第五章 流体动力学(控制体雷诺输运定理)-流体力学
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流体力学课件_第五章_流体运动学基础
gQ
2g
2g
u dA v A
3
3
——动能修正系数
g
1
v1
2
2g
z2
p2
g
2
v2
2
层流α=2 紊流α=1.05~1.1≈1
2g
——总流的伯努利方程
5.3 理想流体的伯努利方程
丹· 伯努利（Daniel Bernoull，1700—1782）：瑞 士科学家，曾在俄国彼得堡科学院任教，他在流体力 学、气体动力学、微分方程和概率论等方面都有重大 贡献，是理论流体力学的创始人。 伯努利以《流体动力学》（1738）一书著称于世， 书中提出流体力学的一个定理，反映了理想流体（不 可压缩、不计粘性的流体）中能量守恒定律。这个定 理和相应的公式称为伯努利定理和伯努利公式。 他的固体力学论著也很多。他对好友 欧拉提出 建议，使欧拉解出弹性压杆失稳后的形状，即获得弹 性曲线的精确结果。1733—1734年他和欧拉在研究上 端悬挂重链的振动问题中用了贝塞尔函数，并在由若 干个重质点串联成离散模型的相应振动问题中引用了 拉格尔多项式。他在1735年得出悬臂梁振动方程； 1742年提出弹性振动中的叠加原理，并用具体的振动 试验进行验证；他还考虑过不对称浮体在液面上的晃 动方程等。
g
1
v1
2
2g
z3
g
3
v3
2
3
2g
5.7 伯努利方程的应用 毕托管测流速
p1
h
h p2 p1
g
u
2
p2
2g
g
g
g
u
2 gh c
2 gh c——流速系数
流体力学 第5章 圆管流动..
第5章圆管流动一.学习目的和任务1.本章学习目的（1）掌握流体流动的两种状态与雷诺数之间的关系；（2）切实掌握计算阻力损失的知识，为管路计算打基础。
2.本章学习任务了解雷诺实验过程及层流、紊流的流态特点，熟练掌握流态判别标准；掌握圆管层流基本规律，了解紊流的机理和脉动、时均化以及混合长度理论；了解尼古拉兹实验和莫迪图的使用，掌握阻力系数的确定方法；理解流动阻力的两种形式，掌握管路沿程损失和局部损失的计算；了解边界层概念、边界层分离和绕流阻力。
二.重点、难点重点：雷诺数及流态判别，圆管层流运动规律，沿程阻力系数的确定，沿程损失和局部损失计算。
难点：紊流流速分布和紊流阻力分析。
由于实际流体存在黏性，流体在圆管中流动会受到阻力的作用，从而引起流体能量的损失。
本章将主要讨论实际流体在圆管内流动的情况和能量损失的计算。
5.1 雷诺(Osborne Reynolds)实验和流态判据5.1.1 雷诺实验1883年，英国科学家雷诺通过实验发现，流体在流动时存在两种不同的状态，对应的流体微团运动呈现完全不同的规律。
这就是著名的雷诺实验，它是流体力学中最重要实验之一。
105如图5－1所示为雷诺实验的装置。
其中的阀门T1保持水箱A 内的水位不变，使流动处在恒定流状态；水管B 上相距为l 处分别装有一根测压管，用来测量两处的沿程损失f h ，管末端装有一个调节流量的阀门T3，容器C 用来计量流量；容器D 盛有颜色液体，T2控制其流量。
进行实验时，先微开阀门T3，使水管中保持小速度稳定水流，然后打开颜色液体阀门T2放出连续的细流，可以观察到水管内颜色液体成一条直的流线，如图5－2（a ）所示；从这一现象可以看出，在管中流速较小时，它与水流不相混和，管中的液体质点均保持直线运动，水流层与层间互不干扰，这种流动称为层流（Laminar flow ）。
比如，实际中黏性较大的液体在极缓慢流动时，属层流运动。
随后，逐渐开大阀门T3，增大管中液体流速，流速达到一定速度时，管内颜色液体开始抖动，具有波形轮廓，如图5－2（b ）所示。
《雷诺输运定理》课件
可能较大。
对于非牛顿流体，由于其流动 特性与牛顿流体不同，因此雷 诺输运定理的适用性可能有限
。
改进方向
发展更精确的数值模 拟方法，以模拟流体 的微观运动特性。
深入研究流体的微观 运动特性，以更好地 理解其宏观流动特性 。
结合其他理论或模型 ，如湍流模型或非牛 顿流模型，以提高预 测精度。
06
雷诺输运定理的发展前景
粒子追踪
通过跟踪流场中粒子的运 动轨迹，分析流体的输运 性质。
温度场测量
在流体中设置温度传感器 ，测量温度分布，分析热 量的输运过程。
结果分析
数据对比
将实验数据与理论结果进行对比，分析误差来 源。
适用性分析
分析雷诺输运定理在不同流动条件下的适用范 围和局限性。
改进建议
根据实验结果，提出对理论模型的改进意见，提高理论预测的准确性。
05
雷诺输运定理的局限性
适用范围
雷诺输运定理适用于连续流动的流体，如气体和 液体。
对于非连续流动的流体，如颗粒流或泥浆流，雷 诺输运定理可能不适用。
在高雷诺数流动中，雷诺输运定理的适用性可能 受到限制。
误差分析
由于雷诺输运定理基于宏观平 均流动特性，因此可能无法准 确描述流体的微观运动特性。
在复杂流动中，如湍流或分 离流，雷诺输运定理的误差
雷诺输运定理揭示了流体运动的本质特征，包括流体的流动规律、速度场的变化、质量守恒、动量守 恒和能量守恒等。这些特征对于理解和分析流体运动的特性、流动现象和流体动力系统的行为具有重 要意义。
雷诺输运定理的应用领域
总结词
雷诺输运定理在多个领域都有广泛应用，如航空航天 、气象学、环境科学等。
详细描述
雷诺输运定理在多个领域都有广泛应用。在航空航天 领域，该定理用于分析和预测流体动力学问题，如飞 行器的气动性能和飞行稳定性。在气象学领域，雷诺 输运定理用于描述大气中各种气象要素的分布和变化 。在环境科学领域，该定理用于研究流体运动对污染 物扩散、水质变化等环境问题的影响。此外，雷诺输 运定理还在水利工程、交通运输和工业生产等领域得 到广泛应用。
对于非牛顿流体，由于其流动 特性与牛顿流体不同，因此雷 诺输运定理的适用性可能有限
。
改进方向
发展更精确的数值模 拟方法，以模拟流体 的微观运动特性。
深入研究流体的微观 运动特性，以更好地 理解其宏观流动特性 。
结合其他理论或模型 ，如湍流模型或非牛 顿流模型，以提高预 测精度。
06
雷诺输运定理的发展前景
粒子追踪
通过跟踪流场中粒子的运 动轨迹，分析流体的输运 性质。
温度场测量
在流体中设置温度传感器 ，测量温度分布，分析热 量的输运过程。
结果分析
数据对比
将实验数据与理论结果进行对比，分析误差来 源。
适用性分析
分析雷诺输运定理在不同流动条件下的适用范 围和局限性。
改进建议
根据实验结果，提出对理论模型的改进意见，提高理论预测的准确性。
05
雷诺输运定理的局限性
适用范围
雷诺输运定理适用于连续流动的流体，如气体和 液体。
对于非连续流动的流体，如颗粒流或泥浆流，雷 诺输运定理可能不适用。
在高雷诺数流动中，雷诺输运定理的适用性可能 受到限制。
误差分析
由于雷诺输运定理基于宏观平 均流动特性，因此可能无法准 确描述流体的微观运动特性。
在复杂流动中，如湍流或分 离流，雷诺输运定理的误差
雷诺输运定理揭示了流体运动的本质特征，包括流体的流动规律、速度场的变化、质量守恒、动量守 恒和能量守恒等。这些特征对于理解和分析流体运动的特性、流动现象和流体动力系统的行为具有重 要意义。
雷诺输运定理的应用领域
总结词
雷诺输运定理在多个领域都有广泛应用，如航空航天 、气象学、环境科学等。
详细描述
雷诺输运定理在多个领域都有广泛应用。在航空航天 领域，该定理用于分析和预测流体动力学问题，如飞 行器的气动性能和飞行稳定性。在气象学领域，雷诺 输运定理用于描述大气中各种气象要素的分布和变化 。在环境科学领域，该定理用于研究流体运动对污染 物扩散、水质变化等环境问题的影响。此外，雷诺输 运定理还在水利工程、交通运输和工业生产等领域得 到广泛应用。
水力学教学课件 第五章 实际流体动力学基础
化简移项后得
z
τxy τxz pxx
∂px ∂τ yx ∂τ zx dux + + )= fx + (− ∂z dt ρ ∂x ∂y 1 1 ∂py ∂y
τ'zy
τ’zx p'zz
同理 ：
τyx τ pyy yz τ'yz τzx pzz τzy p'yy τ'yx
p'xx τ'xz τ'xy
f y + (−
式中： fr、fθ 、fz 分别为单位质量力在
5-1 实际流体的运动微分方程—纳维-斯托克斯方程
r,θ, z 坐标轴上的分量。
3、纳维-斯托克斯方程求解条件 、纳维 斯托克斯方程求解条件
初始条件：在起始时刻 时 各处的流速、压力值；对于恒定流，则不存在条件。 初始条件：在起始时刻t=0时，各处的流速、压力值；对于恒定流，则不存在条件。
px = p − 2µ
py = p − 2µ
∂ux ∂x ∂uy
∂y ∂u pz = p − 2µ z ∂z
------(5------(5-5) (5
5-1 实际流体的运动微分方程—纳维-斯托克斯方程
3、实际流体中任一点的应力状态讨论
（1）理想流体，μ=0, 理想流体，
px =py =pz =p
实际流体具有粘性。 实际流体具有粘性。在作用面上的表面力不仅有压 应力即动压强，还有切应力。 应力即动压强，还有切应力。
2、作用在一平面上M点的表面应力 作用在一平面上 点的表面应力
三个轴向都有三个分量： 表面应力 pn 在x、y、z三个轴向都有三个分量： 、 三个轴向都有三个分量 即动压强； 与平面成法向的压应力p 与平面成法向的压应力 zz，即动压强； 与平面成切向的切应力τ 与平面成切向的切应力 zx，和τzy。
z
τxy τxz pxx
∂px ∂τ yx ∂τ zx dux + + )= fx + (− ∂z dt ρ ∂x ∂y 1 1 ∂py ∂y
τ'zy
τ’zx p'zz
同理 ：
τyx τ pyy yz τ'yz τzx pzz τzy p'yy τ'yx
p'xx τ'xz τ'xy
f y + (−
式中： fr、fθ 、fz 分别为单位质量力在
5-1 实际流体的运动微分方程—纳维-斯托克斯方程
r,θ, z 坐标轴上的分量。
3、纳维-斯托克斯方程求解条件 、纳维 斯托克斯方程求解条件
初始条件：在起始时刻 时 各处的流速、压力值；对于恒定流，则不存在条件。 初始条件：在起始时刻t=0时，各处的流速、压力值；对于恒定流，则不存在条件。
px = p − 2µ
py = p − 2µ
∂ux ∂x ∂uy
∂y ∂u pz = p − 2µ z ∂z
------(5------(5-5) (5
5-1 实际流体的运动微分方程—纳维-斯托克斯方程
3、实际流体中任一点的应力状态讨论
（1）理想流体，μ=0, 理想流体，
px =py =pz =p
实际流体具有粘性。 实际流体具有粘性。在作用面上的表面力不仅有压 应力即动压强，还有切应力。 应力即动压强，还有切应力。
2、作用在一平面上M点的表面应力 作用在一平面上 点的表面应力
三个轴向都有三个分量： 表面应力 pn 在x、y、z三个轴向都有三个分量： 、 三个轴向都有三个分量 即动压强； 与平面成法向的压应力p 与平面成法向的压应力 zz，即动压强； 与平面成切向的切应力τ 与平面成切向的切应力 zx，和τzy。
流体动力学基本原理
x
z
X方向流入的流量为：
u u udydz u dx dydz dxdydz x x
同理，Y方向：
v dxdydz y
w dxdydz z
Z方向：
控制体内因密度的变化而 引起的质量变化为：
dxdydz t
( u ) ( v) ( w) 0 t x y z
( V ) 0 t
u v w V 0 t x y z
D V 0 Dt
微分形式的连续方程的矢量形式
积分形式连续方程
根据质量守恒原理（连续性条件）可得：
u v w dxdydz dxdydz y z t x
整理即可得到微分形式连续方程：
u v w 0 t x y z
系统 和 控制体
①系统（system）
由确定流体质点组成的流体团或流体体积τ(t)。 系统边界面A(t)在流体的运动过程中不断发生变化。
②控制体(control volume)
相对于坐标系固定不变的空间体积τ 。 控制体是为了研究问题方便而取定的。控制体边界 面A 称为控制面。
针对图示微元控制体应用质量守恒原理，有
VA
V dl V dl A dA Adl l l t
V V VA VA VdA Adl dAdl l l V V 2 2 VAdl VdAdl A dl dA dl l l l l l l Adl t
VA const
流体力学ppt课件-流体动力学
g
g
2g
水头
，
z
p
g
v2
2g
总水头， hw 水头损失
第二节 热力学第一定律——能量方程
水头线的绘制
总水头线
hw
对于理想流体，总水
1
v12 2g
2
v22 2g
头线是沿程不变的，
测压管水头线
p2
为一水平直线，对于
g
实际流体，总水头沿 程降低，但测压管水
p1 g
头线沿程有可能降低、
z2
不变或者升高。
z1
v2 A2 e2
u22 2
gz2
p2
v1A1 e1
u12 2
gz1
p1
微元流管即为流线，如果不 可压缩理想流体与外界无热 交换，热力学能为常数，则
u2 gz p 常数
2
这个方程是伯努利于1738年首先提出来的，命名为伯努利 方程。伯努利方程的物理意义是沿流线机械能守恒。
第二节 热力学第一定律——能量方程
皮托在1773年用一根弯成直角的玻璃管，测量了法国塞纳河 的流速。原理如图所示，在液体管道某截面装一个测压管和 一个两端开口弯成直角的玻璃管（皮托管），皮托管一端正 对来流，一端垂直向上，此时皮托管内液柱比测压管内液柱 高h，这是因为流体流到皮托管入口A点受到阻滞，速度降为 零，流体的动能变化为压强势能，形成驻点A，A处的压强称 为总压，与A位于同一流线且在A上游的B点未受测压管的影 响，其压强与A点测压管测得的压强相等，称为静压。
第四章 流体动力学
基本内容
• 雷诺输运公式 • 能量方程 • 动量方程 • 流体力学方程应用
第一节 雷诺输运方程
• 前面解决了流体运动的表示方法,但要在流 体上应用物理定律还有困难.
流体力学(流体动力学)
伯诺里方程各项的物理意义和几何意义
§4－2
欧拉运动微分方程的积分
一、兰伯－葛罗米柯型运动微分方程
欧拉运动微分方程 (2) Fra bibliotek一式的右边有：
du x u x u x u x u x ux uy uz dt t x y z
2 u x 1 u x u x u x uy uz t 2 x y z
(3)
这组方程式称为兰伯－葛罗米柯型运动微分方程式。它比欧拉 运动微分方程式便于积分。
二、理想流体沿流线的伯诺里方程(伯诺里积分)
假设条件 （1）流动为恒定流。此时
u x u y u z p 0 t t t t
（2）流体是不可压缩的，密度ρ= 常数。
（3）流体受有势质量力作用，具有势函数U。即
实际流体的运动微分方程式
一、实际流体的内应力
实际流体运动时，表面力不仅有法向应力，还有切向应力。 任意一点取垂直于 y 轴的平面，作用在此平面上的表面力： 法向应力－pyy（负号表示压力方向与 y 轴方向相反）； 切应力τyx 、τyz 。（第一个角标表示应力所在的面与哪个坐
标轴垂直，第二个角标表示应力方向） 。
u x u 2 1 p X 2(u z y u y z ) x t x 2 u y u 2 1 p Y 2(u x z u z x ) y t y 2 2 1 p u z u Z 2(u y x u x y ) z t z 2
（2）
对于不可压缩和可压缩流体，欧拉运动微分方程均适用。
在不可压缩流体中，ρ= 常数，未知量为ux、uy、uz和p共四个， 要解这个方程必须借助于连续性方程。
流体力学第五章流体动力学微分形式基本方程
或 D w 0
Dt
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（5.3a）
第五章 流体动力学微分形式基本方程
第一节 连续性方程
对于稳定流动， 0，于是式（5.1）变为
t wx wy wz 0
x
y
z
即
w 0
对于不可压缩流体， 为常数，则连续性方程为
wx wy wz 0 x y z
即
w 0
和为零，六面体中流体的质量是不变的，即
wx
wy
wz
0
t x
y
z
（5.1）
式（5.1）就是流体的连续性方程。将上式展开，并且注意到
d dt
t
wx
x
wy
y
wz
z
则连续性方程也可写成 1 d wx wy wz 0 dt x y z
（5.2）
写成向量形式 (w) 0
t
（5.3）
Fr
1
p r
w t
wr
w r
w r
w
wz
w z
wr w r
F
1
p r
（5.9）
wz t
wr
wz r
w r
wz
wz
wz z
Fz
1
p z
式中 Fr 、F 、Fz 分别为单位质量的体积力在r、、z方向的分量。
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第五章 流体动力学微分形式基本方程
第二节 理想流体运动方程
其中，f1至f6是给定的函数。 对于稳定流动，流场中各点的物理量不随时间改变，所以不存在初始条
件。
边界条件是指所求物理量在边界上的取值。如对静止的固体壁面，由于
流体动力学
除了质量、动量与能量守恒方程之外，另外还有热力学的状态方程，使得压力成为流体其他热力学变量的函 数，而使问题得以被限定。
组成内容
研究运动流体的规律和运动流体与边界之间相互作用的流体力学分支。流体动力学的主要内容包括：流体动 力学基本方程、无粘性不可压缩流体动力学、粘性不可压缩流体动力学、气体动力学和透平机械气体动力学。
若流体足够致密，可以成为一连续体，并且不含有离子化的组成，速度相对于光速是很慢的，则牛顿流体的 动量方程为“纳维-斯托克斯方程”。其为非线性微分方程，描述流体的流所带有的应力是与速度及压力呈线性相 依。未简化的纳维-斯托克斯方程并没有一般闭形式解，所以只能用在计算流体力学，要不然就需要进行简化。方 程可以通过很多方法来简化，以容易求解。其中一些方法允许适合的流体力学问题能得到闭形式解。
流动种类：定常流动、非定常流动 流动形态：层流、紊流 流动稳定性：不可压缩流动、可压缩流动、粘性流动、无粘流动
研究点
01
应力张量
02
应力张量和 变形速率张 量的关系
04
涡旋的动力 学性质
06
动量定理
03
动量方程和 能量方程
05
伯努利积分 和拉格朗日 积分
根据无粘性流体对于剪切变形没有抗拒能力和静止流体不能承受剪应力的事实可以断言：在无粘性流体或静 止流体中，剪应力为零，而正应力（即法向应力）pxx=pyy=pzz=－p。p称为无粘性流体或静止流体的压力函数， 它表征无粘性流体或静止流体在任一点的应力状态。在流体动力学中可以用px、py、pz或九个量pij（i，j=1，2， 3）的组合可完全地描写一点的应力状况。pij组成的二阶张量称为应力张量。
涡旋的动力学性质主要体现在开尔文定理和亥姆霍兹定理上。如果流体是无粘性、正压的（见正压流体）， 且外力有势，则涡旋不生不灭，而且涡线、涡管总是由相同的流体质点组成，涡管强度不随时间变化。只有流体 的粘性、斜压性和外力无势这三个因素才能使涡旋产生、发展变化和消亡.
组成内容
研究运动流体的规律和运动流体与边界之间相互作用的流体力学分支。流体动力学的主要内容包括：流体动 力学基本方程、无粘性不可压缩流体动力学、粘性不可压缩流体动力学、气体动力学和透平机械气体动力学。
若流体足够致密，可以成为一连续体，并且不含有离子化的组成，速度相对于光速是很慢的，则牛顿流体的 动量方程为“纳维-斯托克斯方程”。其为非线性微分方程，描述流体的流所带有的应力是与速度及压力呈线性相 依。未简化的纳维-斯托克斯方程并没有一般闭形式解，所以只能用在计算流体力学，要不然就需要进行简化。方 程可以通过很多方法来简化，以容易求解。其中一些方法允许适合的流体力学问题能得到闭形式解。
流动种类：定常流动、非定常流动 流动形态：层流、紊流 流动稳定性：不可压缩流动、可压缩流动、粘性流动、无粘流动
研究点
01
应力张量
02
应力张量和 变形速率张 量的关系
04
涡旋的动力 学性质
06
动量定理
03
动量方程和 能量方程
05
伯努利积分 和拉格朗日 积分
根据无粘性流体对于剪切变形没有抗拒能力和静止流体不能承受剪应力的事实可以断言：在无粘性流体或静 止流体中，剪应力为零，而正应力（即法向应力）pxx=pyy=pzz=－p。p称为无粘性流体或静止流体的压力函数， 它表征无粘性流体或静止流体在任一点的应力状态。在流体动力学中可以用px、py、pz或九个量pij（i，j=1，2， 3）的组合可完全地描写一点的应力状况。pij组成的二阶张量称为应力张量。
涡旋的动力学性质主要体现在开尔文定理和亥姆霍兹定理上。如果流体是无粘性、正压的（见正压流体）， 且外力有势，则涡旋不生不灭，而且涡线、涡管总是由相同的流体质点组成，涡管强度不随时间变化。只有流体 的粘性、斜压性和外力无势这三个因素才能使涡旋产生、发展变化和消亡.
