椭圆专题：离心率
离心率公式椭圆的abc
离心率公式椭圆的abc椭圆是一种经典的数学几何图形，它具有许多有趣的性质和特征。
其中一个重要的特征就是离心率，它可以用来描述椭圆的形状。
让我们来了解一下离心率的定义。
离心率是一个无单位的数值，表示椭圆形状的偏心程度。
它的取值范围在0到1之间，其中0表示圆形，1表示无限长的直线。
在椭圆中心到焦点的距离与椭圆中心到顶点的距离之比定义了离心率。
离心率的计算公式如下：离心率（e）等于焦距（f）与椭圆长轴（2a）的比值，即e=f/2a。
这个公式告诉我们，离心率与焦点到顶点的距离有关，同时也与椭圆的长轴有关。
在椭圆的三个主要参数中，长轴（2a）是椭圆中心到两个顶点的距离，短轴（2b）是椭圆中心到两个较短的边的距离，焦距（2f）是椭圆中心到两个焦点的距离。
根据离心率的定义，我们可以得出椭圆的另一个重要性质：离心率小于1时，椭圆的焦点在椭圆内部；离心率等于1时，焦点位于椭圆的边上；离心率大于1时，椭圆的焦点在椭圆外部。
现在让我们来看一些具体的例子来理解离心率的概念。
假设我们有两个椭圆，一个长轴为6，短轴为4，另一个长轴为8，短轴为4。
根据离心率的计算公式，我们可以得出这两个椭圆的离心率分别为2/3和1/2。
这意味着第一个椭圆的焦点到顶点的距离比第二个椭圆的近，所以第一个椭圆更加扁平。
除了形状上的差异，离心率还可以用来描述椭圆在数学和科学中的应用。
例如，在天文学中，行星的轨道被认为是椭圆，离心率可以告诉我们行星轨道的形状以及行星离太阳的距离。
在工程学中，椭圆的离心率可以用来设计机械零件的形状和结构。
在地理学中，椭圆的离心率可以帮助我们理解地球的形状和地球坐标系统。
离心率是描述椭圆形状的重要参数，它可以告诉我们椭圆的偏心程度。
通过离心率，我们可以了解到椭圆的形状特征，以及它在数学、科学和工程学等领域的应用。
对于学习和理解椭圆的人来说，离心率是一个必须要了解和掌握的概念。
希望通过本文的介绍，读者对离心率有了更深入的理解和认识。
椭圆微专题901-离心率
专题01：椭圆的离心率1：椭圆基本量运算，范围：01e <<，e 越大，椭圆就越扁。
2：利用定义求椭圆的离心率（a c e = 或 221⎪⎭⎫⎝⎛-=a b e ）3：运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e例：设椭圆）（0b a 1by a x 2222>>=+的左、右焦点分别为21F F 、，如果椭圆上存在点P ，使︒=∠90PF F 21，求离心率e 的取值范围。
解：设()()()0,c F ,0,c F ,y ,x P 21- 法1：利用椭圆几何范围。
由→→⊥P F P F 21得222c y x =+，将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得2222222b a b ac a x --=2222)(e a c a -=。
由椭圆的性质知22a x 0<≤，得），以122[e ∈。
法2：判别式法。
由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a121222122224+=⇒++=，又因为︒=∠9021PF F ，可得222122214||||||c F F PF PF ==+，则)(2||||2221c a PF PF -=22b =，1PF ∴，2PF 是方程2222=+-b az z 的两个根，则22210)(84222222≥⇒≥=⇒≥--=∆e ac e c a a解法3：正弦定理∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin sin ||||90sin ||sin ||sin ||21212121F F PF PF F F PF PF =++⇒︒==βααβ又因为c F F a PF PF 2||2||||2121==+，，且90=+βα 则)4sin(21cos sin 1sin sin 1πααβα+=∂+=+==a c e20πα<<4344ππαπ<+<∴则1)4sin(22≤+<πα，2)4sin(21≤+<πα 所以122<≤e解法4：利用基本不等式由椭圆定义， 有212a PF PF =+||||平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||得c a2212≥所以有，）e ∈[221解法5：巧用平面解析几何的几何特性由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。
专题：椭圆的离心率解法大全
专题：椭圆的离心率2，利用定义求椭圆的离心率(e C 或e 21 b )aa综上m 或333,已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是X y6,设椭圆 — 亍=1 (a > b >0)的右焦点为F 1，右准线为11,若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点ab 1 距离，则椭圆的离心率是 一。
2，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率1,在 Rt ABC 中，A 90 ,AB AC 1 ,如果一个椭圆过 A B 两点, 它的一个焦点为 C,另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率 2,如图所示,椭圆中心在原点 则椭圆的离心率为 ［解析］b ( b ) c 3,以椭圆的右焦点 ,F 是左焦点，直线 AB 1与BF 交于D,且BDB 1M.5 1 2 2a c ac e ----------- 2 F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于1,已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率 e2,椭圆—1的离心率为-，则m m 2［解析］当焦点在x 轴上时，4 m -2 2m 3 ；当焦点在y 轴上时,16 m -， 34，已知m,n,m+n 成等差数列,m n , mn 成等比数列，则椭圆2—1的离心率为 ________________n2n 2m n［解析］由2n2m n m 22 2椭圆Xy1的离心率为2n 4m n2mn 01 5，已知一 21(m 0.n0) 则当 2xmn 取得取小值时，椭圆 22 y_ 21的的离心率为」m nmn22 2F 1到l 1的MF 与圆相切，则椭圆的离心率是,3 1解：TI F 1F 2 I =2c I BF 1 I =c I BF 2 I = 3c c+2 2X y变式(1):椭圆 君 + ~b^=1(a>b >0)的两焦点为 F 1、 寸3c=2a --e= aF 2，点P 在椭圆上，使厶OPF 为正三角形，求椭圆离心率?22X y相似题：椭圆 —+ —=1(a>b >0) , A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，/a b 解：I AO I =a I OF I =c I BF I =a I AB | = a 2+b 2点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。
椭圆的简单几何性质--离心率专题
P的坐标为_____时 PF1 的距离最小为____。
二.离心率的常见题型及解法
题型一：定义法
例1.已知椭圆方程为 x2 + y2 =1，
求椭圆的离心率； 16
8
y
P
a
F1(-c,0) o c F2(c,0)
x
1.直接算出a、c带公式求e
2.几何意义：e为∠OPF2的正弦值
变式训练1：
• 若椭圆 x2 + y2
a2
c -—准线
相互关系： c2 a2 b2
e c a
焦点总在长轴上!
2.基本点：顶点、焦点、中心
3.基本线: 对称轴（共两条线），准线
椭圆的简单几何性质3
直线与椭圆的位置关系
种类:
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax By C 0
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4x 5 y 40 0的距离的表达式.
d 4x0 5 y0 40 4x0 5 y0 40
42 52
41
尝试遇到困难怎么办?
l
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
1.知识点：求离心率的两种常规方法：
（1）定义法:求a,c或a、c的关系；
（2）方程法:根据题上的相等关系，构造关 于a,c的齐次式，解出e.
2.思想方法：
方程的思想，转化的思想
练习2、（1）x2 a2
y2 b2
1(a
b
求椭圆离心率常用的三种方法
椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。
专题十：求椭圆的离心率
专题十：椭圆的离心率题型一：（求椭圆的离心率的值）1、椭圆1422=+y x 的离心率为 ．2、椭圆短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，则该椭圆的离心率为 ．3、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的半焦距为c ，原点O 到经过两点(,0),(0,)c b 的 直线的距离为12c ，则椭圆E 的离心率为 ． 4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别是B A ,，左、右焦点分别是21,F F ， 若B F F F AF 1211,,成等比数列，则椭圆C 的离心率为 ．5、已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， △21F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆E 的的离心率为 ．6、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率是 ．7、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过原点的直线l 与椭圆C 相交于 ,A B 两点，连接,AF BF ．若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则椭圆C 的离心率为 ． 8上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭 圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)， 则该椭圆的离心率是 ．9、如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点D A ,为椭圆的两个焦点，其余四个顶点在椭圆Q O F 2F 1P y x 上，则该椭圆的离心率为 ．10、如图，已知21,F F 是椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上， 线段2PF 与圆222b y x =+相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率 为 ．（第9题图） （第10题图） （第11题图）11、如图，在直角△ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过,A B 两点，它的一个焦 点为C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为 ． 12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个 顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰 为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ．（第12题图）B CF EA D x y A 1B 2 A 2 O M F TB 113、如图，已知c AB 2=(常数0>c )，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且 CD AB //，若椭圆以B A ,为焦点，且过D C ,两点，则当梯形ABCD 的周长最大时， 椭圆的离心率为 ．（第13题图）题型二：（求椭圆的离心率的取值范围）1、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，短轴的一个端点为P ， 若12F PF ∠为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．2、已知焦点在x 轴上的椭圆222:1(0)4x y E b b +=>，短轴的一个端点为M ，点M 到直 线:340l x y -=的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围为 ． 3、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，若 椭圆C 上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线经过点F ，则椭圆C 的离心率的取值范 围为 ．4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．5、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为 A ，点P 是椭圆C 上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q ．若四边形PQFA 为平行四 边形，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．6、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>和圆222x y b+=，若C上存在点P，过点P引圆O的两条切线，切点分别为,A B，满足60APB∠=，则椭圆C的离心率的取值范围为．7、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得12PFePF=，则椭圆C的离心率的取值范围为．8、已知椭圆22:11x yCm m+=+的两个焦点分别是12,F F，若椭圆C上存在点P，使得121PF PF⋅=，则椭圆C的离心率的取值范围为．9、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>右顶为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP 垂直于PA，则椭圆C的离心率的取值范围为．10、如图，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，点P是椭圆C上一点，点M在1PF上，且满足12F M MP=，2PO F M⊥，O为坐标原点，则椭圆C的离心率的取值范围为．（第10题图）专题十：椭圆的离心率参考答案题型一：（求椭圆的离心率的值）1、2；2、33、2；4、5；5、34；6、2；7、57；8、2；91；10、3；1112、5；131． 题型二：（求椭圆的离心率的取值范围）1、(2；2、；3、1[,1)2；4、1[,1)3；5、1,1)；6、；7、1,1)；8、；9、；10、1(,1)2．。
专题讲座：椭圆离心率的常规求法(文)
a,c的齐次式，解出e. 2.思想方法：
方程的思想，转化的思想
六.课后练习
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长 成等差数列，求该椭圆的离心率.
2.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2 ，过F2作椭圆 长轴的垂线交椭圆于点P，若为△F2PF1等腰直角 三角形，求椭圆的离心率.
专题讲座
椭圆离心率的常规求法
刘帅帅
一.复习巩固
二.离心率的常见题型及解法
题型一：定义法 例1.已知椭圆方程为 x2 + y2 =1，求椭圆的离心率；
16 8
y
P
a
F1(-c,0)o c F2(c,0)
x
1.直接算出a、c带公式求e 2. 几何意义：e为∠OPF2的正弦值
变式训练1：
若椭圆x2 + y2 =1的离心率为1/2，求m的值.
四.高考链接
（ (a>2b0>102)新的课左标、全右国焦卷点），设P为F1直和线F2是x=椭3圆a ax上22 +一by点22 =，1
2
△ F2 P F1是底角为30°的等腰三角形， 求该椭圆
的离心率。
y P
30°
2c
F1 (-c,0)o2c
F2
(c,0)
c
x
2c=3a/2
x=3a/2
五.小结
3.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一 点 ，且AF1⊥AF2，∠AF1F2=60°，求该椭圆的 离心率。
变式训练2：
椭圆
x a
2 2
+
y2 b2
【高中数学】高中数学知识点：椭圆的性质(顶点范围对称性离心率)
【高中数学】高中数学知识点：椭圆的性质（顶点范围对称性离心率）【高中数学】高中数学知识点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）椭圆的离心率：椭圆的焦距与长轴长之比叫作椭圆的距心率。
椭圆的性质：1、顶点：a（a，0），b（-a，0），c（0，b）和d（0，-b）。
2、轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长|ab|=2a，短轴长|cd|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。
3、焦点：f1（-c，0），f2（c，0）。
4、焦距：。
5、离心率：；离心率对椭圆形状的影响：e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；e越接近0，c就越接近，从而b就越大，椭圆就越圆；6、椭圆的范围和对称性：（a＞b＞0）中-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。
利用椭圆的几何性质解题：利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程．要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a，b，c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长，过焦点与长轴垂直的弦长等，这将有利于提高解题能力。
椭圆中求arctan的方法：求最值有两种方法：(1)利用函数最值的探究方法利用函数最值的探究方法，将其转变为函数的最值问题去处置．此时应当充份特别注意椭圆中x，y的范围，常常就是化成闭区间上的二次函数的最值去解。
(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义，寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系．椭圆中离心率的带发修行：在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式，从而求离心率或离心率的取值范围．。
(完整版)离心率专题讲解
椭圆上存在点P,使得点P作圆C2的两条切线互相垂直,
则椭圆离心率取值范围.
