探讨定积分不等式的证明方法
探讨定积分不等式的证明方法
探讨定积分不等式的证明方法定积分是微积分中重要的概念之一，它在数学和其他学科中有着广泛的应用。
定积分不等式是对定积分的一种推广和扩展，它可以用来证明数学中的很多重要不等式。
定积分不等式的证明方法有很多种。
下面将介绍其中的几种常见证明方法。
1.利用积分的定义定积分的定义是通过极限来定义的，可以用积分和极限的性质来证明定积分不等式。
一般的证明步骤如下：（1）通过积分的定义，将定积分转化为极限的形式。
（3）利用极限的性质，对被积函数和不等式进行变换和处理，最终得到待证不等式。
2.利用积分的性质和中值定理（1）利用中值定理，将定积分表示为导数的形式。
（3）利用中值定理和被积函数的性质，对待证不等式进行变换和处理，最终得到待证不等式。
3.利用积分的性质和数学归纳法数学归纳法是数学中常用的证明方法之一，可以用来证明定积分不等式。
具体的证明方法如下：（1）利用积分的性质，将待证不等式转化为一系列具有相似性质的子不等式。
（2）对待证不等式的子不等式进行归纳证明，即先证明基本情况，然后假设第n个不等式成立，再通过已知的前n个不等式得到第n+1个不等式。
（3）通过数学归纳法的证明，得到待证不等式。
这种证明方法的优点是简单直接，能够通过归纳证明得到待证不等式，但需要对数学归纳法的性质和待证不等式的子不等式非常熟悉。
除了以上的方法，还可以利用几何意义、特殊函数的性质、不等式的基本性质等进行证明。
不同的证明方法适用于不同的场合和问题，需要根据具体情况选择合适的方法。
综上所述，定积分不等式的证明方法有很多种，可以利用积分的定义、性质和中值定理，数学归纳法等进行证明。
不同的证明方法有不同的优点和适用范围，需要根据具体情况选择合适的方法。
对于定积分不等式的证明方法的深入理解和熟练应用，对于深化对定积分的理解和掌握具有重要意义。
利用定积分证明不等式
热点追踪Җ㊀广东㊀李文东㊀㊀不等式的证明是高考的重要内容,证明的方法多㊁难度大,特别是一些数列和型的不等式．这类不等式常见于高中数学竞赛题和高考压轴题中,由于证明难度较大,往往令人望而生畏．其中有些不等式若利用定积分的几何意义证明,则可达到以简驭繁㊁以形助数的解题效果．１㊀利用定积分证明数列和型不等式数列和型不等式的一般模式为ðni ＝１a i ＜g (n )(或ðni ＝１a i ＞g (n )),g (n )可以为常数．不失一般性,设数列a n ＝f (n )＞０,此类问题可以考虑如下的定积分证明模式．(１)若f (x )单调递减．因为f (i )＜ʏii －１f (x )d x ,从而ðni ＝１a i ＝ðn i ＝１f (i )＜ðni ＝１ʏii－１f (x )d x ＝ʏn０f (x )d x ．㊀㊀又因为ʏi i －１f (x )d x ＜f (i －１),从而ʏn ＋１１f (x )d x ＝ðn ＋１i ＝２ʏi i－１f (x )d x ＜ðn ＋１i ＝２f (i －１)＝ðni ＝１a i．㊀㊀(２)若f (x )单调递增．因为f (i )＞ʏi i －１f (x )d x ,从而ðni ＝１a i＝ðni ＝１f (i )＞ðni ＝１ʏii－１f (x )d x ＝ʏn０f (x )d x ．㊀㊀又因为ʏii －１f (x )d x ＞f (i －１),从而ʏn ＋１１f (x )d x ＝ðn ＋１i ＝２ʏii－１f (x )d x ＞ðn ＋１i ＝２f (i －１)＝ðni ＝１a i ．例１㊀(２０１３年广东卷理１９,节选)证明:１＋１２２＋１３２＋ ＋１n２＜７４(n ɪN ∗)．分析㊀本题证法大多采用裂项放缩来证明,为了得到更一般的结论,我们这里采用定积分来证明．证明㊀因为函数y ＝１xα(α＞０且αʂ１)在(０,＋ɕ)上单调递减,故ʏii －１１x αd x ＞１iα(i ȡ３),从而当αʂ１时,ðni ＝１１i α＜１＋１２α＋ðni ＝３ʏii －１１x αd x ＝１＋１２α＋ʏn２１x αd x ＝１＋１２α－１(α－１)x α－１n ２＝１＋１２α＋１(α－１)２α－１－１(α－１)nα－１．㊀㊀利用这个不等式可以得到一些常见的不等式．若α＝１２,则ðn i ＝１１i＜１－３２＋２n ＝２n －１＋(２－３２)＜２n －１．㊀㊀当α＞１时,ðni ＝１１iα＜１＋１２α＋１(α－１)２α－１＝１＋α＋１α－１ １２α．特别地,若α＝２,则ðni ＝１１i ２＜１＋２＋１２－１ １２２＝７４;若α＝３,则ðni ＝１１i３＜１＋３＋１３－１ １２３＝５４;若α＝３２,则ðni ＝１１ii＜１＋３２＋１３２－１ １２３２＝１＋５２４＜３;若α＝１,则１n＜ʏnn －１１x d x ＝l n x nn －１＝l n n －l n (n －１),从而可以得到１２＋１３＋ ＋１n ＋１＜ʏn ＋１１１xd x ＝l n (n ＋１),１n ＋１＋１n ＋２＋ ＋１２n＜ʏ２nn１xd x ＝l n２．㊀㊀另一方面,１n －１＞ʏnn －１１xd x ＝l n x n n －１＝l n n －l n (n －１),则１＋１２＋１３＋ ＋１n －１＞ʏn１１x d x ＝l n n ．㊀㊀当α＝１时,借助定积分的几何意义上述不等式４２热点追踪还可以进一步加强．图１是函数y ＝１x的部分图象,显然S 曲边梯形A B C F ＜S 梯形A B C F ,于是ʏn ＋１n１x d x ＜１２(１n ＋１n ＋１),得l n (１＋１n )＜１２(１n ＋１n ＋１),令n ＝１,２, ,n ,并采用累加法可得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (n ＋１)＋n２(n＋１)(n ȡ１)．图１例２㊀证明:l n ４２n ＋１＜ðni ＝１i４i ２－１(n ɪN ∗)．分析㊀由于i ４i ２－１＝１４(１２i －１＋１２i ＋１),l n ４２n ＋１＝１４l n (２n ＋１),故证明l n (２n ＋１)＜ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１)．构造函数f (x )＝１２x ＋１,显然f (x )单调递减,考虑到ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１)的结构,对函数f (x )采用类似图１中的梯形面积放缩．证明㊀由分析得ʏii －１１２x ＋１d x ＜１２(１２i －１＋１２i ＋１),故１２l n (２n ＋１)＝ʏn０１２x ＋１d x ＝ðni ＝１ʏii －１１２x ＋１d x ＜１２ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１),不等式两边除以１２即为所证．例３㊀证明１３＋１５＋１７＋ ＋１２n ＋１＜１２l n (n ＋１)(n ɪN ∗)．分析㊀若考虑函数y ＝１２x ＋１,则有１２i ＋１＜ʏii －１１２x ＋１d x ,则ðni ＝１１２i ＋１＜ðni ＝１ʏii －１１２x ＋１d x ＝ʏn０１２x ＋１d x ＝１２l n (２x ＋１)n０＝１２l n (２n ＋１),达不到所证的精度,必须改变定积分放缩的精度．证明㊀结合不等式的右边,考虑函数f (x )＝１x．如图２所示,在区间[i ,i ＋１]上,取区间的中点i ＋１２,并以１i ＋１２为高作矩形A E F B ,则S 矩形A E F B ＜ʏi ＋１i １x d x ．于是有２２i ＋１＝１i ＋１２＜ʏi ＋１i１xd x ,则ðni ＝１２２i ＋１＜ðni ＝１ʏi ＋１i１xd x ＝ʏn ＋１１１xd x ＝l n (n ＋１),即ðn i ＝１１２i ＋１＜１２ln (n ＋１)．图２例４㊀设n 是正整数,r 为正有理数．(１)求函数f (x )＝(１＋x )r ＋１－(r ＋１)x －１(x ＞－１)的最小值;(２)证明:n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r＜(n ＋１)r ＋１－nr ＋１r ＋１;(３)设x ɪR ,记[x ]为不小于x 的最小整数,例如[２]＝２,[π]＝４,[－３２]＝－１．令S ＝３８１＋３８２＋３８３＋ ＋３１２５,求[S ]的值．(参考数据:８０４３ʈ３４４ ７,８１４３ʈ３５０ ５,１２５４３ʈ６２５ ０,１２６４３ʈ６３１ ７．)分析㊀出题者的本意是利用第(１)问中的伯努利不等式来证明后两问,但这里我们利用积分来证明．证明㊀(１)f m i n (x )＝０(求解过程略)．(２)因为r 为正有理数,函数y ＝x r 在(０,＋ɕ)上单调递增,故ʏnn －１x r d x ＜nr,而５２热点追踪ʏnn －１x rd x ＝x r ＋１r ＋１n n －１＝n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１,故n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r．同理可得n r＜ʏn ＋１n x rd x ＝x r ＋１r ＋１n ＋１n ＝(n ＋１)r ＋１－n r ＋１r ＋１,从而n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r＜(n ＋１)r ＋１－n r ＋１r ＋１．(３)由于i １３＜ʏi ＋１i x １３d x ＜(i ＋１)１３,故S ＝ð１２５i ＝８１i１３＜ð１２５i ＝８１ʏi ＋１ix １３dx ＝ʏ１２６８１x １３dx ＝３４x ４３１２６８１＝３４(１２６４３－８１４３),３４(１２５４３－８０４３)＝３４x ４３１２５８０＝ʏ１２５８０x １３d x ＝ð１２４i ＝８０ʏi ＋１ix １３d x ＜ð１２４i ＝８０(i ＋１)１３＝S ．３４(１２５４３－８０４３)＜S ＜３４(１２６４３－８０４３)．代入数据,可得３４(１２５４３－８０４３)ʈ２１０．２,３４(１２６４３－８１４３)ʈ２１０．９．由[S ]的定义,得[S ]＝２１１．２㊀利用积分证明函数不等式我们知道ʏx ２x １fᶄ(x )d x ＝f (x ２)－f (x １),因此,对于与f (x ２)－f (x １)有关的问题,可以从定积分的角度去思考．若f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上单㊀图３调递减且f ᶄ(x )为凹函数,如图３所示．设A C 的中点为B ,过点B 作B G ʅx 轴与f (x )交于点G ,过点G 作f (x )的切线与直线AH 和C D 分别交于点F 和I ．设A (x １,０),C (x ２,０),则f (x ２)－f (x １)＝ʏx ２x １fᶄ(x )d x ＝S 曲边梯形A C J H ,S 矩形A C D E ＝f ᶄ(x ２＋x １２)(x ２－x １)．因为S 曲边三角形E G H ＞S әE F G ＝S әD I G ＞S 曲边三角形J D G ,S 曲边梯形A C J H －S 矩形A C D E ＝S 曲边三角形E G H －S 曲边三角形J D G ＞０,于是有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＞f ᶄ(x ２＋x １２)．借助上述几何意义,一般地我们有如下结论．(１)若函数f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上为凹函数,则对于任意的a ＜x １＜x ２＜b ,有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＞f ᶄ(x ２＋x １２);(２)若函数f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上为凸函数,则对于任意的a ＜x １＜x ２＜b ,有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＜f ᶄ(x ２＋x１２)．例５㊀(１)函数f (x )＝l n x ,因为f ᶄ(x )＝１x在(０,＋ɕ)上为凹函数,则对任意０＜x １＜x ２,有l n x ２－l n x １x ２－x １＞１x ２＋x １２,即x ２－x １l n x ２－l n x １＜x １＋x ２２,此为对数均值不等式．(２)函数f (x )＝x l n x ,因为f ᶄ(x )＝１＋l n x 在(０,＋ɕ)上为凸函数,则对任意０＜x １＜x ２,有x ２l n x ２－x １l n x １x ２－x １＜１＋l n x ２＋x １２．许多考题都是以此为背景命题,比如,如下高三模拟考试的压轴题．例６㊀已知函数f (x )＝l n x －a x ２２＋(a －１)x －３２a(a ＞０),在函数f (x )的图象上是否存在不同两点A (x １,y １),B (x ２,y ２),线段A B 中点的横坐标为x ０,直线A B 的斜率为k ,使得k ＞f ᶄ(x ０)．简证㊀由于f ᶄ(x )＝１x－a x ＋a －１(a ＞０)在(０,＋ɕ)上为凹函数,可见结论成立!例７㊀设函数f (x )＝xex ,若x １ʂx ２,且f (x １)＝f (x ２),证明:x １＋x ２＞２．分析㊀本题的本质是极值点偏移问题,常见证法是利用对称性构造函数,这里采用定积分来证明．证明㊀不妨设x １＜x ２,由f ᶄ(x )＝１－x ex ,可知f (x )在(－ɕ,１]上单调递增,在[１,＋ɕ)上单调递减,且f (０)＝０．当x ＞０时,f (x )＞０,可知０＜x １＜１＜x ２．设x １e x １＝x ２e x ２＝t ,则x １＋x ２＝t (e x １＋e x ２),x ２－x １＝t (e x ２－e x １),考虑函数y ＝e x ,则根据定积分的梯形面积放缩有e x ２－e x １＝ʏx ２x １e xd x ＜(e x １＋e x２)(x ２－x １)２,则x ２－x １t ＜１２ x ２＋x １t(x ２－x １),故x １＋x ２＞２．(作者单位:广东省中山市中山纪念中学)６２。
定积分的计算和积分不等式 数学
定积分的计算和积分不等式摘要：本文首先介绍了定积分的几种计算方法：牛顿—莱布尼兹公式，分部积分法，换元积分法，积分值的估计。
其次再介绍了积分不等式的几种证明：用微分学的方法证明积分不等式，利用被积函数的不等式证明积分不等式，在不等式两端取变限积分证明新的不等式，利用积分性质证明不等式，利用积分中值定理证明不等式。
关键字：定积分；牛顿—莱布尼兹公式；分部积分法；换元积分法The Definite Integral Compute and Integral InequalityAbstract: In this paper, firstly, mainly introduced a few kinds computational method of definite integral: Newton-Leibniz, definite integration by parts, integration by substitution, definite integral by estimate value. Secondly, this paper also introduced a few kinds of integral invariant: using the method of differential calculus to prove integral invariant; making use of integrand invariant to prove integral invariant; using transfinite integrate to prove integral invariant; using integral characteristic to prove integral invariant; making use of integral mean value theorem to prove integral invariant.Key word:Definite integral; Newton-Leibniz; definite integration by parts; integration by substitution.引言数学分析是数学专业中一门重要的基础课，定积分的计算和积分不等式无疑是数学分析中一个重要的方面。
积分不等式证明技巧解析
∫
2 f ( x ) dx ≤
∫
0
b a
1
f(
1) 1 ( ) d x + f′ 3 3
(x ∫
0
1
2
-
1) 1 dx = f ( ) . 3 3
6 借助于参数表达式来证明积分不等式
引入参数 t , 构造辅助函数
[ f ( x) ∫
- tg ( x ) ] d x ≥ 0 , 得到关于 t 的二次多项式 , 利用判别
n- 1 n- 2
+ … + 6 cn- 3 x + …
例 4 求 ( x 4 - x3 + 2 x 2 - x + 1) co s x d x. 解 列竖式计算 :
x x
4 4 3
∫
- x - x
+ 2x
2 2 2
- x - 6x + 5x
+1 - 20 + 21
3 2
12 x
3
- 10 x
∫
第 12 卷第 6 期
杨和稳 : 积分不等式证明技巧解析
27
1 ( ξ ) < 0 , x ∈ [ 0 , 1 ] , 所以 , 其中ξ介于 与 x 之间 . 因为 f ″ 3
f ( x) < f (
1 0
1) 1 1) 1 1 1) 2 ( ) (x ( ) ( x2 + f′ , f ( x ) < f ( ) + f ′ , 3 3 3 3 3 3
a x
例 4 设 f ( x ) 在 [ a , b] 上有连续导数 , 且 f ( a) = f ( b) = 0 , 证明 : b 4 ( x) | ≥ max | f ′ | f ( x ) | d x. 2
利用定积分证明不等式
利用定积分证明不等式作者：王小林来源：《学周刊·C》2013年第06期摘要：在中学和大学的教学中，关于不等式的证明方法，已有较多的人做了研究，较详细地介绍了证明不等式的若干种常用的方法，笔者在教学中发现，结合利用定积分的几何意义和平面图形的面积大小关系，来证明某些不等式，学生更容易理解，证明过程也更简单。
关键词：定积分；证明；不等式利用定积分证明不等式，主要是利用定积分的几何意义和平面图形的面积大小关系建立不等关系，进而证明不等式。
一、用定积分证明代数不等式例1.证明x>0时，■原高等数学教材中通常利用拉格朗日中值定理来证明这个不等式，方法如下：证明：首先取函数f（x）=1n（1+x），并取闭区间[0，x]显然f（x）在[0，x]上满足拉格朗日中值定理的条件于是有f（x）-f（0）=f′（ξ）（x-0）（0因为f（0）=0，f′（x）=■故上式即为1n（1+x）=■（0由于0x>0时，■对上述证明过程，部分数学基础较差的学生总是觉得难于理解，为什么要取函数f（x）=1n（1+x），并取闭区间[0，x]，使用拉格朗日中值定理得出的结论还要作替换才能找到不等关系。
二、用定积分证明数列不等式例2.求证1+■+■+…+■证明：函数y=■（x>0）是单调递减的函数，其图形如图1所示，在曲线y=■上取两点C （k，■）和Dk+1，■，再分别过这两点引x轴的垂线，观察图形，矩形ABDE的面积■上面各式两边相加得到■+■+■+…+■所以■+■+■+…+■故1+■+■+■+…+■事实上，对函数y=■（x>0，P>0，且P≠1）来说，具有与图1类似的图形，矩形ABDE的面积于是有不等式■以上各式两边相加，并记1+■+■+…+■=Sn，得到，Sn-1Sn当p=2时，就证明了例题2当p=■时得不等式2■-12■+■-1■，由于n>1，■+■-1■>0于是得不等式1+■+■+…+■>■（n>1）三、利用函数y=xp-1（x>0，p>1）的定积分，来证明著名的Young不等式例3.设a≥0，b≥0，■+■=1即（q=■），则有ab≤■+■（p>1）证明：函数y=xp-1（p>1）在x>0时是单调递增的（如图2所示）取x轴上点A（a，0），y轴上点B（0，b），过点A引x轴的垂线，交曲线于y=xp-1于E，过点B引y轴的垂线，交曲线于y=xp-1于D，交线段AE于C，则矩形OACB的面积≤曲边梯形OAE的面积+曲边梯形ODB的面积，又由y=xp-1得x=y■于是ab≤■xp-1dx+■y■dy积分得，ab≤■+■b■，而q=■所以ab≤■+■特别地，取p=q=2，得到a2+b2≥2ab。
关于积分不等式的证明
关于积分不等式的证明积分不等式是高等数学中的一个重要概念，它可以用来研究函数的性质和求解各类数学问题。
下面将对积分不等式进行证明并详细介绍其应用。
首先，我们来证明\[f(x)\geq0, x\in[a,b]\]是一个有界函数，则其积分\[F(x)=\int_a^xf(t)dt\geq0，x\in[a,b]\]也是有界函数。
证明：我们将证明积分\[F(x)=\int_a^xf(t)dt\geq0，x\in[a,b]\]具体分为以下两种情况：情况一：当\(F(x)\geq0，x\in[a,b]\)时，由于函数\(F(x)\)是连续的，所以根据闭区间上连续函数的值域定理，存在\(c\in[a,b]\)使得\(F(c)=M\)（其中，\(M\)是\(F(x)\)在区间\([a,b]\)上的最大值）。
假设\(M<0\)，则存在\(\delta>0\)，使得当\(x\in[a,b]\)且\(0<，x-c，<\delta\)时，有\(F(x)>F(c)\)。
进一步，根据积分的定义，我们可以找到\(\varphi(x)\)使得\(F(x)-F(c)=\int_c^x\varphi(t)dt\)。
由于函数\(f(x)\geq0，x\in[a,b]\)，所以有\(\varphi(t)\geq0\)。
结合前面的不等式，有\[F(x)-F(c)=\int_c^x\varphi(t)dt\geq0，x\in[a,b]\]。
注意到当\(x=c\)时，左边等式成立。
根据积分的唯一性定理，我们可以得到\(\varphi(t)\geq0\)。
因此，当\(x\in[c-\delta,c+\delta)\)时，\(\varphi(t)>0\)。
进一步，根据连续函数局部连续性的定理，我们可以找到\([\alpha,\beta]\subset[c-\delta,c+\delta)\)，使得\(\varphi(t)>0\)，当\(t\in[\alpha,\beta]\)。
几类定积分不等式的证明_王阳
（苏州大学外国语学院 江苏苏州 215006）
犹太人对自己的生活是有着传统性的恪守，男婴出生第八天要 举行割礼仪式，是对再生的追求，也是对性的约束。一直生活在异
[摘 要]现代美国犹太人在美国这块“应许之地”、“希望之乡”的生 乡的犹太人对自己的身份经历了尴尬、模糊和认定的全面过程。在
分法先求出 f (x) 在[a,b] 上的最大、最小值，再用估值定理即可。
∫ 例：求证
2 exp(− 1 ) ≤ 2
1
−
2 1
exp(− x2 )dx
≤
2
2。
证：先求被积函数
f (x) = exp(− x2 ) 在 ⎡⎢⎣−
1, 2
1 ⎤ 上的最大 2 ⎥⎦
和最小值。
∫ ∫ λ f ( x )dx ≥ λ 1 f ( x )dx 。
0
0
三、利用柯西-许瓦兹不等式证明定积分不等式
( ) ∫ ∫ 当 所 求 证 的 不 等 式 中 含 有 ： b f 2 (x)dx, b f (x)dx 2 或
a
a
∫ ∫ b f (x)dx b g(x)dx 的形式时，可用柯西——许瓦兹不等式求证。
a
a
∵ f ′(x) = −2x exp(−x2 )
3.4 落地技术的对比研究
且经过 T 检验(p<0.01)，它们之间存在显著性差异，体现出两个项
最佳着地技术是尽可能加大脚跟与身体重心之间的水平距离，
目的较大差别。众所周知，助跑速度和起跳能力是决定跳跃成绩的 尽量利用身体重心的抛物线轨迹使双脚落得更远。从起跳脚离地后，
两个最为重要的因素，而在实际情况中，则恰恰是由于主观上要求 运动员身体重心抛物线的移动轨迹就已被决定。但在实际跳跃中，
浅谈定积分不等式证明中辅助函数的构造方法
浅谈定积分不等式证明中辅助函数的构造方法构造辅助函数法是高等数学中解决问题的一种重要方法，在解决实际问题中有着广泛的应用，通过研究微积分学中辅助函数的构造法，构造与问题相关的辅助函数，从而得出欲证明的结论。
尤其关于定积分不等式的证明在近几年的研究生数学考试中又频繁出现。
借助适当的辅助函数来证明定积分不等式是一种非常重要且行之有效的方法。
本文对某些定积分不等式中辅助函数的构造方法简单探讨。
标签：定积分不等式；构造；辅助函数；变限法当某些数学问题使用通常办法去考虑而很难奏效时，可根据题设条件和结论特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式——构造辅助函数。
辅助函数构造法是高等数学中一个重要的思想方法，在高等数学中广泛应用。
构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方法，在解题时，常表现为不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解。
微积分学中辅助函数的构造是在一定条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方法。
可以解决高等数学中众多难题，尤其是在微积分证明题中应用颇广，可达到事半功倍的效果。
特别是定积分不等式的证明，往往需要借助恰当的辅助函数才能顺利完成，然而，对基础一般的学生来说，构造恰当的辅助函数是相当有难度的。
笔者在教学中进行探索，找到一些可行的方法，在此与广大读者进行交流。
一、构造辅助函数的原则辅助函数的构造是有一定规律的。
当某些数学问题使用通常的方法按定势思维去考虑很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式，这就是构造辅助函数解题的一般思路。
二、构造辅助函数方法探讨1.仅告知被积函数连续的命题的证法一般来说，这类命题的证明要做辅助函数（或者说用辅助函数法更简便）。
在定积分不等式中，辅助函数φ（x）的构造方法是将定积分不等式中，积分上限（或下限）及相同字母换成x，移项使不等式一端为0，则另一端即为所设的辅助函数φ（x）。
这类命题的证明思路：（1）做辅助函数φ（x）；（2）求φ（x）的导数φ’（x），并判别φ（x）的单调性；（3）求φ（x）在积分区间[a，b]的端点值φ（a），φ（b），其中必有一个值为“0”，由第2条思路可推出φ（b）>φ（a）（或φ（b）<φ（a）），从而得出命题的证明。
定积分不等式证明方法
f x dx 表示由曲线 y f x ,x
b a b a
轴及直线
x a , x b 所围成的曲边梯形的面积的相反数.
（3） 如果连续函数 f x 正负不定, 则
f x dx 表示由曲线 y f x ,x 轴及直
线 xa , xb 所 围 成 的 一 些 小 曲 边 梯 形 的 面 积 的 代 数 和 , 有
a c a
性质 5
d
[1]
若
f x 在 a, b 上可积,且 f x 0 , c, d a, b ,则
b
f x dx f x dx .
c a
性质 6
[1]
若
f x 在 a, b 上可积, x a, b ,则
b
b a i f a ,即 n
定积分
f x dx 为一序列和的极限,这样我们可由一些序列和的不等式得到积分不
[3]
等式,下面首先给出著名的 Jensen 不等式 ,即 设 f x 为 a , b 上 的 连 续 下 凸 函 数 , 证 明 对 于 任 意 xi a, b 和 i 0 , （i=1,2,……,n）,
1.2 利用泰勒公式
定理 1
[2]
（泰勒定理）
若函数 f x 在 a , b 上存在直至 n 阶的连续导函数,在 x, x0 a, b ,至少存在一点 a, b ,
a, b 内存在{n+1}阶导函数,则对任意给定的
使得
f x f x0 f ' x0 x x0
f n x0 n!
f '' x0 2!
利用定积分证明不等式
．
Ｙ＝Ｘ ， Ｃ上 的点 Ｑ 的 ｌ 横坐 标 为 ｑ０ ｃ＜ ） （＜６ ａ ．
面积 ， 显然 一 ＜ ＋ ）
，
＝
（ — 。 ＋ ＋ ）
从 ｃ上的点 （ １ ｔ ） ７
作直 线 平行于 轴 ， 交 直线 ， 点 ＋，再 从点 ＋作直 线平 行于 Ｙ轴 ，交 于 。 。
・ ．
∑／）ｒ （ ∑ ） ’＜ ） ｎ ． （ ｆ － ＜ ｉ
用上面的性质可以简证一些不等式，下面举例 说明．
２ 一・ （ ・ 丽 ）
＜ ，
例 ３ 求证 ： 兀 ＜ ． 。 ｅ
例 １设６ 口 ０，证明 ＞＞
＜ｎ Ｉ鱼
．
’
一
证 明 因为 ｂ ａ ０ ＞ ＞ ，所以１ 皇 ＜
解 （ ａ ： ） （ Ｉ ｎ （ 过程略） ） ．
１
．
所证 的不等式两边易看成是 同区间上两个定 积分 时，就构造性质 的形式 ，用性质证明，如果所 证的不等式不易直接构成性质的形式 ， 以通过转 可 化，分类等使其具有性质 的形式 ， 然后再用性质加
（ ）由 ａ＝１ Ｉ Ｉ 知 ＋＝ ，。口 １ 。 ２ ． 。
，
因而 ｌ ｎ 皇：
・
． ．
半［卜 （］ ＝ ＝
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＜— — ． Ｔ‘ ＜ ｅ“ ． Ｉ ；
，
＜， 。
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，
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ｌ ｌ ｎ兀 ｎｅ
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．
易 。 ＜ 则 得＜ ÷ 有 ，
２ １ （ ９ ：４ ００ ２） ８
以上 本文仅 就 类 比推 理 中 的部 分 问题做 了一
定积分证明不等式例谈
中学数学月刊
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定积分证明不等式例谈
刘祖希 江苏省苏州市第一中学 ! " # $ % % & ’ 定积分已进入现行高中教材( 以定积 分 为背景的试题近来在 高考 ) 竞赛中 屡 屡 出 现* 本 文即 将表明 ( 定积分在 比 较 大 小 ) 估计 和 式 上下界 ) 证 明不等式 问题中能 发 挥 很 大 作用 * + 利用定积分的保号性比大小 保号 性 是 指 ( 定义在, ( . /上 的 可 积 函 数 01 ! 则 01 ! 2’ % ( 2’ % * 例 + 证明几 何 4 算 术平均不 等式 5 6 2 76* 证明 不妨设 % 8( #2 "2 9 2 6 显然 存在 使得 ( :8 6 ( #2 5 62 6 :2 5 6 76 # 2( < #= : ;# 5 6 6
6
3
-
.
F 利用定积分估计和式的上下界 定积分产生和应用的一个主要背景是计 算 曲 边梯 形的面 积 ( 现在用 它来 估计 小 矩 形 的面积和 * # # 例 F 求证 G #; ; ;9; H" HI # M H6; #< # J" ! ’ ( ! 6J # ( 6K L ’ * H6 # 在区间 证明 考 虑函数 0 ! B ’= HB , ? ( ? ;# / ! ? =# ( " ( I ( 9( 6 ’上的定积分 * 如图 # 显然 ( # # = N#J H? H? 对? 求和 (
/ Q
+
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W
+ VC )& J / J / @/ 0 2 0 2 10 2 X / / / 说明 & 涉及对称问题求区域边界方程 $
定积分不等式及其最佳常数的两种证明方法
定积分不等式及其最佳常数的两种证明方法定积分不等式指的是如下形式的不等式：$\left(\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx\right)^2 \leq \int_{a}^{b} f(x)^2 dx \int_{a}^{b} g(x)^2 dx$其中，$f(x)$ 和$g(x)$ 是$[a,b]$ 区间上的可积函数。
这个不等式在数学分析、物理学、经济学等领域都有广泛的应用。
下面介绍两种证明方法：方法一：使用柯西-施瓦茨不等式定积分不等式可以通过柯西-施瓦茨不等式来证明。
具体地，考虑如下积分：$\int_{a}^{b} \left[f(x) - \frac{\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx}{\int_{a}^{b} g(x)^2 dx} g(x)\right]^2 dx$其中，$f(x)$ 和$g(x)$ 是$[a,b]$ 区间上的可积函数。
这个积分可以表示为：$\int_{a}^{b} \left[f(x)^2 -2f(x) \frac{\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx}{\int_{a}^{b} g(x)^2 dx}g(x) + \left(\frac{\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx}{\int_{a}^{b} g(x)^2 dx}\right)^2 g(x)^2 \right] dx$对于第二项，由于柯西-施瓦茨不等式，有：$\int_{a}^{b} 2f(x) \frac{\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx}{\int_{a}^{b} g(x)^2 dx}g(x) dx \leq 2\sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 dx \int_{a}^{b} g(x)^2 dx}$对于第三项，由于$\int_{a}^{b} g(x)^2 dx > 0$，所以它是非负的。
因此，将这三个积分的结果加起来，得到：$\int_{a}^{b} \left[f(x) - \frac{\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx}{\int_{a}^{b} g(x)^2 dx}\right]^2 dx \geq 0$展开后即可得到定积分不等式。
定积分不等式的证明
定积分不等式的证明1. 引入定积分的定义: 首先回顾定积分的定义，对于函数f(x)在区间[a,b]上的定积分记为∫[a,b]f(x)dx。
在区间[a,b]上划分任意n个子区间，每个子区间的长度为Δx，选取任意的代表点ξ_i，那么定积分可以近似表示为∑[i=1->n]f(ξ_i)Δx。
2. 引入上和下和: 上和S_n表示将子区间的长度无限逼近为0时，以ξ_i为代表点的定积分的极限值。
即S_n = lim[n->∞](∑[i=1->n]f(ξ_i)Δx)。
同理，我们可以引入下和I_n = lim[n->∞](∑[i=1->n]f(η_i)Δx)，其中η_i为每个子区间内的最小值。
3.证明下和的单调性:为了证明定积分的不等式，我们首先证明了下和的单调性。
假设f(x)在区间[a,b]上是单调增加的函数，那么我们可以得到下面的不等式：a<x_1<η_1<f(x_1)(1)x_2<η_2<f(x_2)(2).....x_n<η_n<f(x_n)(n)根据定义我们知道，η_i是每个子区间内的最小值，那么对于上面的不等式，我们可以将其累加得到：a<x_1<η_1<f(x_1)a+x_1<x_1+η_1<η_1+f(x_1)a+x_1+x_2<x_1+x_2+η_2<η_1+η_2+f(x_2).....a+x_1+x_2+...+x_n<x_1+x_2+...+x_n+η_n<η_1+η_2+...+η_n+f( x_n)上面的不等式可以简化为：a+b_n<S_n<I_n+b_n其中b_n=f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)。
根据定积分的性质，极限的运算可以通过分别求逐项求极限来进行。
那么我们可以得到：lim[n->∞](a + b_n) < lim[n->∞]S_n < lim[n->∞](I_n + b_n)。
积分不等式的证明方法
积分不等式的证明方法摘要在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结．关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性ABSTRACTWhen we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill．In this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledge of elementary mathematics and higher mathematics better. Also our horizons can be broadened,thinking can be divergencied and innovation ability can be improved,so as to improve our efficiency of problem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing related content, complementing and promoting related content.In this paper ,two important integral inequalities along with their proof methods are given first,and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced,such as concavity and convexity of function,method of auxiliary function,important integral inequality,integral mean value theorem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper is summarized．Key words: Integral Inequality, Definite Integral,Mean Value Theorem,Cauchy-Schwarz Inequality, Monotonicty1.引言不等式在数学中有着重要的作用,在数量关系上,尽管不等关系要比相等关系更加普遍的存在于人们的现实世界里,然而人们对于不等式的认识要比方程迟的多.直到17世纪之后,不等式的理论才逐渐的成长起来,成为数学基础理论的一个重要组成部分.众所周知,不等式理论在数学理论中有着重要的地位,它渗透到了数学的各个领域中,因而它是数学领域中的一个重要的内容.其中积分不等式更是高等数学中的一个重要的内容．实际上关于定积分的概念起源于求平面图形的面积和一些其他的实际问题.有关定积分的思想在古代就有了萌芽,比如在公元前240年左右的古希腊时期,阿基米德就曾经用求和的方法计算过抛物线弓形和其他图形的面积.在历史上,积分观念的形成要比微分早.然而直到17世纪后半期,较为完整的定积分理论还没有能够形成,一直到Newton-Leibniz公式建立之后,有关计算的问题得以解决后,定积分才迅速的建立并成长起来．本论文研究的积分不等式结合了定积分以及不等式.关于它的证明向来是高等数学中的一个重点及难点.对积分不等式的证明方法进行研究，并使其系统化，在很大程度上为不同的数学分支之间架起了桥梁.深刻的理解及掌握积分不等式的证明方法可以提升我们对其理论知识的理解,同时可以提高我们的创造思维和逻辑思维．在论文的第三部分中对积分不等式的证明方法进行了详细的阐述.分别从利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理、利用定积分的性质这八个方面给出了例题及证明方法.这样通过几道常见的积分不等式的证明题,从不同的角度,用不同的方法研究、分析了积分不等式的特点,归纳总结出了其证明方法.同时论文中也对有的题目给出了多种证明方法,这启示我们对于同一道积分不等式而言它的证明方法往往不止一种,我们需要根据实际情况采用合适的方法去证明,从而达到将问题化繁为简的目的．2.几个重要的积分不等式在高等数学的学习中我们遇到过许多重要的积分不等式,如Cauchy-Schwarz 不等式,Young 不等式等.它们的形式及证明方法都有很多种,在这一小结中我们将给出这两种积分不等式的证明方法．2.1 Cauchy-Schwarz 不等式无论是在代数还是在几何中Cauchy-Schwarz 不等式的应用都很广泛,它是不同于均值不等式的另一个重要不等式．其形式有在实数域中的、微积分中的、概率空间()P F ,,Ω中的以及n 维欧氏空间中的4种形式.接下来在这一部分中我们将对其在微积分中的形式进行研究．定理2.1[1] 设()f x , ()g x 在[,]a b 上连续,则有[()()b af xg x dx ⎰]2≤{2[()]b af x dx ⎰}⋅ {2[()]bag x dx ⎰}．证明：要证明原不等式成立,我们只需要证()()()()2220bbbaaa fx dx g x dx f x g x dx ⎡⎤⋅-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 成立． 设()()()()()222tttaa a F t f x dx g x dx f x g x dx ⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰,则只要证()()F b F a ≥成立,由()F t 在[,]a b 上连续,在(),a b 内可导,得()()()()()()()()()22222t t taaaF t f t g x dx g t f x dx f t g t f x g x dx'=+-⎰⎰⎰()()()()()()()()22222ta f t g x f t g t f x g x g t f x dx ⎡⎤=-+⎣⎦⎰()()()()20ta f t g x g t f x dx =-≥⎡⎤⎣⎦⎰．(2.1)由(2.1)式可知()F t 在[,]a b 上递增,由b a >,知()()F b F a >,故原不等式成立． 证毕实际上关于Cauchy-Schwarz 不等式的证明方法有很多,这里我们采用的证明方法是较为普遍的辅助函数法,它将要证明的原积分不等式通过移项转变为了判断函数在两个端点处函数值大小的问题．通过观察我们可以进一步发现原Cauchy-Schwarz 不等式能够改写成以下行列式的形式()()()()()()()()0b baabbaaf x f x dxg x f x dx f x g x dxg x g x dx≥⎰⎰⎰⎰,由此我们可以联想到是否可以将它进行推广？答案是肯定的.下面我们将给出Cauchy Schwarz -不等式的推广形式．定理2.2[2] 设()f x ,()g x ,()h x 在[],a b 上可积,则()()()()()()()()()()()()()()()()()()0bbbaaabbbaaabbbaaaf x f x dxg x f x dxh x f x dxf xg x dx g x g x dxh x g x dx f x h x dxg x h x dxh x h x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．证明：对任意的实数1t ,2t ,3t ,有()()()()2123bat f x t g x t h x dx ++⎰()()()222222123bbbaaat f x dx t g x dx t h x dx=++⎰⎰⎰()()()()()()1213232220bbb aaat t f x g x dx t t f x h x dx t t g x h x dx +++≥⎰⎰⎰．注意到关于1t ,2t ,3t 的二次型实际上为半正定二次型, 从而其系数矩阵行列式为()()()()()()()()()()()()()()()2220bbbaaab bba aabbbaaaf x dxg x f x dxh x f x dxf xg x dxgx dxh x g x dx f x h x dx g x h x dxh x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 证毕以上的推广是将Cauchy-Schwarz 不等式的行列式由二阶推广到了三阶的形式,事实上Cauchy-Schwarz 不等式是一个在很多方面都很重要的不等式,例如在证明不等式,求函数最值等方面.若能灵活的运用它则可以使一些较困难的问题得到解决.下面我们会在第三部分给出Cauchy-Schwarz 不等式及其推广形式在积分不等式证明中的应用．除了Cauchy-Schwarz 不等式之外还有很多重要的积分不等式,例如Young 不等式,相较于Cauchy-Schwarz 不等式我们对Young 不等式的了解比较少,实际上它也具有不同的形式且在现代分析数学中有着广泛的应用.接着我们将对Young 不等式进行一些研究．2.2 Young 不等式Young 不等式,以及和它相关的Minkowski 不等式,HÖlder 不等式,这些都是在现代分析数学中应用十分广泛的不等式,在调和函数、数学分析、泛函分析以及偏微分方程中这三个不等式的身影随处可见,是使用得最为普遍,最为平凡的知识工具.下面我们将给出积分形式的Young 不等式的证明．定理 2.3[3] 设()f x 在[0,]c （0c >）上连续且严格递增,若(0)0f =,[0,]a c ∈且[0,()]b f c ∈,则100()()abf x dx f x dx ab -+≥⎰⎰,其中1f -是f 的反函数,当且仅当()b f a =时等号成立．证明：引辅助函数0()()ag a ab f x dx =-⎰, (2.2)把0b >看作参变量,由于()()g a b f a '=-,且f 严格递增,于是当 10()a f b -<<时,()0g a '>；当 1()a f b -=时,()0g a '=；当 1()a f b ->时,()0g a '<． 因此 当1()a f b -=时,()g a 取到g 的最大值,即()()()()b f g x g a g 1m ax -=≤ (2.3)由分部积分得11()()11(())()()()f b f b g f b bf b f x dx xdf x ----=-=⎰⎰,作代换()y f x =,上面积分变为110(())()bg f b f y dy --=⎰, (2.4)将(2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得110()()()a bbab f x dx f y dy f x dx ---≤=⎰⎰⎰,即10()()a bf x dx f x dx ab -+≥⎰⎰． 证毕3.定积分不等式常见的证明方法关于积分不等式的证明方法较为繁多,难度及技巧性也较大,因此对其进行系统的归纳总结是很有必要的．在这一部分中我们将归纳出利用辅助函数、微分中值定理、重要积分不等式及积分中值定理等证明积分不等式的方法．3.1 利用函数的凹凸性在数学分析以及高等数学中,我们常常会遇到一类特殊的函数—凸函数．凸函数具有重要的理论研究价值和广泛的实际应用,在有些不等式的证明中,若能灵活地利用凸函数的性质往往能够简洁巧妙的解决问题．下面给出一个例子加以说明．定理3.1 若()t ϕ定义在间隔(),m M 内,且()0t ϕ''>,则()t ϕ必为下凸函数．定理3.2 设()f x 在[,]a b 上为可积分函数,而()m f x M ≤≤．又设()t ϕ在间隔m t M ≤≤内为连续的下凸函数,则有不等式()()()11b b a af x dx f x dx b a b aϕϕ⎛⎫≤⎪--⎝⎭⎰⎰．例3.1[4] 设()f x 在[],a b 上连续,且()0f x >,求证：()()()21bba a f x dx dxb a f x ≥-⎰⎰． 证明: 取()u u 1=ϕ, 因为()210u u ϕ'=-<,()320u uϕ''=>,()0>u 即在0u >时,()y u ϕ=为凸函数,故有()()()11b b a a f x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≤ ⎪--⎝⎭⎰⎰， 即()()1babadxf x b ab a f x dx-≤-⎰⎰，故()()()21b b a a f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰． 证毕 在上述的题目中我们可以发现在证明中常常先利用导数来判断函数的凹凸性,然后再利用凹（凸）函数的性质来证明不等式．然而对于实际给出的题目,我们往往需要先构造一个凹（凸）函数,然后才能利用其性质来证明我们所要证明的问题．3.2 辅助函数法辅助函数法是积分不等式证明中的一种非常重要的方法,往往我们会根据不等式的特点,构造与问题相关的辅助函数,考虑在相同的区间上函数所满足的条件,从而得出欲证明的结论．在第二部分中我们用辅助函数法对Cauchy-Schwarz 不等式进行了证明,下面将对用辅助函数法证明积分不等式进行进一步的探讨．[5]设函数()f x 在区间[]0,1上连续且单调递减,证明：对)1,0(∈∀a 时,有： ()10()af x dx a f x dx ≥⎰⎰．证明：令()01()xF x f t dt x =⎰ ()01x <≤,由()x f 连续,得()x F 可导 则()()()02xf x x f t dtF x x ⋅-'=⎰ ()()2f x x f x xξ⋅-⋅=()()f x f x ξ-=, (0)x ξ<<． 因为()f x 在[0,1]上单调减少,而0x ξ<<,有()()f x f ξ<,从而()0F t '<,()F x 在(0,1]上单调减少,则对任意(0,1)a ∈,有()(1)F a F ≥． 即()1001()af x dx f x dx a≥⎰⎰,两边同乘a ,即得()100()a f x dx a f x dx ≥⎰⎰． 证毕 本题根据积分不等式两边上下限的特点,在区间)1,0(上构造了一个辅助函数,进一步我们可以思考对于一般的情形,该题的结论是否依然成立呢？答案是肯定的.设函数()f x 在区间[]0,1上连续且单调递减非负,证明：对)1,0(,∈∀b a ,且10<≤<b a 时,有: ()0()aba a f x dx f x dx b≥⎰⎰． 证明：令()01()xF x f t dt x=⎰,()01x <≤,由()x f 连续,得()x F 可导, 则 ()()()02x f x x f t dtF x x⋅-'=⎰ ()()2f x x f xx ξ⋅-⋅=()()f x f xξ-=,(0)x ξ<<．因为()f x 在[0,1]上单调减少,而0x ξ<<,有()()f x f ξ<,从而()0F t '<,()F x 在(0,1]上单调减少,则对任意10<≤<b a ,有()()F a F b ≥,即()()0011a bf t dt f t dt a b≥⎰⎰． (3.1)由f 非负,可得()()dx x f dx x f bab ⎰⎰≥0． (3.2)结合(3.1)式和(3.2)式可得()()011a ba f x dx f x dx a b≥⎰⎰．即()()0aba a f x dx f x dx b≥⎰⎰． 证毕 [6] 函数()f x 在[,]a b 上连续,且()0>x f 试证：21()()()bbaaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰． 在例3.1中我们给出了本题利用函数的凹凸性证明的过程,在这里我们将给出其利用辅助函数法证明的过程．证明: 构造辅助函数()()()()2xxa adt x f t dt x a f t φ=--⎰⎰, 则 ()()()()()()12xx aa dt x f x f t dt x a f t f x φ'=+⋅--⎰⎰()()()()2xx x aa a f x f t dt dt dt f t f x =+-⎰⎰⎰()()()()20xaf x f t dt f t f x ⎡⎤=+-≥⎢⎥⎣⎦⎰, 所以()x φ是单调递增的,即()()0b a φφ≥=,故()()()21bbaaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰． 证毕 [7]设()x f 在[]b a ,上连续且单调增加,证明：()()⎰⎰+≥babadx x f b a dx x xf 2． 证明: 原不等式即为()()02≥+-⎰⎰baba dx x fb a dx x xf ,构造辅助函数()()()2t ta a a t F t xf x dx f x dx +=-⎰⎰ ,[],t ab ∈, 则()()()()122t a a t F t tf t f x dx f t +'=--⎰ ()()()12t a t a f t f x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰ ()()()()12t a f t f ζ=-- , (),a t ζ∈．因为a t ζ≤≤,()f x 单调增加,所以()0F t '≥．故()F t 在[],a b 上单调递增,且()0F a =, 所以对(,]x a b ∀∈,有()()0F x F a ≥=．当x b =时,()0F b ≥．即()()02bbaaa b xf x dx f x dx +-≥⎰⎰,故原不等式成立, 证毕通过以上几道题目的观察我们可以发现：1.当已知被积函数连续时,我们可以把积分的上限或者是下限作为变量,从而构造一个变限积分,然后利用辅助函数的单调性加以证明．2.辅助函数法实际上是一种将复杂的问题转化为容易解决的问题的方法．在解题时通常表现为不对问题本身求解而是对与问题相关的辅助函数进行求解,从而得出原不等式的结论．3.3 利用重要积分不等式在第2部分中我们给出了Cauchy-Schwarz 不等式以及它的推广形式的证明过程,实际上Cauchy-Schwarz 不等式的应用也很广泛,利用它可以解决一些复杂不等式的证明.在这一小节中我们将通过具体的例子来加以说明它在证明积分不等式中的应用．[8]函数()f x 在[]0,1上一阶可导,()()100f f ==,试证明：()()112214f x dx f x dx '≤⎰⎰．证明：由()()()00xf x f t dt f '=+⎰和()()()11x f x f t dt f '=-+⎰可得()()()()()21222201xx xfx f t dtdt f t dt x f x dx '''=≤≤⎰⎰⎰⎰, 1(0,)2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()()()()()21111222201(1)x x x fx f t dtdt f t dt x f x dx '''=≤≤-⎰⎰⎰⎰, 1(,1)2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 因此()()112220018f x dx f x dx '≤⎰⎰,(3.3)()()112210218f x dx f x dx '≤⎰⎰． (3.4) 将(3.3)式和(3.4)式相加即可以得到()()112214f x dx f x dx '≤⎰⎰． 证毕[2]设()f x ,()g x 在[],a b 上可积且满足：()0m f x M <≤≤,()0ba g x dx =⎰,则以下两个积分不等式()()()()()()()22222bb b baaaaf xg x dxf x dxg x dx m b a g x dx ≤--⎰⎰⎰⎰及()()()()()2222bbbaaaM m f x g x dxf x dxg x dx M m -⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰成立．证明：取()1h x =,由()0b ag x dx =⎰及定理2.2知()()()()()()()()2200bbbaaab baabaf x dxg x f x dxf x dxf xg x dxg x dx f x dxb a-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()()()222220bbbbbaa a a ab a fx dx g x dx f x dx g x dx b a f x g x dx=-⋅---≥⎰⎰⎰⎰⎰．因此()()()()()()()()222221bbbbbaaaaaf xg x dxfx dx g x dx f x dxg x dx b a≤--⎰⎰⎰⎰⎰． (3.5)由()m f x ≤可知()()()222baf x dxm b a ≥-⎰,因而()()()()()()()22222bbbbaaa a f x g x dxfx dx g x dx m b a g x dx ≤--⎰⎰⎰⎰．由于()0m f x M <≤≤,因此()2222M m M m f x +-⎛⎫⎛⎫-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．化简得()()()2f x Mm M m f x +≤+,两边同时积分得 ()()()()2bbaaf x dx Mm b a M m f x dx +-≤+⎰⎰,由算数-几何平均值不等式可知 ()()()()222bbaaf x dx Mm b a f x dx Mm b a ⋅-≤+-⎰⎰,于是()()()()()2224babab a f x dxM m Mmf x dx-+≤⎰⎰．则()()()221bbaaf x dxg x dx b a -⎰⎰()()()()()()2222bbbabaa af x dxfx dx g x dxb a f x dx=-⎰⎰⎰⎰()()()2224bbaaMmf x dxg x dx M m ≥+⎰⎰．(3.6)由式(3.5)和式(3.6)可知()()()()()2222bbbaaaM m f x g x dxf x dxg x dx M m -⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰． 证毕以上两道题分别利用了Cauchy-Schwarz 不等式及其推广形式．我们在证明含有乘积及平方项的积分不等式时应用Cauchy-Schwarz 不等式颇为有用,但要注意选取适当的()x f 与()x g ,有时还需对积分进行适当的变形．3.4 利用积分中值定理积分中值定理展现了将积分转化为函数值,或者是将复杂函数积分转变为简单函数积分的方法.其在应用中最重要的作用就是将积分号去掉或者是将复杂的被积函数转化为相比较而言较为简单的被积函数,从而使得问题能够简化.因此合理的利用积分中值定理能够有效的简化问题.下面将通过两道例题来说明．定理 3.3（积分第一中值定理） 若()f x 在[,]a b 上可积且()m f x M ≤≤,则存在[,]u m M ∈使()()ba f x dx ub a =-⎰成立.特别地,当()f x 在[,]a b 上连续,则存在[,]c a b ∈,使()()()baf x dx f c b a =-⎰成立．定理 3.4（积分第一中值定理的推广） 若函数()x f ,()x g 在区间[]b a ,上可积,()x f 连续,()x g 在[]b a ,上不变号,则在积分区间[]b a ,上至少存在一个点ε,使得下式成立()()()()⎰⎰=babadx x g f dx x g x f ε．定理3.5（积分第二中值定理的推广） 若函数()x f ,()x g 在区间[]b a ,上可积,且()x f 为单调函数,则在积分区间[]b a ,上至少存在一个点ε,使得下式成立 ()()()()()()⎰⎰⎰+=εεabbadx x g b f dx x g a f dx x g x f ．设函数()f x 在区间[]0,1上连续单调递减,证明：对)1,0(,∈∀b a ,且10<≤<b a 时,有()0()aba a f x dx f x dx b≥⎰⎰,其中()0≥x f ． 用辅助函数法证明的过程,实际上这道题目还可以用积分第一中值定理来证明,下面我们将给出证明过程．证明：由积分中值定理知 ()()10af x dx f a ξ=⋅⎰, []10,a ξ∈； ()()()2baf x dx f b a ξ=⋅-⎰,[]2,a b ξ∈；因为12ξξ≤,且()f x 递减,所以有()()12f f ξξ≥,即 ()()()0111a b ba a f x dx f x dx f x dx ab a b ≥≥-⎰⎰⎰, 故 ()()0a baa f x dx f x dxb ≥⎰⎰． 证毕设()x f 在[]b a ,上连续且单调增加,证明：()()⎰⎰+≥babadx x f b a dx x xf 2． 同样地，在之前的证明中我们给出了此题利用辅助函数法证明的过程,仔细分析观察这道题目我们还可以发现它可以用积分第一、第二中值定理的推广形式来证明,接着我们将给出此题在这两种方法下的证明过程．证法一证明: ()2ba ab x f x dx +⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰()()2222a bb a b a a b a b x f x dx x f x dx ++++⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰． 由定理3.4可知,分别存在1,2a b a ξ+⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2,2a b b ξ+⎛⎫∈⎪⎝⎭, 使得 ()()22122a ba baa ab a b x f x dx f x dx ξ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰,()()22222b b a b a b a b a b x f x dx f x dx ξ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰, 因此()()()()()22128ba ab a b x f x dx f f ξξ-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰,由于()x f 在[]1,0单调增加的,且1201ξξ<<<,所以有 ()()210f f ξξ-≥．从而()02ba ab x f x dx +⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭⎰,故原不等式成立, 证毕 证法二证明:由定理3.5可知：存在(),a b ξ∈,使得 ()2ba ab x f x dx +⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰()()22b a a b a b f a x dx f b x dx ξξ++⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()()()()f a f b a b ξξ=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．由()x f 单调增加及(),a b ξ∈知()()0f a f b -<,0a ξ->,0b ξ-<．可得()02ba ab x f x dx +⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭⎰,故原不等式成立, 证毕 通过上述两道题目我们可以了解到积分中值定理在实际应用中起到的重要作用就是能够使积分号去掉,或者是将复杂的被积函数转化为相对而言较简单的被积函数,从而使问题得到简化.因此,对于证明有关结论中包含有某个函数积分的不等式,或者是要证明的结论中含有定积分的,可以考虑采用积分中值定理,从而去掉积分号,或者化简被积函数．3.5 利用积分的性质关于积分的性质在高等数学的学习中我们已经学到了很多,我们可以利用它来证明许多问题.在这里我们主要利用定积分的比较定理和绝对值不等式等性质对问题进行分析处理．[9]设()f x 在[]0,1上导数连续,试证：[]0,1x ∀∈,有()()()10f x f x f x dx ⎡⎤'≤+⎣⎦⎰． 证明：由条件知()f x 在[]0,1上连续,则必有最小值,即存在[]00,1x ∈,()()0f x f x ≤,由()()()00xx f t dt f x f x '=-⎰⇔()()()00xx f x f x f t dt '=+⎰,()()()00x x f x f x f t dt '=+⎰≤()()00x x f x f t dt '+⎰≤()()100f x f t dt '+⎰()()11000f x dt f t dt '=+⎰⎰≤()()1100f t dt f t dt '+⎰⎰()()10f t f t dt ⎡⎤'=+⎣⎦⎰()()10f x f x dx ⎡⎤'=+⎣⎦⎰.故原不等式成立, 证毕3.6 利用泰勒公式在现代数学中泰勒公式有着重要的地位,它在不等式的证明、求极限以及求高阶导数在某些点的数值等方面有着重要的作用.关于泰勒公式的应用已经有很多专家学者对其进行了深入的研究,下面我们将举例说明利用泰勒公式也是证明积分不等式的一种重要方法．定理 3.6(带有拉格朗日型余项的Taylor 公式) 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶连续导数,则对该邻域内异于0x 的任意点x ,在0x 与x 之间至少存在一点ξ,使得：20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ (1)其中(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+（ξ在x 与0x 之间）称为拉格朗日型余项,(1)式称为泰勒公式．[10] 设()f x 在[],a b 上有二阶连续导数,()()0f a f b ==,[](),max x a b M f x ∈''=,试证明:()()312bab a f x dx M -≤⎰．证明：对(),x a b ∀∈,由泰勒公式得()()()()()()212f a f x f x a x f a x ξ'''=+-+- , (),a x ξ∈,()()()()()()212f b f x f x b x f b x η'''=+-+-, (),x b η∈, 两式相加得 ()()()()()()22124a b f x f x x f a x f b x ξη+⎛⎫⎡⎤'''''=---+- ⎪⎣⎦⎝⎭, 两边积分得 ()()()()()()22124b bb aaa ab f x dx f x x dx f a x f b x dx ξη+⎛⎫⎡⎤'''''=---+- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰, 其中 ()()()22b b b a a a a b a b f x x dx x df x f x dx ++⎛⎫⎛⎫'-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰, 于是有 ()()()()()2218bb a a f x dx f a x f b x dx ξη⎡⎤''''=-+-⎣⎦⎰⎰, 故()()()()223812bb aa M M f x dx a xb x dx b a ⎡⎤≤-+-=-⎣⎦⎰⎰． 证毕 [6]设()f x 在[],a b 上有二阶导数,且()0f x ''>,求证 ()()2b aa b f x dx b a f +⎛⎫≥- ⎪⎝⎭⎰． 证明：将()f x 在02a bx +=处作泰勒展开得到()()2122222a b a b a b a b f x f f x f x ξ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ,2a b x ξ+⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为()0f x ''>,所以可以得到 ()222a b a b a b f x f f x +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫'≥+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 对不等式两边同时积分得到 ()()222b b a a a b a b a b f x dx f b a f x dx +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫'≥-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰． 因为02b a a b x dx +⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰, 所以有()()2b a a b f x dx b a f +⎛⎫≥- ⎪⎝⎭⎰． 证毕通过这两道题目我们大致可以了解到当题目中出现被积函数在积分区间上有意义且有二阶及二阶以上连续导数时,是提示我们用泰勒公式证明的最明显的特征．一般情况下我们选定一个点o x ,并写出()x f 在这个点o x 处的展开公式,然后进行适当的放缩或与介值定理相结合来解决问题．3.7 利用重积分在一些积分不等式的证明中,由于被积函数的不确定,从而我们不能求出其具体的数值,这时我们可以将定积分转换为二重积分再利用其性质来求解．以下列举了3种利用重积分来证明积分不等式的方法,这种技巧在高等数学中虽然不常见,但却是很重要的,下面我们将通过3道例题来进一步说明．命题一[11]：若在区间[,]a b 上()()f x g x ≥,则()()bba a f x dx g x dx ≥⎰⎰．[11] 设()f x ,()g x 在[,]a b 上连续,且满足：()()xxaaf t dtg t dt ≥⎰⎰,[,]x a b ∈,()()b b a a f t dt g t dt =⎰⎰,证明：()()b ba axf x dx xg x dx ≤⎰⎰．证明：由题得()()x xaaf t dtg t dt ≥⎰⎰,从而可以得到()()b x b x aaaadx f t dt dx g t dt ≥⎰⎰⎰⎰,即[()()]0b xa adx f t g t dt -≥⎰⎰．左式[()()]b xaadx f t g t dt =-⎰⎰ [()()]Df tg t dxdt =-⎰⎰ (其中{(,)|,}D x t a x b a t x =≤≤≤≤)[()()]b b atdt f t g t dx =-⎰⎰ ()[()()]bab t f t g t dt =--⎰[()()][()()]b b b b aaaab f t dt g t dt tf t dt tg t dt =---⎰⎰⎰⎰[()()]0b baatf t dt tg t dt =--≥⎰⎰．则 ()()0b b aatf t dt tg t dt -≤⎰⎰ , 即()()b baaxf x dx xg x dx ≤⎰⎰． 证毕在本题中我们将一元积分不等式()()x xaaf x dxg x dx ≥⎰⎰的两边同时增加一个积分变量badx ⎰，使得一元积分不等式化为二元积分不等式，然后巧妙的运用转换积分变量顺序的方法达到证明一元积分不等式的方法.在利用重积分来证明积分不等式的时候，我们不但可以采用直接增元法，还可以采用转换法.关于转换法又分为将累次积分转换为重积分，以及将常数转换为重积分这两种形式.下面我们将依次来介绍这两种方法.1.将累次积分转为重积分命题二[11] 若()f x 在[,]a b 上可积,()g y 在[,]c d 上可积,则二元函数()()f x g y 在平面区域{(,)|,}D x y a x b c y d =≤≤≤≤上可积,且()()()()()()bd b dacacDf xg y dxdy f x dx g y dy f x dx g x dx ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．其中{(,)|,}D x y a x b c y d =≤≤≤≤[11] 设()p x ,()f x ,()g x 是[,]a b 上的连续函数,在[,]a b 上,()0p x >,()f x ,()g x 为单调递增函数,试证：()()()()()()()()bb b baaaap x f x dx p x g x dx p x dx p x f x g x dx ≤⎰⎰⎰⎰．证明：由()()()()()()()()b bbbaaaap x f x dx p x g x dx p x dx p x f x g x dx ≤⎰⎰⎰⎰可知：()()()()()()()()0bb b baaaap x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx -≥⎰⎰⎰⎰,令()()()()()()()()b bbbaaaaI p x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx =-⎰⎰⎰⎰,下证0I ≥；()()()()()()()()b b b baaaaI p x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx =-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()b b b baaaap x dx p y f y g y dy p x f x dx p y g y dy =-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()bbbba a aap x p y f y g y dxdy p x f x p y g y dxdy =-⎰⎰⎰⎰()()()[()()]bba ap x p y g y f y f x dxdy =-⎰⎰． (3.7)同理()()()()()()()()bbbbaaaaI p x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx =-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()b b b baaaap y dy p x f x g x dx p y f y dy p x g x dx =-⎰⎰⎰⎰()()()[()()]b baap y p x g x f x f y dxdy =-⎰⎰． (3.8)(3.7)+(3.8) 得2()()[()()][()()]bbaaI p x p y g y g x f y f x dxdy =--⎰⎰,因为()f x ,()g x 同为单调增函数,所以[()()][()()]0g y g x f y f x --≥ 又因为()0p x >,()0p y >,故2()()[()()][()()]0bbaaI p x p y g y g x f y f x dxdy =--≥⎰⎰,即0I ≥． 证毕2.将常数转换为重积分的形式在例中我们介绍了将累次积分转换为重积分,在下面的例中我们将对常数转换为重积分来进行说明．我们可以发现有这样一个命题,若在二重积分中被积函数(,)f x y k =,则可得到2()Dkd k b a σ=-⎰⎰,其中{(,)|,}D x y a x b a y b =≤≤≤≤．函数()f x 在[,]a b 上连续,且()0>x f 试证：21()()()b baaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰．本题与前面的例3.1以及例题目,在这里我们将利用重积分证明此题． 证明：原题即为 1()()bba aDf x dx dy d f y σ≥⎰⎰⎰⎰, 移项可得()(1)0()Df x d f y σ-≥⎰⎰,()()()2(1)(1)(1)0()()()DD Df x f x f y d d d f y f y f x σσσ-=-+-≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 所以即为证()()(2)0()()Df x f y d f y f x σ+-≥⎰⎰,因为()0f x ≥,()0f y ≥,所以()()20()()f x f y f y f x +-≥． 故 ()()(2)0()()Df x f y d f y f x σ+-≥⎰⎰ 恒成立,即21()()()b b a a f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰成立, 证毕通过以上三道例题我们可以大致了解到，在这一类定积分不等式的证明过程中我们一般先将所要证明的不等式转化为二次积分的形式,进一步再转换为二重积分,最后利用二重积分的性质或其计算方法得出结论.这种方法克服了数学解题过程中的高维数转化为低维数的思维定势,丰富了将二重积分与定积分之间互化的数学思想方法．3.8 利用微分中值定理微分中值定理是数学分析中的重要的一个基本定理,它是指罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理这四种定理.关于微分中值定理的应用也是很广泛的,证明不等式是微分中值定理最基本的应用之一.在这里我们将对利用柯西中值定理及拉格朗日中值定理证明积分不等式进行研究.下面将通过两个例子来具体说明这两个定理在证明积分不等式中的应用,以及不同的微分中值定理在证明不等式时的区别．[12] 设()0f a =,()f x 在区间[],a b 上的导数连续,证明：()()[]()2,11max 2bax a b f x dx f x b a ∈'≤-⎰． 证明：应用Lagrange 中值定理,(),a x ξ∃∈,其中a x b <<,使得 ()()()()f x f a f x a ξ'-=-, 因为()0f a =, 所以()f x M x a ≤-, [](),max x a b M f x ∈'=,从a 到b 积分得 ()bb aaf x dx M x a dx ≤-⎰⎰()()222bab M M x a dx x a =-=-⎰()()()221max 22M b a f x b a '=-=-．即()()[]()2,11max 2bax a b f x dx f x b a ∈'≤-⎰. 证毕 [13] 设函数()f x 在[]0,1上可微,且当()0,1x ∈时,()01f x '<<,()00f =试证：()()()21130f x dxf x dx >⎰⎰．证明：令()()()2xF x f t dt =⎰,()()30xG x f t dt =⎰,()(),F x G x 在[]0,1上满足柯西中值定理,则()()()()()()()()()211301010f x dxF F FG G G f x dxξξ'-=='-⎰⎰()()()()()003222f f t dt f t dt f f ξξξξξ==⎰⎰()01ξ<< ()()()()02220f t dt f t dtf fξξ-=-⎰⎰()()()22f f f ηηη='()11f η=>' , ()01ηξ<<<．所以()()()21120f x dxf x dx >⎰⎰． 证毕通过以上两道题目可以发现：1.在应用Lagrange 中值定理时先要找出符合条件的函数()f x ,并确定()x f 在使用该定理的区间[]b a ,,对()x f 在区间[]b a ,上使用该定理．若遇到不能用该定理直接证明的,则从结论出发,观察并分析其特征,构造符合条件的辅助函数之后再应用Lagrange 中值定理．2.在研究两个函数的变量关系时可以应用Cauchy 中值定理,在应用该定理证明不等式时关键是要对结果进行分析,找出满足Cauchy 中值定理的两个函数()x f ,()x g ,并确定它们应用柯西中值定理的区间[]b a ,,然后在对()x f ,()x g 在区间[]b a ,上运用Cauchy 中值定理．无论是Cauchy 中值定理还是Lagrange 中值定理在积分不等式的证明中都各具特色,都为解题提供了有力的工具.总之在证明不等式时需要对结论认真的观察有时还需要进行适当的变形,才能构造能够应用中值定理证明的辅助函数,进而利用微分中值定理证明不等式．4．总结我们通过查阅有关积分不等式的文献和资料,并对其中的相关内容进行对比和分析后,将有关的内容加以整理并扩充形成了本文.在论文中给出了两个重要的积分不等式的证明以及总结了八种积分不等式的证明方法.然而由于自己的参考资料面不够广,参考的大多数文献都是仅给出了例题及其证明方法,而并没有给出进一步的分析,同时自己的知识面较窄,能力有限,导致还有很多难度较大的问题尚未解决．例如,在实际的问题中,还有一些证明方法是我们所不知道的,并且还有一些不等式并不能用本文所给出的八种方法来证明,这就需要我们进一步的思考与研究.今后我们应该更多的参考其他资料,充分拓展思路,以便于提出新的观点．参考文献[1]王宇,代翠玲,江宜华．一个重要积分不等式的证明、推广及应用[J]．荆州师范学院学报(自然科学版),2000,23(5)：106[2] 张盈．Cauchy-Schwarz不等式的证明、推广及应用[J]．高师理科学刊,2014,34(3):34-37[3] 黄群宾．积分不等式的证明[J]．川北教育学院学报,1996,6(4):22-27[4] 李志飞．积分不等式的证明[J]．高等数学研究,2014,17(6)：50-51[5]郝涌,王娜,王霞,郭淑利．数学分析选讲[M]．北京：国防工业出版社,2014[6]张瑞,蒋珍．定积分不等式证明方法的研究[J]．河南教育学院学报(自然科学版),2011,20(2)：18[7]林忠．一个积分不等式的几种证明方法[J]．成都教育学院学报,2006,20(12)：66[8]刘法贵．证明积分不等式的几种方法[J]．高等数学研究,2008,11(1):122[9] 苏德矿,李铮,铁军．数学强化复习全书[M]．北京：中国证法大学出版社,2015[10] 李小平,赵旭波．定积分不等式几种典型证法[J]．高等数学研究,2009,12(6):13-17[11] 黄云美．重积分在积分不等式证明中的应用[J]．杨凌职业技术学院学报,2014,13(3):27-33[12] 葛亚平．积分不等式证明的再认识[J]．河南教育学院学报(自然科学版),2015,24(3):18-20[13] 王丽颖,张芳,吴树良．积分不等式的证法[J]．白城师范学院学报,2007,21(3): 19-22。
积分不等式的证明方法及其应用
积分不等式的证明方法及其应用【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个证明积分不等式的基本方法，并给出了相应的例题，从而更好地掌握其积分不等式的证明方法。
尔后再给出四个重要积分不等式及其证明方法和应用，最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式等上的应用及两个重要积分不等式的应用。
【关键词】积分不等式 Schwarz 不等式 Ho ..lder 不等式 Gronwall 不等式Young 不等式1 引言在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz 公式求出（如210x e dx -⎰），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计算；另一种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或某些性质（例如设函数f 在[]0,1上连续可微，且(1)(0)1f f -=，求1'20()f x dx ⎰），因此我们希望对积分值给出某种估计.为此我们来研究下积分不等式. 我们把含有定积分的不等式称为积分不等式.⎰⎰≤2121ln ln xdx x xdx x ，()()22()cos ()sin 1bbaaf x kxdx f x kxdx+≤⎰⎰都是积分不等式.2积分不等式的证明方法2.1 定义法我们根据定积分的定义，把积分区间n 等分，得出积分和，再由离散型式子，得出积分和之间的大小关系，再令∞→n ，取极限即可.例1设函数)(x f 在区间 []0,1上可积 .试证明有不等式10()f x dx ⎰.证 先用Jensen 不等式法证明不等式 : 对 R x x x n ∈∀,,,21 , 有不等式nx x x n x x x nn 2222121+++≤+++ . 设T 为区间] 1 , 0 [的n 等分.由上述不等式,有∑∑==⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni ni nn i fnn i f 1211 1. 令∞→n , 注意到函数)(x f 和)(2x f 在区间 [ 0 , 1 ]上的可积性以及函数 ||x 和x 的连续性，就有积分不等式1()f x dx ⎰.例2 设f 在区间[],a b 上连续，()0p x ≥，()0b ap x dx ≥⎰，且()m f x M ≤≤，()h x 在[],m M 上有定义，并有二阶导数''()0h x >，试证明：()()()(())()()()b baabbaap x f x dxp x h f x dxh p x dxp x dx≤⎰⎰⎰⎰.证 （利用积分和）将[],a b n 等分，记()i i x a b a n =+-，()i i p p x =，()i i f f x =，1,2,3i =因为''()0h x >，所以()h x 为凸函数，所以1111()()nni iiii i nniii i p fp h f h pp====≤∑∑∑∑则有1111()()nni ii i i i nni i i i b a b ap f p h f n n h b a b a p p n n ====--≤--∑∑∑∑ 令n →+∞取极限，便得欲证明的积分不等式.2.2 利用定积分的基本性质例3 设)(x f 在[],a b 上二次连续可微，()02a bf +=，试证：3()()24b a M b a f x dx -≤⎰，其中''sup ()a x bM f x ≤≤=.证 将)(x f 在2a b x +=处用泰勒公式展开，注意到()02a bf +=，则 '''21()()()()()222!2a b a b a b f x f x f x ξ+++=-+-，)(x f 的右端第一项在[],a b 上的积分为0，故''21()()()2!2bb aa ab f x dx f x dx ξ+=-⎰⎰''21()()22b a a b f x dx ξ+≤-⎰31()|62ba ab M x +≤- 3()24M b a -=，其中''sup ()a x bM f x ≤≤=.例4设函数()f x 在[]0,1连续且递增，证明：对任意()0,1k ∈，有1()()kf x dx k f x dx ≤⎰⎰.证1 11000()()()()()kk kk k f x dx f x dx k f x dx f x dx f x dx ⎡⎤-=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 1(1)()()kkk f x dx k f x dx =-+⎰⎰ []12(1)()()k k f f ξξ=--0≥12(1)k ξξ<<<<其中0,移项即得.证2 1()()kf x dx k f x dx ≤⎰⎰1()()()kkkf x dx k f x dx k f x dx ⇔≤+⎰⎰⎰10(1)()()kk k f x dx k f x dx ⇔-≤⎰⎰或1011()()1k kf x dx f x dx k k ≤-⎰⎰但f 在闭区间[]0,1上连续且递增，故1011()()()1k k f x dx f k f x dx k k ≤≤-⎰⎰，即 1011()()1k k f x dx f x dx k k≤-⎰⎰成立，原题获证. 2.3 利用重积分证明积分不等式把积分不等式中的定积分变换成重积分，再利用重积分的性质证明积分不等式. 例5 已知()0f x ≥，在[],a b 上连续，()1ba f y dy =⎰，k 为任意实数，求证：()()22()cos ()sin 1bbaaf x kxdx f x kxdx+≤⎰⎰（*）证 （*）式左端()cos ()cos ()sin ()sin b b bba aaaf x kxdx f y kydy f x kxdx f y kydy =+⎰⎰⎰⎰[]()()()b baadx f x f y cosk x y dy =-⎰⎰()()1b baadx f x f y dy ≤=⎰⎰原式获证.2.4 利用缩放积分区间来证明积分不等式的方法例 6 设函数()f x 在[]0,1上有连续二阶导数，(0)(1)0f f ==，()0f x ≠（()0,1x ∈），试证：''1()4()f x dx f x ≥⎰. 证 因()0f x ≠（()0,1x ∈），故()f x 在()0,1内恒正或恒负（否则由介值性知必有零点在()0,1内，与()0f x ≠矛盾），不妨设()0f x >（0<的情况类似可证），()0,1x ∈,因()f x 在[]0,1上连续，故存在[]0,1c ∈，使得01()max ()x f c f x ≤≤=，于是对任意01a b <<<有''''1100()()()()f x f x dx dx f x f c ≥⎰⎰1''''011()()()()b a f x dx f x dx f c f c =≥⎰⎰''1()()baf x dx f c ≥⎰''1()()()f b f a f c =- 下面我们来恰当地选取,a b ，得到所需的估计.注意到(0)(1)0f f ==，应用Lagrange 公式得，()'()(0)()0,,()0f c f f c c f c c ξξ-∃∈==-； ()'(1)()(),1,()11f f c f c c f c c ηη-∃∈==---. 令,a b ξη==，则''1''0()1()()()()f x dx f b f a f x f c ≥-⎰1()()1()1(1)f c f c f c c c c c =+=--因为211(1)24c c c c +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，所以''10()14()(1)f x dx f x c c ≥≥-⎰，获证. 2.5 构造变限积分的方法对于一个积分不等式，可把常数a 变为变量构造辅助函数()y F x =，再利用函数()y F x =的性质来证明积分不等式.例7 设()f x 在[]0,1上可微，且当[]0,1x ∈时，'0()1f x <<，(0)0f =，试证明：11230(())()f x dx f x dx >⎰⎰.证1 问题在于证明11230(())()0f x dx f x dx ->⎰⎰故令230()(())()xxF x f t dt f t dt =-⎰⎰，因(0)0F =，故只要证明在(0,1)内有'()0F x >.事实上，'30()2()()()x F x f x f t dt f x =-⎰ 20()2()()xf x f t dt f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰令20()2()()xg x f t dt f x =-⎰，故只要证明在(0,1)内有()0g x >，因(0)0g =，故只要证明在(0,1)内有'()0g x >.事实上，'''()2()2()()2()(1())g x f x f x f x f x f x =-=-，已知(0)0f =，'0()1f x <<（[]0,1x ∈），故(0,1)x ∈时，()0f x >，所以'()0g x >，故'()0F x >.证2 已知(0)0f =，'0()1f x <<（[]0,1x ∈），故(0,1)x ∈时，()0f x >所以问题在于证明12013(())1()f x dx f x dx>⎰⎰（*）令20()(())x F x f s ds =⎰，30()()xG x f s ds =⎰则（*）式左端（利用Cauchy 中值定理）有120130(())(1)(0)(1)(0)()f x dx F F G G f x dx-=-⎰⎰''()()F G ξξ=032()()()f f t dtf ξξξ=⎰ 022()()f t dtf ξξ=⎰0222()2()()(0)f t dt f t dtf f ξξ-=-⎰⎰''2()11(01)2()()()f f f f ηηξηηη==><<<2.6 其它方法证明积分不等式的方法很多，像判别式法，面积法，概率论法等，在此我就不一一介绍了.3 几个重要积分不等式及其应用本节我们将会介绍几个著名的不等式.这些不等式不仅本身是重要的，而且证明这些不等式的方法，也十分典型.因此本节将系统地介绍这些不等式，并着重讨论它们的证明与应用.3.1 Schwarz 不等式及其应用3.1.1 Cauchy 不等式[ 9 ] 对任意n 个数0,1,2,3,i a i n ≥=恒有222111()()()nnni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑，其中等号当且仅当i i a b 与成比例时成立.我们将这种离散的和的不等式推广到积分不等式，就得到Schwarz 不等式. 3.1.2 定理1(Schwarz 不等式)[ 9 ]dx x g dx x f dx x g x f ba ba ba ⎰⎰⎰≤)()())()((222,)(),(x g x f 在区间],[b a 上可积，其中等号当且仅当存在常数,a b ，使得()()af x bg x ≡时成立（,a b 不同时为0）.证1 将],[b a n 等分，令()i ix a b a n =+-，应用Cauchy 不等式得222111(()())()()nnni i i i i i i f x g x f x g x ===≤⋅∑∑∑，则有222111111(()())()()n n n i i i i i i i b a b a b a f x g x f x g x n n n n n n===---≤⋅∑∑∑，令n →+∞得 dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰≤)()())()((222.证2 利用定积分的性质易知0])()([2≥-⎰dx x tg x f ba ，即0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰bab ab adx x f dx x g x f t dx x g t(1)当2()0bag x dx =⎰时，因为()g x 在区间],[b a 上可积，所以2()g x 在区间],[b a 上也可积且非负，故有2()0,g x a e =⋅于E ，所以()0,g x a e =⋅于E ，继而有()()0,f x g x a e =⋅于E ，所以有()()0ba f x g x dx =⎰，命题得证，其中[],E ab =.(2)当2()0bag x dx ≠⎰时，上面方程是关于t 的二次多项式不等式，因此，判别式：0)()(4))()((4222≤-=∆⎰⎰⎰bababadx x g dx x f dx x g x f ，即：dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰≤)()())()((222,命题得证.证3 利用二重积分来证明Schwarz 不等式.222()()(()())bbbaaaf x dxg x dx f x g x dx -⎰⎰⎰222211()()()()()()()()22b b b b b b a a a a a a f x dx g x dx f y dy g y dy f x g x dx f y g y dy =⋅+⋅-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22221[()()()()2()()()()]2bb aa dy f x g y f y g x f x g x f y g y dx =+-⎰⎰21[()()()()]2bb aa dy f x g y f y g x dx =-⎰⎰0≥即有dx x g dx x f dx x g x f bab a b a ⎰⎰⎰≤)()())()((222，由此看出若)(),(x g x f 在区间],[b a 上连续，其中等号当且仅当存在常数,a b ，使得()()af x bg x ≡时成立（,a b 不同时为0）.3.1.2 Schwarz 不等式的应用应用Schwarz 不等式，可证明另外一些不等式，使用时要注意恰当选取函数,f g . 例1 已知()0f x ≥，在[],a b 上连续，()1ba f y dy =⎰，k 为任意实数，求证：()()22()cos ()sin 1bbaaf x kxdx f x kxdx+≤⎰⎰（*）证 （*）式左端第一项应用Schwarz 不等式，得()()22()cos )baaf x kxdxkx dx=⎰⎰2()cos ()b baaf x kxdx f x dx ≤⎰⎰2()cos b af x kxdx =⎰ 同理()22()sin ()sin bbaa f x kxdxf x kxdx ≤⎰⎰所以()()2222()cos ()sin ()cos ()sin bbbbaaa af x kxdx f x kxdxf x kxdx f x kxdx +≤+⎰⎰⎰⎰()baf x dx ≤⎰1=例2 求证：111222222((()()))(())(())bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx +≤+⎰⎰⎰,其中)(),(x g x f 在区间],[b a 上连续，其中等号当且仅当存在常数,a b ，使得()()af x bg x ≡时成立,,a b 不同时为0.证 222(()())()()2()()bbbbaaaaf xg x dx f x dx g x dx f x g x dx +=++⎰⎰⎰⎰11222222()()2(())(())bbbbaaaaf x dxg x dx f x dx g x dx ≤++⎰⎰⎰⎰2112222(())(())b b a a f x dx g x dx ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰对上式两边开平方即得要证明的积分不等式.3.2 Ho ..lder 不等式及其应用3.2.1 基本形式[ 1 0 ] 设,0,1,2,3,i i a b i n ≥=，',k k 为实数，且有'111k k +=，则 当1k >（从而'1k >）时，11''111nnnkk k k i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 当1,0k k <≠（从而'1k <）时，11''111nnnkk k k i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≥⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 其中等号当且仅当i i a b 与成比例时成立. 3.2.2 Ho ..lder 不等式的积分形式[ 1 0 ]定理2 设(),()0f x g x ≥，并使得所论的积分有意义，,'0,1k k ≠为共轭实数（即'111k k+=），则 当1k >（从而'1k >）时，()()11''()()()()bbbk k k k aaaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰当1,0k k <≠（从而'1k <）时，()()11''()()()()bbbkk k k aaaf xg x dx f x dxg x dx ≥⎰⎰⎰若,f g 连续，则其中的等号当且仅当'()()k k f x tg x ≡时成立. 证 当1k >（从而'1k >）时，令[,]E a b =.因为(),()0f x g x >，所以'()0,()0bbkk aaf x dxg x dx ≥≥⎰⎰，(1)若()0bk af x dx =⎰，又()0f x ≥，则()0k f x ≥，所以(),k f x a e =⋅于E ，故(),f x a e =⋅于E ，所以有()(),f x g x a e=⋅于E ，故()()()()0baEf xg x dx f x g x dx ==⎰⎰，原式得证.同理'()0bk ag x dx =⎰时，原式可证.（2）若()0bk af x dx ≠⎰，'()0bk ag x dx ≠⎰，令()1()()()k kEf x x f x dxϕ=⎰，()''1()()()k k Eg x x g x dxψ=⎰，因为有''k kA B AB k k≤+（此式见本文第13页例8）,令(),()A x B x ϕψ==，则得''()()()()k k x x x x kk ϕψϕψ≤+''''()()()()k k k k EEf xg x k f x dxkg x dx=+⎰⎰所以'11()()1Ex x dx k kϕψ≤+=⎰，()()'11()()1()()E k k kk EEf xg x dx f x dxf x dx⇒≤⎰⎰⎰()()11''()()()()bbbkk kk aaaf xg x dx f x dx g x dx ⇒≤⎰⎰⎰.当1,0k k <≠（从而'1k <）时，因'(1)0k k k +-=，则()()''1(1)()()()()()()kbbbkkkk k k k aaaf x dx f x gx dx f x g x gx dx -+-==⎰⎰⎰()1'()(()())()kbbbkkk aaaf x dx f xg x dx g x dx -⇒≤⋅⎰⎰⎰()()()()'1111''()()()()()()k bbbbbkkkk k k k k aaaaaf xg x dx f x dxg x dxf x dxg x dx-⇒≥=⎰⎰⎰⎰⎰所以有()()11''()()()()bbbkk kk aaaf xg x dx f x dx g x dx ≥⎰⎰⎰.在上述两种情况中，等号当且仅当'()()k k f x tg x ≡时成立. 3.2.2 Ho ..lder 不等式的应用 例3 试证明：3sin cos 20(0)4xxxadx adx a πππ-⋅≥>⎰⎰.证 令2x t π=+，sin cos 20xt xadx a dt πππ=⎰⎰于是sin cos cos cos 2220000xxtx xadx adx adt a dx πππππ--⋅=⋅⎰⎰⎰⎰2cos cos 2220t ta dt ππ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭⎰24ππ=⋅34π=例5 设函数f 在[]0,1上连续可微，且(1)(0)1f f -=，求1'20()1f x dx ≥⎰.证 在Ho ..lder 不等式中取'2k k ==，则()()()111111222'2'220()()1f x dxf x dxdx=⋅⎰⎰⎰11''01()()f x dx f x dx ≥⋅==⎰⎰(1)(0)1f f -=故有1'20()1f x dx ≥⎰3.3 Gronwall 不等式及其应用3.3.1 Gronwall 不等式[2]定理3 设k 为非负常数，(),()f t g t 为区间[],a b 上的连续非负函数，且满足不等式 ()()()taf t k f sg s ds ≤+⎰，[],t a b ∈，则有()()exp()t af t kg s ds ≤⎰，[],t a b ∈.证1 当0k ≠时，令()()()t at k f s g s ds ϕ=+⎰，则()t ϕ在[],a b 上恒正且可导，则'()()()()()t f t g t g t t ϕϕ=≤，则'()()()t g t t ϕϕ≤'()()()t t aa s ds g s ds s ϕϕ⇒≤⎰⎰， ln ()ln ()()ta t a g s ds ϕϕ⇒-≤⎰()()exp()b af t kg s ds ⇒≤⎰；当0k =时，()()()t af t f sg s ds ≤⎰，[],t a b ∈0ε∀>，()()()tat f s g s ds ϕε=+⎰，则有()()exp()t af tg s ds ε≤⎰由ε的任意性知，()()00exp()taf tg s ds ≤=⋅⎰，原式得证.证2 令()()()t at f s g s ds ϕ=⎰， ()()exp ()tat g s ds ψ=-⎰则()0a ϕ=，()1a ψ=且()t ϕ在[],a b 上可导，'()()()(())()t f t g t k t g t ϕϕ=≤+'()()()()t t g t kg t ϕϕ⇒-≤'()()()()()()t t g t t kg t t ϕϕψψ⎡⎤⇒-≤⎣⎦对上式两边取积分得，'()()()()()()t taa s s g s s ds kg s s ds ϕϕψψ⎡⎤-≤⎣⎦⎰⎰()()0()()exp(())tat t k t k t k k g s ds ϕψψϕ⇒-≤-+⇒≤-+⎰()()exp(())exp(())t taaf t t k k k kg s ds k g s ds ϕ⇒≤+≤-+=⎰⎰，原式得证.3.3.2 Gronwall 不等式的应用下面我们来看一下Gronwall 在证明一阶线性微分方程的惟一性时的应用. 例 6 设积分方程00(,())xx y y f y d ξξξ=+⎰在区间[]00,x x h +上存在连续解，且(,)f x y 关于y 满足Lipschitz 条件：1212(,)(,)f x y f x y k y y -≤-，证明这个连续解()x ϕ是惟一的.证 设此方程还有一连续解()x ψ.现在取00()x y ϕ=，构造皮卡逼近函数序列如下：00001()()(,())x nn x x y x y f d ϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰ ，[]00,x x x h ∈+，1,2,3n =则00()(,())x x x y f d ϕξϕξξ=+⎰，00()(,())xx x y f d ψξψξξ=+⎰()()(,())(,())xxx x x x f d f d ϕψξϕξξξψξξ-=-⎰⎰0(,())(,())xx f f d ξϕξξψξξ≤-⎰()()xx k d ϕξψξξ≤-⎰应用Gronwall 不等式得()()0x x ϕψ-≤，则有()()x x ϕψ≡，即连续解()x ϕ是惟一的.3.4 Young 不等式及其应用著名的不等式还有很多，我们不准备一一介绍，最后，我来绍一个在证法上有特点的Young 不等式. 3.4.1 Young 不等式[ 1 0 ]定理4 设()f x 递增，连续于[)0,+∞，(0)0f =，,0a b >，1()f x -表示()f x 的反函数，则10()()abab f x dx f y dy -≤+⎰⎰，其中等号当且仅当()f a b =时成立.该式从几何上看上要分清楚的.因积分等于曲边梯形的面积，可能发生的三种情况，如下图所示，这时0()a OABO f x dx S =⎰，10()bOCEO f y dy S -=⎰，OADEO ab S =，其中OCEO S 表示图形OCEO 的面积.(1)(2)(3)()b f a = ()b f a < ()b f a >证 01我们证明()10()()()af a f x dx f y dy af a -+=⎰⎰①因为()f x 递增，连续于[]0,a 上，故1f -递增，连续于[]0,()f a 上.故①式有意义.