《工程流体力学》第五章 理想流体多维流动基础
第六节 连续方程： 体系表达式的基本物理定律－>
积分形式方程：流体流动的总体性能关系，如流体作用在 物体上合力，总的能量传递等 微分形式方程：详细了解流动过程各个参数
一、积分形式连续方程： 连续方程：质量守恒定律应用于流动流体的数学表达式 流体块体积: V 流体块密度: 流体块质量:
代入雷诺输运定理：
穿过控制体表面流体净动量通量： =单位时间流出控制体的流体所带走动量 -单位时间流进控制体的流体所带进动量
定常流，动量方程为：
直角坐标系下，x方向动量方程分量形式：
y和z方向动量方程分量形式：
动量方程：求流体对物体的作用力 动量方程：加以改写 取控制体如图：
A=A1+A2+A3
动量方程中：
线变形： y方向
t时： AD边长ds t+dt时：A’D’’在y方向投影A’D’长度
单位时间流体微团沿y向相对伸缩量 即单位时间AD沿y向相对伸缩量：y向线变形
(2)角变形： 在xy平面，绕z轴 流体线：流体质点组成的线段，随流体运动并改变形状 考查AB、AD流体线
流体微团角变形速度：流体微团上任意两条互相垂直流体 线夹角的时间变化率的一半
5)控制面上法向速度Vn：以控制面外法线方向为正
动量方程变为：
6)推导上述方程时：假设为理想流体 实际流体：有粘性 一般粘性系数：很小 紧靠物体表面附面层内流体：必须考虑粘性 附面层以外流体：可按理想流体处理 求流体与物体之间作用力时：仍可用动量方程
流体与物体之间法向压力和切向粘性力总和：
二、微分形式动量方程：
物体对流体作用力： 流体对物体作用力：
在A1上：
动量方程变为： 分量形式为：
讨论： 1) 空气：质量力略去不计
流体动力学基础工程流体力学
31
固定的控制体
对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为
CS
ρ(
vn
)dA
CV
t
dV
运动的控制体
将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只
要将速度改成相对速度vr
t
dV
CV
CS (vr n)dA 0
32
连续方程的简化
★1、对于均质不可压流体： ρ=const
dV 0
t CV
t
，所以由于密度 的变
化单位时间内微元六面体内增加的质量为dxdydz t。
微元控制体内流体质量增长率： dxdydz t
48
（3）根据质量守恒定律
流体运动的连续方程式为：
dxdydz uxdydz dx uydxdz dy uzdxdy dz 0
令β＝1，由系统的质量不变可得连续性方程
D Dt
CV
dV
t
CV
ρdV
CS
ρ
vndA
0
30
D Dt
CV
dV
t
CV
ρdV
CS
ρ
vn
dA
0
系统质量变化率 控制体内质量变化率 流出控制体的质量流率
上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控 制体内流体质量随时间的减少率。
在推导上式的时候，未作任何假设，因此只要满 足连续性假设，上式总是成立的
CV
B V n dA
CS
D* (t )
CV B n
质量体
控制体 任一物理量 控制体表面外法向单位向量
18
雷诺输运定理
将拉格朗日法求系统内物理 量的时间变化率转换为按欧 拉法去计算的公式
固定的控制体
对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为
CS
ρ(
vn
)dA
CV
t
dV
运动的控制体
将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只
要将速度改成相对速度vr
t
dV
CV
CS (vr n)dA 0
32
连续方程的简化
★1、对于均质不可压流体： ρ=const
dV 0
t CV
t
，所以由于密度 的变
化单位时间内微元六面体内增加的质量为dxdydz t。
微元控制体内流体质量增长率： dxdydz t
48
（3）根据质量守恒定律
流体运动的连续方程式为：
dxdydz uxdydz dx uydxdz dy uzdxdy dz 0
令β＝1，由系统的质量不变可得连续性方程
D Dt
CV
dV
t
CV
ρdV
CS
ρ
vndA
0
30
D Dt
CV
dV
t
CV
ρdV
CS
ρ
vn
dA
0
系统质量变化率 控制体内质量变化率 流出控制体的质量流率
上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控 制体内流体质量随时间的减少率。
在推导上式的时候，未作任何假设，因此只要满 足连续性假设，上式总是成立的
CV
B V n dA
CS
D* (t )
CV B n
质量体
控制体 任一物理量 控制体表面外法向单位向量
18
雷诺输运定理
将拉格朗日法求系统内物理 量的时间变化率转换为按欧 拉法去计算的公式
雷诺输运定理
----
涡街的形成
宇 航 推 进 系 流 体 力 学
----
4.5.1涡旋的概念
宇 在速度分解定理中的旋转项可以写成角速度向量与矢径
航 推
乘积的形式:
进 系
取=xi y j zk
----
流
r = xi y j zk xi yj zk
体
力
i jk
学
x y z
x y z
y z z y i z x x z j x y y x k
4.5.5有关涡旋的基本性质
宇 拉格朗日定理(旋涡不生不灭定理)
航
推 如果考虑的是理想,正压流体,且外力有势.如果
进
系 初始时刻在某部分流体内无旋,则以前或以后任
----
一时刻中这部分流体皆无旋.反之,若初始时刻
流 体
部分流体有旋,则以前或以后的任何时刻中这一
力 学
部分流体皆有旋.