例2.已知A ,A 是椭圆 x2
12
a2
y2 b2
1(a
b
0)的左右顶点,若
椭圆上存在相异于A ,A 1
2点P,使得PO
PA 2
,
O坐标原点,
则椭圆离心率取值范围.
变2.已知F1,F2是椭圆E:
x2 a2
y2 b2
离心率专题讲解
绵阳东辰国际学校高中部: 江维硕
例1.已知F ,F 是椭圆E: x2
12
a2
y2 b2
1(a
b 0)的左右焦点,若
椭圆上存在点P,使得PF 1
PF 2
,
则椭圆离心率取值范围.
变1.已知椭圆C1:
x a
2 2
y2 b2
1(a
b 0)与圆C2:x2
y2 = b2 ,若
1(a
b
0)的左右焦点,
若椭圆上存在点P,使得
PF 1
PF 2
=2c2 ,则椭圆离心率最小值.
例3.已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)上一点A关于原点的对称点
为B, F为右焦点,若AF BF, ABF , [ , ],12 4 则椭圆离心来自取值范围.则椭圆离心率.
变4.已知F1,F2是双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)的左右焦点,
F1PF2的内心为I
,
若IPF1IPF2
关于椭圆,双曲线及抛物线离心率的几何性质
关于椭圆,双曲线及抛物线离心率的几何性质
离心率是一个几何性质，是指一个图形它的焦点到曲线上任意点的距离与另一个焦点到这一点的距离的比值。
这个几何性质经常用于椭圆，双曲线和抛物线描述，从而有助于理解它们的几何特征。
下面对这三种曲线的离心率进行详细介绍。
（1）椭圆的离心率
椭圆是一种经典的曲线，其离心率的定义如下：椭圆的离心率是焦点到曲线上任意点的距离与两焦点之间的距离的比值。
也就是说，椭圆的离心率就是两个焦点之间距离与任意点到其中一个焦点之间距离的比值。
椭圆的离心率一般大于0，但小于1。
（2）双曲线的离心率
双曲线属于几何图形，它的离心率的定义如下：双曲线的离心率是焦点到曲线上任意点的距离与两焦点之间的距离之比。
双曲线的离心率一般大于1，但小于无限大。
（3）抛物线的离心率
抛物线也称为二次曲线，它的离心率定义为：抛物线的离心率是焦点到曲线上任意点的距离与两焦点之间的距离之比。
抛物线的离心率总是等于1，两个焦点之间的距离总是等于任意点到其中一个焦点之间的距离。
以上就是椭圆，双曲线和抛物线的离心率的相关几何特征。
它们的离心率是一个重要的几何属性，可以帮助我们更好地理解这三种曲线的几何结构。
椭圆及双曲线的离心率 专题
圆锥曲线离心率专题离心率问题有三种思路，一是求出,,a b c 三个量中的任何两个，然后利用离心率的计算公式求解；二是求出,a c 或,a b 或,c b 之间关系，然后利用离心率的计算公式求解；三是构造出关于离心率e 的方程来求解.此题中关键是灵活的应用椭圆和双曲线的定义构造出方程即可求解,一般是依据题设寻求一个关于,,a b c 的等量关系，再利用,,a b c 的关系消去b ，得到关于,a c 的等式，再转化为关于离心率e 的方程，解方程求出e 的值，最后根据椭圆或双曲线的离心率的取值范围,给出离心率的值.已知双曲线:E 22221x y a b-=()0,0a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率是_______.【解析】 由题意，2BC c =，又因为23AB BC =，则3AB c =，于是点3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线E 上，代入方程22221x y a b -=，得2222914c c a b -=，再由2c b a =+22得E 的离心率为2ce a==. 考点1.利用题设条件求出,a c 的值【例1】已知双曲线22219x y b-=(0)b >，过其右焦点F 作圆229x y +=的两条切线，切点记作C ，D ,双曲线的右顶点为E ,0150CED ∠=，其双曲线的离心率为( ) 23 B.32323 【解析】由题意3a =，易得OD OE =，075CEO OCE ∠=∠=,所以030=∠COE ，在Rt OCF ∆中，⇒=+=0230cos 93bOF OC 33212322==⇒=⇒=a c e c b 【例2】已知抛物线24y x =的准线与双曲线22214x y a -=交于,A B 两点，点F 为抛物线的交点，若FAB ∆为正三角形，则双曲线的离心率是 ．【解析】根据已知条件画出图形（如右图），FAB ∆Rt AKF ∆中，30,2,AFK KF ∠=︒=2323tan 30,1,33AK KF A ⎛⎫∴=︒=∴- ⎪ ⎪⎝⎭22233114a ⎛⎫⎪⎝⎭∴-=，解得234a =，又24b =，19,4=故双曲线离心率19357223c e a ==÷=．考点2.根据题设条件直接列出,,a b c 的等量关系【例3】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆22(3)9x y -+=相变于A.B两点，若||2AB =，则该双曲线的离心率为（ ） A.8 B. 22 C 3 D.4考点3.借助直角三角形的边角关系【例4】【2012全国新课标，理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P为直线32ax =上一点，12F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【解析】12F PF ∆是底角为30的等腰三角形，22132()22PF F F a c c ⇒==-=， 则34c e a ==【例5】设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ）A.13B.23C.233D.33【解析】由条件1PF PQ =，则PQ ⊥x 轴，而0160F PQ ∠=，∴1F PQ ∆为等边三角形，而周长为4a ，∴ 等边三角形的边长为43a ，焦点在直角三角形12PF F ∆中，14||3aPF =，22||3a PF =，12||2F F c =， ∴22242()()(2)33a a c -=，即223a c =，∴22213c e a ==， 考点4. 