将[]0,a n 等分，记分点为0120n x x x x a =<<<<=，相应的点为()i i y f x =，（1,2,3,i n =）构成[]0,()f a 上的一个分划：0120()n y y y y f a =<<<<=，因为()f x 在[]0,a 上连续，故在[]0,a 上一致连续.故n →+∞时，对于分划0120()n y y y y f a =<<<<=来讲，有11111max max()max(()())0i i i i i ni ni ny y y f x f x --≤≤≤≤≤≤∆=-=-→()n →+∞，故()111011()()lim ()()n naf a i i i i n i i f x dx f y dy f x x f y y ---→∞==⎡⎤+=∆+∆⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰()11111lim ()()(())()()ni i i i i i n i f x x x f f x f x f x ----→∞=⎡⎤=-+-⎣⎦∑()1111lim ()()()()ni i i i i i n i f x x x x f x f x ---→∞==-+-⎡⎤⎣⎦∑[]111lim ()()ni i i i n i f x x x f x --→∞==-∑[]00lim ()()n n n f x x x f x →∞=-()0(0)()af a f af a =-⋅=， ①式获证.2由①式可知，若()b f a =，则10()()a bab f x dx f y dy -≤+⎰⎰中等号成立.03若0()b f a <<，则由f 的连续性知，存在()00,x a ∈，使得0()f x b =，于是00()110()()()()()abx af x x f x dx f y dy f x dx f x dx f y dy --+=++⎰⎰⎰⎰⎰00()10(()())()x f x a x f x dx f y dy f x dx -=++⎰⎰⎰00000()()()()f x a x f x x af x ab >-+==04()b f a >时，只要把f 看作是1f -的反函数，就可由03的结论得到.05 联系02，03，04可知定理成立.3.4.2 Young 不等式的应用例7 证明当,1a b >时，不等式1ln a ab e b b -≤+成立.证 令()1x f x e =-，则f 单调递增且连续，1()ln(1)f y y -=+ 因,1a b >，应用Young 不等式可得1110(1)(1)()()a b a b f x dx f y dy -----≤+⎰⎰⇒1ln a ab e b b -≤+.例8 设,0a b >，1p >，111p q +=，试证：p qa b ab p q≤+.证 设1()p f x x -=，则f 单调递增且连续，11()q f x y --= 因1p >，应用Young 不等式可得100()()p qaba b ab f x dx f y dy p q-≤+=+⎰⎰，且等号当且仅当()f a b =即p q a b =时成立。
积分不等式的证明
积分不等式的证明要证明积分不等式，我们可以通过推理和反证法进行证明。
首先，我们假设对于一个定义在闭区间[a, b]上的连续函数f(x)，其在[a, b]上的积分等于0，即∫[a,b] f(x)dx=0。
根据积分的性质，如果一个函数在[a,b]上的积分等于0，那么该函数在[a,b]上的正部分和负部分的积分也应该等于0。
我们可以将函数f(x)分成正部分f+(x)和负部分f-(x)，即f(x)=f+(x)-f-(x)。
其中f+(x)≥0，f-(x)≥0。
根据假设，∫[a,b] f(x)dx=0，即∫[a,b] (f+(x)-f-(x))dx=0。
根据积分的性质，可以将积分拆分成两部分，即∫[a,b] f+(x)dx-∫[a,b] f-(x)dx=0。
根据假设，∫[a,b] f(x)dx=0，那么∫[a,b] f+(x)dx-∫[a,b] f-(x)dx=0，可以得出∫[a,b] f+(x)dx=∫[a,b] f-(x)dx。
而根据f+(x)≥0，f-(x)≥0，我们可以得到∫[a,b] f+(x)dx≥0，∫[a,b] f-(x)dx≥0。
所以∫[a,b] f+(x)dx和∫[a,b] f-(x)dx都大于等于0。
现在考虑函数f(x)在[a,b]区间上的非零点。
由于f(x)是定义在[a,b]上的连续函数，根据连续函数的性质，f(x)在[a,b]上有零点或者正负两种取值情况。
如果f(x)在[a,b]上有零点，即存在一个或多个点c属于[a,b]，使得f(c)=0。
根据函数的积分性质，∫[a,b] f(x)dx=∫[a,c] f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx。
我们可以看到，∫[a,c] f(x)dx和∫[c,b] f(x)dx的值乘积为负数，一个为正，一个为负。
因此，根据乘积为负数时两个数的和不可能等于零，所以∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b] f(x)dx≠0。
所以，f(x)在[a, b]上有零点时，∫[a,b] f(x)dx≠0。
探讨定积分不等式的证明方法
探讨定积分不等式的证明方法定积分不等式是数学中的一种重要的不等式，它在数学分析、微积分和概率论等领域中具有广泛的应用。
证明定积分不等式的方法也非常多样，下面将介绍几种常用的证明方法。
对于给定的定积分不等式，我们可以通过研究被积函数的性质来进行证明。
常用的方法有以下几种。
1.利用导数和极值的性质对于被积函数f(x)，我们可以通过研究f'(x)的符号和f(x)的极值来判断f(x)在给定区间上的大小关系。
通过推导f'(x)的性质和计算f(x)的极值点，可以得到定积分不等式的证明。
2.利用函数的凸性或凹性凸函数具有性质：对于给定的区间上任意两个点，函数在这两个点之间的值不大于这两个点处的函数值的线性插值。
而凹函数则相反，函数在这两个点之间的值不小于这两个点处的函数值的线性插值。
通过研究函数的凸性或凹性，我们可以得到定积分不等式的证明。
3.利用函数的连续性和单调性如果被积函数f(x)在给定区间上是连续的，且在该区间上单调递增或单调递减，则可以利用这些性质来进行证明。
通过推导f(x)的导数或利用中值定理，可以得到定积分不等式的证明。
定积分不等式的证明通常需要对积分区间进行适当的分割，以便研究被积函数的性质。
常用的方法有以下几种。
1.利用分段函数的性质进行分割被积函数f(x)在给定区间上可能是分段定义的，在不同的区间段上具有不同的性质。
通过将给定区间分成几个子区间，并对每个子区间上的被积函数进行分析，可以得到定积分不等式的证明。
2.利用辅助函数进行分割如果被积函数f(x)难以分割或分析，我们可以引入辅助函数g(x)来研究定积分不等式。
通过将f(x)与g(x)进行比较，可以将定积分不等式转化为对辅助函数g(x)的定积分的不等式来进行证明。
积分中值定理是微积分中的基本定理之一，它为定积分不等式的证明提供了有力的工具。
常用的方法有以下几种。
1.利用平均值定理平均值定理是积分中值定理的一种特殊形式，它将定积分转化为函数的平均值与函数在给定区间上的其中一点处的函数值的乘积。
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探讨定积分不等式的证明方法摘要：文章针对被积函数的特性，给出了几种关于定积分不等式的有效证明方法。
关键词：定积分 不等式 证法不等式的证明在高等数学的学习中很常见，但关于定积分不等式的证明却一直是一个难点。
要证明定积分不等式，首先要看被积函数，其性质确定证明方法。
本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证法。
1．运用定积分中值定理证明定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与该区间长度的乘积，即将定积分转化为函数来证明不等式。
例1：设)(x f 在[0,1]上连续且单调不增，证明a ∀∈[0,1]有⎰adx x f 0)(≥⎰1)(dx x f a ．证明：由原不等式变形得⎰adx x f 0)(≥⎰⎰+1))()(dx x f dx x f a a （,即是要证：⎰-adx x f a 0)()1(≥⎰10)(dx x f a ,对左式，)(x f 在[0,1]上连续， 故由定积分中值定理知：[]a ，01∈∃ξ使)()1()()110ξf a a dx x f a a-=-⎰（,同理对右式：[]12，a ∈∃ξ使)()1()(21ξf a a dx x f a -=⎰,显然，ξ1＜ξ2又f(x)在[0,1]上单调不增， ∴f (ξ1)≥f (ξ2) 故原不等式⎰adx x f 0)(≥⎰1)(dx x f a 成立.定积分中值定理的运用直观易懂，它的条件也极其简单，易于掌握。
2．运用辅助函数证明构造辅助函数F(x)证明不等式，首先是做函数将要证结论中的积分上限（下限）换成x ，移项使不等式的一边为零，另一边的表达式即是辅助函数。
然后再求F ’(x)，并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。
例2：设)(x f 在[a ，b]上连续,且)(x f >0. 试证：2b)()(1)(a b dx x f dx x f a ba-≥⎰⎰ 证明：构造辅助函数2)()(1)()(a x dt t f dt t f x F xaxa--=⎰⎰（将b 换成x ）， 则⎰⎰--+=xa xa a x dt t f x f dt t f x f x F )(2)()(1)(1)()('=⎰⎰⎰-+x a x a xadt dt x f t f dt t f x f 2)()()()(=dt x f t f t f x f xa )2)()()()((-+⎰ ∵)(x f ＞0，∴02)()()()(≥-+x f t f t f x f ， 又a <x ，∴0)('≥x F ，即)(x F 单调不减，又0)(=a F ，∴0)()(=≥a F b F ，故2b)()(1)(a b dx x f dx x f aba-≥⎰⎰． 该题构造出积分上限函数，其目的是用单调性来证明不等式。
这种方法开门见山、直截了当。
3．运用定积分的性质和几何意义证明与定积分的概念相联系“以直代曲”的“近似代替”的思想，加上积分的几何直观使得不等式的证明变得更加简捷。
例３：证明不等式edx x e x x 12)1(sin 312π≤+⎰．证明：因为31≤≤x 时)1(1)1(sin 22x e x e x x +≤+，两端积分得：e x e dx x e x x 12111)1(sin 312312π=+≤+⎰⎰例４：设1,≥b a 时，证明不等式b b e ab a ln 1+≤-． 证明：⎰-+=bb xdx b b 11ln ln ，111+=⎰--dx e ea x a ，根据定积分的几何意义知：b e b b dx e xdx b a a b a x -+=+≤---⎰⎰111ln ln )1（，即b b e ab a ln 1+≤-.本题关键在于深刻领悟定积分概念的由来，即求曲边梯形的面积问题推导的四个步骤：分割、取点、作和与求极限，这里充分运用了“近似代替”的几何直观来加以证明。
4．运用拉格朗日中值定理证明利用拉格朗日中值定理证明不等式，首先要构造满足中值定理条件的函数和区间，然后进行不等式放缩，再用定积分比较定理、估值定理或函数的绝对值不等式等。
例5：设)(x f 在],[b a 上可导，且M x f ≤）('，0)(=a f ，试证：2b)(2)(a b Mdx x f a-≤⎰. 证明：由题设],[b a x ∈∀，)(x f 在[a ，b]上都满足拉氏中值定理的条件，于是有：))((')()()(a x f a f x f x f -=-=ξ，),(x a ∈ξ，∵M x f ≤）('， ∴)()(a x M x f -≤ 两边在[a ，b]上定积分得：2)(2)()(a b Mdx a b M dx x f baba -=-≤⎰⎰.此题运用拉格朗日中值定理简直如行云流水，如果采用其他办法显然比较繁琐。
5．运用Taylor 公式证明当已知被积函数f(x)二阶或二阶以上可导且又知最高阶导数的符号时，通常采用泰勒展开式来证明。
首先要写出f(x)的泰勒展开式，然后根据题意写出某些点的泰勒展开式，再进行适当的放缩以变成不等式，最后用定积分的性质进行处理。
例6：设)(x f 在],[b a 上单调增加，且)("x f ＞0，证明)()(a f a b -＜⎰badx x f )(＜2)()()(b f a f a b +-证明：先证左不等号：)()(a f a b -＜⎰badx x f )(，],[b a x ∈∀，x ＞a ，)(x f 单调增加，所以)(x f ＞)(a f故⎰badx x f )(＞)()(a f a b - (1)再证右不等号：⎰badx x f )(＜2)()()(b f a f a b +-，],[b a t ∈∀，)(t f 在点x 处的Taylor 展式为：2))(("!21))((')()(x t f x t x f x f t f -+-+=ξ,其中ξ在t 与x 之间， 因)("ξf ＞0，所以)(t f ＞))((')(x t x f x f -+，将a t b t ==,分别代入上式并相加得：)()(b f a f +＞)(2)(')()(2x xf x f b a x f -++，将此式在],[b a 上积分得：[])()()(a b b f a f -+＞⎰⎰⎰-++bab abadx x xf dx x f b a dx x f )(2)(')()(2，有))](()([2a b b f a f -+＞⎰badx x f )(4，故⎰badx x f )(＜2)()()(b f a f a b +- (2)综合（1）、（2），原不等式得证.Taylor 公式的应用在大学数学的学习中是一个绝对的难点，往往很难掌握。
一个题目在你用其他方式很难解决时，Taylor 公式常会给你意想不到的突破。
6．运用柯西—斯瓦兹不等式证明 柯西—斯瓦兹不等式：例7：设)(x f 在[0,1]上有一阶连续导数且1)0()1(=-f f ，试证：1)]('[102≥⎰dx x f . 证明：∵⎰=-1)(')0()1(dx x f f f ，又1)0()1(=-f f ，所以⎰=101)('dx x f ， 因)(x f 在[0,1]上可导，所以)(x f 在[0,1]上连续，由柯西—斯瓦兹不等式得：1))('()]('[1210102=≥⎰⎰⎰dx x f dx x f dx ， 即是1)]('[102≥⎰dx x f . 柯西—斯瓦兹不等式是大学数学中的又一难点，虽然记忆起来并不困难，但应用是灵活多变的。
7．运用重积分证明重积分要化为定积分来计算，这是众所周知的事实，但反之定积分的乘积往往又可以化为重积分，将定积分不等式的证明化为重积分不等式来证明，也是一种常见的方法。
例8：设)(x f 是在[0，1]上单调增加的连续函数，试证：⎰⎰⎰⎰≥12103102103)()()()(dxx f dx x f dxx xfdxx xf .证明：设dx x xf dx x f dx x f dx x xf I )()()()(12131213⎰⎰⎰⎰-==ydxdy y f x f dxdy y f x xf DD)()()()(2323⎰⎰⎰⎰- =dxdy y x y f x f D))(()(23-⎰⎰ (1)同样 dxdy x y y f x f I D))(()(32-=⎰⎰…（2） （1）+（2）可得dxdy y f x f y f x f y x I D))()()(()()(232--=⎰⎰，由于)(x f 在[0，1]上单调增加，故0))()()((≥--y f x f y x ，∴0≥I，从而dx x xf dx x f dx x f dx x xf)()()()(121312103⎰⎰⎰⎰≥即⎰⎰⎰⎰≥12103102103)()()()(dxx f dx x f dxx xfdxx xf总的来说，证明不等式是一门艺术，它具有自己独到的技术手法。
在此，我研究了上述7种方法来证明不等式，使一些复杂不等式的证明变得更加简洁，也会使一些不等式的证明变得一题多解。