4.5.5有关涡旋的基本性质
4.5.1涡旋的概念
宇 航 推
这一角速度正是速度旋度的 1 2
进
i jk
----
系
=xi
y
j
z k
1 2
x
y
1 rotV x 2
流 体
Vx Vy Vz
力
记旋度为: rotV，也叫涡度、涡量
学
有旋流动：旋转角速度（旋度）不为零的运动
这样,检验流体运动有旋还是无旋,只要看其速度的旋度 是否为零即可。
y
v x
u y
co学
法线单位矢量n的正方向与L的正方向组成右手螺旋系统
4.5.3涡通量和速度环量
宇 航
❖ 涡通量和速度环量都能表征涡旋强度,但是在某些
第六讲-雷诺输运定理及连续方程_152202812
: N : 总质量 v N : 总动量
1 v 2 N : 总动能 2
设N
dV
dN dV v ndA dt t CV 21 CS
3-2 积分形式的连续方程
连续性方程——质量守恒定律对流体运动的 一个基本约束。 用欧拉观点对质量守恒原理的描述：连续介 质的运动必须维持质点的连续性，即质点间 不能发生空隙。因此，净流入控制体的流体 质量必等于控制体内因流体密度变化而增加 的质量。
单级入轨火箭发动机喷管
作
业
教材习题四：4-1，4-2,4-3，4-4，6-10
35
例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向 速度为v=y2-y-x，试求x方向的速度分量u， 假定x=0时，u=0（P115页例4-8） 解： u v
0 u x y 2y 1 0 x 2 v y -y-x
u (1 2 y ) x C C 0 x 0, u 0 u x 2 xy
29
管道流动连续方程的制约：亚声到超声的拉伐尔喷管
m VA C dA dV d 0 A V dA dV 2 ( Ma 1) A V
• 气体在管道流动时，沿流动方向管道截面积 的相对变化率必须与速度和密度的相对变化率 相适应。 • 亚声速气流要加速必须使用收敛形喷管；超 声速气流要加速必须使用扩张形喷管。 • 要让气流从亚声速加速到超声速就必须先通 过一个收敛形喷管，再通过一个扩张形喷管， 这种组合型喷管由瑞典工程师拉伐尔于1889年 发明，称为拉伐尔喷管。
超声速战斗机发动机喷管 (F15/F16与J10/11)
超音速飞机的喷管都是先收缩再扩张的
2011.3.22: 一 架 美 军 F15 战机在利比亚坠毁。 美国空 军现役的主力战机之一， 1974 年开始装备部队。该机 最大武器载荷11113千克，最 大 速 度 2.5 马 赫 ， 最 大 航 程 4445千米。 F15 与 F16 形 成 高 低 搭 配 ， 造价F16约为2000万美元，外 贸单机价格约为 8000 万美元。 美国空军大约有900架F-15、 2000架F-16。
1 v 2 N : 总动能 2
设N
dV
dN dV v ndA dt t CV 21 CS
3-2 积分形式的连续方程
连续性方程——质量守恒定律对流体运动的 一个基本约束。 用欧拉观点对质量守恒原理的描述：连续介 质的运动必须维持质点的连续性，即质点间 不能发生空隙。因此，净流入控制体的流体 质量必等于控制体内因流体密度变化而增加 的质量。
单级入轨火箭发动机喷管
作
业
教材习题四：4-1，4-2,4-3，4-4，6-10
35
例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向 速度为v=y2-y-x，试求x方向的速度分量u， 假定x=0时，u=0（P115页例4-8） 解： u v
0 u x y 2y 1 0 x 2 v y -y-x
u (1 2 y ) x C C 0 x 0, u 0 u x 2 xy
29
管道流动连续方程的制约：亚声到超声的拉伐尔喷管
m VA C dA dV d 0 A V dA dV 2 ( Ma 1) A V
• 气体在管道流动时，沿流动方向管道截面积 的相对变化率必须与速度和密度的相对变化率 相适应。 • 亚声速气流要加速必须使用收敛形喷管；超 声速气流要加速必须使用扩张形喷管。 • 要让气流从亚声速加速到超声速就必须先通 过一个收敛形喷管，再通过一个扩张形喷管， 这种组合型喷管由瑞典工程师拉伐尔于1889年 发明，称为拉伐尔喷管。
超声速战斗机发动机喷管 (F15/F16与J10/11)
超音速飞机的喷管都是先收缩再扩张的
2011.3.22: 一 架 美 军 F15 战机在利比亚坠毁。 美国空 军现役的主力战机之一， 1974 年开始装备部队。该机 最大武器载荷11113千克，最 大 速 度 2.5 马 赫 ， 最 大 航 程 4445千米。 F15 与 F16 形 成 高 低 搭 配 ， 造价F16约为2000万美元，外 贸单机价格约为 8000 万美元。 美国空军大约有900架F-15、 2000架F-16。
流体力学讲义-第五章相似原理与量纲分析
第五章相似原理与量纲分析对于复杂的实际工程问题，直接应用基本方程求解，在数学上极其困难，因此需有赖于实验研究来解决。
本章主要阐述有关实验研究的基本理论和方法，包括流动相似原理，相似准则，量纲和谐原理及量纲分析方法等。
第一节流动相似原型：天然水流和实际建筑物称为原型。
模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。
水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。
水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。
关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。
流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。
模型和原型保证流动相似，应满足：几何相似运动相似动力相似初始条件和边界条件相似1. 几何相似几何相似：指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和模型及其流动所有相应的线性变量的比值均相等。
长度比尺：（5-1）面积比尺：2 4 V ?2（5-2）体积比尺：（5-3）2.运动相似运动相似：是指流体运动的速度场相似，也即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度度a方向相同，且大小各具有同一比值。
速度比尺：7 —旳—厶仏_ ? ? -1（5-4）加速度比尺: 3_ T _ 旳仏? -2 _ ? 了-13-石-硕_的■以（5-5）u及加速3.动力相似动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力方向相同，其大小比值相等。
4.初始条件和边界条件的相似初始条件：适用于非恒定流。
边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。
如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等。
流动相似的含义：几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现；凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
第五章流体动力学控制体雷诺输运定理流体力学
5.1.1 体系
❖ 什么是体系? ❖ 在力学和热学中，基本物理定律适用的对象是一
个选定的物质系统,具有以下特征:
➢ 该系统始终由一定量的物质组成； ➢ 系统的边界把自己同周围的外界物质分开； ➢ 系统边界既可以固定不动，也可以运动，而且系统的
形状和系统所占据的空间都可以随时间发生变化； ➢ 可以透过系统边界和外界有功和热量的交换,但绝无质
5.2雷诺输运定理
CVIII
CVI
I
dA1
t
n
II III
u dA3
CVII
u
n
t t
考虑到dA面和vn的方向,并认为流出体系所在空间对应
பைடு நூலகம்
体积的流量为正,则单位时间流出微元面的N值为
(vndA) v dS
S的方向按CV的表面外法线方向计
4.3.3雷诺输运定理
CVIII
CVI
I
dA1
t
n
II III
流体的密度,微体积的质量
A1, t to
dm d
则有ms d s
y
x
5.1.1体系
进一步把式中的参数用流动参数表达也来,则得到关于流 体封闭体系的质量守恒方程. 这种分析方法就称为体系分析法
但是,由于运动中的流体系统将产生由移动、转动和变形 运动等组成的复杂运动，长时间难以追踪得到，甚至在 紊流流动状态由于流体的混沌，严格讲要辨认哪些流体 仍否属于原来的流体系统都成了问题.
