, 则称β与α是等价的无穷小 α 记作α ~ β;
β β′ α′ = lim ⋅ lim ⋅ lim = lim β ′ . β′ α′ α α′
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tan 2x . 例5 求lim x→0 1 − cos x
1 2 解 当x →0时, 1 − cos x ~ x , tan2x ~ 2x. 2 2 (2x) 原式= lim = 8. x→0 1 → 2 x 2
三、无穷小的比较
引例 . x →0时, 1 Y=x Y=x2 1 1 2 0.1 0.01
x, x2 都是无穷小, 但
3 0.01 4 0.001 …… –> 0 –>0
0.000 0.0001 …… 001
所以无穷小趋于零的速度不一样， 所以无穷小趋于零的速度不一样，因此引入阶的概念
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例如： − 是很小的数， 穷小量。 例如： 1010000000000 是很小的数，但不是无 穷小量。
2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 零是可以作为无穷小的唯一的数 零是可以作为无穷小的唯一的 3.分析 f (x) 是否为无穷小一定要考虑自变 分析 变化过程.如 量 x 的 变化过程 如 x → 2时 x − 2 是无穷 不是无穷小。 小，但 x → 3时，则 x − 2 不是无穷小。 返回 返回
定义: 定义:设α, β是同一过程中的两个无 , 且α ≠ 0. 穷小 β (1) 如果lim = 0, 就说β是比α高阶的无穷小 , α 记作β = o(α); β β α低阶的无穷小. (2)如果lim = ∞, 就说 是比 低阶的无穷小. α β (3) 如果lim = C(C ≠ 0),就说β与α是同阶的无穷小 ; α β ; 特殊地如果lim = 1, 则称β与α是等价的无穷小 α 记作α ~ β;
β β′ α′ = lim ⋅ lim ⋅ lim = lim β ′ . β′ α′ α α′
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tan 2x . 例5 求lim x→0 1 − cos x
1 2 解 当x →0时, 1 − cos x ~ x , tan2x ~ 2x. 2 2 (2x) 原式= lim = 8. x→0 1 → 2 x 2
高等数学人民邮电出版教材答案
高等数学人民邮电出版教材答案本文是高等数学人民邮电出版教材的答案，旨在帮助学习该教材的学生更好地理解和掌握相关知识。
以下是各章节的题目及对应的答案。
第一章：函数与极限1.1 函数概念与性质答案：函数是一种特殊的关系，每个自变量只能对应一个因变量。
函数具有定义域、值域和可求极限的特点。
1.2 一元函数的极限答案：一元函数极限的概念是指当自变量逼近某一值时，函数值的变化趋势。
通过极限的计算，可以确定函数的收敛性与发散性。
1.3 数列的极限答案：数列的极限是指当数列的项逐渐接近某一常数时，数列呈现出的趋势。
1.4 无穷小与无穷大答案：无穷小是指当自变量趋近于某一值时，函数值逐渐趋近于零；无穷大是指函数值在某一区间内越来越大，无界。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质答案：导数是函数在某一点处的变化率，可以用来描述函数的斜率。
导数具有线性性、可导性和连续性等性质。
2.2 常用函数的导数答案：常用函数的导数包括多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数等，可以通过求导规则得到。
2.3 高阶导数与隐函数求导答案：高阶导数是指对函数连续求导多次得到的导函数，可以用来描述函数的凸凹性；隐函数求导是指通过已知关系式求解未知函数的导数。
2.4 微分与求导公式答案：微分是导数的一个近似，用来刻画函数在某一点的局部变化；求导公式包括常数因子法、和差积商法等。
第三章：微分中值定理与应用3.1 极值与最值答案：极值是指函数在某一区间内的最大值或最小值，可以通过函数的导数、边界点和驻点进行求解。
3.2 微分中值定理答案：微分中值定理是用来描述函数在某一区间内存在某点的函数值与导数值之间的关系，包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
3.3 曲线的凹凸性与拐点答案：曲线的凹凸性是指函数图像在某一区间内上凸还是下凹；拐点是曲线由上凸变为下凹或由下凹变为上凸的临界点。
