27.2 相似三角形同步练习 新人教版

27.2 相似三角形专题一相似形中的开放题1．如图，在正方形网2．格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．1．已知：如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、BE，∠BDE+∠BCE=180°.(1)写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由.专题二相似形中的实际应用题3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.专题三相似形中的探究规律题4．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 cm，AB＝50 cm，依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1、a2、a2…若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A．24 B．25 C．26 D．275．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．（1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长；（2）如图②，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（4）如图④，n个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．专题四相似形中的阅读理解题6．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去，例如，可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方…，请你协助他们探索下列问题：(1)写出判定扇形相似的一种方法：若，则两个扇形相似；(2)有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a，弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为；(3)如图1，是—完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB为30cm,现要做一个和它形状相同，面积是它的一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径.图 1 图2专题五相似形中的操作题7．宽与长的比是215 的矩形叫黄金矩形，心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．8．如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF 叠放在一起．（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD 边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA 于点G（G点不与D点重合）．求证：BH•GD=BF2；（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．探究：FD+DG= DB，请给予证明．专题六相似形中的综合题9．正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 时，四边形ABCN 的面积最大．10．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC的中点O 1AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC 为圆心，2交⊙O于D，连接AE、AD、DC．（1）求证：D 是 ⌒AE 的中点； （2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD ； （3）若21=∆∆OCDCEF S S ，且AC =4，求CF 的长.【知识要点】1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.2．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.3．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.4．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.5．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.6．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.7．相似三角形周长的比等于相似比.相似多边形周长的比等于相似比.8．相似三角形对应高的比等于相似比.9．相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.【温馨提示】1．平行线分线段成比例时，一定找准对应线段.2．当已知两个三角形有一组对应角相等，利用夹这个角的两边对应成比例来判定它们相似时，比例式常有两种情况，考虑不全面是遗漏解的主要原因.3．数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性，规律的发现与提出需要从特殊到一般的数学归纳思想，平时要养成观察、分析问题的习惯.【方法技巧】1．相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形对应中线的比等于相似比.2．在平面几何中，求图形中等积式或等比式时，一般地首先通过观察找出图形中相似的三角形，再从理论上证明观察结论的正确性，最后运用相似形的性质来解决问题.参考答案1．22或42【解析】根据题意得AD =1，AB=3，AC =2266+=26，∵∠A=∠A ，∴若△ADE∽△ABC 时，ACAEABAD =，即2631AE=，解得AE =22.若△ADE∽△ACB 时，AB AEAC AD =，362AE =，解得AE=42.∴当AE =22或42时，以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．2．解：（1）△ADE∽△ACB ，△CEF∽△DBF ，△EFB∽△CFD (不唯一).（2）由∠BDE+∠BCE =180°，可得∠ADE=∠BCE . ∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB ;∴ACAD =ABAE .∵ ∠A=∠A ，∴△AEB∽△ADC ;∵∠BDE+∠BC E =180°，∠BCE+∠ECF =180°，∴∠ECF=∠BDF ， 又∠F=∠F ， ∴△CEF∽△DBF ;∴BFEF =DFCF ，而∠F=∠F ，∴△EFB∽△CFD .3．解：∵ OA :OC ＝OB :OD ＝n 且∠AOB＝∠COD,∴△AOB∽△COD .∵ OA:OC ＝AB:CD ＝n ,又∵CD ＝b,∴AB=CD ·n ＝nb ，∴x ＝a －AB 2 ＝a －nb2.4．C 【解析】设裁成的矩形纸条的总数为n ，且每条纸条的长度都不小于5cm ，40(cm)BC ==．设矩形纸条的长边分别与AC 、AB 交于点M 、N ，因为 △AMN ∽△ACB ，所以BCMNACAM=．又因为AM=AC-1·n=30-n ，MN ≥5 cm ，所以4053030≥-n ，得n ≤26.25，所以n 最多取整数26．5．解：（1）在题图①中过点C 作CN ⊥AB 于点N ，交GF 于点M ．因为∠C =90°，AC =4，BC =3，所以AB =5． 因为21×5CN=21×3×4，所以CN=512．因为GF∥AB ，所以∠CGF=∠A ，∠CFG=∠B ，所以△CGF∽△CAB ，所以ABGF CNCM =．设正方形的边长为x ，则1251255xx -=，解得3760=x ．所以正方形的边长为3760．（2）同（1），有12251255x x -=，解得4960=x ．（3）同（1），有12351255xx -=，解得6160=x ．（4）同（1），有1251255x nx -=，解得n x 122560+=．6．解：(1)答案不唯一，如“圆心角相等” “半径和弧长对应成比例”(2)由相似扇形的性质知半径和弧长对应成比例，设另一个扇形的弧长为x ，则a a 2=xm ,∴x =2m.(3)∵两个扇形相似，∴新做扇形的圆心角与原来扇形的圆心角相等，等于120°.设新做扇形的半径为γ，则230γ⎛⎫⎪⎝⎭=21，γ=152，即新做扇形的半径为152㎝.7．证明：在正方形ABCD 中，取AB=2a ，∵N 为BC 的中点，∴12NC BC a ==.在Rt△DNC 中，2222(2)5.ND NC CD a a a =++∵NE=ND ，∴(51)CE NE CN a =-=.∴2152)15(-=-=a a CDCE，故矩形DCEF 为黄金矩形.8．解：（1）证明：∵将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，∴∠B=∠D.∵将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，∴BF=DF.∵∠HFG=∠B，∴∠GFD=∠BHF，∴△BFH∽△DGF，∴BF BH，DG DF∴BH•GD=BF2.（2）证明：∵AG∥CE，∴∠FAG∥∠C.∵∠CFE=∠CEF，∴∠AGF=∠CFE，∴AF=AG.∵∠BAD=∠C，∴∠BAF=∠DAG，△ABF≌△ADG，∴FB=DG，∴FD+DG=DB，9．210．解：（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴AE⊥BC. ∵OD∥BC，AE的中点.∴AE⊥OD，∴D是⌒（2）方法一：证明：如图，延长OD交AB于G，则OG∥BC.∴∠AGD=∠B.∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO. ∵∠ADO=∠BAD+∠AGD，∴∠DAO=∠B +∠BAD.方法二：证明：如图，延长AD交BC于H，则∠ADO=∠AHC.∵∠AHC=∠B +∠BAD ，∴∠ADO =∠B +∠BAD . ∵OA=OD ，∴∠DAO=∠B +∠BAD .（3） ∵AO=OC ，∴12OCD ACD S S ∆∆=.∵12CEF OCDS S ∆∆=，∴14CEF ACDS S ∆∆=.∵∠ACD=∠FCE ，∠ADC=∠FEC =90°，∴△ACD∽△FCE .∴2CEF ACD S CF S AC ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2144CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴CF =2.。