无穷小与无穷大培训资料

无穷小与无穷大仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢21.4 无穷小与无穷大1.4.1 无穷小 1．无穷小量的定义定义：如果x → x 0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x ) 的极限为零 ,那么把f (x ) 叫做当x → x 0（或x → ∞ ）时的无穷小量，简称无穷小。

例如：因为0)1(lim 1=-→x x ，所以函数x-1是x →1时的无穷小。

因为01lim =∞→x x ，所以函数x 1是当x →1时的无穷小。

因为011lim=--∞→x x ，所以函数x-11是当x →－∞时的无穷小。

以零为极限的数列｛x n ｝，称为当n →∞时的无穷小，n 1，n 32都是n →∞时的无穷小。

注：⑴不能笼统的说某函数是无穷小，说一个函数f(x)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。

⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在x →x 0（或x →∞）时，极限仍为常数本身，并不是零。

⑶常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在x →x 0（或x →∞）时，极限是零。

2.无穷小的性质仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质：⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小（无穷多个无穷小之和不一定是无穷小）。

⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小。

⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

（常数与无穷小的乘积仍是无穷小）。

⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。

例1．求xxx sin lim∞→ 解：∵1sin ≤x ，是有界函数， 而01lim =∞→xx∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

∴xxx sin lim∞→＝0 3．函数极限与无穷小的关系定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是该函数的极限。

4．无穷小的比较例：当x →0时，x, 3x ， x 2, sinx, xx 1sin2都是无穷小。

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4观察各极限：0320lim =→xx x x 2比3x 要快得多 1sin lim 0=→x xx sinx 与x 大致相同 ∞=⋅=→→x x xx x x x sin 1sin lim lim 020 sinx 比x 2慢的多 x x x x x x 1sin 1sinlim lim220→→= 不存在 不可比极限不同，反映了无穷小趋于0的“速度”是多样的。

得到以下结论：设α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小⑴如果αβlim＝0，则称β是比α高阶的无穷小 ⑵如果αβlim＝∞，则称β是比α低阶的无穷小 ⑶如果αβlim＝k （k ≠0），则称β与α是同阶的无穷小 ⑷如果αβlim＝1，则称β与α是等价无穷小，记为α～β。

例2．比较当x →0时，无穷小x x---111与x 2阶数的高低。

解：因为111)1()1()1)(1(1111lim lim lim lim 02202020=-=---+-=---→→→→xx x x x x x x x xx x x x x仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5所以x x---111～x 2例3．当x →1时，无穷小1－x 与1-x 3是否同阶，是否等价？ 解：31)1)(1(1112131lim lim=++--=--→→x x x x x x x x 故同阶但不等价。

常用的等价无穷小：当x →0时，sinx ～ x ； arcsinx ～x ； tanx ～x ；arctanx ～ x ；1-cosx ～221x ，ln(1+x)～x ; e x -1～x ；(1+x)a ～1-ax1.4.2无穷大 1．无穷大量的定义如果当x → x 0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x ) 的绝对值无限增大,那么函数f (x ) 叫做当x → x 0（或x → ∞ ）时的无穷大量，简称无穷大。

注：⑴说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋向。

如函数x1是当x → 0 时的无穷大，当x → ∞时，它就不是无穷大，而是无穷小了。

⑵不要把绝对值很大的常数说成是无穷大，因为常数在x →x 0(或x →∞)时极限为常数本身，并不是无穷大。

2．无穷小与无穷大的关系仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6定理：在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则)(1x f 为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则)(1x f 为无穷大。

例4．求453221lim+--→x x x x解：当x →1时，分母x 2-5x+4→0，因此不能直接使用商的极限法则，但f(x)的倒数的极限03245)(1211lim lim=-+-=→→x x x x f x x 由无穷大与无穷小的关系可得∞=→)(lim 1x f x1．5函数的连续性1.5.1函数连续性的概念 1．函数的增量定义：在函数y=f (x )中，当x 由x 0（初值）变化到x 1（终值）时，终值与初值之差x 1-x 0叫做自变量的增量（或改变量），记为Δx= x 1-x 0. 相应的，函数终值f (x )与初值 f (x 0)之差Δy ，叫做函数的增量。

注意：增量Δx 可正、可负；增量Δy 可正、可负或为零。

2．函数y=f (x ) 在x 0的连续性 先观察两个函数的图像的特点仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7当Δx →0时，Δy →0。