3.4 泰勒公式与近似计算答案：泰勒公式是用多项式逼近函数的方法，可以用来进行函数值的近似计算。
无穷大与无穷小教案[1]
![无穷大与无穷小教案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/fbc2507ccec789eb172ded630b1c59eef9c79a48.png)
高等数学1 教案编号：4教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以与如何启发思维等）复习函数极限的定义与其性质.新课一、无穷小定义1如果函数f(x)当x x0(或x)时的极限为零, 那么称函数f(x)为当x x0(或x)时的无穷小.特别地以零为极限的数列{x n }称为n 时的无穷小 例如,因为01lim =∞→x x , 所以函数x 1为当x 时的无穷小. 因为0)1(lim 1=-→x x , 所以函数为x -1当x 1时的无穷小.因为011lim =+∞→n n , 所以数列{11+n }为当n 时的无穷小.讨论: 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？提示 无穷小是这样的函数 在x x 0(或x )的过程中 极限为零很小很小的数只要它不是零作为常数函数在自变量的任何变化过程中 其极限就是这个常数本身 不会为零无穷小与函数极限的关系:定理1 在自变量的同一变化过程xx 0(或x )中, 函数f (x )具有极限A 的充分必要条件是f (x )=A +a其中a 是无穷小. 类似地可证明x 时的情形.例如, 因为333212121xx x +=+, 而021lim 3=∞→x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x . 二、无穷大如果当x ®x 0(或x ®¥)时, 对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大, 就称函数f (x )为当x ®x 0(或x ®¥)时的无穷大 记为∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ). 应注意的问题: 当x ®x 0(或x ®¥)时为无穷大的函数f (x ), 按函数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ).讨论: 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大? 提示: ∞=→)(lim 0x f x x Û"M >0, $d >0, 当0<|x -0x |<d 时, 有|f (x )|>M .正无穷大与负无穷大:+∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x . 例2 证明∞=-→11lim 1x x . 铅直渐近线:如果∞=→)(lim 0x f x x , 则称直线0x x =是函数y =f (x )的图形的铅直渐近线. 例如, 直线x =1是函数11-=x y 的图形的铅直渐近线. 定理2 (无穷大与无穷小之间的关系)在自变量的同一变化过程中, 如果f (x )为无穷大, 则)(1x f 为无穷小; 反之, 如果f (x )为无穷小, 且f (x )¹0, 则)(1x f 为无穷大.。
1.4无穷小和无穷大
常用的等价无穷小量
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x) 1 2 x x ~ e − 1, 1 − cos x ~ x , (1 + x) a − 1 ~ ax (a ≠ 0) 2
e3 x − 1 例：求1. lim x → 0 sin 2 x
无穷大与无穷小
一、 无穷小 二、 无穷大 三、 无穷小的比较
一、无穷小
我们常会遇到极限是零 的变量。例如运转的电 动机，断电后的转速 是时间的函数，且有 lim ω = 0
t →∞
定义： 定义： 如果当 x → x0 ( x → ∞ )时，函数 f ( x )的极限为零，则称
函数 f ( x )为 x → x0 ( x → ∞ )时的无穷小量，简称无 穷小， 记作 lim f ( x ) = 0 lim f ( x ) = 0
lim sin
x →0
1 x
1 为无穷小； f ( x)
在自变量的同一变化过程中，若f ( x)为无穷大，则 反之，若f ( x)为无穷小且f ( x) ≠ 0，则
1 为无穷大。 f ( x)
三、无穷小的比较
定义: 定义: 设α , β 是同一过程中的两个无 穷小, 且α ≠ 0.