借助与其它曲线的关系求离心率【例6】点A 是抛物线21:2(0)C y px p =>与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的交点（异于原点），若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线2C 的离心率等于（ ）A ．2B ．2C ．5D ．4【解析】 点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，∴⎪⎭⎫⎝⎛p p A ,2适合x a b y =，∴422=a b ，∴5=e【例7】如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，且这两条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为________．【解析】如图，设F ′为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在x 轴上方的交点为A ，连接AF ′，所以|FF ′|＝2c ＝p ，因为|AF |＝p ，所以|AF ′|＝2p .因为|AF ′|＋|AF |＝2a ，所以2a ＝2p ＋p ，所以e ＝c a＝2－1.考点5. 利用椭圆或双曲线的定义求离心率【例8】椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF ^BF ,设6π=∠ABF ，则该椭圆的离心率为 （ ）A ．22 B ．13- C ．33 D ．231- 【解析】取椭圆右焦点M ，连接BM AM ,，由椭圆对称性以及AF ^BF 知四边形AFBM 为矩形，由6π=∠ABF 得c AF =，c AM 3=，由椭圆定义知a AM AF 2=+，32c c a +=，13-=∴e .【例9】设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的离心率为___.【例10】 F 1，F 2是双曲线2222:1(,0)x y C a b b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是（ ）A 3B 15C ．2D 13【解析】画出图形，在2ABF ∆中，根据题意可设223,4,5(0)AB t BF t AF t t ===>，222222,AB BF AF ABF +=∴∆为直角三角形．设1AF m =，由双曲线的定义知1221BF BF AF AF -=-，即345t m t t m +-=-，∴3m t =，∴212532a AF AF t t t =-=-=．在12Rt BF F ∆中， 22221212(6)(4)213F F BF BF t t t =+=+=，∴13ce a==，故选D ． 考点6. 借助双曲线的渐近线求离心率【例11】已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.则双曲线E 的离心率为_______________.【解析】因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5.【例12]已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线的倾斜角的余弦值为31010，该双曲线上过一个焦点且垂直于实轴的弦长为3，则双曲线的离心率等于（ ）A ．3 D ． 3【解析】双曲线22221x y a b-=所以110e =，即3e =， 故选C. 考点7. 利用弦中点坐标，代点相减求离心率【例13】过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为。
专题：椭圆的离心率解法大全
e 的取值范围。
解:设 Px, y , F1 c,0 , F2 c,0
法 1:利用椭圆范围。
由 F1P F2P 得 x 2
y2
c2 ，将这个方程与椭圆方程联立,消去ｙ,可解得 x 2 a 2c2 a 2b 2 a2 b2
a 2 (c2 a 2 ) 。 e2
由椭圆的性质知 0 x 2 a 2 ，得以e [ 2 ，1）。 2
1
1
,由
a sin cos 2 sin
4
12
,
4
得
2 e 2
6。 3
６,如图,在平面直角坐标系
xoy
中，
A1
,
A2
,
B1,
B2
为椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的四个顶点， F
为其右焦
点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T，线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率
分析:此题有角的值,可以考虑正弦定理的应用。
解:由正弦定理：错误! ＝ 错误! PF2 sin PF1F2
根据和比性质：
错误!＝ 错误! 变形得： 错误! =错误! 2c =e 2a
∠PＦ１F2 ＝7５°∠PＦ2Ｆ1 =１５°
ｅ＝
sin９0° sin75°+sｉn15°
=错误!
