求定积分的四种方法

定积分的四种求法

定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．

一、定义法 例1 用定义法求

2

30

x dx ⎰

的值.

分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．

解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝

2

n

． （2）近似代替：△3

2()i i i S f x x n ξ⎛⎫

=∆=∆ ⎪⎝⎭

（3）求和：3

3

111222n

n

n

i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫

∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭∑∑∑.

（4）取极限：S=333

2242lim n n n n n n →∞⎡⎤

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎢⎥⎣⎦

L ＝4433322

44221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦L ＝22

4(21)

lim n n n n →∞++=＝4．

∴

2

30

x dx ⎰

=4．.

评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．

二、微积分基本定理法

例2 求定积分

2

21

(21)x x dx ++⎰

的值.

分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．

解：函数y ＝2

21x x ++的一个原函数是y ＝3

23

x x x ++． 所以.2

2

1

(21)x x dx ++⎰

＝322

1()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

＝193．

评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．

三、几何意义法 例3 求定积

分

1

1

dx -⎰

的值.

分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．

解

：1

1dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、

二象限的上半圆的面积．

因为2

S π

=半圆，又在x 轴上方．

所

以

1

1

dx -⎰

＝

2

π

． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．

四、性质法

例4 求下列定积分： ⑴

44

tan xdx π

π-⎰；⑵22

sin 1

x x

dx x π

π

-

+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很

难

找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．

解：由被积函数tan x 及22sin 1

x x

x +是奇函数，所以在对称区间的积分

值均为零．

所以⑴

44

tan xdx π

π-⎰＝0；

⑵

22sin 1

x x

dx x π

π

-

+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a

a

f x dx -⎰＝20

()a

f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a

a

f x dx -⎰＝

0． 小结

通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。

参考文献：

[1]《数学分析》上册（第二版）复旦大学数学系编.高等教育出版社，1983.07

[2]《数学分析》下册（第二版）复旦大学数学系编.高等教育出版社，1983.11

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