当Δx →0时，Δy 不趋向于零。

定义：设函数y=f(x)在点x 0及其近旁有定义，如果当自变量x 在点x 0处的增量Δx 趋近于零时，函数y=f(x)相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆也趋近于零，那么就叫做函数y=f(x)在点x 0连续。

用极限表示，就是0lim 0=∆→∆y x或[]0)()(000lim =-∆+→∆x f x x f x定义2：设函数y=f(x)在点x 0及其左右近旁有定义，如果函数y=f(x)当x 1→x 0时的极限存在，且等于它在x 0处的函数值f(x 0),即)()(0lim 0x f x f x x =→那么就称函数f(x)在点x 0处连续。

函数f(x)在点x 0处连续必须满足三个条件： ⑴函数f(x)在点x 0及其左右近旁有定义； ⑵)(lim 0x f x x →存在；仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢8⑶)()(0lim 0x f x f x x =→例5 试证函数⎩⎨⎧=≠=0,1sin 0,0)(x x x x x f ，在x ＝0处连续。

证明：函数)(x f 在x ＝0及其左右近旁有定义 ∵01sinlim 0=→x x x f(0)=0 )0()(lim 0f x f x =→ ∴函数)(x f 在x ＝0处连续。

3．函数y=f(x)在区间(a,b)内的连续设函数)(x f 在区间(a ，b]内有定义，如果左极限)(lim x f b x -→存在且等于)(b f ，即)(lim x f b x -→＝)(b f ，就说函数)(x f 在点b 左连续。

设函数)(x f 在区间[a ，b ）内有定义，如果左极限)(lim x f a x +→存在且等于)(a f ，即)(lim x f a x +→＝)(a f ，就说函数)(x f 在点a 右连续。

定理：函数)(x f 在点x 0处连续⇔)(x f 在点x 0处既左连续又右连续⇔)()()(000x f x f x f ==-+在区间(a,b)内任一点都连续的函数叫做在该区间内的连续函数，区间(a,b)叫做函数的连续区间。

连续函数的图像是一条连续不断的曲线。

4．复合函数的连续性设函数)(u f y =在点0u 处连续，函数)(x u ϕ=在点0x 处连续，且)(00x u ϕ=，则复合函数()[]x f y ϕ=在点0x 处连续，即仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9()[]()[]()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==→→x x x x x f x f x f ϕϕϕlim lim 000 例6 求()xx a x +→1log lim解：原式＝()x a x x 11log lim +→＝aaee a ln 1ln ln log == 可以推出：当0→x 时，()x a +1log ～ax ln 1．5．2函数的间断点函数)(x f 在0x 点连续必须满足三个条件，如果这三个条件有一个不满足，则称)(x f 在0x 点不连续（或间断），并称0x 点为)(x f 的不连续点或者间断点。

间断点的分类：第一类间断点：⑴()()+-=00x f x f ，但()()()000x f x f x f ≠=+-，或者()0x f 无意义。

⑵()()+-≠00x f x f不是第一类间断点的其他间断点都称为第二类间断点。

1.5.3 闭区间上连续函数的性质性质1 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。

注意：⑴若区间是开区间，定理不一定成立。

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢10⑵若区间内有间断点，定理不一定成立。

推论：在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界。

性质2 如果函数)(x f 在[]b a ,上连续，且())(b f a f ⋅＜0，那么至少存在一点ξ∈(a,b)，使得()0=ξf 。

对于方程)(x f ＝0，若满足性质2中的条件，则方程在(a,b)内至少存在一个实根ξ，ξ又称为函数)(x f 的零点。

例7 证明方程01423=+-x x 在区间（0，1）内至少有一个根。

证明：设)(x f ＝1423+-x x ，)(x f 在[]1,0上是连续的，又因为)0(f ＝1＞0 )1(f ＝－2＜0根据性质2，至少存在一点ξ∈（0，1），使()0=ξf 即 01423=+-ξξ从而证得方程01423=+-x x 在区间（0，1）内至少有一个根。

判断命题是否正确：如果函数)(x f 在[]b a ,上有定义，在(a,b)内连续，且())(b f a f ⋅＜0，那么 )(x f 在(a,b)内必有零点。

解答：不正确。

例如函数)(x f 在（0，1）内连续，)0(f ·)1(f ＝－2e ＜0，但)(x f 在（0，1）内无零点。

,01()2,e xf x x <≤⎧=⎨-=⎩。