β (1) 如果 lim = 0，就说 β 是比 α 高阶的无穷小, α 记作 β = o(α )； β ( ) 如果 lim = ∞，就说 β 是比 α 低阶的无穷小． ２ α β (3) 如果 lim = C ≠ 0, 就说 β 与 α 是同阶的无穷小; α β 特殊地， 如果 lim = 1, 则称 β 与 α 是等价的无穷小; α 记作 α ~ β ;
二、无穷大
相关主题
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x
1000
October, 2004
M 0 要 1 M 只要 x 1
x
M
M 0 1 使得，当
M
0 x 0 时，就有 1 M
x
称 1/x 为 x0 时的无穷大，记
lim 1 x0 x
October, 2004
所以 lim f (x) 的刻划需要两个正数： x x0
这就是讨论无穷小的意义之一。 (见《学习指导》p.16, 问1.16: 讨论无穷小有什么意义？)
October, 2004
二、无穷大 (Infinity)
例 考察当 x0 时，1/x 的变化趋势。
当 x0 时， 1 可以大于任何正数 M
x
例如
要
1 100 x
只要 x 1 100
要 1 1000 只要 x 1
M 1
0 x 1 时，就有
所以 lim x 1 x1 x 1
x 1 M
x 1
October, 2004
x 1 lim 1 x1 x 1
x 1 铅直渐近线
水平渐近线 y 1
with(plots): A:=plot((x+1)/(x-1),x=-10..0.95.1,y=-
y x 1 x 1
《学习指导》p.21
with(plots):
October, 2004
下列函数何时为无穷小？
10n n2 1 (n )
10n lim 0 n n2 1
October, 2004
注意：
(1) 任何非零常数（无论其绝对值多么小）都不 是无穷小，如 0.01, 0.0000023。
(2) 0 是唯一的无穷小常数。
M 用来表示函数值 f(x) 的绝对值可以任意大:
|f(x) | > M 。
δ 用来表示当自变量 x 与 x0 的距离充分接近时
( |x - x0 |< δ )，就能保证 f(x)的绝对值大于事先 任意给定的 M 。
October, 2004
定义 2 无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值 无限增大的函数（或变量）。
无穷小的例子 下列函数何时为无穷小？
(x 1)2 (x 1) 1 (x ) x ex (x )
lim(x 1)2 0
x1
lim 1 0 x x
lim ex 0
x
y ex
October, 2004
下列函数何时为无穷小？
1
2x (x 0 )
1
y 2x
x 0 1
x
1
lim 2x 0 x0
(3) 无穷小必须与自变量的变化过程联系起来， 不能孤立地说一个变量是无穷小。
如 (x 1)2 (x 1) 是无穷小 但 (x 1)2 (x 0) 不是无穷小
详见《学习指导》p.15, 问1.15
October, 2004
定理 1 （函数极限与无穷小的关系）
lim f (x) A f (x) A (x) lim(x) 0
即，每一个有极限的函数 f(x) 都与一个趋于 0 的 函数 f(x) - A 联系着。 因此，以 0 为极限的函数在极限理论和极限的计 算中扮演着特殊而重要的角色。
October, 2004
定义 1
无穷小就是在自变量的某个变化过程中，以 0 为极限的函数（或变量）。
若 lim f (x) 0 xx0 则 f (x) 是 x x0 时的无穷小
x x0
x x0
不存在。但为了方便，我们说函数的极限是
无穷大。
注意：
(1) 任何常数（无论其绝对值多么大）都不是无 穷大。
(2) 无穷大必须与自变量的变化过程联系起来， 不能孤立地说一个变量是无穷大。
October, 2004
x 1
例2 证明：
lim x1 x 1
分析 M 0 要 x 1 M 只要 x 1 ?
(x) f (x) A 是无穷小
f (x) A (x) α(x) 是无穷小
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定理 1 （函数极限与无穷小的关系）
lim f (x) A f (x) A (x) lim(x) 0
此定理表明：在自变量的某个变化过程中，
若 lim f (x) A 则 f (x) A 无穷小 若 f (x) A 无穷小 则 lim f (x) A
lim f (x) 的定义： M 定义
x x0
M 0 0 使得，当 0 x x0
就有 f (x) M
lim f (x) M 0, 0
xx0
x : 0 x x0 f (x) M
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严格地说，lim f (x) 表明极限 lim f (x)
若 lim f (x) 0 x 则 f (x) 是 x 时的无穷小
无穷小一般用希腊字母 α, β, γ 等表示
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无穷小的 ε-δ 定义
(x) 是 x x0 时的无穷小 lim (x) 0
xx0
0, 0 x : 0 x x0 (x)
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证 以极限 lim f (x) A 为例。 xx0
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lim f (x) A
xx0
0, 0,
x : 0 x x0 f (x) A
0, 0,
x : 0 x x0 (x)
lim (x) 0
((x) f (x) A)
xx0
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若 lim f (x) x x0 则 x = x0 为 y = f(x) 的铅直渐近线 Vertical Asymptote x x0 y f (x)
1.4 无穷小与无穷大
Infinitesimal and Infinity
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一、无穷小 (Infinitesimal)
lim f (x) A f (x) A ( 0)
lim f (x) A 0 lim[ f (x) A] 0 lim(x) 0 (x) f (x) A
x 1
要 x 1 1 2 M源自x 1x 1只要 1 2 2 1 M
x 1 x 1
得
2 M 1 x 1
所以 x 1 2
M 1October, 2004
证明：lim x 1 x1 x 1
M 0 要 x 1 1 2 M
x 1
x 1
只要 x 1 2
M 1
证 M 0 2 使得，当