点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e=＼f(ｓin Ｆ1PF2 ，sｉｎ Ｆ1F2P ＋sｉn PF1F2 )
∣MF∣=∣MＯ∣,则椭圆的离心率是 3 1
４,椭圆错误! +错误!=1(ａ>ｂ >0)的两焦点为 F１ 、Ｆ2 ，以 F1F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的两
椭圆的离心率计算
椭圆的离心率计算椭圆是数学中的一个重要概念，其离心率是描述椭圆形状的一个重要参数。
离心率是指椭圆焦点之间的距离与椭圆长轴长度之比。
本文将介绍椭圆的离心率及其相关概念，以及离心率在实际应用中的意义和作用。
椭圆是由一个固定点F（称为焦点）和一个固定直线L（称为准线）上的点P构成的。
椭圆的定义是：对于平面上任意一点P，其到焦点F的距离与到准线L的距离之和是一个常数。
这个常数称为椭圆的半长轴长度a。
椭圆的形状由离心率e来描述，离心率定义为焦点之间的距离与半长轴长度之比。
离心率的取值范围是0到1，当离心率为0时，椭圆退化为一个圆；当离心率为1时，椭圆退化为一个抛物线；当离心率大于1时，椭圆退化为一个双曲线。
因此，离心率可以用来判断椭圆的形状。
离心率e的计算公式为：e = c / a，其中c为焦点之间的距离，a 为半长轴长度。
可以看出，离心率e越接近于0，表示椭圆越接近于一个圆；离心率e越接近于1，表示椭圆越扁平。
椭圆的离心率在实际应用中有着广泛的应用。
首先，离心率可以用来描述天体轨道的形状。
在天文学中，行星和卫星的运动轨道大多是椭圆形状，离心率可以用来描述这些轨道的偏心程度。
例如，地球绕太阳的轨道是一个椭圆，其离心率约为0.0167，说明地球的轨道接近于一个圆形。
离心率也可以用来描述椭圆轨道的稳定性。
当离心率较小的时候，轨道更接近于一个圆形，行星或卫星在轨道上运动时受到的引力作用更加稳定，轨道比较平稳。
而当离心率较大时，轨道接近于一个椭圆，行星或卫星在轨道上运动时受到的引力作用更加不稳定，轨道比较复杂。
离心率还可以用来描述椭圆的形状变化。
当离心率较小时，椭圆的形状接近于一个圆，而当离心率较大时，椭圆的形状变得更加扁平。
这种形状的变化对于设计工程和建筑设计等领域非常重要，可以用来确定物体的形状和结构。
椭圆的离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它可以用来判断椭圆的形状、稳定性和变化。
离心率在天文学、工程设计和建筑设计等领域都有着广泛的应用。
离心率问题的7种题型15种方法
离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式题型一 椭圆离心率的求值方法一 定义法求离心率1. 已知椭圆C 14222=+y a x 的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为（ ） A .31 B .21 C .22 D .322 【解析】 14222=+y a x ，∵ a 2−4=4⇒a =2√2 ，则 e =c a =2√2=√22 ，选C2. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13 B ．12 C ．23 D ．34【解析】由直角三角形的面积关系得bc =124⨯12c e a ==，选B3. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A .45 B .35 C .25D . 15【解析】设长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ，则2222.a c b +=⨯ 即22222()44()a c b a c b a c +=⇒+==-. 整理得：2225230,5230c ac a e e +-=+-=，选B4. 椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为【解析】椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以（a﹣c）（a+c）=4c2，即a2=5c2，所以e=55方法二运用通径求离心率5.设椭圆C2222x ya b+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于【解析】不妨假设椭圆中的a=1，则F1（﹣c，0），F2（c，0），当x=c时，由2222x ya b+=1得y=ab2=b2，即A（c，b2），B（c，﹣b2），设D（0，m），∵F1，D，B三点共线，∴，得m=﹣2b2，即D（0，﹣2b2），∴若AD⊥F1B，在，即=﹣1，即3b4=4c2，则3b2=2c=3（1﹣c2）=2c，即3c2+2c﹣3=0，解得c==，则c=，∵a=1，∴离心率e=ac=336.从椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥O P(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是【解析】由题意知A(a,0)，B(0，b)，P2,bca⎛⎫-⎪⎝⎭∵AB∥O P，∴2b bac a-=-.∴b＝c；又∵a2＝b2＋c2，∴22212cea==.∴2e=7.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是【解法一】设1(,0)F c-，2(,0)F c，由题意易知，21212,PF F F c PF===，1212212F Fcea PF PF∴====+【解法二】由题意易知，2122,PF FF c ==由通径得22=a b PF ，故22c=ab ，解得e 1方法三 运用e =e = 8. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且FD BF 2=，则C 的离心率为【解】 如图，，作DD 1⊥y 轴于点D 1，则由，得，所以，，即，由椭圆的第二定义得又由|BF |=2|FD |，得，a 2=3c 2，解得e ==33，9. 经过椭圆2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ，B两点，若||||AF BF 112=，求椭圆的离心率。
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椭圆专题3：离心率