这种分析方法就称为 控制体分析法
控制体与体系的区别
名称
定义
边界特性
适用
体系
物质的集 有力、能交换， 拉格朗
合
无质量交换
日法
控制体
❖ 什么是体系? ❖ 在力学和热学中，基本物理定律适用的对象是一
个选定的物质系统,具有以下特征:
➢ 该系统始终由一定量的物质组成； ➢ 系统的边界把自己同周围的外界物质分开； ➢ 系统边界既可以固定不动，也可以运动，而且系统的
形状和系统所占据的空间都可以随时间发生变化； ➢ 可以透过系统边界和外界有功和热量的交换,但绝无质
5.2雷诺输运定理
CVIII
CVI
I
dA1
t
n
II III
u dA3
CVII
u
n
t t
考虑到dA面和vn的方向,并认为流出体系所在空间对应
பைடு நூலகம்
体积的流量为正,则单位时间流出微元面的N值为
(vndA) v dS
S的方向按CV的表面外法线方向计
4.3.3雷诺输运定理
CVIII
CVI
I
dA1
t
n
II III
流体的密度,微体积的质量
A1, t to
dm d
则有ms d s
y
x
5.1.1体系
进一步把式中的参数用流动参数表达也来,则得到关于流 体封闭体系的质量守恒方程. 这种分析方法就称为体系分析法
但是,由于运动中的流体系统将产生由移动、转动和变形 运动等组成的复杂运动，长时间难以追踪得到，甚至在 紊流流动状态由于流体的混沌，严格讲要辨认哪些流体 仍否属于原来的流体系统都成了问题.
这种分析方法就称为 控制体分析法
控制体与体系的区别
名称
定义
边界特性
适用
体系
物质的集 有力、能交换， 拉格朗
合
无质量交换
日法
控制体
《工程流体力学》第五章 理想流体多维流动基础
5)控制面上法向速度Vn：以控制面外法线方向为正
动量方程变为：
6)推导上述方程时：假设为理想流体 实际流体：有粘性 一般粘性系数：很小 紧靠物体表面附面层内流体：必须考虑粘性 附面层以外流体：可按理想流体处理 求流体与物体之间作用力时：仍可用动量方程
流体与物体之间法向压力和切向粘性力总和：
二、微分形式动量方程：
规定逆时针为正 规定顺时针为负
类推可得，对三维流动：
矢量形式旋转角速度：
流体微团运动一般由四种基本运动复合而成
由泰勒级数展开，并略去高阶小量： 上式改写为：
—— 亥姆霍兹速度分解定理
ห้องสมุดไป่ตู้
第三节 有旋流动：
两种形式： 1)集中涡：肉眼可看出流体在旋转，如龙卷风，旋涡等 2)数学涡：肉眼看不到，但由速度分布，可算出
=单位时间内体系随流物理量N进入区域III的数量 =单位时间内从控制体流出的随流物理量
A出 — 从控制体表面 流出的流体所 穿过控制面的 面积
— 穿出控制面流速
=单位时间内流进控制体的流体所带进随流物理量N数量
A进 — 从控制体表面 流进的流体所 穿过控制面的 面积
但随流物理量总是正的 在积分前加负号
一、涡线、涡管： 旋涡场：把角速度矢量场作为研究对象来研究流体运动 涡线：某一瞬时曲线上每一点的角速度矢量方向都与该处 曲线切线方向相同
涡管：在旋涡场中任取一条封闭曲线 (不是涡线) ，通过曲线上每一点作一 条涡线，所有涡线形成的管形曲面
二、速度环量： 速度环量：流场中流动速度沿给定封闭曲线的线积分
质点A速度矢量： 质点A速度分量：(VAx, VAy)
B点速度分量：
D点速度分量：
C点速度分量：
流体力学第五章_不可压粘性流体的一元流动
2
5.2 粘性流体管内流动的伯努利方程
粘性流体总流的伯努利方程
如图，χ是微元体截面的周长， 沿流线运动方程写为
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as
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fs
A
p s
ds
ds
a
s
u
u s
，
fs
g z s
s
z
p
g
u2 2g
gA
0
沿流线积分，取
非圆截面管道
hf
l
d
V2 2g
式中，d取水力直径 d=4过流面积/湿周长
水力半径定义： R=过流面积/湿周长＝d/4
30
水力直径举例：
园管：
R 2
d 4
2R d
2R
方形管： d 4 H B 2 H B
2(H B) H B
环形管：
d
4 (R12 R22 ) 2R1 2R2
S2 S1
gA
ds
h' w
，得
3
z1
p1
g
V2 1
2g
z2
p2
g
V2 2
2g
h' w
此即为粘性流体的伯努利方程。
hw’表示单位重量的流体从上游运动到下游机械能 的减少量。 粘性总流的伯努利方程：
z1
p1
g
1
V12 2g
z2
p2
g
5.2 粘性流体管内流动的伯努利方程
粘性流体总流的伯努利方程
如图，χ是微元体截面的周长， 沿流线运动方程写为
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A
p s
ds
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u
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u2 2g
gA
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沿流线积分，取
非圆截面管道
hf
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V2 2g
式中，d取水力直径 d=4过流面积/湿周长
水力半径定义： R=过流面积/湿周长＝d/4
30
水力直径举例：
园管：
R 2
d 4
2R d
2R
方形管： d 4 H B 2 H B
2(H B) H B
环形管：
d
4 (R12 R22 ) 2R1 2R2
S2 S1
gA
ds
h' w
，得
3
z1
p1
g
V2 1
2g
z2
p2
g
V2 2
2g
h' w
此即为粘性流体的伯努利方程。
hw’表示单位重量的流体从上游运动到下游机械能 的减少量。 粘性总流的伯努利方程：
z1
p1
g
1
V12 2g
z2
p2
g
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5.2雷诺输运定理
CVIII CVI I
dA1
II
u
dA3
III
n
u
t
n
t t
CVII
同理N3 d v dS t CV 3 t t CS 3
5.2雷诺输运定理
CVIII CVI I
这种分析方法就称为体系分析法
但是,由于运动中的流体系统将产生由移动、转动和变形 运动等组成的复杂运动，长时间难以追踪得到，甚至在 紊流流动状态由于流体的混沌，严格讲要辨认哪些流体 仍否属于原来的流体系统都成了问题.
