概率论与数理统计知识总结之第一章

第一章概率论的基本概念

确定性现象：在一定条件下必然发生的现象

随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象

随机试验：

具有下述三个特点的试验：

1.可以在相同的条件下重复地进行

2.每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确试验的所有可能结果

3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现

样本空间：

将随机试验E的所有可能出现的结果组成的集合称为E的样本空间，记为S

样本点：

样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点

样本空间的元素是由试验的目的所确定的。

随机事件：

一般，我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件

在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。基本事件：由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。

必然事件：样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。

不可能事件：

空集门不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中，称为不可能事件。

事件间的关系与运算：

设试验E的样本空间为S，而A,B,A k ( k=1,2,…)是S的子集。

1.若A B，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必然导致事件B发生。

若A B且B A,即A=B，则称事件A与事件B相等。

2.事件A-B- ；x | A或X，B ［称为事件A与事件B的和事件。当且仅当A,B 中至少有一个发生时，事件A_. B发生。

n -・

类似地，称U A k为事件A,A2,…,A n的和事件；称U A k为可列个事件A“A2,… k 二

的和事件。

3.事件A^B=｛x | x A且X，B｝称为事件A与事件B的积事件。当且仅当A,B 同时发生时，事件A「B发生。A ' B记作AB。

n "-

类似地，称| A k为n个事件A，A2,…,宀的积事件；称| A k为可列个事件

k=i kT

A,A2,…的积事件。

4.事件A - B二｛x | x * A且x B｝称为事件A与事件B的差事件。当且仅当A发生、B 不发生时事件A-B发生。

5.若^8=,则称事件A与B是互不相容的,或互斥的。这指的是事件A与

事件B不能同时发生。基本事件是两两互不相容的。

6.若A 一B =S且^8=，则称事件A与事件B互为逆事件。又称事件A与事件B互为对立事件。这指的是对每次试验而言，事件A,B中必有一个发生。A的对立事件A.A =s-A

设代B,C为事件，则有

交换律：

A B = B A; A ' B = B * A.

结合律：

A （

B C） = （A B） C;

A' （B ~ C） =（A 一B厂 C.

分配律：

A （

B 一C） =（A B厂（A C）;

A 一（

B C）=（A 一B）（A 一C）.

德摩根律：

A 一

B = A「B;

A B = A _ B.

频率与概率

频率：

在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A , 称为事件A发生的频数，比值n A/n称为事件A发生的频率，并记成f n A

频率的基本性质：

1.0 三f n A 三1

2.f n S=1

3.若A，A2,…,A k是两两互不相容的事件,贝U

f n( A1 A2 一…一A k ) = f n ( &)+••+ f n ( A k )

概率：

设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A),称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下列条件：

1.非负性

2.规范性：对于必然事件S，有P(S)=1

3.可列可加性:P(A - A2-…)=P ( A ) +P( A2)+ …

概率的性质：

1.P(「)=0

2.(有限可加性)若A，A2，…,A n是两两互不相容的事件，则有

P ( A - A2 -…一A n ) =P( A1 ) + P( A2 )+ …+P( A n )

3.设A,B是两个事件，若A B，则有

P(B-A)=P(B)-P(A),P(B) >P(A)

4.对于任一事件A，P(A)<1

5对于任一事件A，有P(A)=1-P(A)

6.对于任意两事件A,B 有P(A- B )=P(A)+P(B)-P(AB)

一般地，对于任意n个事件人,民，…,宀，可以用归纳法得出

P( A 一 A 2 -…一 A n ) + (-1)nl P(A 1A 2A A n )

等可能概型(古典概型)

定义：

具有以下两个特点的试验称为等可能概型：

1. 试验的样本空间只包含有限个元素

2. 试验中每个基本事件发生的可能性相同

事件概率计算公式：

若事件A 包含k 个基本事件，即A = £ L {q 2}

k

P(A)=£ Pg)二怀=(A 包含的基本事件数)/( S 中基本事件的总数)

实际推断原理：

人们在长期的实践中总结得到 概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发 生的”

条件概率

事件A 已发生的条件下事件B 发生的概率

设A,B 是两个事件,且P(A)>0 ,称P(B | A)=P(AB)/P(A)为在事件A 发生的条件 下事件B 发生的条件概率•

条件概率P( • A)的性质：

Z P(A i ) - Z P(AA j ) + Z AA j A k +

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