一、直接求出或求出a 与b 的比值，以求解。
1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于
2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为
3.若椭圆经过原点，且焦点为,则椭圆的离心率为
4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为。
5.若椭圆短轴端点为满足，则椭圆的离心率为。
6..已知则当mn 取得最小值时，椭圆的的离心率为
7.椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是
8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为。
9.P 是椭圆+=1（a ＞b ＞0）上一点，是椭圆的左右焦点，已知椭圆的离心率为
10.已知是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若， 则椭圆的离心率为
11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为
12.设椭圆=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是。
13.椭圆（a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于∣AF∣，则椭圆的离心率是。
14.椭圆（a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是 15.已知直线L 过椭圆（a>b>0）的顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 的距离为，则椭圆的离心率是
16.在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O 为圆心，为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=
17.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程 的两个实根分别为和，则点（ ）
a c ，e )0,3(),0,1(21F F )0(,122
22>>=+b a b
y a x P 21PF PF ⊥=e )0.0(121>>=+n m n m 122
22=+n
y m x 22
221(0)x y a b a b
+=>>1F 2F x M N ，12MN F F 2≤=e 22a x 22
b
y 21F F 、,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F =e 21F F 、 75,151221=∠=∠F PF F PF 222
22b
y a x +122
22=+b
y a x 21122
22=+b
y a x 122
22=+b
y a x 2a 22
22x y a b +=a b >>a 2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭e 22221(0)x y a b a b
+=>>1e 2=(0)F c ，20ax bx c +-=1x 2x 12()P x x ，
Ａ．必在圆内
Ｂ．必在圆上 Ｃ．必在圆外 Ｄ．以上三种情形都有可能
二、构造的齐次式，解出
1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是
2．以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是
3．以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是
4．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离
心率是
5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是
6．设分别是椭圆的左、右焦点，P
（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是 三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。
1．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点
总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 2．已知是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且，椭圆离心率e 的取值范围为
3．已知是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且，椭圆离心率e 的取值范围为
4．设椭圆（a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，若椭圆上存在一点Q ，使∠F 1QF 2=120º，椭圆离心率e 的取值范围为
5．在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率． 6．设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在 使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是
7．如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B
的取值范围是
222x y +=222x y +=222x y +=a c ，e 12F F 、()22
2210x y a b a b
+=>>c 122F F F P =1F 2F 120MF MF ⋅= M 21F F 、 9021=∠PF F 21F F 、 6021=∠PF F 122
22=+b
y a x ABC △AB BC =7cos 18
B =-A B ，
C e =12F F ，22
221x y a b
+=0a b >>,P 1PF 2F。