5.1.1体系
况且,在不少流体力学问题中,往往关心的是在流体流经 的物体上产生了多大的力,或多高的温度等,而并不关心 一个流体系统整个运动历程如何.
这种分析方法就称为 控制体分析法
控制体与体系的区别
名称 体系 定义 物质的集 合 边界特性 有力、能交换， 无质量交换 适用 拉格朗 日法
控制体
固定在空 间的一个 体积
有力、能、质 量交换
欧拉法
如何将适用于体系的牛顿定律等应用于控制体?
5.2雷诺输运定理
设N 是分布在质量或体积上某个物理量,随流动输 运,称之为随流物理量,比如可以代表质量m,动量 P和能量E等.单位流体质量所具有的N 值,用符号 代表,有:
5.2雷诺输运定理
CS1 CS3
I
t
II
III
t t
当dt0时，II区与原控制体体积相同，I区为CS1面流进 的物理量，III区为CS3面流出的物理量.
5.2雷诺输运定理
CVIII CVI I
dA1
II
u
dA3
III
n
u
t
n
t t
CVII
如图所示的dA微元面上, 流体法向速度为vn , 则流体在单位 时间内流过dA面的体积通量为 vn dA
如N m, 1; 如N P, v
dN dm
1 2 如N E , v u, u为比内能. 2
5.2雷诺输运定理
CS CV
u u
t
t t
按上图中所选的控制体来推导雷诺输运定理
在t时刻,选取图中所示的控制体(用CV表示),同一时刻, 取与图示控制体重合的流体作为选定的体系(表面用CS 表示)
5.1控制体和系统 5.2雷诺输运方程
前面解决了流体运动的表示方法,但要在流体上应 用物理定律还有困难. 欧拉方法描述的对象是空间的点,而牛顿定律的研 究对象必须是质量不变的确定物体. 这需要一些转化方法,本节来解决这个问题.
5.1.1 体系
什么是体系? 在力学和热学中，基本物理定律适用的对象是一 个选定的物质系统,具有以下特征:
所以要找到适用于一个针对于固定空间位置的研究方法
5.1.2控制体
什么是控制体? 是由选定的、几何上封闭的界面（称为控制面） 所围的空间体，相对于坐标系固定不变。 控制面可以是物体的壁面或者是假想的界面，与 外界不仅可以透过控制面的功和能量的交换，而 且允许有质量的交换（又称开口系统）。 控制体的形状，大小可视问题的需要而变化，可 以是有限体积大小的控制体，也可以是微元控制 体。
t t时刻体系因运动偏离原位置,而控制体留在原地.
5.2雷诺输运定理
CVIII CVI I
t
II
III
体系的N 值为 : N s dm d
s s
CVII
从t到t t时刻,体系物理量的变化为:
dNs＝Ns(t+dt)-Ns(t)=[NIII(t+dt)+NII(t+dt)]-[NI(t)+NII(t)] =[NII(t+dt)- NII(t)]+NIII(t+dt)-NI(t)
5.1.1体系
参看右图: t to瞬间,选定的流体系统处 于A1标注的位置,在t to dt 瞬间, 流体系统将占据A2标注的 位置.
A2 , t to dt
z
A1 , t to
从流体系统的质量守恒定律 来看,该系统的质量始终等于 常数.
y
x
5.1.1体系
设系统的质量为m, 质量守恒 定律的数学表达式即是 :
5.1.2控制体
如图, 它是分析管流时可选择的一个控制体:管壁是控制 面的部分,而两端面的控制面是假想的.
流体可以通过两端的控制面流入流出控制体.
一旦选择好控制体,它就不再改变.把适用于一个流体体 系的各个物理定律,比如质量守恒定律,用有关控制体的 流动参数表达也来,则得到关于控制体的质量守恒方程.
CVIII CVI I
dA1
II
u
dA3
III
n
u
t
n
t t
CVII
用N1表示在 t时间内通过CS1面进入到CV1体积中的N值
N1 d v dS t CV 1 t t CS1 因其为流入的N 值, 取为负号
该系统始终由一定量的物质组成； 系统的边界把自己同周围的外界物质分开； 系统边界既可以固定不动，也可以运动，而且系统的 形状和系统所占据的空间都可以随时间发生变化； 可以透过系统边界和外界有功和热量的交换,但绝无质 量的交换。
5.1.1体系
按物质系统的这些要求，当把上述基本物理 定律应用到运动流体时，势必要追踪一个选 定的流体系统的整个运动历程不可. 这样的物质系统称为体系,又称“闭口系统”
5.2雷诺输运定理
CVIIHale Waihona Puke CVI IdA1II
u
dA3
III
n
u
t
n
t t
CVII
考虑到dA面和vn的方向,并认为流出体系所在空间对应 体积的流量为正,则单位时间流出微元面的N值为 (vndA) v dS
S的方向按CV的表面外法线方向计
4.3.3雷诺输运定理
dms 0, 式中脚注s代表分析 dt 的对象是一个流体体系.
A2 , t to dt
如d 是系统的微体积元, 是 z 流体的密度,微体积的质量 dm d 则有ms d
s
A1 , t to
y
x
5.1.1体系
进一步把式中的参数用流动参数表达也来,则得到关于流 体封闭体系的质量守恒方程.